prova1 análise matemática

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01/07/2020 UNIASSELVI - Centro Universitário Leonardo Da Vinci - Portal do Aluno - Portal do Aluno - Grupo UNIASSELVI
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Acadêmico: Karine Edla Lacerda Cordeiro (1672485)
Disciplina: Análise Matemática (MAT27)
Avaliação: Avaliação I - Individual FLEX ( Cod.:513091) ( peso.:1,50)
Prova: 20652930
Nota da Prova: 9,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Os conjuntos com uma infinidade de elementos, também chamados de conjuntos infinitos, têm propriedades que muito
intrigaram e surpreenderam os matemáticos ao longo da história. Por este motivo, várias são as possibilidades dentro da
análise matemática para comprovar que um conjunto é infinito. Sendo assim, classifique V para as sentenças
verdadeiras e F para as falsas para concluir que um conjunto é infinito e a seguir assinale a alternativa CORRETA:
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 a) F - V - F - V.
 b) V - V - V - F.
 c) F - V - V - F.
 d) V - F - F - F.
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2. O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos números naturais. Por
isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua
posição dentro da Matemática. Em outras palavras, entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que
entender os números naturais. O conjunto dos números naturais é fundamentado pelos axiomas de Peano. Sendo
assim, sobre os itens que contém axiomas de Peano, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 não é sucessor de ninguém.
( ) Um número natural possui apenas um sucessor.
( ) Se um subconjunto X pertence a N é tal que 1 pertence a N e o seu sucessor pertence a X, então X = N.
( ) A função que associa dois números naturais é bijetiva.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - V - V - F.
 b) F - F - V - F.
 c) F - V - F - V.
 d) V - V - F - F.
3. Os conjuntos com uma infinidade de elementos, também chamados de conjuntos infinitos, têm propriedades que muito
intrigaram e surpreenderam os matemáticos ao longo da história. Por este motivo, várias são as possibilidades dentro da
analise matemática para comprovar que um conjunto é infinito. Para concluir que um conjunto é infinito, classifique V
para as sentenças verdadeiras e F para as falsas, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência
CORRETA:
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 a) V - V - F - F.
 b) V - V - V - F.
 c) F - V - F - V.
 d) F - V - V - F.
4. Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram fechadas dentro dos
conjuntos em que eram realizadas. Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Os números inteiros são fechados com relação à divisão.
 b) Os números naturais são fechados com relação à divisão.
 c) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional.
 d) Os números inteiros são fechados com relação à adição.
5. Ao realizar-se uma prova matemática, é necessário ter muito claro o fato de qual modalidade de demonstração que será
utilizada. Para tanto um conhecimento teórico de qual sistemática que cada método possui é fundamental. Baseado
nisto, acerca da demonstração direta, assinale a alternativa CORRETA:
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 a) Nega-se o que deve ser provado.
 b) É aplicado quando o resultado a ser provado envolve indexação por números naturais (índices naturais).
 c) A partir das hipóteses contidas na afirmação a ser provada, utilizam-se argumentos lógicos válidos para se chegar à
tese.
 d) Contradiz-se uma das hipóteses contidas na afirmação.
6. Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da análise matemática, faz-se necessário construir os
raciocínios ligados aos métodos de transformação. A parte mais importante e mais complicada talvez seja o processo de
decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo teorema, propriedade ou proposição. Baseado nisto, para
mostrar que a soma 1 + 3 + 5 + ... + 2n -1 = n² para todo n natural, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser
utilizado é a por:
 a) Contradição.
 b) Indução.
 c) Prova Direta.
 d) Absurdo.
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7. Observe as provas matemáticas e associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Prova por Absurdo.
II- Prova Direta.
III- Prova por Indução.
( ) Prove que:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)
i - para n = 1
2 = 1(1+1) = 2
ii - considerando válido para n = k, verificamos a validade para n = k + 1
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 2)(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
( ) Prove que existem infinitos números primos.
Suponha que não existam infinitos números primos, portanto deve haver um último número primo, o maior de todos, o P.
Se multiplicarmos todos os números primos entre si e somarmos 1 ao resultado, teremos um número Q, que não é
divisível por nenhum número primo. Ora, mas se Q não é divisível por nenhum número primo, deve ser primo também e
maior que P, logo não faz sentido dizer que P é o maior e último número primo. Conclui-se que existem infinitos números
primos.
( ) Prove que (a + b)² = a² +2ab + b².
(a + b)² = (a + b) (a + b)
 = a(a + b) + b(a + b)
 = a² + ab + ab + b²
 = a² +2ab + b²
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) III - I - II.
 b) II - I - III.
 c) I - III - II.
 d) III - II - I.
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8. Normalmente, o ato de somar nos remete a um processo simples. Porém, na análise matemática, podem ser provadas
várias propriedades da adição dos números naturais. Estas provas podem ser feitas por indução, e não são tão simples
quanto o usual ato de somar números. Sobre quais são propriedades dos números naturais, analise as opções a seguir:
I- Comutatividade.
II- Associatividade.
III- Elemento inverso.
IV- Lei do corte.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As opções I, II e IV estão corretas.
 b) As opções II e III estão corretas.
 c) As opções I e II estão corretas.
 d) As opções III e IV estão corretas.
9. Georg Cantor, matemático russo, denominou de conjuntos enumeráveis aqueles conjuntos em que é possível contar e
numerar os seus elementos. Assim, é enumerável todo conjunto equipotente ao conjunto dos naturais. Em outras
palavras, podemos dizer que um conjunto X é enumerável se:
 a) For finito ou possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
 b) For infinito ou possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
 c) For infinito e possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
 d) For finito e possuir uma bijeção entre o conjunto x e o conjunto dos números naturais.
10. Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito curta e intuitiva,porém a
prática pode ser muito complicada. Para demonstrar alguma proposição por absurdo, você deve assumir que a negação
dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da negação implica que a negação seja falsa, que de acordo com
a hipótese inicial, torna a negação falsa e a afirmação verdadeira. Baseado nesta técnica, analise as sentenças que
podem ser provadas por redução ao absurdo:
I) Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0.
II) Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável.
III) Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n².
IV) Provar que raiz de 3 é irracional.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As sentenças II e III estão corretas.
 b) As sentenças I e IV estão corretas.
 c) As sentenças I, II e IV estão corretas.
 d) As sentenças I e II estão corretas.
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Prova finalizada com 9 acertos e 1 questões erradas.