CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS

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MECÂNICA GERAL II
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO NA SEMANA ANTERIOR
A haste OA gira em torno de O em um plano horizontal. O movimento do colar B de 300 g é definido pelas relações r = 300 x 100cos(0,5pt) e q = p(t2 - 3t), onde r é expresso em milímetros, t em segundos e q em radianos. Determine as componentes radial e transversal da força exercida sobre o colar quando:
t =  0
t  = 0,5 s
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO NA SEMANA ANTERIOR
Primeiro definem-se as coordenadas polares e suas derivadas:
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO NA SEMANA ANTERIOR
Para t = 0:
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO NA SEMANA ANTERIOR
Componentes da aceleração:
Componentes da força:
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO NA SEMANA ANTERIOR
Para t = 0,5 s:
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO PROPOSTO NA SEMANA ANTERIOR
Componentes da aceleração:
Componentes da força:
MECÂNICA GERAL II
CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS:
A SEGUNDA LEI DE NEWTON
MOVIMENTO SOB FORÇA CENTRAL
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Quando a única força que atua sobre uma partícula P é uma força F dirigida para, ou afastando-se de, um ponto fixo O, diz-se que essa partícula se move sob a ação de uma força central e o ponto O é chamado de centro de força. Como a linha de ação de F passa por O, devemos ter SMO = 0 em qualquer instante dado. Assim:
Para todos os valores de t, ou integrando em t, temos:
Concluímos, então, que o momento angular do ponto material que se move sob a ação de uma força central é constante em módulo, direção e sentido.
MOVIMENTO SOB FORÇA CENTRAL
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Lembrando a definição de momento angular de um ponto material, escrevemos:
da qual segue-se que o vetor de posição r da partícula P deve ser perpendicular ao vetor constante HO.
MOVIMENTO SOB FORÇA CENTRAL
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Portanto, uma partícula sob a ação de uma força central se move em um plano fixo perpendicular a HO. O vetor HO e o plano fixo são definidos pelo vetor de posição inicial r0 e pela velocidade inicial v0 da partícula. Por conveniência, vamos assumir que o plano da figura coincide com o plano fixo do movimento.
MOVIMENTO SOB FORÇA CENTRAL
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Como a intensidade HO da quantidade de movimento angular da partícula P é constante, o membro do lado direito da equação deve ser constante. Escrevemos, assim:
Esta relação se aplica ao movimento de qualquer partícula sob a ação de uma força central. Como a força gravitacional exercida pelo Sol sobre um planeta é uma força central dirigida para o centro do Sol, a equação acima é fundamental para o estudo do movimento planetário. Por uma razão similar, ela é também fundamental para o estudo do movimento de veículos espaciais em órbita ao redor da Terra.
MOVIMENTO SOB FORÇA CENTRAL
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Alternativamente, recordando que , podemos expressar o fato de que a intensidade HO da quantidade de movimento angular da partícula P é constante escrevendo:
Ou, dividindo por m e representando por h a quantidade de movimento angular por unidade de massa HO/m:
MOVIMENTO SOB FORÇA CENTRAL
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Uma interpretação geométrica interessante pode ser dada à anterior. Observando a partir da figura ao lado que o raio vetor OP varre uma área infinitesimal , quando ele gira de um ângulo d, e definindo a velocidade areolar da partícula como o quociente dA/dt, constatamos que o membro do lado esquerdo da equação representa o dobro da velocidade areolar da partícula. Concluímos, então, que quando uma partícula se move sob a ação de uma força central, sua velocidade areolar é constante.
LEI DA GRAVITAÇÃO DE NEWTON
A força gravitacional exercida pelo Sol sobre um planeta, ou pela Terra sobre um satélite em órbita, é um exemplo importante de uma força central.
Em sua lei de gravitação universal, Newton estabeleceu que duas partículas de massas M e m a uma distância r uma da outra se atraem com forças iguais e opostas F e -F dirigidas ao longo da linha que as une. A intensidade comum F das duas forças é:
Onde G é uma constante universal, chamada constante de gravitação. Experimentos mostram que o valor de G é em unidades SI. 
