MAQ1_v2017 1_cap2

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Máquinas Elétricas 1
Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
alvaroaugusto@utfpr.edu.br 
Capítulo 2 – Transformadores Monofásicos
Sumário
Sumário do capítulo
 Introdução
 O Transformador Ideal
 O Transformadores Real
 O Autotransformador
 Sistema Por Unidade
 O Transformador de Alta Frequência
 Exercícios
 Referências
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2
Sumário
Observações
 Estes slides foram preparados como parte do conteúdo da disciplina de 
Máquinas Elétricas 1 dos cursos de Engenharia Elétrica e Engenharia de 
Controle e Automação da UTFPR, campus Curitiba.
 Esperamos que estes slides possam servir também como uma pequena 
apostila, além de material a ser exibido em sala de aula. Daí a maior 
quantidade de texto em relação a slides convencionais.
 Todas as ilustrações, exceto menção em contrário, foram confeccionadas 
pelo autor por meio do GIMP 2.8.18, GNU Image Manipulation Program.
 As fotografias foram pesquisadas por meio do Google e, quando a fonte 
não foi encontrada, foram consideradas de domínio comum. Caso não 
seja este o caso, basta entrar em contato e solicitar a retirada.
 E-mail: alvaroaugusto@utfpr.edu.br. 
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mailto:alvaroaugusto@utfpr.edu.br
Introdução
4
Sumário
Transformadores
 Transformadores (ou “Trafos”, na gíria da Engenharia Elétrica 
brasileira) são circuitos elétricos que transferem energia 
eletromagnética entre dois ou mais circuitos por meio de 
indução eletromagnética, possibilitando o aumento ou a 
redução de tensão.
 Faraday descobriu o princípio da indução de pulsos de tensão 
entre dois enrolamentos em 1830. Contudo, ele não percebeu 
que havia uma relação entre o número de espiras do primário 
e do secundário e as tensões do primário e do secundário, 
respectivamente.
 Um dos primeiros pesquisadores a perceber a relação entre 
espiras e tensões foi o irlandês Nicholas Callan (1799-1864). Em 
1837, usando um relógio para interromper a corrente 20 vezes 
por segundo, Callan, produziu faíscas de 380mm, uma tensão 
estimada de 60kV.
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5
Sumário
Aplicações dos Transformadores
 Adequar os níveis de tensão em sistemas de geração, transmissão e 
distribuição de energia elétrica.
 Isolar eletricamente o circuito de potência principal dos sistemas de 
proteção, medição e controle.
 Realizar casamentos de impedância, maximizando a transferência de 
potência entre dois circuitos.
 Evitar a transferência de corrente contínua de um circuito para o outro.
 Alimentar equipamentos de baixa tensão a partir de tomadas de média 
tensão (380/220/110 V).
 Realizar medições de tensão e corrente.
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Sumário
Alguns Tipos de Transformadores
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Figura (2.1)
Sumário
Transformadores de 
Força
 São transformadores para geração, 
transmissão e distribuição de energia 
em concessionárias e subestações de 
grandes indústrias, incluindo aplicações 
especiais como fornos de indução, 
fornos a arco e retificadores. 
 Potência: 5 MVA a 300 MVA.
 Tensões: as tensões mais comuns no 
Brasil vão de 230 kV a 500 kV. Uma 
exceção é uma das linhas AC da UHE 
Itaipu, que transmite em 750 kV.
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Fonte: WEG
Sumário
Sumário
Transformadores de 
Distribuição
 São transformadores para distribuição 
de energia ao consumidor final 
(concessionárias de energia, 
cooperativas, instaladoras e empresas 
de modo geral).
 Potência: 30 kVA a 300 kVA.
 Alta tensão: 13,8 kV a 25 kV.
 Baixa tensão: 380/220 V ou 220/127 V.
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Sumário
Autotransformadores
 São transformadores cujos enrolamentos, além de 
acoplados magneticamente, são também aco-
plados eletricamente. 
 Se o isolamento elétrico não for necessário e se, além 
disso, tensões variáveis forem necessárias, o auto-
transformador é o mais indicado.
 Por causa do acoplamento elétrico, o rendimento e a 
regulação do autotransformador são maiores.
 Um autotransformador de baixa potência bastante 
conhecido é o Varivolt.
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Sumário
Autotransformadores 
de Potência
 Autotransformadores trifásicos podem operar 
em potências que vão até algumas centenas 
de kVA. A grande vantagem é o tap variável, 
que per-mite o controle de tensão sob carga 
variável.
 Exemplos desse tipo de transformador 
encontram-se na subestação de 765/500/345 
kV Tijuco Preto e na subestação de 500/345 kV 
de Ibiúna, ambas pertencentes a Furnas.
 O autotransformador da fotografia ao lado foi 
construído pela Ningbo Tianan Group, uma 
empresa chinesa.
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Fonte: Ningbo Tianan Group, China
Sumário
Transformadores de Potencial (TPs)
 Os TPs são transformadores de medição de 
alta tensão usados em conjunto com os TCs. 
São conectados em paralelo com o circuito 
medido, interferindo minimamente no 
funcionamento deste.
 O primário do TP é conectado ao circuito de 
alta tensão a ser medido e o secundário é 
conectado a um voltímetro.
 A razão entre a tensão do primário e a 
tensão do secundário é uma constante 
denominada “razão de transformação” e é 
determinada pelo fabricante.
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12
Sumário
Transformadores de Corrente 
(TCs)
 TCs de alta tensão são usados em subestações para 
medição de corrente e proteção.
 Também existem TCs de baixa tensão, usados para 
monitoramento do consumo de energia em residências 
e outras instalações do mesmo tipo.
 O primário dos TCs é geralmente um só condutor e o 
secundário é um bobina envolvente. 
 Amperímetros do tipo alicate, que permitem a medição 
de correntes sem interrupção do circuito, também 
operam com base nesse princípio. 
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13
Sumário
Transformadores de Pulso
 Enquanto os transformadores convencionais 
operam com ondas senoidais, os transformadores 
de pulso operam com ondas descontínuas, e.g., 
ondas quadradas.
 A principal característica destes transformadores é 
reproduzir o mais adequadamente possível em seu 
secundário o sinal injetado no primário, o que 
requer elevada permeabilidade e indutância de 
dispersão reduzida, assim como capacitância entre 
espiras.
 De modo a evitar a distorção dos pulsos, estes 
transformadores operam somente na região linear 
da curva de magnetização.
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Sumário
Transformadores de 
Pulso de Alta Potência
 Transformadores de pulso são também 
usados na área de alta potência e alta 
frequência. 
 Estes transformadores podem usados 
para acoplar a saída de geradores AC 
com a entrada de retificadores, por 
exemplo. Outras aplicações envolvem 
aceleradores de partículas e a geração 
de pulsos para radar.
 A fotografia ao lado mostra um 
transformador de pulso de 12,5 MVA 
para uso em 33 kV.
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Fonte: Tianan China
Sumário
Transformadores de 
Áudio (AF)
 Os transformadores de áudio operam embanda larga, em frequências que vão de 
20Hz até 20kHz, e são usados para 
adequar a saída de alta impedância dos 
amplificadores de áudio com a entrada 
de baixa impedância dos alto falantes.
 Esses transformadores foram essenciais na 
época dos amplificadores valvulados, mas 
ainda são produzidos para uma série de 
funções, como no caso de amplificadores 
que devem alimentar simultaneamente 
dois ou mais alto falantes de impedâncias 
diferentes, por exemplo.
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16
Sumário
Transformadores de Alta Frequência (RF)
 As aplicações de transformadores de RF incluem o 
casamento de impedâncias, o isolamento de compo-
nentes DC de sinais AC e o interfaceamento entre 
circuitos balanceados e circuitos desbalanceados, como 
no caso de amplificadores de alta frequência.
 O núcleo destes transformadores não pode ser o aço 
silício, por causa da permeabilidade reduzida deste 
material em frequências elevadas. Materiais como ferrite, 
permalloy ou SMC (Soft Magnetic Composite) são então 
utilizados.
 Os transformadores de RF são de banda larga, como os 
transformadores de áudio, mas, ao contrário destes, 
podem operar em frequências que vão de alguns kHz 
até mais de 1,0 GHz. 
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Fonte: BCE
componentes
eletrônicos
O Transformador Ideal
18
Sumário
O Transformador Ideal
 Um transformador ideal é aquele 
que não apresenta perdas no 
cobre, no ferro, dispersão de 
fluxo ou quaisquer outros tipos 
de perdas.
