Apostilha de Analise combinatória

Prévia do material em texto

Apostilha de Matemática – Prof. 	Gerson Eugenio.
Assunto: Análise combinatória.
Fatorial
 
Sendo n um número natural maior que 1, definimos como fatorial de n (indicamos por n!) o número:
			n!= n · (n − 1)(n − 2)(n − 3) · ... · 2 · 1 
	
Lemos n! como n fatorial. 
Ex: Calcule:
a) 4!=
b) 	6!=
Obs: Por definição mesmo zero e 1 não estando incluídos dizemos que 0!=1 e 1!= 1.
Outros Exemplos:
1-) Calcule o Valor de:
a) =
b) =
c) =
d) =
e) =
Lista de Atividades 
Assunto: Análise Combinatória – Fatorial – Prof. Gerson Eugenio.
1-) Calcule os seguintes fatoriais:
a) 7! – 5!
b) 9!
c) 3!4!
2-) Simplifique as frações:
a) 
b) 
c) 
d) =
e) 
f) 
g) 
h) 
Assunto: Análise combinatória.
Conceito: Combinatória estuda o número de ocorrências de um determinado acontecimento.
Ex:
a) Ao lançar um moeda quantos resultados podemos obter?
b) Se 5 cavalos numerados de 1 a 5 disputam uma corrida, para os dois primeiros lugares quantos resultados podemos obter? 
	
Princípio Fundamental da Contagem
	Se um evento é composto de duas ou mais etapas sucessivas e independentes o número de possibilidades do acontecimento é igual ao produto entre elas.
· 1ª etapa ocorre de m modos:
· 2ª etapa ocorre de n modos:
Então pelo princípio fundamental da contagem as possibilidades do acontecimento são: 	
m · n
Ex. Resolva os seguintes problemas:
a) Um rapaz que possui 5 calças e 7 camisas pode se vestir de quantas formas diferentes?
b) Numa classe temos 10 meninos e 8 meninas. Quantos casais diferentes podem ser formados?
c) A prefeitura de uma cidade planeja cadastrar todos os carroceiros, onde cada um em sua carroça usará uma placa de identificação que terá uma letra e dois dígitos (números). Quantos carroceiros poderão ser cadastrados?
 (
A 00
)Ex:
					
Lista de Atividades 
Assunto: Análise Combinatória – Princípio fundamental da contagem – Prof. Gerson Eugenio.
1-) Marina tem 5 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes ela pode se vestir com essas roupas?
2-) Em Baile há 12 moças e 8 rapazes. Quantos casais podem ser formados?
3-) Renato vai a um clube no qual existe 4 portas de entrada que dão acesso a 2 elevadores. Ele pretende ir ao 6º andar. De Quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?
4-) Quantos números pares de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal?
 
5-) Uma pessoa possui 8 envelopes diferentes e 10 selos diferentes. De quantos modos essa pessoa poderá enviar uma carta utilizando 1 envelope e 1 selo?
6-) Quantos Veículos podem ser emplacados num sistema em que cada placa usa duas letras(de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 à 9)? 
 (
RN - MACAÍBA
A
a
 
 0
00
0
)Ex:
				
7-) De quantas maneiras 3 pessoas podem se sentar num sofá de 5 lugares?
a) 20
b) 35
c) 15
d) 60
e) 150
Arranjo Simples
Sendo A um conjunto com n elementos e p um número natural (sendo p<n), arranjo simples é o agrupamento ordenado de p elementos distintos dos elementos n do conjunto A.
Fórmula do Arranjo Simples: 
Obs: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Ex: Calcule o valor de:
a) A7, 4		
b) A10, 7
Ex 2: Quantos números distintos de 3 algarismos podemos formar com os dígitos de 1 a 6.
Ex 3: Numa competição 10 atletas disputam 1º , 2º e 3º lugares. Quantas possibilidades de classificação para os atletas nesses lugares?
Ex 4: Uma diretoria de 4 membros deve ser tirada de uma comissão com 15 pessoas, Onde vai ter um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. De quantas formas podemos formar essa diretoria? 
Lista de Atividades 
Assunto: Análise Combinatória – Arranjo
–– Prof. Gerson Eugenio.
1-) Calcule o valor de:
a) A5, 2	b) A12, 4 	 
 
