Fluxo de Caixa e Descontos - Aula 2

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA -
NPG1237 
Professora: Maria Cristina Denadai Gomes
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AULA 2 – FLUXOS DE CAIXA E DESCONTOS
2.1 Fluxos de Caixa;
2.2 Fluxo de Caixa em Planilhas;
2.3 Fluxo de Caixa em Diagramas;
2.4 Desconto Por Dentro;
2.5 Desconto Por Fora. 
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A administração bem-sucedida de finanças em negócios requer um amplo entendimento dos inúmeros processos que contêm atividades de pagamentos e de recebimentos de diversas naturezas ao longo de um período de tempo.
Essas atividades caracterizam Fluxos de Caixa que podem ser administrados com o auxílio de softwares aplicativos específicos, planilhas eletrônicas e/ou calculadoras, e com a indispensável competência do profissional habilidoso que entende não só os princípios por traz das operações automatizadas como também sabe julgar e tirar proveito dos resultados apresentados. 
Esta aula apresenta, portanto, os fundamentos das operações em fluxos de caixa e os conceitos dos diversos tipos de desconto utilizados na matemática financeira. 
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Objetivo:
1. Definir o conceito de Fluxo de Caixa e sua representação gráfica;
2. Examinar os tipos de desconto utilizados em Matemática Financeira. 
Fluxos de Caixa 
Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e
saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo.
 Podemos ter fluxos de caixa , entre outros, de: 
Empresas;
Investimentos;
Projetos;
Operações financeiras. 
Usualmente, as transações financeiras são representadas esquematicamente por diagramas ou por meio de planilhas (tabelas ou quadros) 
Fluxo de Caixa em Planilhas 
Para planejamento e controle financeiro é comum o uso de planilhas eletrônicas, uma vez que ao organizarmos as informações em linhas e colunas fica fácil a utilização dos recursos automáticos de cálculo. 
Exemplo:
Descrição
Normalmente, as colunas são organizadas com a descrição da entrada ou saída no caixa nas primeiras colunas.
Movimento e saldo
Em seguida, uma coluna registra a quantia movimentada e a seguinte o saldo.
Data
Pode-se também registrar data, período ou outras informações julgadas importantes. 
Fluxo de Caixa em Diagramas 
A convenção básica para a representação de fluxos de caixa em diagramas é utilizar setas orientadas para cima ou para baixo conforme se queira registrar respectivamente recebimentos (entradas) ou pagamentos (desembolsos). Essas setas podem estar dispostas acima ou abaixo da linha horizontal, que representa o tempo. 
Recebimentos
As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima (acima ou abaixo da linha).
Pagamentos
As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para baixo (acima ou abaixo da linha). Elas indicam desembolso de caixa. 
Eixo horizontal
A escala horizontal representa o tempo, dividido em períodos descontínuos, expresso em dias, semanas, meses, trimestres, semestres ou anos
. Os pontos 0, 1, 2, 3, n, substituem as datas de calendários, e são estipulados em função da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas.
Assim, o ponto 0 representa a data inicial (hoje), o ponto 1 indica o final do 1º período e assim por diante.
Os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais, e os valores monetários só podem ser colocados no início ou no final de cada período, dependendo da convenção adotada. Nenhum valor deve ser colocado ao longo dos períodos, uma vez que eles não são contínuos.
Exemplo:
Podemos representar da seguinte maneira a operação de compra de um bem no valor de $1000, para pagamento, com juros e sem entrada, em quatro prestações mensais de $ 300: 
Atenção
	Apesar de não ser essencial na representação, o comprimento
das setas orientadas (vetores) no fluxo de caixa em diagrama pode ser proporcional ao valor movimentado. No exemplo, todas
as prestações são representadas por setas de igual tamanho e o valor de compra é representado por uma seta maior, porém não proporcional às setas dos pagamentos.
Transformando um fluxo de caixa em planilha em diagrama 
Exemplo:
A representação em diagrama do fluxo de caixa em planilha pode ser a seguinte: 
Descontos: 
Basicamente, quando se fala em desconto no âmbito da Matemática Financeira, pensamos no tempo em que se encontra a base sobre a qual uma determinada taxa de desconto é anunciada (presente ou futuro) e no tipo de regime de capitalização (simples ou composto). 
Considerando o tempo presente como a base sobre a qual determinado desconto é oferecido, tratamos de analisar os cálculos associados no regime de juros simples e depois no de juros compostos. 
Desconto Por Dentro 
No regime de juros simples, a taxa de desconto por dentro, ou taxa de juros i, é também conhecida como taxa de rentabilidade. Ela incide diretamente sobre o valor presente e pode ser obtida pela conhecida expressão dos juros simples explicitando-se a taxa i. Vejamos: 
O valor do desconto por dentro (Dd) é obtido multiplicando-se o valor presente VP pela taxa de desconto i e pelo prazo da operação n, obtendo-se: 
O valor presente é sempre a incógnita, sendo normalmente conhecidos o valor futuro VF, o prazo n e a taxa de desconto i. 
Atenção:
	Sabendo-se que Dd = VF - VP e obtendo-se VP a partir de VF =
VP (1 + i x n)
Tem-se:
Exemplo prático em um regime de juros simples 
Considerando um regime de juros simples, vamos determinar o valor da taxa mensal de desconto por dentro usada em uma operação de desconto de 2 meses de um título cujo valor de resgate é $12.000,00 e cujo valor do principal é $10.850,00? 
VP = $10.850,00
VF = $12.000,00
n = 2 meses 
Exemplo prático em um regime de juros compostos 
No regime de juros compostos, como os juros de cada período, quando não são pagos no final do período, devem ser somados ao capital e passam a render juros, a taxa de desconto por dentro incide diretamente sobre o valor presente e pode ser obtida pela conhecida expressão dos juros compostos explicitando-se i: 
Determinar o valor do investimento que deve ser realizado com uma taxa de 2% ao mês no regime de juros compostos, que produzirá um montante acumulado ao fim de 12 meses de $1.000,00. Além do cálculo do valor do investimento, determinar também o valor do desconto por dentro. 
n = 12 meses
i = 2% ao mês
VF = $1.000,00
Depois, aplicamos a fórmula: 
Valor do desconto por dentro, calcula-se diretamente:
Desconto por fora
Considerando o desconto por fora, no regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d sempre incidindo diretamente sobre o valor futuro VF (ou montante), fazendo com que os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos (VF x d).
Para n períodos temos: 
 
