Como resolver qualquer tipo de fração

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Como resolver exercício de fração 
 
 1 
FRAÇÕES 
 
 Fração = partes do todo dividido em porções iguais = pedaço 
 
 
Se a fração é a parte de um todo, que quantidade do todo ela representa? 
 
A fração é escrita na forma 
a
b
 , onde a e b são normalmente números inteiros 
com b0. 
Nesta representação 
a
b
, b que é chamado de denominador indica em quantas 
partes o inteiro foi dividido e a que é chamado numerador, indica quantas partes 
do inteiro estamos considerando. 
 
 
Inteiro 
 
 
quero 2/3 deste inteiro 
 
 
inteiro dividido em três partes iguais 
 
 
2 partes do inteiro dividido em três 
 
 
 
 
 
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 2 
 
O inteiro é uma caixa contendo 36 balas. 
Quero 2/3 das balas. 
Vamos dividir as balas em três partes iguais: 36 : 3 = 12  12 + 12 +12 
 
Portanto duas partes são: 12 + 12 ou 2 . 12 ou 24 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Quanto é 2/7 de 343? 2) Quanto é 5/8 de 144? 3) Quanto é 5/9 de 
820? 
 
4) Quanto é 7/9 de 240? 5) Quanto é 5/6 de 340? 6) Quanto é 5/12 
de 720? 
 
Respostas: 
1) 98 2) 90 3)4100/9 4)560/3 5) 675/2 6) 300 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Definição: Frações equivalentes são aquelas que representam valores iguais 
 
Exemplo: 
2/3 
 
 
 
4/6 
 
 
 
 
Sejam a e b dois números inteiros, com b  0, para encontrarmos as frações 
equivalentes a 
a / b, multiplicamos, a e b (numerador e o denominador da fração) por um mesmo 
número 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5
3
 
10
6
2.5
2.3
= 
é equivalente 
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 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs. Normalmente, representamos uma fração através da sua equivalente 
que possui os menores numerais possíveis no numerador e no denominador. 
Este processo de encontrá-la chamamos de simplificação. 
 
Nos casos em que já temos as duas frações e queremos verificar se as mesmas 
são equivalentes e não desejamos fazer o caminho inverso (caminho de volta ou 
operações inversas), podemos também usar a propriedade fundamental das 
proporções, que diz: 
ou 
15
9
3.5
3.3
= ou 
20
12
4.5
4.3
= ou 
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 5 
 
Numa proporção, se duas razões são equivalentes, então o produto dos extremos 
é igual ao produto dos meios. 
 
Na proporção a:b = c: d ou 
d
c
b
a
= , a e d são os extremos e b e c são os meios. 
Portanto, a. d = b.c 
 
RAZÃO: é a relação ou quociente entre duas grandezas 
 
 
QUOCIENTE: resultado de uma divisão 
 
 
Obs: As frações também indicam uma divisão entre o numerador e o 
denominador. Ao efetuarmos a divisão entre o numerador e o denominador, 
obtemos como resultado, o número decimal equivalente à fração. 
 
 
Símbolo da Razão: 
a
b
 (lê-se: razão de a para b) 
 
Neste símbolo, que também pode ser a:b, a é o antecedente e b o conseqüente. 
 
Exemplo: 
 
Dividir 144 na razão de 
7
5
. 
Quando queremos dividir um valor numa determinada razão, devemos dividir este 
valor pelo total das partes. 
 
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144:(5+7) = 144:12 = 12 
 
12 é o valor de cada parte do todo. Logo, 5 partes é igual à 5.12 = 60 e 7.12 = 84. 
Portanto as partes são: 60 e 84. 
 
Mas se queremos saber quanto é a fração 
7
5
.de 144, devemos dividir 144 por 7 e 
o resultado multiplicar por 5. 
 
144:7 = 20,571 aproximadamente 
 
20,571.5 = 102,855 
 
 
 
 
Toda fração é uma razão entre uma parte e o todo 
 
 
Proporção: proporção é a equivalência entre duas razões 
 
Símbolo 
a
b
 =
d
c
 ou a:b = c:d, com b0 e d0. 
 
