O conceito das séries numéricas, são de grande importância na Matemática, uma vez que possibilitam modelar, matematicamente, alguns processos discr...

Para analisar as séries e determinar quais delas são convergentes pelo teste da raiz, é necessário aplicar o critério da raiz. Esse critério estabelece que se o limite da raiz n-ésima do termo geral da série for menor que 1, a série é convergente. Caso contrário, a série é divergente. No entanto, na pergunta não foram fornecidos os termos gerais das séries I, II e III. Portanto, não é possível determinar quais séries são convergentes pelo teste da raiz. Sugiro que você forneça os termos gerais das séries para que eu possa ajudá-lo a analisar corretamente.