Apostila de Eletrotecnica Basica_1

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1
Eletrotécnica Básica 
 
1. Resoluções de Circuitos em corrente contínua 
 
Definições: 
a) Bipolo – é qualquer dispositivo elétrico com dois terminais; 
 Ex.: Resistor, indutor, capacitor, gerador, etc. 
 Símbolo do bipolo: 
 
b) Circuito Elétrico – A conexão de dois ou mais bipolos elétricos 
forma uma rede e, se a rede possui pelo menos um caminho 
fechado, pelo qual pode circular uma corrente, tem-se um circuito 
elétrico. 
 
c) Gerador de Tensão Contínua – é um dispositivo elétrico que 
impõe uma tensão entre seus terminais, qualquer que seja o 
valor da corrente. 
 Símbolo do Gerador de tensão contínua: 
 
d) Gerador de Corrente Contínua – é um dispositivo que impõe 
uma corrente, qualquer que seja o valor da tensão aplicada aos 
terminais. 
 Símbolo do Gerador de corrente contínua: 
 
e) Associação de Bipolos em Série – é um conjunto de bipolos 
ligados de tal maneira que a corrente que passa por um bipolo, 
obrigatoriamente, passa pelos outros. 
 
V 
- + 
B1 B2 B3 B4 
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2
f) Associação de bipolos em paralelo – é um conjunto de bipolos 
ligados de tal maneira que a tensão aplicada a um é, 
obrigatoriamente, aplicada aos outros. 
 
 
 
 
g) Ligação de Bipolos em Estrela – é um conjunto de três bipolos 
ligados de acordo com a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) Ligação de Bipolos em Triângulo (delta) – é um conjunto de 
três bipolos ligados conforme com a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
B1 B2 B3 B4 
B1 
B2 B3 
B1 
B3 
B2 
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3
Leis dos circuitos: o processo de resolução de circuitos em 
corrente contínua baseia-se nas seguintes leis da Física: 
a) Lei de Ohm : 
R
V
I = ou V = RI 
 
(Conceitos preliminares para as Leis de Kirchhoff): 
 O ponto de conexão entre dois ou mais bipolos é conhecido 
como nó. O trecho de circuito, compreendido entre dois nós, 
contendo um elemento simples de circuito, é conhecido como 
ramo. 
 
b) 1ª Lei de Kirchhoff (lei das correntes): A soma das correntes 
que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem do 
nó, consideradas todas no mesmo instante. 
 
 I 3 + I 5 = I 1 + I 2 + I 4 
 I 3 + I 5 – I 1 – I 2 – I 4 = 0 
 ∑ = 0I 
 
c) 2ª Lei de Kirchhoff (lei das tensões): a soma algébrica das tensões ao 
longo de um caminho fechado é igual à soma algébrica das quedas de 
voltagem existentes nessa malha. 
(Entende-se malha como um caminho fechado, isto é: partindo de um determinado nó, caminha-se sobre os 
ramos, ultrapassando outros nós uma única vez, até chegar ao nó de partida. Diversas malhas podem 
conter um mesmo nó. Entretanto, nenhum nó pode aparecer de forma repetida em uma mesma malha).
 
 
∑ ∑= RIE ou 0RIE =− ∑∑ 
-E 1+E2+E3=I 1R1–I 2R2+I 3r 3-I 4R4 
 -E 1+E2+E3-I 1R1+I 2R2-I 3r 3+I 4R4=0 
 
 
I5 
 I1 
I2 
I4 
I3 
+ - 
- + 
+ - 
+
- 
+
 
- 
+
- 
-
 
+
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Análise de Malhas para resolução de circuitos 
 Este processo é válido para circuitos planares (que podem ser 
representados num plano, sem cruzamentos de linha), contendo 
apenas bipolos lineares e sem geradores de corrente. 
 
Exemplo 01: 
 
 1ª Malha (ABEF): 100 – 40 =5I 1 + 5I 1 + 10(I 1 – I 2) 
 2ª Malha (BCDE): 40 = 10I 2 + 10(I 2 – I 1) 
 
 60 = 20I 1 - 10I 2 60 = 20I 1 - 10I 2 
 40 = -10I 1 + 20I 2 (x2) 80 = -20I 1 + 40I 2 
 
 140 = 30I 2 
 I 2 =140/30 = 4,67A 
 
 60 = 20I 1 – 10 x 4,67 � I 1 = (60 + 46,7)/20 
 I 1= 5,33A 
 
 
 
 
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5
Exemplo 02: 
 
 
 
 
 
 
Nó A: I 4 = I 1 + I 3 
Nó B: I 2 = I 3 + I 6 
Nó C: I 1 = I 5 + I 6 
Malha ADCEF: E 1 = I 1R1 + I 4R4 + I 5R5 
Malha BCD: E 2 - E 6 = I 2R2 + I 6R6 - I 5R5 
Malha ABCD: -E 6 = -I 3R3 + I 6R6 – I 4R4 - I 5R5 
 
 Aplicando as Leis de Kirchhoff podemos transformar circuitos 
ligados em “Y” em circuitos ligados em “∆” 
 
 
 
 
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6
 
“ ∆∆∆∆” em “Y” 
321
21
RRR
RR
Ra
++
= 
321
31
RRR
RR
Rb
++
= 
321
32
RRR
RR
Rc
++
= 
 “Y” em “ ∆∆∆∆” 
Rc
RcRaRbRcRaRb
R
++=1 
Ra
RcRaRbRcRaRb
R
++=2 
Rb
RcRaRbRcRaRb
R
++=3 
 