 Um transformador é ilustrado ao 
lado, com uma fonte AC 
colocada no primário e uma 
carga no secundário.
 As grandezas indicadas por 1
pertencem ao primário e as 
indicadas por 2 pertencem ao 
secundário.
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Figura (2.2)
Sumário
Sumário
Notação
 A notação que iremos utilizar daqui em diante é a seguinte:
 Supondo que uma forma de onda seja senoidal de frequência w rad/s, 
podemos escrever, por exemplo:
onde q é um ângulo de defasamento medido a partir de uma referência.
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20
𝑣, 𝑖: valores instantâneos.
𝑉𝑚, 𝐼𝑚: valores máximos.
𝑉, 𝐼: valores eficazes.
ሶ𝑉, ሶ𝐼: fasores.
𝑣 = 𝑉𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜃 ,
Sumário
Fluxo Concatenado
 O fluxo magnético que atravessa uma espira é conhecido como fluxo 
concatenado com a espira (linkage flux). No caso de um enrolamento 
formado por N espiras o fluxo concatenado pode ser escrito como:
 Na relação acima devemos considerar que o fluxo concatenado com 
cada espira é levemente diferente do fluxo da espira vizinha e é muito 
difícil estimar essa distribuição de fluxos.
 Assim, na prática é mais comum usarmos a noção de fluxo concatenado 
equivalente:
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𝜆 = ෍
𝑖=1
𝑁
𝜙𝑖
𝜆 = 𝑁𝜙 (2.1)
Sumário
Fluxos de Dispersão
 O fluxo total em um enrolamento i pode ser escrito como:
 Aqui fdi é o fluxo de dispersão do enrolamento i e o fluxo f pode ser 
entendido como o fluxo mútuo entre os dois enrolamentos.
 O fluxo de dispersão é pequeno quando comparado com o fluxo mútuo, 
não mais de 7%.
 O fluxo de dispersão não satura, de forma que este fluxo em um dado 
enrolamento é proporcional à corrente neste enrolamento.
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21
𝜙𝑖 = 𝜙𝑑𝑖 + 𝜙 (2.2)
Sumário
Equacionamento do Trafo Ideal (1)
 Os valores instantâneos de fems e fluxos mútuos são escritos em função da 
Lei de Faraday:
 No transformador ideal os fluxos dispersos no primário e no secundário são 
desprezíveis. Logo, teremos f1 = f2 = f. Assim:
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22
𝑣1 = 𝑁1
𝑑𝜙1
𝑑𝑡
e 𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙2
𝑑𝑡
𝑣1 = 𝑁1
𝑑𝜙
𝑑𝑡
e 𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙
𝑑𝑡
ou
𝑣1
𝑁1
=
𝑣2
𝑁2
Sumário
Equacionamento do Trafo Ideal (2)
 Supondo ainda que as fems sejam funções suaves do tempo, como 
funções senoidais, a relação valerá também para os valores eficazes:
ou 
onde k é denominada “relação de espiras” ou “relação de transformação”.
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23
𝑉1
𝑉2
=
𝑁1
𝑁2
= 𝑘 (2.3)
Sumário
Equacionamento do Trafo Ideal (3)
 Em qualquer transformador temos que:
 No transformador ideal (sem perdas), vale também que:
 Substituindo esta relação em (2.3), teremos que
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24
𝑆1 = 𝑉1𝐼1 e 𝑆2 = 𝑉2𝐼2
𝑆1 = 𝑆2 ou 𝑉1𝐼1 = 𝑉2𝐼2
𝑉1
𝑉2
=
𝐼2
𝐼1
= 𝑘 (2.4)
Sumário
Equacionamento do Trafo Ideal (4)
 Unindo as relações (2.3) e (2.4) vem que
 Da relação (2.3) vem também que:
 Da relação (2.6) fica claro que a fmm e o fluxo magnético dentro do núcleo do 
transformador ideal são nulos. Isso ocorre por causa da Lei de Lenz, que produz 
uma fem com sinal inverso ao do fluxo original (força contra-eletromotriz).
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26
𝑁1𝐼1 = 𝑁2𝐼2 ou
𝑉1
𝑉2
=
𝑁1
𝑁2
=
𝐼2
𝐼1
= 𝑘 (2.5)
ℱ1 = ℱ2 (2.6)
Sumário
A Convenção do Ponto
 Testes de polaridade permitem 
determinar em qual terminal do 
secundário será induzida uma tensão 
positiva a partir de uma tensão positiva 
aplicada em um terminal do primário.
 Na notação de circuitos os pontos são 
colocados nos terminas das bobinas 
que tenham tensão positiva. Isso signi-
fica que um fluxo mútuo variável atra-
vés das duas bobinas produz tensões 
induzidas em fase:
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28
Figura (2.3)
ሶ𝐸1 = ሶ𝐸2
O Transformador Real
29
Sumário
Transformadores Elevadores
 As relações (2.3) e (2.4) permitem entender porque é 
necessário elevar as tensões antes de transmitir a po-
tência a longas distâncias. Seja, por exemplo, uma 
subestação cujos dados básicos são os seguintes:
 Gerador: 440 MVA, 13,8 kV.
 Transformador: 13,8 kV/230 kV.
 Resistência da Linha de transmissão: RTX=10 W.
 As perdas ôhmicas na linha de transmissão são P=RTXI
2
29
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Sumário
Resultados
 O fator de transformação é k=13,8 kV/230 kV=0,06.
 A corrente no primário é 𝐼1 = Τ𝑆 3𝑉1 = 400 × 10
3/ 3 × 13,8 =16.735 A
 Os demais resultados são mostrados na tabela abaixo.
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30
Tipo I1 (A) I2 (A) Perdas (MW) Perdas (%)
Com 
transformador
16.735 1.004 10,1 2,5%
Sem 
transformador
16.735 16.735 2.800 700%
Sumário
Conclusão
 Para manter as perdas em 2,5%, sem 
usar transformador, seria necessário um 
condutor com diâmetro 600 vezes maior 
do que os utilizados.
 O uso dos transformadores, que só é 
possível em corrente alternada, permite 
reduzir as perdas.
 Quando a linha de transmissão chega à 
subestação de destino, transformadores 
abaixadores fazem a operação inversa, 
reduzindo as tensões a valores utilizáveis.
31
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Sumário
Sistema de Geração, Transmissão e Distribuição
 Um sistema de geração, 
transmissão e distribuição de 
energia elétrica é mostrado ao 
lado.
 Note que, no desenho, um 
consumidor industrial é atendido 
diretamente da linha de distribui-
ção, talvez 13,8 kV, 34,5 kV ou 69 
kV.
 Alguns poucos consumidores no 
Brasil são atendidos diretamente 
da transmissão, em 230 kV, por 
exemplo.
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Sumário
Perdas no Transformador Real
 As perdas no transformador real são classificadas da seguinte forma:
 Perdas sob carga (PL)
 Perdas no cobre (PCu)
 Perdas suplementares (Psup)
 Perdas a vazio (Pf)
 Perdas no Ferro ou no núcleo (“core”) (PC)
 Perdas nos dielétricos (Pdi)
 As perdas suplementares e nos dielétricos são muito menores do que 
as perdas no cobre e no ferro, respectivamente, e são usualmente 
desprezadas.
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33
Sumário
Perdas no Cobre
 Sendo Ne o número total de enrolamentos de um 
transformador e ri a resistência elétrica de cada um 
deles, as perdas totais no cobre (também 
denominadas “perdas ôhmicas”) serão:
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1 
34
𝑃𝐶𝑢 =෍
𝑖=1
𝑁𝑒
𝑟𝑖 𝐼𝑖
2 (2.7)
Sumário
Perdas por Histerese
 As perdas por histerese surgem da energia absorvida pelo núcleo de 
ferro para percorrer os laços de histerese.
 Sendo Bm a indução magnética de pico e f a frequência de operação, 
as perdas por histerese podem ser escritas como:
onde x (o expoente de Steinmetz) e kh são parâmetros que devem ser 
determinados experimentalmente.
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35
𝑃ℎ = 𝑘𝑘𝑓𝐵𝑚
𝑥 (2.8)
Sumário
Perdas por Correntes de Foucault
 As perdas por Foucault surgem das correntes induzidas no núcleo de ferro, 
também denominadas “correntes parasitas”. Sendo s a condutividade do 
núcleo, d a espessura das lâminas do núcleo, Bm a indução magnética de 
pico e f a frequência de operação, as perdas por Foucault serão:
 Note que as perdas por Foucault são diretamente proporcionais a s2 e a 
d2. Logo, quanto mais finas e menos condutivas forem as lâminas, menores 
serão as perdas por Foucault.
