ESA - ANÁLISE COMBINATÓRIA

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𝜺𝑥𝑎𝑡𝑎𝑠 𝝅𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 
Seu cursinho de exatas no YouTube 
Professores: Ailton Silva e Manoel Ricardo 
E-mail1: exataspreparatorioar@gmail.com 
QUESTÕES DE ANÁLISE 
COMBINATÓRIA – ESA 2020 
 
1) (ESA) Um anagrama é uma espécie de jogo de 
palavras, resultando do rearranjo das letras de 
uma palavra ou expressão para produzir outras 
palavras ou expressões, utilizando todas as letras 
originais exatamente uma vez. Para participar de 
uma competição uma equipe decide criar uma 
senha, fazendo um anagrama do nome original da 
equipe, que é "FOXTROT". De quantas maneiras 
diferentes poderá ser criada essa senha? 
a) 10080. 
b) 1260. 
c) 2520. 
d) 1680. 
e) 5040. 
 
2) (ESA) O número de anagramas diferentes que 
podemos formar com a palavra RANCHO, de 
modo que se iniciem com vogal, é: 
a) 120 
b) 240 
c) 720 
d) 1440 
e) 24 
 
3) (ESA) O número de anagramas diferentes com 
as letras da palavra MILITAR que não possuem 
consoantes consecutivas que se pode obter e: 
a) 60 
b) 72 
c) 120 
d) 186 
e) 224 
 
 
 
1 E-mail para você tirar dúvidas, sugestões para as nossas Lives e 
para críticas também. 
 
4) (ESA) Um colégio promoveu numa semana 
esportiva um campeonato interclasses de futebol. 
Na primeira fase, entraram na disputa 8 times, 
cada um deles jogando uma vez contra cada um 
dos outros times. O número de jogos realizados na 
1ª fase foi 
a) 8 jogos 
b) 13 jogos 
c) 23 jogos 
d) 28 jogos 
e) 35 jogos 
 
5) (ESA) Com as letras da palavra SARGENTO 
foram escritos todos os anagramas iniciados por 
vogais e com as consoantes todas juntas. Quantos 
são esses anagramas? 
a) 120960 
b) 40320 
c) 2160 
d) 720 
e) 120 
 
6) (ESA) Sendo 𝒏 um número natural, 𝒏! equivale 
a 𝒏. (𝒏 – 𝟏). (𝒏 – 𝟐). . . . . 𝟐. 𝟏 e ainda 𝟎! = 𝟏 e 𝟏! =
𝟏, então identifique a afirmativa verdadeira. 
a) 5! = 120. 
b) 4! = 10. 
c) 3! = 7. 
d) 2! = 3 
e) 6! = 600. 
 
7) (ESA) Uma corrida é disputada por 8 atletas. O 
número de resultados possíveis para os 4 
primeiros lugares e 
a) 336. 
b) 512. 
c) 1530. 
d) 1680. 
e) 4096. 
 
 
 
 
 
 
 
8) (ESA) Em um guarda roupa há quatro camisas, 
cinco calças e três sapatos, então identifique a 
alternativa que apresenta a quantidade de formas 
diferentes que se pode utilizá-las. 
a) ∞ 
b) 53 
c) 1 
d) 12 
e) 60 
 
9) (ESA) Assinale a alternativa cuja palavra possui 
60 anagramas. 
a) AMEIXA 
b) BRANCO 
c) BANANA 
d) PARQUE 
e) PATETA 
 
10) (ESA) Para o time de futebol da ESA, foram 
convocados 3 goleiros, 8 zagueiros, 7 meios de 
campo e 4 atacantes. O número de times 
diferentes que a ESA pode montar com esses 
jogadores convocados de forma que o time tenha 
1 goleiro, 4 zagueiros, 5 meios de campo e 1 
atacante é igual a 
a) 84. 
b) 451. 
c) 981. 
d) 17.640. 
e) 18.560. 
 
