ARITMÉTICA 06 - RAZÕES PROPORÇÕES E REGRA DE TRÊS

        
 
Somando as duas igualdades obtidas, temos: 
5v 3v 60 100 v 80 km h.    
 
Substituindo o valor de v na primeira igualdade, vem: 
20t 3 80 60 t 15 h.    
 
A distância percorrida é 
d v t 80 15 1200 km,    
 cuja soma dos algarismos é 
1 2 0 0 3.   
 
 
 
27) (EPCAr 2007) Trinta operários trabalhando 8 horas por dia, constroem 36 casas em 
6 meses. O número de dias que deverão ser trabalhados no último mês para que 
2
3
 dos 
operários, trabalhando 2 horas a mais por dia, construam 0,75 das casas, considerando 
um mês igual a 30 dias, é 
a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 
 
RESOLUÇÃO: b 
Vamos montar uma tabela com as grandezas da regra de três composta e analisar se 
cada uma dessas grandezas é diretamente proporcional (DIR.) ou inversamente 
proporcional (INV.) ao “número de meses”. 
 
nº de operários 
n° de horas 
por dia 
n° de casas 
tempo em 
meses 
30 8 36 6 
2
30 20
3
 
 10 
0,75 36 27 
 t 
INV. INV. DIR. 
 
Escrevendo a relação que expressa a proporcionalidade entre as grandezas, temos: 
6 20 10 36 6 2 5 4
t 5,4 meses
t 30 8 27 t 3 4 3
        
 
Logo, no último mês serão trabalhados 
4
0,4 mês 30 12
10
  
 dias. 
 
 
28) (EPCAr 2008) Três blocos de gelo são tais que o volume do primeiro excede de 
1
8
 o 
do segundo, que por sua vez é 
16
27
 do volume do terceiro, entretanto, o volume desse 
terceiro bloco excede o volume do primeiro em 1.005 litros. Sabendo-se que o volume 
da água aumenta de 
1
9
 ao congelar-se, pode-se dizer que a quantidade de água 
necessária para obter esses três blocos de gelo é, em litros, um número compreendido 
entre 
a) 6.100 e 6.200 c) 6.000 e 6.089 
b) 6.090 e 6.099 d) 5.900 e 5.999 
 
RESOLUÇÃO: a 
 
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Seja v o volume do terceiro bloco, então o volume do segundo bloco será 
16
v.
27

 
O volume do primeiro bloco excede em 
1
8
 o volume do segundo, então o volume do 
primeiro bloco é 
 1 16 9 16 21 v v v.
8 27 8 27 3
       
 
O volume do terceiro bloco excede o volume do primeiro em 1005 litros, então 
2 1
v v 1005 v 1005 v 3015 .
3 3
       
 
O volume dos três blocos de gelo é 
g
2 16 18 16 27 61
v v v v v v.
3 27 27 27
 
       
 
O volume da água aumenta 
1
9
 ao congelar-se, então, sendo 
av
 o volume da água temos 
 g a a a g1 10 9v 1 v v v v
9 9 10
       
 
a
9 61 61
v v 3015 6130,5 .
10 27 30
     
 
 
 
29) (EPCAr 2008) Duas pessoas saíram para uma caminhada e percorreram a mesma 
distância d. A primeira pessoa foi 10% mais veloz que a segunda. Sabe-se que 
1t
 e 
2t
 
foram, respectivamente, o tempo gasto pela primeira e segunda pessoas para percorrer a 
distância d e que 
1 2t t 2 horas e 48 minutos. 
 
É correto afirmar que o tempo gasto pela segunda pessoa para percorrer a distância d foi 
a) 1 hora e 28 min. c) 1 hora e 48 min. 
b) 1 hora e 20 min. d) 1 hora e 40 min. 
 
RESOLUÇÃO: a 
Seja v a velocidade da segunda pessoa, então a velocidade da primeira pessoa foi 
v 10% v 1,1 v.   
 
Sabemos a distância percorrida pode ser obtida multiplicando-se a velocidade pelo 
tempo, então 
  1 2 1 21,1 v t v t 1,1t t .     
 
Vamos colocar 2 h e 48 minutos em minutos. 
 2h 48min 2 60 48 min 168 min   
 
Considerando agora que 
1 2t t 2 h 48min=168 min, 
 então 
1 2 1 1 1 1t t 168 t 1,1 t 168 2,1 t 168 t 80 min.          
 
Portanto, o tempo gasto pela segunda pessoa foi 
2 1t 1,1 t 1,1 80 88 min 1h 28 min.     
 