Exemplo 03: 
 
 
 
 
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2. Resoluções de Circuitos em corrente alternada 
A quase totalidade dos sistemas elétricos trabalha com correntes e 
tensões alternadas. Isto se deve ao fato de: 
a) Ser mais fácil o transporte da energia para lugares distantes; 
b) Ser econômica a transformação de níveis de tensão e de 
corrente, de acordo com a necessidade; 
c) Ser econômica a transformação de energia elétrica em 
energia mecânica e vice-versa; 
 
Força Eletromotriz de um alternador elementar 
 
O esquema representa um gerador de corrente alternada, denominado alternador . O conjunto de espiras é 
chamado armadura e seus terminais são coletados a anéis metálicos. Em cada anel apóia-se uma escova; 
a corrente é entregue ao circuito através dessas escovas. Denomina-se coletor o conjunto formado pelos 
anéis e escovas. A espira girando em campo magnético uniforme, com velocidade angular constante gera 
uma corrente alternada induzida. É a variação de fluxo que induz corrente. Quando o fluxo é máximo, ele 
não varia; a FEM induzida é nula; a corrente é nula e muda de sentido. 
φm = Fluxo Máximo encadeado com a espira 
ω = Velocidade angular da espira (rad/seg) 
α = ωt = ângulo formado pelo plano da espira com o plano 
perpendicular às linhas de fluxo 
φ = φm.cos ωt 
dt
d
e
φ−= para uma espira 
tsen.n
dt
)tcos.(d
n
dt
d
ne m
m ωφω=ωφ−=φ−= 
mas: mm nE φω= então: tsen.Ee m ω= 
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Função periódica 
y = f(t) é periódica se assumir o mesmo valor f(t) para 
instantes espaçados de T, 2T, 3T,... 
então y = f(t) = f(t+T) = f(t+2T) = ... = f(t+nT) 
T = período 
 
Freqüência 
nº de períodos (ou ciclos) por segundos (Hertz ou Hz) 
T
1
f = ex.: para f = 60Hz ⇒ T = 1/60 = 0,01667 seg 
Então ft2sen.Eef2
T
2
m π=⇒π=π=ω 
Freqüências usuais: 
50Hz (Europa, Paraguai) 
60Hz (Brasil, USA) 
25Hz (alguns sistemas de tração elétrica) 
250 a 2700Hz (Telefonia comercial) 
25 a 40 kHz (Sondagem submarina) ultra-som 
30 kHz (telegrafia sem fio) 
150 kHz (Radiodifusão – Ondas Longas) 
500 a 1500 kHz (Radiodifusão – Ondas Médias - 200 a 600m) 
30 MHz (Radiodifusão – Ondas Curtas até 10m) 
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Fase e diferença de Fase 
F(t) = A.sen( ωt+ θ) ∴ ( ωt+ θ) = ângulo de Fase 
 
 
Se duas grandezas senoidais 
)tsen(.Ee
)tsen(.Ee
22m2
11m1
θ−ω=
θ+ω=
 
têm a 
mesma freqüência, a diferença de fase ou defasagem entre elas 
em um dado instante será: 2121 )t()t( θ−θ=θ+ω−θ+ω 
ex.: 
)30tsen(.75e
)30tsen(.100e
2
1
°−ω=
°+ω=
 
30 – (-30) = 60° � a senóide e1 passa pelos seus valores 
zero e máximo com avanço de 60° 
sobre a senóide e2 
 
 
Quando duas ou mais grandezas 
alternadas têm a mesma fase 
elas se acham em concordância 
de fase ou simplesmente em 
fase 
 
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Quando a Diferença de fase 
entre duas grandezas alternadas 
for de 90° elas estão em 
quadratura 
 
Quando a diferença de fase for 
de 180°, estão em oposição 
 
 
 
Valor Médio 
A expressão que dá o valor médio de uma função é: 
∫=
T
0
médio dt)t(f
T
1
Y 
para a senóide esse valor é nulo para um ciclo, e por isso é 
definido para um semi período. Assim o valor médio de 
i=Im.sen α pode ser achado integrando a senóide de 0 a π. 
[ ] mmm0
m
0
médiom I637,0
I.2
)11(
I
cos
I
d.sen.I
1
I =
π
=+
π
=α−
π
=αα
π
= π
π
∫ 
Analogamente: mmmédio V637,0V.2V =
π
= 
 
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Valor eficaz ( valor médio quadrado ) 
Por definição:( )∫=
T
dttf
T
Vrms
0
21 rms = root mean square 
 
Exemplo : Calcule o valor eficaz para f(t) = Em sen αααα : 
( )∫ ∫==
π π
αα
π
αα
π
2
0
2
0
2
2
22
22
1
dsen
E
dsenEE mmrms 
Sendo: 
 αα 22 cos1sen −= x(-2) 
αα 22 cos22sen2 +−=− +(-1) 
43421
α
αα
2cos
22 1cos221sen2 −+−=−− 
αα 2cos21sen2 2 +−=−− 
 αα 2cos
2
1
2
1
sen2 −= 
Temos, que: 
 ∫ 