Nesta proporção a e d são os extremos e b e c são os meios 
 
Exemplos: 
 
1) Se 
3
5
6
10
=  =  =310 5 6 30 30. . (Verdade, portanto temos uma proporção) 
 
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 7 
2) Se 
2
3
5
9
2 9 35 18 15=  =  =. . (Falso, logo a equivalência não existe, não é 
uma proporção) 
 
3) Se 
8
12
2
3
8 3 12 2 24 24=  =  =. . (Verdade, portanto temos uma proporção) 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
I) Verifique se as frações são equivalentes, caso sejam equivalentes, coloque V e 
caso contrário F: 
 
 1) 2/7 e 8/28 Resposta: V 
 2) 12/15 e 21/35 Resposta: F 
 3) 30/45 e 8/15 Resposta: F 
 4) 15/18 e 30/36 Resposta: V 
 5) 14/21 e 15/25 Resposta: F 
 6) 15/100 e 3/20 Resposta: V 
 7) 3/7 e 24/56 Resposta: V 
8)14/35 e 40/100 Resposta: V 
9)12/18 e 25/80 Resposta: F 
10) 7/12 e 21/48 Resposta: F 
11) 20/42 e 30/63 Resposta: V 
12) 42/49 e 48/58 Resposta: F 
13) 13/5 e 39/15 Resposta: V 
14) 18/12 e 45/20 Resposta: F 
 
II) Calcule o valor de x em cada proporção: 
 
 1) 
10
6
5
=
x
 
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 8 
 2) 
24
123
=
x
 
 3) x=
10
5
 
 4)
6
31
=
x
 
5)
11
11 x
x
= 
6)
x
x 18
8
= 
7)
7
3
2
1
=
+x
 
8)
54
45
3
12
=
+
x
x
 
9)
4
1
3
+
=
xx
 
 
10)
1
3
4
2
−
=
−
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMAS 
 
1) Se em uma receita de bolo para cada 3 xícaras de farinha de trigo usa-se 5 
colheres de sopa de açúcar, quantas colheres de açúcar são necessárias para 7 
xícaras de farinha? 
2) Um alpinista leva um dia para escalar 2/7 de uma montanha. Quantos dias este 
alpinista levará para escalar outra montanha com o triplo da altura da primeira? 
3) Um cachorro come ¾ de sua ração em 5 minutos. Quanto tempo 2 cachorros 
comerão a ração inteira, supondo que os cães se alimentam na mesma rapidez? 
 
 OPERAÇÕES ENTRE FRAÇÕES 
 
 
I) ADIÇÃO : 
 
 
 
 + 
 
 
1 + 2 = 3 
4 4 4 
 
Quando duas ou mais frações têm denominadores iguais, temos partes de 
tamanhos iguais e neste caso, para efetuarmos a soma, basta somarmos os 
denominadores e conservar o denominador, pois o denominador só indica em 
quantas partes o inteiro foi dividido. 
 = 
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1 + 1 = 5 
2 3 6 
 
Quando os denominadores das frações são diferentes, temos uma situação em que 
queremos somar pedaços de tamanhos diferentes. Para podermos reduzi-las em 
frações equivalentes de denominadores iguais, isto é representa-las através de 
partes iguais. 
 
Mas como fazê-lo? 
 
Uma das técnicas para isto, é transformá-las em frações equivalentes com 
denominadores iguais ao produto entre os denominadores destas frações. 
 
1 . 2 + 1 . 3 
3 . 2 2 . 3 
 
 
 
2 + 3 = 5 
6 6 6 
 
 
 
 
Como é possível verificar na ilustração, com esta nova divisão, as partes achuradas 
foram representadas através de outras frações equivalentes as anteriores e assim 
foi possível representar a fração da solução. 
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Vejam que para podermos somar as frações foi necessário encontrar as frações 
equivalentes às das parcelas que possuem o mesmo denominador. 
 