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36
𝑃𝐹𝐶 =
𝜋2𝜎
6
𝑓2𝑑2𝐵𝑚
2 (2.9)
Sumário
Perdas no Ferro
 Na prática as perdas por Foucault e por histerese não 
são medidas separadamente. De fato, a maneira mais 
fácil de determinar tais perdas é por meio do ensaio a 
vazio, que resulta nas perdas no ferro:
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37
𝑃𝐶 = 𝑃𝐻 + 𝑃𝐹𝐶 (2.10)
Sumário
Sumário
Reatâncias do Transformador (1)
 Como mostra a anterior, o fluxo total do transformador divide-se em três 
componentes: o fluxo mútuo entre o primário e o secundário, o fluxo 
disperso no primário e o fluxo disperso no secundário.
 É possível representar os fluxos por meio de reatâncias. Inicialmente, 
sabemos que:
onde “i” é o índice do enrolamento em questão.
 Da Lei de Hopkinson, temos:
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38
𝑥𝑖 = 𝜔𝐿𝑖 = 𝜔
𝑁𝑖
2
ℛ
,
𝑥𝑖 = 𝜔
𝑁𝑖
2
Τℱ𝑖 𝜙𝑖
ou 𝑥𝑖 = 𝜔
𝑁𝑖
2
ℱ𝑖
𝜙𝑖 (2.11)
Sumário
Reatâncias do Transformador (2)
 As reatâncias de dispersão do transformador correspondem à potência 
fornecida pela fonte de alimentação, mas que não estão disponíveis para 
realizar o processo de transformação.
 Da mesma forma, o fluxo mútuo, ou fluxo de magnetização, pode ser 
escrito em função de uma reatância de magnetização:
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39
𝑥𝑚 = 𝜔
𝑁2
ℱ𝑚
𝜙𝑚 (2.12)
Sumário
Circuito Equivalente do Transformador Real
 A terminologia completa de impedâncias e correntes que usaremos é a 
seguinte:
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40
𝑟1 = resistência ôhmica do primário (Ω).
𝑟2 = resistência ôhmica do secundário Ω .
𝑟𝐶 = resistência de perdas no ferro Ω .
𝑥1 = reatância de dispersão do primário Ω .
𝑥2 = reatância de dispersão do secundário Ω .
𝑥𝑚 = reatância de magnetização Ω .
𝐼1 = corrente do primário A .
𝐼2 = corrente do secundário A .
𝐼𝜙 = corrente de excitação A .
𝐼𝐶 = corrente de perdas no ferro A .
𝐼𝑚 = corrente de magnetização A .
𝐼𝐶 = corrente de perdas no ferro A .
Sumário
Magnetização do Núcleo
 Considerando que o fluxo concatenado seja um função senoidal do 
tempo de frequência w rad/s, podemos escrever:
 A tensão induzida no primário será:
 Calculando o valor eficaz da tensão, teremos:
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41
𝜙 = 𝜙𝑚𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛ω𝑡
𝑒1 = 𝑁1
𝑑𝜙
𝑑𝑡
𝑒1 = 𝜔𝑁1𝜙𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 2𝜋𝑓𝑁1𝜙𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡ou
𝑉1 =
2𝜋
2
𝑓𝑁1𝜙𝑚𝑎𝑥
ou
𝜙𝑚𝑎𝑥 =
𝐸
𝜋 2𝑓𝑁1
(2.13)
Sumário
Equivalente do Transformador Real (1)
 O circuito equivalente do transformador real é inicialmente construído 
adicionando-se as resistências dos condutores e as reatâncias de 
dispersão ao circuito do transformador ideal.
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42
Figura (2.4)
Sumário
Ramo de Excitação
 Os efeitos de excitação do núcleo 
precisam ser agora incluídos.
 Charles P. Steinmetz (1865-1923) 
representou a excitação dividindo-a 
em duas partes: magnetização e 
perdas no núcleo. 
 O fluxo de magnetização fm, é 
produzido pela corrente de 
magnetização Im e as perdas no ferro 
são produzidas pela corrente Ic.
 O ramo de excitação é representado 
ao lado.
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44
Figura (2.5)
Sumário
Equivalente do Transformador Real (2)
 O equivalente do transformador real é finalizado adicionando-se o ramo 
de excitação ao equivalente anterior.
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44
Figura (2.6)
Sumário
Equacionamento do Trafo Real
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45
ሶ𝐼1 = ሶ𝐼𝜙 + ሶ𝐼1
′ (2.14)
ሶ𝐼𝜙 = ሶ𝐼𝑚 + ሶ𝐼𝑐 (2.15)
ሶ𝑉1 = ሶ𝐸1 + ሶ𝐼1 𝑟1 + 𝑗𝑥1 (2.22)
ሶ𝐸2 = ሶ𝑉2+ ሶ𝐼2 𝑟2 + 𝑗𝑥2 (2.23)
𝑃𝑐 =
𝐸1
2
𝑟𝑐
(2.16)
𝑃𝑐 = 𝑟𝑐 𝐼𝑐
2 (2.17)
𝑄𝑚 =
𝐸1
2
𝑥𝑚
(2.19)
𝑄𝑚 = 𝑥𝑚 𝐼𝑚
2 (2.20)
ሶ𝐸1 = 𝑘 ሶ𝐸2 (2.18)
𝑃𝐶𝑢 = 𝑟1𝐼1
2 + 𝑟2𝐼2
2 (2.21)
Sumário
Figura (2.7)
Diagrama Fasorial a Vazio (1)
 Sabendo que o fluxo e as fems estão 
defasados de 90°, o diagrama ao lado 
pode ser construído.
 Note que o fluxo de magnetização é 
tratado como um fasor, embora seja a 
rigor um escalar (lembremos da Lei de 
Gauss do magnetismo). 
 Esse tipo de “vetorização” ou “fasorização” 
do fluxo magnético será útil em varias 
oportunidades.
 Note que, no momento, por facilidade, as 
fems do primário e do secundário estão 
representadas em oposição de fase.
Prof. Alvaro Augusto - UTFPR Máquinas Elétricas 1 46 Sumário
Sumário
Diagrama Fasorial a Vazio (2)
 Quando a vazio, a relação (2.22) 
se torna:
 O diagrama ao lado ilustra todos 
os fasores do transformador 
monofásico a vazio.
 Note que, neste caso, a corrente 
que passa pela resistência do 
primário é apenas a corrente de 
excitação.
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Figura (2.8)
ሶ𝑉1 = ሶ𝐸1 + ሶ𝐼𝜙 𝑟1 + 𝑗𝑥1
Sumário
Sumário
Figura (2.9)
Diagrama Fasorial Sob Carga (1)
 Supondo um transformador alimentando carga indutiva, o diagrama fasorial é 
construído a partir da equação (2.22).
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Sumário
Figura (2.10)
Diagrama Fasorial Sob Carga (2)
 O diagrama fasorial completo, com as grandezas do secundário incluídas, é mostrado 
abaixo.
Prof. Alvaro Augusto - UTFPR Máquinas Elétricas 1 49 SumárioSumário
Transferência de Impedância
 Lembrando das relações de transformação (relação 2.5), podemos 
escrever:
 Uma impedância Z2 no secundário pode ser escrita em função de uma 
impedância Z1 no primário:
 A relação (2.24) é denominada transferência de impedância e significa 
que uma impedância do secundário pode ser “vista” do primário desde 
que multiplicada por k2.
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50
𝑉1 = 𝑉2𝑘 e 𝐼1 =
𝐼2
𝑘
𝑍1 =
𝑉1
𝐼1
=
𝑘𝑉2
𝐼2/𝑘
= 𝑘2
𝑉2
𝐼2
ou 𝑍1 = 𝑘
2𝑍2 (2.24)
Sumário
Equivalente “T” Referido ao Primário
 O circuito equivalente referido ao primário, também denominado 
Equivalente T, pode ser agora construído tomando-se como base a 
transferência de impedância. 
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51
Figura (2.11)
Sumário
Equacionamento do Equivalente “T” 
Referido ao Primário
 Algumas relações no circuito referido ao primário podem ser simplificadas 
em relação ao circuito completo, conforme abaixo:
 As demais relações permanecem as mesmas.