11) (ESA) Colocando-se em ordem alfabética os 
anagramas da palavra FUZIL, que posição 
ocupara o anagrama ZILUF. 
a) 103 
b) 104 
c) 105 
d) 106 
e) 107 
 
 
 
 
 
 
2 DANTE, Luiz Roberto. Projeto VOAZ Matemática. Vol. Único, 1ª, 2ª 
e 3ª Parte. 4ª edição. São Paulo: Ática, 2015 (Coleção Projeto 
VOAZ). 
***Nota: “Esses exercícios são todos do livro citado acima. Há 
outros livros da bibliografia sugerida, porém, não consegui 
CONTEÚDO DO EDITAL: 
8) Contagem e Análise Combinatória 
a) fatorial: definição e operações; 
b) princípios multiplicativo e aditivo da contagem; 
c) arranjos, combinações e permutações; e 
d) binômio de Newton: desenvolvimento, 
coeficientes binomiais e termo geral. 
EXERCÍCIOS DA BIBLIOGRAFIA SUGERIDA2 *** 
1. Fatorial 
Exemplos de aplicação 
 
1) Simplifique as expressões: 
a) 
20!
18!
 b) 
48!+49!
50!
 
c) 
𝑛!
(𝑛+1)!
 
 
2) (FEI-SP) Se (𝑛 + 4)! + (𝑛 + 3)! = 15(𝑛 + 2)!, 
então: 
a) 𝑛 = 4. 
b) 𝑛 = 3. 
c) 𝑛 = 2. 
d) 𝑛 = 1. 
e) 𝑛 = 𝑂. 
Exercícios 
 
1) Calcule o valor: 
a) 6! d) 
5!
3!2!
 
b) 
7!
4!
 e) 
20!
18!2!
 
c) 
500!
499!
 f) 
10!+9!
8!
 
 
2) Simplifique: 
a) 
𝑛!
(𝑛−2)!
 b) 
(n + 1)!
(n + 2)!
 
c) 
(n + 3)!
(n − 2)!
∙
(n − 1)!
(n + 2)!
 
 
encontrar na internet. Assim que encontrar atualizarei este 
material, para ficar cada vez mais coerente com o edital.” Prof. 
Ailton Silva. 
 
 
3) Determine o valor de 𝒏 na equação 
 
𝑛!
(n − 2)!
= 56. 
 
4) Determine o valor de 𝒏 na equação 
 (𝑛 + 2)! + (𝑛 + 1)! = 15 • 𝑛!. 
 
5) Encontre o valor de 𝒏: 
 (𝑛!)2 − 25𝑛! + 24 = 𝑂. 
2. Princípio da multiplicação ou princípio 
fundamental da contagem 
Exemplos de aplicação 
 
1) Num restaurante há 2 tipos de salada, 3 tipos 
de pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quais 
e quantas possibilidades temos para fazer uma 
refeição com uma salada, um prato quente e uma 
sobremesa? 
 
2) Quantos números de 3 algarismos podemos 
formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 
 
3) Quantos números de 3 algarismos distintos 
podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 
6? 
 
4) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7: 
a) quantos números de 3 algarismos podemos 
formar? 
b) quantos números de 3 algarismos distintos 
podemos formar? 
Exercícios 
 
1) Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A 
para uma cidade B e 3 vias de locomoção da 
cidade B a uma cidade C. De quantas maneiras 
pode-se ir de A a C, passando por B? 
 
2) De quantas maneiras diferentes pode-se vestir 
uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 
pares de meia e 2 pares de sapato? 
 
 
3) Ao lançarmos sucessivamente 3 moedas 
diferentes, quantas e quais são as possibilidades 
de resultado? 
 
4) Numa lanchonete há 5 tipos de sanduíche, 4 
tipos de refrigerante e 3 tipos de sorvete. De 
quantas maneiras podemos tomar um lanche 
composto por 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 
sorvete? 
 
5) Quantos números de dois algarismos podemos 
formar sabendo que o algarismo das dezenas 
corresponde a um múltiplo de 2 (diferente de zero) 
e o algarismo das unidades a um múltiplo de 3? 
 
