Lista de Exercícios 1 - Espaço Vetorial

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1o Lista de Exerćıcios – GEX251 - Introdução à Álgebra Linear
Exerćıcio 1 Mostre que o seguinte conjunto é espaço vetorial:
a) O conjunto M2(R) das matrizes 2× 2 com as operações de adição e multiplicação
por escalar usuais de matrizes.
b) O conjunto P3(R) = {a0 + a1x+ a2x2 + a3x3; a0, a1, a2, a3 ∈ R} dos polinômios de
grau menor ou igual até 3 com as operações de adição e multiplicação por escalar
usuais de polinômios.
c) O conjunto V = {(x, y) ∈ R2; x > 0, y > 0} com as operações de adição e multi-
plicação por escalar definidas em u = (u1, u2) e v = (v1, v2) por
u⊕ v = (u1v1, u2v2) e a� u = (ua1, ua2).
Exerćıcio 2 Explique por que o conjunto R2 NÃO é espaço vetorial com as operações
de adição e multiplicação por escalar definidas em u = (u1, u2) e v = (v1, v2) por
u + v = (u1 + v1, u2 + v2) e au = (au1, 0).
Exerćıcio 3 Verifique se o conjunto é espaço vetorial. Caso não seja, explique qual
axioma(s) que falha(m) (por exemplo, o conjunto não é fechado com a adição, ou não
vale a associatividade...).
a) V = {(x, y) ∈ R2; y = 2x} com as operações usuais de adição e multiplicação por
escalar de R2.
b) V = R2 com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
u = (u1, u2) e v = (v1, v2) por
u + v = (u1 + v1 + 1, u2 + v2 + 1) e au = (au1, au2).
Neste item, indique o elemento neutro O da operação adição e o elemento oposto
(−u) de um vetor u qualquer.
c) V = {(x, y, 0); x, y ∈ R} com as operação de adição e a multiplicação por escalar
definida por
(x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) e α(x1, y1, z1) = (αx1, αy1, 0), para
α ∈ R.
d) O conjunto das n-uplas da forma (x, x, . . . , x) com as operações usuais de Rn.
e) V = {(x, y, z, w) ∈ R4; w = 1} é um espaço vetorial com as operações usuais de
soma e multiplicação por escalar de R4.
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Exerćıcio 4 Verifique se o conjunto V = R2 é um espaço vetorial com as operações:
(x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y1,−x1 + y1).
a(x1, y1) = (3ax1,−ay1).
Exerćıcio 5 Verifique se o conjunto V =
{(
a b
c 0
)
; a, b, c ∈ R
}
é um espaço vetorial
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar das matrizes M2(R).
Exerćıcio 6 Seja V um espaço vetorial. Dados dois vetores u, v ∈ V , define-se u− v =
u+(−v). Considere V = R3 espaço vetorial com soma e multiplicação por escalar usual.
Sejam u = (1, 2, 1), v = (3, 1,−2) e w = (4, 1, 0).
a) Calcule 2u+ v − 3w.
b) Resolva a equação 3u+ 2x = v + w com respeito a x.
c) Resolva o sistema de equações
{
u+ y = v + z
v + 2z = y
, na incógnitas y, z ∈ R3
Propriedades de um Espaço Vetorial (para conhecimento).
Seja V um espaço vetorial com operação adição denotada por “ + ” e multiplicação
por escalar denotada por “ · ”. O elemento neutro será representado por O. Temos as
seguintes propriedades.
a) Para todo α ∈ R, α ·O = O. (ie, multiplicar o elemento neutro resulta no elemento
neutro).
b) Para todo u ∈ V , 0 · u = O. (ie, zero vezes um vetor resulta no elemento neutro).
c) Temos λ · u = O, com λ ∈ R e u ∈ V se, e somente se, u = O ou λ = 0.
d) Para todo u ∈ V , −1 · u = −u. (ie, -1 vezes um vetor resulta no elemento oposto
do vetor).
Abaixo está um guia da demonstração da propriedade a).
Exerćıcio 7 A demonstração da propriedade a) é feita da seguinte maneira. Explique
cada linha.
α ·O = α · (O + O) Usou o fato que O = O + O
α · (O + O) = α ·O + α ·O
Então α ·O = α ·O + α ·O. Seja −α ·O o vetor oposto a α ·O.
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α ·O + (−α ·O) = (α ·O + α ·O) + (−α ·O)
α ·O + (−α ·O) = α ·O + (α ·O + (−α ·O))
O = α ·O + O
O = α ·O
Use o mesmo racioćınio acima para provar a propriedade b).
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