O valor presente VF, resultante do desconto por fora sobre o montante VF, durante n períodos, é obtido a juros simples utilizando-se as respectivas definições: 
Exemplo Prático 1
Imaginemos uma operação de desconto de 90 dias, de um título com valor de resgate de $20.000,00 e com valor do principal igual a $16.850,00. Como faremos para determinar o valor da taxa mensal de desconto por fora utilizada na operação?
Dados: VF = $20.000,00, VP = $16.850,00, n = 90 dias = 3 meses 
=20.000-16.850=3.150,00
3.150 : 20.000= 0,1575x100=15,75:3=5,25%a.m.
ou seja, 5,25% ao mês. 
Relacionamento das taxas 
Tendo sido apresentadas as expressões do cálculo de desconto por dentro e por fora no regime de juros simples, é possível relacionar as duas taxas e obter a seguinte expressão: 
Considerando o desconto por fora, no regime de juros compostos, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d por período, sobre o capital existente no início do período de desconto (VP).
Assim, as seguintes expressões podem ser obtidas: 
Exemplo Prático 2
Para um título com o valor de $100.000,00, com 90 dias para seu vencimento, que é descontado no regime de juros compostos,com uma taxa de desconto por fora igual a 1,4% ao mês, o que devemos fazer para determinar o valor presente e o valor deste desconto? 
VF = $100.000,00
n = 90 dias = 3 meses
d = 1,4% ao mês 
VP = VF x (1-d)n = 100.000 x (1-0,014)3 = $95.858,53 
Desconto por fora
Df = VF - VP = 100.000 - 95.858,53 = $4.141,47 
Atividade proposta 
Considerando uma taxa de 2% ao mês, no regime de juros compostos, é possível observar, conforme diagrama abaixo, que no final do terceiro mês são depositados $400,00. 
a) Determine o valor acumulado no final do sexto mês deste depósito;
b) Que valor deveria ser investido no final do primeiro mês para que fosse obtido os $400,00 conforme o diagrama? 
Respostas:
A) n=3, VP =400,00 e i= 0,02
VF = 400,00(1 + 0,02)3 = $424,48 
B) n = 2, VF = $400,00 e i = 0,02: 
 
Avaliação da Aula 2
Exercícios da pág 40 a 44
De 1 a 10
Entrega até dia 09/06/2020