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G A Z E T A 
D E 
M A T E M Á T I C A 
J O R N A L DOS C O N C O R R E N T E S A O E X A M E D E A P T I D Ã O E D Ó S 
E S T U D A N T E S D E M A T E M Á T I C A D A S E S C O L A S S U P E R I O R E S 
A N O 1 - 1 9 4 0 
V O L . I - N . o s 1-4 
2 . A E D I Ç Ã O - 1 9 4 7 
L I S B O A 
D E P O S I T Á R I O E M P O R T U G A L : L I V R A R I A S Á D A C O S T A / R U A G A R R E T 100-102 / L I S B O A 
G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 
REDACÇÃO Ë ADMÍXISTRÃÇÀÒ EM 1940 : 
Antônio Monteiro, Bento Caraça, Hugo Ribeiro, José Paião e Manuel Zaluar 
EM 1 ( .UT : 
E D I T O R — Gazeta de Matemática, Lda. ADMINISTRADOR — A. Sá da Costa 
R E D A C Ç Ã O 
Redactor principal 
Manuel Zaluar 
PEDAGOGIA 
ASTRONOMIA 
TEMAS DE ESTUDO 
RESPONSÁVEIS DE SECÇÕES: 
Banro J . Caraça 
Manuel Peres Júnior 
Junta de Invesl igaçao Mate-
mático 
MATEMÁT.CAS ELEMENTARES Antón o A. Lopes, J . da Silva 
Paulo, Maria Pilar R b iro 
MATEMÁTICAS SUPERIORES 
PROBLEMAS 
A. Pereira Gomas, J . Sebas-
tião a Silva, L. G. Albuquer-
que, V . S. Barroso 
Junto de Invest igação Mate-
mática 
O U T R O S COMPONENTES : 
EM LISBOA A. Ferreira da Mac.do , A. SA da 
Costa, F. Carvalho Araújo, J . Calado, 
J . J . Rodrigues dos Santos, J . Mor-
gado, J . Remy Freire, J. Ribeiro de 
Albuquerque, Luís Passos e Orlando 
M. Rodrigues. 
PÔRTO Delgado de Oliveira e Ri os de Souza 
BARCELONA Francisco Sanvisens 
MADRID Sixto Rios Garcia 
MONTEVIDEO Rafael La Guardia 
PARIS Paul Be lgodère 
ROMA Emma Casfelnuovo 
ROSÁRIO L. A. Santaló 
RECIFE Luiz Freire 
RIO DE JANEIRO António A. Monteiro, Achile Bassi 
J . Abdellay e Leopoldo Nachbin 
SÃO PAULO Omar Catunda 
ZURICH H. Wermus 
Junta de Invest igação Matemát ica: Buy Luís Homes, Almeida Costa, M. O. Miranda, M. G . P . Barros, 
A. Pereira Gomes, L . Neves Ileal, Laureano Barros e F . Soaros David 
Sede e A d m i n i s t r a ç ã o da Gazeta de Matemática — Rua A l m i r a n t e Barroso, 20, r/c — L i s b o a - N 
N O P R E L O : ÁLGEBRA MODERNA T r a d u ç ã o d a 2.- e d i ç ã o 
d e V A N DER W A E R D E N P o r H U G O R IBEIRO 
Dr. Sc. Mot. IE. T. H. Zurich) 
C o n d i ç õ e s especias de a q u i s i ç ã o para os assinantes 
da « G a z e l a de M a t e m á t i c a » , oportunamsnle a anunciar 
E M P R E P A R A Ç Ã O : 
T r a d u ç ã o d o r e x l o da 7.° e d i ç ã o da o b r a 
FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA DE D. HUBERT 
T r a d u ç ã o de Maria Pilar Ribeiro e J o s é D. da Silva Paulo 
T I P O G R A F I A MATEMÁTICA, L D A . — R . A l m i r a n t e B a r r o s o . 20 r / c . — L I S B O A - N. 
G A Z E T A 
D E 
M A T E M Á T I C A 
J O R N A L DOS C O N C O R R E N T E S A O E X A M E D E A P T I D Ã O E D O S 
E S T U D A N T E S D E M A T E M Á T I C A D A S E S C O L A S S U P E R I O R E S 
A N O 1 - 1 9 4 0 
V O L . | - N . o s 1-4 
2 / E D I Ç Ã O - 1 9 4 7 
L I S B O A 
D E P O S I T Á R I O E M P O R T U G A L : L I V R A R I A S Á D A C O S T A / R U A G A R R E T 100-102 / L I S B O A 
Í N D I C E 
A N O I - I 9 4 0 - N . O S 1 A 4 - 2 . A E D I Ç Ã O 
Nota sobre a segunda edição 1 
Apresentação . . . . 1 
A R T I G O S 
A noção de contingente, por A n t ó n i o Monte i ro 2 
Abel e Galois, por Bento C a r a ç a 3 
Corpos quadráticos e seus ideais, por J o s é da S i lva Paulo. . 4 
O método de Fubini para a integração das funções racionais, por Manuel Zaluar 8 
Aplicação das propriedades do trinómio do 2." grau à determinação de alguns problemas de máximos 
e mínimos, por J o s é da S i lva Paulo 8 
Um problema de Geometria Analítica, por Ruy L u í s Gomes , . . . 10 
A N T O L O G I A 
Do integral de Riemann ao integral de Lebesgue, por H e n r i Lebesgue 10 
Humorismo, Curiosidades, etc 11 
MOVIMENTO MATEMÁTICO 
Premio Nacional Dr. F. Gomes Teixeira, Congresso Internacional de Matemática e Seminário de Análise 
:'' Geral. - .'- . •-» ••, .. ' . -í"; ;~> . , . 12 
MATEMÁTICAS E L E M E N T A R E S — Pontos de exames de aptidão às escolas 
superiores 
(Cursos das Faculdades de C i ê n c i a s , Escolas Mi l i t a r e s , Professores de Desenho, Ins t i tu tos Superiores 
de Agronomia , C i ê n c i a s E c o n ó m i c a s e Financeiras e T é c n i c o ) . . . . , 12 
MATEMÁTICAS S U P E R I O R E S — Pontos de exames de frequência e finais 
A l g e b r a Superior — M a t e m á t i c a s gerais. 32 
Cá lcu lo I n f i n i t e s i m a l — A n á l i s e Superior 39 
M e c â n i c a Racional 42 
Geometria P ro jec t iva — Geometria Superior 43 
Geodesia — Ast ronomia • 44 
Complementos de A l g e b r a e de Geometria A n a l í t i c a 45 
Cá lcu lo das Probabil idades 45 
P R O B L E M A S 
Problemas propostos e so luções recebidas em 1940 46 
B O L E T I M BIBLIOGRÁFICO 48 
A n o i - i 4 9 o - N . » i - 4 GAZETA DE M A T E M Á T I C A 2. a ed ição-1947 
REDACTOR P R I N C I P A L : M. Záluar * EDITOR.* Gazeta de Matemática, Lda. # ADMINISTRADOR: A. Sá da Costa 
Composto na Tipografia Matemática, Lda. — Rua Almirante Barroso, 20, r/c. — LISBOA-N. 
NOTA SOBRE A SEGUNDA EDIÇÃO 
Esta segunda edição dos quatro números 
publicados durante o primeiro ano de vida da 
Gazeta de Matemática, há muito inteiramente 
esgotados, com excepção do n." 3, contém tudo 
o que naqueles números foi publicado, com as 
alterações que a seguir se assinalam. 
O texto dos quatro primeiros números da 
Gazeta de Matemática foi completamente re-
visto, em especial as soluções dos pontos de 
exame neles publicados, e repaginado, como se 
de um só número se tratasse, distribuindo-se a 
matéria pelas secções actualmente existentes e 
segundo as normas adoptadas nos últimos núme-
ros da revista. Para obviar aos inconvenientes 
resultantes destas alterações indica-se no final 
de cada artigo o número da Gazeta de Mate-
mática e a data em que foi publicado pela 
primeira vez e apresenta-se um quadro que esta-
belece a correspondência entre a primitiva e a 
actual numeração dos pontos de exame e dos 
problemas propostos. 
Março de 1947. 
APRESENTAÇÃO 
Gazeta de Matemática inicia, com o presente 
número, a sua publicação. 
Duas palavras sobre os seus objectivos e 
o seu programa. 
Pretende ela ser um instrumento de traba-
lho e um guia para os estudantes de Matemá-
tica das Escolas Superiores portuguesas num 
campo onde eles encontram, por ventura, as 
maiores dificuldades — o campo da prepara-
ção prática. O escasso tempo de que em geral 
dispõem as aulas práticas nas diferentes esco-
las, a falta de boas colecções de exercícios, 
adaptadas à orientação das várias cadeiras, 
são males que assoberbam o estudante e que 
a Gazeta, sem pretender anulá-los, procurará, 
no entanto, atenuar, na medida do possível. 
Para isso, procederá à publicação de todos 
os pontos de exames de frequência e finais de 
todas as cadeiras de Matemática das Escolas 
Superiores, acompanhando-os dos resultados 
e, quando pareça conveniente, dos passos fun-
damentais da resolução ou, mesmo, da reso-
lução completa. Assim, a colecção dos núme-
ros da Gazeta constituirá um repositório de 
problemas e resoluções que orientará o estu-
dante na sua preparação. 
Outro problema que à Gazeta merecerá um 
cuidado especial é a situação dos centenares 
de candidatos à admissão das Escolas Supe-
riores. Por motivos que não é oportuno ana-
lisar aqui, encontram-se eles quási às cegas 
na escolha do caminho que hão-de imprimir 
à sua preparação para os exames de aptidão. 
Mencionemos apenas que o critério dos 
seleccionadores, revelado na organização dos 
pontos dos exames de aptidão, nem sempre 
está de acordo com o critério que preside à 
elaboração dos pontos dos exames de saída 
dos Liceus, critério este que, necessariamente, 
tem enorme influência na orientação do ensino 
liceal. 
Pois bem, Gazeta de Matemática procederá 
2 G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 
à publicação dos pontos de matemática saídos 
nos exames de aptidão das várias Escolas, 
dará os esclarecimentos necessários para a sua 
resolução e assim contribuirá para orientar 
os candidatos. 
E mcada número públicar-se-á também um 
artigo de carácter didáctico, sobre um assunto 
de matemáticas elementares ou superiores. 
As pessoas que assumem o encargo duma 
publicação desta natureza sabem que ela vin-
gará e terá condições de vida apenas na me-
dida em que consiga interessar a massa dos 
estudantes a que se dirige ; mas, para que 
A noção de 
por António 
Seja 2 i 3 o espado euclideano a três d i m e n s õ e s reais. 
Recordemos a n o ç ã o de /imite de uma sucessão cie pon-
tos de R3 . Seja pi ,p>->, ••• p„ ••• uma t a l s u c e s s ã o ; 
diz-se que ela tem por l i m i t e o ponto p quando a dis-
t â n c i a de p a p„ tende para zero quando n aumenta 
indefinidamente. 
Seja A u m conjunto de pontos de Ií's. Como se 
sabe, diz-se que p é ponto de acumulação de A , se A 
c o n t é m , pelo menos, uma suces são de pontos p n ^ p 
que tem por l i m i t e o ponto p . 
A n o ç ã o de l i m i t e de uma s u c e s s ã o pode definir-se 
para sucessões de rectas, curvas, f u n ç õ e s , s u p e r f í -
cies, etc. Consideremos unia suces são de semi-rectas r „ 
que tenham por or igem um ponto f i x o />(>'„= pp„) • 
Diremos que esta s u c e s s ã o tem por l i m i t e uma semi-
-recta r (de or igem ji>) se o â n g u l o das semi-rectas r 
e r„ tende para zero quando n aumenta inde f in ida -
mente. (Chamamos aqui â n g u l o de duas semi-rectas 
com a mesma origem, ao menor dos dois â n g u l o s que 
essas duas semi-rectas determinam). De modo a n á l o g o 
ao anterior se podia agora de f in i r a scmi-recta de 
acumulação de um conjunto qualquer de semi-rectas 
com a mesma o r igem) . 
Estas noções que acabamos de recordar são ind i s -
p e n s á v e i s para de f in i r a noção de semi-tangente a uni 
conjunto A num dos seus pontos de a c u m u l a ç ã o 
ileja p um ponfo de acumulação de A ; diremos que a 
semi-recta pq e uma semi-tangente a A no ponto p se 
existir uma sucessão p i , p j , • • • , p„ , • • • de pontos de A 
esse intéressé seja mais acentuado, ela neces-
sita da colaboração dos seus leitores. Para 
isso, cada número conterá algumas questões 
propostas para os leitores resolverem. Nos 
números seguintes serão publicadas, com indi-
cação dos nomes dos autores, as melhores 
soluções recebidas. 
