Relatório - Amostragem de Sinais

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
CENTRO DE ENGENHARIAS
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
LUIZ JOSÉ DE BESSA NETO
AMOSTRAGEM DE SINAIS
Amostragem de diferentes geometrias de sinais apresentado à Universidade Federal Rural do Semiárido - UFERSA como requisito para obtenção de parte da nota da terceira unidade da disciplina Análise de Sinais e Sistemas. 
Avaliador (a): Prof. Dr. Isaac Barros Tavares da Silva
MOSSORÓ-RN 
2020
RESUMO
Fundamentado por Henry Nyquist em 1928, o teorema da amostragem apresenta-se como a ponte entre os universos de tempo contínuo e tempo discreto. A informação inerente em um sinal em tempo contínuo amostrado é equivalente à de um sinal em tempo discreto. Um sinal em tempo discreto amostrado é uma sequência de impulsos, enquanto que um sinal tempo discreto apresenta a mesma informação em uma sequência de números. Nesse viés, o presente trabalho apresenta uma abordagem prática concernente à aplicação do teorema da amostragem em sinais de diferentes geometrias. O objetivo é realizar a amostragem no software MATLAB® de um sinal triangular e um sinal do tipo dente de serra. Ademais, pretende-se reconstruir os sinais amostrados passando os mesmos pela função de um filtro passa-baixas e, posteriormente, plotar o sinal original e o reconstruído no mesmo gráfico. Aliado a isso, almeja-se efetuar a amostragem de um sinal senoidal limitado até 3T/2 e, seguidamente, passar o sinal amostrado por um filtro antialiasing e por fim reconstruí-lo, comparando-o com o sinal de entrada. 
Palavras-chave: Teorema da Amostragem. Tempo Contínuo. Tempo Discreto. MATLAB®.
ABSTRACT
Founded by Henry Nyquist in 1928, the sampling theorem presents itself as the bridge between the universes of continuous time and discrete time. The information inherent in a sampled continuous time signal is equivalent to that of a discrete time signal. A sampled in time discrete signal is a sequence of pulses, whereas a discrete time signal presents the same information in a sequence of numbers. In this bias, the present work presents a practical approach regarding the application of the sampling theorem for signals of different geometries. The objective is to perform sampling in the MATLAB® software of a triangular signal and a sawtooth type signal. Furthermore, it is intended to reconstruct the sampled signals by passing them through the function of a low-pass filter and, subsequently, to plot the original and the reconstructed signal on the same graph. Allied to this, aims if to effect sample a limited sinusoidal signal up to 3T / 2 and then pass the sampled signal through an antialiasing filter and finally reconstruct it, comparing it with the input signal.
Keywords: Sampling Theorem. Continuous Time. Discrete Time. MATLAB®.
SUMÁRIO
1.	INTRODUÇÃO	5
2.	METODOLOGIA	6
3.	RESULTADOS E DISCUSSÕES	7
3.1.	Parte I	7
3.2.	Parte II: Sinal triangular	8
3.3.	Parte II: Sinal dente de serra	13
3.4.	Parte III	17
4.	CONCLUSÕES	22
REFERÊNCIAS	22
1. INTRODUÇÃO
Um sinal em tempo contínuo pode ser processado, a partir de suas amostras, por um sistema que opere em tempo discreto. Para tal, é importante mantar a taxa de amostragem do sinal suficientemente alta para permitir a reconstrução sem erro (ou com um erro dentro de uma dada tolerância) do sinal original. O fundamento quantitativo necessário para esse propósito é fornecido pelo teorema da amostragem (LATHI, 2007). 
Nesse contexto, o teorema da amostragem apresenta-se como a ponte entre os universos de tempo contínuo e tempo discreto. A informação inerente em um sinal em tempo contínuo amostrado é equivalente à de um sinal em tempo discreto. Um sinal em tempo discreto amostrado é uma sequência de impulsos, enquanto que um sinal tempo discreto apresenta a mesma informação em uma sequência de números. Essas são basicamente as duas formas de representar o mesmo dado. Dessa maneira, percebe-se claramente, que todos os conceitos da análise de sinais amostrados se aplicam a sinais em tempo discreto (LATHI, 2007). 
