UNIVESP -2020 - GABARITO PROVA ESTATÍSTICA - MEE001-P011

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GABARITO 
DISCIPLINA 
MEE001 - Estatística 
APLICAÇÃO 
24/06/2020 
CÓDIGO 
DA PROVA P011/P013 
 
QUESTÕES OBJETIVAS 
Questão 1.1 
A resposta correta é: �̅� = 10, 𝑀𝑑 = 10,5, 𝑆2 = 14,286, 𝐶𝑉 = 0,378 
 
Justificativa 
1. Média: 
�̅� =
7 + 10 + 5 + 12 + 16 + 11 + 13 + 6
8
=
80
8
= 𝟏𝟎 
 
2. Mediana: ordenando os valores de forma crescente, obtemos: 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 16. 
A posição da mediana é dada por: 
𝑃𝑜𝑠 𝑀𝑑 =
𝑛 + 1
2
=
9
2
= 4,5 
Portanto, a mediana será: 
 
𝑀𝑑 =
10 + 11
2
=
21
2
= 𝟏𝟎, 𝟓 
3. Variância amostral: 
𝑆2 =
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)
28
𝑖=1
𝑛 − 1
 
 
𝑆2 =
(7 − 10)2 + (10 − 10)2 + (5 − 10)2 +⋯+ (13 − 10)2 + (6 − 10)2
7
=
100
7
= 𝟏𝟒, 𝟐𝟖𝟔 
 
4. Coeficiente de variação: 
𝐶𝑉 = 𝑆 �̅�⁄ =
√14,286
10
⁄ = 3,78 10⁄ = 𝟎, 𝟑𝟕𝟖 
 
Questão 1.2 
A resposta correta é: (i) 0,594; (ii) 0,908 
 
Justificativa 
Considere X = número de defeitos no piso laminado. 
(i) Do enunciado, 𝜆 = 2 50⁄ = 0,04 (
𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠⁄ ) e 𝑡 = intervalo de 50 metros 
quadrados de piso. 
P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 1 − [
e−0,04×50(0,04 × 50)0
0!
+
e−0,04×50(0,04 × 50)1
1!
] = 
= 1 − [
e−2 ∙ 1
1
+
e−2 ∙ 2
1
] = 1 − 3e−2 = 1 − 0,406 = 𝟎, 𝟓𝟗𝟒. 
 
(ii) Do enunciado, 𝜆 = 2 50⁄ = 0,04 (
𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠⁄ ) e t = intervalo de 100 metros 
quadrados de piso. 
𝑃(𝑋 > 1) = 1 − (P(X = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)) = 
= 1 − [
e−0,04×100(0,04 × 100)0
0!
+
𝑒−0,04×100(0,04 × 100)1
1!
] = 1 − [
e−4 ∙ 40
1
+
e−4 ∙ 41
1
] = 
= 1 − [𝑒−4 + 4𝑒−4] = 1 − 5𝑒−4 = 1 − 0,092 = 𝟎, 𝟗𝟎𝟖. 
 
Questão 1.3 
A resposta correta é: 0,14686 
 
Justificativa 
Seja X = índice pluviométrico mensal durante a estação chuvosa na cidade de Palmas. 
Do enunciado, tem-se, que durante a estação chuvosa, o Índice Pluviométrico mensal em Palmas 
segue uma distribuição normal com parâmetros μ = 212,60 mm e σ2 = 144 mm2. 
Queremos encontrar P(X < 200). 
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
=
200 − 212,6
√144
=
−12,6
12
= −1,05 
Logo, P(X < 200) = P(Z < −1,05) = 0,5 − 0,35314 = 𝟎, 𝟏𝟒𝟔𝟖𝟔. 
 
Questão 1.4 
A resposta correta é: (i) 0,626; (ii) 0,465 
 
Justificativa 
Abaixo, as probabilidades são indicadas por letras (i)-(vi). Por exemplo, P(comprar terno)=(i). 
 
 TERNO CAMISA 
 COMPRAR 
COMPRAR 
 NÃO COMPRAR 
 
 COMPRAR 
NÃO COMPRAR 
 NÃO COMPRAR 
 
Do enunciado, temos que: 
P(comprar terno e camisa) = (i)∙(iii) = 0,20 
P(comprar terno e não comprar camisa) = (i)∙(iv) = 0,50 
P(comprar camisa | não comprou terno) = (v) = 0,58 
P(não comprar terno) = (ii) = 0,30 
 
(i) Devemos encontrar 𝑃(𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎). Note que 
𝑃(𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎) = 
= 𝑃(𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎 𝑒 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜) ⏟ 
(𝑖𝑖)(𝑣𝑖)
 + 𝑃(𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎 𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)⏟ 
(𝑖)(𝑖𝑣)
. 
Como 
𝑃(𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎| 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑢 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)⏟ 
(𝑣𝑖)
+ 𝑃(𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎| 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑢 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)⏟ 
(𝑣)
 = 1, 
então, 𝑃(𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎| 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑢 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)⏟ 
(𝑣𝑖)
= 1 − (𝑣) = 1 − 0,58 = 0,42. 
Logo, 
𝑃(𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎) = (𝑖𝑖)(𝑣𝑖) + (𝑖)(𝑖𝑣) = 0,30 ∙ 0,42 + 0,50 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟔. 
 