E assim, com a colaboração de todos, redac-
tores e leitores, Gazeta de Matemática consti-
tuirá um organismo vivo, um instrumento 
eficiente de trabalho e, ao mesmo tempo, um 
Amigo, animado do desejo de bem servir. 
Este é, acima de todos, o seu objectivo fun-
damental. 
[Gazeta (te Matemática N.° 1. Janeiro do 1940]. 
contingente 
Monteiro 
(sendo p„ f̂c p ) tal que a sucessão de semi-rectas 
PPi >'PPi > ' ' ' ; Pl'n > • • • tenha por limite a semi-recta p q . 
A o conjunto de t ô d a s as semi-tangentes a um con-
j u n t o A no mesmo ponto p , d á - s e o nome de contin-
gente de A HO ponto p . Es ta d e s i g n a ç ã o é devida ao 
m a t e m á t i d o f r a n c ê s Bouligay,d. <" Se o contingente 
de A no ponto p se reduz a uma recta r diz-se que 
r é tangente ao conjunto A no ponto p . Se o con t in -
gente de A no ponto p c o n t é m t ô d a s as semi-rectas 
de um plano que passa por p, e só essas, diz-se que 
êsse plano é tangente a A no ponto p. A n o ç ã o de 
contingente c o n t é m como casos part iculares as noções 
de tangente a uma curva (plana ou torsa) e de plano 
tangente a uma s u p e r j f í c i e . 
E poss íve l de f in i r para um conjunto de pontos de R 3 , 
noções que generalizam as noções de plano osculador, 
c í r cu lo osculador, etc. Pode, portanto, estudar-se a 
geometria i n f i n i t e s i m a l independentemente da teoria 
das f u n ç õ e s . 
A ê s t e novo c a p í t u l o da m a t e m á t i c a deu B o u l i g a n d 
o nome do Geometria In f in i t e s ima l Di rec ta , que pode 
considerar-se como uma c i ê n c i a em plena f o r m a ç ã o . 
O seu aparecimento era i n d i s p e n s á v e l . De h á mui to 
que se reconhecera a c o m p l i c a ç ã o que os m é t o d o s da 
Geometria A n a l í t i c a t raz iam para.a r e s o l u ç ã o de cer-
tos problemas. Todos os estudantes conhecem as Com-
in Bouligand — Introduction à la Géométrie Infinitésimale 
Directe. 
G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 3 
p l i c a ç õ e s que podem aparecer na r e s o l u ç ã o de certos 
problemas de geometria por m é t o d o s a n a l í t i c o s , quando 
n ã o se escolhem con renientemente os eixos coordenados. 
Os eixos mais concernentes s ão aqueles que conduzem 
a cá l cu los mais simples, o que depende evidentemente 
do problema a resolver. B como não se cozdieeeni re-
gras gerais para a escolha dos eixos mais convenien-
tes essa escolha cons t i tu i um dos misteriosos quebra-
-ca/teças da Geometria A n a l í t i c a . Para estudar, por 
exemplo, as propriedades de um t r i â n g u l o , umas vezes 
c o n v é m escolher para eixos coordenados dois dos seus 
lados, outras vezes c o n v é m escolher a recta que con-
t é m um dos lados e a j ierpendicular no ponto médiOj 
etc. No estudo das curvas torsas, o sistema de eixos 
Abel e 
por Bento 
A s vidas de Evar i s t e Galois e Niels A b e l oferecem 
um conjunto impressionante, o mais impressionante 
de toda a h i s t ó r i a da C i ê n c i a , de c o n c o r d â n c i a s e 
contrastes. 
U m a m u l t i d ã o de coisas os a p r o x i m a ' a é p o c a em 
que v ive ram -— p r i n c í p i o s do século x i x ; a brevidade 
das suas vidas — Galois movreu com 21 anos incom-
pletos em 1832, Abe l com 27 incompletos em 1829 ; 
a sua espantosa precocidade — G à l o i s estava de posse 
<los fundamentos da teoria da resolubil idade das equa-
ções a l g é b r i c a s por meio de radicais aos dezasseis 
anos, A b e l aos v in te e quatro apresentou à Academia 
das C i ê n c i a s de Paris uma m e m ó r i a sobre as Trans -
cendentes E l í t i c a s de que mais tarde Hermi te havia 
de dizer que c o n t é m m a t é r i a para ocupar m a t e m á t i c o s 
durante quinhentos anos ; o f i m t r á g i c o que ambos 
t i ve ram — Galois morre estupidamente num duelo, 
A b e l , na m i s é r i a , minado pela tuberculose. 
Une-os ainda a i n c o m p r e e n s ã o e o desinteresse de 
que fo ram alvo por parte dos consagrados do seu 
tempo : os maiores, Cauchy em F r a n ç a e Gauss na 
Alemanha, deixaram passar ao seu lado, sem os verem, 
os dois maiores g é n i o s m a t e m á t i c o s do século x i x 
— n ó d o a negra que a g l ó r i a , a outros t í t u l o s bem 
merecida, jamais c o n s e g u i r á apagar. Gauss não se 
d i g n o u 1er a m e m ó r i a que A b e l lhe mandara s ô b r e a 
impossibi l idade da r e s o l u ç ã o da e q u a ç ã o do 5.° grau 
por meio de radicais , afastando-a desdenhosamente 
com este c o m e n t á r i o ao t í t u l o — « m a i s uma mons-
truosidade !» ; Cauchy, absorvido na sua obra, perdeu 
as que A b e l em 1826, e Galois, dois anos mais tarde, 
enviaram à Academia das C i ê n c i a s . Para que a i n f e -
l ic idade da Academia fosse completa, não f a l t a r a m na 
• c i r c u n s t â n c i a os e p i s ó d i o s picarescos — Poisson escre-
inais conveniente pode mesmo va r i a r de ponto para 
ponto ( t r iedro de Frenet-Serret) . Todas estas c i rcuns-
t â n c i a s de ixam perplexo o estudante desprevenido, 
perante os laboriosos cá l cu los que tem, às vezes, que 
fazer para demonstrar uma propriedade simples da 
Geometria Elementar pelos m é t o d o s da Geometria 
A n a l í t i c a . Compreende-se assim a i m p o r t â n c i a da 
Geometria I n f i n i t e s i m a l D i rec ta cm que n ã o existem 
eixos que compliquem a r e s o l u ç ã o dos problemas, nem 
h i p ó t e s e s de continuidade s ô b r e as f u n ç õ e s (ou s ô b r e 
as suas derivadas) que mascarem completamente a 
natureza g e o m é t r i c a das q u e s t õ e s a estudar. 
[Gazeta de Matemática, n.° 1, Janeiro do 1940] 
G olo is 
Caraça 
vendo na capa duma m e m ó r i a de Galois, que n ã o 
compreendera, um visto em boa c a l i g r a f i a (o que é 
sempre uma s o l u ç ã o . .. ) , Legendre desculpando-se, a 
respeito da m e m ó r i a de A b e l , porque ocra d i f i c i lmen te 
l e g í v e l , estava escrita numa t i n t a q u á s i b r a n c a » ! . . . 
Out ro t r a ç o de u n i ã o consiste no lac to de ambos se 
terem ocupado, independentemente um do outro, e sem 
se conhecerem do mesmo assunto — a resolubil idade 
das e q u a ç õ e s a l g é b r i c a s , q u e s t ã o que fo rma a par te 
mais impor tante da obra conhecida de Galois c para o 
estudo da qual Abe l c o n t r i b u í r a com o seu t rabalho 
s ô b r e a e q u a ç ã o do 5.° grau, como acima se disse. 
A c i m a de tudo, os dois e s t ã o irmanados numa coisa 
— a cr iminosa i n d i f e r e n ç a com que a Sociedade os 
t ra tou , condenando, como diz Tannery, um a morrer 
de fome, outro a v iver ou a morrer, como se quiser, 
no c á r c e r e . 
Mas, ao lado de tantos pontos de contacto, que d i -
f e r e n ç a enorme entre os dois, t ã o grande que se, pen-
sando num, quisermos real izar a sua a n t í t e s e , logo 
nos acode à mente o outro, t a l a diversidade de con-
d ições p s i c o l ó g i c a s , de modos de trabalhar , de a t i tude 
perante a v i d a que ambos nos apresentam. O que 
num, A b e i , é d o ç u r a , t imidez , r e s i g n a ç ã o , é no outro 
al t ivez, a c ç ã o , revol ta . 
Ambos sofrem, mas na maneira de sofrer s ã o dis-
pares — A b e l , f raco, de sensibilidade i n f a n t i l , retrai-se, 
procura um ponto de apoio afect ivo e, como todos os 
fracos, uma vez que entra na l n t a é para cometer uma 
i n j u s t i ç a " ' ; Galois, personalidade incomparavelmente 
mais for te , revolta-se, ataca, ataca sempre. Abe l , i n -
<i) Contra Jacobi. 
G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 
capaz de ultrapassar os l imi tes do individua], nunca 
aborda de al to a p o s i ç ã o do homem, n ão relaciona os 
seus males com os males gerais de que enferma a so-
ciedade do seu tempo, restr inge a sua a m b i ç ã o à t r a n -
qui l idade dum lugar na Universidade ; Galois, mais 
esclarecido, discerne as conexões í n t i m a s do corpo so-
c ia l , v ê nos defeitos o r g â n i c o s de base a r a z ã o p r o -
f u n d a de que os casos ind iv idua i s s ã o o reflexo e> 
logicamente, combate as causas, atira-se para a lu t a , 
bate-se na rua, com t a l ardor, t a l e x a l t a ç ã o no dom 
de s i mesmo que chega a dizer «se fô r preciso um 
c a d á v e r para que o povo se revolte, dar-lhe-ei o meu !» 
A o seu e s p í r i t o superiormente claro nada passa des-
percebido e, pensando nas cond ições desastrosas da 
i n v e s t i g a ç ã o c i e n t í f i c a , d iz : « A q u i , como em todas as 
c i ê n c i a s , cada é p o c a tem de a lguma maneira as suas 
q u e s t õ e s do momento : h á q u e s t õ e s vivas que f i x a m 
ao mesmo tempo os e s p í r i t o s mais esclarecidos. . . 
Parece muitas vezes que as mesmas ideias aparecem 
a v á r i o s como uma r e v e l a ç ã o . Se se procura a causa, 
é f á c i l e n c o n t r á - l a nas obras daqueles que nos prece-
deram, nas quais essas ideias e s t ã o presentes sem os 
seus autores darem por isso. A c i ê n c i a n ã o t i r o u , a t é 
hoje, grande pa r t ido desta c o i n c i d ê n c i a tantas vezes 
observada nas i n v e s t i g a ç õ e s dos s á b i o s . Uma con-
c o r r ê n c i a d e s g r a ç a d a , uma r iva l idade degradante t ê m 
sido os seus pr inc ipa i s f ru tos . N ã o é, contudo, d i f í c i l 
reconhecer neste facto a prova de que os s á b i o s n ã o 
são , mais que os outros homens, fei tos para o isola-
mento, que êles pertencem t a m b é m à sua é p o c a e que, 
cedo ou tarde, m u l t i p l i c a r ã o as suas f o r ç a s pela asso-
c i a ç ã o . E n t ã o , quanto tempo s e r á poupado para a 
C i ê n c i a !» E noutro passo, escrito na p r i s ã o de Santa 
P e l á g i a em Outubro de 1831 : « . . . infel izmente, n ã o 
se pensa que o l i v r o mais precioso do mais s á b i o seria 
a q u ê l e em que êle dissesse tudo o que n ã o sabe, n ã o 
se pensa que u m autor nunca p re jud ica tanto os seus 
leitores como quando diss imula uma d i f icu ldade . 
Quando a c o n c o r r ê n c i a , is to é, o e g o í s m o , deixarem 
de reinar nas c i ê n c i a s , quando uns se associarem com 
outios para estudar, em vez de mandar cartas fecha-
das às Academias, e n t ã o t r a t a r - s e - á de pub l ica r as 
menores o b s e r v a ç õ e s , por pouco novas que sejam, 
acrescentando : n ã o sei o res to .» 
* 
# * 
E passado mais dum sécu lo sobre a morte de A b e l 
e Galois. Que v i s ã o emocionante é para nós , hoje, o 
caminho d ê s t e s dois jovens, irmanados no g é n i o e na 
d e s g r a ç a , separados em tudo o resto, t r i lhando a v ida 
por sendas opostas e arrancando a sua obra como 
bocados de s i mesmos, torturados, ante a i n d i f e r e n ç a m 
dos outros. 