 −=
π
αα
π
2
0
2
2 2cos
2
1
2
1
2
d
E
E
m
rms
π
αα
π
2
0
2
2
2
1
2
1
22





 ∗−= senE m
παα
π
2
0
2
2
2
4





 −= senE m 
Portanto, 
2
m
rms
E
E = ou mrms EE 707,0= 
 
Analogamente para I temos: 
2
Im=Irms ou Im707,0=Irms 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Valor máximo � Em Im 
 Valor médio � Emed Imed 
 Valor eficaz � E I 
70,7% (rms) 
63,7% (médio) 
Pico a Pico 
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Representação vetorial das Grandezas Senoidais 
 
 
 
 
 
Suponhamos o círculo de raio Im e que gira no sentido trigonométrico com velocidade w 
rad/seg . No fim do tempo t segundos o ângulo que Im forma com o eixo ox será αααα =wt 
rad . 
Vantagens: 
1. O vetor mostra as duas características que definem a senóide: 
o ângulo de fase e o valor máximo; 
 
 
 
 
2. A diferença de fase entre as duas grandezas alternadas pode 
ser representada vetorialmente. A figura ao 
lado nos mostra o vetor OB em avanço de θ 
graus sobre o vetor AO. Se OB e AO 
representam os valores máximos das 
voltagens e1 e e2, elas serão expressas por: 
e1 = OB.sen ωt e 2 = OA.sen( ωt- θ) 
 
3. A soma ou a diferença de duas ou mais grandezas senoidais 
se reduz a uma composição de vetores. 
O 
360 ° 180 ° 
90 ° x 
∝ Im 
 I = Im sen ∝ y 
0 
0 
φ 
Im 
i = Im sen φ 
X 
y 
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)cos(.I.I.2III 12m2m12m21m2m0 φ−φ++= 
2m21m1
2m21m1
0
 .cosI .cosI
sen.Isen.I
tan
φ+φ
φ+φ=φ 
 
 
Parâmetros dos circuitos de C.A 
 
Resistência 
 
Unidade: Ω(ohm) 
Carga Resistiva ou carga ôhmica 
Indutância 
 
Unidade: H (Henry) 
Carga Indutiva 
Capacitância 
 
Unidade: F (Farad) 
Carga Capacitiva 
 
Lei de Ohm para os circuitos de C.A 
 
Consideremos uma bobina com resistência elétrica (R) e indutância 
(L): 
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s
R
lρ= 
Passando-se uma corrente elétrica nessa bobina aparecerá um 
fluxo magnético φ dados por: φ = Li 
Se “i ” é variável, “φ” também será! ⇒ aparecerá uma f.e.m. de auto 
indução dada por: 
( )
dt
di
L
dt
Lid
dt
d
e ==φ= 
na figura anterior, temos então: 
dt
di
dt
di
LRiv ∴+= ⇒ derivada da corrente elétrica em relação 
ao tempo. 
 
Uma bobina que tem uma resistência “R” e uma indutância “L” é 
representada conforme abaixo: 
 
Se o circuito tem elevada resistência elétrica e indutância 
desprezível, o representamos apenas pela resistência, e dizemos 
que o circuito é puramente ôhmico ou puramente resistivo. 
 
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Se ocorrer o inverso, isto é, se a resistência por desprezível em 
relação ao efeito da indutância, e dizemos que ele é puramente 
indutivo. 
 
Ex.: enrolamento de máquinas elétricas, transformadores, etc. 
 
Se forem considerados tanto a resistência quanto a indutância do 
circuito, então ele será denominado circuito RL. 
 
Circuito puramente Ôhmico 
 
L = 0 
R ≠ 0 R
v
iRiv
dt
di
LRiv =∴=∴+= 
 
Supondo v = V max.sen ωt ⇒ 
R
tsen.V
i
max ω= 
tsen.Itsen
R
V
i max
max ω=ω= 
 
Quando a tensão for máxima, a corrente também será: 
0 
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tsen.Itsen
R
V
itsen.Vv max
max
max ω=ω=∴ω= 
Dizemos então que as duas senóides estão em fase entre si ou 
que a corrente e a voltagem então em fase num circuito puramente 
ôhmico. 
R
V
I
R
V
707,0I.707,0
R
V
I
ef
ef
max
max
max
max =⇒=== 
Conclusão: os circuitos puramente ôhmicos, quando alimentados 
por corrente alternada, apresentam o mesmo 
comportamento do que quando alimentados por corrente 
contínua. A freqüência das correntes alternadas não 
influencia os fenômenos que se processam no circuito. 
Circuito puramente Indutivo 
 
L ≠ 0 
R ≈ 0 
dt
di
Lv
dt
di
LRiv =∴+= 
 
 Nos circuitos puramente indutivos toda tensão aplicada aos 
seus terminais é equilibrada pela f.e.m. de auto-indução. 
Dado: 
( ) ( )
dt
tsend
I.L
dt
tsen.Id
Lvtsen.Ii max
max
max
ω=ω=⇒ω= 
cos θ = sen( θ+90°) 
cos30° = sen( π/6 +90°) 
0,866 = 0,866 
tcos.I.Lv max ωω= 
)90tsen(.I.Lv max °+ωω= 
 
0 
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Isto é, essa voltagem é também alternada senoidal com valor 
máximo igual a ωLI max, adiantada 90° em relação à corrente 
alternada do circuito. 
 