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52
ሶ𝐼1 = ሶ𝐼𝜙 +
ሶ𝐼2
𝑘
(2.25)
ሶ𝑉1 = ሶ𝐸 + ሶ𝐼1 𝑟1 + 𝑗𝑥1 (2.30)
ሶ𝐸 = ሶ𝑘𝑉2 + ሶ𝐼2 𝑘𝑟2 + 𝑗𝑘𝑥2 (2.29)
𝑃𝑐 =
𝐸2
𝑟𝑐
(2.27)
𝑄𝑚 =
𝐸2
𝑥𝑚
(2.26)
𝑃𝐶𝑢 = 𝑟1𝐼1
2 + 𝑟2𝐼2
2 (2.28)
Sumário
Figura (2.12)
Diagrama Fasorial do Equivalente “T” – Carga 
Indutiva
 O diagrama fasorial do Equivalente T é igual ao diagrama do circuito completo, desde 
que façamos E1 = E2 = E. Por facilidade de visualização, vamos remover os fasores-
corrente do ramo de excitação e agrupar os demais fasores do lado direito.
Prof. Alvaro Augusto - UTFPR Máquinas Elétricas 1 53 Sumário
Sumário
Diagrama Fasorial do Equivalente “T” – Carga 
Capacitiva
 No caso de carga capacitiva a corrente do secundário se adianta em relação à 
tensão do secundário.
Prof. Alvaro Augusto - UTFPR Máquinas Elétricas 1 54 Sumário
Figura (2.13)
Sumário
Equivalente “T” Referido ao Secundário
 Um Equivalente “T” referido ao secundário também pode ser construído. 
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55
Figura (2.14)
Sumário
Equivalente Simplificado Ref. Primário (1)
 Em algumas situações a corrente de excitação é muito pequena em 
comparação com a corrente do primário. O ramo de excitação pode 
então ser posicionado em paralelo com a fonte de alimentação.
 Por conveniência duas variáveis são definidas:
 O circuito equivalente simplificado referido ao primário, também 
denominado Circuito L, é mostrado na página seguinte.
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56
𝑟𝑒𝑞 = 𝑟1 + 𝑘
2𝑟2 (2.31)
𝑥𝑒𝑞 = 𝑥1 + 𝑘
2𝑥2 (2.32)
Sumário
Equivalente Simplificado Ref. Primário (2)
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57
Figura (2.15)
Sumário
Equacionamento do Equivalente “L”
 Algumas relações podem ser ainda mais simplificadas:
 As demais relações permanecem as mesmas.
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58
ሶ𝐼1 = ሶ𝐼𝜙 +
ሶ𝐼2
𝑘
(2.33)
ሶ𝑉1 = 𝑘 ሶ𝑉2+ 
ሶ𝐼2
𝑘
𝑟𝑒𝑞 + 𝑗𝑥𝑒𝑞 (2.37)
𝑃𝑐 =
𝑉1
2
𝑟𝑐
(2.35)
𝑄𝑚 =
𝑉1
2
𝑥𝑚
(2.34)
𝑃𝐶𝑢 = 𝑟𝑒𝑞
𝐼2
𝑘
2
(2.36)
Sumário
Exemplo 2.1 (1)
 Um transformador monofásico de 100 kVA, 8.000/320 V tem os seguintes 
parâmetros de circuito equivalente: r1=5.0 W; r2=0,0075 W; x1=6,0 W; x2=0,009 
W; rc=50 kW; xm=10 kW. Os parâmetros em série estão referidos aos seus 
próprios lados e os parâmetros em paralelo estão referidos ao lado de alta. 
O transformador opera com fator de potência 0,9 indutivo. Considerando 
V2=320 V, tomado como referência, calcule as perdas no ferro e a 
potência de magnetização usando o circuito: a)equivalente “T”; b) 
equivalente “L”.
 Para o equivalente “T”:
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59
ሶ𝐼2 =
𝑆
𝑉2
. exp −𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑓𝑝 =
100.000
320
. exp −25,84 = 312,5. exp(−25,84)
ሶ𝐸 = 𝑘 ሶ𝑉2 + ሶ𝐼2 𝑘𝑟2 + 𝑗𝑘𝑥2 = 25 × 320 + 312,5. exp(−25,84) × 0,005 + 𝑗0,006
Sumário
Exemplo 2.1 (2)
 Perdas no ferro:
 Potência de magnetização:
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60
ሶ𝐸 = 8.055,61. exp(0,179)
𝑃𝑐 = 1.297,86 𝑊𝑃𝑐 =
𝐸2
𝑟𝑐
=
8.055,61 2
50.000
𝑄𝑚 =
𝐸2
𝑥𝑚
=
8.055,61 2
10.000
𝑄𝑚 = 6.489,28 var
Sumário
Exemplo 2.1 (3)
 Para o equivalente “L”:
 Tensão de entrada para 320V na saída:
 As perdas no ferro e potência de magnetização podem ser calculadas 
como antes, com V1 no lugar de E.
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61
𝑃𝑐 = 1.335,89 𝑊 𝑄𝑚 = 6.679,47 var
𝑟𝑒𝑞 = 𝑟1 + 𝑘
2𝑟2 = 9,69 Ω 𝑥𝑒𝑞 = 𝑥1 + 𝑘
2𝑥2 = 11,63 Ω
ሶ𝑉1 = 𝑘 ሶ𝑉2+ 
ሶ𝐼2
𝑘
𝑟𝑒𝑞 + 𝑗𝑥𝑒𝑞 = 25 × 320 +
312,5
25
. exp(−𝑗25,84) × 9,69 + 𝑗11,63
ሶ𝑉1 = 8.172,80. exp 𝑗0,547 𝑉 .
O erro entre os cálculos 
com os dois equivalentes 
é 2,85%. 
Sumário
Equivalente Simplificado Referido ao 
Primário sem Ramo de Excitação
 Em algumas aplicações o 
ramo de excitação pode 
ser totalmente desprezado 
sem grandes prejuízo aos 
cálculos. 
 Um circuito sem ramo de 
excitação, referido ao 
primário, é mostrado ao 
lado.
Prof. Alvaro Augusto - UTFPR Máquinas Elétricas 1 62 Sumário
Figura (2.16)
Sumário
Equacionamento do Equivalente 
Simplificado
 Algumas relações bastante simplificadas:
 As demais relações permanecem as mesmas.
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63
ሶ𝐼1 = ሶ𝐼𝜙 +
ሶ𝐼2
𝑘
(2.33)
ሶ𝑉1 = 𝑘 ሶ𝑉2+ 
ሶ𝐼2
𝑘
𝑟𝑒𝑞 + 𝑗𝑥𝑒𝑞 (2.37)
𝑃𝑐 =
𝑉1
2
𝑟𝑐
(2.35)
𝑄𝑚 =
𝑉1
2
𝑥𝑚
(2.34)
𝑃𝐶𝑢 = 𝑟𝑒𝑞
𝐼2
𝑘
2
(2.36)
Sumário
Laboratório: Ensaio a Vazio
 O objetivo do ensaio a vazio é determinar o valor dos parâmetros 
do ramo de excitação. Deve-se deixar o lado de alta tensão a 
vazio, alimentar o lado de baixa com tensão nominal e medir 
corrente e potência, conforme abaixo.
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64
Figura (2.17)
Sumário
Equivalente a Vazio
 A vazio podemos usar o equivalente L e desconsiderar o ramo série, 
pois a corrente circulando por ele é desprezível, conforme mostrado 
abaixo.
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65
Figura (2.18)
Sumário
Cálculo dos Parâmetros a Vazio
 Tendo-se medido V0, P0 e I0, os parâmetros do ramo de excitação podem 
ser determinados conforme se segue, referidos ao lado de baixa tensão.
 Da mesma forma:
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66
𝑃0 =
𝑉0
2
𝑟𝑐
𝑟𝑐(𝐵) =
𝑉0
2
𝑃0
(2.38)ou
𝑄0 =
𝑉0
2
𝑥𝑚
ou 𝑥𝑚 =
𝑉0
2
𝑄0
,
ou, ainda:
𝑥𝑚(𝐵) =
𝑉0
2
𝑉0
2𝐼0
2 − 𝑃0
2
(2.39)
Sumário
Laboratório: Ensaio em Curto-Circuito
 O objetivo do ensaio em curto é determinar o valor dos parâmetros do 
ramo em série. Devemos deixar o lado de baixa tensão em curto e 
alimentar o lado de alta, de modo que circule corrente nominal. A 
seguir medimos tensão e potência, conforme abaixo.
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67
Figura (2.19)
Sumário
Equivalente em Curto
 Em curto podemos desconsiderar o ramo em paralelo, pois a corrente 
circulando por ele é desprezível, conforme mostrado abaixo.
