Cálculo Cruzeiro do Sul

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Cálculo Integral
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique
Revisão Textual:
Profa. Esp. Natalia Conti 
Integral Indefinida
5
 · Antiderivada
 · Integral Indefinida
O objetivo desta unidade é discutir sobre o conceito de Integral Indefinida de 
uma Função Real e seus significados. Nessa discussão, iremos determinar uma 
grandeza dada sua taxa de variação; por exemplo: dada a velocidade de uma 
partícula deseja-se saber sua posição em um determinado instante.
Estamos iniciando nossos estudos sobre Cálculo Integral. A proposta desta unidade é o 
estudo da Antiderivada e da Integral Indefinida. Com relação aos conteúdos, dividimos em:
 » Antiderivada
 » Integral Indefinida
Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de calcular a integral indefinida de 
uma função real por meio da antiderivada.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos 
resolvidos, além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao 
final do conteúdo. Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas 
propostas e ao prazo para realização das mesmas. 
Integral Indefinida
6
Unidade: Integral Indefinida
Contextualização
Como já vimos no Cálculo Diferencial, o estudo dos conceitos do Cálculo auxilia em 
diferentes áreas, como na Química, na Física e na Economia. 
Os conceitos básicos de matemática que serão necessários para este estudo são sobre 
funções, como as polinomiais, as trigonométricas, as exponenciais e as logarítmicas. Além de 
conhecer os conceitos de funções, são importantes os conceitos de geometria e trigonometria.
O estudo do Cálculo está embasado em três operações que normalmente denominamos como 
básicas: o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e o cálculo de integrais de diferenciais.
E o teorema mais importante do Cálculo é o Teorema Fundamental do Cálculo, que 
estabelece que as operações de diferenciação e de integração são processos inversos.
O Cálculo foi desenvolvido por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz 
(1646-1716), que realizaram seus estudos de maneira independentes, mas ambos exploraram 
as relações entre os problemas de reta tangente e de cálculo de área para transformar o 
Cálculo em um método matemático sistemático.
7
Antiderivada
Consideremos o exemplo da velocidade de um automóvel para estudarmos a antiderivada. 
Seja um automóvel que se move em uma estrada retilínea e que a distância percorrida s (em 
metros), a partir de um determinado ponto inicial, no instante t (em segundos), fosse dada por 
s(t) = t² + 2t.
0
+
v > 0
Já estudamos que, para determinarmos a velocidade instantânea v deste automóvel em um 
instante t, precisamos derivar a função distância s percorrida em relação à variável t. Desta forma, 
v(t) = s’(t)
v(t) = 2t + 2
Determinar a antiderivada de uma função significa, neste exemplo, partirmos da função 
velocidade v(t) e determinarmos a função posição s(t).
Ainda neste exemplo, consideremos a função v(t) = 2t + 2. 
Se considerarmos a função s1(t) = t
² + 2t + 2, qual será sua derivada?
s1’(t) = 2t + 2
E se considerarmos a função s2(t) = t² + 2t – 5, qual será sua derivada?
s2’(t) = 2t + 2
Percebemos que teremos a mesma derivada, tanto para s1(t) quanto para s2(t). O que temos 
de diferente entre as funções s1(t) e s2(t)? O que difere as duas funções é uma constante:
s1(t) = t
² + 2t + 2
s2(t) = t
² + 2t – 5
E como a derivada de uma constante é sempre zero, então suas derivadas serão sempre 
iguais. Podemos concluir que, se temos duas funções que diferem apenas por uma constante, 
então suas derivadas são idênticas. Ou seja, estas duas funções possuem a mesma antiderivada.
Podemos escrever essa conclusão da seguinte maneira:
Teorema: Se uma função F for uma antiderivada da função f em um intervalo, 
então podemos dizer que a antiderivada mais geral de f neste intervalo é igual 
a F(x) + c, sendo c uma constante arbitrária.
8
Unidade: Integral Indefinida
Vamos imaginar que a função f possui duas antiderivadas F e G, então:
F’(x) = f(x) e G’(x) = f(x).
Desta forma, podemos escrever que:
G’(x) = F’(x)
G’(x) – F’(x) = 0
Mas sabemos que somente a função constante g(x) = c, sendo c uma constante qualquer, 
possui derivada igual a zero.
g’(x) = 0
Logo, podemos dizer que:
se G’(x) – F’(x) = 0, então G(x) – F(x) = c
Ou, G(x) = F(x) + c.
Desta forma, se queremos determinar a antiderivada de uma função f, estamos interessados 
em obter uma família de funções que se diferem apenas por uma constante.
Vejamos isso em um gráfico para entendermos melhor o que seja a antiderivada de uma 
função. Para isso, voltemos ao exemplo dado inicialmente. Seja v(t) = 2t + 2, determinemos 
diferentes antiderivadas s(t) desta função v(t).
s1(t) = t² + 2t – 2 
s2(t) = t² + 2t – 1 
s3(t) = t² + 2t + 0 = t² + 2t
s4(t) = t² + 2t + 1 
s5(t) = t² + 2t + 2 
Ao analisarmos estes gráficos, percebemos que ao determinarmos a antiderivada de uma 
função f, obtemos uma família de funções, cujas derivadas são iguais à função f.
0
-1
-2
-3
1
2
3
1 2 3 4-4-5 -3 -2 -1
x
y
s1(t) s2(t) s3(t) s4(t) s5(t)
9
Para determinarmos a antiderivada mais geral de algumas funções já estudadas, vamos 
recordar as derivadas de algumas funções.
Função Derivada
( )f x c= ( )' 0f x =
( ) nf x x= ( ) 1' nf x nx −=
( ) f x sen x= ( )' cosf x x=
( ) cosf x x= ( )' senf x x= −
( ) f x tg x= ( ) 2'f x sec x=
( ) f x cotg x= ( ) 2'f x cossec x= −
( ) xf x a= ( )' lnxf x a a=
( ) xf x e= ( )' lnx xf x e e e= =
( ) lnf x x= ( ) 1' f x
x
=
Para determinarmos a antiderivada de algumas funções, basta olharmos para esta tabela de 
maneira invertida.
Função Antiderivada
( ) 0f x = ( ) F x c=
( ) f x k= ( )F x kx c= +
( ) , 1nf x x n= ≠ − ( )
1
1
nxF x c
n
+
= +
+
( ) f x sen x= ( ) cosF x x c= − +
( ) cosf x x= ( ) senF x x c= +
( ) 2f x sec x= ( )F x tg x c= +
( ) 2f x cossec x= ( )F x cotg x c= − +
( ) xf x a= ( )
ln
xaF x c
a
= +
( ) xf x e= ( ) xF x e c= +
( ) 1f x
x
= ( ) lnF x x c= +
( ) ( ) f x g x+ ( ) ( )F x G x+
10
Unidade: Integral Indefinida
Vejamos com mais detalhes as antiderivadas das funções ( ) , 1,nf x x n= ≠ − e ( ) 1f x x= .
Vejamos a antiderivada da função ( ) , 1nf x x n= ≠ − e a derivemos utilizando a regra da potência.
( )
1
1
nxF x c
n
+
= +
+
( ) ( )
1 1
' 1 0
1
n
nxF x n x
n
+ −
= + + =
+
E vejamos a antiderivada da função ( ) 1f x
x
= e a derivemos. Vimos a derivada da função:
( ) ln , 0F x x c para x= + >
( ) 1 1' 0F x
x x
= + =
Agora, se x < 0, então temos que considerar a função:
( ) ( )ln , 0F x x c para x= − + <
E utilizamos a regra da cadeia para obter sua derivada.
( ) ( ) ( )
1 1' 1 0F x
x x
= − + =
−
Assim, temos que:
( ) ( )1 lnf x F x x c
x
= = +
Exemplos
1 Determinar a antiderivada mais geral da função 4 3( ) 3 2 1.f x x x= − −
Resolução:
Para determinarmos a antiderivada desta função pensamos na regra da potência da derivação.
Se ( ) nf x x= , então temos que ( ) 1' nf x nx −= . E para determinarmos a antiderivada, 
utilizaremos a regra 
1
4 3. Para ( ) 3 - 2 - 1 temos:( )
1
n
c f x x x
xF x
n
+
+ ==
+
( )
4 1 3 1
3 2
4 1 3 1
x xF x x c
+ +
= − − +
+ +
( )
5 43 2
5 4
x xF x x c= − − +
Importante!
No momento em que começamos a escrever a antiderivada, F(x), temos que 
nos lembrar de adicionar a constante c, que revela a família de funções.
11
2 Determinar a antiderivada mais geral da função ( ) 3 23g x x x= + .
Resolução: 
Para determinarmos a antiderivada desta função, vamos primeiramente fazer algumas 
manipulações algébricas para poder pensar na regra da potência da derivação.
( )
21
3 2 323 3.g x x x x x= + = +
( )
21 11
32
3. 1 21 1
2 3
x xG x c
++
= + +
+ +
( )
53
32
3. 3 5
2 3
x xG x c= + +
( )
53
322 3. 3
3 5
x xG x c= + +
( )
33 52 3 3
3 5
x xG x c= + +
3 Determinar a antiderivada mais geral da função ( )
5 27 3 2
5
xxh x
x
− +
= .
Resolução:
Para determinarmos a antiderivada desta função, vamos primeiramente fazer algumas 
manipulações algébricas para podermos pensar na regra da potência da derivação e, neste 
caso, também, a regra do logarítmo.
( )
5 27 3 2
5
x xh x
x
− +
=
( ) 47 3 2
5 5 5
h x x x
x
= − +
( ) 47 3 2 1.
5 5 5
h x x x
x
= − +
( )
5 27 3 2. . .ln
5 5 5 2 5
x xH x x c= − + +
( )
5 27 3 2 .ln
25 10 5
x xH x x c= − + +
4 Determinar a antiderivada mais geral da função ( ) 2 5 xf x sen x e= + .
12
Unidade: Integral Indefinida
Resolução:
Para determinarmos a antiderivada desta função, vamos pensar na antiderivada da função 
seno e da função exponencial.
( )
( )
2 5
2 5
x
x
f x sen x e
F x cos x e c
= +
= − + +
5 Determinar a antiderivada da função ( ) 3 22 3 1g x x x= − + , sabendo que G(0)=1.
Resolução: 
Devemos perceber, primeiramente, que não estamos interessados em determinar a 
antiderivada mais geral da função g, pois colocamos uma condição inicial para esta antiderivada. 
Dentre as funções da família de funções que podem ser antiderivadas da função g, queremos 
apenas aquela função G que seu gráfico passa pelo ponto (0,1). Então, determinemos a 
antiderivada mais geral e, depois, verifiquemos qual gráfico passa por este ponto.
( )
( )
( )
3 2
4 3
4
3
2 3 1
2 3
4 3
2
g x x x
x xG x x c
xG x x x c
= − +
= − + +
= − + +
Como queremos que o gráfico da função antiderivada passe pelo ponto (0,1), ou seja, 
G(0)=1, devemos determinar qual o valor da constante c que satisfaz esta condição.
( )
4
300 0 0 1
2
G c= − + + =
c=1
Portanto, a antiderivada da função ( ) 3 22 3 1g x x x= − + , tal que G(0)=1, é: 
( )
4
3 1
2
xG x x x= − + +
6 Determine uma função f, sabendo que ( ) 2" 4 xf x x e= − + .
13
Resolução:
Como foi fornecida a segunda derivada da função f, necessitaremos determinar a primeira 
derivada (que é uma antiderivada da função f”), para depois determinar a função f (que é uma 
antiderivada da função f’).
( ) 2" 4 xf x x e= − +
( )
3
1' 4 3
xxf x x e c= − + +
 Uma antiderivada de f” é f’, pois a derivada de f’ é f”.
( )
2 4
1 2 4 2 3.4
= − + + +x
x xf x e c x c
( )
4
2
1 2 2 ,12
= − + + +x
xf x x e c x c
sendo c1 e c2 constantes
 Uma antiderivada de f’ é f, pois a derivada de f é f’.
7 Determinar uma função g, sabendo que 2"( ) , '(1) 1 (1) 2.g x x x g e g= − + = = −3 
2"( ) , '(1) 1 (1) 2.g x x x g e g= − + = = −
Resolução:
Para determinar a função g, conhecendo a sua segunda derivada, devemos aplicar as regras 
de antiderivada duas vezes: uma para determinar a primeira derivada, a função g’, e outra para 
determinar a função g.
( ) 2" 3g x x x= − +
( )
3 2
1' 33 2
x xg x x c= − + +
 Uma antiderivada de g” é g’, pois a derivada de g’ é g”.
Sabendo que g’(1)=1, podemos determinar o valor de c1.
( )
3 2
1
1
1
1 1' 1 3.1 1
3 2
1 1 1 1 12 2 3 111 3 2 
3 2 3 2 6 6
11
6
g c
c
c
= − + + =
− − +
= − + − = − − + = = −
= −
Portanto, temos que:
( )
3 2 11' 3
3 2 6
x xg x x= − + −
14
Unidade: Integral Indefinida
E agora, determinamos a antiderivada desta função para encontrarmos a função g.
( )
( )
4 3 2
2
4 3 2
2
113
3.4 2.3 2 6
3 11
12 6 2 6
x x xg x x c
x x xg x x c
= − + − +
= − + − +
 Uma antiderivada de g’ é g, pois a derivada de g é g’.
E como sabemos que g(1)= -2, podemos determinar o valor de c2.
( ) ( )
4 3 2
2
2
2
1 1 3.1 111 1 2
12 6 2 6
1 1 3 11 24 1 2 18 22 192
12 6 2 6 12 12
19
12
g c
c
c
= − + − + = −
− − + − +
= − − + − + = = −
= −
Portanto, determinemos a função g.
( )
( )
4 3 2
2
4 3 2
3 11
12 6 2 6
3 11 19
12 6 2 6 12
x x xg x x c
x x xg x x
= − + − +
= − + − −
15
Integral Indefi nida
É comum utilizarmos a seguinte notação para a antiderivada de uma função f:
( ) ( )f x dx F x=∫ , que significa ( ) ( )'F x f x=
E dizemos que a integral indefinida da função f(x) é 
( )f x dx∫
Importante!
O símbolo ∫ é chamado de sinal de integral, a função f(x) é chamada 
de integrando e o símbolo dx por si só não tem um significado oficial, 
mas indica a variável que está sendo utilizada para calcular a integral. E 
o processo de calcular a integral indefinida é chamado de integração.
Vejamos um exemplo. Vamos determinar a integral indefinida geral:
( )22 2x x dx− +∫ .
Devemos perceber que queremos determinar a antiderivada da função:
( ) 22 2f x x x= − + .
E dizemos que a integral indefinida da função f é:
( )
3 2
2 2
3 2
x xF x x c= − + + .
Assim, a integral indefinida de uma função é uma família de funções que são obtidas pela 
variação da constante c. E escrevemos, então, que:
( )
3 2
22 2 2 2
3 2
x xx x dx x c− + = − + +∫ .
Agora, vamos reescrever a tabela de funções e antiderivadas anteriormente apresentada, 
utilizando a notação de integral indefinida.
16
Unidade: Integral Indefinida
Integrais Indefinidas
( ) ( )cf x dx c f x dx=∫ ∫ 2 cossec x dx cotg x c= − +∫
kdx kx c= +∫ ln
x
x aa dx c
a
= +∫
1
 , 1
1
n
n xx dx c n
n
+
= + ≠ −
+∫
x xe dx e c= +∫
 cossen x dx x c= − +∫ 1 lndx x cx = +∫
 sencos x dx x c= +∫ 2 sec x dx tg x c= +∫
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +  ∫ ∫ ∫
Exemplos
1 Calcule a integral indefinia: 2(x x 2)dx− +∫
Resolução:
Para calcularmos a integral indefinida precisamos determinar a antiderivada mais geral da 
função ( ) 2 2f x x x= − + .
( )
3 2
2
3 2
x xF x x c= − + +
Portanto, 
3 2
2( 2) 2
3 2
x xx x dx x c− + = − + +∫
17
2 Calcule a integral indefinida: 3(2x 2 cos )dxxe x− +∫
Resolução:
Para calcularmos esta integral indefinida necessitamos determinar a antiderivada da função 
( ) 32x 2 cosxg x e x= − + .
( )
4
2 2 
4
xxG x e sen x c= − + +
( )
4
2 
2
xxG x e sen x c= − + +
Portanto, a integral indefinida é:
4
3(2x 2 cos )dx 2 
2
x xxe x e sen x c− + = − + +∫
3 Calcule a integral indefinida: ( )3 5 dxx x+∫
Resolução:
Calculemos diretamente esta integral indefinida.
( )
51 1151 32
3 5 32dx dx 1 51 1
2 3
x xx x x x c
++
 