Vmax = ωLI Max ⇒ 0,707 V max = 0,707 ωLI Max 
Vef = ωLI ef ⇒ V ef = X LI ef 
XL = ωL = 2 πfL ⇒ Reatância indutiva (análoga à resistência) 
 Unidade da reatância: Ω (Ohms) 
Observamos que a reatância Indutiva é função da freqüência e da 
indutância: f ↑⇒X↑ L ↑⇒X↑ 
 
Conclusão: Sempre que uma corrente alternada atravessa um 
circuito puramente indutivo (de reatância XL = 2 πfL ), 
tem-se uma queda de tensão dada por Vef = X L.I ef , 
adiantada 90° em relação à corrente. Em outras 
palavras: aplicando-se uma voltagem alternada senoidal 
aos terminais de uma reatância XL de um circuito 
puramente indutivo, verifica-se a passagem de uma 
corrente elétrica de valor I ef = V ef /X L ,atrasada 90° 
em relação à tensão. 
 
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18 
Exemplos: 
1°) Um circuito puramente indutivo que tem L=0,5H é alimentado 
por uma tensão cujo valor eficaz é 110v e cuja freqüência é 
60Hz. Calcule o valor eficaz da corrente alternada que circula 
nesse circuito. 
 
 
XL=2πfL = 2x3,14x60x0,5 = 188,4 Ω 
I ef = V ef /X L = 110/188,4 = 0,584A 
I ef = 584mA 
 
2°) No problema anterior, traçar o diagrama vetoria l e 
representação senoidal da tensão e corrente eficaz. 
 
 v = (110/0,707).sen(120 πt + 90°) 
i = (0,586/0,707).sen(120 πt) 
 
3°) Num circuito puramente ôhmico, aplicou-se uma v oltagem dada 
por v=120.sen(314t) . Se a resistência total do circuito mede 
10Ω, calcule qual deverá ser a leitura de um amperímetro se 
corretamente inserido no circuito. 
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19 
Vef = 0,707.V max = 0,707x120 = 84,84V 
I ef = V ef /R = 84,84/10 = 8,484 A 
 
Revisão de Números Complexos 
 
 
1j1j 2 −=⇒−= 
Z1 = 6 Z 4 = -3 + j2 
 Z 2 = 2 – j3 Z 5 = -4 – j4 
 Z 3 = j4 Z 6 = 3 + j3 
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20 
Outras formas dos números complexos 
 
θ=∴=θ cosZx
Z
x
cos 
θ=∴=θ senZy
Z
y
sen 
Z = x + jy = |Z|cos θ + j|Z|sen θ = |Z|(cos θ +jsen θ) 
Tgθ = y/x 
x
y
arctg=θ 22 yxZ += 
argumento de Z Módulo ou valor absoluto de Z 
 
A fórmula de Euler , e±j θ = (cos θ ± jsen θ) , possibilita outra 
forma para representação dos números complexos, chamada 
forma exponencial : 
Z = x ± jy = |Z|(cos θ ± jsen θ) = |Z|e ±j θθθθ 
 
A forma polar para um número complexo Z é bastante usada em 
análise de circuitos e escreve-se 
|Z| ∠±θ onde “θ” aparece em graus 
 
Esses quatro meios de se representar um número complexo estão 
resumidos a seguir. O emprego de um ou de outro depende da 
operação a ser efetuada. 
Forma retangular Z = x ± jy 3 + j4 
Forma Polar Z = |Z| ∠±θ 5∠53,13 
Forma exponencial Z = |Z|e ±j θ 5ej53,13 
Forma trigonométrica Z = |Z|(cos θ ±jsen θ) 5(cos53,13+jsen53,13) 
 
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21 
Conjugado de um número complexo 
O conjugado Z* de um número complexo Z = x + jy é o número 
complexo Z* = x – jy 
Ex.: Z1 = 3 - j2 Z1* = 3 + j2 
 Z2 = -5 + j4 Z2* = -5 – j4 
 Z3 = -6 + j10 Z3* = -6 – j10 
 
Na forma polar, o conjugado se Z = |Z| ∠θ é Z* =|Z| ∠- θ 
Na forma Z = |Z|[cos( θ) + jsen( θ)] o conjugado de Z é 
 Z* = |Z|[cos(- θ) + jsen(- θ)] 
Mas cos( θ)=cos(- θ) e sen(- θ) = -sen( θ) , então 
 Z* = |Z|[cos( θθθθ) - jsen( θθθθ)] 
 
ex.: Z = 7 ∠30° � Z* = 7 ∠-30° 
 
Z = x + jy 
Z* = x - jy 
Z = |Z|e j θ 
Z* = |Z|e -j θ 
Z = |Z| ∠θ 
Z* = |Z| ∠- θ 
Z = |Z|(cos θ + jsen θ) 
Z* = |Z|(cos θ - jsen θ) 
 
Z1=3 + j4 � Z 1*=3 – j4 
Z2=5∠143,1° � Z 2*=5 ∠-143,1° 
O conjugado Z* de um número complexo Z é sempre a imagem de 
“Z” em relação ao eixo real, como mostra a figura. 
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22 
Soma e diferença de números complexos 
 Para somar ou subtrair dois números complexos, soma-se ou 
subtrai-se separadamente as partes reais e imaginárias dos 
números na forma retangular. 
Z1=5-j2 Z 1+Z2=(5-3)+j(-2–8)=2–j10 
Z2=-3–j8 Z 1–Z2=[5–(-3)]+j[(-2)–(-8)]=8+j6 
 