6) sando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6: 
a) quantos números de 2 algarismos podemos 
formar? 
b) quantos números pares de 2 algarismos 
podemos formar? 
c) quantos números ímpares de 2 algarismos 
podemos formar? 
d) quantos números de 2 algarismos distintos 
podemos formar? 
e) quantos números de 2 algarismos pares 
podemos formar? 
 
7) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, e 5: 
a) quantos números de 3 algarismos podemos 
formar? 
b) quantos números de 3 algarismos distintos 
podemos formar? 
c) quantos números ímpares de 3 algarismos 
distintos podemos formar? 
d) quantos números pares de 3 algarismos 
podemos formar? 
e) quantos números pares de 3 algarismos 
distintos podemos formar? 
 
8) Uma prova de 7 questões do tipo "Verdadeiro 
ou Falso". De quantas maneiras um aluno pode 
responder essa prova aleatoriamente, ou seja, 
"chutando" as respostas? 
 
 
 
 
 
 
9) Uma prova de vestibular consta de 90 questões 
do tipo teste, cada uma com 5 alternativas. O 
aluno deve preencher um cartão de respostas, 
assinalando em cada questão um quadradinho 
correspondente à resposta. 
 
De quantas maneiras diferentes o cartão de 
respostas com as 90 questões dessa prova 
poderá ser preenchido aleatoriamente? (suponha 
que todas as 90 questões foram respondidas no 
cartão). 
 
10) Um salão de festas possui 6 janelas. De 
quantas maneiras podemos escolher quais janelas 
estarão abertas ou fechadas, de modo que pelo 
menos uma das janelas esteja aberta? 
3. Permutações simples 
Exemplos de aplicação 
 
1) De quantas maneiras podem ser arrumados de 
forma horizontal três selos: 1 da Argentina, 1 do 
Brasil e 1 do Chile? 
 
2) Quantos anagramas tem a palavra DEUS? 
 
3) Responda: 
a) Quantos são os anagramas da palavra 
PERDÃO? 
b) Quantos são os anagramas da palavra 
PERDÃO que iniciam com P e terminam em O? 
c) Quantos são os anagramas da palavra 
PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas 
e nessa ordem (ÃO)? 
d) Quantos são os anagramas da palavra 
PERDÃO em que P e O aparecem nos extremos? 
e) Quantos são os anagramas da palavraPERDÃO em que as letras PER aparecem juntas, 
em qualquer ordem? 
 
 
Exercícios 
 
1) Quantas palavras (com significado ou não) de 3 
letras podemos formar com as letras A, L e I? 
Quais são essas palavras? 
 
2) Quantos números de 4 algarismos podemos 
escrever com os algarismos 2, 4, 6 e 8? E de 4 
algarismos distintos? 
 
3) De quantas maneiras uma família de 5 pessoas 
pode sentar-se num banco de 5 lugares para tirar 
uma foto? 
 
4) De quantas maneiras uma família de 5 pessoas 
pode sentar-se num banco de 5 lugares, ficando 
duas delas (por exemplo, pai e mãe) sempre 
juntas, em qualquer ordem? 
 
5) Quantos são os anagramas da palavra AMOR? 
 
6) Quantos números naturais de algarismos 
distintos entre 5000 e 10000 podemos formar com 
os algarismos 1, 2, 4 e 6? 
 
7) Considere todos os anagramas da palavra 
TEORIA. 
a) Quantos são? 
b) Quantos começam por TEO? 
c) Quantos têm as letras TEO juntas nessa 
ordem? 
d) Quantos têm as letras TEO juntas em qualquer 
ordem? 
e) Quantos têm as vogais juntas, em ordem 
alfabética, e as consoantes juntas, em qualquer 
ordem? 
 
8) Colocando-se todos os anagramas da palavra 
AMIGO listados em ordem alfabética (como em 
um dicionário): 
a) qual será a 1ª palavra? 
b) qual será a 2ª palavra? 
e) qual será a 25ª palavra? 
d) qual será a penúltima palavra? 
e) qual será a 55ª palavra? 
 