Em 1928, Henry Nyquist estabeleceu que a representação digital de um sinal analógico seria funcionalmente idêntica à forma de onda original se a taxa de amostragem (fs) fosse no mínimo duas vezes maior que a frequência do sinal (f). Nessa conjuntura, fundamentado no Baseado no teorema de Nyquist, a voz humana com uma frequência máxima de quatro 4 kHz requer oito mil amostras por segundo, enquanto que um áudio com qualidade de CD com frequência máxima de 20 kHz, requer quarenta mil amostras por segundo.
Ante o exposto, o presente trabalho apresenta uma abordagem prática concernente à aplicação do teorema da amostragem em sinais de diferentes geometrias. O objetivo é realizar a amostragem no software MATLAB® de um sinal triangular e um sinal do tipo dente de serra. Ademias, pretende-se reconstruir os sinais amostrados passando os mesmos pela função de um filtro passa-baixas e, posteriormente, plotar o sinal original e o reconstruído no mesmo gráfico. Aliado a isso, almeja-se efetuar a amostragem de um sinal senoidal limitado até 3T/2 e, seguidamente, passar o sinal amostrado por um filtro antialiasing e por fim reconstruí-lo, comparando-o com o sinal de entrada.
2. METODOLOGIA
Com o intuito de realizar amostragem dos sinais propostos (triangular, dente de serra e senoidal limitado até 3T/2) no MATLAB®, dividiu-se o presente trabalho em 3 etapas. A primeira etapa refere-se a amostragem por trem de impulsos de um sinal x(t) escolhido arbitrariamente. Dessa maneira, por questões estratégias escolheu-se um sinal dente de serra com uma frequência de 300 Hz. É oportuno salientar, que almejando otimizar a confiabilidade na recuperação do sinal, considerou-se um amostrador cuja frequência de amostragem é 50 vezes superior a frequência do sinal de entrada. 
De maneira análoga, a segunda etapa concerne a amostragem de dois sinais de entrada, a saber: triangular e dente de serra. Nesse sentido, efetuou-se a amostragem de ambos os sinais por trem de impulsos e, posteriormente, fez-se a convolução do sinal amostrado com um retentor de ordem zero . Por conseguinte, determinou-se a função Hr(w) de acordo com o filtro desejado e plotou-se o gráfico da função de saída . A Figura 1 denota, em síntese, o procedimento mencionado anteriormente. 
Figura 1 - Procedimento da amostragem dos sinais.
Fonte: Adaptado de (NING, 2014).
Já a terceira etapa do vigente trabalho, estar relacionada a plotagem de um sinal senoidal limitado em 3T/2. Nesse viés, realizou-se a amostragem deste sinal e, seguidamente, passou o sinal amostrado por um filtro antialiasing. Por fim, tornou-se possível fazer a recuperação do sinal por meio de um filtro passa-baixas, comparando-o com o sinal original. 
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Mediante o processo de amostragem realizado no software MATLAB® referente aos sinais retratados no vigente estudo, obteve-se resultados satisfatórios. Desse modo, será analisado os fenômenos observados em cada uma das etapas do trabalho.
 
3.1. Parte I
Em primeiro plano, realizou-se a amostragem por trem de impulsos da função de entrada x(t), referente a um sinal do tipo dente de serra com uma frequência (f) de 300 Hz, pelo qual considerou-se um amostrador cuja frequência de amostragem (fs) é 50 vezes superior a frequência deste sinal, conforme evidencia a Figura 1.
Figura 1 - Amostragem por trem de impulsos referente ao sinal dente de serra.
Fonte: Autoria própria (2020).
Em segundo plano, após amostrar a função de entrada x(t) por trem de impulsos, passou o sinal amostrado por um filtro passa-baixas ideal para reconstruí-lo. Dessa maneira, com o intuito de comparar a qualidade do sinal recuperado, plotou-se o sinal original e o sinal reconstruído em um mesmo gráfico. A Figura 2 denota a comparação de ambos os sinais.
Figura 2 – Comparação entre o sinal original e o sinal reconstruído.
Fonte: Autoria própria (2020).