Multiplicação de números complexos 
 O produto de dois números complexos, estando ambos na 
forma potencial ou na forma polar: 
Z1=|Z 1|e
j θ1=|Z 1| ∠θ1 Z 1.Z 2 = (|Z 1|.|Z 2|).e j( θ1+θ2) 
Z2=|Z 2|e
j θ2=|Z 2| ∠θ2 Z 1.Z 2 = (|Z 1|.|Z 2|) ∠θ1+θ2 
 
O produto pode ser obtido na forma retangular, tratando-se os 
números complexos como se fossem binômios: 
Z1.Z 2 = (x 1+jy 1)(x 2+jy 2) = x1x2 + jx 1y2 + jy 1x2 + j
2 y 1y2 
 = (x 1x2 + y 1y2) + j(x 1y2 + y 1x2) 
 
ex. 01: Z1 = 5e j
π/3 Z 1Z2 = (5.2)e
j( π/3- π/6) = 10e j ππππ/6 
 Z2 = 2e -j
π/6 
 
ex. 02: Z1 = 2 ∠30° Z 1Z2 = (5.2) ∠[30+(-45)] 
 Z2 = 5 ∠-45° Z 1Z2 = 10∠∠∠∠-15° 
 
 
 
 
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23 
Divisão de números complexos 
)21(j
2
1
2j
2
1j
1
2
1
e
Z
Z
eZ
eZ
Z
Z θ−θ
θ
θ
== ⇒ forma exponencial 
)(
Z
Z
Z
Z
Z
Z
21
2
1
22
11
2
1 θ−θ∠=
θ∠
θ∠
= ⇒ forma polar 
 
 A divisão na forma retangular se faz multiplicando-se 
numerador e denominador pelo conjugado do denominador. 
2
2
2
2
12212121
22
22
22
11
2
1
yx
)xyxy(j)yyxx(
jyx
jyx
jyx
jyx
Z
Z
+
−++=





+
+=
−
−
 
 
Exemplos: 
1) Z1=4e j
π/3 , Z 2=2e
j π/6 ⇒ 6
j
6
j
3
j
2
1
e2
e2
e4
Z
Z
π
π
π
== 
2) Z1=8∠-30°, Z 2=2∠-60° ⇒ °∠=−∠
−∠= 304
602
308
Z
Z
2
1
 
3) Z1=4-j5, Z 2=1+j2 ⇒ 
5
13j6
2j1
2j1
2j1
5j4
Z
Z
2
1 −−=





−
−
+
−= 
 
Transformação: forma polar ⇒⇒⇒⇒ forma retangular 
50∠∠∠∠53,1° = 50(cos53,1° + jsen53,1°) 
 = 50x0,6 + j50x0,7997 
 = 30 + j40 
 
100 ∠∠∠∠-120° = 100.cos(-120) + 100.jsen(-120) 
 = -100.cos(60) + 100.jsen(-120) 
 = -100.0,5 + 100.(-0,866) = -50-j86,6 
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24 
Circuito puramente Capacitivo 
 
Se v = Vmax.sen ωt 
 q = Cv 
 
dt
)tsen.V(d
C
dt
)Cv(d
dt
dq
i
max ω=== 
 i = ω.C.V max.sen( ωt + 90°) 
 i = I max.sen( ωt + 90°) 
 
Se I max = ω.C.V max 
0,707.I max = 0,707. ω.C.V max 
 I ef = ω.C.V ef ou efef IC
1
V
ω
= ∴ 
C
C
X
fC2
1
X
C
1
=
π
=
ω 
Reatância Capacitiva 
 
A corrente num circuito puramente capacitivo está 90° adiantada 
em relação à tensão 
 
OBS.: num circuito indutivo: f↑ ⇒ XL↑ ⇒ corrente↓ 
f↑ ⇒ XC↓ ⇒ corrente↑ 
 Se f=0 ⇒ XC = ∞ ∴ capacitor não deixa passar corrente DC 
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25 
Circuito RL ou indutivo 
 
Praticamente consiste de um circuito puramente ôhmico de 
resistência “R” em série com um circuito puramente indutivo de 
indutância “L” 
 
A corrente “i” ao atravessar a 
resistência “R” , provoca uma 
queda de tensão dada por VR=Ri 
em fase com a corrente “i” . 
 
A corrente “i” ao atravessar a indutância “L” , determina uma 
queda de tensão indutiva Vx = X Li , defasada de 90° em 
adiantamento sobre a corrente “i” . 
 
A queda de tensão total atuante entre os terminais do circuito é 
dada pela soma vetorial de VR e VX: 
)XR(i)iX()Ri(VVVVVV 2L
222
L
22
X
2
RXR +=+=+=∴+=
ZiVXRiV 2L
2 =⇒+= ∴ Z = impedância do circuito 
Z é um número complexo da forma: Z= R+jX L = R+j ωL 
 
 
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26 
Considerando-se “Z” numa representação gráfica, teremos: 
 
R
X
arctg
R
X
tg LL =θ∴=θ 
Na forma polar podemos escrever: 
θ∠= ZZ 2L
2 XRZ += 
R
X
arctg)L(RZ L22 ∠ω+= 
 
 
Circuito RC ou Capacitivo 
 
 
Se “i” é igual a 1 ampere, teremos: 
 






ω
−=−=
C
1
jRjXRZ C 
C
1
X
R
X
arctg C
c
ω
=⇒




 −=θ 
Z
X
arcsen C
−=θ 
Z
R
arccos=θ 
Na forma polar: θ∠=−∠





ω
+= Z
R
X
arctg
C
1
RZ C
2
2 
 
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27 
Outra forma da lei de Ohm: 
 