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68
Figura (2.20)
Sumário
Cálculo dos Parâmetros em Curto
 Tendo-se medido Vcc, Pcc e Icc, os parâmetros do ramo de excitação podem 
ser determinados conforme se segue, referidos ao lado de alta.
 Da mesma forma:
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69
𝑃𝑐𝑐 = 𝑟𝑒𝑞𝐼𝑐𝑐
2
𝑟𝑒𝑞(𝐴) =
𝑃𝑐𝑐
𝐼𝑐𝑐
2 (2.40)
ou
ou
,
𝑥𝑒𝑞(𝐴) =
𝑉𝑐𝑐
2𝐼𝑐𝑐
2 − 𝑃𝑐𝑐
2
𝐼𝑐𝑐
2
(2.41)𝑄𝑐𝑐 = 𝑥𝑒𝑞𝐼𝑐𝑐
2
Sumário
Cálculo dos Parâmetros em Curto
 Para facilitar os cálculos é interessante converter os parâmetros para o 
mesmo lado. Por exemplo, convertendo os parâmetros em série para o 
lado de baixa tensão, teremos:
 Os parâmetros do circuito T podem ser estimados da seguinte forma:
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70
𝑟𝑒𝑞(𝐵) = 𝑘
2𝑟𝑒𝑞(𝐴) (2.42) 𝑥𝑒𝑞(𝐵) = 𝑘
2𝑥𝑒𝑞(𝐴) (2.43)
𝑟1 𝐵 = 𝑟2 𝐵 = 0,5 × 𝑟𝑒𝑞(𝐵) (2.44) 𝑥1 𝐵 = 𝑥2 𝐵 = 0,5 × 𝑥𝑒𝑞(𝐵) (2.45)
Sumário
Rendimento do Transformador (1)
 O rendimento de qualquer máquina é a relação entre a potência de 
saída e a potência de entrada. Definindo:
 O rendimento pode ser escrito como:
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71
𝑃𝑖 = potência de entrada.
𝑃𝑜 = potencia de saída.
𝑃𝑐 = perdas no ferro.
𝑃𝐶𝑢1 = perdas no cobre do primário.
𝑃𝐶𝑢2 = perdas no cobre do secundário.
𝜂 =
𝑃𝑜
𝑃𝑜 + 𝑃𝐶𝑢1 + 𝑃𝐶𝑢2 + 𝑃𝑐
(2.46)𝜂 =
𝑃𝑜
𝑃𝑖
ou
Sumário
Rendimento do 
Transformador (2)
 A curva do rendimento em 
função da carga é mostrado 
ao lado, com parâmetros 
ilustrativos.
 Podemos perceber que o 
rendimento é pequeno até um 
certo nível de carga, tornando-
se máximo em um ponto ótimo 
e decaindo um pouco a seguir. 
Esse é um dos problemas dos 
transformadores operando 
com carga reduzida.
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Figura (2.21)
Sumário
Sumário
Rendimento Máximo
 O rendimento máximo ocorrerá quando a derivada do rendimento em 
relação à corrente for nula. Utilizando o Circuito L, podemos escrever:
 Assim, o rendimento é máximo para a carga na qual as perdas no ferro 
igualam as perdas no cobre. Este fenômeno pode ser facilmente 
observado no gráfico anterior.
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73
𝜂 =
𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑟𝑒𝑞𝐼
2 − 𝑃𝑐
𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑑𝜂
𝑑𝐼
=
𝐼 𝑉𝑐𝑜𝑠𝜑 − 2𝐼𝑟𝑒𝑞 − 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝐼
2𝑟𝑒𝑞 − 𝑃𝑐
𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑 2
= 0
𝑟𝑒𝑞𝐼
2 = 𝑃𝑐 ou 𝑃𝐶𝑢 = 𝑃𝑐 (2.47)
Sumário
Regulação de Tensão
 A regulação de tensão é uma medida da variação da tensão do 
secundário provocadas por variações na carga. Sendo V2(0) a tensão do 
secundário a vazio e V2(L) a tensão do secundário sob carga, podemos 
escrever:
 A regulação percentual pode ser escrita como:
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74
𝑅 = อ
𝑉2 0 − 𝑉2 𝐿
𝑉2 0
𝑉1=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(2.48)
𝑅(%) = อ100 ×
𝑉2 0 − 𝑉2 𝐿
𝑉2 0
𝑉1=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(2.49)
Sumário
Exemplo 2.2 – Regulação Positiva (1)
 Vamos usar o Equivalente L para calcular inicialmente um circuito com 
regulação positiva. Seja um transformador de 10 kVA, 2.400/240 V, r1=3,0 W;
r2=0,03 W; x1=15,0 W; x2=0,15 W. O fator de potência inicialmente é 0,8 
indutivo.
 A impedância referida ao primário é:
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75
𝑘 =
2.400
2400
= 10
ሶ𝑍𝑒𝑞 1 = 𝑟1 + 𝑘
2𝑟2 + 𝑗 𝑥1 + 𝑘
2𝑥2 = 3,0 + 3,0 + 𝑗 15,0 + 15,0
ሶ𝑍𝑒𝑞 1 = 6,0 + 𝑗30,0 = 30,59. exp(𝑗78,7) Ω
Sumário
Exemplo 2.2 – Regulação Positiva (2)
 Agora calculamos a corrente:
 A tensão do secundário para V1=2.400 será:
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76
ሶ𝐼2 =
𝑆
𝑉2
. exp −𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑓𝑝 =
10.000
240
. exp −36,87 = 41,7. exp(−36,87)
𝑘 ሶ𝑉2 = ሶ𝑉1 − ሶ𝑍𝑒𝑞 1
ሶ𝐼2
𝑘
= 2.400 − 30,59 ×
41,7
10
× exp 78,7 − 36,87
ሶ𝑉2 = 230,67. exp −2,11
𝑅 =
𝑉2 0 − 𝑉2(𝐿)
𝑉2 0
=
240 − 230,67
240
= 0,0389 ∴ 𝑅 % = +3,89%
Sumário
Exemplo 2.3 – Regulação Negativa (1)
 Seja agora um caso de fator de potência 0,8 adiantado. A corrente será:
 A tensão do secundário para V1=2.400 será:
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77
ሶ𝐼2 = 41,7. exp(+36,87)
𝑘 ሶ𝑉2 = 2.400 − 30,59 ×
41,7
10
× exp 78,7 + 36,87 = 230,69. exp( 115,57)
ሶ𝑉2 = 245,77. exp −2,68
𝑅 =
𝑉2 0 − 𝑉2(𝐿)
𝑉2 0
=
240 − 245,77
240
= −0,024 ∴ 𝑅 % = −2,4%
Sumário
Curvas de 
Regulação
 A figura ao lado mostra as 
curvas de regulação para 
três fatores de potência, 
com a potência do 
transformador variando de 
zero até o valor nominal.
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Figura (2.22)
Sumário
O Autotransformador
79
Sumário
Figura (2.23)
Autotransformadores
 Um autotransformador tem apenas um 
enrolamento, conforme mostrado ao 
lado. A formação do primário e do 
secundário é feita por meio de um tap, 
o que faz o autotransformador ser 
acoplado eletricamente, além de 
magneticamente.
 O tap pode ser fixo, deslizante ou 
selecionável por meio de contatos, 
permitindo a obtenção de diversos 
níveis de tensão.
 Da mesma forma que corre com os 
transformadores comuns, os 
autotransformadores podem ser 
abaixadores ou elevadores.
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80
Sumário
Definição das Variáveis
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81
𝑁𝑠 = número de espiras do enrola −
mento série.
𝑁𝑐 = número de espiras do enrola −
mento comum.
𝑁𝑇 = 𝑁𝑠 + 𝑁𝑐= número total 
de espiras do autotrafo.
ℱ𝑇 = 𝑓𝑚𝑚 total Ae .
ℱ𝑠 = 𝑓𝑚𝑚 do enrolamento série Ae .
ℱ𝑐 = 𝑓𝑚𝑚 do enrolamento comum Ae .
𝐼𝑒𝑥 = corrente de excitação A .
𝑉𝑐 = tensão do enrolamento comum (V).
𝐼𝑐 = corrente do enrolamento
comum (A).
𝑉𝑠 = tensão nominal do enrola −
mento série (V).
𝐼𝑠 = corrente do enrolamento
série (A).
𝑆𝐵 = 𝑉𝑠𝐼𝑠 = potência nominal do
transformador antes de ser
conectado como autotrafo VA .
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = potência conduzida VA .
𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = potência transformada VA .
𝑆𝑖𝑛 = potência de entrada VA .
𝑆𝑜𝑢𝑡 = potência de saída VA .
