Lista2

Prévia do material em texto

MAD 1302 – Cálculo II 
Professor: Ricardo Chaves 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 
 
1. Considere a função ( ) ( )1ln −== + yxey,xfz . Faça um esboço do domínio de f e uma 
descrição de suas curvas de nível. 
 
2.O potencial elétrico num ponto (x, y, z) em um corpo eletricamente carregado é dado 
por ( ) 222 32,, zyxezyxP +−−= . Identifique a superfície do R3 cujos pontos possuem 
potencial igual ao potencial do ponto ( )111 ,,−− . 
 
3. Faça um esboço das curvas de nível da função ( ) xyy,xfz 2== e compare com as 
curvas de nível do Parabolóide Hiperbólico dado por ( ) 22 yxy,xgz −== . O que você 
conclui? 
OBS: Há no verso desta folha uma Worksheet em Maple 8 que auxilia na solução deste 
problema. 
 
4. Descreva o domínio e as superfícies de nível da função de três variáveis dada por 
( ) ( ) 1222,, −++= zyxzyxf . 
 
5. Verifique se a função ( ) ( ) ( )
( ) ( )��
�
�
�
=
≠
+=
00,,0
00,,
, 22
,yx
,yx
yx
xy
yxf é diferenciável em ( )0,0 . 
 
6. Encontre o ponto onde o plano tangente a superfície 23522 22 −+−−+= yxyxyxz 
é horizontal. 
 
7. Determine uma equação do plano tangente e uma equação da reta normal ao 
hiperbolóide de equação 1042 222 =−− zyx no ponto ( )114 ,,− . 
 
8. Uma curva C que passa pelo ponto ( )1110 ,,P = é a interseção entre duas superfícies 
de equações ( ) 03,, 222 =−++= zyxzyxF e ( ) 042,, 22 =−++= yxxzyxG . Encontre 
as taxas de variação de F e G na direção de um vetor tangente a C em P0, a direção e o 
valor da máxima taxa de variação de G em P0. 
 
9. Uma função ( )nxxf ,,1 �=φ é dita harmônica se ela satisfaz a Equação de Laplace 
02
2
2
1
2
=
∂
φ∂++
∂
φ∂
nxx
� . Mostre que ( ) 23 3xyxy,xfz −== e ( ) 22ln yxy,xgz +== são 
funções harmônicas. 
 
10. Dada ( ) ( ) ( )
( ) ( )��
�
�
�
=
≠
+=
00,,0
00,,, 22
3
,yx
,yx
yx
xy
yxf , mostre que ( ) ( )0000
22
,
xy
f
,
yx
f
∂∂
∂≠
∂∂
∂
. 
Worksheet em Maple 8 que auxilia na solução do problema 3
> restart: with(plots):
Comando que plota o Parabolóide Hiperbólico = = = = z − − − − x2 y2
> implicitplot3d(z=x^2-y^2,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3,numpoints=5000,orientation=[
110,72],axes=boxed);
Esta rotina plota as curvas de nível do Parabolóide Hiperbólico = = = = z − − − − x2 y2 
> for i from -5 to 5 do
> p[i+6]:=implicitplot(i=x^2-y^2,x=-3..3,y=-3..3,numpoints=500);
> od:
> display(seq(p[j],j=1..11));
Comando que plota a função = = = = z 2 x y 
> implicitplot3d(z=2*x*y,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3,numpoints=5000,orientation=[11
0,72],axes=boxed);
Esta rotina plota as curvas de nível da função = = = = z 2 x y 
> for i from -5 to 5 do
> p[i+6]:=implicitplot(i=2*x*y,x=-3..3,y=-3..3,numpoints=5000);
> od:
> display(seq(p[j],j=1..11));