Avaliando o Aprendizado - Matemática Discreta V-580

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RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
1. RAZÃO 
Razão entre dois números (sendo o 2º diferente de 
zero) é a divisão do primeiro pelo segundo. 
 a_ ou a:b (para todo b≠0). 
 b 
 
Ex: A razão entre 3 e 2 ⇒ 3 / 2 (três para dois) 
 A razão entre 0,25 e 2 ⇒ 0,25 = 1/4 = 1/4 × 1/2 = 1/8 
 2 2 (um para oito) 
 
2. PROPORÇÃO (P) 
É toda igualdade entre duas ou mais razões. 
A proporção a_ = c_ pode ser lida como: 
 b d 
 (leitura: a está para b assim como c está para d). 
 
Termos da proporção 
a → 1º termo ou antecedente da 1ª razão. 
b → 2º termo ou conseqüente da 1ª razão. 
c → 3º termo ou antecedente da 2ª razão. 
d → 4º termo ou conseqüente da 2ª razão. 
a e d são os extremos da proporção. 
b e c são os meios da proporção. 
 
 
2.1. PROPRIEDADES 
 
 a = c_ 
 b d 
 
 
1ª Propriedade: Em toda proporção, o produto dos meios é 
igual ao produto dos extremos. 
 a . d = b . c 
 
Ex: 2 = 4 ⇒ 2 . 6 = 3 . 4 ⇒ 12 = 12 
 3 6 
 
2ª Propriedade: Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos 
antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes, 
assim como qualquer antecedente está para o seu conseqüente. 
 a ± c = a ou a ± c = c_ 
 b ± d b b ± d d 
 
Ex: 2 = 4 ⇒ 2 + 4 = 2 = 4 ⇒ 6 = 2 = 4_ 
 3 6 3 + 6 3 6 9 3 6 
 
3ª Propriedade: Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos 
dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), 
assim como a soma (ou diferença) dos dois últimos está para o 
terceiro (ou para o quarto) termo. 
 a ± b = c ± d ou a ± b = c ± d 
 a c b d 
 
Ex: 2 = 4 ⇒ 2 + 3 = 4 + 6 ⇒ 5 = 10_ 
 3 6 2 4 2 4 
 
3. DIVISÃO PROPORCIONAL – Existem 4 tipos: 
3.1. DIRETAMENTE PROPORCIONAL 
Ex: Dividir o número 72 em três partes diretamente 
proporcionais a 3, 4 e 5. 
Indicando por A, B, e C as partes procuradas, temos que: 
A tem 3 partes, B tem 4 partes e C tem 5 partes na divisão, 
A = 3p, B = 4p, C = 5p e A + B + C = 72 
 A = 3p ⇒ 3 . 6 = 18 
 B = 4p ⇒ 4 . 6 = 24 partes procuradas: 
 C = 5p ⇒ 5 . 6 = 30 18, 24 e 30 
72 = 12p ⇒ p = 72/12 ⇒ p = 6 
3.2. INVERSAMENTE PROPORCIONAL 
Dividir um número em partes inversamente 
proporcionais a n grandezas dadas, é a mesma coisa que 
dividir esse número em partes diretamente proporcionais aos 
inversos dessas grandezas. 
Ex: Dividir o número 72 em três partes inversamente 
proporcionais a 3, 4 e 12. 
Invertendo os números 3, 4 e 12, teremos 1/3, 1/4 e 1/12, 
reduzindo as frações ao mesmo denominador temos 4/12, 3/12 e 
1/12, desprezar os denominadores não irá alterar os resultados e 
simplificará os cálculos. Os inversos dos números então, serão 4, 
3 e 1. 
Indicando por A, B, e C as partes procuradas, temos que: 
A tem 4 partes, B tem 3 partes e C tem 1 parte na divisão, 
A = 4p, B = 3p, C = 1p e A + B + C = 72 
 A ⇒ 4p = 4 . 9 = 36 
 B ⇒ 3p = 3 . 9 = 27 partes procuradas: 
 C ⇒ 1p = 1 . 9 = 9 36, 27 e 9 
72 = 8p ⇒ P = 72/8 ⇒ p = 9 
 
3.3. DIVISÃO COMPOSTA DIRETA 
Chamamos divisão composta direta à divisão de um 
número em partes diretamente proporcionais a duas ou mais 
sucessões de números dados. 
Ex: Dividir o número 270 em três partes diretamente 
proporcionais a 2, 3 e 5 e também a 4 , 3 e 2. 
Indicando por A, B, e C as partes procuradas, temos que: 
A será proporcional a 2 e 4 ⇒ 2 . 4 = 8 
B será proporcional a 3 e 3 ⇒ 3 . 3 = 9 
C será proporcional a 5 e 2 ⇒ 5 . 2 = 10 
A tem 8 partes, B tem 9 partes e C tem 10 partes na divisão, 
A = 8p, B = 9p, C = 10p e A + B + C = 270 
 A ⇒ 8p = 8 . 10 = 80 
 B ⇒ 9p = 9 . 10 = 90 partes procuradas: 
 C ⇒10p = 10. 10 = 100 80, 90 e 100 
270 = 27p ⇒ p = 270/27 ⇒ p = 10 
 
3.4. DIVISÃO COMPOSTA MISTA 
Chamamos divisão composta mista à divisão de um 
número em partes que devem ser diretamente proporcionais 
aos valores de uma sucessão dada e inversamente 
proporcionais aos valores de outra sucessão dada. 
Ex: Dividir o número 690 em três partes que devem ser dir. 
proporcionais a 1, 2 e 3 e inv. proporcional a 2 , 3 e 4. 
Invertendo os números 2, 3 e 4 teremos 1/2 , 1/3 e 1/4 
Indicando por A, B, e C as partes procuradas, temos que: 
A será proporcional a 1 e 1/2 ⇒ 1 . 1/2 = 1/2 
B será proporcional a 2 e 1/3 ⇒ 2 . 1/3 = 2/3 
C será proporcional a 3 e 1/4 ⇒ 3 . 1/4 = 3/4 
Reduzindo as frações ao mesmo denominador temos 6/12, 8/12 
e 9/12, desprezar os denominadores não irá alterar os resultados 
e simplificará os cálculos. Os inversos dos números então, serão 
6, 8 e 9. 
A tem 6 partes, B tem 8 partes e C tem 9 partes na divisão, 
A = 6p, B = 8p, C = 9p e A + B + C = 690, 
 A ⇒ 6p = 6 . 30 = 180 
 B ⇒ 8p = 8 . 30 = 240 partes procuradas: 
 C ⇒ 9p = 9 . 30 = 270 180, 240 e 270 
690 = 23p ⇒ p = 690/23 ⇒ p = 30 
 
TESTES – RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
01. Dividindo-se o número 1.200 em partes diretamente 
proporcionais a 26, 34 e 40, obteremos A, B e C, tal que: 
a) O valor de B é 312. 
b) O valor de A é o maior dos três.