E = (R+jX)I 
 
22 XRZ += 
R
X
arctg=θ 
θ∠= ZZ 
R
X
arctgXRZ 22 ∠+= 
 
 
Exemplos: 
1) Um circuito RL série de R=20Ω e L=20mH tem uma impedância 
de módulo igual a 40 Ω. Determinar o ângulo de defasagem da 
corrente e tensão, bem como a freqüência do circuito. 
Z = R+jX L = |Z| ∠θ ⇒ 40.cos θ + j40.sen θ 
Z = 20+jX L = 40 ∠θ θ = arccos 20/ 40 = arccos 1/ 2 
 θθθθ = 60° 
 
XL = 40.sen60° = 40x0,866 ⇒ XL = 34,6 ΩΩΩΩ 
XL = 2 πfL ⇒ f = X L/2 πL ⇒ 34,6/(6,28 x 0,02) 
 
f = 34,6/0,1256 ⇒ f = 275,5Hz 
 
 
 
 
 
E = ZI 
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28 
2) Um circuito série de R = 8Ω e L = 0,02H tem uma tensão 
aplicada de v = 283.sen(300t+90°) . Achar a corrente “i” . 
 
XL = ωL = 300x0,02 = 6 Ω ⇒ Z = 8 +j6 
Vef = 0,707 x 283 1010068
22 ==+ 
Vef = 200 θ = arctg 6/8 = 36,9° 
V = 200 ∠∠∠∠90° Z = 10 ∠∠∠∠36,9° 
°∠=
°∠
°∠== 1,5320
9,3610
90200
Z
V
I 
)1,53t300sen(.220i °+= 
 
3) Dados v = 150.sen(5000t+45°) e i = 3sen(5000t-15°) , 
construir os diagramas de fasores e da impedância e 
determinar as constantes do circuito (R e L) 
 
v = 0,707x150 ∠45° = 106,05 ∠45° 
I = 0,707x3 ∠-15° = 2,12 ∠-15° 
3,43j25)866,0j5,0(50Z
)60senj60(cos506050
1512,2
4505,106
I
V
Z
+=+=
°+=°∠=
°−∠
°∠==
 
XL = 2 πfL = ωL = 43,3 ∴L = 43,3/5000 ⇒ L = 8,66mH 
 R = 25 ΩΩΩΩ 
 
 
 
 
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29 
Circuito RL série 
 
 
 
 
 
Conclusão: O circuito RL em série se comporta exatamente como 
um circuito RL que tenha resistência ôhmica igual a 
 R = R 1 + R 2 e reatância indutiva XL = X L1 + X L2. 
 
Assim sendo 
Z= Z1 + Z2 =(R 1 + jX L1) + (R 2 + jX L2) = (R 1 + R2) + j(X L1 + XL2) 
 
Ou na forma fasorial: 
21
212
21
2
21 RR
LL
arctg)LL()RR(ZZ
+
ω+ω∠ω+ω++=θ∠= 
 
 
 
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30 
Circuito RC série 
 
 
 
 
Conclusão: o circuito RC série se comporta exatamente como um 
circuito RC que tenha resistência ôhmica igual a R =R1 + R 2 
e reatância capacitiva 
21
2C1CC C
1
C
1
XXX
ω
+
ω
=+= 
 
Assim teremos: Z = Z 1 + Z 2 = (R 1 + jX C1) + (R 2 + jX C2) 
 





ω
+
ω
++=+++=
21
212C1C21 C
1
C
1
j)RR()XX(j)RR( 
 
ou na forma fasorial: 
21
21
2
21
2
21 RR
C
1
C
1
arctg
C
1
C
1
)RR(ZZ
+






ω
+
ω
−
∠





ω
+
ω
++=θ∠=
 
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31 
Podemos então generalizar: 
 
V = V 1 + V 2 + V 3 = Z 1I + Z 2I + Z 3I 
V = I(Z 1 + Z 2 + Z 3) = IZ T 
ZT = Z 1 + Z 2 + Z 3 
Generalizando: 
 
 
 
Circuito Paralelo 
 
 
T321321
321T Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
V
Z
V
Z
V
Z
V
IIII =





++=++=++= 
321T Z
1
Z
1
Z
1
Z
1 ++= 
generalizando 
...
Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
321T
+++= 
O inverso da impedância de um circuito é chamada de 
Admitância , cujo símbolo é Y. 
Então no circuito acima teremos: 
I T = I 1 + I 2 + I 3 = Y 1V + Y 2V + Y 3V = V(Y 1 + Y 2 + Y 3) 
I T = Y TV ∴ Y T = Y 1 + Y 2 + Y 3 
ZT = Z 1 + Z 2 + Z 3 + ... 
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32 
 Num circuito paralelo podemos dizer que a corrente do circuito 
é igual ao produto da tensão total aplicada aos seus terminais pela 
admitância total equivalente. 
 Portanto a Admitância equivalente de qualquer número de 
admitâncias em paralelo é igual a somadas admitâncias 
individuais. 
Z = R ± jX ∴ 
+jX ⇒ reatância indutiva (XL) 
-jX ⇒ reatância capacitiva (-Xc) 
 
Analogamente: 
Y = G ± jB ∴ 
G ⇒ Condutância 
B ⇒ Susceptância 
 +jB ⇒ Susceptância capacitiva (BC) 
-jB ⇒ Susceptância indutiva (-BL) 
 