Sumário
Autotransformador Elevador
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82
Figura (2.24)
Sumário
Autotransformador Abaixador
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83
Figura (2.25)
Sumário
Equacionamento do Autotransformador
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84
𝐼2 = 𝐼𝑠 + 𝐼𝑐 (2.51)
𝐼1 = 𝐼𝑠 (2.52)
𝐼𝑒𝑥 ≅ 0 (2.50)
𝑘 =
𝑁𝑠 + 𝑁𝑐
𝑁𝑐
(2.53)
𝑉𝑐
𝑉𝑠
=
𝐼𝑠
𝐼𝑐
=
𝑁𝑐
𝑁𝑠
(2.54)
𝑉1 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 (2.55)
𝑉1
𝑉2
=
𝐼2
𝐼1
= 𝑘 (2.56)
𝑆𝑖𝑛 = 𝑉1𝐼1 (2.58)
𝑆𝑜𝑢𝑡 = 𝑉2𝐼2 (2.59)
𝑆𝑖𝑛 ≅ 𝑆𝑜𝑢𝑡 (2.60)
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑉𝑐 𝐼2 − 𝐼𝑠 (2.62)
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑉2𝐼2 1 −
1
𝑘
(2.63)
𝑉𝑐 = 𝑉2 (2.57)
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑆𝑜𝑢𝑡
𝑁𝑠
𝑁𝑠 + 𝑁𝑐
(2.64)
𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑆𝑜𝑢𝑡 − 𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 (2.65)
𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑆𝑜𝑢𝑡
𝑁𝑐
𝑁𝑠 + 𝑁𝑐
(2.66)
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑉𝑐𝐼𝑐 (2.61)
Sumário
Exemplo 2.4 – Autotrafo Elevador (1)
 Um transformador de 60 VA, 120/12 V, 5 A (no secundário) foi reconectado 
como um autotransformador elevador. O enrolamento de 120 V é o 
enrolamento comum e o enrolamento de 12 V é o enrolamento série. 
Determine: (a) o fator de transformação k; (b) a tensão na saída para 105 
V aplicados no primário; (c) a potência total transferida; (d) a potência 
transformada; (e) apotência conduzida.
 Fator de transformação:
 Tensão no secundário:
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85
𝑉2 =
𝑉1
𝑘
=
105
0,909
𝑘 =
𝑉𝑐
𝑉𝑠 + 𝑉𝑐
=
120
120 + 12
=
120
132
∴ 𝑘 = 0,9091
∴ 𝑉2 = 115,5 𝑉
Sumário
Exemplo 2.4 – Autotrafo Elevador (2)
 Potência nominal transferida:
 Potência nominal transformada:
 Potência conduzida
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86
𝑆𝑜𝑢𝑡 = 𝑉2𝐼𝑛𝑜𝑚 = 115,5 × 5 ∴ 𝑆𝑜𝑢𝑡 = 577,5 𝑉𝐴
𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑉1𝐼2 = 105 × 0,50 ∴ 𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 52,5 𝑉𝐴
𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑆𝑜𝑢𝑡 − 𝑆𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 577,5 − 52,5
∴ 𝑆𝑐𝑜𝑛𝑑 = 525 𝑉𝐴
𝐼2 =
𝑆𝑛𝑜𝑚
𝑉𝑛𝑜𝑚
=
60
120
= 0,50
Sumário
Conclusões
 Pelo preço de um transformador de 60 VA nominais obtemos um 
transformador capaz de transformar 577,5 VA. A potência que não é 
transferida magneticamente (52,5 VA) é transferida eletricamente (525 
VA). Por causa disso o autotransformador é mais econômico do que o 
transformador convencional.
 Outra característica aqui é que se deseja elevar a tensão de 105 V para 
apenas 115,5 V. Nesse caso seria um desperdício adquirir um transformador 
de 525 VA para realizar somente esta operação.
 Uma desvantagem do autotransformador é a ausência de isolamento 
elétrico. Uma falha no isolamento dos enrolamentos pode resultar e tensão 
plena aplicada à carga.
 No caso de redes trifásicas os autotransformadores têm a limitação de não 
suprimir harmônicos de corrente.
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87
Sistema Por Unidade (PU)
88
Sumário
Definição do Sistema Por Unidade
 Um valor em PU é o valor original de uma grandeza, tal como tensão, 
corrente, impedância, etc., escrito em relação a um valor base da mesma 
grandeza. Sendo Vreal o valor da grandeza original e Vbase o valor base, o 
valor expresso em PU será:
 Um valor expresso em PU é igual a um centésimo do mesmo valor, quando 
expresso de forma percentual. Da mesma forma que percentuais, valores 
em PU são adimensionais. Todavia, costumamos anexar a partícula “PU” 
ao final dos valores, de modo a evitar confusão.
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89
𝑉𝑝𝑢 =
𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒
(2.85)
Sumário
Algumas Vantagens do Sistema PU
 Os fabricantes de equipamentos tais como geradores, motores e 
transformadores costumam fornecer reatâncias e impedâncias já em PU 
ou em percentual, expressas nas bases nominais dos equipamentos. 
 Equipamentos semelhantes (mesma tensão, mesma potência, etc.) têm 
impedâncias semelhantes quando expressas em PU. Isso facilita os cálculos 
para substituição de equipamentos e para expansão e reformulação de 
redes. 
 A impedância de transformadores, quando expressa em PU, é 
independente do lado (alta, média, baixa tensão) que tomamos como 
referência. 
 A impedância dos transformadores torna-se independente do tipo de 
ligação (delta-estrela, delta-delta, estrela-estrela, etc.). 
 Nas máquinas trifásicas, o uso do é minimizado.
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90
√3
Sumário
Escolha das Bases (1)
 Em sistemas elétricos há três grandezas importantes: tensão elétrica, 
potência aparente, corrente elétrica e impedância. Escolhendo-se as 
bases para duas dessas grandezas, as bases para as outras seguem-se 
diretamente.
 Por exemplo, sendo Vb e Sb as bases de tensão e potência, respecti-
vamente, a impedância base é:
 A corrente base para sistemas monofásicos é:
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91
𝑍𝑏 =
𝑉𝑏
2
𝑆𝑏
(2.86)
𝐼𝑏 =
𝑆𝑏
𝑉𝑏
(2.87)
Sumário
Escolha das Bases (2)
 Para sistemas trifásicos a corrente base será:
 A impedância base também pode ser escrita da seguinte forma:
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92
𝐼𝑏 =
𝑆𝑏
3𝑉𝑏
(2.88)
𝑍𝑏 =
𝑉𝑏
𝐼𝑏
(2.89)
Sumário
Exemplo 2.5 (1)
 (CHAPMAN, Exemplo 2.3) Considere o sistema de potência abaixo.
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93
Figura (2.26)
Sumário
Exemplo 2.5 (2)
 Os dados do sistema são os seguintes:
 Vamos escolher as seguintes bases na região do gerador:
 As bases de corrente e impedância são calculadas a partir das bases de 
tensão e potencia:
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94
𝑉𝐺 = 480 𝑉 Transformador 1: 𝑘1= 1/10 Transformador 2: 𝑘2 = 1/10
𝑍𝐿𝑇 = 20 + 𝑗60 Ω 𝑍𝐿 = 10. exp(𝑗30) Ω
𝑉𝑏1 = 480 𝑉 𝑆𝑏 = 10 𝑘𝑉𝐴
𝐼𝑏1 =
𝑆𝑏
𝑉𝑏1
=
10.000
480
= 20,83 𝐴 𝑍𝑏1 =
𝑉𝑏1
𝐼𝑏1
=
480
20,83
= 23,04 Ω
Sumário
Exemplo 2.5 (3)
 As tensão base se transformam da mesma forma que as tensões reais:
 Enquanto a potência base permanece a mesma em todo o sistema.