Para facilitar a transformação das frações das parcelas em frações equivalentes de 
denominadores iguais, podemos: 
 
1) Encontrar o denominador comum 
 
Este denominador comum poderá ser o próprio produto ou qualquer múltiplo 
entre os denominadores das parcelas, e dentre eles, poderá ser também o m.m.c. 
entre os denominadores das parcelas. 
 
. 
 
Exemplo: 
12
11
24
22
24
418
24
4
24
18
6*4
4*1
6*4
6*3
6
1
4
3
==
+
=+=+=+ ndosimplifica . 
 
 
 
M.M.C.(a,b) ou m.m.c.(a,b) = menor múltiplo comum entre a e b. 
 
 Um múltiplo de um número é o resultado da multiplicação deste número por um 
número inteiro. 
 
Múltiplo comum entre a e b são aqueles que são múltiplosde ambos ao mesmo 
tempo. 
 
 
 
 
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Exemplos: 
 
a) múltiplos de 2 não negativos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... 
b) múltiplos de 3 não negativos: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 ... 
c) múltiplos de 5 não negativos: 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... 
d) múltiplos de 6 não negativos: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... 
e) múltiplos de 2 e de 3: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ... 
f) múltiplos de 2 e de 5: 0, 10, 20, 30, 40, 50, ... 
g) múltiplos de 3 e de 5: 0, 15, 30, 45, 60, 75, ... 
h) O menor múltiplo comum de 2 e de 3 não nulo é m.m.c.(2,3) = 6 
i) O menor múltiplo comum de 2 e 5 não nulo é m.m.c.(2,5) = 10 
j) O menor múltiplo comum de 3 e 5 não nulo é m.m.c.(3,5) = 15 
k) O menor múltiplo comum de 2 e 6 não nulo é m.m.c.(2,6) = 6 
 
Existe um método prático de encontrar o m.m.c. que consiste em fatorar os 
números dos quais se quer obter. 
 
Exemplo: m.m.c.(4,6) = 12, pois 4 - 6 2 
2 - 3 2 
1 - 3 3 
1 - 1 2.2.3 = 12 
 
 
 
 
2) Determinar os numeradores de cada fração equivalente. 
Para se obter o novo numerador da fração equivalente, fazemos: 
novo numerador = (novo denominador : antigo denominador) . antigo numerador 
 
Exemplo: 
Como resolver exercício de fração 
 
 13 
 3 1 9 2 11 
 4 6 12 12 12 
 
 12 : 4 = 3 12 : 6 = 2 
 3 . 3 = 9 2 . 1 = 2 
4 - 6 2 
2 - 3 2 
1 - 3 3 
1 - 1 2.2.3 = 1 
 
EXERCÍCIOS : 
 
Efetue as operações e simplifique a fração resposta, se possível: 
 
1) 2/5 + 1/6 = Resp. 17/30 2) 3/8 – ¼ = Resp. 1/8 3) 4/5 + 1/8 + 1/10 = Resp. 
41/40 
 
4) 3/8 + 2/5 – 2/9 = Resp. 199/360 5) 5/11 + 3/8 – ( 4/9 + 1/3 ) = Resp. 41/792 
 
6) 4/8 + 5/10+3/2 – ( 5/12 + 6/12 – 9/18) = Resp. 7) 5/15 + 2/5 + 7/10 – ¾ = Resp. 
41/60 
 
8) 2/21 – 7/12 + 13/42 = Resp. –15/84 9) 15/32 – 17/24 = Resp. –23/96 
 
10) 2/5 + ¾ - 7/8 – 1/6 = Resp. 13/120 11) ½ +1/3 + ¼ - 1/5 = Resp. 53/60 
 
 
 
II) MULTIPLICAÇÃO 
 
 
+ = + = 
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De um número por uma fração 
 
 
Quando multiplicamos um número por uma fração, temos que interpreta-la como 
uma repetição da fração numa soma, portanto basta multiplicar o numerador pelo 
número. 
 