+ = + = + + 
  + +
∫ ∫ 
Perceber que, enquanto não 
determinarmos a antiderivada, 
continuamos copiando o sinal 
de integral e o símbolo dx.
( )
83
32
3 5 dx 3 8
2 3
x xx x c+ = + +∫
( )
83
32
3 5 2 3dx
3 8
x xx x c+ = + +∫
( )
33 8
3 5 2 3dx
3 8
x xx x c+ = + +∫
18
Unidade: Integral Indefinida
4 Calcule a integral indefinida: 2
1 dx
x∫
Resolução:
Para calcularmos esta integral indefinida, façamos uma manipulação algébrica.
2 1 1
2
2
2
1
2 1 1
1 1
x xdx x dx c c
x
dx c
x x
− + −
−= = + = +
− + −
= − +
∫ ∫
∫
5 Calcule a integral indefinida: ( )2sec x sen x dx+∫
Resolução:
Para calcular esta integral indefinida basta utilizar as regras de integração apresentadas 
anteriormente.
( )2 cossec x sen x dx tg x x c+ = − +∫
6 Calcule a integral indefinida: 
4 33 2 5
2
x x x dx
x
− + −
∫
Resolução:
Para calcular esta integral indefinida será necessário fazer algumas manipulações algébricas.
( ) ( )
4 3 3 2
3 1 2 1
4 3
3 2 5 3 5 11 .
2 2 2 2
3 5 .ln
2 3 1 2. 2 1 2
3 5 .ln
8 6 2
x x x x xdx dx
x x
x x x x c
x x x x c
+ +
 − + −
= − + − = 
 