A b e l n ã o v i u realizado o seu sonho de t ranqui l idade 
— a Universidade de B e r l i m ia abr i r - lhe as portas, a 
tuberculose matou-o. 
Galois n ã o v i u realizado o seu sonho r e v o l u c i o n á r i o 
— dois meses depois de sair da p r i s ã o , num duelo, 
ou num guet-apens, mataram-no. 
Para o p r imei ro , uma la je j u n t o duma i g r e j a de 
aldeia, num d ia tempestuoso de neve. 
Para o segundo, a va la comum. 
(2) Duas excepções contudo, e de valor — Crelle e Jacobi, 
em relação a Abel. 
[Qazeta de Malemálica, n.° 2, Abril de 1940] 
Corpos quadrátic 
por José da 
Chama-se domínio de racionalidade, corpo de núme-
ros, ou simplesmente corpo a todo o sistema i n f i n i t o 
de n ú m e r o s de qualquer e spéc i e que se reproduzem 
mediante as o p e r a ç õ e s racionais. Isto quere dizer que 
aplicando as o p e r a ç õ e s elementares de a d i ç ã o , subtrac-
ção, m u l t i p l i c a ç ã o e d i v i s ã o ( e x c l u í d a a d i v i s ã o por 
zero) a dois n ú m e r o s do sistema se o b t é m um outro 
n ú m e r o que pertence ainda ao sistema. 
E evidente que o conjunto dos n ú m e r o s inteiros n ã o 
fo rma u m corpo ; mas o conjunto de todos os n ú m e r o s 
racionais fo rma um corpo que designaremos por R. 
D a d a a e q u a ç ã o a x + 6—O, em que a e b per ten-
cem a R, costuma dizer-se que ela é r e so lúve l em R 
porque o valor de x que satisfaz à equação pertence 
os e seus ideais 
Silva Paulo 
a R . Pelo c o n t r á r i o uma e q u a ç ã o q u a d r á t i c a 
(1) axt-rbjc+c=Q, 
em que os coeficientes pertencem a R , nem sempre é 
r e so lúve l em R. 
Mas se a R se faz a adjunção de l / m , em que m 
não é u m quadrado perfe i to , e se considerarmos os 
n ú m e r o s da f o r m a u+v^m, em que « e u pertencem 
a JB, o seu conjunto fo rma um corpo que designare-
mos por R ([/m) . 
D e facto constitue u m corpo porque efectuando as 
o p e r a ç õ e s de a d i ç ã o , s u b t r a c ç ã o , m u l t i p l i c a ç ã o e d iv i -
são sobre os n ú m e r o s da forma u + n j / w , obtém-se 
G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 5 
a + b[/m 
e x p r e s s õ e s do t i po — ou, tornando racional 
o denominador, 
(2) 
ai + bi /̂ro 
em que a , 6 , a j , 6) , A , B e C são n ú m e r o s de i í , 
e isto porque ( l / m ) 5 = TO, (^mf=m^m, etc. 
E neste corpo R (v/m) j á a e q u a ç ã o (1) é r e s o l ú -
vel , se TO=62—AlOC, pois x p e r t e n c e r á a i í ( l / m ) . 
Ass im a e g u a ç ã o œ2—2x—17=0 é r e s o l ú v e l no 
corpo R{[/2) pois as suas r a í z e s s ã o 
(3) - 1 + 3 v/2 
e pertencem a êsse corpo. 
Os n ú m e r o s da fo rma (2) s ã o n ú m e r o s a l g é b r i c o s , 
chamando n ú m e r o a l g é b r i c o a todo o n ú m e r o que fô r 
ra iz duma e q u a ç ã o a l g é b r i c a de coeficientes per ten-
centes a R, ou, o que é o mesmo, de coeficientes 
in te i ros . 
Se u m dado n ú m e r o a l g é b r i c o a , ra iz duma e q u a ç ã o 
(4) o„ x " + a„_i x n _ 1 H |-a 2 x 2 + a j x + Oo=0 
de g rau n , n ã o pode ser ra iz duma e q u a ç ã o de g r au 
in fe r io r , de coeficientes ainda racionais, ( ta l como 
sucede com os n ú m e r os (3) que n ã o podem ser r a í z e s 
de e q u a ç õ e s do 1." g r au com coeficientes pertencentes 
a i í , o n ú m e r o a diz-se a l g é b r i c o de g r au n. 
Demonstra-se que se f izermos a a d j u n ç ã o duma das 
r a í z e s a , da e q u a ç ã o (4), a R, o b t é m - s e u m corpo 
i í ( a ) . 
E m pa r t i cu l a r os n ú m e r o s que s ã o r a í z e s de equa-
ções de 2." g r au e n ã o o s ã o de e q u a ç õ e s de 1." cha-
mam-se n ú m e r o s q u a d r á t i c o s e a todo o corpo onde 
eles existam sem que existam n ú m e r o s de g r au supe-
r io r , chama-se corpo q u a d r á t i c o . U m corpo RÍ^m) 
é u m corpo q u a d r á t i c o . 
É claro que dado \fm f i c a perfei tamente de te rmi -
nado o corpo i?(v/»«), e ê s t e é i d ê n t i c o ao corpo 
R ( - \ / m ) . 
Se 8 é ra iz duma e q u a ç ã o a x 2 + è x - ) - c = 0 e m = ò 2 — 
—4ac, os n ú m e r o s do corpo R{[/m) podem obter-se, 
como se v ê faci lmente, fazendo a a d j u n ç ã o de S a R, 
o que quere dizer que os corpos R{^m) e R (8) 
s ã o i d ê n t i c o s . 
U m corpo q u a d r á t i c o impor tan te é o corpo de Gauss, 
ou corpo dos n ú m e r o s i m a g i n á r i o s , que, na n o t a ç ã o 
empregada, se representa p ô r R ([/—l) = i í (í) em 
que » é ra iz da e q u a ç ã o x ' + l = 0. 
Neste corpo mui tas das propriedades dos n ú m e r o s 
de S se m a n t ê m . Por exemplo, m a n t é m - s e a p r o -
priedade de exis t i r u m m. d. c. de v á r i o s n ú m e r o s . 
Mas nem todos os n ú m e r o s primos de i í s ã o pr imos 
em R (í) . A s s i m 2 = — í (1 - f - i ) 2 é p r i m o em R mas 
n ã o em R (i) . 
Vejamos algumas propriedades que se m a n t ê m 
quando se faz uma conveniente g e n e r a l i z a ç ã o das 
noções dadas em R . 
Tomemos a n o ç ã o de n ú m e r o in te i ro ; ela deve ser 
generalizada de modo que se conservem as p ropr i e -
dades dos intei ros de R e que abran ja como caso 
par t i cu la r êsses mesmos inteiros ; em par t i cu la r a 
soma, a d i f e r e n ç a e o produto de inteiros deve ser u m 
inteiro. 
Defin i remos e n t ã o in te i ro da seguinte fo rma : 
U m n ú m e r o dum corpo q u a d r á t i c o é u m inteiro se 
fô r ra iz duma e q u a ç ã o 
(5) x J + o j x + oo=0 
em que o coeficiente de x 2 é a unidade e n\ e a 0 i n -
teiros de R. 
Vejamos qual s e r á a fo rma dos intei ros q u a d r á t i c o s . 
Para s imp l i f i c a r podemos supor que m n ã o c o n t é m 
factores quadrados, pois que o caso geral se pode 
sempre reduzir a ê s t e caso. 
E demos algumas noções que nos v ã o ser ú t e i s . 
Designemos em pr ime i ro l uga r por letras gregas a , 
P , Y , etc., os n ú m e r o s q u a d r á t i c o s . 
a+b ym A cada n u m é r o a s corresponde um outro 
, a—b I/TO , . , a' = 1 — que se chama o seu conjugado, e am-
bos são r a í z e s da mesma e q u a ç ã o 
(6) 
2a a2—62TO 
— x + = 0. 
Representaremos por a' o conjugado de a . 
É evidente que a+b y m é u m in te i ro do corpo. 
Mas os in te i ros do corpo ainda podem ter out ra forma. 
Efec t ivamente se a f ô r u m in te i ro , e n t ã o , por v e r i f i -
2a az — b 2 m . 
car (6), t e r ã o que ser — e inteiros de R, 
c c* 
e como podemos sempre supor que a, b e c não t ê m 
divisores comuns t e r á que ser c = 2 ou c = l , donde 
as duas formas a =, a~^~b ^ m e a=a + b \fm . 
m 
Vejamos que depende do valor de TO a fo rma dos 
inte i ros . 
Como TO n ã o c o n t é m factores quadrados s e r á 
m = 4 + l , ra=4 + 2 ou m = 4 + 3 . 
a*—b-m 
No pr ime i ro caso > t ê r m o independente 
6 G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 
6* 
e so s e r á um in te i ro de (6), s e r á i g u a l a 4 + • 
se a e 6 forem simultaneamente pares ou í m p a r e s ; 
,~ 2 l i 4 - 2 / / i l / m r L \ . o i 1 + v e n t ã o a = !_ í - í— = ( " i 6 t ) +2bt Î-— ou 
a = 2a, + 1 + (26, + l ) t / m = ^ ^ + 1 } 1 + ^ _ 
2 2 
No segundo caso, isto é, se m = 4 + 2 , o n ú m e r o 
a*-6* m 4 - t - a J - 2 6 * 
• = se rá in te i ro simplesmente no 
4 4 * 
caso em que a e 6 forem simultaneamente pares e 
e n t ã o a=A+B^m. Caso a n á l o g o se passa quando 
m = 4 + 3 . 
Logo os inteiros de R{ym) s ã o da fo rma 
a=al + bl*±yj?: se m = 4 + l 
ou a = a + 6l /? í i se m=í=4 + l 
e se f izermos o í p s l í J ^ ? ou u > — l / m , caso w = 4 - ( - l 
2 
ou m =£4 + 1 , poderemos escrever 
a = a j • 1 + 6 2 u» 
que é a f ó r m u l a geral dos inteiros de i í ( l / m ) . 
Os n ú m e r o s 1 e tu f o rmam o que se chama uma base 
do corpo, e demonstra-se que é p o s s í v e l determinar 
outros inteiros do corpo, uij e <u 2, (e isto dum n ú m e r o 
i n f i n i t o de maneiras) tais que todo o n ú m e r o do corpo 
s e pode escrever sob a fo rma 
Y = a i m, -(- a? u>2 
em que o, e a* são inteiros racionais bem determina-
dos. É f á c i l ver agora que todas as propriedades dos 
intei ros racionais se m a n t ê m . 
Chama-se norma de um n ú m e r o a ao produto n (o) = 
" t - • . On 
= a- a!, de a pelo seu conjugado, que é i g u a l a — , 
a? 
se a satisfaz à e q u a ç ã o a 2 a^ + a j x + a 0 = 0 , e é um 
u m n ú m e r o racional e in te i ro se a f ô r u m in te i ro . 
A norma de u m n ú m e r o racional é e n t ã o i g u a l ao 
quadrado do m ó d u l o e a norma de um in te i ro a é um 
in te i ro racional . 
E f ác i l ver que a norma de um produto é i g u a l ao 
produto das normas dos factores ; efectivamente 
n (a$) = (a$) (a^) ' = a^a' $' = n (o) n (p) , por ser 
(ap)' = a' [}' , isto é, o conjugado de um produto é i g u a l 
ao produto dos conjugados. 
Chamaremos unidade do um corpo, a qualquer i n -
teiro s do corpo t a l que — seja t a m b é m u m in te i ro t', 
e 
e diremos que um in te i ro £S d iv ide u m in te i ro a se 
ex is t i r um terceiro f t a l que a = p . - r . Quere dizer 
e n t ã o que ee' = l , e por tanto e' é t a m b é m uma u n i -
dade. U m a unidade d iv ide todo o in te i ro a do corpo 
ai 1 ; 
pois que — — — a=e a v is to que o produto de dois 
inteiros é um in te i ro . No caso do corpo de Gauss as 
unidades são + 1 e + * . 
Diremos que dois n ú m e r o s a e s ã o associados 
se qualquer dê les é d i v i s í v e l pelo o u t r o ; tem-se e n t ã o 
(7 ) 
e a = s £ i , is to é, a e JÎ só diferem por um factor unidade. 
De facto de ( 7 ) vem a - [3 • - e como é um in te i ro f , 
? . 1 . . e - é t a m b é m uni in te i ro igua l a - , 7 e uma u n i -
<*• T . rtT/,íj •» 
dade e , e a = e • [ i . 