Exemplos: 
 
a) 2. 
2
5
2
5
2
5
4
5
= + = , isto é: 
2
1
2
5
2 2
15
4
5
.
.
.
= = 
 
 
b) 3.
1
8
1
8
1
8
1
8
3
8
= + + = , isto é: 
3
1
1
8
3
8
. = 
 
 
2) De uma fração por outra fração: 
 
Obs. Não tirar de foco, que multiplicar uma fração por outra fração é obter uma 
fração da outra( um pedaço da outra) logo a tendência é a fração produto ser menor, 
nos casos em que a primeira fração seja ordinária(menor que 1). 
 
 
A multiplicação entre duas frações também pode ser escrita como uma fração de 
uma outra fração e a sua operação é feita através da multiplicação entre os 
numeradores e entre os denominadores. 
 
 
 
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Exemplos: 
 
 1) 1/2 de 3/5 =1/2 . 3/5 = 1 . 3 / 2 . 5 = 3 / 10 
 
 
 
 
 
Vejam na figura, que o resultado é a metade do original. 
 
 
 
2) 
2
3
3
5
. = 
2
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
1
2
3
5
20dos das balas. . 
 
 
3
5
 de 20 é 
3
5
20
320
5
60
5
12.
.
= = = 
 
 
1
2
 de 12 é 
1
2
12
112
2
.
.
= =
12
2
6= 
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 Estas operações podem ser reduzidas a 
1
2
3
5
20
1320
2 5
60
10
6. .
. .
.
= = = 
 
 
EXERCÍCIOS : 
 
Determine a quantidade relativa a fração dada: 
 
 1) Quanto é 23/100 de 4500? Resposta: 1035 
 2) Quanto é 32/100 de 2500? Resposta: 800 
3) Quanto é 3/11 de 121? Resposta: 33 
4) Quanto é 5/9 de 252? Resposta: 140 
5) Quanto é 7/10 de 120? Resposta: 84 
6) Quanto é 2/13 de 390? Resposta: 60 
7) Quanto é 5/12 de 60? Resposta: 25 
8) Quanto é 11/100 de 2000? Resposta: 220 
9) Quanto é 2/5 de 80? Resposta: 32 
10) Quanto é 5/8 de 240? Resposta: 150 
11) Quanto é ¾ de 50? Resposta: 37,5 ou 150/4 ou 75/2 
12) Quanto é 6/12 de 72? Resposta: 36 
13) Quanto é 3/7 de 63? Resposta: 27 
14) Quanto é 7/12 de 54? Resposta: 31,5 ou 378/12 ou 189/6 ou 126/4 ou 63/2 
 15) Quanto é 7/8 de 36? Resposta: 31,5 ou 252/8 ou 126/4 ou 63/2. 
 
Efetue as operações simplificando a fração resultado, o máximo possível: 
 
1) (2/3).(3/4) = Resp. ½ 2) (3/5).(2/7).(4/3) = Resp. 8/35 3) (3/8).(5/7).(7/3) = 
Resp. 5/8 
 
Como resolver exercício de fração 
 
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4) (12/15).(3/8).(5/9) = Resp. 1/6 5) 7.(5/9).(3/10) = Resp. 7/6 6) 5.(3/7) = Resp. 
15/7 
 
7) (3/5).10 = Resp. 6 8) (2/9).(3/8) = Resp. 1/12 9) (3/5).(4/7).(35/48) = Resp. 
¼ 
 
10) 2.(2/7) + (3/4).(4/7) = Resp. 1 11) (2/5).3.(1/2) + (4/5).(3/8) = Resp. 9/10 
 
12) 4.(3/7).(14/9) – 3.(1/5).(10/21) = Resp. 50/21 13) (3/4).2.(5/6) – 3.(1/6) = Resp. 
¾ 
 
14) 5.(1/15).(6/7) + (1/2).(1/3) = Resp, 19/42 15) (3/5).(5/6).3 – 6.(2/9).(1/2) = 
Resp. 5/6 
 
 
 EXERCÍCIOS : 
Efetue as operações indicadas: 
 
1) 5.(3/7) = Resp. 15/7 2) (3/5).10 = Rersp. 30/5 ou 6 3) (2/9).(3/8) = 
Resp. 6/72 ou 1/12 4) (3/5).(4/7).(35/48) = Resp. ¼ 5) 2.(2/7) + 
(3/4).(4/7) = Resp. 1 6) (2/5).3.(1/2) + (4/5).(3/8) = Resp. 9/10 
 
 
III) DIVISÃO 
 
Obs. Ao dividirmos um número por uma fração, estamos querendo saber 
quantas vezes esta fração cabe neste número ou quantas desta fração são 
necessárias para compormos esse número. 
 
