2018_2019CADERNOS34

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Caderno A- INTRODUÇÃO À MECÂNICA
Prof. Dr. Cesar Lobo
3. VETORES
3.1 Grandezas escalares e vetoriais.
3.2 Vetores em 3 dimensão.
3.3 Adição e subtração de vetores.
3.4 Produtos entre dois vetores.
3.5 Coordenadas dos vetores.
3.1 Grandezas escalares e vetoriais:
As grandezas escalares são magnitudes enunciadas por um número (quantidade), um sinal e uma
unidade (qualidade). Alguns exemplos de Grandezas escalares: massa m de um corpo, tempo t,
densidade � e trabalho W e as diferentes formas de energia. Quando a grandeza física é de natureza
vetorial, suas magnitudes se associam a uma orientação espacial (ângulo, direção e sentido). São
exemplos de Grandezas vetoriais: velocidade v , força F�, campo gravitacional g� e campos elétrico
E��r�� e magnético B��r��.
Definimos que i�e j�, ou simplesmente i e j, como sendo dois vetores ortogonais entre si e
unitários (versores) capaz de representar uma base de orientação de um plano. Denominamos de
eixos x e y, as respectivas direções dos versores i e j.
Uma grandeza vetorial, por exemplo aceleração, a satisfaz uma álgebra num espaço em 2
dimensões �2D�, figura-10:
Figura-10: Vetor aceleração em 2D.
a � a x � a y
vetor módulo
a � axi � ayj a � ax
2 � ay
2
componente x componente y
ax � a. cos� ay � a. sin�.
3.2 Vetores em 3 dimensão:
Tome por exemplo um vetor posição r e um vetor força F no espaço, figura-11:
Figura-11: Espaço em 3 dimensões �3D�.
1. Vetor r r � x i � y j � zk
2. Vetor F F � Fx i � Fy j � Fz k
3. Vetor simétrico de F �F � �Fx i � Fy j � Fz k
4. Módulo do vetor r r � |� r |� x2 � y2 � z2
5. Módulo do vetor F F � |�F|� Fx2 � Fy2 � Fz2
6. Vetor unitário de r ûr � r� �
x i�y j�z k
x2�y2�z2
7. Vetor unitário de F ûF � F
|F|
�
Fx i�Fy j�Fz k
Fx
2�Fy
2�Fz
2
3.3 Adição e subtração de vetores:
8. Adição de dois vetores F1 � F2
� �Fx1 � Fx2� i
��Fy1 � Fy2� j
��Fz1 � Fz2�k
9. Subtração de dois vetores r 1 � r 2
� �x 1 � x 2� i
��y 1 � y 2� j
��z 1 � z 2�k
3.4 Produtos entre dois vetores:
10. Produto escalar entre r e F W � r F � | r | |F|cos�r�eF�
Produto escalar i i � i2 � 1 � ij � j i � 0
Produto escalar W � r F � xFx � yFy � zFz
11. Produto vetorial entre r e F � � r � F � | r | |F|sin�r�eF� ��
Produto vetorial i � i � 0 � i � j � k � j � i � �k
Produto vetorial � � r � F � det
i j k
x y z
Fx Fy Fz
3.5 Coordenadas dos vetores:
12. Coordenadas polares de F
|F|, arctan
Fx
2�Fy
2
Fz
, arctan Fy
Fx
13. Coordenadas cartesianas de F
Fx � |F|sin�z cos�xy, Fy � |F|sin�z sin�xy, Fz � |F|cos�z
Exercício XIV:
1. Dados os pontos O�0; 0; 0�, P�2;�3; 4� e Q��2; 4; 3�.
�a� Represente no espaço os vetores;
i� p� � �OP ii� q� � �OQ iii� r� � �PQ iv� s� � �QP.
�b� Determine o módulo de p�,q�, r� e s� e um vetor unitário u�x para cada um desses vetores.
2. Dados os vetores p�,q�, r� e s�, :
p� � 2i � 3j � 4k, q� � �2i � 4j � 3k, r� � �4i � 7j � k e s� � 4i � 7j � k.
Determine para esses vetores:
�a� p� � q� � q� � p�. �b� p� � q� � ��q� � p��. �c� 2r� � � 2s�.
�d� 3�p� � q�� � 3p� � 3q�. �e� �p� � q�� � r� � p� � �q� � r��.
3. Dados os vetores:
c� � i � j, d� � 4i � 2j � k, e� � i � 4j � 4k e f� � 3�i � j�.
Determine para esses vetores:
�a� c�d� �b� c��d� �c� O ângulo formado entre c� e d�
�d� Mostre que os vetores c� e f�são paralelos.
�e� Mostre que os vetores d� e e� são perpendiculares.
4. Determine as coordenadas polares �r;�;�� dos vetores d� e e� do exercício 3.
5. Escreva m� � �6; 30o; 60o� e n� � �8; 60o; 30o� em coordenadas cartesianas.
6. Dados os vetores:
Força F� � 3 i � 4 j � 5k [N], posição R� � 8 i � 6 j [m] e deslocamento r� � �3 i � k [m] faça o que
se pede:
�a� Calcule um vetor unitário para o vetor F.
�b� Faça a operação: R� � r�.
�c� Da definição de trabalho, W � r�.F� �J�, calcule o trabalho para r� e F� apresentados.
�d� Da definição de momento de uma força, torque, �� � R��F� �Nm�, calcule esse torque.
7. Considere uma esfera sólida de massa M � 2,3kg e momento de inércia de rotação �I� dado
por I � 12 M R
2 �kgm2�,
calcule esse momento de inércia.
8. Discutir o significado geométrico:
�a� Do produto escalar W � r�.F� .
�b� Do produto vetorial �� � R��F� .
4. MECÂNICA CLÁSSICA
4.1 As interações fundamentais.
4.2 As três Leis de Newton.
4.3 Centro de massa e centro de gravidade.
4.4 Movimento de translação e rotação.
4.5 Conservação de energia.
4.6 As equações da mecânica.
4.7 Sistema Internacional de Unidades (SI).
4.1 As interações fundamentais:
Um dos objetivos principais da física é descrever as forças que um corpo (ou uma partícula)
exerce sobre outro. De forma mais geral fala-se de interação entre dois corpos. Na física newtoniana
conhecíamos as forças mecânicas como a interação gravitacional entre o Sol e a Terra, o peso dos
corpos, as forças nos pêndulos, as forças de contacto entre dois corpos e ainda, entre outras, as forças
elásticas relacionadas com molas. Em seguida, no desenvolvimento do eletromagnetismo,
verificou-se que as forças mecânicas não são fundamentais, mas resultam de forças elétricas entre os
átomos que constituem a matéria. Aliás, até o fim do século XX, pensava-se que as forças elétricas e
as forças magnéticas eram forças distintas. A partir das quatro equações de Maxwell do
eletromagnetismo, sabe-se que estas duas forças estão intimamente ligadas e constituem somente
dois aspectos de um mesmo fenômeno denominado de interação eletromagnética. Chama-se
interação fundamental toda a interação que não pode ser explicada a partir de outra interação.
Conhece-se hoje quatro interações fundamentais: a interação gravitacional, a interação
eletromagnética, a interação fraca e a interação forte. Enquanto os dois primeiros tipos de
interação nos são bastantes familiares as outras duas têm papéis importantes nos processos nucleares
como, decaimento radioativo e colisões nucleares nos acelerados de partículas. A interação forte é
responsável pela coesão dos constituintes nucleares como neutrons e prótons. A interação fraca se
manifesta em certas colisões de partículas como o neutrino que dá origem a desintegração de um
neutron, liberando radiações � do núcleo, nas reações de fissão nuclear.
4.2 As três Leis de Newton.
A Mecânica Clássica está fundamentada em três princípios, conhecidos como as três Leis de
Newton:
1. O Princípio da Inércia. Este princípio estabelece que uma partícula livre, isolada no espaço,
e portanto sem força alguma atuando sobre ela, permanece em repouso ou em M.R.U. (Movimento
Retilíneo Uniforme) em relação a um referencial inercial (não acelerado).
As Leis de Newton são válidadas somentes em referenciais inerciais.
2. O Princípio Fundamental da Dinâmica - O princípio fundamental da dinâmica diz que a
variação do vetor velocidade de uma partícula no tempo, ou seja a sua aceleração a�, é igual à
resultante de todas as forças externas, F�R F�R � �F� , exercidas sobre a partícula, dividida pela sua
massa m, e tem a mesma direção e sentido da força resultante, a� a� � �FR/m . O princípio
fundamental da Dinâmica também pode ser apresentado como:
F�R �
dp�
dt
.
A quantidade p� é definido como momento linear ou quantidade de movimento da partícula p�
�p� � mv��. Sendo que a variação do momento linear é igual ao impulso I� I� � �p� , causado pela
força resultante ao agir na partícula num certo intervalo de tempo
�p� � F�R �t � I�.
3. O Princípio da Ação e Reação. Esse princípio diz que a cada ação corresponde uma reação igual
e oposta.
Considerando a interação entre duas partículas A e B, a força F�AB exercida pela partícula A sobre
B tem o mesmo módulo e sentido contrário da força F�BA que B exerce sobre A, ou seja
F�AB � �F�BA.
4.3 Centro de massa e centro de gravidade:
Na vizinhaça da Terra, o campo gravitacional produz uma aceleração g� que atua em cada uma
das partículas que constitui um corpo e não podemos afirmar que existe uma única força capaz de
produzir o mesmo efeito sobre o corpo. Contudo, para simplificar, podemos considerar a existência
de uma única força gravitacional, equivalente,P� � mg� (peso do corpo), que é uma força resultante
sempre aplicada num bem determinado ponto do corpo chamado de centro de gravidade �C.G. �.
Quando a aceleração local da gravidade �g�� é a mesma em todos os pontos de um corpo, o centro de
gravidade coincide com um ponto denominado de centro de massa �C.M. �.
4.4 Movimento de translação e rotação:
Os movimentos são descritos em relação a um dado referencial e portanto eles não têm um
caracter absoluto. O estado de repouso ou movimento de um objeto é descrito por uma equação de
velocidade:
Repouso � v � 0.
Movimento � v � 0.
As equações de movimento podem ser funções do tempo, aceleração a�t�, velocidade v�t� e
posição x�t�. Conhecendo uma das três das equações de movimento (por exemplo, a equação da
velocidade) podemos obter as outras duas:
a�t� � d
dt
v�t� x�t� � � dt v�t� � xo
Define-se um movimento de translação como o deslocamento de um corpo em cuja trajetória
mantém, em todos os instantes, uma reta-eixo a ele associado sempre paralelo a sua posição inicial.
Define-se um movimento de rotação como o movimento de um corpo em torno de um eixo
(material ou fictício) fixo. O eixo de rotação pode ou não atravessar o corpo. Cada ponto do corpo
em rotação descreve, ao longo do tempo, um círculo cujo centro pertence ao eixo de rotação.
Quando o movimento é curvo qualquer e não uniforme, a direção e a intensidade do vetor
velocidade são modificados continuamente por dois tipos de aceleração: A aceleração linear
(tangencial) tem atuação sempre tangente a trajetória do movimento e é responsável por modificar o
módulo da velocidade. A aceleração radial, perpendicular à velocidade tangencial, é suportada pelo
raio R da curva e dirigida sempre para o centro. No caso de um movimento circular a intensidade da
aceleração radial vale v2/R, aceleração centrípeta, onde v é o módulo da velocidade e R a distância
ao eixo de rotação.
O comportamento da velocidade em relação ao espaço e tempo vai definir o tipo de movimento
executado por um móvel, por exemplo:
Velocidade v�t� Tipos de Movimento
v�t� � vo Movimento Uniforme �MU�
v�t� � vo � a t Mov. Uniformemente Variado �MURV�
��t� � �o � � t Mov. Circular Uniformemente Variado MCUV
v�t� � vmax cos�� t � �� Movimento Harmônico Simples �MHS�
onde,
MU movimento com velocidade vo constante.
MURV movimento com aceleração linear a constante.
MCUV movimento com aceleração angular � constante.
MHS movimento com frequência f constante, �� � 2	 f�.
4.5 Conservação de energia:
A energia alimenta o movimento, as transformações e as transmutações que ocorrem na matéria.
A energia se manifesta em muitas formas desde o calor que emana da madeira em chamas até a
velocidade da água que escorre morro abaixo. Quando empurramos um carrinho no supermercado,
ele se move para frente porque entregamos para ele energia que é produzida por substâncias
químicas em combustão em nossos corpos e transmitidas pela nossa por força muscular. Quando
arremessamos uma bola também estamos transformando energia química em movimento. A energia
solar que provém das reações nucleares, que o ocorrem no interior do Sol, criação do hélio através da
fusão de hidrogênios. O calor como reflexo das vibrações moleculares. O armazenamento de energia
elástica por uma barra metálica quecida.
A energia pode se transformar de um tipo em outro mas, nunca é criada ou destruída. Ela sempre
se conserva como um todo.
No começo do século XVII Galileu Galilei fez experimentos com um pêndulo oscilante. Galileu
percebeu que havia equilíbrio entre a velocidade com que o prumo do pêndulo se movia no ponto
central do arco de oscilação e a altura que o prumo atingia no fim do arco descrito. Quanto mais alto
se soltava o prumo mais rápido ele passava pelo centro e sempre terminando a uma altura similar no
outro lado.
Em condições ideais consideramos o pêndulo sem atrito, como um sistema isolado onde só
atuam forças internas internas (peso do prumo e tensão na corda). Quando podemos desprezar as
forças dissipativas como o atrito, sobram somente forças conservativas para movimentar um corpo
entre duas posições. Para as forças conservativas define-se uma energia potencial de posição, no caso
do pêndulo a energia potencial gravitacional associada a altura do prumo em relação ao chão.
Ao longo de um ciclo completo de oscilação do pêndulo, a energia mecânica se mantém
constante mas, passa por transformações entre energia potencial gravitacional e energia cinética
associada ao movimento.
4.6 As equações da mecânica:
1. Cinemática de translação
Vetor posição r��t�
Velocidade linear (ou tangencial) v��t� � d
dt
r��t�
Aceleração linear (ou tangencial) a��t� � d
dt
v��t�
2. Cinemática de rotação
Vetor posição angular �	�t�
Velocidade angular ���t� � d
dt
�	�t�
Aceleração angular ���t� � d
dt
���t�
3. A 2a Lei de Newton para a translação
Massa (inércia de translação) m
Momento de translação (quantid. de mov.) p� � mv�
Força e a 2
a
Lei de Newton �F� � ma� � d
dt
p��t�
4. A 2a Lei de Newton para a rotação
Inércia de rotação I � I�m , r2�
Momento de rotação L� � I ��
Torque e a 2
a
Lei de Newton ��� � I�� � d
dt
L��t�
5. Relações importantes: �� � r� F�
S � 	 r
v � � r
� � �2r
6. Equilíbrio
Condições de equilíbrio de translação �F� � 0
Condições de equilíbriode rotação ��� � 0
7. Dinâmica de translação
Trabalho W � �dr�F�
Energia cinética K � 12 mv
2
Teorema trabalho-energia W � �K
8. Dinâmica de rotação
Trabalho W � �d	� ��
Energia cinética K rot. �
1
2 I�
2
Teorema trabalho-energia W � �K rot.
9. Força dissipativa
Atrito f � 
N
Energia mecânica dissipada W � f.�x
10. Forças conservativas Energia potencial
F�x� � � d
dx
U�x� U�x� � � �dx F�x�
F � �kx U�x� � 12 k x
2
F � �G mM
x2
U�x� � GmMx
F � mg U�x� � mgx
11. Conservação da energia mecânica
Emj � Kj � Uj�x� � const.
�Em � Emf � Emi
�Em � �K � �U�x� � 0
�K � ��U�x�
W � �K
W � ��U�x�.
12. Potência
Potência média P � �W
�t
Potência instantânea P�t� � dW
dt
� F v�t�
4.7 Sistema Internacional de Unidades (SI):
É conveniente selecionar o menor número possível de unidades de medidas diferentes para
definir um sistema de unidades. Um sistema aceito internacionalmente é definido pelo conjunto das
seguintes unidades:
O metro �m� para o comprimento.
O segundo �s� para o tempo.
O quilograma �kg� para a massa.
O ampère �A� para a intensidade de corrente elétrica.
O kelvin �K� para a temperatura.
O candela �cd� para a intensidade luminosa.
O mol �mol� para a quantidade de matéria.
Com as sete unidades fundamentais definidas no (SI) medimos grandezas como:
A velocidade em metro por segundo �m/s�
A aceleração em metro por segundo ao quadrado �m/s2�;
A força em newton �N� onde, 1N � 1kg. 1m/s2;
O trabalho em joule �J� onde, 1J � 1N. 1m;
A potência em watt �W� onde, 1W � 1J/1 s e muitas outras.
Múltiplos e submúltiplos das unidades:
múltiplo símbolo valor submúltiplo símbolo valor
tera T 1012 deci d 10�1
giga G 109 centi c 10�2
mega M 106 mili m 10�3
quilo k 103 micro 
 10�6
hecto h 102 nano n 10�9
deca da 101 pico p 10�12
Unidades em outros sistemas:
Massa 1utm � 9,8kg
Força/Peso din � g.cm/s2 1din � 10�5N
kgf � utm.m/s2 1kgf � 9,8N
Energia/Trabalho erg � din.cm 1 erg � 10�7J
kgm � kgf.m 1kgm � 9,8J
Potência kgm/s 1kgm/s � 9,8 W
Cavalo-Vapor 1CV � 736 W
Unidades especiais:
O angström �1Ao � 10�10m� muito usado em biologia.
O elétron-volt �1eV � 1,6�10�19J� muito usado quando se trata com energias eletromagnéticas.