(ii) Devemos encontrar 𝑃(𝑁ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜|𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑢 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎). Pelo Teorema de Bayes, temos: 
𝑃(𝑁ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜|𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑢 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎) = 
i 
ii 
iii 
iv 
v 
vi 
=
𝑃(𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎|𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑢 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜) × 𝑃(𝑁ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)
𝑃(𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎)⁄ = 
=
(𝑣)(𝑖𝑖)
(1 − 𝑃(𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎))⁄ =
0,58 × 0,30
(1 − 0,626)⁄ =
0,174
0,374⁄ = 𝟎, 𝟒𝟔𝟓 
 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
 
Questão 2 
Duas lojas especializadas são responsáveis pela representação e venda dos produtos de uma fábrica 
nacional de médio porte. A fábrica tem interesse em avaliar a qualidade do atendimento prestado por 
essas lojas e, para isso, analisará a proporção de clientes satisfeitos com o atendimento realizado por 
cada uma delas. Após acesso ao banco de dados, o responsável entrou em contato com os últimos 
100 clientes de cada uma das lojas e obteve que, dos últimos 100 clientes da loja A, 65 afirmaram estar 
satisfeitos com o atendimento enquanto, dos últimos 100 clientes da loja B, 75 mostraram-se 
satisfeitos. 
 
i. Considerando um nível de confiança de 95%, encontre o intervalo de confiança da proporção 
de clientes satisfeitos da Loja A. 
ii. Considerando um nível de confiança de 95%, encontre o intervalo de confiança da proporção 
de clientes satisfeitos da Loja B. 
 
RESOLUÇÃO 
i) Seja 𝜋𝐴 = proporção (populacional) de clientes satisfeitos da loja A e 𝑝𝐴 = proporção (amostral) 
de clientes satisfeitos da loja A. Do enunciado, 𝑝𝐴 =
65
100⁄ = 0,65. Como as condições 𝑛𝑝 > 5 
e 𝑛(1 − 𝑝) > 5 são válidas, podemos construir o IC. 
O valor crítico da tabela é: 
1 − α = 95% → α = 5% → α 2⁄ = 2,5% = 0,025. 
0,5 − α 2⁄ = 0,5 − 0,025 = 0,475 
𝑧(α 2⁄ ) = 1,96 
e a semi-amplitude do IC é dada por: 
𝑒0 = 𝑧𝛼
2
√
𝑝𝐴(1 − 𝑝𝐴)
𝑛
= 1,96√
0,65(1 − 0,65)
100
= 1,96√
0,2275
100
= 1,96 × 0,0477 = 0,0935. 
Portanto, 
𝑃(𝑝𝐴 − 𝑒0 ≤ 𝜋𝐴 ≤ 𝑝𝐴 + 𝑒0) = 1 − 𝛼 
𝑃(0,65 − 0,0935 ≤ 𝜋𝐴 ≤ 0,65 + 0,0935) = 1 − 0,05 
𝑷(𝟎, 𝟓𝟓𝟔𝟓 ≤ 𝝅𝑨 ≤ 𝟎, 𝟕𝟒𝟑𝟓) = 𝟎, 𝟗𝟓 
 
ii) Seja πB = proporção (populacional) de clientes satisfeitos da loja B e pB = proporção 
(amostral) de clientes satisfeitos da loja B. Do enunciado, 𝑝𝐵 =
75
100⁄ = 0,75. Como as 
condições 𝑛𝑝 > 5 e 𝑛(1 − 𝑝) > 5 são válidas, podemos construir o IC. 
 