Unidades de Y, G e B ⇒ MHO ou ou Ω-1 
 Como a corrente “I” pode estar adiantada, atrasada ou em 
fase com “V” , conseqüentemente, 3 casos podem ocorrer: 
1° Caso 
 
V = |V| ∠θ 
V = |I| ∠θ 
 
Rº0Z
I
V
Z =∠=
θ∠
θ∠
= 
A impedância do circuito é 
uma resistência pura de 
“R” ohms 
 
Gº0Y
Y
I
Y =∠=
θ∠
θ∠
= 
A admitância do circuito é 
uma condutância pura de 
“G” mhos 
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33 
2°Caso: O fasor corrente está atrasado de um ângulo θ em relação 
à tensão 
 
V = |V| ∠φ 
I = |I| ∠( φ- θ) 
 
 
)(I
V
Z
θ−φ∠
φ∠
= 
LjXRZ +=θ∠ 
A impedância de um 
circuito com fasores “V” 
e “I” nesta situação 
consta de uma 
resistência e uma 
reatância indutiva em 
série 
 
φ∠
θ−φ∠
=
V
)(I
Y 
LjBG)(Y −=θ−∠ 
A impedância do circuito 
consta de uma 
condutância e uma 
susceptância indutiva 
em paralelo 
 
3°Caso: O fasor corrente está avançado de um ângulo θ em 
relação à tensão 
 
V = |V| ∠φ 
I = |I| ∠( φ+θ) 
 
 
)(I
V
Z
θ+φ∠
φ∠
= 
LjXRZ +=θ∠ 
A impedância do circuito 
consta de uma 
resistência e uma 
reatância capacitiva em 
série 
 
φ∠
θ+φ∠
=
V
)(I
Y 
LjBG)(Y −=θ−∠ 
A impedância do circuito 
consta de uma 
condutância e uma 
susceptância capacitiva 
em paralelo 
 
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34 
Conversão Z - Y 
 
Forma polar: dado Z=5∠53,1° 
)53,1(2,0
1,535
1
Z
1
Y °−∠=
°∠
== 
 
Forma Retangular: Y = 1/Z 
22 XR
jXR
jXR
jXR
.
jXR
1
jXR
1
jBG
+
−=
−
−
+
=
+
=+ 
2222 XR
X
j
XR
R
jBG
+
−+
+
=+ 22 XR
R
G
+
= 
22 XR
X
B
+
−= 
 
Z = 1/Y 
22 BG
jBG
jBG
jBG
.
jBG
1
jBG
1
jXR
+
−=
−
−
+
=
+
=+ 
2222 BG
B
j
BG
G
jXR
+
−+
+
=+ 22 BG
G
R
+
= 
22 BG
B
X
+
−= 
 
Exemplos: 
1) Dado Z = 3 + j4 , achar a admitância equivalente Y. 
)]1,53sen(j)1,53[cos(2,0)1,53(2,0
1,535
1
Z
1
Y −+−=°−∠=
°∠
==
Y = 0,12 – j0,16 G = 0,12MHOS B = -0,16MHOS 
outro método 
( ) MHOS12,0169
3
XR
R
G 22 =+
=
+
= 
( ) MHOS16,0169
4
XR
X
B 22 −=+
−=
+
−= Y = 0,12 - j0,16 
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35 
2) No circuito série abaixo, achar I e ZT. Mostrar que a soma das 
quedas de tensão é igual à tensão aplicada 
 
ZT = Z 1 + Z 2 + Z 3 = 4 + j3 – j6 ⇒ ZT = 4 – j3 
52534Z 22T ==+= 
°−=−=θ 9,36
4
3
arctg ZT = 4 – j3 = 5 ∠∠∠∠(-36,9°) 
 Impedância Capacitiva 
°∠=
°−∠
°∠== 9,3620
)9,36(5
0100
Z
V
I
T
 
V1 = IZ 1 = 20 ∠36,9° x 4 = 80 ∠36,9° 
 = 80(cos36,9°+jsen36,9°) = 64 + j48 
 
V2 = IZ 2 = 20 ∠36,9° x 3 ∠90° = 60 ∠126,9° 
 = 60(cos126,9°+jsen126,9°) = -36 + j48 
 
V3 = IZ 3 = 20 ∠36,9° x 6 ∠90° = 120 ∠(-53,1°) 
 = 120[cos(-53,1)+jsen(-53,1)] = 72 – j96 
 
V = V1 + V2 + V3 = (64 + j48) + (-36 + j48) + (72 – j96) 
V = 100 + j0 = 100 ∠0° 
 
 
 
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36 
3) Achar a corrente total e a impedância total do circuito paralelo 
abaixo, traçando o diagrama de fasores: 
 
Z1 = 10 ∠0° 
°∠=∠+= 1,535
3
4
arct43Z 222 
)9,36(10
8
6
arct68Z 223 °−∠=
−∠+= 
)9,36(10
050
1,535
050
010
050
Z
V
Z
V
Z
V
IIII
321
321T −∠
∠+
∠
∠+
∠
∠=++=++=
= 5 ∠0 + 10 ∠(-53,1) + 5 ∠36,9 
= 5 + 10[cos53 , 1 + jsen(-53 , 1)] + 5[cos36 , 9 + jsen36,9] 
= 5 + 10[0,60 - j0,80] + 5[0,80 + j0,60] 
= (5 + 6 + 4)+j(-8+3) = 15-j5 
= )45,18(81,15
15
5
arctg515 22 −∠=