= − + − + =
+ +
= − + − +
∫ ∫
Portanto, 
4 3 4 33 2 5 3 5 .ln
2 8 6 2
x x x x xdx x x c
x
− + −
= − + − +∫
7 Sabendo que , '"( ) cos , (0) 1, '(0) 1 "(0) 0f x x f f e f= = = = determine f.
Resolução:
Para determinarmos a função f, partindo de f’’’, necessitamos calcular a integral indefinida 
três vezes: 
19
• A primeira integral indefinida calculada a partir de f’’’, será a segunda derivada f’’. 
• A segunda integral indefinida calculada a partir de f’’, será a primeira derivada f’. 
• E a terceira integral indefinida calculada a partir de f’, será a função f.
Calculemos a segunda derivada da função f:
( )cos ''xdx sen x c f x= + =∫
Como sabemos que f”(0)=0, então:
1
1
1
"( ) 0 0
0
"( )
f x sen c
c
f x senx c
= + =
=
= +
 Lembrar que sen 0=0
Portanto, temos que:
( )'' f x sen x=
Calculemos a primeira derivada de f por meio da integral indefinida.
2cos '( )senxdx x c f x= − + =∫
Como sabemosque f’(0)=1, então:
2
2
2
'(0) cos0 0
2
'( ) cos
f c
c
f x x c
= + =
=
= +
 Lembrar que cos 0=1
Portanto, temos que:
( )' 2f x cos x= − + .
E, para determinar a função f, calculamos a integral indefinida de f’.
3( cos 2) 2 '( )x dx senx x c f x− + = − + + =∫
Como sabemos que f(0)=1, então:
3
3
3
(0) 0 2.0 1
1
( )
f sen c
c
f x senx c
= − + + =
=
= − +
Portanto, temos que:
( ) 2 1f x sen x x= − + +
20
Unidade: Integral Indefinida
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Antiderivada, consulte o site e as referências 
a seguir. 
Livros:
ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.
THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
Sites:
http://www.somatematica.com.br/superior.php
http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php
https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus
http://www.omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/integraltodos/integraltodos.html
21
Referências
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002.
STEWART, J. Cálculo, volume I. 4a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R.P.; EDWARDS, B.H. Cálculo, volume 1. São Paulo: McGraw-
Hill, 2006.
Referências Complementares:
FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: Funções, limite, derivada, integração. 
5a. Ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica, vol. 2. São Paulo: McGraw-Hill, 1999.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. Ed. São Paulo: Makron Books 
do Brasil, 1995.
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Unidade: Integral Indefinida
Anotações
Cálculo Integral
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique 
Revisão Textual:
Profa. Esp. Natalia Conti
Integral Definida
5
• Área
• Integral Definida
• Teorema Fundamental do Cálculo
 · Nesta unidade veremos o conceito de integral definida, sua definição, propriedades 
e interpretação geométrica, bem como o Teorema Fundamental do Cálculo.
 · Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de calcular a medida da 
área de uma região do plano cartesiano.
Realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, além 
de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. 
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
para realização das mesmas.
Integral Definida
6
Unidade: Integral Definida
Contextualização
Embora utilizemos a integral definida muitas vezes para determinar a área de uma região do 
plano cartesiano, seu uso pode ser feito em diferentes áreas. Vejamos um exemplo.
Temos que o crescimento populacional ou o crescimento demográfico de uma população é 
o aumento do número de habitantes. Já a taxa de crescimento de uma população é a variação 
do número de indivíduos em um determinado período de tempo.
O censo demográfico é um estudo estatístico referente a uma população que possibilita 
o recolhimento de várias informações, entre elas a contagem da população. No Brasil, o 
responsável pelos censos demográficos é o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística).
Vejamos alguns dados fornecidos pelo IBGE sobre a evolução da taxa de crescimento da 
população dos países da América do Sul. Esta tabela fornece taxas de seis períodos de tempo: 
1950-1960, 1960-1970, 1970-1980, 1980-1990, 1990-2000 e 2000-2010. Além disso, 
podemos ver que as taxas da América Latina foram diminuindo ao longo do tempo. 
Evolução taxa de crescimento da população, segundo os países da América do Sul - 1950/2010
Fonte: IBGE, 2010
Imaginemos que tenhamos a taxa de crescimento de uma determinada população estimada 
para um período de tempo. Por exemplo, suponhamos que foi realizado um estudo que apontou 
que a população de certa cidade crescerá, daqui a x anos, a uma taxa de 58 + 115x pessoas por 
ano. E queremos determinar qual será seu aumento populacional nos próximos 20 anos.
Para resolver este problema, precisamos determinar a função que fornece a população da 
cidade em x anos. Como foi fornecida a taxa de crescimento, então temos P’(x) = 58 + 115x.
Precisamos encontrar uma antiderivada para esta função, que pode ser obtida pelas regras 
de integração.
( )
2115 58 
2
= +
xP x x
Desta forma, temos que o aumento populacional nos próximos 20 anos será de:
( ) ( )
2115 20
20 58.20 1160 23000 24.160
2
= + = + =P pessoas
Este é um dos diferentes exemplos que utilizam do conceito de integral para ser resolvido.
7
Área
Queremos resolver o problema de determinar a medida da área de uma região que está 
limitada por uma curva y = f(x), considerando x pertencente ao intervalo [a,b], e o eixo x.
Primeiramente, vejamos um caso simples. Vamos imaginar que temos a reta dada por 
y = 2. E queremos determinar a medida da área da região limitada pela reta horizontal y = 2, 
o eixo x, as retas verticais x = 1 e x = 4.
2
-0,8
-1,6
0,8
1,6
2,4
3,2
3 4 5 6-2-3 -1 0 1
x
y
Área
reta y = 2
Como a região que queremos determinar a medida da área é um retângulo, nós sabemos 
como fazer. Basta determinar a medida da base do retângulo (a base está entre as retas x = 1 e 
x = 4, portanto, a medida é 3 unidades de comprimento) e a medida da altura do retângulo (a 
altura está entre o eixo x e a reta y = 2, portanto, a medida é 2 unidades de comprimento). 
Desta forma, a medida da área do retângulo é:
A = 2 x 3 = 6 unidades de área
8
Unidade: Integral Definida
Vejamos, agora, com a reta y = x. Queremos determinar a medida da área da região 
limitada pela reta y = x, as retas verticais x = 0 e x = 3, e o eixo x.
Como a região que queremos determinar a medida da área é um triângulo, nós sabemos 
como. Basta determinar a medida da base do triângulo (a base está entre as retas x = 0 e x 
= 3, portanto, a medida é 3 unidades de comprimento) e a medida da altura do triângulo (a 
altura está entre o eixo x e a reta y = 3; lembrar que y = x, portanto, a medida é 3 unidades 
de comprimento). Dessa forma, a medida da área do triângulo é:
A = 3 3
2
x = 4,5 unidades de área.
E quando a região abaixo do gráfico da função não for uma figura da qual sabemos como 
calcular a medida da área?
Vejamos outro exemplo, seja y = x2 e vamos estimar a medida da área da região que está 
abaixo do gráfico da função y = f(x) = x2, o eixo x, e as retas verticais x = 1 e x = 2.
Para estimarmos esta medida de área, vamos cobrir a região por retângulos de medida da 
base igual a 0,5 unidade de comprimento, ou seja, teremos um retângulo em cada um dos 
intervalos [0;0,5], [0,5;1], [1;1,5] e [1,5;2], e a altura destes retângulos será f(0,5), f(1), f(1,5) 
e f(2), respectivamente.
( ) ( ) ( ) ( )A 0,5 0,5 0,5 1 0,5 1,5 0,5 2≅ × + × + × + ×f f f f
( ) ( ) ( ) ( )A 0,5 0,5 1 1,5 2 ≅ × + + + f f f f
( )
4
1
A 0,5
=
≅ ×∑ i
i
f x
2
-0,8
0,8
1,6
2,4
3,2
4
3 4 5 6-2-3 -1 0 1
x
y
reta y = x
9
sendo x1 = 0,5; x2 = 1, x3 = 1,5 e x4 = 2.
E se considerarmos ∆x = 0,5, podemos escrever que:
( )
4
1
A .
=
≅ ∆∑ i
i
f x x
Vejamos esses retângulos na figura a seguir.
2
-0,8
0,8
1,6
2,4
3,2
4
3 4 5 6-2-3 -1 0 1
x
y
y = x2
Podemos perceber que a soma das medidas das áreas dos retângulos é maior que a medida 
da área da região que procuramos. Neste caso, estes retângulos cobrem uma área maior que 
a região que queremos determinar a área. Será que se escolhêssemos retângulos menores 
poderíamos cobrir a região?
Vamos escolher como medida da altura dos retângulos o valor da função no extremo inferior 
dos intervalos. Para estimarmos esta medida de área, vamos cobrir a região por retângulos de 
medida da base igual a 0,5 unidade de comprimento, ou seja, teremos um retângulo em cada 
um dos intervalos [0;0,5], [0,5;1], [1;1,5] e [1,5;2], e a altura destes retângulos seráf(0), f(0,5), 
f(1) e f(1,5), respectivamente. 
( ) ( ) ( ) ( )A 0,5 0 0,5 0,5 0,5 1 0,5 1,5≅ × + × + × + ×f f f f
( ) ( ) ( ) ( )A 0,5 0 0,5 1 1,5 ≅ × + + + f f f f
( ) ( ) ( ) ( )A 0,5 0 0,5 1 1,5 ≅ × + + + f f f f
( )
4
1
A 0,5
=
≅ ×∑ i
i
f x ,
10
Unidade: Integral Definida
sendo x1 = 0; x2 = 0,5, x3 = 1 e x4 = 1,5.
E se considerarmos ∆x = 0,5, podemos escrever que:
( )
4
1
A .
=
≅ ∆∑ i
i
f x x
Vejamos esses retângulos na figura a seguir.
Neste caso, teremos que a soma das medidas das áreas dos retângulos é menor que a 
medida da área da região que procuramos.
Se pensássemos em diminuir a medida da base destes retângulos, de modo a tender a zero, 
ou seja, dividir o intervalo [0,2] em subintervalos de medida de comprimento tendendo a zero, 
podemos imaginar que a soma das medidas das áreas destes retângulos tenderá à medida da 
área da região que procuramos.
2
-0,8
0,8
1,6
2,4
3,2
4
3 4 5 6-2-3 -1 0 1
x
y
11 22
y = x2
11
Consideramos que o intervalo [0,2] seja dividido em n intervalos de mesma medida ∆x, nos 
pontos 0 = x0, x1, x2, ... , xn-2, xn-1, xn = 2. Desta forma, o intervalo [0,2] será dividido nos intervalos:
[0, x1] , [x1, x2] , [x2, x3] , [x3, x4] , ... , [xn-2, xn-1] , [xn-1, 2].
Assim, podemos escrever a soma das medidas das áreas dos retângulos, que também é 
conhecida como soma de Riemann, em termos de limite:
Tender a zero a 
medida da base 
dos retângulos

Medida da 
altura dos 
retângulos

( )
1
 .limA
=
→∞
= ∆∑
n
n
i
if x x

Soma das 
medidas das 
áreas dos 
retângulos

Medida da base 
dos retângulos
2
-0,8
0,8
1,6
2,4
3,2
4
3 4 5 6-2-3 -1 0 1
x
y
y = x2
12
Unidade: Integral Definida
Integral Defi nida
Definimos como Integral Definida este limite quando escolhemos pontos quaisquer xi* no 
intervalo, ou seja, xi não precisa ser um dos extremos do subintervalo.
Definição
Seja f uma função contínua definida em um intervalo fechado [a,b], que dividimos 
em n subintervalos de comprimentos iguais a 
−
∆ =
b ax
n
. Desta forma, temos 
x0 = a, x1, x2, x3, ... , xn = b como os extremos destes intervalos e escolhemos 
pontos amostrais x1*, x2*, x3*, ... , xn* dentro de cada um destes subintervalos. 
Então, a integral definida de f é:
( ) ( )*
1
lim .
→∞
=
= ∆∑∫
b n
in
ia
f x dx f x x
Temos nesta definição que os valores a e b são os limites de integração, sendo a o limite 
inferior e b o limite superior. E o processo de calcular uma integral definida é chamado de 
integração. 
Vale salientar que a integral definida é um número e a integral indefinida é um conjunto de 
funções. Como estamos trabalhando com funções contínuas, é possível provar que o limite 
sempre existe e independe dos pontos amostrais.
Propriedades
1 ( ) ( )= −∫ ∫
a
b
b
a
f x dx f x dx

Perceber que os limites de 
integração estão trocados
2 ( ) ( ) 0= =∫ ∫
a
a
b
a
f x dx f x dx

Perceber que os limites de 
integração são idênticos
3 ( ) .= −∫
b
a
dx c bc a , onde c é qualquer constante.

Perceber que a função é constante y =c, 
portanto a área é de um retângulo
13
4 ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
5 ( ) ( ) ( ) ( ) − = − ∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
6 ( ) ( ). .=∫ ∫
b b
a a
c f x dx c f x dx , onde c é qualquer constante.
7 ( ) ( ) ( )+ =∫ ∫ ∫
c b b
a c a
f x dx f x dx f x dx
8
Se f(x) ≥ 0, para a ≤ x ≤ b, então ( ) 0≥∫
b
a
f x dx
9
Se f(x) ≥ g(x), para a ≤ x ≤ b, então ( ) ( )≥∫ ∫
b b
a a
f x dx g x dx
Vejamos a demonstração da propriedade 4, da integral definida da soma de duas funções 
contínuas. Iremos utilizar a definição de integral definida.
( ) ( ) ( ) ( )* *
1
lim .
→∞
=
  + = + ∆ =   ∑∫
b n
i in
ia
f x g x dx f x g x x
( ) ( )* *
1 1
lim[ . . ] 
→∞
= =
= ∆ + ∆ =∑ ∑
n n
i in
i i
f x x g x x
( ) ( )* *
1 1
lim . lim . 
→∞ →∞
= =
= ∆ + ∆ =∑ ∑
n n
i in n
i i
f x x g x x
( ) ( )= +∫ ∫
b b
a a
f x dx g x dx
A propriedade 7 pode ter uma interpretação geométrica considerando f(x) ≥ 0 e a < c < b.
Podemos ver que a medida da área sob o gráfico de y = f(x) de a até c somada à medida da 
área sob o gráfico de y = f(x) de c até b é a medida da área sob o gráfico de y = f(x) de a até b.
a c b
x
y
f(x)
14
Unidade: Integral Definida
E vejamos uma interpretação gráfica da propriedade 8. Se f(x) ≥ 0, para a ≤ x ≤ b, então 
temos que o gráfico da função f no intervalo [a,b] está acima do eixo x, logo temos uma área 
positiva, ou seja, A = ( ) 0≥∫
b
a
f x dx
Podemos também apresentar uma interpretação geométrica da propriedade 9. 
Consideremos f(x) ≥ g(x) ≥ 0 no intervalo [a,b].
A medida da área Af é dada por ( )∫
b
a
f x dx , ou pela região entre os pontos aQRb. E a medida 
da área Ag é dada por ( )∫
b
a
g x dx , ou pela região entre os pontos aPSb. 
Então, podemos perceber que a medida da área Af ≥ Ag, ou seja, ( ) ( ) 0≥ ≥∫ ∫
b b
a a
f x dx g x dx .
y
xa b
f(x)
( )∫
b
a
f x dxA =
y
xa b
Q R
S
P
f(x)
g(x)
15
Exemplos
1 O gráfico de f está mostrado a seguir. Calcule cada uma das integrais interpretando-as em termos das áreas.
a) ( )
0
1−
∫ f x dx b) ( )
2
0
∫ f x dx c) ( )
5
2
∫ f x dx d) ( )
5
1−
∫ f x dx
Resolução:
a) Para calcular esta integral devemos determinar a medida da área de um trapézio.
( )
0
1−
∫ f x dx = ( )
2 1 .1
1,5
2
+
=
b) Para calcular esta integral devemos determinar a medida da área de um trapézio.
( )
2
0
∫ f x dx = ( )4 2 .2 62
+
=
c) Para calcular esta integral devemos determinar a medida da área de um retângulo.
( )
5
2
∫ f x dx = 3.4 = 12
d) Para calcular esta integral devemos somar todos os valores das integrais definidas 
calculadas nos itens a), b) e c).
( )
5
1−
∫ f x dx = ( )
0
1−
∫ f x dx + ( )
2
0
∫ f x dx + ( )
5
2
∫ f x dx = 1,5 + 6 + 12 = 19,5
4
1
2
3
4
5 6 7 80-1 1 2 3
x
y
16
Unidade: Integral Definida
2 Calcular a integral definida interpretando-a em termos de áreas.
( )
5
1
2+∫ x dx
Resolução:
Para calcular esta integral, esbocemos o gráfico da função g(x) = 2 + x.
Podemos perceber que, para calcular esta integral, devemos calcular a área de um trapézio.
( ) ( ) ( ) ( )
5
1
5 1 . 5 1
2
2
 + − + =∫
g g
x dx
( ) [ ]
5
1
7 3 .4
2 20
2
+
+ = =∫ x dx
2,5
2,5
7,5
-2,5
5
0-2,5-5 7,5 10 12,5 155
x
y
17
3 Se ( )
9
1
8
−
=∫h x dx e ( )
9
4
3=∫h x dx , calcule ( )
4
1−
∫h x dx .
Resolução:
Para resolver esta integral, faremos uso da propriedade 7.
( ) ( ) ( )+ =∫ ∫ ∫
c b b
a c a
h x dx h x dx h x dx
( ) ( ) ( )
4 9 9
1 4 1− −
+ =∫ ∫ ∫h x dx h x dx h x dx
( )
4
1
3 8
−
+ =∫h x dx
( )
4
1
8 3 5
−
= − =∫h x dx
18
Unidade: Integral Definida
Teorema Fundamental do Cálculo
Vimos que para calcular a integral definida necessitamos conhecer uma fórmula para o 
cálculo da medida da área ou determinar um limite – que demonstra o desafio que é determinar 
a medida de uma área sem este teorema. Mas o Teorema Fundamental do Cálculo fornece 
elementos que facilitam o cálculo de integrais definidas utilizando integrais indefinidas. 
Este teorema estabelece que a diferenciação e a integração são processos inversos. E sua 
demonstração pode ser vista em qualquer livro de Cálculo Diferencial e Integral.
Teorema Fundamental do Cálculo: Suponha que temos uma função f contínua no 
intervalo fechado [a,b]. 
1) Se g(x) = ( )∫
x
a
f t dt , então g’(x) = f(x).
2) ( ) ( ) ( )= −∫
b
a
f x dx F b F a , quando F for qualquer antiderivada de f, ou seja, F’= f.
Se g(x) é a medida da área da região e g’(x) = f(x), então temos que g é uma antiderivada de 
f. Se F também é uma antiderivada de f, temos que F e g diferem por uma constante, ou seja, 
F(x) = g(x) + c, para x pertencente ao intervalo aberto ]a,b[.
Podemos, então, pensar que:
F(b) – F(a) = [g(b) + c] – [g(a) + c] = g(b) – g(a) = ( ) ( )−∫ ∫
b a
a a
f t dt f t dt