Nesse sentido, observando-se a Figura 2, percebe-se claramente,pequenas distorções no sinal reconstruído em relação ao sinal original, mesmo o amostrador apresentando uma frequência de amostragem 50 vezes superior à do sinal de entrada. No entanto, esse comportamento é admissível e esperado, uma vez que quando se realiza o processo de amostragem de um sinal analógico e efetua-se a recuperação do sinal amostrado por meio de um filtro passa-baixas ideal, perde-se algumas propriedades do sinal de entrada. É oportuno salientar, que quanto maior for a frequência de amostragem, melhor será a reconstrução do sinal.
3.2. Parte II: Sinal triangular 
A priori, efetuou-se a amostragem de um sinal triangular por trem de impulsos e, posteriormente, fez-se a convolução do sinal amostrado com um retentor de ordem zero . Por conseguinte, determinou-se a função de transferência referente à Hr(w) para que a função resultante seja a de um filtro perfeito e, seguidamente, plotou-se o gráfico da função de saída . A Figura 3 ilustra a amostragem por trem de impulsos do sinal correspondente a função triangular.
Figura 3 - Amostragem por trem de impulsos referente ao sinal triangular.
Fonte: Autoria própria (2020).
Aliado a isso, após a amostragem por trem de impulsos do sinal triangular, calculou-se a transformada de Fourier em tempo discreto do sinal amostrado. É importante ressaltar que a transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD) é uma transformada integral estreitamente relacionada com a transformada de Fourier e com a transformada Z.
Entretanto, a TFTD difere da transformada de Fourier ao aplicar-se a funções cuja variável independente é discreta (descontínua), e não contínua, como é o caso da transformada de Fourier. Por conseguinte, efetuou-se a passagem do espectro de Fourier referente a amostra por um filtro passa-baixas ideal, conforme denota a Figura 4.
Figura 4 - Espectro de Fourier referente a amostra e espectro de Fourier após o filtro passa-baixas. 
Fonte: Autoria própria (2020).
Nessa conjuntura, com o intuito de denotar o sinal no tempo, aplicou-se o comando no MATLAB® referente a transformada inversa de Fourier para o espectro após o filtro passa-baixas. Dessa forma, tornou-se possível plotar o gráfico correspondente a recuperação do sinal logo após a passagem pelo filtro passa-baixas no tempo efetuando-se a convolução entre o retentor de ordem zero e o sinal amostrado. Esse processo de reconstrução do sinal também pode ser chamado de interpolação. A Figura 5 evidencia o comportamento gráfico do sinal após sua recuperação através do filtro passa-baixas.
Figura 5 – Reconstrução do sinal pelo filtro passa-baixas. 
Fonte: Autoria própria (2020).
Nesse contexto, analisando-se a Figura 5, observa-se uma excelente reconstrução do sinal pelo filtro passa-baixas, haja vista que o sinal não apresentou oscilações ou perdas de características significativas. Esse fenômeno pode ser explicado em virtude da alta frequência do amostrador, pelo qual proporciona uma maior confiabilidade na recuperação do sinal. 
Consoante a isso, determinou-se a função de transferência respeitante à Hr(w) para que a função resultante seja a de um filtro perfeito. Em seguida, efetuou-se a convolução para encontrar o sinal de saída do sistema . A Figura 6 mostra o sinal após a função Hr(w), bem como o sinal de saída do sistema r(t). 
Figura 6 – Sinal após a função Hr(w) e o sinal de saída do sistema r(t).
Fonte: Autoria própria (2020).
Por fim, almejando realizar uma análise comparativa entre o comportamento do sinal original x(t) e o sinal de saída r(t), plotou-se ambos os sinais em um mesmo gráfico, conforme ilustra a Figura 7.
Figura 7 - Comparação entre o sinal original x(t) e o sinal de saída r(t).
Fonte: Autoria própria (2020).
Por todo o exposto, inspecionando a Figura 7, percebe-se evidentemente, que o sinal de saída r(t) sobrepôs o sinal original x(t), apresentando um erro relativo de 0,0005%. Dessa maneira, conclui-se que a determinação da função de transferência Hr(w), proporciona a aplicação de um filtro perfeito para a reconstrução do sinal. Nesse contexto, torna-se imprescindível realizar tal procedimento para garantir uma boa qualidade do sinal de saída. 