 As demais bases na região 2 serão:
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95
𝑉𝑏2 =
𝑉𝑏1
𝑘1
=
480
1/10
= 4.800 𝑉
𝑆𝑏2 = 𝑆𝑏1 = 10.000 𝑉𝐴
𝐼𝑏2 =
𝑆𝑏
𝑉𝑏2
=
10.000
4.800
= 2,083 𝐴 𝑍𝑏2 =
𝑉𝑏2
𝐼𝑏2
=
480
2,083
= 2.304 Ω
Sumário
Exemplo 2.5 (4)
 Na região 3 teremos
 As demais bases na região 3 serão:
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96
𝑉𝑏3 =
𝑉𝑏2
𝑘2
=
4.800
20/1
= 240 𝑉
𝑆𝑏3 = 10.000 𝑉𝐴
𝐼𝑏3 =
𝑆𝑏
𝑉𝑏3
=
10.000
240
= 41,67 𝐴
𝑍𝑏3 =
𝑉𝑏3
𝐼𝑏3
=
240
41,67
= 5,76 Ω
Sumário
Exemplo 2.5 (5)
 Agora convertemos os valores para pu:
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97
𝑉𝐺
𝑝𝑢
=
𝑉𝐺
𝑉𝑏1
=
1,0
1,0
= 1,0 𝑝𝑢
𝑍𝐿𝑇
𝑝𝑢
=
𝑍𝐿𝑇
𝑍𝑏2
=
20 + 𝑗60
2.304
= 0,00866 + 𝑗0,026 𝑝𝑢
𝑍𝐿
𝑝𝑢
=
𝑍𝐿
𝑍𝑏3
=
10. exp(𝑗30)
5,76
= 1,736. exp(𝑗30)𝑝𝑢
𝑍𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑝𝑢
= 𝑍𝐿𝑇
𝑝𝑢
+ 𝑍𝐿𝑇
𝑝𝑢
= 1,5117 + 0,894 𝑝𝑢 = 1,756. exp 𝑗30,6 𝑝𝑢
𝐼𝐺
𝑝𝑢
= 𝐼𝐿𝑇
𝑝𝑢
= 𝐼𝐿
𝑝𝑢
=
𝑉𝑝𝑢
𝑍𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑝𝑢 =
1,0
1,756. exp(𝑗30,6)
= 0,569. exp(−𝑗30,6)
Sumário
Exemplo 2.5 (6)
 A figura abaixo mostra o circuito final convertido para PU.
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98
Figura (2.27)
SumárioSumário
Diagramas Unifilares
 Diagramas unifilares são 
interessantes por se aplicarem 
tanto a sistemas monofásicos 
quanto a sistemas trifásicos 
equilibrados. 
 O diagrama da Figura (2.25), 
por exemplo, pode ser dese-
nhado como ao lado. Os 
barramentos 2 e 3 delimitam 
as regiões operacionais.
 Em um sistema de potência, 
além de outros barramentos, 
cada enrolamento de um 
transformador define um 
barramento.
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Figura (2.28)
O Transformador de Alta Frequência
100
Sumário
Transformadores de Alta Frequência 
 Quando os transformadores devem operar em frequências superiores a 
60 Hz, seja em AF ou RF, algumas características especiais aparecem. 
 Uma dessas característica é a elevada permeabilidade que o núcleo 
deve ter em frequências elevadas, o que torna impossível o uso de 
chapas de aço silício.
 Outra característica é a operação em várias frequências, e não 
apenas em uma frequência fixa. Dizemos então que o transformador 
deve ter banda larga.
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101
Sumário
Resposta em Frequência
 A resposta em frequência de 
um transformador de alta 
frequência pode ser medida 
por meio das perdas por 
inserção em relação, como 
mostrado ao lado.
 As perdas por inserção 
correspondem à fração de 
potência perdida quando otransformador é inserido em 
um sistema de transmissão, 
comparadas a um trans-
formador ideal.
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102
Figura (2.29)
Sumário
Circuito Equivalente 
para Altas Frequências
 As limitações de resposta em frequência do transformador de alta frequência 
são modeladas por meio da reatância capacitiva entre dois enrolamentos, (-jxc2) 
e das reatâncias capacitivas dos enrolamentos em si (-jxc1 e –jxc3).
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103
Figura (2.30)
Exercícios
100
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105
Sumário
 Exercício 2.1 (MCPHERSON; LARAMORE, 1990, 3.1). Um transformador 
monofásico tem 50 espiras em seu enrolamento primário, cuja indutância de 
dispersão é 0,8 mH. Em dado instante o fluxo entre o enrolamento primário e o 
secundário é 10 mWb e a corrente no primário é 20 A. Pede-se o fluxo 
concatenado total no primário neste instante.
 Exercício 2.2 (MCPHERSON; LARAMORE, 1990, 3.10). Um transformador 
monofásico de 7.200 V/240 V, 15 kVA tem Zeq=0,06 + j0,50 W, rc=800 W e xm=160
W, todas referidas ao secundário. (a) Quando o transformador está 
entregando corrente nominal a um fator de potência 0,8 indutivo sob 240 V, 
pede-se a tensão terminal e a corrente no primário; (b) que erro seria 
cometido se o transformador fosse ideal?
 Exercício 2.3 (MCPHERSON; LARAMORE, 1990, 3.11). Um transformador 
monofásico de 5 kVA, 440/220 V é testado em vazio e em curto-circuito. Os 
resultados do ensaio em vazio são 220 V; 1,10 A e 48,4 W e os resultados do 
ensaio em curto são 22,8 V; 11,4 A e 52 W. Pede-se: (a) o rendimento do 
transformador a plena carga e fator de potência 0,85 indutivo; (b) a que 
carga o transformador atinge rendimento máximo?
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106
Sumário
 Exercício 2.4 (MCPHERSON; LARAMORE, 1990, 3.18). Um transformador 
monofásico, 10 kVA, 7.260/240 V tem impedância equivalente de 100 + j400 W
referida ao primário. Pede-se: (a) a impedância referida ao secundário; (b) sob 
potência nominal, fator de potência unitário e tensão terminal igual a 220 V, 
qual a tensão no lado de baixa?
 Exercício 2.5 (MCPHERSON; LARAMORE, 1990, 3.19). Um transformador 
monofásico de 2.400/120 V, tem impedância equivalente de 0,01 + j0,09 W, 
referida ao lado de baixa. As perdas no ferro são 100 W. Quando tensão 
nominal é aplicada ao primário a tensão de excitação é 0,2 A. Pede-se a 
regulação e o rendimento a plena carga para: (a) fator de potência 0,8 
indutivo; (b) fator de potência 0,8 capacitivo.
 Exercício 2.6 (FITZGERALD; KINGSLEY; UMANS, 2006, 2.11). As resistências e 
reatâncias de dispersão de um transformador de distribuição de 30 kVA, 60 Hz, 
2.400/240 V, são: r1=0,68 W; x1=7,8 W; r2=0,0068 W ; x2=0,078 W. Cada quantidade 
está referida ao seu próprio lado. Considerando que o transformador esteja 
entregando potência nominal a uma carga com 230 V no lado de baixa, 
encontre a tensão no lado de alta que a carga seja: (a) indutiva com fator de 
potência 0,8; (b) capacitiva com fator de potência 0,8.
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107
Sumário
 Exercício 2.7 (FITZGERALD; KINGSLEY; UMANS, 2006, 2.18). Um transformador de 
distribuição de 75 kVA, 240/7970 V, 60 Hz, tem os seguintes parâmetros referidos 
ao lado de alta tensão: r1=5,93 W; x1=43,2 W; r2=3,39 W; x2=40,6 W; rc=244 kW; 
xm=114 kW. Suponha que o transformador esteja fornecendo sua potência 
aparente nominal em seu lado de baixa. Escreva um script em Matlab para 
determinar o rendimento do transformador para qualquer fator de potência, 
indutivo ou capacitivo.
 Exercício 2.8 (CHAPMAN, 2012, 2.3). Considere um sistema de potência simples 
consistindo de uma fonte ideal de tensão, um transformador elevador ideal, 
uma linha de transmissão, um transformador abaixador ideal e uma carga. A 
tensão da fonte é VS=480 V, a impedância da linha é ZLT=3 + j4 W e a impe-
dância da carga é ZL=30 + j40 W. (a) Considerando que os transformadores 
não estão presentes no circuito, qual a tensão da carga e o rendimento do 
sistema?; (b) considerando que o transformador 1 é elevador de 1 para 5 e 
que o transformador 2 é abaixador de 5 para 1, qual a tensão da carga e o 
rendimento do sistema?; (c) qual a relação de espiras necessária para reduzir 
as perdas na linha de transmissão a 1% da potência total do gerador?
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108
Sumário
 Exercício 2.9 (CHAPMAN, 2012, 2.15). Um autotransformador é utilizado para 
conectar uma linha de transmissão de 12,6 kV a uma outra linha de 13,8 kV. Ele 
deve ser capaz de operar com 2.000 kVA. Há três fases, ligadas em YY, com 
seus neutros solidamente aterrados. (a) qual deve ser a relação Nc/Ns para 
obter essa conexão?; (b) qual a potência aparente de cada enrolamento?; 
(c) qual é a vantagem de potência desse sistema como autotransformador?; 
(d) se um dos transformadores fosse religado como transformador comum, 
quais seriam suas especificações nominais?