Como os limites de integração são idênticos, 
o valor desta integral de� nida é zero.
Portanto, temos que:
( ) ( ) ( ) − = ∫b
a
F b F a f t dt
Que pode ser escrito também como: 
( ) ( ) ( )= −∫
b
a
f x dx F b F a
Podemos perceber também da parte 1) que:
( ) ( )=∫
x
a
d f t dt f x
dx
a bx
g(x)
19
Exemplos
1 Determinar a derivada da função:
a) ( ) 3
1
g x 2 4= − +∫
x
t t dt
b) ( ) ( )5
1
h y 3 . 
−
= ∫
y
t sent dt
c) ( ) 3
1
1F u 
2 5
−
=
+∫
u t dt
t
Resolução:
a) A parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo afirma que: 
Se g(x) = ( )∫
x
a
f t dt , então g’(x) = f(x).
Como queremos determinar a derivada da função g, então temos que:
g’(x) = 3 2 4− +x x
b) Utilizando a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo temos que:
h(y) = 3y5.sen y
c) Utilizando a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo temos que:
F(u) = 3
1
2 5
−
+
u
u
20
Unidade: Integral Definida
2 Calcular a integral definida:
a)
4
1
∫ tdt
b) ( ) ( )
/2
0
 0 cos cos 0 0 1 1
2 2
π π π = − = − + − − + = + =  ∫ sen xdx F F c c
c) ( )
3
3
1
2 3 5− +∫ x x dx
Resolução:
Para calcular estas integrais definidas iremos fazer uso da parte 2 do Teorema Fundamental 
do Cálculo.
a) Para calcular esta integral necessitamos de uma antiderivada da função f(t) = 
1
2=t t , que 
é F(t) = 
1 3 31
2 2 2
3 2 21 3 3 31
2 2
+
+ = + = + = +
+
t t tc c c t c . Portanto, temos que:
4
1
=∫ tdt F(4) – F(1) = 3 3 3
2 2 2 24 1 .2
3 3 3 3
 + − + = −  
c c
4 4
1
2 2 16 2 14
3 3 3
− −
= = =∫ tdt
b) Para calcular esta integral necessitamos de uma antiderivada da função f(x)=sen x, que 
é F(x)= -cos x+c. Portanto, temos que:
( ) ( )
/2
0
 0 cos cos 0 0 1 1
2 2
π π π = − = − + − − + = + =  ∫ sen xdx F F c c
c) Para calcular esta integral necessitamos de uma antiderivada da função f(x)= 2x3 - 3x + 5,
 que é ( )
4 2
2 3 5
4 2
= − + +
x xF x x c . Portanto, temos que:
( ) ( ) ( )
3
3
1
2 3 5 3 1− + = − =∫ x x dx F F
4 2 4 23 3 1 12 3 5.3 2 3 5.1
4 2 4 2
 
= − + + − − + + =  
c c
81 1 9 12 3 15 5 40 12 10 38.
4 2
− −
= − + − = − + =
21
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Antiderivada, consulte o site e as referências 
a seguir. 
Livros:
ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.
THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
Sites:
http://www.somatematica.com.br/superior.php
http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php
https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus
http://www.omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/integraltodos/integraltodos.html
22
Unidade: Integral Definida
Referências
Referências Básicas:
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002.
STEWART, J. Cálculo, volume I. 4a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R.P.; EDWARDS, B.H. Cálculo, volume 1. São Paulo: McGraw-
Hill, 2006.
Referências Complementares:
FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: Funções, limite, derivada, integração. 
5a. Ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. Ed. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
23
Anotações
Cálculo Integral
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique 
Revisão Textual:
Profa. Esp. Natalia Conti
Métodos de Integração I
5
• Cálculos de Integrais e Área
• Método da Integração – Regra da Substituição
 · Estamos estudando sobre Cálculo Integral, nesta unidade veremos a 
relação entre cálculo de integrais e de área e o método de integração por 
substituição.
 · Ao término deste estudo, desejamos que você seja capaz de calcular a 
medida da área de uma região do plano cartesiano.
Estamos estudando sobre Cálculo Integral. A proposta desta unidade é o estudo de métodos 
para calcular integrais. Com relação aos conteúdos, dividimos em:
• Cálculo de integrais e Área
• Método da Integração – Regra da Substituição
Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de calcular a integral definida e a 
indefinida de uma função real por meio da regra da substituição.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos 
resolvidos, além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do 
conteúdo. Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e 
ao prazo para realização das mesmas. 
Bom estudo.
Métodos de Integração I
6
Unidade: Métodos de Integração I
Contextualização
Consideremos o gráfico da função f(x) = x2. 
Dizemos que esta função é par. Uma função é dita par quando, para todo elemento x 
pertencente ao domínio da função, temos: 
f(x) = f(-x), então x e o seu oposto -x possuem a mesma imagem.
Ao observarmos o gráfico desta função é possível notar que o eixo y é um eixo de simetria 
deste gráfico, ou seja, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, 
isto é, o lado direito do gráfico se espelha no lado esquerdo e vice-versa.
Imaginemos que queremos determinar a integral definida de uma função contínua em um 
intervalo simétrico, por exemplo [-a,a], e que ela seja uma função par: 
( )
a
a
f x dx
−
∫
Como podemos calcular esta integral definida?
Ao observar o gráfico de uma função par podemos perceber que a medida da área da 
região à esquerda do eixo y é igual à medida da área da região à direita. 
Desta forma, podemos simplificar o cálculo da integral.
Se a função é par, então
( ) ( )
0
2
a a
a
f x dx f x dx
−
=∫ ∫
2,5
2,5
-2,5
5
0-2,5-5 7,55
x
y
7
E observemos também o gráfico da função f(x) = x3.
Dizemos que esta função é ímpar. Uma função é dita ímpar quando, para todo elemento x 
pertencente ao domínio da função, temos:
f(x) = -f(-x), então x e o seu oposto -x possuem imagens opostas.
Ao observarmos o gráfico desta função é possível notar que a origem do plano cartesiano, 
o ponto (0,0), é um ponto de simetria deste gráfico, ou seja, o gráfico de uma função ímpar é 
simétrico em relação à origem.
Imaginemos que queremos determinar a integral definida de uma função contínua em um 
intervalo simétrico, por exemplo [-a,a], e que ela seja uma função ímpar: 
( )
a
a
f x dx
−
∫
Como podemos calcular esta integral definida?
Ao observar o gráfico de uma função ímpar podemos perceber que a medida da área 
da região à esquerda do eixo y é igual à medida da área da região à direita. Entretanto, as 
integrais nestes dois intervalos são opostas e sua soma resulta em zero.
Desta forma, podemos simplificar o cálculo da integral.
Se a função é ímpar, então
( ) 0
a
a
f x dx
−
=∫
2,5
2,5
-2,5
0-2,5-5 7,55
x
y
8
Unidade: Métodos de Integração I
Cálculos de Integrais e Área
Vejamos alguns exemplos que relacionam o conceito de integral definida e o de área de 
uma região.
1 Consideremos o gráfico da seguinte função f(x) = -3 + x .
Vamos determinar o valor da integral ( )
5
0
3 .− +∫ x dx
Sabemos que se temos a função ( ) 3= − +f x x , então a antiderivada é ( )
2
3
2
= − + +
xF x x c . 
Logo, o valor da integral é:
( ) ( ) ( )
5 2 2
0
5 03 5 0 3.5 3.0
2 2
   
− + = − = − + + − − + +      ∫ x dx F F c c
( )
5
0
3 15 12,5 2,5− + = − + = −∫ x dx
2,5
2,5
-2,5
-5
-7,5
5
0-2,5-5 7,5 10 12,5 155
x
y
9
Tínhamos visto uma relação entre integral definida e área, mas este exemplo apresenta um 
valor negativo para a integral definida. Qual a diferença, então, entre estes dois conceitos? 
Quando estudamos integral definida, vimos exemplos de funções que eram positivas nos 
intervalos de integração, ou seja, o gráfico das funções estavam acima do eixo x, eixo das 
abscissas, nos intervalos de integração.
E esta situação não temos neste exemplo, o gráfico da função f está uma parte abaixo do 
eixo x e outra parte acima do eixo x. Podemos reescrever a integralcomo a soma de duas 
integrais.
( ) ( ) ( )
5 3 5
0 0 3
3 3 3− + = − + + − +∫ ∫ ∫x dx x dx x dx
Vamos primeiramente calcular a integral da função no intervalo que possui o gráfico abaixo 
do eixo x e, depois, calcular a integral da função no intervalo que possui o gráfico acima do 
eixo x.
( ) ( ) ( )
3 2 2
0
3 03 3 0 3.3 3.0
2 2
   