 −∠+ 
Logo: °∠=
°−∠
°∠== 45,1816,3
)45,18(81,15
050
I
V
Z
T
T 
 Z T = 3,16(cos18,45 + jsen18,45) = 3 + j1 
°∠=
°∠
°∠== 05
010
050
Z
V
I
1
1 )1,53(101,535
050
Z
V
I
2
2 °−∠=°∠
°∠== 
°∠=
°−∠
°∠== 9,365
)9,36(10
050
Z
V
I
3
3 
 
 Fasores V e I Soma dos Fasores Circuito equivalent e 
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37 
4) As duas impedâncias Z1 e Z2 da figura abaixo estão em série 
com uma fonte de tensão V = 100 ∠0° . Achar a tensão nos 
terminais de cada impedância e traçar o diagrama dos fasores 
de tensão. 
 
Zeq = Z 1 + Z 2 = 10 + 4,47(cos63,4 + jsen63,4) 
Zeq = 10 + 2 + j4 = 12 + j4 
Zeq = 45,1865,12
12
4
arctg412 22 ∠=∠+ 
)45,18(9,7
45,1865,12
0100
Z
V
I
eq
°−∠=
∠
°∠== 
V1 = IZ 1 = 7,9 ∠(-18,45)x10 = 79∠(-18,45) = 79,9 - j25 
V2 = IZ 2 = [7,9 ∠(-18,45)]x[4,47 ∠63,4] 
= 35,3 ∠(45) = 25 + j25 
Verifica-se que: 
V1 + V2 = 75 - j25 + 25 + j25 = 100 +j0 = 100 ∠0° 
 
 
 
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38 
5) Calcular a impedância Z2 do circuito série da figura abaixo: 
 
º6020
)15(5,2
4550
I
V
Zeq ∠=°−∠
°∠== 
Zeq = 20(cos60° + jsen60°) = 10 + j17,3 
Como Zeq = Z 1 + Z 2: 
5 + j8 + Z 2 = 10 + j17,3 ⇒ Z 2 = 10 –5 + j17,3 – j8 
Z2 = 5 + j9,3 
 
6) Determinar a corrente em cada elemento do circuito série-
paralelo abaixo 
 
14,814,142j14
10j5
)10j(5
10Zeq ∠=+=+
+= 
)14,8(07,7
14,814,14
0100
Z
V
I
eq
T −∠=∠
°∠== 
)14,8(07,7x
10j5
)10j(5
I.ZV
10j5
)10j(5
Z TABABAB −∠+
==∴
+
= 
)54,71(16,310j)14,8(07,7x
10j5
)10j(5
10j
V
I AB1 °−∠=




 −∠
+
== 
)46,18(32,65)14,8(07,7x
10j5
)10j(5
5
V
I AB2 °∠=




 −∠
+
== 
 
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39 
7) Achar a impedância equivalente e a corrente total do circuito 
paralelo abaixo 
 
 
2,0j
5j
1
Y1 −== 2,0jj5
1
5j
j
xj5j
xj1
2 −=
−== 
0866,0j05,0
66,8j5
1
Y2 −=+
= 
0866,0j05,0
100
66,8j5
66,85
)66,8j5(
)66,8j5)(66,8j5(
)66,8j5(
22 −=
−=
+
−=
−+
−
 
067,0
15
1
Y3 == 
1,0j
10j
1
Y4 =−
= 1,0jj
10
1
10j
j
xj10j
xj1
2 ==−
=
−
 
 
Yeq = 0,117 – j0,1866 = 0,22 ∠(-58°) 
I T = V.Y eq =(150 ∠45°)[0,22 ∠(-58°)]=33 ∠(-13°) 
°∠=
°−∠
== 5855,4
)58(22,0
1
Y
1
Z
eq
eq 
 
 
 
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40 
8) Determinar a Impedância do circuito paralelo abaixo 
 
 
°−∠=
°∠
°∠== 3663,0
6050
245,31
V
I
Y Teq 
Yeq = 0,63(cos(-36°)+jsen(-36°) = 0,51 – j0,37 
 
Como Yeq = Y 1 + Y 2 + Y 3, então: 
37,0j51,0)12,0j16,0(1,0Y
3j4
1
10
1
YY 11eq −=−++⇒+
++=
Y1 = 0,51 – j0,37 – 0,1 –0,16 +j0,12 = 0,25 – j0,25 
)45(35,0
25,0
25,0
arctg25,025,0Y 221 −∠=
−∠+= 
=
−∠
==
4535,0
1
Y
1
Z
1
1 Z1 = 2,86 ∠∠∠∠45° = 2 + j2 
 
 
 
 
 
 
 
Profº Jaime Mariz Eletrotécnica Básica 
 
 
 
41 
9) Dado o circuito série-paralelo (misto) abaixo, calcular Zeq. 
 
 
22AB 43
4j3
5,0j2,0
4j3
1
2j
1
5
1
Y
+
++−=
−
++= 
34,0j32,016,0j12,05,0j2,0YAB −=++−= 
)7,46(467,0
32,0
34,0
arctg34,032,0Y 22AB °−∠=




 −∠+= 
56,1j47,17,4614,2
)7,46(467,0
1
Y
1
Z
AB
AB +=°∠=−∠
== 
Zeq = 2 +j5 + Z ab = 2 + j5 + 1,47 + j1,56 
Zeq = 3,47 + j6,56 = 7,42 ∠62,1°