 
 
 
9) Colocando-se todos os anagramas da palavra 
ÂNGULO listados em ordem alfabética (como em 
um dicionário), em que posição da lista estará a 
palavra: 
a) ÂGLNOU. b) UONLGÂ. 
c) ÂNGULO. 
4. Permutações com repetição 
Exemplos de aplicação 
 
1) Quantos são os anagramas da palavra 
ARARA? 
 
2) Quantos são os anagramas da palavra 
DEZESSETE? 
 
3) Quantos anagramas da palavra CAMARADA 
começam pela letra C? 
 
4) Quantos anagramas de CAMARADA começam 
com A? 
 
5) Determine quantas soluções naturais possui a 
equação 𝑥 + 𝑦 + 𝑍 = 6. 
Exercícios 
 
1) Determine quantos são os anagramas das 
palavras: 
a) MISSISSIPPI; 
b) ARARAQUARA; 
c) ABÓBORA; 
d) BISCOITO; 
e) ARARAQUARA que começam e terminam com 
A. 
 
2) Uma matriz quadrada 3 x 3 deve ser preenchida 
com 4 "zeros", 3 "cincos" e 2 "setes". De quantas 
maneiras podemos preencher essa matriz? 
 
3) Um casal pretende ter 4 filhos, sendo 2 meninas 
e 2 meninos, em qualquer ordem de nascimento. 
Quantas são as ordens possíveis em que podem 
ocorrer esses 4 nascimentos? 
 
 
4) Uma prova tem 10 questões do tipo teste, cada 
uma valendo 1 ponto. De quantos modos é 
possível tirar nota 7 nessa prova? 
 
5) Quantas soluções inteiras e não negativas 
possui a equação 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10? 
 
6) Dez balas idênticas deverão ser distribuídas 
aleatoriamente entre 3 crianças. De quantos 
modos podemos fazer isso se cada criança deverá 
receber pelo menos duas balas? 
 
7) Seguindo as linhas do diagrama abaixo, 
caminhando apenas para a direita e para cima, de 
quantas maneiras podemos ir do ponto A ao ponto 
B? 
 
5. Arranjos simples 
Exemplos de aplicação 
 
1) Quantos números de dois algarismos diferentes 
podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8 e 9? 
 
2) Responda às seguintes questões: 
a) Quantos anagramas podemos formar com as 
letras da palavra CONTAGEM? 
b) Quantas "palavras" de 4 letras distintas 
podemos formar com as letras da palavra 
CONTAGEM? 
c) Quantas dessas "palavras" começam com E? 
d) Quantas terminam com TA? 
e) Quantas contêm a letra M? 
f) Quantas não contêm a letra M? 
 
3) De quantas maneiras 5 meninos podem sentar-
se num banco que tem apenas 3 lugares? 
 
 
 
 
4) Quantas frações diferentes ( e não iguais a 1) 
podemos escrever usando os números 2, 3, 5, 7, 
11 e 13? 
 
5) Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. 
De quantas maneiras diferentes ele poderá pintar 
os estados da região Sul do Brasil, cada um de 
uma cor? 
 
6) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos 
números de 3 algarismos distintos maiores que 
300 podemos formar? 
 
7) Com os algarismos 3, 5, 7 e 9 foram formados 
todos os números naturais possíveis de 3 
algarismos e colocados em ordem crescente. Qual 
a posição do número 739? 
 
8) Com os dígitos 3, 4 e 5, quantos números 
naturais de algarismos distintos podemos formar? 
Exercícios 
 
1) Calcule: 
a) 𝐴4,2 b) 𝐴6,3 c) 𝐴8,2 
d) 𝐴4,4 e) 𝐴5,1 f) 𝐴7,0 
 
2) Determine a expressão correspondente a: 
a) 𝐴𝑥,2 b) 𝐴𝑥−3,2 c) 𝐴2𝑥+1,3 
 
3) Determine o valor de 𝑥 nas equações: 
a) 𝐴𝑥−1,2 = 30 
b) 𝐴𝑥,3 = 𝑥
3 − 40 
 
4) Um clube tem 30 membros. A diretoria é 
formada por um presidente, um vice-presidente, 
um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa 
pode ocupar apenas um desses cargos, de 
quantas maneiras é possível formar uma diretoria? 
 