− + = − = − + + − − + +      ∫ x dx F F c c
( )
3
0
3 9 4,5 4,5− + = − + = −∫ x dx
Podemos perceber que o valor é negativo da integral definida da função no intervalo que 
possui o gráfico abaixo do eixo x. 
2,5
2,5
-2,5
-5
-7,5
5
0-2,5-5 7,5 10 12,5 155
x
y
2,52,52,5
A1
10
Unidade: Métodos de Integração I
Por outro lado, é possível calcular a área desta região por meio da fórmula da área de um 
triângulo. 
A1 =
3 3 4,5
2
×
=
Verificamos que o valor absoluto da integral definida é o mesmo da medida da área da 
região que está abaixo do eixo x, no intervalo [0,3]. Assim, podemos perceber que o valor 
em módulo da integral definida de uma função é a medida da área da região delimitada pelo 
gráfico da função em determinado intervalo [a,b] e o eixo x, se o gráfico da função estiver 
abaixo do eixo x, ou seja, que a função seja negativa no intervalo de integração.
Vejamos, agora, a integral da função no intervalo que possui o gráfico acima do eixo x.
( ) ( ) ( )
5 2 2
3
5 33 5 3 3.5 3.3
2 2
   
− + = − = − + + − − + +      ∫ x dx F F c c
( )
5
3
3 15 12,5 9 4,5 2− + = − + + − =∫ x dx
Podemos perceber que o valor é positivo da integral definida da função no intervalo que 
possui o gráfico acima do eixo x.
2,5
2,5
-2,5
-5
-7,5
5
0-2,5-5 7,5 10 12,5 155
x
y
A2
11
Por outro lado, é possível calcular a área desta região por meio da fórmula da área de um 
triângulo.
A2 =
2 2 2
2
×
=
Verificamos que o valor da integral definida é o mesmo da medida da área da região que 
está acima do eixo x, no intervalo [3,5]. Assim, podemos perceber que o valor da integral 
definida de uma função é a medida da área da região delimitada pelo gráfico da função em 
determinado intervalo [a,b] e o eixo x, se o gráfico da função estiver acima do eixo x, ou seja, 
que a função seja positiva no intervalo de integração.
Voltemos ao cálculo da integral definida da função no intervalo [0,5].
( ) ( ) ( )
5 3 5
0 0 3
3 3 3− + = − + + − +∫ ∫ ∫x dx x dx x dx
( )
5
1 2
0
3 4,5 2 2,5− + = − + = − + = −∫ x dx A A
Portanto, o valor da integral definida é:
( )
5
0
3 2,5− + = −∫ x dx .
E este é o valor encontrado para a integral definida no intervalo dado, utilizando o Teorema 
Fundamental do Cálculo.
12
Unidade: Métodos de Integração I
2 Vejamos outro exemplo. Seja o gráfico da seguinte função g(x) = x3 - x2 -9x + 9 .
Vamos determinar o valor da integral ( )
4
3 2
2
9x 9 .
−
− − +∫ x x dx
Sabemos que se temos a função g(x) = x3 - x2 -9x + 9, então a antiderivada é 
( )
4 3 29 9
4 3 2
= − − + +
x x xG x x c . Logo, o valor da integral é:
( ) ( ) ( )
4
3 2
2
9x 9 4 2
−
− − + = − − =∫ x x dx G G
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 24 3 2 2 2 9. 24 4 9.4 9.4 9. 2
4 3 2 4 3 2
 − − − 
= − − + + − − − + − + =     
c c
64 864 72 36 4 18 18 60 24 36
3 3
   = − − + + − + − − + = − =      
c c
Portanto, vamos guardar que:
( )
4
3 2
2
9x 9 36
−
− − + =∫ x x dx .
Também não temos neste exemplo todo o gráfico da função acima do eixo x no intervalo 
de integração [-2,4].
O gráfico da função g está uma parte abaixo do eixo x e outra parte acima do eixo x. Podemos 
reescrever a integral como a soma de três integrais, considerando os intervalos que possuem o 
gráfico da função acima do eixo x e o intervalo que possui o gráfico abaixo do eixo x.
2,50
8
-8
16
-16
24
32
-2,5-5 5
x
y
88
2,52,52,5
x = -2 x = 1 x = 3 x = 4
13
( ) ( )
4 1
3 2 3 2
2 2
9x 9 9x 9
− −
− − + = − − + +∫ ∫x x dx x x dx ( ) ( )
3 4
3 2 3 2
1 3
9x 9 9x 9+ − − + + − − +∫ ∫x x dx x x dx
Vamos calcular cada uma dessas integrais da função. Vejamos a integral definida da função 
no intervalo [-2,1].
( ) ( ) ( )
1
3 2
2
9x 9 1 2
−
− − + = − − =∫ x x dx G G
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 24 3 2 2 2 9. 21 1 9.1 9.1 9. 2
4 3 2 4 3 2
 − − − 
= − − + + − − − + − + =     
c c
1 1 9 8 1359 4 18 18
4 3 2 3 4
   = − − + + − + − − + =      
c c
Vejamos agora a integral definida da função no intervalo [1,3].
( ) ( ) ( )
3
3 2
1
9x 9 3 1− − + = − =∫ x x dx G G
4 3 2 4 3 23 3 9.3 1 1 9.19.3 9.1
4 3 2 4 3 2
   
= − − + + − − − + + =      
c c
81 81 1 1 9 209 27 9
4 2 4 3 2 3
   = − − + + − − − + + = −      
c c
E a integral definida da função no intervalo [3,4].
( ) ( ) ( )
4
3 2
3
9x 9 4 3− − + = − =∫ x x dx G G
4 3 2 4 3 24 4 9.4 3 3 9.39.4 9.3
4 3 2 4 3 2
   
= − − + + − − − + + =      
c c
64 81 81 10764 72 36 9 27
3 4 2 12
   = − − + + − − − + + =      
c c .
Portanto, para calcular a integral definida da função no intervalo [-2,4], basta somar os 
resultados das três integrais.
( )
4
3 2
2
135 20 1079x 9 36
4 3 12−
− − + = − + =∫ x x dx .
Pudemos verificar que obtivemos o mesmo resultado quando utilizamos o Teorema 
Fundamental do Cálculo e quando separamos o cálculo da integral em outras integrais, 
definidas em três subintervalos. Logo, 
( )
4
3 2
2
9x 9 36
−
− − + =∫ x x dx .
14
Unidade: Métodos de Integração I
Método da Integração – Regra da Substituição
A utilização de antiderivadas para calcular integrais não resolve muitos dos problemas que 
surgem, por isso existem alguns outros métodos que resolvem alguns destes problemas. Nesta 
unidade estudaremos a regra da substituição. Esta regra consiste em realizar uma mudança de 
variável de maneira a obter uma integral que sabemos calcular e, depois de calculada, fazer a 
mudança de variável inversa. 
Enunciemos a regra da substituição.
Regra da Substituição
Se u = g(x) for uma função diferenciável, cuja variação é um intervalo 
]a,b[ e f é uma função contínua neste mesmo intervalo, então temos:
( )( ) ( ) ( ). ' =∫ ∫f g x g x dx f u du .
Se temos F’ = f, ou seja, F é uma antiderivada de f, então podemos escrever que:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ). ' ' . ' = = +∫ ∫f g x g x dx F g x g x dx F g x c .
Pois sabemos que a derivada da função composta F(g(x)) é F’(g(x)).g’(x), pela regra da cadeia.
Se fizermos a seguinte mudança de variável, ou melhor, a substituição u = g(x), então temos que:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )' . ' '= + = + =∫ ∫F g x g x dx F g x c F u c F u du .
E considerando F’ = f, temos:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ). ' ' . ' = = + = +∫ ∫f g x g x dx F g x g x dx F g x c F u c .
E como temos:
( ) ( ) ( ) '+ = =∫ ∫F u c F u du f u du .
Portanto, temos que:
du = g’(x)dx

( )( ) ( ) ( ). ' =∫ ∫f g x g x dx f u du .

u = g(x)
∫ ∫(∫ ∫( )∫ ∫)∫ ∫f g x g x dx f u du∫ ∫(∫ ∫(f g x g x dx f u du(∫ ∫( )∫ ∫)f g x g x dx f u du)∫ ∫). ' ∫ ∫. ' f g x g x dx f u du. ' ∫ ∫. ' (. ' (∫ ∫(. ' (f g x g x dx f u du(. ' (∫ ∫(. ' ( ). ' )∫ ∫). ' )f g x g x dx f u du). ' )∫ ∫). ' )∫ ∫(∫ ∫( )∫ ∫))∫ ∫)∫ ∫f g x g x dx f u du∫ ∫(∫ ∫(f g x g x dx f u du(∫ ∫( )∫ ∫)f g x g x dx f u du)∫ ∫))∫ ∫)f g x g x dx f u du)∫ ∫)
15
Vejamos alguns exemplos
1 Seja a função ( ) cos= =
sen xf x tg x
x
e determinemos:
 
cos
=∫ ∫
sen xtg x dx dx
x
.
Já vimos como determinar a derivada da função tangente, mas sua integral indefinida ainda 
não tínhamos estudado. Para isso, vamos fazer a seguinte mudança de variável.
Consideremos,
u = cos x.
E determinemos os diferenciais,
1du = -sen x dx.
Vamos substituir a variável u na expressão da integral indefinida que queremos determinar.
Substituir por du 

 1 1 . 
cos cos
= = = −∫ ∫ ∫ ∫
sen xtg x dx dx sen x dx du
x x u .

Substituir por
1
u
Agora temos uma integral que sabemos determinar:
1 ln− = − +∫ du u cu .
Obtida a integral indefinida, fazemos novamente a mudança de variável, considerando que 
u = cos x:
 1 ln ln cos
cos
= = − = − + = − +∫ ∫ ∫sen xtg x dx dx du u c x c
x u
.
Portanto, temos que:
 ln cos= − +∫tg x dx x c.
Vejamos outro exemplo que utiliza a regra da substituição.
∫ ∫ ∫ ∫
 1 1
∫ ∫ ∫ ∫
 1 1
∫ ∫ ∫ ∫tg x dx dx sen x dx du∫ ∫ ∫ ∫
 1 1
∫ ∫ ∫ ∫
 1 1tg x dx dx sen x dx du 1 1∫ ∫ ∫ ∫
 1 1 . ∫ ∫ ∫ ∫ . tg x dx dx sen x dx du . ∫ ∫ ∫ ∫ . = = = −∫ ∫ ∫ ∫= = = −tg x dx dx sen x dx du= = = −∫ ∫ ∫ ∫= = = −
 1 1
cos cos∫ ∫ ∫ ∫
 1 1
∫ ∫ ∫ ∫
 1 1
cos cos∫ ∫ ∫ ∫cos cos∫ ∫ ∫ ∫tg x dx dx sen x dx du∫ ∫ ∫ ∫
 1 1
∫ ∫ ∫ ∫
 1 1tg x dx dx sen x dx du 1 1∫ ∫ ∫ ∫
 1 1 . ∫ ∫ ∫ ∫ . tg x dx dx sen x dx du . ∫ ∫ ∫ ∫ . = = = −∫ ∫ ∫ ∫= = = −tg x dx dx sen x dx du= = = −∫ ∫ ∫ ∫= = = −= = = −∫ ∫ ∫ ∫= = = −tg x dx dx sen x dx du= = = −∫ ∫ ∫ ∫= = = −x x ucos cosx x ucos cos∫ ∫ ∫ ∫x x u∫ ∫ ∫ ∫cos cos∫ ∫ ∫ ∫cos cosx x ucos cos∫ ∫ ∫ ∫cos cos
16
Unidade: Métodos de Integração I
2 Determinemos a seguinte integral indefinida:
2 1 +∫ x dx.
Sabemos determinar a integral da função ( ) =f x x e da função ( ) 2 1= +g x x , mas a 
da composta destas funções, da função ( )( ) 2 1= +f g x x ainda não tínhamos estudado. 
Estudamos na unidade de Cálculo Diferencial a determinar a derivada da função composta, 
conhecida como regra da cadeia e para determinar a integral de uma função composta, 
normalmente, utilizamos a regra da substituição.
Consideremos a seguinte mudança de variável:
2 1= +u x .
E determinemos os diferenciais,
1 2=du dx,
1
2
=du dx .
Vamos substituir a variável na expressão da integral indefinida que queremos determinar.
1 1 12 1 . . 
2 2 2
+ = = =∫ ∫ ∫ ∫x dx u du u du u du .
E sabemos como determinar esta integral:
3
1 32
2 2 3 3
2
= = + = +∫ ∫
u uu du u du c c.
Voltando a mudar a variável de u para x, teremos:
( )33 3 2 11 1 22 1 . .
2 2 3 3 3
+
+ = = + = + = +∫ ∫
xu ux dx u du c c c
Portanto, temos que:
( )32 1
 2 1 
3
+
+ = +∫
x
x dx c .
17
3 Determinemos a seguinte integral indefinida:
3xe dx∫
Sabemos determinar a integral da função f(x)=ex e da função g(x) = 3x, mas a integral da 
composta destas funções, da função f(g(x)) = e3x, ainda não tínhamos estudado.
Consideremos a seguinte mudança de variável:
u = 3x.
E determinemos os diferenciais:
1du = 3dx.
1
3
=du dx .
Vamos substituir a variável na expressão da integral indefinida que queremos determinar.
3 1 1
3 3
= = +∫ ∫x u ue dx e du e c .
Realizando novamente a mudança de variável, agora de u para x, temos que:
3 31 1
3 3
= + = +∫ x u xe dx e c e c .
Portanto, temos que:
3 31
3
= +∫ x xe dx e c .
 
