ATIVIDADE 10 - CICLO 3 - AULA 2

Prévia do material em texto

Programa de Formação de Professores – OBMEP na Escola – 2020 
Ciclo 3 – aula 2 – métodos de contagem 
10ª atividade para os professores 
 
Questão 1. Para uma avaliação escolar, um professor elaborou a seguinte questão. 
 
Uma escola tem 20 professores, sendo que: 8 lecionam somente de manhã, 7 lecionam 
somente à tarde, e 5 lecionam somente à noite. Para organizar a festa junina, será 
montada uma comissão com 4 dos professores dessa escola. De quantos modos essa 
comissão pode ser montada se obrigatoriamente nela deve haver pelo menos um 
professor do turno da tarde e pelo menos um professor do turno da noite? 
 
Um aluno apresentou a seguinte solução para essa questão: 
 
Como a comissão deve ter um professor do turno da tarde e um professor do turno da 
noite, vamos começar por essas escolhas. O professor da tarde pode ser escolhido de 7 
maneiras diferentes. O professor da noite pode ser escolhido de 5 maneiras diferentes. 
Assim, dos 20 professores da escola, já escolhemos 2, e sobraram 
20 − 2 = 18. Desses 18 professores, precisamos escolher 2. Isso pode ser feito de 
(
18
2
) =
18×17
2
= 153 maneiras diferentes. Portanto, a comissão pode ser formada de 
7 × 5 × 153 = 5355 maneiras diferentes. 
 
Perguntas: 
(a) A solução apresentada pelo aluno está correta? Sim, não, justifique. 
(b) Se ela estiver errada, o número obtido pelo aluno é maior que ou menor que a resposta 
correta? 
(c) Se a solução do aluno estiver errada, apresente uma solução correta. 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2. O paralelogramo da figura a seguir está dividido em triângulos equiláteros. No caso 
da figura a seguir, vamos dizer que ele tem 6 triângulos de base e 3 triângulos de altura. 
 
Uma formiga deseja sair de A e chegar em B, caminhando sobre os lados dos triângulos e 
percorrendo o menor caminho possível, como exemplificado a seguir. 
 
(a) No caso da figura anterior, quantos caminhos diferentes a formiga pode percorrer? 
(b) Generalizando, se um paralelogramo tiver 𝑚 triângulos equiláteros de base e 𝑛 triângulos 
equiláteros de altura, quantos caminhos a formiga pode percorrer de um vértice até o 
vértice oposto do paralelogramo (sempre percorrendo o menor caminho)? 
 
(c) Agora, na figura a seguir, um triângulo equilátero grande está dividido em triângulos 
equiláteros menores. No caso da figura a seguir, dizemos que o triângulo equilátero 
grande tem 5 triângulos equiláteros menores de base. Uma formiga sai do ponto P e 
caminha sempre para baixo, sobre segmentos inclinados. Quantos caminhos diferentes 
essa formiga pode percorrer até chegar em algum ponto da base da figura? 
 
 
 
 
(d) Generalizando, quantos seriam esses caminhos se o triângulo equilátero grande tivesse 𝑚 
triângulos equiláteros menores de base? 
 
(e) Continuando, se o triângulo equilátero grande tiver 𝑚 triângulos equiláteros menores de 
base, observe que na parte de baixo da figura aparecem 𝑚 + 1 vértices que podem ser 
numerados da esquerda para a direita como 𝑃0 , 𝑃1, 𝑃2, …, 𝑃𝑚. Para cada índice 
𝑖 ∈ {0,1,2, … , 𝑚}, determine quantos caminhos a formiga pode percorrer do ponto 𝑃 até o 
ponto 𝑃𝑖. Some todos os valores obtidos e compare o valor dessa soma com o número 
obtido no item anterior. 
 
Para exemplificar, na figura a seguir, vemos um exemplo de um caminho ligando o ponto 𝑃 
ao ponto 𝑃2 da base da figura.