 A divisão entre dois números pode ser entendida como a multiplicação entre o 
primeiro número e o inverso do segundo. Apesar de que devemos também 
Como resolver exercício de fração 
 
 18 
entender que quando escrevemos a : b, onde b não é zero, estamos 
perguntando ou querendo saber quantas grupos de b são necessários para 
formar o a, ou quantos b cabem em a. Logicamente, se b for maior que a, a : 
b terá um resultado menor que 1 ou seja a/b, que poderá ser representado 
exatamente ou aproximadamente, dependendo de cada caso, pelo número 
decimal que é o resultado da divisão (quociente) de a por b. 
 
(o elemento inverso de um número num certo conjunto em relação a uma 
determinada operação, é o elemento que operado com o seu direto tem como 
resultado o elemento neutro desta operação no referido conjunto). 
( elemento neutro de uma operação num conjunto, é o elemento que ao ser 
operado com qualquer elemento do conjunto, tem como resultado este 
qualquer elemento). 
 
Na adição de números reais, o elemento neutro é o zero, (para qualquer número 
x dos números reais, x + 0 = 0 + x = x), na multiplicação, o elemento neutro é 
o 1, ( para qualquer número x dos números reais, x.1 = 1.x = x) 
 
Na adição de números reais, o inverso aditivo ou oposto ou simétrico de um 
número a é o -a, pois a + (-a) = 0. E na multiplicação o inverso de a, a diferente 
de zero, é o número 1/ a. 
 
 Exemplos: 
 
 1) o inverso aditivo ou oposto ou simétrico de 2 é o –2 e o do –2 é o 2. 
 2) o inverso multiplicativo ou simplesmente o inverso de 2 é ½ e o inverso de ½ 
é 2. 
 
Número decimal é a representação de uma fração decimal(frações cujo 
denominador são resultados de potência de 10) através de numerais com 
virgulas. 
Como resolver exercício de fração 
 
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Exemplos: 
 
1) 1/10 = 0,1 (é lido como um décimo); 2/10 = 0,2 (é lido como dois décimos). 
 
2) 1/100 = 0,01 (é lido como um centésimo); 3/100 = 0,03 (é lido como três 
centésimos); 37/100 = 0,37 (é lido como trinta e sete centésimos) 
 
 
3) 1/1000 = 0,001 (é lido como um milésimo); 132/1000 = 0,132 (é lido como 
cento e trinta edois milésimos) 
 
4) 1/10000 = 0,0001 ( é lido como um décimo milésimo); 23/10000 = 0,0023 ( é 
lido como vinte e três décimos milésimos). E assim sucessivamente. 
 
 
Como transformar uma fração qualquer em número decimal? 
Para podermos transformar uma fração a/b em número decimal, basta efetuar a 
divisão de a por b, divisão esta feita manualmente ou através de uma 
calculadora. 
Como nem sempre é possível fazer esta representação exata porque nem 
sempre as divisões são exatas, devemos ter uma regra de aproximação em 
conjunto com o número de casas após a virgula que podemos considerar.(o 
número de casas após a virgula depende do fenômeno e dos materiais de 
medidas envolvidos no problema a ser estudado). 
 
Exemplo: 2/7 de um metro, medido com uma régua comum escolar = 
0,2857...~0,286 metros, pois na régua, só conseguimos observar com precisão 
até milímetros. 
 
As operações entre números decimais, tem na: 
Como resolver exercício de fração 
 
 20 
Adição ( soma e subtração ) como característica principal, deixar virgula em 
baixo de virgula nas operações realizadas na vertical. Exemplo: 2,0154 + 
0,004376 = 2,019776, pois 
 
 2,0154 
 + 0,004376 
 _________ 
 2,019776 
 
Na multiplicação, faz-se a operação normal com os números formados com os 
dígitos significativos e o produto final deve ter o número de casas após a 
virgula igual a soma do número de casas de cada um dos fatores que 
compõem a multiplicação, onde as últimas casas devem ser o número que é o 
resultado da multiplicação feita inicialmente. 
Ex: 2,005x0,04 = 0,08020 2005x4 =8020 
 3 casas x 2 casas = resultado com 3 + 2 casas = 5 casas 
Obs. Nesta operação, o resultado 0,08020 poderá ser representado por 0,082 
pois, após a virgula e após o último dígito significativo (diferente de zero) a 
colocação ou não de zeros, não altera o número e na maioria dos casos, os 
zeros aparecem para indicar a precisão das medidas que estamos usando. 
 
Na divisão, se multiplicarmos o dividendo e o divisor por um acompanhado de 
tantos zeros quantos forem as casas após a virgula do número que tem maior 
número de casas após a virgula e efetuar a operação com os resultados. 
Exemplo: 0,0125 : 0,00025. Vejam que o dividendo tem 4 casas após a virgula 
e o divisor tem 5, portanto vamos multiplicar cada um por 100000 
0,0125 x 100000 = (125/10000) x 100000 = 125 x 10 = 1250 
0,00025 x 100000 = (25/100000) x 100000 = 25, logo: 
0,0125 : 0,00025 = 1250 : 25 = 50. 
 
 Exemplos de divisão: 
Como resolver exercício de fração 
 
 21 
 
1) A metade de 6/7 é o mesmo que (6/7) / 2 = (6/7).(1/2) = 6/14 = 3/7 
(figura) 
2) A terça parte de 5/8 é o mesmo que (5/8) / 3 = (5/8).(1/3) = 5/24 
(figura) 
Obs. : Não se esqueçam que “metade de” é o mesmo que “½ de”. A “terça parte 
de” é o mesmo que “1/3 de”. E que a metade é obtida dividindo-se o valor 
desejado por 2; a terça parte é obtida dividindo-se o valor por 3. 
 
3) Dividir 2/5 por 3/7 = (2/5)/(3/7) = (2/5).(7/3) = (2.7)/(5.3) = 14/15. 
(figura) 
Neste caso, podemos também entender como: “quantos 3/7 tem em 2/5., pois 
não devemos esquecer que nos números inteiros, quando estamos dividindo 
12 por 3, também estamos verificando, quantos grupos de 3 tem em 12, ou 
quantos grupos de 3 elementos são necessários para se ter um total de 12 
elementos. 
 
3) Dividir 12/5 por 3/5 é o mesmo que verificar quantos 3/5 tem 12/5 que é o 
mesmo que (12/5)/(3/5) = (12/5).(5/3) = 60/15 = 4. 
(figura) 
 
Obs. Vejam que nestes dois últimos exemplos, um tem como resultado uma 
fração e o outro, um número inteiro. Isto significa que 3/7 é uma fração não 
inteira de 2/5, enquanto que temos exatamente quatro 3/5 formando 
12/5.(mostrar com figuras) 
 
EXERCÍCIO: 
 
Efetue as seguintes operações e simplifique a fração resposta o máximo 
possível: 
 
Como resolver exercício de fração 
 
 22 
1) 5 : (3/4) = Resp. 20/3 2) (5/6) : 5 = Resp. 1/6 3) (3/5) : (4/15) = Resp. 
9/4 
 
4) (10/9) : (20/21) = Resp. 7/6 5)  (3/5 + 2/3):( 2/5): (4/5) = Resp. 95/24 
 
2/3 + (2/5):(6/10) : (1/3 + 2/5):(11/20) : 2.(1/3) + (4/7).(3/5) = Resp.315/424 
 
Porcentagem, Regra de três Simples e compostas 
 
 Porcentagem = Por cento = em cada 100 = uma quantidade relativa a 100. 
A porcentagem, é uma representação de uma parte com o todo onde sempre 
consideramos o todo como 100, portanto podemos dizer que seria uma fração 
representada por uma fração decimal(centesimal) equivalente. Logo, podemos 
fazer esta mudança de representação usando as proporções, pois as frações 
(original) e (centesimal) são equivalentes. 
Exemplo: 2/5 = 2 em cada 5, poderá ser representada pela equivalente 40/100 = 40 
em cada 100. 
 
 A regra de três simples, nada mais é que um algoritmo usado para calcular a 
quarta proporcional, isto é: Temos uma razão (composta de 2 numerais) e um valor 
da outra razão equivalente e queremos calcular o outro valor desta segunda razão. 
E para tal, usamos a propriedade fundamental das proporções: o produto entre os 
extremos é igual ao produto entre os meios. (Na formação da proporção 
através de frações, nos dá a visão de multiplicação em cruz) 
Exemplo: 2/3 = 4/x . Como 2 e x são os extremos e 3 e 4 são os meios, temos 2.x 
= 3.4, ou 
2x = 12, ou x = 6. 
 
 
 
 
Como resolver exercício de fração 
 
 23 
 
Divisão proporcional 
 
Nas divisões proporcionais, temos dois tipos: 
 
I) Divisão diretamente proporcional. 
Nesta divisão estamos estudando a divisão de um valor em cotas e quanto 
maior for a quantidade de cotas, maior será o rateio da divisão. Vejamos uma 
situação onde a divisão é diretamente proporcional. 
Numa sociedade entre três amigos, André, Carlos e Luiz, as cotas de 
sociedade são 2, 4 e 5 respectivamente, ao dividirem um lucro de R$ 
20900,00, diretamente proporcional às cotas, André recebe x, Carlos y e Luiz 
z. Então temos: 
542
zyx
== , com x + y + z = 20900. Vejam que o total de cotas é 2 + 4 + 5 = 11. 
Se dividirmos 22000 por 11, saberemos de quanto é cada cota, isto é: 1900, 
logo: 
André recebe 2x1900 = 3800 
Carlos recebe 4x1900 = 7600 e 
Luiz recebe 5x1900 = 9500. 
 
Matematicamente, temos 
542542 ++
++
===
zyxzyx
, mas 1900
11
20900
542
==
++
++ zyx
que significa: 
 
1900
2
=
x
 → x = 3800, 1900
4
=
y
 → y = 7600 e 1900
5
=
z
 → z = 9500 
 
II) Divisão inversamente proporcional. 
 
Como resolver exercício de fração 
 
 24 
Como o próprio nome diz, a divisão é inversamente proporcional. Na divisão de 
cotas, quem tem mais cotas, tem o valor menor. No exemplo anterior, nesta 
divisão o valor a receber multiplicado pela cota é constante, isto é 2x = 4y = 5z, 
pois na inversamente proporcional a 2, 4 e 5, teremos diretamente proporcional ao 
inverso de cada quantidade de cota. 
5
1
4
1
2
1
5
1
4
1
2
1
++
++
===
zyxzyx
 que ao efetuarmos 
cada uma das divisões temos 
1
5
.
1
4
.
1
2
. zyx == = 
20
4510 ++
++ zyx
 ou seja 2x = 4y = 5z =
19
).(20 zyx ++
. 
Como x + y + z = 20900, ficamos com 2x = 4y = 5z = 
19
418000
 ou 22000, logo 
2x = 22000 → x = 11000 
4y = 22000 → y = 5500 
5z = 22000 → z = 4400 
 
Na prática, podemos achar as frações equivalentes a 
2
1
, 
4
1
 e 
5
1
 que são 
20
10
, 
20
5
 
e 
20
4
 e fazermos a divisão diretamente proporcional aos novos numeradores, isto 
é diretamente proporcionais a 10, 5 e 4. 
Neste caso seria como André tivesse 10 cotas, Carlos 5 e Luiz 4, num total de 19 
cotas. 
Ao dividirmos 20900 por 19, temos 1100, com isso, 
André = 10x1100 = 11000 
Carlos = 5x1100 = 5500 e 
Luiz = 4x1100 = 4400.