4 Determinemos a seguinte integral:
cos
∫
x dx
x
.
Neste caso, iremos também utilizar a regra da substituição para determinarmos esta integral indefinida.
Precisamos determinar quais as funções que estão compostas, identificando a função mais 
externa e a função mais interna. Pois, para efetuarmos a mudança de variável, normalmente, 
é a função mais interna que deve ser substituída por outra variável. 
Consideremos:
=u x.
E determinemos os diferenciais,
1
2
=du dx
x
.
12 =du dx
x
.
18
Unidade: Métodos de Integração I
Então, substituindo na expressão da integral indefinida, temos que:
=u x .

cos 2 cos 2 = = +∫ ∫
x dx udu senu c
x
.

12 =du dx
x
Portanto, realizando a mudança de variável, agora de u para x, temos que:
cos 2= +∫
x dx sen x c
x
.
Observação:
Como temos as operações de integração e de derivação como operações inversas, 
então podemos verificar se determinamos corretamente a integral indefinida de 
uma função, derivando a integral obtida e verificando se é igual à função integrada 
inicialmente. Vejamos um caso com este último exemplo.
Temos a função ( ) cos= xf x
x
 e determinamos que ( ) 2= +F x sen x c . Como sabemos 
que F’ = f, então vamos derivar a função F fazendo uso da regra da cadeia:
( ) 2= +F x sen x c,
( ) ( )1 cos' 2cos .
2
= = =
xF x x f x
x x .
Portanto, verificamos que determinamos corretamente a integral indefinida da função f.
5 Vejamos agora um exemplo de como determinar uma integral definida:
1
ln
∫
e x dx
x
.
Podemos determinar esta integral definida por duas maneiras. Uma delas consiste em 
utilizar a regra da substituição como estamos utilizando para integral indefinida e, depois, 
como resultado obtido, utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Consideremos:
ln=u x.
E determinemos os diferenciais,
1
=du dx
x
.
∫ ∫∫ ∫
x
∫ ∫
x
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫x∫ ∫x∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫dx udu senu c∫ ∫
19
Assim, substituindo na expressão da integral indefinida, temos que:
ln=u x

2 2ln (ln )
2 2
= = + = +∫ ∫
x u xdx udu c c
x
.

1
=du dx
x
Portanto, temos que:
2ln (ln )
2
= +∫
x xdx c
x
.
Com este resultado determinamos a integral definida utilizando o Teorema Fundamental do 
Cálculo. Consideremos ( )
2(ln )
2
= +
xF x c e lembremos que 1n e = 1 e 1n 1 = 0:
( ) ( )
1
ln 1= −∫
e x dx F e F
x ,
2 2
1
ln (ln ) (ln1)
2 2
   
= + − +      ∫
e x edx c c
x ,
( )
1
ln 1 10
2 2
 = + − + =  ∫
e x dx c c
x .
Outra maneira de determinar esta integral definida é mudando os limites de integração ao 
se realizar a mudança de variável.
Como consideramos
ln=u x.
Então, quando x = 1, teremos u = ln1 = 0 e quando x = e, teremos u = ln e = 1. Desta 
maneira, temos:
, 1= =x e u

1
1 0
ln
=∫ ∫
e x dx udu
x

1, 0= =x u
E considerando ( )
2
2
= +
uF u c temos que:
( ) ( )
1 2 2
0
1 0 11 0
2 2 2
   
= − = + − + =      ∫udu F F c c .
ln (ln )
∫ ∫∫ ∫
ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )ln (ln )x u xln (ln )ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )x u xln (ln )
∫ ∫
ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )x u xln (ln )
∫ ∫
ln (ln )
∫ ∫dx udu c c∫ ∫
ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )dx udu c cln (ln )∫ ∫
ln (ln )ln (ln )
∫ ∫
ln (ln )x u xln (ln )
∫ ∫
ln (ln )dx udu c cln (ln )∫ ∫
ln (ln )x u xln (ln )
∫ ∫
ln (ln )
∫ ∫x∫ ∫x∫ ∫
e
1 0
20
Unidade: Métodos de Integração I
Portanto, 
1
ln 1
2
=∫
e x dx
x
.
Desse modo, percebemos que, quando utilizamos a regra da substituição para integrais 
definidas, podemos colocar tudo em termos da nova variável u, não somente x e dx, mas 
também os limites de integração.
Regra da Substituição 
para Integral Definida
Se temos uma função g que possui derivada contínua em um intervalo 
fechado e outra função f contínua na variação da função u = g(x), 
então podemos dizer que:
( )( ) ( )
( )
( )
( ). ' =∫ ∫
g bb
a g a
f g x g x dx f u du .
Vejamos um último exemplo, determinemos a integral definida:
/2
0
 .cos
π
∫ sen x xdx.
Consideremos,
sen=u x.
Determinemos os diferenciais,
cos=du xdx.
E identifiquemos os limites de integração,
0 0 0= → = =x u sen .
 1
2 2
π π
= → = =x u sen .
Então, substituindo na expressão da integral definida, temos que:
/2 1
0 0
 .cos 
π
=∫ ∫sen x xdx u du .
Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo com a antiderivada ( )
2
2
= +
uF u c , temos:
( ) ( )
/2 1
0 0
1 .cos 1 0
2
π
= = − =∫ ∫sen x xdx u du F F .
21
22
Unidade: Métodos de Integração I
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Integral, consulte o site e as referências a seguir.
Sites:
http://www.somatematica.com.br/superior.php
http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php
http://www.omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/integraltodos/integraltodos.html 
https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus/integration-techniques/u_substitution/v/u-substitution
Livros:
ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.
THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
23
Referências
Referências Básicas:
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002.
STEWART, J. Cálculo, volume I. 4a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R.P.; EDWARDS, B.H. Cálculo, volume 1. São Paulo: McGraw-
Hill, 2006.
Referências Complementares:
FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: Funções, limite, derivada, integração. 
5a. Ed. São Paulo: Makron Books do Brasil,2004.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. Ed. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
24
Unidade: Métodos de Integração I
Anotações
Cálculo Integral 
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique
Revisão Textual:
Profa. Esp. Natalia Conti
Métodos de Integração II
5
•	 Método	da	Integração	por	Partes
•	 Substituição	Trigonométrica
 · Nesta unidade serão apresentados dois métodos de integração, um 
denominado integração por partes e outro, substituições trigonométricas. 
Estes dois métodos, conjugados com as integrais mais importantes 
estudadas anteriormente, ajudam a determinar integrais indefinidas de 
outras funções que não utilizam os métodos estudados.
Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de determinar a integral indefinida 
de uma função real por meio do método da integração por partes e da regra da substituição 
trigonométrica, de forma separada ou conjunta.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, 
além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. 
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
para realização das mesmas. 
Métodos de Integração II
6
Unidade: Métodos de Integração II
Contextualização
As identidades trigonométricas são bastante utilizadas quando queremos determinar integrais 
envolvendo funções trigonométricas. Estas identidades são igualdades que são verdadeiras 
para todos os valores das variáveis envolvidas.
A identidade trigonométrica mais utilizada é:
sen2 x + cos2 x = 1.
Esta igualdade estabelece uma relação básica entre a função seno e a função cosseno, e é 
denominada de identidade trigonométrica fundamental.
Não podemos esquecer das demais identidades fundamentais:
=
1 
cos
sec x
x
=
1 
 
cossec x
sen x
1 + tg2 x = sec2 x
1 + cotg2 x = cossec2 x
=
 
cos
sen xtg x
x
=
cos 
 
xcotg x
sen x
Outras identidades trigonométricas bastante utilizadas são as fórmulas do ângulo-metade 
para o seno e o cosseno:
−
=2
1 cos2
2
xsen x ||
+
=2
1 cos2
2
xcos x .
Temos ainda as fórmulas do ângulo duplo, que são úteis para simplificar algumas 
expressões. Para a função seno temos uma identidade:
sen 2x=2sen x.cos x.
Para a função cosseno temos três identidades:
cos 2x = cos2x - sen2x,
cos 2x = 2cos2x - 1,
cos 2x = 1 - 2sen2x.
Para a função tangente temos uma identidade.
=
− 2
2 2
1
tg xtg x
tg x
.
7
Método da Integração por Partes
Uma das regras de derivação estudada é a regra do produto, que é utilizada para determinar 
a derivada de funções escritas como produto de funções. Para a integração também temos um 
método correspondente, o método da integração por partes.
Se consideramos f e g como funções diferenciáveis, a regra do produto é dada por:
f’.g + f.g’ = (f.g)’
E podemos escrever, com outra notação, como:
( )+ ='. . ' .df g f g f gdx
Com a notação de integrais temos que esta expressão pode ser escrita como:
∫ [f’(x).g(x) + f(x).g’(x)] dx = f(x).g (x),
∫ [f’(x).g(x)] dx + ∫ [f(x).g’(x)] dx = f(x).g(x).
Assim, podemos escrever que o método da integração por partes utiliza a seguinte fórmula:
∫ [f(x).g’(x)] dx = f(x).g(x) - ∫ [f’(x).g(x)] dx.
E, se utilizarmos f(x)=u e g(x)=v, além dos diferenciais f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv, podemos 
reescrever esta expressão de maneira simplificada como:
∫ [f(x).g’(x)] dx = f(x).g(x) - ∫ [f’(x).g(x)] dx,
∫ u.dv = u.v - ∫v.du.
8
Unidade: Métodos de Integração II
Exemplos
1 Determinar a integral indefinida: ∫ xex dx.
Sabemos determinar a integral indefinida da função f(x)=x e sabemos determinar a da 
função g(x)=ex, entretanto quando pensamos no produto destas duas funções, temos que 
utilizar o método da integração por partes.
Considerando:
 u= f(x)= x du= dx,
 v= g(x)= ex dv= ex dx.
Utilizando a fórmula da integração por partes, temos que:
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu
∫ x.ex dx= x.ex - ∫ ex dx= x.ex - ex+c
 