C o n c l u í m o s assim que todo o in te i ro é d i v i s í v e l 
pelas unidades do corpo e pelos seus associados; se o 
in te i ro n ã o trver outros divisores diremos que êle é 
indecomponírel no corpo e como vemos esta n o ç ã o ge-
neraliza a de n ú m e r o p r imo no corpo H. Demons-
tra-se que todo o n ú m e r o a. cuja norma é um n ú m e r o 
p r imo o r d i n á r i o é i n d e c o m p o n í v e l em R ( l / m ) . 
Se fô r <x=pi " • ? « ) e pertencendo os ao corpo 
nenhum dê les é uma unidade ou associado a a , diz-se 
que aquela d e c o m p o s i ç ã o de a é essencial; e esta 
d e c o m p o s i ç ã o é equivalente à d e c o m p o s i ç ã o em fac-
tores pr imos no corpo racional . 
Concretizemos estas de f in i ções num exemplo. Seja 
o corpo R ( l / — 5) . Os n ú m e r o s do corpo são da fo rma 
a + b V — o e o s i n t e j r o s da fo rma a + by* — 5 ; as u u i -
c 
dades s ã o + 1 . X norma dum in te i ro do corpo s e r á 
(a + b \J — 5) (a—6 [/ — õ ) = a 1 + 56 J . Mas sucede agora 
<jue existem no corpo n ú m e r o s que t ê m mais do que 
uma d e c o m p o s i ç ã o em factores i n d e c o m p o n í v e i s o que 
não sucede no corpo dos n ú m e r o s racionais, em que a 
d e c o m p o s i ç ã o em factores pr imos é ú n i c a . Ass im, o 
n ú m e r o 21 = 3 • 7 = (4 + y ' ^ 5 ) ( 4 - l / ^ 5 ) = 
= ( l + 2 \J — 5) ( l — 2 l / — õ ) em que os inteiros 3 ,7 ,4 - ) -
+ l / ^ 5 , 4— l / ^ 5 , l - r - 2 l / ^ 5 e 1 — 2 l / " ^ 5 s ã o inde-
c o m p o n í v e i s em R{^— 5 ) . De facto se 
3 = ( o + è l / — b){al + bl\/—5) e n t ã o 3 = aai—566 ( e 
•< I j r t ' J 1 JJi. i U i J i . ' J • " ' i d ' ••>>!> <tfi 
O = a6i + Oj6 e da ú l t i m a tira-se ^ = — 3 ' = r o u 
a = r a i , e 6 = — r 6 4 , e por c o n s e q u ê n c i a 3 = ra? + 5 r 6 j 
em que ra? e rl>J s ã o inteiros n ã o negativos, e como 
para bt =£0 (5r6f > 3 ) a p r ime i r a igualdade é i m p o s s í -
ve l , e n t ã o 6 j = 0 , 6 = 0 , a = 3 e a{ = l ou ô j = 0 , 
6 = 0 , a = l e « i = 3 quere dizer que 3 ó indecompo-
n íve l . Analogamente se demonstra que 7 é indecom-
G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 7 
p o n í v e l . Se fosse 4 + \ / — 5 = ( a 4 - 6 l / ^ 5 ) (« í + Ai l / —5) 
e n t ã o tomando as normas, 21 = (a 2 + 5ò 2 ) (a? + 5/>?) e 
por serem racionais e inteiros os dois membros s e r á 
21 = a 2 + 56 2 e 1 = a]-\- 56f sistema que tem as so luções 
( < x = 4 , 6 = l ) ( a j = + l , & i = 0 ) que n ã o satisfazem e 
as so luções a — 1 , 6 = 2 e a i = + l , &i = 0 ou e n t ã o 
3 = a 2 + 56 2 e 7 = <xi + 56? que é i m p o s s í v e l . L o g o 
4 + y 1 — 5 é i ndeco inpon íve l . D e m o n s t r a ç õ e s a n á l o g a s 
se fazem para os outros n ú m e r o s . 
As d e c o m p o s i ç õ e s de 21 são por isso essencialmente 
diferentes. 
U m n ú m e r o pode assim apresentar, num dado corpo, 
mais do que uma d e c o m p o s i ç ã o em factores i n d e c ò m -
p o n í v e i s , e como c o n s e q u ê n c i a t ô d a a teoria dos n ú -
meros racionais, que assenta na d e c o m p o s i ç ã o ú n i c a 
de qualquer n ú m e r o em produto de factores pi-imos, 
é i n s u s c e p t í v e l de se generalizar. 
Para obviar a ês te inconveniente, Kummer , que o 
t i n h a notado quando do estudo da d i v i s ã o da c i r cun-
f e r ê n c i a em partes iguais , c r iou o conceito de n ú m e -
ros ideais, n ú m e r o s de que se f az i a a a d j u n ç ã o ao 
corpo. 
Mais tarde Dedekind modi f ica a n o ç ã o e em vez de 
um n ú m e r o não pertencente ao corpo in t roduz um con-
j u n t o de n ú m e r o s pertencentes ao corpo. Es ta n o ç ã o 
permite a d e c o m p o s i ç ã o ú n i c a de qualquer n ú m e r o do 
corpo em factores ideais. 
Vejamos num caso par t i cu la r como se pode explicar 
o conceito de ideal . 
Consideremos o conjunto de n ú m e r o s da forma 
4 » + l , que n ã o f o r m a m evidentemente um corpo, pois 
que a soma ou d i f e r e n ç a de n ú m e r o s do conjunto n ã o 
pertence ao conjunto, mas para os quais o produto e 
a d i v i s ã o se podem de f in i r à maneira o r d i n á r i a . 
Seja e n t ã o a suces são 1 , 5 , 9 , 1 3 , 1 7 - - - 7 3 , 
7 7 - . - 1 4 1 - . - é claro que (4n + l ) x ( 4 m + l ) = 4 / > + l . 
Daquela s u c e s s ã o os n ú m e r o s 5 , 9 , 1 3 , 17 , 2 1 , 
2 9 - - . s ã o i n d e c o m p o n í v e i s no conjunto considerado. 
No entanto o n ú m e r o 10857 = 1 4 1 x 7 7 = 21x517-
pode ser decomposto de 2 modos essencialmente d i f e -
rentes. D a mesma maneira 693 = 2 1 x 3 3 ^ 9 x 7 7 e 
441=212 = 9 x 4 9 . 
Mas n ó s sabemos neste caso como restabelecer a 
d e c o m p o s i ç ã o ú n i c a . Bas ta j u n t a r ao conjunto dos 
n ú m e r o s considerados, quando por exemplo se t r a t a 
da d e c o m p o s i ç ã o de 10857, os n ú m e r o s 3 , 7 , 1 1 e 47 . 
Es ta era a ideia de K u m m e r : a a d j u n ç ã o de certos 
n ú m e r o s que não pertencendo ao corpo restabelecem 
a d e c o m p o s i ç ã o ú n i c a . Notemos que 3 pode ser con-
siderado como o m. d. c. de 21 e 1 4 1 , 7 o m. d. c. de 
21 e 77 , 11 o m. d. c. de 77 e 517 e 47 o m. d. c. 
de 141 e 517 . 
Se designarmos pelo s ímbo lo j=(a,b) o m á x i m o 
d iv isor comum dos inteiros a e è o n ú m e r o 3 do exem-
plo anter ior é exactamente i g u a l a ( 2 1 , 1 4 1 ) . E o 
n ú m e r o 10857 pode escrever-se 
10857 = (21 ,141) ( 2 1 , 77) (77 ,517) (141,517) . 
Vejamos agora como se define ideal no corpo qua-
d r á t i c o , segundo Dedekind. 
Chama-se ideal do corpo H ( tfnt) e designa-se por 
7 = (ot, p , Y • • • ) um sistema i n f i n i t o de n ú m e r o s do 
corpo tais que toda a c o m b i n a ç ã o l inear ak-i [3u.+ 
4- Y V + " • ' l ' o s n ú m e r o s a , $ , f ••• em que os coeficien-
tes ) . , u. , v • - • são n ú m e r o s intei ros do corpo, pertence 
ainda ao corpo. 
E m par t i cu la r um ideal chama-se ideal p r i nc ipa l , 
quando os n ú m e r o s que o definem são m ú l t i p l o s dum 
in te i ro do corpo / = (a , a*., au • • •) , escreve-se e n t ã o 
Quando um ideal c o n t é m 1 ou um div isor e de 1 , 
chamar-lhe-emos um ideal unidade e designa-se pelo 
s ímbo lo j= (1) . 
Deiine-se e n t ã o , igualdade de ideais, produto de 
ideais, etc. 
Apl iquemos agora estes conceitos à d e c o m p o s i ç ã o 
de 21 no corpo R(\/—5) j á estudado. 
Formemos os ideais do exemplo anterior 
( 3 , 4 + • ^ õ ) , ( 3 , 4 - y / - 5 ) , ( 3 , 1 + 2 1 / ^ 5 ) , 
( 3 , l _ 2 i / - 5 ) , ( 7 , 4 + _ t / - 5 ) , ( 7 , 4 - y / - 5 ) , 
( 7 , 1 + 2 1 / - 4 ) , ( 7 , 1 - 2 1 / - 5 ) , ( 4 + y / ^ 5 , 1 + 2 ^ - 5 ) , 
(4 + v ^ 5 , l - 2 i / p i > ) , ( 4 - v / - 5 , l + 2 / - 5 ) , 
(4— i / — 5 > 1—21/—5) o qi íe nos v a i p e r m i t i r tornar 
ú n i c a a d e c o m p o s i ç ã o 3 x 7 de 21 . 
Os ideais que f o r m á m o s n ã o s ã o todos diferentes 
uns dos outros. E f á c i l ver que ( 3 , 4 + t / - 5 ) = 
= ( 3 , 1 - 2 / ^ 5 ) p o r q u e 3 • 3 - 2 (4 + v / - 5 ) =-
= l _ 2 v / ^ 7 > . Q u e r e d i z e r ( 3 , 4 + tf — 5 ) = 
= ( 3 , 4 + tf —Õ , 1 — 2 tf —.§) . Só são diferentes os 
ideais ( 3 , 4 + tf^5) , ( 3 , 4 - tf^b^ (7 , 4 + tf=ò) e 
(7 , 4 - 1 / ^ 5 ) ! ora ( é ) - ( 3 „ 4 + tf - 5 ) (3 , 4 - y - 5 ) = 
= ( 9 , 1 2 + 3 / ^ 5 , 1 2 - 3 ^ ^ , 2 1 , 3) porque 
3 = 2 1 - 2 - 9 e (7) = ( 7 , 4 + tf^5)(l , 4 - t f ^ S ) ~ 
= (49 , 28 + 7 v / ^ 5 , 2 8 - 7 tf'^ò , 2 l ) e por tanto 21 = 
= ( 3 , 4 + i / ^ 5 ) ( 3 , 4 - v ' = 5 ) (7 , 4 + tf^>) (7 , 4 - t f =5) 
o que restabelece a d e c o m p o s i ç ã o ú n i c a do m ú m e r o 2 1 
no corpo R ( \J—5) . 
NOTA — Os exemplos foram tirados da tradução francesa do 
livro de J . Sommer, Introduction à la théorie des nombres algé-
brique*. Podem consuUar-so com provoito além dôste livro, os 
seguintesi 
l i i lbert— Théorie des corps de nombres algébriques. 
Bianchi — Teoria dei numeri aUjebrici. 
[Gazeta de Matemática, n . a s 2 e 4, Abril e Outubro de 1940] 
8 G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 
O método de Fubini para a integração das funções racionais 
por Manuel Zaluar 
Como é sabido, pode sempre determinar-se a p r i m i -
t i v a de t ô d a a f u n ç ã o racional desde que seja pos s íve l 
resolver uma e q u a ç ã o a l g é b r i c a . O processo c láss ico 
consiste em reduzir a f u n ç ã o dada à soma dum p o l i -
n ó m i o in te i ro e duma f r a c ç ã o a l g é b r i c a i r r e d u t í v e l 
cujo numerador é de g r au in fe r io r ao do denomina-
dor. Es ta d e c o m p õ e - s e , em seguida, em f r a c ç õ e s s im-
ples (correspondentes aos zeros do denominador da 
f r a c ç ã o dada, cu ja d e t e r m i n a ç ã o p o d e r á ser i m p o s s í -
ve l como acima se a ludiu) ; e procede-se à i n t e g r a ç ã o 
destas o que se faz sistematicamente. É - s e conduzido 
assim, no caso geral , a uma c o m b i n a ç ã o l inear de 
logar i tmos de f u n ç õ e s lineares ou do 2.° grau, arcos-
- tangentes de f u n ç õ e s lineares, e de f u n ç õ e s a l g é b r i c a s . 