 Exercício 2.10 (CHAPMAN, 2012, 2.16). Prove a seguinte afirmação: se um 
transformador, com uma impedância em série Zeq, for ligado como auto-
transformador, sua impedância em série, como autotransformador, será:
𝑍𝑒𝑞
′ =
𝑁𝑆
𝑁𝑆 + 𝑁𝐶
𝑍𝑒𝑞
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109
Sumário
 Exercício 2.11 (DEL TORO, 1999, 2.15). Um transformador de 200/100 V tem uma 
impedância de 0,3 + j0,8 W no enrolamento de 200 V e uma impedância de 
0,1 + j0,25 W no enrolamento de 100 V. Quais as correntes nos lados de alta e 
de baixa se o curto-circuito ocorrer do lado de 100 V com 200 V aplicados no 
lado de alta?
 Exercício 2.12 (DEL TORO, 1999, 2.21). Um transformador de 10 kVA, 460/150 V, 
tem resistência do enrolamento do lado de alta igual a 0,4 W e resistência do 
enrolamento do lado de baixa igual a 0,02 W. A reatância de dispersão 
equivalente do lado de alta é 3,2 W. Esse transformador alimenta uma carga 
passiva com corrente atrasada de 21,7 A em 460 V e 8 kW. Determine as 
componentes resistiva e reativa da impedância de carga. Despreze a 
impedância de magnetização.
 Exercício 2.13 (DEL TORO, 1999, 2.23). Um transformador de 30 kVA, 240/120 V, 
tem os seguintes parâmetros: r1=0,14 W; x1=0,22 W; r2=0,035 W; x2=0,055 W. 
Deseja-se uma fem induzida no primário igual, em módulo, à tensão nos 
terminais do primário quando o transformador fornece corrente de plena 
carga. Como deve ser o transformador carregado para que se obtenha esse 
carregamento?
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110
Sumário
 Exercício 2.14 (DEL TORO, 1999, 2.36). Um autotransformador monofásico tem 
Ns=100 espiras e Nc=600 espiras. Um ensaio de curto-circuito é realizado curto-
circuitando-se o enrolamento AB e aplicando-se uma tensão reduzida no 
enrolamento BC. A impedância equivalente vista do enrolamento BC é 1,5 + 
j4,5. (a) Calcule a impedância equivalente vista do lado AC para a condição 
onde o enrolamento BC está em curto; (b) calcule a resistência equivalente 
vista de BC quando AC é curto-circuitado e uma tensão aplicada a BC.
 Exercício 2.15 (DEL TORO, 1999, 2.37). Um autotransformador monofásico de 40 
kVA, alimenta uma impedância de 4,0.exp(-j36,9°) W, sob 200 V, a partir de 
uma alimentação de 125 V. Todas as perdas de potência e reatâncias de 
dispersão são desprezíveis. Calcule os módulos das correntes nas partes 
comuns e não comuns do transformador, considerando corrente de 
magnetização igual a 0,075 PU.
 Exercício 2.16 (DEL TORO, 1999, 2.40). Um transformadorcom potência nominal 
de 40 kVA tem perdas ôhmicas totais de 250 W quando opera com 50% da 
corrente nominal. Determine o valor PU da resistência equivalente.
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Sumário
 Exercício 2.17 (DEL TORO, 1999, 2.43). Um transformador com valores nominais 
de 2,5 MVA, 10.000/2.000 V, 60 z, é projetado para rendimento máximo com 
80% da carga nominal. O valor por unidade da impedância equivalente deste 
transformador é 0,02 + j0,06. Para uma carga resistiva e operação com 
rendimento máximo, calcule as perdas e a mudança na tensão de uma de 
carga de 80% (na tensão nominal) até a operação a vazio.
 Exercício 2.18 (BIM, 2009, 2.7). Um transformador monofásico de 200 kVA, 
20/2,4 kV, 60 Hz, é conectado para transformar 2,4 kV para 22,4 kV. Pede-se: 
(a) a máxima potência que pode ser transferida à carga sem exceder os 
valores nominais de tensão e corrente de seus enrolamentos; (b) as potências 
transferidas por indução e por condução.
 Exercício 2.19 (SEN, 1997, 2.10). Um transformador monofásico, 300 kVA, 
11kV/2,2 kV, 60 Hz, tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente 
referidos ao lado de alta tensão: req=2,784 W; xeq=8,45 W; rc=57,6 k W; xm=16,34 k
W. (a) Pede-se: (i) a corrente a vazio como um percentual da corrente a plena 
carga; (ii) as perdas a vazio (i.e., perdas no ferro); (iii) o fator de potência a 
vazio; (iv) as perdas no cobre a vazio. (b) Se a impedância da carga do lado 
de baixa for 16.exp(-j60°), calcule a regulação usando o circuito aproximado.
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Sumário
 Exercício 2.20 (SEN, 1997, 2.13 e 2.14). Um transformador monofásico, 25 kVA, 
2.300/230 V, tem os seguintes parâmetros: Zeq=4,0 + j5,0 W; rc=450 W; xm=300 W. 
O transformador é conectado a uma carga de fator de potência variável. (a) 
Determine a regulação para plena carga no pior caso; (b) determine o 
rendimento quando o transformador entrega plena carga sob tensão nominal 
e fator de potência 0,85 atrasado; (c) determine o carregamento percentual 
do transformador quando seu rendimento é máximo e determine este 
rendimento se o fator de potência é 0,85 atrasado sob tensão 230 V na carga.
 Exercício 2.21 (SEN, 1997, 2.15). Um transformador monofásico, 10 kVA, 
2.400/240 V, tem as seguintes características: perdas no ferro a plena 
carga=100 W; perdas no ferro a meia carga=60 W. (a) Determine o rendimento 
do transformador quando alimenta plena carga sob fator de potência 0,8 
atrasado; (b) determine o carregamento em PU no qual o rendimento é 
máximo. Determine esse rendimento se o fator de potência da carga for 0,9; 
(c) o transformador tem a seguinte curva de carga: vazio por 6 horas; 70% da 
carga por 10 horas sob fator de potência 0,8 indutivo; 90% da plena carga por 
8 horas sob fator de potência 0,9 indutivo. Determine o rendimento diário do 
transformador.
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113
Sumário
 Exercício 2.22 (SEN, 1997, 2.17). Um transformador monofásico, 10 kVA, 460/120 
V, 60 Hz, tem rendimento de 96% quando entrega 9 kW sob fator de potência 
0,9 indutivo. Este transformador é conectado como autotransformador para 
alimentar uma carga de 460 V a partir de uma fonte de 580 V. Pede-se: (a) 
desenhe a ligação do transformador como autotransformador; (b) determine 
a máxima potência (em kVA) que o autotransformador pode suprir à carga de 
460 V; (c) determine o rendimento do autotransformador a plena carga para 
fator de potência 0,9 indutivo.
 Exercício 2.23 (CHAPMAN, 2012, 2.9). Um transformador monofásico de 150 
MVA, 15/200 kV tem resistência de 0,012 pu e reatância de j0,05 pu. A 
impedância de magnetização é j50 pu. Pede-se: (a) encontre o circuito 
equivalente, referido ao lado de baixa tensão, deste transformador; (b) 
calcule a regulação de tensão do transformador, para uma corrente de plena 
carga com fator de potência 0,8 atrasado; (c) calcule as perdas no núcleo e 
no cobre nas condições do item (b); (d) considere que a tensão no primário é 
15 kV. Plote a tensão no secundário como uma função da corrente de carga 
para a condição desde a vazio até a plenas carga. Repita esse processo para 
fatores de potência 0,8 atrasado, unitário e 0,8 adiantado.
Sumário
The End!
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114
Sumário
Referências do Capítulo 2
 BIN, E. Máquinas elétricas e acionamento, 2009.
 CHAPMAN, S.J. Fundamentos de máquinas elétricas, 5ed. 2013.
 FITZGERALD, A.E. et al. Máquinas elétricas – com introdução a eletrônica 
de potência, 2006.
 JORDÃO, Rubens Guedes. Transformadores, 2008.
 MCPHERSON, G.; LARAMORE, R.D. An introduction to electrical machines
and transformers, 1990.
 SEN, Paresh C. Principles of electric machines and power electronics. 1997.
 SMITH, Ralph J. Circuitos dispositivos e sistemas – um curso de introdução à 
engenharia elétrica, v.1, 1975.
 WOLSKI, B. Eletromagnetismo para estudantes de engenharia, 2013.
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115