8 Derivadas

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Lista de exercícios – Derivadas 
1 - (ENADE 2011) - Os analistas financeiros de uma empresa chegaram a um 
modelo matemático que permite calcular a arrecadação mensal da empresa ao 
longo de 24 meses, por meio da função 
���� =
�³
3
− 11�² + 117� + 124 
em que 0 ≤ x ≤ 24 é o tempo, em meses, e a arrecadação A(x) é dada em 
milhões de reais. A arrecadação da empresa começou a decrescer e, depois, 
retomou o crescimento, respectivamente, a partir dos meses 
(A) x= 0 e x= 11. 
(B) x= 4 e x= 7. 
(C) x= 8 e x=16. 
(D) x= 9 e x=13. 
 
2 - Ao fazer um estudo sobre movimentos sujeitos apenas a aceleração da 
gravidade terrestre, um engenheiro concluiu que a posição medida em 
metros	���� de um determinado objeto caindo em queda livre, é uma função do 
tempo �, medido em segundos, tal que ���� = 9,8��. O instante que a 
velocidade do corpo atinge 49 m/s é: 
(A) 2,5 s 
(B) 5 s 
(C) √5 s 
(D) √15� s 
 
 
 
 
3 - (ENADE 2008) Funções polinomiais possuem diversas aplicações práticas 
na agricultura, nas ciências ambientais e ciências econômicas. A figura a seguir 
 
consiste no gráfico representativo da função polinomial ���� 	= 	 ��	– 	6�� 	+
	9�	 + 	4. 
 
A respeito desta função identifique as afirmações corretas. 
I No ponto de abscissa igual a 1, o valor de f ’(1) = 0 e f ”(1)>0. 
II No ponto de abscissa igual a 3, o valor de f ’(3) = 0 e f ”(3)>0. 
III O ponto (2; 6) é um ponto de inflexão e o valor de f ”(2) = 0. 
(A) I 
(B) I e II 
(C) II e III 
(D) I e III 
 
4 - Durante várias semanas, o departamento de trânsito de Belo Horizonte vem 
registrando a velocidade dos veículos que passam na avenida Afonso Pena 
entre a avenida Amazonas e a rua da Bahia. Os resultados mostram que entre 
13h e 18h de uma quarta feira, a velocidade nesse quarteirão é dada 
aproximadamente por 3 2v(t) t 10,5t 30t + 20= − + , quilômetros por hora, onde t é 
o número de horas após o meio-dia. O instante entre 13h e 18h em que o 
trânsito é mais rápido é: 
(A) 13 horas 
(B) 14 horas 
(C) 17 horas 
(D) 18 horas 
5 - Um cilindro tem altura h igual ao dobro do seu raio R . Nessa situação, o 
volume do cilindro é dado por 32 RV π= . O volume V do cilindro é 316 mπ e varia 
a uma taxa de min20 3m . Determine a taxa de variação do raio. 
 
(A) 2 
(B) 
π6
5
 
(C) 
π3
5
 
(D) 
3
2
8
6
20






π
π
 
6 - Um certo sistema dinâmico descreve uma trajetória de acordo com a função 
���� = �
��
�
. Os engenheiros responsáveis pela modelagem do sistema estão 
verificando algumas retas tangentes em determinados pontos da função f(x) . 
Um ponto de interesse seria o valor de x para que a reta tangente a curva fosse 
horizontal. Neste caso, o ponto procurado é: 
(A) 1/3 
(B) 1 
(C) -1/3 
(D) 3 
7- (ENADE 2005) – A concentração de certo fármaco no sangue, � horas após 
sua administração, é dada pela fórmula: 
���� =
10�
�� + 1��
, � ≥ 0. 
Em que intervalo essa função é crescente? 
(A) � ≥ 0. 
(B) � > 10. 
(C) � > 1. 
(D) 0 ≤ � < 1. 
8 - Um empresário estima que quando x unidades de certo produto são 
vendidas, a receita bruta associada ao produto é dada por 23²5,0 −+= xxC 
milhares de reais. A taxa de variação da receita quando 3 unidades estão 
sendo vendidas é: 
(A) 11,5 mil reais / unidade 
 