T a l o b s e r v a ç ã o levou o professor i t a l i ano Guido 
F u b i n i (l) à descoberta do seu engenhoso m é t o d o que 
apresentaremos aos nossos leitores por ser de alguns 
desconhecido. 
Consideremos a f u n ç ã o racional tf (x)/'tj< (x) onde 
ç (x) e <|i ( x ) designam dois p o l i m ó n i o s intei ros de 
coeficientes reais sem factores comuns sendo o g rau 
de tf (x) in fe r io r ao de <J< ( x ) . Suponhamos que sabe-
mos determinar as r a í z e s de | / ( x ) = 0 e que conhece-
mos, por tanto , o desenvolvimento ú n i c o 
<|i(x) = (x — a )* (x—6)P. - - (a£+px-rq)x (x* + rx + s)P ••• 
com p2—4<? < 0 , r*—4« < 0 , • • • . 
(I) Vide: G. Fubini, «Lezionidi Analisi Matemática» 3 . a ed., 
Torino, 1919, § 76. 
A p a r t i r deste desenvolvimento a regra de F u b i n i 
permite imediatamente estabelecer o t ipo da p r i m i t i v a , 
à - p a r t e constantes a determinar : 
' ?(•>-•) 
J +0) dx=A l og ( x — d ) + B l o g (x — ô) + 
Li l o g (x2+px-\-q) + M1 l o g (x J-í-7-x + * ) + ••• + 
2 x + p 2x + r (f ,(x) 
— +M2 are t g — - I - L2 are t g :+ 1 "+lO>) \ f i q - p 2 ' •" ° {/4s — 
onde é 
(x) = (x - a)*-* • (x — ò)S- l ••• (x2 + p x - t - l ) x - i -
• (x2 + r í + s ) f i - l ••• 
e tpi (x) um p o l i n ó m i o , de coeficientes a determinar, 
de g r au in f e r io r uma unidade ao de <j/j (x) . 
Prova-se f à c i l m e n t e ( 2) que, derivando ambos os 
membros da e x p r e s s ã o anter ior e d e s e m b a r a ç a n d o de 
denominadores [o menor denominador comum é <|* (x ) ] 
o b t é m - s e , por i d e n t i f i c a ç ã o dos dois p o l i n ó m i o s , u m 
sistema de e q u a ç õ e s lineares que permite determinar 
as constantes. O processo indicado, como se acaba de 
ver, dispensa a d e c o m p o s i ç ã o p r é v i a de tf (x)/i{i (x) em 
f r a c ç õ e s simples e qualquer o p e r a ç ã o de i n t e g r a ç ã o . 
Bastante engenhoso ê s t e m é t o d o , r á p i d o na i n d i c a -
ção do t ipo da p r i m i t i v a , é sobretudo de a p l i c a ç ã o l i t i l 
quando a e q u a ç ã o <|>(x)=0 admite r a í z e s complexas 
de g rau de mul t ip l i c idade elevado. 
[Gazeta de Matemática, n.° 2, Abril de 1910]. 
(V Vide : G, Vivanti, nLezloni di Analisi Matemática», Torino, 
1930, vol. I, pag. 412-414. 
Aplicação das propriedades do trinómio do 2.° grau 
à determinação de alguns problemas de máximos e mínimos 
por José da Silva Paulo 
O estudo das propriedades do t r i n ó m i o do 2.° g rau 
fornece m a t é r i a para a r e s o l u ç ã o de muitos problemas 
quer de á l g e b r a quer de geometria entre os quais p ro -
blemas de m á x i m o s e m í n i m o s do t ipo dos que t ê m 
sido propostos nos exames de a p t i d ã o ao Ins t i t u to Su-
per ior T é c n i c o . 
Como, geralmente, o assunto n ã o é t ratado nos liceus, 
exporemos aqui um caminho a seguir para a r e so lução 
de tais problemas, aplicando simplesmente conhecimen-
tos adquir idos na 7.* classe dos liceus. 
Suponhamos que se pretende resolver o seguinte p ro -
b lema: Dado um círculo de raio igual a 5 inscrever 
nele um rectângulo de área igual a 48 . 
Se forem x e y os lados do r e c t â n g u l o , as e q u a ç õ e s 
que resolvem o problema s ã o x t / = 4 8 e x 2 + j / 2 = 1 0 0 . 
Se mul t ip l i ca rmos ambos os membros da p r i m e i r a 
e q u a ç ã o por 2 , e lhe adicionarmos ordenadamente a 
segunda, o b t é m - s e o sistema equivalente : x j / = 4 8 e 
x + y= l / lOO + 96 . Ê s t e sistema é ainda equivalente 
à e q u a ç ã o X2—14X-|-48=0 cujas so luções são x = 6 
e y—8 . É evidente que n ã o podemos dar a r b i t r a r i a -
mente a á r e a do r e c t â n g u l o , pois que, se ela pode ser 
t ã o pequena quanto se quizer, não pode, no entanto, 
ultrapassar, por exemplo a á r e a do c í r cu lo . P o d e r á 
por tanto acontecer, e acontece, que dentre todos os 
r e c t â n g u l o s que podem inscrever-se no c í r cu lo dado 
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G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 
ha ja u m cu ja á r e a seja a maior de todas. Procuremos 
e n t ã o resolver ê s t e problema : 
Dado um círculo de raio R inscrever nele um rectân-
gulo cuja área seja máxima. 
C o m e ç a m o s por p ô r em e q u a ç ã o o seguinte pro-
blema : determinar um r e c t â n g u l o de á r e a S inscr i to 
num c í r cu lo de ra io R . 
D u m a maneira a n á l o g a à precedente somos condu-
zidos a resolver a e q u a ç ã o 
cujas so luções são os lados x e y do r e c t â n g u l o p r o -
curado. O problema t e r á ou n ã o so luções conforme os 
valores de S . E x p r i m i n d o que as so luções desta 
e q u a ç ã o s ã o reais tem-se a l i m i t a ç ã o procurada. Com 
efeito, para que esta e q u a ç ã o tenha so luções reais, é 
n e c e s s á r i o e suficiente que o descriminante seja pos i -
t i v o ou nulo, is to é, A = 4 i í 2 + 2<Sr—4S > 0 donde se 
t i r a S < 2RZ . Quere dizer, S n ã o pode exceder 2R2 
e o m á x i m o valor que S pode ter é 2R* . Neste caso 
A = 0 e por tan to x=*y—R[/2. V ê - s e assim que o rec-
t â n g u l o de á r e a m á x i m a é o quadrado inscr i to no c í r -
culo de ra io R. F i ca pois determinado o m á x i m o 
valor que pode tomar a á r e a do r e c t â n g u l o . 
E ê s t e o m é t o d o que devemos empregar na r e s o l u ç ã o 
de problemas d ê s t e g é n e r o e que consiste em de termi-
nar as e q u a ç õ e s do problema de modo a sermos condu-
zidos a uma e q u a ç ã o do 2.° g r au (no caso em que isso 
é poss íve l ) e procurar as cond ições para que a e q u a ç ã o 
tenha so luções reais ; estas cond ições fornecem-nos as 
l i m i t a ç õ e s que d ã o os valores procurados. 
Vejamos outro exemplo : E dado um ponto P às 
distâncias a e 2a dos dois lados de um ângulo recto, e 
dada uma recta qualquer passando por P ; mostrar que 
a área do triângulo compreendido entre a recta e os lados 
do ângulo nunca pode ser inferior a 4 a l . (Exame de 
a p t i d ã o ao I . S. T . — P o n t o modelo). 
N a f i g u r a vê - se que o t r i â n g u l o cu ja á r e a pretende 
determinar-se é QOR . Seja OR=x e OQ=y . S e r á 
1 y x 2ax 
e n t ã o a á r e a S = -xy e como ^ = é y = • 
Para que h a j a so luções reais deve ser 
A = 5 2 — á a * S > 0 ou S (S—ia?) > 0 e como S é pos i -
t i v o , por se t r a t a r duma á r e a , s e r á S—4a2 > 0 e 
S > 4 a 2 . Por tanto a á r e a s e r á sempre maior e no 
mínimo i gua l a 4 a 2 . 
D ê m o s ainda exemplos dum outro t i po de problemas 
que se resolvem pelo mesmo processo. Seja o seguinte 
problema : 
£ Qual é o menor valor que pode tomar a expressão 
3 x 2 — 8x — 7 quando se atribui a x valores reais? 
Seja K o va lor do t r i n ó m i o , é e n t ã o 3x 2 —8x + 7 — K 
ou 3 x 2 — 8 x + 7 — K = 0 . A c o n d i ç ã o para que as solu-
ções desta e q u a ç ã o sejam reais é 
5 
A = 6 4 — 1 2 (l—K) > 0 ou -K">g quere dizer, o t r i n ó -
mio toma sempre valores superiores e no mínimo è 
, 5 4 
i g u a l a - i va lor que corresponde a x = - > 
Vejamos outro exemplo : 
Determinar o máximo e o mínimo de 
2 
x 2ax ax1 
e S = - = 
2 x—a x—a 
x—a x—a 
donde ax^ — Sx+aS=0. 
2 x 2 + 3 x + 2 
x ? + x + l 
Como o numerador e o denominador t ê m r a í z e s com-
plexas, s ã o sempre posi t ivos para valores reais de x 
e e n t ã o fazendo a f r a c ç ã o i g u a l a K, d e s e m b a r a ç a n d o 
de denominador e s impl i f icando vem ( 2 — K ) x 2 + 
+ (Z-K) x+(2-K)=0. 
A c o n d i ç ã o para que as so luções sejam reais é 
3 i í r 2 —10.67+7 < 0 ; como ês t e t r i n ó m i o tem as r a í z e s 
7 7 
— 1 e - i aquela c o n d i ç ã o é ve r i f i cada para K<- e 
o o 
7 
e n t ã o J R T = — é u m máximo; ou para K>—1 e K— 
*=—1 é um mínimo. 
Damos a seguir o enunciado de alguns problemas 
que podem resolver-se por ê s t e processo. 
I — Most rar que o p e r í m e t r o 2p de u m r e c t â n g u l o 
inscr i to n u m c í r cu lo de ra io R n ã o pode exceder 
4 5 ^ 2 . 
I I — Most ra r que o produto de dois n ú m e r o s p o s i t i -
vos, cu j a soma é constante, é m á x i m o quando os dois 
n ú m e r o s forem igua i s . 
I I I — Most rar que a soma de dois n ú m e r o s posi t ivos, 
cujo produto é constante, é m í n i m a quando os n ú m e r o s 
forem igua is . 
I V — De todos os t r i â n g u l o s r e c t â n g u l o s com o 
mesmo p e r í m e t r o 2p, qua l é a q u ê l e cu ja s u p e r f í c i e m 2 
é m á x i m a ? E de todos os t r i â n g u l o s r e c t â n g u l o s cu ja 
á r e a é constante qua l é o de p e r í m e t r o m í n i m o ? 
V — Qual é o maior r e c t â n g u l o que se pode inscrever 
num quadrado dado? 
_ . . x2—6x—1 
V I — D e t e r m i n a r o máx imo e o mín imo de 
x 2 +3x+3 
[Gazeta de Matemática, a.° 3, Junho de 1940]10 G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 
Um problema de Geometria Analítica 
Sejam 
a x + b y + c = 0 
a 1 x + b ' y + c1 = 0 
a " x - t - b " y + c " = 0 
as equações de três rectas não concorrentes. E repre-
sentemos por C , C , C" os complementos algébricos dos 
elementos c , c' , c" do determinante 
a b e 
a1 V c' 
a" b " c" 
A condição necessária e suficiente para que o ponto 
P ( x j , y i ) seja interior ao triângulo formado pelas três 
rectas, i que 
C 
(a xl r b y i + c ) • — > 0 
-••. * v i Xlfcv O 
(a' x i + b ' y i + c ' ) • — > 0 
C " 
N a verdade, a identidade 
(ax + by + c) • - + (a1 x + b'y + c') • — + 
d á - n o s 
+ (o" x + b" y + c") 
(axí + byl+c) • — = !><), 
no caso pa r t i cu la r de o ponto P co incidi r com o vér-
tice oposto ao lado da e q u a ç ã o ax-rby + c = 0. E se o 
ponto é in te r io r ao t r i â n g u l o , o s inal de ax + by + c 
n ã o va r ia com esse ponto (sempre i n t e r i o r ! ) . 
L o g o , 
C 
(a xi + b y{ + c ) • — > 0 
C 
(a 1 Xi + b' yi + c')- — >0 
C" 
(a" X l + b" y i + c") • — > 0-
Este problema foi enviado à Ilodacrîîo pelo Professor da F a -
culdade de Ciôncias do Porto, Doutor Ru y Luís Gomes. 