 
 
 
5) Responda às questões: 
a) Quantos números de 4 algarismos distintos 
podem ser formados pelos dígitos 4, 5, 6, 7 e 8? 
b) Quantos desses números formados são 
ímpares? 
 
6) De quantas maneiras podemos escolher um 
pivô e um ala num grupo de 12 jogadores de 
basquete? 
 
7) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 
9. 
a) Quantos números de três algarismos distintos 
podemos escrever? 
b) Quantos números de quatro algarismos 
distintos que terminem com 7 podemos escrever? 
c) Quantos números de sete algarismos distintos 
que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos 
escrever? 
d) Quantos números de sete algarismos distintos 
podemos escrever com os algarismos 5 e 6 
sempre juntos e nessa ordem? 
 
8) Num sofá há lugares para 4 pessoas. De 
quantas maneiras diferentes podem sentar-se 6 
pessoas? 
 
9) Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. 
De quantas maneiras ele poderá pintar os estados 
da região Sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de 
Janeiro, Minas Gerais e Espírito Santo), cada um 
de uma cor? 
6. Combinações simples 
Exemplos de aplicação 
 
1) Calcule o valor da combinação simples em cada 
item: 
a) 𝐶6,3 b) 𝐶5,2 c) 𝐶4
3 
d) (4
2
) e) 𝐶21,19 
 
2) No primeiro dia de aula de Matemática do 2º 
ano, 30 alunos estavam presentes na sala de aula. 
Para se conhecerem melhor, o professor sugeriu 
que cada aluno cumprimentasse o outro com um 
aperto de mão e uma breve apresentação. Qual foi 
o total de apertos de mão? 
 
 
3) De quantas maneiras diferentes um técnico 
pode escalar seu time de basquete tendo 12 
atletas à sua disposição? 
 
4) Em um plano marcamos 6 pontos distintos, dos 
quais 3 nunca estão em linha reta. 
a) Quantos segmentos de reta podemos traçar 
ligando-os 2 a 2? 
b) Quantos triângulos podemos formar tendo 
sempre 3 deles como vértices? 
 
5) O conselho desportivo de uma escola é formado 
por 2 professores e 3 alunos. Candidataram-se 5 
professores e 30 alunos. De quantas maneiras 
diferentes esse conselho pode ser eleito? 
 
6) Num voo da ponte aérea Rio-São Paulo, há 
apenas 7 lugares disponíveis e um grupo de 10 
pessoas pretende embarcar nesse voo. De 
quantas maneiras é possível lotar o avião? 
 
7) Após uma reunião de negócios, foram trocados 
um total de 15 apertos de mão. Sabendo que cada 
executivo cumprimentou todos os outros, qual o 
número de executivos que estavam presentes 
nessa reunião? 
 
8) Dados 8 pontos num mesmo plano, 5 deles 
pertencem a uma reta, 3 pertencem a outra e 
nenhum destes pertence simultaneamente às 
duas retas citadas. 
 
a) Quantas retas eles determinam? 
b) Quantos triângulos eles determinam? 
 
9) De quantas maneiras podemos colocar 10 bolas 
em 3 umas, de modo que fiquem 2 bolas na 
primeira uma, 3 bolas na segunda uma e 5 bolas 
na terceira? 
 
 
Exercícios 
 
1) Calcule o valor de: 
a) 𝐶6,4 b) 𝐶4,1 
c) 𝐶7
5 d) 𝐶45,44 
 
2) Quantas equipes de 3 astronautas podem ser 
formadas com 20 astronautas? 
 
3) Um rapaz tem 5 bermudas e 6 camisetas. De 
quantas formas ele pode escolher: 
a) uma bermuda e uma camiseta? 
b) duas bermudas e duas camisetas? 
c) 4 peças quaisquer de roupas, entre as 
bermudas e camisetas. 
 
4) Uma classe tem 24 alunos, sendo 10meninas 
e 14 meninos. De quantos modos podemos 
escolher: 
a) 3 meninos e 2 meninas? 
b) 5 alunos quaisquer? 
c) um menino e uma menina? 
 
5) Numa prova de 10 questões, o aluno deve 
resolver apenas 6. De quantas maneiras 
diferentes ele poderá escolher essas 6 questões? 
 
6) Em um grupo de 10 pessoas estão Anderson e 
Eduardo. Quantas comissões de 5 pessoas 
podemos formar: 
a) em que ambos estejam presentes? 
b) em que nenhum deles esteja presente? 
c) em que apenas um deles esteja presente? 
 
7) Em um grupo existem 5 homens e 6 mulheres. 
De quantas maneiras podemos escolher uma 
comissão de 4 pessoas com: 
a) exatamente 3 homens? 
b) pelo menos 3 homens? 
c) no máximo 1 homem? 
 
8) Uma associação tem uma diretoria formada por 
10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres. De quantas 
maneiras podemos formar uma comissão dessa 
diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres? 
 
 
9) Quantas comissões de 5 elementos podemos 
formar com os 30 alunos de uma classe? 
 
10) De quantos modos podemos formar triângulos 
com 3 dos vértices de um heptágono regular? 
 
11) Considere 10 pontos, sendo 6 na reta r e 4 na 
retas. De quantos modos podemos formar 
triângulos com vértices nesses pontos? 
 
 
 
12) Quantos quadriláteros, de qualquer tamanho, 
existem na figura abaixo? 
 
 
13) Determine o valor de 𝒙 em: 
a) 5 + 𝐶𝑥,2 = 𝑥 + 14 
b) 𝐶𝑥+3,2 = 15 
7. Problemas que envolvem os vários tipos de 
agrupamento 
Exemplos de aplicação 
 
1) Usando os algarismos 5, 6 e 8, quantos 
números de 3 algarismos distintos podemos 
formar? 
 
2) Usando os algarismos 1, 3, 4, 6 e 9, quantos 
números de 3 algarismos distintos podemos 
formar? 
 
 
 
 
3) Quantas comissões diferentes de 3 pessoas 
podemos formar para representar um grupo de 
10 pessoas? 
 
4) Quantos anagramas tem a palavra BANANA? 
 
5) Quantos números naturais de 2 algarismos 
(distintos ou não) podemos formar com os 
algarismos 4, 7, 8 e 9? 
 
6) Usando as 26 letras e os 10 algarismos 
conhecidos, quantas placas diferentes de 
automóvel podem ser feitas de modo que, em 
cada uma, existam três letras (não repetidas) 
seguidas de quatro algarismos (repetidos ou não)? 
Exercícios 
 
1) Determine o valor de 𝒙, sabendo que: 
a) 𝐴𝑥,3 = 24𝐶𝑥−2,2 
b) 𝐶𝑥,24 = 𝐶𝑥,6 
c) 
𝐴𝑥,3
𝐶𝑥,4
= 12 
 
2) Determine o valor de 𝒏 em 
𝐴𝑛,4
𝐴𝑛,3
= 4. 
 
3) Uma menina tem 5 blusas e 4 saias. De quantos 
modos distintos ela pode se vestir? 
 
4) Uma sorveteria oferece 1 O sabores de sorvete. 
Se uma pessoa vai tomar 3 bolas, do mesmo 
sabor ou não, quantas opções diferentes ela tem? 
 
5) Quantos números de 4 algarismos podemos 
escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 
9? 
 
6) Quantos triângulos podemos formar unindo os 
vértices de um octógono? 
 
 
 
 
 
7) A diretoria de um clube é composta de 10 
membros, que podem ocupar a função de 
presidente, secretário ou tesoureiro. De quantas 
maneiras podemos formar, com os 10 membros, 
chapas que contenham presidente, secretário e 
tesoureiro? 
 
8) Num ônibus há 5 lugares. Duas pessoas entram 
no ônibus. De quantas maneiras diferentes elas 
podem se sentar? 
 
9) Numa competição com 10 países, de quantas 
maneiras podem ser distribuídas as medalhas de 
ouro, prata e bronze? 
 
10) Quantos são os anagramas da palavra 
MATEMÁTICA? 
 
11) Sobre uma circunferência são marcados 6 
pontos distintos. Quantos quadriláteros podemos 
traçar com vértices nesses pontos? 
 
12) Quantos subconjuntos de exatamente 4 
elementos podemos formar com um conjunto de 7 
elementos? 
 
13) Considere a palavra LÓGICA: 
a) Quantas permutações (anagramas) podemos 
formar? 
b) Quantos anagramas começam com L? 
c) Quantos começam com LO? 
d) Quantos começam e terminam com vogal? 
e) Quantos começam com consoante e terminam 
com vogal? 
f) Em quantos anagramas as letras L, O, G estão 
juntas, nessa ordem? 
g) Em quantos as letras L, O, G estão juntas? 
 
14) Quantos números de 4 algarismos distintos 
maiores que 2000 podemos formar com os 
algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 
 
15) As placas dos automóveis são formadas por 
três letras seguidas de quatro algarismos. 
Quantas placas podemos criar com as letras A e 
B e os algarismos pares, podendo repetir a letra e 
não podendo repetir o algarismo? 
 
16) As máquinas automáticas de venda foram 
construídas inicialmente para a venda de 
refrigerantes e tomaram-se populares em todo o 
mundo. A maior diversidade dessas máquinas é 
encontrada no Japão, onde elas são empregadas 
na venda não somente de refrigerantes, mas de 
numerosos produtos, de ovos a comida para 
peixe. 
 
Suponha que o preço do refrigerante em uma 
dessas máquinas custe R$ 3,50, e a máquina 
aceite apenas moedas de R$1,00 e R$ 0,50. Se 
você tiver na carteira R$ 5,00 em moedas 
idênticas de R$ 1,00 e R$ 4,00 em moedas 
idênticas de R$ 0,50, quantas sequências de 
moedas podem ser usadas para comprar o 
refrigerante? Considere diferentes as sequências 
(R$ 0,50; R$ 1,00; R$ 1,00; R$ 1,00) e (R$1,00; 
R$ 0,50; R$ 1,00; R$ 1,00). 
a) 20 
b) 10 
c) 6 
d) 16 
e) 21 
 
17) Quantas duplas diferentes podemos formar 
com um grupo de 8 tenistas? 
 
18) Quantos números existem inferiores a 1000 
com algarismos distintos? 
 
19) Num grupo de 20 pessoas há 6 mulheres. 
Quantas comissões de 4 pessoas podem ser 
formadas, de modo que nelas haja pelo menos 
uma mulher? 
 
20) Quantos números de 6 algarismos maiores 
que 540000 podemos formar com os algarismos 1, 
2, 3, 4, 5 e 6? 
 
 
21) Quantos anagramas da palavra ESCOLA têm 
as vogais e as consoantes alternadas? Na 
despedida de um grupo de amigos, 36 abraços 
foram trocados. Sabendo que cada um abraçou 
todos os outros, quantos amigos estavam 
reunidos? 
 
22) Tenho 6 livros diferentes de Português e 6 
diferentes de Matemática. Quero colocar 4 livros 
de Português e 3 de Matemática na prateleira de 
uma estante. De quantas maneiras posso fazer 
isso, de modo que livros da mesma matéria fiquem 
juntos? 
 
23) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos 
números de 3 algarismos distintos maiores que 
340 podemos formar? 
 
24) Quantas comissões de 3 pessoas podem ser 
formadas com 10 pessoas, com uma determinada 
pessoa em todas as comissões? Num plano estão 
marcados 12 pontos, dos quais 5 estão sobre uma 
mesma reta e, dos 7 que estão fora dela, não há 3 
colineares. Quantas retas distintas podemos 
traçar ligando esses pontos 2 a 2? 
 
25) Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números 
de 4 algarismos distintos menores que 4 000 
podemos formar? 
 