(B) 10,5 mil reais / unidade 
(C) 9 mil reais / unidade 
(D) 6 mil reais / unidade 
 
9 - Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte com uma velocidade 
inicial V0 medida em metros por segundo (m/s), sua altura (em metros) após t 
segundos é dada, aproximadamente, por ���� = 10� − 1,8��. Nessas 
condições, assinale a alternativa verdadeira: 
(A) a velocidade se anula no instante t = 0s; 
(B) a velocidade da pedra no instante t = 10s é de -8m/s; 
(C) a aceleração da pedra no instante t = 10s é de -1,8m/s2; 
(D) a velocidade inicial da pedra V0 (no instante t = 0s) é de 10m/s e sua 
aceleração é sempre negativa, para todo t. 
 
10 - Um corpo em queda livre tem como equação do movimento: 
2
²
)(
gt
ts = , 
onde ²/8,9 segmg = , s(t) é a distância, (em metros), percorrida pelo corpo em t 
segundos, desde o início da queda. A velocidade e a aceleração do corpo em 
queda livre no instante 5 segundos após o lançamento são respectivamente: 
(A) 49 m/s e 9,8 m/s² 
(B) 122,5 m/s e 49 m/s² 
(C) 9,8 m/s e 49 m/s² 
(D) 171,5 m/s e 58,8 m/s² 
 
11 - A equação de movimento de uma partícula é � = 	 �� − 3�	 em que 	�	 está 
em metros e � em segundos. Podemos afirmar: 
(A) A velocidade no instante � = 1 é nula. 
(B) A aceleração no instante � = 1 é 3	%/��. 
(C) A velocidade no instante � = 2 é o dobro do instante � = 1. 
(D) A aceleração no instante � = 0 não é nula. 
 
 
12 - Um corpo em queda livre tem como equação do movimento: 
2
²
)(
gt
ts = , 
onde ²/8,9 smg = , s(t) é a distância, (em metros), percorrida pelo corpo em t 
segundos, desde o início da queda. A velocidade e a aceleração do corpo em 
queda livre no instante 5 s (segundos) após o lançamento são 
respectivamente: 
(A) 49 m/s e 9,8 m/s² 
(B) 122,5 m/s e 49 m/s² 
(C) 9,8 m/s e 49 m/s² 
(D) 171,5 m/s e 58,8 m/s² 
 
13 - Uma pedra atirada verticalmente para cima com velocidade de 24 m/s 
atinge uma altura de 28,024)( ttth −= metros em t segundos. Com base nestas 
informações, podemos afirmar que no instante de 4 segundos, a velocidade em 
m/s e aceleração em m/s2 atingida pela pedra são respectivamente: 
(A) -1,6 e 17,6 
(B) 17,6 e -1,6 
(C) 24 e - 0,8 
(D) -0,8 e 24 
14 - Uma partícula move-se em linha reta segundo a lei de movimento 
f (t) = t3 −12t2 + 36t , onde f (t) é medido em metros e t ≥ 0 em segundos. 
Então é correto afirmar. 
(A) O movimento da partícula ocorre sempre no sentido positivo. 
(B) A distância percorrida pela partícula nos 8 primeiros segundos é de 96m. 
(C) A velocidade da partícula é sempre positiva nos 8 primeiros segundos. 
(D) O deslocamento da partícula do instante t = 0 ao instante t = 8s é de 64 
metros. 
 
 
15 - Um pequeno povoado com 10.000 habitantes tem um crescimento 
populacional anual que pode ser descrito pela equação: 
'��� = �² + 30� + 10.000 
Qual será a taxa de variação da população daqui a 10 anos? 
 