O valor crítico da tabela é: 
1 − α = 95% → α = 5% → α 2⁄ = 2,5% = 0,025. 
0,5 − α 2⁄ = 0,5 − 0,025 = 0,475 
𝑧(0,025) = 1,96 
e a semi-amplitude do IC é dada por: 
𝑒0 = 𝑧𝛼
2
√
𝑝𝐵(1 − 𝑝𝐵)
𝑛
= 1,96√
0,75(1 − 0,75)
100
= 1,96√
0,1875
100
= 1,96 × 0,0433 = 0,0849. 
Portanto, 
𝑃(𝑝𝐵 − 𝑒0 ≤ 𝜋𝐵 ≤ 𝑝𝐵 + 𝑒0) = 1 − 𝛼 
𝑃(0,75 − 0,0849 ≤ 𝜋𝐵 ≤ 0,75 + 0,0849) = 1 − 0,05 
𝑷(𝟎, 𝟔𝟔𝟓𝟏 ≤ 𝝅𝑩 ≤ 𝟎, 𝟖𝟑𝟒𝟗) = 𝟎, 𝟗𝟓 
Rubricas | critérios de correção 
Valor total do item (i): 1,0 ponto. 
1. Cálculo da semi-amplitude 𝑒0 (valor 0,6). 
Obs.: caso o aluno apresente a fração 1,96√
0,65(1−0,65)
100
, mas não obtenha o valor da semi-
amplitude 𝑒0, descontar 50% (valor 0,3). 
2. Apresentação do limite inferior e do limite superior do intervalo de confiança (valor 0,4). 
 
Valor total do item (ii): 1,0 ponto. 
1. Cálculo correto da semi-amplitude 𝑒0 (valor 0,6). 
Obs.: caso o aluno apresente a fração 1,96√
0,75(1−0,75)
100
, mas não obtenha o valor da semi-
amplitude 𝑒0, descontar 50% (valor 0,3). 
Apresentação do limite inferior e do limite superior do intervalo de confiança (valor 0,4). 
 
 
Questão 3 
Um fabricante de pneus afirma que a vida útil média de um determinado modelo é de 60.000 km. Com 
o objetivo de verificar se essa afirmação é verdadeira, 8 pneus desse modelo foram testados, obtendo 
uma vida útil média de �̅� = 59.395,20 km com variância amostral 𝑠2 = 130.000 km2. Com base nos 
dados obtidos, adotando um teste bilateral e um nível de confiança de 95%, pode-se considerar que a 
afirmação desse fabricante é verdadeira? 
 
Lembre-se que o teste de hipótese é composto pelos seguintes passos: 
Passo 1 – Determinar o parâmetro de interesse (média, proporção ou variância); 
Passo 2 – Definir a hipótese a ser testada H0; 
Passo 3 – Definir a hipótese alternativa H1; 
Passo 4 – Calcular o valor a ser comparado utilizando a estatística de teste apropriada; 
Passo 5 – Delimitar a região de rejeição, valor crítico para comparar o valor anterior; 
Passo 6 – Comparar os valores obtidos; 
Passo 7 – Decidir pela rejeição ou aceitação da hipótese H0; 
Passo8 – Concluir, baseando-se na aceitação ou rejeição da hipótese H0. 
 
RESOLUÇÃO 
Passo 1 – Parâmetro de interesse: duração (em km) média dos pneus desse modelo. 
Passo 2 – Definir a hipótese a ser testada H0: 𝐻0: 𝜇 = 60.000 (a duração média dos pneus é 60.000 km, 
ou seja, a informação dada pelo fabricante é verdadeira). 
Passo 3 – Definir a hipótese alternativa H1: 𝐻1: 𝜇 ≠ 60.000 (a duração média dos pneus não é 60.000 km, 
ou seja, a informação dada pelo fabricante é incorreta). 
Passo 4 – Calcular o valor a ser comparado utilizando a estatística de teste apropriada. 
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
�̅� − 𝜇
𝑠
√𝑛
⁄
=
59395,20 − 60000
√130000 8⁄
= −
604,80
127,475
= −4,744 
Passo 5 – Delimitar a região de rejeição, valor crítico para comparar o valor anterior. 
Para 𝑛 = 8, 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝑡2,5% ,7 = 2,365. Logo, o critério de rejeição da Hipótese H0 será 
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 < −2,365 ou 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 > +2,365. 
Passos 6, 7 e 8 – Comparar os valores obtidos; decidir pela rejeição ou aceitação da hipótese H0; 
concluir, baseando-se na aceitação ou rejeição da hipótese H0. 
Temos que 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 < 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 . Logo, 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 está na região de rejeição da hipótese H0. 
Como 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 está na região de rejeição da hipótese H0, devemos aceitar H1. 
Logo, há indícios de que a duração média dos pneus não é de 60.000 km, ou seja, a informação dada 
pelo fabricante é incorreta. 
 
Rubricas | critérios de correção 
1. Definir hipótese H0 corretamente – valor 0,3 ponto. 
2. Definir hipótese H1 corretamente – valor 0,3 ponto. 
3. Calcular o valor 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = −4,744 – valor 0,5 ponto. 
4. Obter o valor crítico OU delimitar a região de rejeição de H0 – valor 0,5 ponto. 
5. Concluir corretamente: (i) sobre a rejeição de H0 OU (ii) que a duração média dos pneus não é 
60.000 km OU (iii) a informação dada pelo fabricante é incorreta – valor 0,4 ponto.