3.3. Parte II: Sinal dente de serra
Nesta etapa, aplicou-se um procedimento análogo ao realizado para o sinal triangular. Nesse contexto, efetuou-se a amostragem de um sinal dente de serra por trem de impulsos e, posteriormente, fez-se a convolução do sinal amostrado com um retentor de ordem zero . Por conseguinte, determinou-se a função de transferência referente à Hr(w) para que a função resultante seja a de um filtro perfeito e, seguidamente, plotou-se o gráfico da função de saída . A Figura 8 apresenta a amostragem por trem de impulsos do sinal correspondente a função dente de serra.
Figura 8 - Amostragem por trem de impulsos referente ao sinal dente de serra.
Fonte: Autoria própria (2020).
Aliado a isso, após a amostragem por trem de impulsos do sinal triangular, calculou-se a transformada de Fourier em tempo discreto do sinal amostrado. Por conseguinte, efetuou-se a passagem do espectro de Fourier referente a amostra por um filtro passa-baixas ideal, conforme denota a Figura 9.
Figura 9 - Espectro de Fourier referente a amostra e espectro de Fourier após o filtro passa-baixas.
Fonte: Autoria própria (2020).
Nesse viés, com o intuito de denotar o sinal no tempo, aplicou-se o comando no MATLAB® referente a transformada inversa de Fourier para o espectro após o filtro passa-baixas. Dessa forma, tornou-se possível plotar o gráfico correspondente a recuperação do sinal logo após a passagem pelo filtro passa-baixas no tempo efetuando-se a convolução entre o retentor de ordem zero e o sinal amostrado. Esse processo de reconstrução do sinal também pode ser chamado de interpolação. A Figura 10 evidencia o comportamento gráfico do sinal após sua recuperação através do filtro passa-baixas.
	Figura 10 - Reconstrução do sinal pelo filtro passa-baixas. 
Fonte: Autoria própria (2020).
Nesse cenário, averiguando-se a Figura 10, observa-se uma excelente reconstrução do sinal pelo filtro passa-baixas, haja vista que o sinal não apresentou oscilações ou perdas de características significativas em relação ao sinal original. Esse fenômeno pode ser explicado em virtude da alta frequência do amostrador, pelo qual proporciona uma maior confiabilidade na recuperação do sinal. 
Consoante a isso, determinou-se a função de transferência respeitante à Hr(w) para que a função resultante seja a de um filtro perfeito. Em seguida, efetuou-se a convolução para encontrar o sinal de saída do sistema . A Figura 11 mostra o sinal após a função Hr(w), bem como o sinal de saída do sistema r(t). 
Figura 11 - Sinal após a função Hr(w) e o sinal de saída do sistema r(t).
Fonte: Autoria própria (2020).
Finalmente, objetivando realizar uma análise comparativa entre o comportamento do sinal original x(t) e o sinal de saída r(t), plotou-se ambos os sinais em um mesmo gráfico, conforme ilustra a Figura 12.
Figura 12 - Comparação entre o sinal original x(t) e o sinal de saída r(t).
Fonte: Autoria própria (2020).
Ante o exposto, inspecionando a Figura 12, percebe-se nitidamente, que o sinal de saída r(t) sobrepôs o sinal original x(t), expressando um erro relativo de 0,0004%. Dessa maneira, conclui-se que a determinação da função de transferência Hr(w), proporciona a aplicação de um filtro perfeito para a reconstrução de um determinado sinal. Nesse contexto, torna-se imprescindível realizar tal procedimento para garantir uma boa qualidade do sinal de saída.
3.4. Parte III 
Na prova do teorema da amostragem, considera-se amostras ideais obtidas pela multiplicação de um sinal x(t) por um trem de impulso que é fisicamente impossível. Nesse sentido, realizou-se uma amostragem prática de um sinal senoidal limitado em 3T/2, multiplicando-se o sinal x(t) por um trem de impulsos de largura finita. A Figura 13 denota o gráfico referente a plotagem do sinal de entrada. 
Figura 13 - Sinal senoidal limitado em 3T/2.
Fonte:Autoria própria (2020).
Por conseguinte, calculou-se a transformada direta de Fourier do sinal senoidal limitado até 3T/2. Dessa forma, a Figura 14 apresenta o gráfico correspondente a transformada de x(t).