[Gazeta de Matemática, n.° 4, Outubro de 1940]. 
A N T O L O G I A 
DO INTEGRAL DE RIEMANN A O INTEGRAL DE LEBESGUE 
por Henri Lebesgue 
Os G e ó m e t r a s do século x v u consideravam o in t e -
g r a l de / (x) , — o t ê r m o in t eg ra l n ã o era ainda usado, 
mas pouco impor t a — como a soma duma in f in idade 
de i n d i v i s í v e i s cada um dos quais era a ordenada, 
pos i t iva ou negat iva , do / (x) . Pois bem : nós n ã o 
fizemos mais do que agrupar os i n d i v i s í v e i s de g ran -
deza c o m p a r á v e l , ou, como se diz em á l g e b r a , r eun i -
mos, reduzimos os termos semelhantes. Podedizer-se 
ainda que, com o procedimento de Riemann, se tentava 
somar i n d i v i s í v e i s tomando-os pela ordem em que 
eram dados pela v a r i a ç ã o de x ; operava-se, pois, 
como o f a r i a um comerciante sem m é t o d o que contasse 
moedas e notas ao acaso pela ordem em que lhe che-
gassem á s m ã o s ; ao passo que nós operamos como o 
comerciante m e t ó d i c o que diz : 
tenho m (Et) moedas de 1 coroa (Dinamarca) o que 
d á 1 . m (E{) 
tenho m (E2) moedas le 2 coroas o que d á 2 . m (E2) 
tenho m(Ez) notas de 5 coroas o que d á 5.m(E3), etc. 
tenho, portanto, ao todo .S' = l . m (Ey) + 2. m (E2) + 
+ 5 . TO (£;) + ••• 
Os dois modos de proceder c o n d u z i r ã o , certamente, 
o comerciante ao mesmo resultado, porque, por mais 
r ico que ele seja, só tem um n ú m e r o f i n i t o de notas 
para contar ; mas, para nós , que temos que adicionar 
uma in f in idade de i n d i v i s í v e i s , a d i f e r e n ç a entre as 
duas maneiras de proceder é cap i ta l . 
Trad. H . R. 
[Duma conforônela do Henri Lebosffue realizada na Sociedado 
do Matemática om Copenhaque publicada no n.° 2 (1927) da 
Recue de Matlièmatitjuc et de Murale], 
Nota do Prof. Dr. Ruy Luís Gomes 
Representando por m(Ex) a medida (L) do conjunto 
dos pontos x tais que os valores correspondentes f ( x ) > 
e s t ã o situados dentro dos l imi tes yt <f (x) <yi+t , 
tem-se em S-'ïl^m (Et), com y, < < y^- i , a soma 
que conduz ao in t eg ra l E de f (x) . 
[Gazeta de Matemática, n.° 4, Outubro de 1940] 
G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 11 
H U M O 
A relatividade para meninas de sociedade 
Um professor foi a um chá dansante e uma rapariga 
que ficou a seu lado perguntou-lhe : «Sr. Professor, 
diga-me em poucas palavras o que vem a ser a Teoria 
da Relatividade». O Professor respondeu : «Da melhor 
vontade ! Mas deixe-me contar-lhe primeiro uma 
pequena história. Uma vez num passeio que dei com 
um amigo francês íamos cheios de sêde. A certa 
altura encontrámos uma herdade e eu disse-lhe : 
«Vamos beber um copo de leite». «O que é leite ? 
«Oh ! então não sabe o que é leite ? E um líquido 
branco q u e . . . » «O que ó que quere dizer branco ?» 
«Hranco ? Você não sabe o que quere dizer ? Bem, o 
cisne. . . » «O que quere dizer cisne?» «Cisne é uma 
ave grande com o pescoço a rqueado . . . » «O que é 
arqueado ?» «Arqueado ? Oh ! Ceus, então você não 
sabe o que isso é ? Bem, olhe aqui para o meu braço, 
quando eu o ponho levantado nesta posição êle está 
arqueado». «O quê, arqueado é isso ? Ah ! bem, então 
j á sei o que é leite». 
Do livro do Max Born : The Restless Cniverse, transcrito pelas 
revistas The Mathematics Student o Scripta Mathematica. 
[Gazela de Matemática, n.° 2, Abril de 1040]. 
* # 
I can't Happen Here — De uma farça-opeieta com 
este título escrita pelo Prof. A. Marie Whelan do Hun-
ter College da cidade de New-York, e publicada no 
American Mathematical Monthly, órgão da Associação 
dos Professores de Matemática dos U. S. A., trans-
crevemos a seguinte cena do 1.° acto. 
Cenário — Uma aula de matemática. A^oía — O pro-
fessor de matemática, passa do seu papel de professor 
ao de puro matemático, conforme a oportunidade. 
Prof. — Em face dos resultados do último ponto 
escrito resolvi fazer uma pequena revisão da álgebra. 
Maria, vá ao quadro, se faz favor, e resolva a equa-
ção x 2—2x = 0 . 
Maria vai ao quadro e resolve a equação utilizando 
a fórmula resolcente da equação cio 2." grau. 
Prof. — Porque não resolveu a equação pondo em 
evidência o factor comum x? Olhe vou mostrar-lhe 
como se faz. 
O Prof, vai ao quadro e resolce a equação pelo 
método indicado x(x—2)=0 donde x = 0 
e x = 2 . 
Maria — Mas a solução é a mesma. 
Prof. — Eu não disse que o seu resultado estava 
R I S M O 
errado. Olhe ! Suponha que quere ir a um certo lugar 
da cidade e que pode utilizar o eléctrico ou o metro-
politano. Suponha agora que tem de esperar meia 
hora pelo eléctrico e que pode partir imediatamente 
no metropolitano. O que é que faz ? 
Maria — (inocente) — Espero pelo eléctrico. Não 
gosto de andar de metropolitano, (gargalhada geral). 
Prof. — ( juntando-se h gargalhada) — Bem, a menina 
deu cabo da minha argumentação. E a-propósito, isso 
explica porque é que a menina chega sempre tarde. 
Agora vem a Ana ao quadro resolver a seguinte equa-
ção : x 2 - 2 x - 2 - = 0 . 
Ana escrece no quadro o seguinte: x2—2x = 2 ; 
x ( x - 2 ) = 2 : donde x = 2 e x - 2 = 2 
ou x = 4 . 
Prof, (sarcástico) — Parece-me que a menina nunca 
ouviu falar na fórmula resolvente da equação do 
2.» grau? 
Ana — Conheço-a, sim, senhor prof, (escre^ie a fór-
mula, recitando-a como um papagaio). Es tá certa não 
é verdade ? 
Prof. — Sim minha menina. Eu sempre gostava de 
saber porque a não usou ? 
Ana — Pensei que o senhor professor, não gostasse. 
Por isso resolvi a equação pelo método que usou há 
pouco. (Aponta o problema anterior cuja resolução se 
encontra ainda no quadro). Foi só para lhe ser agra-
dável. 
[Gazela de Matemática, a." 3, Junho de 1040]. 
LIRISMO 
Um matemático que não tem qualquer coisa de poeta 
nunca será um bom matemático. 
Karl Weierstrass 
MODÉSTIA 
Sturm quando falava do seu célebre teorema, dizia : 
«o teorema de que eu tenho a honra de usar o nome. . . ». 
CURIOSIDADES 
O número de dias do ano goza das seguintes pro-
piiedades: 1.*) é a soma dos quadrados dos três 
números inteiros consecutivos 10, 11 e 12; 2.") é tam-
bém a soma dos quadrados de 13 e 14. Isto é 365 = 
= 102 + 112-rl2' = 132 + 142 . 
Com 6 segmentos iguais construir 4 triângulos 
equiláteros iguais tendo por lados os segmentos dados. 
[Gazeta de Matemática, n.° 2, Abril de 1040], 
12 G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 
M O V I M E N T O M A T E M Á T I C O 
PRÉMIO N A C I O N A L DR. F R A N C I S C O G O M E S TEIXEIRA 
Transcrevemos duma portaria do Ministério da 
Educação Nacional publicada no início do presente 
ano lectivo o seguinte : 
aa) E criado o «Prémio Nacional Doutor Francisco 
Gomes Teixeira», em homenagem ao insigne matemá-
tico contemporâneo, cuja obia didáctica e de investi-
gação contribuiu poderosamente para o progresso das 
ciências exactas em Portugal, e cujas virtudes cívicasficaram como modelo perene de bondade e amor pátrio, 
o qual se destina a galardoar, mediante concurso, o me-
lhor trabalho de matemáticas puras elaborado em cada 
ano lectivo por um aluno de qualquer estabelecimento 
de ensino universitário em que sejam professadas; 
6) O prémio da importância de 2.500^00, será anual-
mente concedido por proposta de um júr i constituído 
pelo presidente da Junta Nacional da Educação e por 
dois professores de cada Faculdade de Ciências, sob a 
presidência do primeiro : 
c) Os directores das três Faculdades, ouvidos os 
respectivos Conselhos, elaborarão, no prazo de noventa 
dias, para serem superiormente aprovadas, as normas 
técnicas e regulamentares a que hão-de obedecer o 
trabalho e o concurso a realizar j á no corrente ano 
lectivo». 
[Gazeta de Matemática, n.° 1, Janeiro de 1940] 
C O N G R E S S O I N T E R N A C I O N A L DE MATEMÁTICA 
Por motivo da guerra europeia o Congresso bridge (Massachussets), U . S. A., ficou adiado 
Internacional dos Matemáticos que devia reali- sine-dia. 
zar-se este ano, no mês de Setembro, em Cam- [Gazeta de Matemática, n.° 2, Abril de 1940]. 
SEMINÁRIO DE ANÁLISE GERAL 
Realizou o sr. Mário de Alenquer, neste seminário, 
um curso sobre a Teoria dos Anéis e Ideais. No dia 
8 de Abri l , realizaram-se ainda no mesmo seminário, 
sob a presidência do Prof. Dr. Pedro José da Cunha, 
duas conferências : Objectivo da Topologia Geral por 
H . Ribeiro e Importância da Análise Geral por A. Mon-
teiro. Estas conferências tinham por objectivo infor-
mar os estudiosos sobre o plano de trabalho do Semi-
nário, a realizar no Centro de Estudos de Matemática 
recentemente criado em Lisboa pelo Instituto para a 
Alta Cultura, centro que funciona sob a direcção do 
Prof. Pedro José da Cunha. 
[Gazeta de Matemática, n.° 2, Abril de 1940]. 
M A T E M Á T I C A S E L E M E N T A R E S 
P O N T O S DE EXAMES DE A D M I S S Ã O E APTIDÃO ÀS E S C O L A S SUPERIORES 
Pontos modelos publicados no «Diário do Governo» 
n." 114, 1.* série, de 18 de Maio de 1939. 
Cursos da Faculdade de Engenharia da Universidade 
do Porto. 
1 — U m pai tem 27 anos e o seu filho 3. Quantos 
anos serão precisos para que o filho tenha 1/4 da 
idade do pai? Haverá lugar para a discussão a for-
mar? Justifique a resposta. R : Representando por x 
o número de anos que são precisos, vem (27 + x)/4 = 3-f-x 
donde x = 5 . 
2 — Ache a expressão do desenvolvimento de 
( l + a ) m + ( l — a ) m . 
3 — Determine m de maneira que a soma dos quadra-
dos das raízes da equação: xz+(m—2) x — (m + S) = 0 
seja igual a um número /.•. A que se reduzem as raí-
zes? 
R : m = l ± v / k = 9 , 1 + ^ k = 9 ± ^ 8 T k ± 2 t / E = 9 
2 
4 — Calcule por logaritmos a superfície e o volume 
dum cilindro regular com 0,18643 m de altura e 
G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 13 
0,09325 m de raio da base. R : 8 — 0,16408 m* 
V=0,00506 m ' . 
5 — Demonstre que : 
t g ( a + 6) . t g ( a - 6 ) = 
sen2 a—sen2 6 
cos2 a—cos2 b 
tema R : 6 x 2 - 5 x + l = 0 . 
6 — Pelo método do problema contrário trace uma 
recta que seja cortada pelos três raios de um feixe 
de semi-rectas dado, segundo dois segmentos de com-
primentos também dados. 
7 — Que é necessário para que o produto de dois 
números fraccionários irredutíveis seja um número 
inteiro ? R : K necessário que o numerador de cada 
uma das fracções seja múltiplo do denominador da 
outra. 
Curso de habilitação para professores de desenho 
dos liceus. 