(A) 10.400 habitantes. 
(B) 10.500 habitantes. 
(C) 50 habitantes. 
(D) 320 habitantes. 
 
16 – Uma cidade x é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de 
saúde calculam que o número de pessoas N atingidas pela moléstia depois de 
um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) e, 
aproximadamente, dado por: 
)��� = 64�² −
�³
3
+
9
4
*�²� 
 
Qual é a função que descreve a taxa de variação com que essa epidemia 
cresce em função dos dias? 
(A) 
+,
+-
= 128� − �� + �
� √�
� 
(B) 
+,
+-
= 128� − �� + �
√-�
 
(C) 
+,
+-
= 128� − �� + �
� √-�
 
(D) 
+,
+-
= 128� − �� + �
√-.
� 
17 – Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde 
calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um 
tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é dado por: 
���� = 64� −
��
3
 
 
Podemos afirmar que a razão da expansão desta epidemia em relação ao 
tempo após quatro dias é igual a: 
(A) 277 pessoas por dia. 
(B) 80 pessoas por dia. 
(C) 60 pessoas por dia. 
(D) 48 pessoas por dia 
 
18 – Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 120 
m/s. Pela física sabemos que sua distância acima do solo após t segundos é 
���� = −4,9�² + 120� 
A aceleração do projétil após 1,5 segundos corresponde a: 
(A) – 14,70 m/s² 
(B) – 9,80 m/s² 
(C) – 7,35 m/s² 
(D) – 4,90 m/s² 
 
19 – O carro A segue em direção ao oeste a 90 km/h e o carro B segue rumo 
ao norte a 100 km/h. Ambos estão se dirigindo para a intersecção de duas 
estradas. A que taxas os carros se aproximam um do outro quando o carro A 
está a 60 metros e o carro B está a 80 metros da intersecção? 
(A) 134 km/h 
(B) 150 km/h 
(C) 13,4 km/h 
(D) 26,8 km/h 
 
20 – O volume deuma esfera é calculado com a expressão: / = 0
�
12� 
Quando um balão esférico esta sendo inflado, seu raio varia com o tempo 
segundo a função 2 = 3�, com � medido em minutos e 2 em centímetros. 
Quanto o volume do balão estará variando no instante � = 1 minuto? 
 
(A) 361	3%³/%56. 
 
(B) 1081	3%³/%56. 
 
(C) 121	3%³/%56. 
 
(D) 324	3%³/%56. 
 
21 – Suponha que a FIAT automóveis estima o custo de produção de x portas 
do modelo UNO VIVACE utilizando a seguinte função custo: 
7��� = 10000 + 5� + 0,01�� 
Sabe-se que o custo marginal de produção é determinado derivando-se a 
função custo. Desta forma qual será o custo marginal de produção por porta da 
FIAT automóveis neste mês, ao produzir suas expectativas que é de 500 portas 
para o modelo UNO VIVACE. 
(A) R$ 55 
(B) R$ 15.000 
(C) R$ 105 
(D) R$ 15 
22 – Chama-se custo marginal de produção de um artigo o custo adicional para 
se produzir o artigo além da quantidade já prevista. Na prática, a função custo 
marginal é a derivada da função custo. 
 
Uma fábrica de componentes eletrônicos tem custo de produção dados por: 
7��� =
��
3000
−
��
2
+ 260� + 200 
 
Com C em reais e x a quantidade de componentes produzidos. 
O custo marginal que essa fábrica tem pra produzir 800 componentes 
eletrônicos é equivalente a: 
(A) 100 reais. 
(B) 1 700 reais 
(C) 1 000 reais. 
(D) 800 reais. 
Respostas 
 
1. D 2. A 
3. C 4. B 
5. B 6. A 
7. D 8. D 
9. D 10. A 
11. A 12. A 
13. B 14. B 
15. C 16. C 
17. D 18. B 
19. A 20. B 
21. D 22. A