Figura 14 – Transformada de Fourier do sinal de entrada. 
Fonte: Autoria própria (2020).
Após realizar a transformada de Fourier do sinal de entrada, fez-se a multiplicação do sinal x(t) por um trem de impulsos de largura finita. Dessa maneira, o trem de impulsos evidenciado na Figura 15, apresenta uma frequência de 0,25 mHz. 
Figura 15 – Tem de impulsos de largura finita.
Fonte: Autoria própria (2020).
Nesse sentido, o sinal de entrada foi amostrado pela multiplicação direta com o trem de impulsos de largura finita. A Figura 16 ilustra o gráfico concernente a amostragem do sinal senoidal limitado em 3T/2. 
Figura 16 – Amostragem do sinal de entrada x(t).
Fonte: Autoria própria (2020).
Posteriormente, ao realizar a amostragem do sinal de entrada, calculou-se a transformada de Fourier do sinal amostrado e, seguidamente, aplicou-se um filtro antialiasing. Outrossim, após a aplicação deste filtro, almejando reconstruir o sinal, empregou-se a função transferência de um filtro passa-baixas no domínio da frequência. A Figura 17 demonstra, respectivamente, o espectro de Fourier do sinal amostrado e o comportamento gráfico do filtro passa-baixas.
	
Figura 17 - Transformada de Fourier do sinal amostrado.
Fonte: Autoria própria (2020).
Destarte, ao aplicar o filtro passa-baixas, gerou-se o gráfico correspondente ao espectro de Fourier do mesmo e, posteriormente, aplicou-se a transformada inversa de Fourier para representar o sinal reconstruído no tempo. Desse modo, a Figura 18 ilustra, respectivamente, o espectro de Fourier após o filtro passa-baixas e a representação do sinal reconstruído no tempo na forma de trem de impulsos no tempo.
	
Figura 18 – Espectro de Fourier após a aplicação do filtro e o sinal reconstruído na forma de trem de impulsos no tempo.
Fonte: Autoria própria (2020).
Por último, almejando efetuar uma análise comparativa entre o comportamento do sinal original x(t) e o sinal reconstruído na forma de trem de impulsos no tempo, gerou-se um gráfico com ambos os sinais, conforme ilustra a Figura 19.
Figura 19 - Comparação entre o sinal original x(t) e o sinal reconstruído. 
Fonte: Autoria própria (2020).
Por todo o exposto, observando-se a Figura 19, pode-se perceber que o sinal reconstruído perdeu algumas características relacionadas a frequência em (Hz) se comparado ao sinal original, uma vez que é denotado na forma de trem de impulsos no tempo de largura finita. Ademais, é importante mensurar que a limitação do sinal de entrada e o sinal recuperado permaneceram iguais, ou seja, em 3T/2. 
Dessa maneira, conclui-se que a aplicação da amostragem na prática, como foi o caso deste exemplo, apresenta particularidades que influenciam diretamente na reconstrução do sinal de saída após a aplicação do filtro passa-baixas. É oportuno salientar, que tanto na amostragem prática quanto na teórica, a taxa de amostragem do amostrador não deve ser inferior à taxa de Nyquist. 
4. CONCLUSÕES 
Mediante as simulações realizadas no vigente estudo, tornou-se possível compreender com exatidão os fundamentos do teorema da amostragem, uma vez que observou-se os principais fenômenos concernentes à reconstrução de sinais através de filtros passa-baixas.
Aliado a isso, percebeu-se que o processo de amostragem de sinais tem uma grande aplicabilidade prática no cotidiano da engenharia elétrica, apresentando-se como uma ferramenta matemática poderosa, que permite a transição entre os mundos de tempo contínuo e discreto. Ademais, pôde-se comprovar que quanto maior for a frequência de amostragem do amostrador, melhor será a reconstrução do sinal.
REFERÊNCIAS
LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 856p.
NING F.; YANG, L.; ZHANG, J. Sub-Nyquist 1 bit sampling system for sparse multiband signals. 22nd European Signal Processing Conference (EUSIPCO), IEEE, Lisbon, Portugal, 2014, p. 2-7.
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