8 — Forme a equação do segundo grau cujas raízes 
são os valores de s e y que se obtêm resolvendo o sis-
fy - (* - l ) / 2 -5 /6 
l a » - ^ + l ) / 8 — - 1 / 6 
9 — a) Defina o limite de uma sucessão, b) E pos-
sível a desigualdade 3.C — x 2—10 > 0 ? Justifique a 
resposta. R : b) Não, porque o descriminante e o coefi-
ciente de x 2 são ambos negativos. 
10 — Calcule por logaritmos a área do triângulo 
isosceles sabendo que a altura é 102,27 m e que o 
ângulo da base mede 52" 48' 34" . 
11—Escreva a expressão geral dos ângulos que 
verificam a igualdade c o s a = l / 2 . R : a = 2 k « + ir/3, 
(radianos). 
12 — Calcule o volume de um cilindro de revolução 
de raio 3 m sabendo que a altura é o dobro do lado 
do quadrado inscrito na base. R : V — 5 4 i r l / 2 m 3 . 
13 — a) Quanto mede em radianos o ângulo externo 
de um hexágono regular ? R : ir/3. b) Enuncie o 
teorema das três perpendiculares. 
14 — Qual é a condição necessária e suficiente para 
que um número primo divida um produto ? R : Que 
divida um dos factores do produto. 
Licenciaturas em ciências físico-químicas e em 
ciências matemáticas, cursos preparatórios das 
escolas militares e curso de engenheiro geógrafo. 
15 — Determine n de modo que a equação 
( a - ò ) 2 x*+2 (a?-&) x+n-0 
tenha raízes iguais. R : n — ( a + b ) 2 . 
16 — a) Que relação há entre log 2 16 e log 4 16? 
b) Quando se diz que a função y=f (x) é contínua 
no ponto xp? R : log 216 = 2 l og 4 16 . 
17 — Calcule por logaritmos a área de um tr iân-
gulo rectângulo em que a hipotenusa tem de compri-
mento 94,623 m e um dos ângulos mede 26" 49'51". 
„_ . , T . . . cotga 
18 — a) V e r i f i q u e que t g a + cotg a -» c o s í • 
b) Escreva as expressões gerais dos ângulos que têm 
o mesmo coseno que o ângulo a. R : x = 2 n ir + a, onde 
n e um número inteiro. 
19 — Verifique que a área de uma coroa circular é 
igual ao produto do perímetro da circunferência exte-
rior pela diferença dos raios das duas circunferências, 
subtraído (o produto) da área do círculo cujo raio é 
a diferença dos raios das duas circunferências. 
20 — Que relação há entre o máximo divisor comum 
de dois números a e b e o máximo divisor comum de 
dois números ac e 6c? Justifique a resposta recor-
rendo ao método da decomposição em factores p r i -
mos. R : Se M = m.d. c. (a,b) e: Mc = m.d.c. (ac,bc). 
Pontos modelos publicados no «Diário do Governo» 
n.° 132, 2.* série, de 8 de Junho de 1939 
Instituto Superior Técnico 
21 — Porque é que c < 0 é condição suficiente mas 
não necessária para que as raízes da equação axt + 
+ bx + c = 0 sejam reais? Determinar os coeficientes 
6 e c de forma que as raízes sejam 3 e —1/2. R : A 
condição e suficiente (se for a > 0) porque o descrimi-
nante, A , ij neste caso, positivo; mas não é necessária 
porque, sendo c > 0, A pode, ainda, ser positivo. So-
mos conduzidos à equação 2x2—5x —3=0 e portanto-
b 5 e c = - 3 . 
22 — Possuem-se duas qualidades de carvão de 
composição desconhecida. Se as reunirmos na pro-
porção de 1:3 obtemos um lote com 15 por cento de 
cinzas ; se as reunirmos na proporção de 3:2 obtemos 
um lote com 11 por cento de cinzas. Qual é a per-
centagem de cinzas em cada um dos carvões existen-
tes ? R : /Se representarmos por x e y as percentagens 
{ x + 3y = 1 5 x 4 , _ _ aonde 3x + 2 y - l l x 5 
x = 6770/0 e y-177>o/ 0 . 
23 — Dado um triângulo rectângulo de hipotenusa 
2a e de altura correspondente à hipotenusa igual a 
a/2, determinar a posição de um ponto sobre a hipo-
tenusa tal que, tirando por ele uma recta perpendi-
cular a este lado, o tr iângulo fique dividido em duas 
figuras de áreas iguais. R : Uma das duas figura* 
M G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 
da decomposição é um triângulo rectângulo com o vér-
tice do ângulo recto no maior segmento da hipotenusa 
determinado pelo pé cia altura. Seja x o cateto desse 
triângulo que pertence à hipotenusa do triângulo dado. 
A expressão analítica que indica que a área do triân-
gulo dado é dupla da do triângulo resultante da decompo-
sição [visto a razão de semelhança dos dois triâ,ngulos 
iiXf 
a'/2+v/3 
> • 2 + y/5 
' • § 
Ï 2 
donde 
24— Dada uma circunferência de raio R, deter-
minar a distância a que devem passar do centro duas 
cordas paralelas e simétricas para que a área do para-
lelogramo formado sobre elas seja igual a metade da 
área do círculo. R : Os outros dois lados do paralc-
logramo também são cordas paralelas e simétricas. 
A equação a que se chega é 64x4 —64RJ X J + TVj R' = 0 se 
for x a distenda referida. E encontram-seduas solu-
ções correspondentes aos dois pares de cordas paralelas 
e simétricas x = R 4 + t / m -
25 — A distância entre as arestas opostas dum 
tetraedro é d. Calcular os volumes em que este tetrae-
dro é dividido por um plano paralelo a uma das faces, 
passando a metade da altura. R : A aresta do tetrae-
dro é d V̂ 2 ; a área de uma face é, pois, d» • 3 / 2 . 
A altura do tetraedro é 2d !^'ò eo volume d 3 /3. O volume 
do tetraedro que sc obtere pela decomposição indicada c 
<l3/24 e o volume do sólido restante 7d3/24 . 
Instituto Superior de Ciências Económicas e Finan-
ceiras. 
26 — a) Diga como resolve desigualdades do 2." grau 
e em que propriedades se baseia essa resolução, b) Re-
solva a desigualdade — > 2 . R : Ha que 
x-—x—3 
3x + 7 " l . 
resolver — > 0 . As soluções sao 
X 2 _ x _ 3 ' 
1 _ ^ Í 3 7 
x > 
1 + ^13 
27 — a) Diga o que entende por proporcionalidade 
de grandezas ; dê exemplos geométricos de grandezas 
directa e inversamente proporcionais, b) Resolva o 
seguinte problema: determinar dois números tais que 
a sua diferença, a sua soma e o seu produto sejam 
directamente proporcionais, por esta ordem, aos núme-
ros 2, 3, 5. R : Os números são 10 e 2 . 
28—a) Defina figuras semelhantes e diga que casos 
conhece de semelhança de triângulos, b) Resolva o 
seguinte problema: Seja um triângulo rectângulo AOC 
de catetos AO = a e OC=b. Prolonguem-se o ca-
teto AO até D e a hipotenusa AC até sendo D e F 
dois pontos situados no semi-plano determinado pela 
recta OC que não contém o ponto A , de modo 
que D e F estejam numa mesma perpendicular a AO. 
Determinar x=OD de modo que a área do t rapé-
zio ODFC seja igual à área do triângulo AOC. 
(Nota — O enunciado deste problema tem, aqui, uma 
forma que difere da do original. Esta inclue uma 
gravura que fomos obrigados a dispensar). R : F-se 
ab . ab / x \ 2 
2 
x = a ( ^ 2 - 1 ) . 
- / x \ 2 
conduzido à equação ~^=ox + —^-j ca solução e 
29 — B dada uma esfera C de centro O e raio 
conhecido r . Seja >S a sua área. Sobre um diâme-
tro AB, tome-se um ponto M e faça-se OM=x. 
Com AM e MIS como diâmetros, tracem-se duas novas 
esferas Ci e Cv . Determinar x de modo que a soma 
das áreas de Ct e C% seja Sjn (n inteiro e posi-
tivo). Discutir a solução mostrando quais são os 
valores possíveis de n . R : E-se conduzido à equação 
•Tz (r + x)2-)-i7 (r—x)'=4itr J/n que só tem raízes reais 
para n = 0 e n = l . O único caso de interesse éo de 
n = l a que corresponde a solução x<=rjy2 . 
30 — É dado um triângulo isosceles de base l e 
altura h ; divida-se a altura em n partes iguais e 
pelos pontos de divisão tirem-se paralelas à base . 
Determinar a soma dos comprimentos dos segmentos 
dessas paralelas limitados pelos lados do triângulo. 
n + 1 , 
R : A soma pedida e 1 . 
Instituto Superior de Agronomia 
31—Pondo em equação o problema: «Circunscre-
ver a uma esfera de raio R um cone de revolução 
cuja superfície total seja igual a iriím», acha-se, para 
resolvê-lo, a equação X2 + (2R —m) X+R (m + R) = 0 
em que X mede a distância do centro da esfera ao 
vértice do cone e o parâmetro m é um certo múltiplo 
de R . Verifique então: 1) Qual a condição necessária 
e suficiente para que o problema seja possível; 2) Que 
este não pode ter uma solução única; 3) Qual o valor 
atribuir a m para que a superfície total do cone seja 
dupla da superfície da esfera nele inscrita. Começará 
por definir o que é que se entende por condição neces-
sária e por condição suficiente. R : m > 8R . 
32 — Dada a demonstração do teorema : «Num cír-
culo a maior das cordas é o diâmetro» : Interpretar as 
G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 15 
sucessivas relações conducentes à demonstração (que 
será escrita no quadro negro, em seguida à extração 
do ponto) ; Justificar cada uma das mesmas relações. 
Dizer: 1) Qual foi o método seguido na demons-
tração ; 2) Em que consiste esse método ; 3) A que 
outros métodos, dedutivos ou demonstrativos, se re-
corre nas matemáticas. 
33 — Como é que se pode tornar calculável por 
logaritmos uma soma ou diferença de dois senos ou 
duas tangentes trigonométricas ? Aplique o processo a 
•uma das expressões: sen36° 12'27" + sen 122° 15' 10", 6; 
tang 138° 1' 25" + tang 12° 45' 16" , 8 ; limitando-se 
porém, a fazer os cálculos apenas quanto a uma das 
quatro operações indicadas. 
34 — Ache dois números que tenham 9 divisores 
comuns e tais que um deles seja raiz quadrada do 
outro. Escreva todos os divisores de cada um desses 
números. Diga que particularidade oferece o pro-
blema, justificando a resposta. R : Os dois números 
são da forma p 8 e p 1 6 ou p- q 2 e p 4 qA , onde p e p 
são números primos quaisquer. 
35 — Mostre que a equação 3 \/x + 2 = \/2x + A 
embora tenha uma raiz dupla e outra simples — faci l-
mente se resolve por um artifício de cálculo, come-
çando por elevar ambos os seus membros^ à 6.* potên-
cia. Verifique as soluções achadas. R : A raiz dupla 
é —2 e a raiz simples —15/8 . 
[Gazeta de Matemática, n.° 1, Janeiro do 1940]. 
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto 
I 
36 — a) Um professor tem, para distribuir como 
prémio, 25 livros por 3 alunos. Para atender ao seu 
saber e comportamento terá de dar ao melhor mais 
três que ao segundo e a este mais dois que ao terceiro. 
£ Quantos livros dará a cada aluno ? R : Se x repre-
senta o número de livros que o terceiro aluno receberá é 
x + (x + 2) + (x + 2 + 3) = 25, donde x = 6. O terceiro 
aluno receberá seis livros, o segundo oito e o primeiro 
onze. b) O número de permutações de n objectos dis-
tintos é p! vezes o número de combinações dos mes-
mos m objectos 3 a 3 .jQuantos objectos são? R: Opro-
n'! 
blema traduz-se analiticamente por n ! = p ! 
" y 3 ! ( n - 3 ) ! 
Deve, pois, ter-se simultaneamente, n ! > p ! , isto e n > p 
e p ! = (n — 3) ! 6 . Seja n = p + i com i inteiro ; e 
(n—i)! = (n—3)! 6 e, portanto, i = 0 , l , 2 . Para i = 0, 
n = p = 3; para i = l , n = 4 e p = 3; para i = 2 , n = 8 
e p = 6 . c) Na equação 2.E2—(2»i + l ) x + m 2 — 9;re + 
+ 39=0 4 que valor é preciso dar a m para que a 
equação tenha uma raiz dupla da outra ? R : Desi-
gnemos por a e 2a as raízes da equação. Teremos 
2m + l 
2*2 = • 
m 2 - 9 m + 39 
- / 2 m + l \ 2 m 2 - 9 m + 39 
donde: (—• ) = isto é, m 2 — 17m + 
\ 6 / 4 
, -n n , , Í7+v/l7 2 - 4 x 7 0 1 n + <0 = 0 e, portanto, m =—i=S _ — ; mi = 10, 
m 2 = 7 . 