Para verificar se realizamos a integração de maneira correta, basta derivar a função obtida 
e verificar se obtemos a função que estávamos integrando. 
Vamos derivar para verificar, para isso utilizaremos a regra do produto:
F(x)= x.ex - ex + c
F’(x)= 1.ex + x.ex - ex= x.ex
que é a função que estávamos integrando.
Vejamos outro exemplo, agora com uma função trigonométrica. 
2 Determinar a integral indefinida: ∫ x.sen x dx
Sabemos determinar a integral indefinida da função f(x)=x e sabemos determinar a da 
função g(x)=sen x, entretanto, quando pensamos no produto destas duas funções temos que 
utilizar o método da integração por partes.
Considerando:
 u= f(x)= x du= dx
 v= g(x)= sen x dv= cos x dx
Sendo assim, ao utilizar a fórmula da integração por partes, temos que:
∫ u.dv= ∫ x.cos x dx.
Não é a função que queremos determinar a integral indefinida. Então, percebemos que 
existe uma ordem para a utilização da regra do método da integração por partes.
9
Devemos perceber que temos na expressão da função que queremos determinar a integral 
indefinida uma função u e outra função derivada dv.
Assim, devemos identificar o que chamaremos por u, que iremos derivar para obter du, e 
o que será identificado por dv, que iremos integrar para obter v.
Vejamos, então, como utilizar corretamente a fórmula do método da integração por partes.
∫ x.sen x dx
Vamos denominar por:
u= x derivando du= 1.dx
dv= sen x dx integrando v= ∫ sen x dx= - cos x
Ao utilizar a fórmula do método da integração por partes, temos que:
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu,
∫ x.sen x dx= -x.cos x - ∫ 1.(-cos x) dx,
∫ x.sen x dx= -x.cos x + ∫ cos x dx,
∫ x.sen x dx= -x.cos x + sen x + c.
Para verificar se realizamos a integração de maneira correta, basta derivar a função obtida 
e verificar se obtemos a função que estávamos integrando. 
Vamos derivar para verificar, para isso utilizaremos a regra do produto:
F(x) = -x . cos x + senx + c,
F’(x) = -cosx - x . (-sen x) + cos x = x . senx.
que é a função que estávamos integrando. 
Vejamos outro exemplo, agora com a função logarítmica. 
3 Determinar a integral indefinida: ∫ ln x dx.
Esta integral indefinida é obtida por meio do método da integração por partes.
Vamos escolher u e dv.
u= ln x derivando =
1 .du dx
x
dv= dx integrando v= x
∫ u.dv = u.v - ∫ vdu,
= − = − = − +∫ ∫ ∫
1ln .ln . . .ln 1. .lnx dx x x x dx x x dx x x x c
x
10
Unidade: Métodos de Integração II
Para verificar se realizamos a integração de maneira correta, basta derivar a função obtida 
e verificar se obtemos a função que estávamos integrando. 
Vamos derivar para verificar, para isso utilizaremos a regra do produto:
F(x)= x.ln x - x + c,
( ) = + − = + − =1' ln . 1 ln 1 1 lnF x x x x xx
que é a função que estávamos integrando. 
Vejamos outro exemplo, agora que envolve utilizar a fórmula do método da integração 
por partes duas vezes.
4 Determinar a integral indefinida: ∫ ex.sen x dx.
Esta integral indefinida é obtida por meio do método da integração por partes aplicado 
duas vezes.
Vamos escolher u e dv.
u= ex derivando du= ex dx
dv= sen x dx integrando v= ∫ sen x dx = -cos x 
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu,
∫ ex.sen x dx= ex.(-cos x) - ∫(-cos x).ex dx,
∫ ex.sen x dx= -ex.cos x + ∫ cos x.ex dx.
Ç
Vamos determinar esta integral e 
depois voltamos a esta expressão.
E chegamos a uma integral indefinida que também teremos que utilizar o método da 
integração por partes para poder concluir esta resolução. Precisamos utilizar o método para 
determinar a seguinte integral indefinida:
∫cos x.ex dx.
Vamos escolher u e dv.
u=ex derivando du= ex dx
dv= cos x dx integrando v= ∫ cos x dx= sen x
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu,
∫ cos x.ex dx=ex.sen x - ∫ sen x.ex dx,
∫ cos x.ex dx= ex.sen x - ∫ ex.sen x dx.
11
Substituindo estaexpressão na fórmula que estávamos calculando, teremos:
∫ ex.sen x dx= -ex.cos x + ∫ cos x.ex dx,
∫ ex.sen x dx= -ex.cos x + ex.sen x - ∫ ex.sen x dx,
2 ∫ ex.sen x dx= -ex.cos x + ex.sen x + c,
( )−
= +∫
. cos
. 
2
x
x
e sen x x
e sen x dx c .
Vejamos mais um exemplo de como determinar uma integral indefinida utilizando duas 
vezes o método da integração por partes.
5 Determinar a integral indefinida: ∫x2 cos x dx.
Esta integral indefinida é obtida por meio do método da integração por partes aplicado duas vezes.
Vamos escolher u e dv.
u= x2 derivando du= 2x dx
dv= cos x dx integrando v= ∫ cos x dx= sen x
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu,
∫ x2 cos x dx= x2.sen x - ∫ 2x.sen x dx,
∫ x2 cos x dx= x2.sen x - 2 ∫ x.sen x dx.
Ç
Esta integral já foi calculada no 
exemplo 2.
Como já determinamos esta última integral anteriormente pelo método da integração por 
partes, vamos inserir nesta última expressão o resultado obtido:
∫ x2 cos x dx = x2.sen x -2(-x . cos x + sen x) + c,
∫ x2 cos x dx = x2.sen x + 2x.cos x -2sen x + c.
Podemos ainda utilizar diferentes métodos conjuntamente para determinar uma integral 
indefinida. Vejamos mais um exemplo que utiliza o método da integração por partes e a 
regra da substituição.
12
Unidade: Métodos de Integração II
5 Determinar a integral indefinida: ∫ x.cos 2x dx.
Esta integral indefinida é obtida por meio do método da integração por partes:
Vamos escolher u e dv.
u= x derivando du= dx
dv= cos 2x dx integrando v= ∫ cos 2x dx 
Ç
Esta integral indefinida é determinada 
pela regra da substituição.
Vamos determinar esta integral indefinida primeiro, antes de continuar com a fórmula do 
método da integração por partes.
∫ cos(2x) dx.
Consideremos:
t= 2x então dt= 2 dx ⇒ =
2
dt dx
( ) ( )= = = + = +∫ ∫ ∫
cos 1 1 1cos 2 cos 2
2 2 2 2
tx dx dt tdt sent c sen x c .
Portanto, temos que:
( )= +∫
1cos(2 ) 2
2
x dx sen x c .
Voltemos à integração por partes, que estávamos realizando.
Tínhamos escolhido u e dv.
u= x derivando du= dx
dv= cos 2x dx integrando ( )= =∫
1cos2 2
2
v xdx sen x
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu,
( ) ( )
( ) ( )
= −
= −
∫ ∫
∫ ∫
1 1.cos2 . 2 2
2 2
1 1.cos2 . 2
2 2
2
x x dx x sen x sen x dx
x x dx senx sen x x dx
Ç
Esta integral também deve ser 
determinada pela regra da substituição.
13
Para terminarmos de determinar esta integral indefinida, necessitamos novamente utilizar 
a regra da substituição:
∫sen(2x) dx,
Consideremos:
t= 2x então dt= 2 dx ⇒ =
2
dt dx
( ) ( )= = = − + = − +∫ ∫ ∫
 1 1 12 cos cos 2
2 2 2 2
sentsen x dx dt sentdt t c x c ,
Portanto, temos que:
( ) ( )= − +∫
12 cos 2
2
sen x dx x c .
Voltando à integração que estávamos realizando, temos:
( ) ( )= − ∫∫
1 1.cos2 . 2 2
2 2
x x sedx x sen x n x dx ,
( ) ( ) = − + 

−

∫
1 1.cos2 . 2 1 cos 2
22 2
x x dx x s xen x c ,
( ) ( )= + +∫
1 1.cos2 . 2 cos 2
2 4
x x dx x sen x x c .
Para verificar se realizamos a integração de maneira correta, basta derivar a função obtida 
e verificar se obtemos a função que estávamos integrando. 
Vamos derivar para verificar, e para isso utilizaremos a regra do produto.
( ) ( ) ( )= + +1 1. 2 cos 22 4F x x sen x x c ,
( ) ( ) ( ) ( )( )= + + −1 1 1' 2 .cos 2 .2 2 .22 2 4F x sen x x x sen x ,
( ) ( ) ( ) ( )= + −1 1' 2 .cos 2 22 2F x sen x x x sen x ,
F’(x)= x.cos(2x).
que é a função que estávamos integrando. 
Podemos verificar que determinar uma integral indefinida não é sempre uma tarefa simples 
e podemos utilizar diferentes métodos para sua determinação. Vejamos mais um método para 
utilizar com funções trigonométricas.
14
Unidade: Métodos de Integração II
Substituição Trigonométrica
Quando temos que integrar uma função que envolve funções trigonométricas, temos um 
problema normalmente. Vejamos um exemplo:
∫cos2 x dx=∫(cos x)2 dx.
Não podemos utilizar a regra da substituição, pois se considerarmos u=cos x, teremos 
du= -sen x dx, que não existe em nossa expressão.
Se tentarmos utilizar o método da integração por partes, teremos:
u= cos x derivando du= -sen x dx
dv= cos x dx integrando v= sen x
∫ u.dv= u.v - ∫ vdu,
∫ cos2 x dx= cos x.sen x - ∫ sen x.(-sen x)dx,
∫ cos2 x dx= cos x.sen x + ∫ (sen x)2 dx.
Ou seja, trocamos de cos x para sen x e não resolvemos a integral indefinida.
Nestes casos, a substituição trigonométrica pode resolver o problema. Para utilizar esta 
regra, precisamos conhecer algumas identidades trigonométricas para fazer as substituições.
Na situação que temos, iremos utilizar a seguinte identidade, a do ângulo-metade:
+
=2
1 cos2
2
xcos x
Desta forma, substituindo esta expressão na integral indefinida que queremos determinar, temos:
+
= = +∫ ∫ ∫ ∫2
1 cos2 1 cos2 
2 2 2
x xcos x dx dx dx dx ,
( ) = + + 
 
∫ 2
1 1 2
2 2 2
xcos x dx sen x c .
Lembrar que já determinamos, no exemplo 6 do Método 
da Integração por Partes, a integral indefinida
( )= +∫
1cos(2 ) 2
2
x dx sen x c .
15
E temos, portanto, que:
( )= + +∫ 2
1 2
2 4
xcos x dx sen x c .
Exemplos
1 Determinar a integral indefinida: ∫ sen3 x dx.
Primeiramente, vejamos que:
sen3 x= sen x.sen2 x.
Vamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:
sen2 x + cos2 x= 1,
sen2 x= 1 - cos2 x,
∫ sen3 x dx= ∫ sen x.sen2 x dx= ∫ sen x.(1 - cos2 x) dx,
∫ sen3 x dx= ∫ sen x dx - ∫ sen x.cos2 x dx,
∫ sen3 x dx= -cos x - ∫ sen x.cos2 x dx.
Queremos determinar esta integral indefinida para podermos continuar a resolução. Vamos 
utilizar a regra da substituição:
∫ sen x.cos2 x dx.
Consideremos:
t= cos x então dt= -sen x dx ⇒ - dt= sen x dx,
= − = − + = − +∫ ∫
3 3
2 2 .
3 3
t cos xsen x cos xdx t dt c c .
Retornando à resolução, temos:
∫ sen3 x dx= -cos x - ∫ sen x.cos2 x dx,
 