2-) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto E={1,2,3,4,5}?
3-) Uma empresa possui 12 funcionários administrativos, entre os quais serão escolhidos 3 que disputarão os cargos de diretor, vice–diretor e tesoureiro. De quantas maneiras pode ser feita a escolha?
4-) Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor em cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de tinta?
5-) Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. De quantas maneiras diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares?
6-) Oito cavalos em um páreo disputam a premiação para primeiro, segundo e terceiro lugares. Quantas possibilidades de colocação terão esses cavalos?
Combinação Simples
Sendo A um conjunto com n elementos e p um número natural (sendo p<n), Combinação simples é o agrupamento de p elementos n do conjunto A.
Fórmula da Combinação simples: 
Obs: Nesse agrupamento a ordem dos elementos não é importante.
Ex: Calcule o valor de:
a) C7, 4		
b) C10, 7
Ex 2: Dado o conjunto A={1,3,5,7,9} Quantos subconjuntos com 2 elementos podemos formar? 
Ex 3: Numa sala de 15 alunos o professor vai sortear 5 alunos para participar de uma reunião com o diretor. Quantos grupos distintos podemos formar?
Ex 4: Num campeonato de tênis de mesa estão inscritos 12 atletas, onde eles jogarão entre si uma única vez. Qual o número total de partidas podem ser realizadas entre os inscritos?
 
Lista de Atividades 
Assunto: Análise Combinatória – Combinação 
–– Prof. Gerson Eugenio.
1-) Calcule o valor de:
a) C8, 4 	b) C6, 3	 
 2-) Quantos grupos diferentes de 4 lâmpadas podem ficar acessas num galpão que tem 10 lâmpadas?
 
3-) Quantos subconjuntos de 4 elementos possuem um conjunto de 6 elementos?
4-) Quantas comissões de 5 membros podemos formar numa assembleia de 12 participantes?
5-) Uma papelaria tem 8 cadernos de cores diferentes e quero comprar 3 cadernos de cores diferentes. Quantas possibilidades de escolha eu tenho?
6-) Há 14 inscritos em um campeonato de boxe, onde eles lutarão entre si e se enfrentarão apenas uma vez. O número total de lutas que podem ser realizadas entre os inscritos é:
a) 91
b) 24
c) 33
d) 66
e) 132
Permutação Simples
Sendo A um conjunto com n elementos, Permutação Simples é o agrupamento ordenado de n elementos distintos dos elementos n do conjunto A.
Fórmula da Permutação Simples: Pn = n!
Obs: Permutação Simples é um arranjo onde os grupos são formados com todos os elementos.
Ex: Quantos Anagramas podemos formar com a palavra AMOR?
Obs: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.
Ex 2: Com a palavra LAPIS podemos:
a) Construir quantos anagramas?
b) Construir quantos anagramas que começam com a letra L?
c) Construir quantos anagramas que começam com a letra S e terminam com a letra P?
Ex 3: Tenho 8 livros para arrumar numa estante. Quantas formas diferentes podem ser feitas essa arrumação?
Permutação com Elementos Repetidos
Sendo A um conjunto com n elementos, tais que n1 elementos deles são iguais entre si, n2 elementos deles são iguais entre si, e assim por diante o número de permutações que podemos obter é dado por:
 
Ex: Quantos Anagramas podemos formar com a palavra MATEMÁTICA?
Ex 2: Quantos Anagramas podemos formar com a palavra PROFESSOR?
Ex 3: Quantos Números de 6 algarismos podemos formar, utilizando 2,2,3,3,3,4?
Lista de Atividades 
Assunto: Análise Combinatória – Permutação 
–– Prof. Gerson Eugenio.
1-) Quantos anagramas podem ser formados com a palavra LIVRO?
2-) Da palavra ENIGMA:
a) Quantos anagramas podem ser formados?
b) Quantos anagramas podem ser formados começando com a letra a?
c) Quantos anagramas podem ser formados começando com vogal?
3-) Quantos anagramas podem ser formar com as palavras:
a) URUGUAI
b) SEVERIANO
c) COPACABANA
 
LISTA DE ATIVIDADES DE MATEMÁTICA
1-) Simplifique as expressões:
a) 		b) 		c) A6,4	 d) C6,4
2-) Quantos Veículos podem ser emplacados num sistema em que cada placa usa três letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 à 9)? 
 (
RN - MACAÍBA
A
Aa
 
 
00
00
)Ex:
				
3-) Quantos Anagramas podemos formar comas palavras:
a) ALUNO 
b) MARAJOARA
4-) Um pesquisador científico precisa escolher seis cobaias, num grupo de dez cobaias. Determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha?
5-) Jean, Ricardo, Paulo, Junior, Moisés, Costinha e Cleiton estão apostando corrida onde o 1º lugar ganhará medalha de ouro, 2º lugar ganhará medalha de prata, 3º lugar ganhará medalha de bronze. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?
6-) Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?
7-) Para abrir um cofre precisam ser digitados 4 números do teclado abaixo na ordem certa. De quantas maneiras posso digitar a senha do cofre tentando abri-lo? 
10
3!
5!
4!7!
9!3!
6!
(85)!
-
7!
3!(73)!
-
(
)
,
!
!
np
n
A
np
=
-
(
)
,
!
!!
np
n
C
pnp
=
-
11!
8!