 
 
30) (EPCAr 2008) Um grupo A de 6 pedreiros e 8 ajudantes executou 
4
5
 de uma obra 
em 12 dias, trabalhando 6 horas por dia. Por motivo de férias, o grupo A foi substituído 
por um grupo B de 8 pedreiros e 2 ajudantes que trabalhou 5 horas por dia para terminar 
a obra. Sabendo-se que a produção de 2 ajudantes equivale, sempre, à produção de um 
 
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pedreiro e que não houve ausência de nenhum componente dos grupos de trabalho em 
nenhum dos dias, é correto afirmar que o grupo B 
a) ao substituir o grupo A, acarretou um atraso de 1 dia no tempo em que a obra teria 
ficado pronta, caso a mesma tivesse sido concluída pelo grupo A. 
b) terminou a obra no tempo 
t 5
 dias. 
c) gastaria mais de 21 dias se tivesse executado a obra inteira. 
d) teria executado a parte feita pelo grupo A em menos de 15 dias. 
 
RESOLUÇÃO: a 
Como a produção de 2 ajudantes equivale a de um pedreiro, então no grupo A temos a 
força de trabalho de 
8
6 10
2
 
 pedreiros e no grupo B de 
2
8 9
2
 
 pedreiros. 
Vamos, agora, montar uma tabela com as grandezas da regra de três composta e analisar 
se cada uma dessas grandezas é diretamente proporcional (DIR.) ou inversamente 
proporcional (INV.) ao “número de dias”. 
 
n° de 
pedreiros 
parcela da obra 
executada 
n° de dias 
n° de horas 
por dia 
10 
4
5
 12 6 
9 
1
5
 x 5 
INV. DIR. INV. 
 
Escrevendo a relação que expressa a proporcionalidade entre as grandezas, temos: 
 
12 9 4 5 5 12 9 4 5
x 4
x 10 1 5 6 x 10 1 6
        
 
 
Vamos analisar as alternativas. 
a) Correto 
Se a obra tivesse sido concluída pelo grupo A, teria levado 
5
12 15
4
 
 dias. O tempo 
total gasto pelos grupos A e B foi 
12 4 16 
 dias, ou seja, 1 dia de atraso. 
b) Incorreto, pois o grupo B terminou a obra em 4 dias. 
c) Incorreto, pois se o grupo B tivesse executado a obra inteire levaria 
5 4 20 
 dias. 
d) Incorreto, pois se o grupo B tivesse feito a parte do grupo A levaria 
4 4 16 
 dias. 
 
 
31) (EPCAr 2008) Um aluno da EPCAR possui um relógio que adianta 
2
3
 do minuto a 
cada 12 horas. Às 11 horas e 58 minutos (horário de Brasília) do dia 10/03/07, verifica-
se que o mesmo está adiantado 8 minutos. 
Considerando que não há diferença de fuso horário entre o relógio do aluno e o horário 
de Brasília, marque a alternativa correta. 
a) Às 23 horas e 58 minutos (horário de Brasília), do dia 05/03/2007, o relógio do aluno 
marcava 23 horas, 58 minutos e 40 segundos. 
 
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b) Para um compromisso às 12 horas (horário de Brasília), do dia 06/03/2007, sem se 
atrasar nem adiantar, o aluno deveria descontar 1 minuto e 40 segundos da hora 
marcada em seu relógio. 
c) No dia 07/03/2007, às 12 horas (horário de Brasília), o relógio do aluno marcava 12 
horas e 2 minutos. 
d) A última vez em que o aluno acertou o relógio foi às 11 horas e 58 minutos do dia 
04/03/2007. 
 
RESOLUÇÃO: d 
O marco inicial para a análise é 11 horas e 58 minutos (horário de Brasília) do dia 
10/03/07, no qual o relógio do aluno está 8 minutos adiantado. 
a) Incorreta 
O horário de 23 horas e 58 minutos (horário de Brasília), do dia 05/03/2007, é 4,5 dias 
antes do marco inicial e, portanto, o relógio do aluno está 
2
2 4,5 6
3
  
 minutos a 
menos adiantado. Logo, o relógio do aluno está apenas 
8 6 2 
 minutos adiantado e 
marcará 0:00. 
b) Incorreta 
O horário de 12 horas (horário de Brasília), do dia 06/03/2007, é aproximadamente 4 
dias antes do marco inicial e, portanto, o relógio do aluno está 
2 1
2 4 5 min 5min 20 s
3 3
   
 a menos adiantado. Logo, o relógio do aluno está 
8min