As forças gravitacionais existem entre qualquer par de corpos, mas seus efeitos são apreciáveis somente quando um dos corpos tem uma massa muito grande. O efeito das forças gravitacionais é evidente nos casos de movimento de um planeta ao redor do Sol, de satélites em órbita ao redor da Terra, ou de corpos que caem sobre a superfície da Terra.
LEI DA GRAVITAÇÃO DE NEWTON
Como a força exercida pela Terra sobre um corpo de massa m localizado sobre – ou próximo – a sua superfície é definida como o peso W do corpo, podemos substituir F pela intensidade W = mg do peso e r pelo raio R da Terra na equação anteriormente apresentada. Obtemos, então:
Ou
LEI DA GRAVITAÇÃO DE NEWTON
Onde M é a massa da Terra. 
Como a Terra não é realmente esférica, a distância R do centro da Terra depende do ponto escolhido na sua superfície e os valores de W e g irão, dessa maneira, variar conforme a altitude e latitude do ponto considerado. Outra razão para a variação de W e g com a latitude é que um sistema de eixos fixo à Terra não constitui um sistema de referência newtoniano. Uma definição mais precisa do peso de um corpo deve, portanto, incluir um componente que represente a força centrífuga devida à rotação da Terra. Os valores de g ao nível do mar variam de 9,781 m/s2 no Equador a 9,833 m/s2 nos polos.
LEI DA GRAVITAÇÃO DE NEWTON
A força exercida pela Terra sobre um corpo de massa m localizado no espaço a uma distância r do centro da Terra pode ser encontrada a partir da equação . Os cálculos serão um pouco simplificados se notarmos que, de acordo com as equações anteriormente apresentadas, o produto da constante de gravitação G e da massa M da Terra pode ser expresso como:
Onde g e o raio R da Terra são substituídos por seus valores médios e , em unidades do SI.
LEI DA GRAVITAÇÃO DE NEWTON
A descoberta da lei da gravitação universal tem sido frequentemente atribuída à crença de que, após observar uma maçã caindo de uma árvore, Newton refletiu que a Terra deveria atrair uma maçã e a Lua da mesma forma. Embora seja duvidoso que esse incidente realmente tenha ocorrido, pode-se dizer que Newton não teria formulado sua lei se ele não tivesse primeiro percebido que a aceleração de um corpo em queda deve ter a mesma causa que a aceleração que mantém a Lua em sua órbita. Esse conceito básico de continuidade da atração gravitacional é bem mais facilmente entendido hoje, quando o espaço entre a maçã e a Lua está sendo preenchido com satélites artificiais da Terra.
LEI DA GRAVITAÇÃO DE NEWTON
MECÂNICA GERAL II
EXERCÍCIO RESOLVIDO
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Um satélite é lançado em uma direção paralela à superfície da Terra com uma velocidade de 30.000 km/h de uma altitude de 400 km. Determine a velocidade do satélite quando atinge sua altitude máxima de 4.000 km. Recorde-se de que o raio da Terra é de 6.370 km.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Como o satélite está se movendo sob a ação de uma força central dirigida para o centro O da Terra, seu momento angular HO é constante. Então:
que mostra que v é mínima em B, onde r e sem f  são máximos.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Expressando a conservação da quantidade de movimento angular entre A e B:
Observe que r é a distância do centro da Terra e é expressa como .
EXERCÍCIO PROPOSTO
Planos para a missão de um pouso não tripulado ao planeta Marte indicam que o veículo de retorno à Terra primeiro descreve uma órbita circular a uma altitude dA = 2.200 km acima da superfície do planeta com a velocidade 2.771 m/s. Ao passar pelo ponto A, o veículo foi posto em uma órbita de transferência elíptica pela ação de seus foguetes, aumentando sua velocidade escalar de DvA = 1.046 m/s. Ao passar por meio do ponto B, na altitude dB = 100.000 km, foi posto em uma segunda órbita de transferêncialocalizada em um plano ligeiramente diferente, mudando a direção de sua velocidade e reduzindo sua velocidade escalar de DvB = -22,0 m/s. Finalmente, ao passar por meio do ponto C, a uma altitude dC = 1.000 km, sua velocidade escalar foi incrementada de DvC = 660 m/s para inseri-lo na trajetória de retorno. Sabendo que o raio do planeta Marte é R = 3.400 km, determine a velocidade do veículo depois de completar a última manobra.
EXERCÍCIO PROPOSTO