37 — a) Calcular pelos logaritmos a área do tra-
pézio de que se conhecem os dois lados paralelos, uma 
diagonal e o ângulo que ela forma com o maior dos 
dois lados conhecidos : a=30 m ; ô = 4 5 m ; / ) = 40m e 
a = 25°35 '43" . R : Designemos por h a altura e por 
A a área do trapézio. Tem-se h = Dsena e 
(a + b )D sen a 
2 
quadrados. Ora log Á = log 1500 + log sen 25° 35' 43" = 
3,1760913+1.6354952=2,8115865 donde A=648">2,0171. 
cotg3a—3 cotg a 
b) Demonstrar que cotg 3a = 
A = : = 75 X 20 x sen 25° 35' 43" metros 
R : cotg 3» = 
3 cotg 2 a—1 
cos (2a 4-a) cos 2a. cos a — sen 2a sen a 
sen (2a + a) sen 2a cos a + sen a cos 2a 
(cos2 a—sen2 a) cos a — 2 sen2 a cos a _ 
2 sen a cos2 a+sen a (cos2 a—sen2 a) 
cos3 a—3 sen2 a cos a cotg 3 a —3 cote a 
3 sen a cos2 a — sen3 a 3 cotfî 2 a—1 
38 — Determinar pelo método dos lugares geomé-
tricos os pontos duma circunferência dada dos quais 
se pode ver um segmento AB sob um ângulo dado-
R : Os pontos procurados são, quando existirem, obtidos 
pela intersecção da circunferência dada com qualquer 
dos dois segmentos capazes do ângulo dado. A discussão 
far-se-à por exame das posições relativas do segmento 
e da circunferência e comparação das grandezas do 
raio desta, do comprimento de A B e do angulo. 
39 — A soma de dois números é 960. O cociente do 
menor múltiplo comum pelo máximo divisor comum 
é 63 . i Quais são os números ? R : Sejam a e b os 
dois números, e d o seu máximo divisor comum. 
È a = d x p e b = d x q , com p e q primos entre si. 
O menor múltiplo comum é ab/d, e as condições do 
problema exprimem-se pelas igualdades ab/d 2 =pq=63 
e d(p + q)=960.Como 63 = 3 2 x 7 , o número de divi-
sores de 63 e' 6. Os pares de divisores que nos interessam, 
são, só, dois (1,63) e (7 ,9) , visto que o terceiro (3,21) 
e constituído por números que não são primos, entre si. 
d obter-se-à dividindo 960 por 64 = 1 + 63, num caso, 
e por 16 = 7 + 9, no outro. E os números são, ou 540 
e 420, ou 15 e 945. 
16 G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 
I I 
40 — a) iQual é o número com3 algarismos cujo p r i -
meiro algarismo é duas vezes o segundo mais 2 e o 
segundo é o terceiro diminuído de 3, sabendo que a 
soma dos três algarismos é 9? b) 4 Qual é o valor da 
razão entre os coeficientes dos três termos dos desen-
volvimentos dos binómios ( 1 + a ) 6 e ( 1 —a) 6 e o 
valor da sua soma? e) Procurar os valores de x que 
x 2 a 8a 2 
satisfazem a desigualdade ;— > —,——, " 
D x—a x + a x!—az 
41 — a) Calcular pelos logaritmos a área do para-
lelogramo definido pelos dois lados e o ângulo agudo, 
respectivamente: a=7,30m, 6 = 12,25m e a = 6 1 ° 2 7 ' 3 3 " . 
b) Demonstrar que 4 sen3 a = —sen 3a+3 sen a . 
42 — Traçar por método geométrico um triângulo 
inscrito numa circunferência dada, semelhante a um 
triângulo dado. 
43 — Mostrar que dois números divididos pela sua 
diferença dão restos iguais 
Licenciaturas em ciências físico-químicas e em ciên-
cias matemáticas, cursos preparatórios das esco-
las militares e curso de engenheiro geógrafo. 
I I 
— a) Desenvolva ( 2 j / x +3^7= e simplifique 
os termos do desenvolvimento, b) Enuncie os teore-
mas que permitem determinar o sinal do trinómio do 
2.° grau axl + bx + c para os diferentes valores de x. 
c) Resolva a equação x 4—8x 2 + 1 6 = 0 . 
48 — a) Dados a hipotenusa a = 839,2 m e o ângulo 
fí = 40°27 , 32" (que se opõe ao cateto b) dum tr iân-
gulo rectângulo, calcule por logaritmos o compri-
mento do outro cateto c. 6) Calcule, sem recorrer às 
tábuas de logaritmos, os valores de x=sen405° , 
?/ = t g (—it/6) . c) Represente gràficamente a função 
3/=cos2x, dando a x os valores x = 0 ° , 45°, 90°, 
135° e 180°. 
49 — a) Demonstre que a mediana dum triângulo 
rectângulo que divide ao meio a hipotenusa tem por 
comprimento metade do comprimento da hipotenusa. 
b) Considere os três números inteiros e consecutivos 
n , n + 1 e n + 2 . £ Quantos podem ser divisíveis por 
dois? 4Poderá acontecer que nenhum seja divisível 
por 3 ? £ Se n fôr par haverá entre os três números 
algum que seja divisível por 4? Qual dêles se rá? 
Justifique as respostas. 
44—a) Determine os valores de x que tornam nega-
x 2—2x + 5 •' „ 
tiva a fracção • R : 2 < x < 3 . b) 4 Que 
x 2 —5x+6 
valor deve ter a para que o valor de x deduzido da 
equação (a 2 —l)x = a + l seja determinado? R:a——1. 
c) Supondo que na equação ax + by=c,a,bec são 
primos entre si, indique : 1.° £ Qual é a condição para 
que a equação admita soluções inteiras? 2.° 4Quais 
são as condições para que a equação admita uma i n f i -
nidade de soluções inteiras e positivas? 
45 — a) Dados os catetos è = 829m,7 e e = 655m,6 
dum triângulo rectângulo, calcule, por logaritmos, o 
valor do ângulo B que se opõe ao lado 6. b) Cal-
cule, sem recorrer às tábuas, os valores de x = t g (—T/3) 
e y=sen900° . R : x = — ^ 3 , y—0. c) Deduza das 
, , , cos a 1 . 
igualdades: cotga = ^ - ^ e oseca = ^-^ a igual-
dade: cosec2 a—cotg2 a = l . 
46 — a) Demonstre que unindo 2 a 2 os meios dos 
lados consecutivos dum quadrilátero qualquer se obtém 
um paralelogramo. b) 1 Como determina os restos que 
se obtêm na divisão dum número por 100, por 3 e 
por 4? Aplique os teoremas enunciados ao cálculo 
dos restos das divisões de 432965432 pelos números 
referidos. 
Instituto Superior de Ciências Económicas e Finan-
ceiras. 
50 — a) Defina potência de expoente inteiro e po-
sitivo ; diga que generalizações conhece da definição 
de potência e quais os motivos que levaram a dar 
essas definições, b) Simplifique e reduza a radicais a 
( x 2_ y 2) l /3 
função z = ^ r i _ y i l 2 ) [(xv1 + y V Í ) • Classifique a fun-
ção z obtida e a função u=-z3. R : z = y / x + ^ 
z e' função irracional das duas variáveis x e y ; u e 
função racional de x e y . 
51 — a) Defina as funções inversas de seno, coseno 
e tangente e escreva a expressão geral dos arcos cuja 
tangente é — 1 . R : are t g (—1) =kir —ir/4 rad. 
b) Determine os ângulos internos dum trapézio isos-
celes conhecendo a sua altura e a diferença das bases. 
R : a = arctg2h/d (h altura e d diferença das bases)i 
52 — a) Defina ângulo poliedro e poliedro regular. 
^Quantos poliedros regulares convexos existem e quais? 
Desses poliedros há algum que seja uma pirâmide ? 
e um prisma ? £ Qual é a razão pela qual não existe 
nenhum poliedro regular convexo cujas faces tenham 
mais de cinco lados? 4) Dada uma circunferência (C) 
G A Z E T A D E M A T E M Á T I C A 17 
e um ponto interior M não coincidente com o centro, 
determine o lugar geométrico dos meios das cordas 
que passam por M. £ E se o ponto M estiver sobre 
a circunferência ? R : O logar geométrico é a circun-
ferência de diâmetro CM (C) designa o centro de (C)). 
53 — Faz-se girar um triângulo rectângulo em 
torno da sua hipotenusa ; seja V o volume do sólido 
gerado. Faz-se em seguida girar em torno de cada 
um dos seus catetos ; sejam v e i>' os volumes dos 
sólidos obtidos ; verificar que 
J _ J L + J L . 
V2 vi v'i 
R : Sejam a a hipotenusa, b e c os catetos, e v o 
volume do sólido gerado pela rotação do triângulo em 
torno do cateto c . 
1 / b c \ 2 1 1 
Tem-se V= — w a l — ) , v = — irbc 2 , v' = — web2. 
3 \ a / 3 3 
, - - - 1 1 • 1 Por substituição na expressão — = 1 , notando \2 y2 y'2 
que a2 = b 2 + c2, esta verifica-se. 
54 — Calcular as arestas dum paralelipípedo rectân-
gulo sabendo que as suas medidas estão em progressão 
aritmética e conhecendo, além disso, a área total e a 
diagonal do paralelipípedo. R : Sejam x—r, x e x 4- r 
as medidas das arestas do paralelipípedo. As equações 
do problema são : 
( d 2 = (x - r ) 2 + x 2 + (x + r ) 2 
\ A = 2x (x - r) + 2x (x + r) + 2 (x - r) (x + r) 
Resolvendo este sistema e atendendo a que é x > 0 
os valores de m que satisfazem ao sistema de 3 equações: 
-x" = l 
m 2 + l 
2d 2—A . . - »/d 2 + A 
acnam-se as soluções x = - — f . e r 
o y o 
Para que o paralelipípedo exista é necessário e sufi-
ciente que A < 2d 2. Se A = 2d 2 trata-se dum cubo. 
Note-se que os dois valores de r conduzem ao mesmo 
paralelipípedo. 
[Gazela de Matemática, n.° 2, Abril de 1940]. Vido 2.* ed. 
pág. 15, 1.° vol. 
Licenciaturas em ciências físico-químicas e em 
ciências matemáticas, cursos preparatórios das 
escolas militares e curso de engenheiro geógrafo. 
I 
55 — 4 Para que valores de m diferem duma unidade 
as raízes da equação 2x 2 — ( m ? + l ) x + m? - f 3 = 0. R : 
Sejam x 1 e x" as raizes da equação dada. Trata-se de 
determinar m de tal maneira que x'—x" = l . Como a 
equação dada è eqvivalente ao sistema de duas equações : 
. • „ m 2 + l , m 2 + 3 x' + x" = , x ' x " = , temos que determinar 
x' + x' = • 
x' x" 
2 
m 2 -f 3 
Resolvendo o sistema formado pelas duas primeiras 
„ t - m * + 3 equações em ordem a x' e x ' acha-se : x = e 
4 
., m 2 + l 
x = —-— ; valores que substituídos na 3." equação 
nos conduzem à equação do 4." grau em m : 
(m2-t-3) ( m 2 - l ) = 8 (m 2 +3) , 
cujas soluções são m = + j / — 3 e m = + 3, valores que 
substituídos na equação dada conduzem às equações 
2x 2 — lOx + 12 = 0 e x 2 - f x = 0 . Em vez da equação 
x'—x'' = l podíamos ter considerado a equação x'—x" = 
= — 1 , mas como é fácil de ver o resultado obtido seria 
o mesmo. 
56 — Defina arranjos e permutações. 
57 — Aplique a fórmula do binómio de Newton ao 
desenvolvimento de (x — l ) 4 . R : Temos ( x — l ) 4 = x*— 
—4x3 + 6 x 2 - 4 x + l . 
58 — Dados o cateto c = 216m,7 dum triângulo 
rectângulo e o ângulo B = 3 6 ° 27' 14", que se opõe ao 
outro cateto, calcule por logaritmos o comprimento da 
hipotenusa a do triângulo. R: Como c = acosB tem-se 
a = c/cos B e portanto log a = log c + colog cos B .