= − − − + 
 
∫
3
3 cos
3
cos xsen x dx x c ,
= − + +∫
3
3 cos
3
cos xsen x dx x c .
Vejamos outro exemplo que envolve mais de uma função trigonométrica na expressão 
a ser integrada.
16
Unidade: Métodos de Integração II
2 Determinar a integral indefinida: ∫ sen2 x.cos2 x dx.
Vamos utilizar a identidade trigonométrica do ângulo-metade:
( )−
=2
1 cos2
2
x
sen x
Substituindo na integral indefinida temos:
( )−
=∫ ∫2 2 2
1 cos2
. . 
2
x
sen x cos x dx cos x dx
( )
= −∫∫ ∫2 2
2
2
cos2
. 
2
. 
2
cos xsen x
x
coscos x dx d xx dx
 
(I)
Vamos determinar estas integrais indefinidas separadamente.
A primeira integral indefinida já foi determinada anteriormente, foi o primeiro exemplo 
dado para a regra da substituição trigonométrica:
( ) = = + + 
 
∫∫ 2
2 1 1 1 
2
2
2 2 2 4
xcos x dxcos x d nx se x c ,
( )= + +∫
2 1 2
2 4 8
cos x xdx sen x c , 
(II)
Vejamos, agora, a segunda integral indefinida: 
( )
∫ 2
cos2
. 
2
x
cos x dx ,
Para isso, utilizaremos a identidade trigonométrica do ângulo-metade:
( )+
=2
1 cos2
2
x
cos x ,
Substituindo na expressão temos:
( ) ( ) ( )+
=∫ ∫2
cos2 cos2 1 cos2
. . 
2 2 2
x x x
cos x dx dx ,
( ) ( ) ( ) ( )
= +∫ ∫ ∫2
cos2 cos2 cos2 cos2
. . 
2 4 2 2
x x x x
cos x dx dx dx ,
( ) ( ) ( )
= +∫ ∫∫ 2
2
cos2
 
cos2 cos2
 . 
4 42
x
d
xx
cos x xdx dx .
Ç
Vamos utilizar a regra da substituição.
17
Vamos separar também a resolução desta integral indefinida em duas partes. Para resolver 
a primeira parte vamos utilizar a regra da substituição:
( )
∫
cos2
 
4
x
dx
Consideremos:
t=2x então dt= 2 dx ⇒ =
2
dt dx ,
( )
= = + = +∫ ∫
cos2 cos sen sen2 
4 8 8 8
x t t xdx dt c c .
Vejamos agora a segunda parte desta última integral indefinida.
( )
∫
2
cos2
 
4
x
dx .
Vamos utilizar novamente a identidade trigonométrica do ângulo-metade:
( )+
=2
1 cos2
2
x
cos x .
Como temos cos 2x e não cos x, vamos substituir nesta fórmula do ângulo-metade:
( )+
=2
1 cos4
2
2
x
cos x .
Substituindo na integral indefinida temos:
( ) ( )+
= = + =∫ ∫ ∫ ∫
2
cos2 1 cos4 1 cos4 
4 8 8 8
x x xdx dx dx dx
( )
= +∫ ∫
2
cos2 cos4 
4 8 8
x x xdx dx .
E para resolver esta integral indefinida utilizaremos a regra da substituição.Consideremos:
t=4x então dt=4 dx ⇒ =
4
dt dx ,
= = + = +∫ ∫
cos4 cos 4 
8 32 32 32
x t sent sen xdx dt c c .
Portanto, temos que:
( )
= + +∫
2
cos2 4 
4 8 32
x x sen xdx c .
18
Unidade: Métodos de Integração II
Agora voltemos ao cálculo das integrais indefinidas.
( ) ( ) ( )
= +∫ ∫∫ 2
2
cos2
 
cos2 cos2
 . 
4 42
x
d
xx
cos x xdx dx ,
( )
= + ++∫ 2
sen2
8
cos 4
8
2
. 
2 32
x sx cos x dx xx en c .
Portanto, temos que:
( )
= + + +∫ 2
cos2 sen2 4. 
2 8 8 32
x x x sen xcos x dx c
 
(III)
E podemos agora determinar a integral indefinida solicitada em (I), utilizando os resultados 
de (II) e (III):
( )
= −∫∫ ∫2 2
2
2
cos2
. 
2
. 
2
cos xsen x
x
coscos x dx d xx dx ,
( )  = − + 
 
++ +∫ 2 2
se1 2 n2 4
8 88
.
4
 
32
x xx sesen x cos x d se xn xx n c ,
( ) ( )= + − − − +∫ 2 2
1 1 4. 2 2
4 8 8 8 32
x x sen xsen x cos x dx sen x sen x c .
= − +∫ 2 2
4. 
8 32
x sen xsen x cos x dx c .
Para verificar se realizamos a integração de maneira correta, basta derivar a função obtida 
e verificar se obtemos a função que estávamos integrando. 
Vamos derivar para verificar, para isso utilizaremos a regra da cadeia:
( ) = − +48 32
x sen xF x c ,
( ) = − = −1 4cos4 1 cos4' 8 32 8 8
x xF x .
Utilizando a identidade trigonométrica:
cos 2x=1-2sen2 x
19
e substituindo 2x por 4x, temos:
cos 4x= 1 - 2sen2 (2x).
Considerando ainda a identidade trigonométrica:
sen 2x=2sen x.cos x.
temos, substituindo estas duas identidades em F’(x), que:
( ) = − co1' 48 8
sF x x ,
( ) ( )
−
= −
21 2 21'
8 8
sen x
F x ,
( ) ( )( )−= −
2
1 2 21'
8 8
sen x
F x ,
( ) ( )
−
= −
2
1 2 2 .cos1'
8 8
sen x x
F x ,
( ) ( )= − +
2
8 .cos1 1'
8 8 8
sen x x
F x ,
F’(x)=(sen x.cosx )2,
F’(x)=sen2.cos2 x.
que é a função que estávamos integrando.
20
Unidade: Métodos de Integração II
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Integral, consulte o site e as referências 
a seguir. 
Livros:
•	 ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
•	 STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.
•	 THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
Sites:
•	 http://www.somatematica.com.br/superior.php 
•	 http://omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/integraltodos/integraltodos.html
•	 https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus/integration-techniques/
integration-using-trig-identities/v/using-trig-identity-to-use-u-substitution
http://www.somatematica.com.br/superior.php
http://omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/integraltodos/integraltodos.html
https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus/integration-techniques/integration-using-trig-identities/v/using-trig-identity-to-use-u-substitution
https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus/integration-techniques/integration-using-trig-identities/v/using-trig-identity-to-use-u-substitution
21
Referências
Referências Básicas:
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002.
STEWART, J. Cálculo, volume I. 4a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R.P.; EDWARDS, B.H. Cálculo, volume 1. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2006.
Referências Complementares:
FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: Funções, limite, derivada, integração. 
5a. Ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. Ed. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
22
Unidade: Métodos de Integração II
Anotações
Cálculo Integral
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrinque
Revisão Textual:
Profa. Esp. Natalia Conti
Aplicação da Integral Definida
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• Introdução
• Cálculo de Área
 · Estamos estudando sobre Cálculo Integral e nesta unidade veremos 
maneiras de determinar a medida da área de regiões que estão entre dois 
ou mais gráficos de funções de uma variável real.
 · Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de utilizar integrais 
definidas e integrais indefinidas para determinar a área de uma região.
Para um bom aproveitamento do curso, leia o material teórico atentamente antes de realizar 
as atividades. É importante também respeitar os prazos estabelecidos no cronograma.
Aplicação da Integral Definida
6
Unidade: Aplicação da Integral Definida
Contextualização
Nesta unidade iremos estudar maneiras de 
determinar a medida da área de regiões que estão 
delimitadas por gráficos de funções de uma variável 
real e retas verticais. Veja a figura ao lado que apresenta 
uma situação comum a ser estudada, considerando 
duas funções f e g e o intervalo [a,b].
Para determinar a medida da área da região 
hachurada devemos ter em mente qual é a função que 
limita a região superiormente e qual é a função que 
limita a região inferiormente. 
Na figura anterior temos que a função f limita a região superiormente e a função g 
limita inferiormente.
Como estamos interessados na medida da área podemos simplificar a resolução, 
considerando sempre que o resultado obtido deverá ser em módulo, ou seja, em valor 
absoluto. Isto é devido à seguinte propriedade da integral:
∫ ∫( ) − ( )( ) = − ( ) − ( )( )f x g x dx g x f x dx.
Podemos ainda ter que utilizar diversas integrais 
definidas para determinar a medida da área de regiões 
entre curvas, como pode ser visto na figura ao lado.
Neste caso, para determinar a área desta região 
teríamos que determinar quatro integrais definidas.
A A A A A= + + +
1 2 3 4
E podemos escrever cada uma das integrais definidas como:
É importante notar que a ordem das funções f e g muda em cada uma das 
integrais definidas. Isto se deve ao fato de em cada um dos subintervalos 
termos uma função diferente limitando superiormente e inferiormente.
A f x g x dx
x
1
0
1
= ( ) − ( )( )∫ ,
A g x f x dx
x
x
2
1
2
= ( ) − ( )( )∫ ,
A f x g x dx
x
x
3
2
3
= ( ) − ( )( )∫ ,
A g x f x dx
x
b
2
3
= ( ) − ( )( )∫ .
7
Cálculo de Área
Queremos determinar a medida da área de regiões que são formadas entre gráficos de 
funções no plano cartesiano. 
Caso 1
Vamos pensar nos gráficos das funções f x x( ) = + 2 e g x x x( ) = + +2 1. Podemos perceber 
que estes dois gráficos possuem dois pontos comuns, pontos em que os gráficos se encontram.
Para determinar estes dois pontos comuns aos gráficos das duas funções, igualamos as 
expressões algébricas das mesmas:
f x g x( ) = ( ),
x x x+ = + +2 12 ,
x2 1 0− = ,
x2 1= ,
x= -1 ou x= 1.
Para determinarmos estes pontos no plano cartesiano devemos substituir estes valores de x 
em qualquer uma das duas expressões algébricas.
Para x =-1, temos:
f (x)= x + 2 ⟹ f (-1)= -1 + 2= 1
g (x)= x2 + x +1 ⟹ g (-1)= (-1)2+ (-1) +1= 1
Portanto, para x = -1, temos y =1, ou seja, o ponto P(-1,1).
Para x =1, temos:
f (x) = x+ 2 ⟹ f (1) =1 + 2= 3
g (x) = x2+ x + 1 ⟹ g (1) = (1)2 + (1) + 1= 3
Portanto, para x = 1, temos y = 3, ou seja, o ponto Q(1,3).
8
Unidade: Aplicação da Integral Definida
Desta forma, queremos determinar a medida da área da região delimitada entre os gráficos 
das duas funções f e g, entre x= -1 e x= 1.
Estudamos anteriormente como determinar a medida da área da região que está sob o 
gráfico de uma função f que está acima do eixo das abscissas, eixo x, no intervalo [a,b]. Basta 
determinar a integral definida:
a
b
f x dx∫ ( ) .
Na situação proposta, vamos determinar a medida da área da região que está sob o gráfico 
de cada uma das duas funções, f e g, considerando o intervalo [-1,1]:
− −
∫ ∫( ) ( )
1
1
1
1
f x dx g x dx e .
Determinemos uma das integrais definidas:
 
− −
∫ ∫( ) = +( ) = ( ) − −( )
1
1
1
1
2 1 1f x dx x dx F F .
Para determinar esta integral definida, precisamos primeiramente obter a integral indefinida:
∫ +( ) = + + = ( )x dx
x x c F x2
2
2
2
.
Portanto, o valor da integral definida é: