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Sumário 
 
1.0 Objetivos ................................................................................................................................. 2 
2.0 Introdução Teórica ................................................................................................................. 3 
2.1 Deflexão de vigas ................................................................................................................. 3 
2.1.1 Inclinação e deslocamento por integração .................................................................. 3 
 2.1.2 Condições de contorno ................................................................................................ 4 
 2.1.3 Viga bi apoiada ............................................................................................................. 4 
 2.1.4 Viga engastada-apoiada ............................................................................................... 5 
3.0 Procedimentos Experimentais ............................................................................................... 6 
3.1 Materiais utilizados ............................................................................................................. 6 
3.1 Procedimentos .................................................................................................................... 6 
4.0 Resultados e Discussão........................................................................................................... 7 
4.1 Viga bi apoiada .................................................................................................................... 7 
 4.2 Viga engastada-apoiada ...................................................................................................... 8 
5.0 Conclusão .............................................................................................................................. 10 
6.0 Referências Bibliográficas .................................................................................................... 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1.0 Objetivos 
Analisar medidas de deflexão em uma viga de seção retangular bi apoiada e engastada-
apoiada e comparar com os resultados teóricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
2.0 Introdução Teórica 
 2.1 Deflexão de vigas 
O diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada área da 
seção transversal da vida é denominado linha elástica. 
Figura 2.1: Linha elástica em vigas apoiada e engastada. 
 
Fonte: [1] 
 2.1.1 Inclinação e deslocamento por integração 
 A curva da linha elástica pode ser expressa matematicamente como 𝜎 = 𝑓(𝑥), e a 
curvatura é 1 𝜌⁄ . Então, existe uma relação tal que 
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
⁄
[1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⁄ )2]
3
2⁄
=
1
𝜌
 (1) 
mas 
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
, então 
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
⁄
[1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⁄ )2]
3
2⁄
=
𝑀(𝑥)
𝐸𝐼(𝑥)
 (2) 
 No entanto, como existem limitações das deflexões de engenharia estabelecidas por 
códigos de tolerância e/ou estética, a maioria das vigas e eixos possuem deflexões elásticas que 
foram uma curva rasa. Portanto, a inclinação da linha elástica dada por 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ será muito 
pequena, e o seu quadrado se torna desprezível. 
 Portanto, simplificando a Eq. (3), tem-se que 
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀(𝑥)
𝐸𝐼(𝑥)
 (3) 
sendo 𝑀(𝑥) o momento fletor, 𝐸 o módulo de elasticidade e 𝐼(𝑥) o momento de inércia da linha 
elástica, dado por 
 𝐼(𝑥) =
𝑏ℎ3
12
 (4) 
4 
 
 Na maioria dos casos, a viga é padronizada e, por isso, a rigidez à flexão será constante 
ao longo do comprimento dessa. 
 Assim, para se obter 𝜃(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, realiza-se a integração da Eq. (3), dessa forma: 
 𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐿
0
 (5) 
 Ou seja, o momento fletor para cada seção da viga é encontrado e integrado uma vez 
para se obter a inclinação 𝜃(𝑥) da viga. E, para se calcular a deflexão, integra-se mais uma vez: 
 𝐸𝐼𝑦(𝑥) = ∫ (∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶1
𝐿
0
)
𝐿
0
𝑑𝑥 + 𝐶2 (6) 
 2.1.2 Condições de contorno 
 As constantes de integração são determinadas pela avaliação das funções para 
cisalhamento, momento, inclinação ou deslocamento em um determinado ponto na viga no 
qual o valor da função é conhecido. Esses valores são denominados condições de contorno. A 
Fig. 2.1.2 mostra algumas condições de contorno possíveis. 
Figura 2.1.2: Condições de contorno. 
 
Fonte: [1] 
2.1.3 Viga bi apoiada. 
Figura 2.1.3: Viga bi apoiada. 
 
Fonte: [2] 
5 
 
 Primeiramente, considerando que a viga está em equilíbrio, encontram-se as reações 
𝑉𝐴, 𝑉𝐵 e a equação do momento 𝑀(𝑥): 
 𝑉𝐴 =
𝑃𝑏
𝐿
 (7) 
 𝑉𝐵 =
𝑃𝑎
𝐿
 (8) 
 𝑀(𝑥) = 𝑉𝐴𝑥 − 𝑃(𝑥 − 𝑎) (9) 
 Integrando duas vezes a Eq. (9): 
 𝐸𝐼𝑦(𝑥) =
𝑉𝐴𝑥
3
6
−
𝑃(𝑥 − 𝑎)3
6
+ 𝐶1 + 𝐶2 (10) 
 E, aplicando as condições de contorno para os apoios 𝑦(0) = 0 e 𝑦(𝐿) = 0, têm-se as 
equações de valor teórico das deformações: 
 𝑦(𝑥) =
𝑃𝑏𝑥
6𝐸𝐼𝐿
(𝑥2 + 𝑏2 − 𝐿2), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 (11) 
 𝑦(𝑥) =
𝑃𝑎(𝐿 − 𝑥)
6𝐸𝐼𝐿
(𝑥2 + 𝑎2 − 2𝐿𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 (12) 
 2.1.4 Viga engastada-apoiada 
Figura 2.1.4: Viga engastada-apoiada. 
 
Fonte: [2] 
 Analogamente, calculam-se as reações para encontrar o momento 𝑀(𝑥): 
 𝑀(𝑥) = 𝑉𝐵𝑥 − 𝑃(𝑥 − 𝑎) (13) 
 Pelas condições de contorno 𝑦(0) = 0 e 𝑦(𝐿) = 0, fazendo as integrais: 
 𝑦(𝑥) =
𝑃𝑏𝑥2
12𝐸𝐼𝐿3
[3𝐿(𝑏2 − 𝐿2) + 𝑥(3𝐿2 − 𝐿2)], 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 (14) 
 𝑦(𝑥) =
𝑃𝑏𝑥2
12𝐸𝐼𝐿3
[3𝐿(𝑏2 − 𝐿2) + 𝑥(3𝐿2 − 𝐿2)] −
𝑃(𝑥 − 𝑎)3
6𝐸𝐼
, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 (15) 
 
 
 
6 
 
3.0 Procedimentos Experimentais 
3.1 Materiais utilizados 
 Aparelho de ensaio de deflexão WPI120 da GUNT; 
 Pesos de 5𝑁; 
 Vigas de aço (210 𝐺𝑃𝑎) 
3.2 Procedimentos 
 Primeiramente, uma a viga de aço foi colocada no suporte do aparelho de ensaio de 
forma a estar bi apoiada. Então, ao seu centro, os pesos foram adicionados em passo de 5𝑁 até 
20𝑁. Para cada carga adicionada, a leitura foi feita para os pontos 1 e 2, o primeiro próximo ao 
primeiro apoio, e o segundo, ao segundo apoio. As medidas de deflexão foram anotadas. 
 Então, a viga foi modificada de forma a estar engastada do lado do ponto 1 e apoiada 
do lado do ponto 2. Da mesma forma, as cargas foram aplicadas ao centro da viga e as medidas 
para cada um pontos, coletadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
4.0 Resultados e Discussão 
Foi utilizada uma barra de seção transversal retangular com as seguintes características: 
𝐼 =
𝑏ℎ3
12
=
0,02 × 0,0043
12
= 1,067 × 10−10 𝑚4 
𝐸 = 210 𝐺𝑃𝑎 
𝑎 = 𝑏 = 325 𝑚𝑚𝐿 = 650 𝑚𝑚 
 4.1 Viga bi apoiada 
 Para a seção 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 tem-se que: 
𝑦(0,1) =
𝑃 × 0,325 × 0,1
6 × 210 × 109 × 1,067 × 10−10 × 0,65
× (0,12 + 0,3252 − 0,652) 
𝑦(0,1) = −1,14129 × 10−4 × 𝑃 
 E, para a seção 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 tem-se que: 
𝑦(0,535) =
𝑃 × 0,325 × (0,65 − 0,535)
6 × 210 × 109 × 1,067 × 10−10 × 0,65
× (0,5352 + 0,3252 − 2 × 0,65 × 0,535) 
𝑦(0,535) = −1,29869 × 10−4 × 𝑃 
 
Calculando as deflexões, nas duas seções, para os pesos aplicados: 
𝑃 = 5 𝑁: 𝑦(0,1) = −0,5706 𝑚𝑚 
𝑃 = 10 𝑁: 𝑦(0,1) = −1,1413 𝑚𝑚 
𝑃 = 15 𝑁: 𝑦(0,1) = −1,7119 𝑚𝑚 
𝑃 = 20 𝑁: 𝑦(0,1) = −2,2826 𝑚𝑚 
 
𝑃 = 5 𝑁: 𝑦(0,535) = −0,6493 𝑚𝑚 
𝑃 = 10 𝑁: 𝑦(0,535) = −1,2987 𝑚𝑚 
𝑃 = 15 𝑁: 𝑦(0,535) = −1,9480 𝑚𝑚 
𝑃 = 20 𝑁: 𝑦(0,535) = −2,5974 𝑚𝑚 
 
Os resultados são apresentados na Tabela 1 e os erros experimentais, na Tabela 2. 
 
 
 
 
8 
 
Tabela 1: viga bi apoiada. 
Pesos [𝑵] 
Ponto 1 
Deflexão [𝒎𝒎] 
Ponto 2 
Deflexão [𝒎𝒎] 
Ponto 1 
Deflexão 
teórica [𝒎𝒎] 
Ponto 2 
Deflexão 
teórica [𝒎𝒎] 
5 0,87 0,70 0,5706 0,6493 
10 1,79 1,44 1,1413 1,2987 
15 2,43 2,10 1,7119 1,9480 
20 2,78 2,55 2,2826 2,5974 
 Fonte: autoria própria. 
Tabela 2: Erros experimentais para a viga bi apoiada. 
Pesos [𝑵] Ponto 1 Ponto 2 
5 52,47% 7,81% 
10 56,84% 10,88% 
15 41,95% 7,80% 
20 21,79% 1,82% 
 Fonte: autoria própria. 
 Nota-se que os erros percentuais mais significativos são equivalentes à deflexões no 
ponto 1, enquanto o ponto 2 possui erros baixos e aceitáveis como pequenos erros de medição 
humana e/ou da máquina de leitura. 
 
 4.2 Viga engastada-apoiada 
Para a seção 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 tem-se que: 
𝑦(0,1) =
𝑃 × 0,325 × 0,12
12 × 210 × 109 × 1,067 × 10−10 × 0,653
× 
× [3 × 0,65 × (0,3252 − 0,652) + 0,1 × (3 × 0,652 − 0,3252)] 
𝑦(0,1) = −2,2082 × 10−5 × 𝑃 
 E, Para a seção a≤ 𝑥 ≤ 𝐿 tem-se que: 
𝑦(0,535) =
𝑃 × 0,325 × 0,5352
12 × 210 × 109 × 1,067 × 10−10 × 0,653
× 
× [3 × 0,65 × (0,3252 − 0,652) + 0,535 × (3 × 0,652 − 0,3252)] − 
−
𝑃 × (0,535 − 0,325)3
6 × 210 × 109 × 1,067 × 10−10
 
𝑦(0,535) = −6,42276 × 10−5 × 𝑃 
 
Calculando as deflexões, nas duas seções, para os pesos aplicados: 
𝑃 = 5 𝑁: 𝑦(0,1) = −0,1104 𝑚𝑚 
𝑃 = 10 𝑁: 𝑦(0,1) = −0,2208 𝑚𝑚 
𝑃 = 15 𝑁: 𝑦(0,1) = −0,3312 𝑚𝑚 
9 
 
𝑃 = 20 𝑁: 𝑦(0,1) = −0,4416 𝑚𝑚 
𝑃 = 5 𝑁: 𝑦(0,535) = −0,3211 𝑚𝑚 
𝑃 = 10 𝑁: 𝑦(0,535) = −0,6423 𝑚𝑚 
𝑃 = 15 𝑁: 𝑦(0,535) = −0,9634 𝑚𝑚 
𝑃 = 20 𝑁: 𝑦(0,535) = −1,2846 𝑚𝑚 
Os resultados são apresentados na Tabela 3 e os erros experimentais, na Tabela 4. 
Tabela 3: viga engastada-apoiada. 
Pesos [𝑵] 
Ponto 1 
Deflexão [𝒎𝒎] 
Ponto 2 
Deflexão [𝒎𝒎] 
Ponto 1 
Deflexão 
teórica [𝒎𝒎] 
Ponto 2 
Deflexão 
teórica [𝒎𝒎] 
5 0,23 0,30 0,1104 0,3211 
10 0,50 0,65 0,2208 0,6423 
15 0,71 0,90 0,3312 0,9634 
20 0,90 1,20 0,4416 1,2846 
 Fonte: autoria própria. 
Tabela 4: Erros experimentais para a viga engastada-apoiada. 
Pesos [𝑵] Ponto 1 Ponto 2 
5 108,33% 6,57% 
10 126,45% 1,20% 
15 114,37% 6,58% 
20 103,80% 6,59% 
 Fonte: autoria própria. 
 Como a viga é engastada próximo a um dos pontos, ponto 1, percebe-se que as 
deformações nesse ponto, teoricamente, devem ser bem mais baixas do que as no ponto 2, já 
que este último se encontra próximo de um apoio. 
No entanto, como mostra a tabela de erros, o desvio entre as deformações práticas e 
teóricas para o ponto 1 são muito altos, o que constitui um grande erro de medidas que podem 
ter sigo causados por algum problema de medição por parte da máquina utilizada no 
experimento. Para o ponto 2, vemos que as medidas foram feitas corretamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
5.0 Conclusão 
Com base no experimento realizado, não foi possível tirar conclusões práticas para o 
experimento, devido ao fato de que as medidas de deflexão para o ponto 1 da viga terem 
divergido bruscamente em relação aos valores teóricos calculados para tal ponto. Desta forma, 
o experimento não foi bem sucedido. No entanto, pela teoria, sabe-se que uma vida apoiada-
engastada sofre uma deflexão consideravelmente menor nos pontos próximos ao engaste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.0 Referências Bibliográficas 
 
[1] Hibbeler, R.C. Resistência dos Materiais, 7 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
[2] Melo, G.P. Roteiro Laboratório de Resistência dos Materiais II: deflexão em vigas. 2018.