26) De quantas maneiras diferentes podemos 
colocar 8 livros em 3 gavetas de modo que fiquem 
2 na primeira gaveta, 3 na segunda e 3 na terceira 
gaveta? 
 
27) De quantas maneiras podemos extrair 5 cartas 
de um baralho de 52 cartas, de modo que em cada 
extração haja pelo menos 1 ás? 
 
28) Quantas diagonais (não das faces) tem um 
cubo? 
 
29) De quantas maneiras é possível colocar 6 
pessoas em fila de modo que duas dessas 
pessoas, Sérgio e Valdir, não fiquem juntas? 
 
 
30) Permutam-se de todas as formas possíveis os 
algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e escrevem-se os números 
formados em ordem crescente. Determine: 
a) que lugar ocupa o número 53179. 
b) qual a soma dos números assim formados. 
 
31) Um chaveiro foi contratado para fazer cópias 
das chaves de 10 salas; ele, entretanto, não as 
etiquetou, e viu-se obrigado a repor as chaves por 
tentativas. Quantas tentativas, no máximo, deverá 
fazer? 
8. Binômio de Newton 
Exemplos de aplicação 
 
1) Efetue o desenvolvimento do binômio em cada 
item: 
a) (𝑥 + 𝑎)5 
b) (2𝑥 − 𝑎)4 
 
2) Qual o valor da soma dos coeficientes do 
desenvolvimento de (3𝑥 − 𝑦)10? 
 
3) Qual o valor de 
 𝑆 = (10
0
) + (10
1
) ∙ 3 + (10
2
) ∙ 32 + ⋯ + (10
9
) ∙ 39 + (10
10
) ∙ 310? 
Exercícios 
 
1) Efetue os seguintes desenvolvimentos: 
a) (𝑥 + 2)5 
b) (𝑎 − 3)4 
c) (𝑥2 − 1)7 
 
2) Qual o valor da soma dos coeficientes obtidos 
no desenvolvimento de (3𝑥− 2𝑦)23? 
 
3) O valor numérico da expressão 𝑥𝑛 +
(𝑛
1
)𝑥𝑛−1𝑦 + (𝑛
2
)𝑥𝑛−2𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑛, para 𝑥 = 𝑦 = 2, 
é: 
a) 2𝑛−1 b) 2𝑛 c) 2𝑛+1 
d) 22𝑛 e) 4𝑛−1 
 
 
20. Termo geral do binômio 
Exemplos de aplicação 
 
1) Qual é o 5º termo do desenvolvimento de 
(𝑥 + 3)5 de acordo com as potências 
decrescentes de 𝑥? 
 
2) Qual é o 6º termo do desenvolvimento de 
(𝑥 − 2)7? 
 
3) Calcule o termo independente de 𝑥 no 
desenvolvimento de (𝑥 +
1
𝑥
)
6
. 
Exercícios 
 
1) Determine: 
a) o 7º termo do desenvolvimento de (𝑥 − 1)9; 
b) o 6º termo do desenvolvimento de (𝑥 − 2𝑎)10; 
c) o 2º e o penúltimo termo do desenvolvimento de 
(𝑥 − 1)20. 
 
2) Determine, quando existir, o termo 
independente de 𝒙: 
a) (𝑥5 +
2
𝑥
)
8
 b) (𝑥 +
2
𝑥
)
5
 c) (𝑥 −
1
𝑥
)
6
 
 
 
3) Qual é o termo em 𝑥6 no desenvolvimento de 
(𝑥 − 1)9? 
 
4) Determine o termo central no desenvolvimento 
de: 
a) (𝑥 − 2)6 b) (𝑥 +
1
3
)
10
 
 
5) Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2º 
e do penúltimo termo do desenvolvimento de 
(𝑥 − 1)80? 
 
6) Qual é o valor do quociente entre os quintos 
termos dos desenvolvimentos de (𝑥 + 2)8 e 
(𝑥 − 2)8? 
 
 
7) Qual é o termo independente do 
desenvolvimento de (𝑥 − 3)8?