Lista de Exercícios 3 - Subespaço Gerado e Combinação Linear

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3o Lista de Exerćıcios – GEX251 - Introdução à Álgebra Linear
Exerćıcio 1 Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = (0,−2, 2) e
v = (1, 3,−1).
a) (2, 2, 2).
c) (3, 1, 5).
b) (0, 4, 5).
d) (0, 0, 0).
Exerćıcio 2 Expresse os seguintes vetores como combinações lineares de u = (2, 1, 4),
v = (1,−1, 3) e w = (3, 2, 5).
a) (−9,−7,−15).
c) (6, 11, 6).
b) (0, 0, 0).
d) (7, 8, 9).
Exerćıcio 3 Em cada item, expresse o vetor como uma combinação linear
de p(x) = 2 + x + 4x2, q(x) = 1− x + 3x2 e r(x) = 3 + 2x + 5x2.
a) −9− 7x− 15x2.
c) 6 + 11x + 6x2.
b) 0.
Exerćıcio 4 Em cada item, verifique se os vetores geram R3.
a) v1 = (2, 2, 2), v2 = (0, 0, 3), v3 = (0, 1, 1).
b) v1 = (3, 1, 4), v2 = (2,−3, 5), v3 = (5,−2, 9), v4 = (1, 4,−1).
c) v1 = (2,−1, 3), v2 = (4, 1, 2), v3 = (8,−1, 8).
Exerćıcio 5 Verifique se os vetores estão no subespaço gerado [v1, v2, v3], nos quais
v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3,−1, 5, 2) e v3 = (−1, 0, 2, 1).
a) (2, 3,−7, 3).
c) (−4, 6,−13, 4).
b) (1, 1, 1, 1).
Exerćıcio 6 Escreva os vetores abaixo como combinação linear de f(x) = cos(x)2 e
sen(x)2 no espaço vetorial das funções reais.
a) 0.
c) 1.
b) cos(2x).
1
Exerćıcio 7 Explique por que o conjunto de vetores dado é LD.
a) v1 = (−1, 2, 4), v2 = (5,−10,−20) em R3.
b) v1 = (3,−1), v2 = (4, 5), v3 = (−4, 7) em R2.
c) p(x) = 3− 2x + x2, q(x) = 6− 4x + 2x2 em P2(R).
d) A =
(
−3 4
2 0
)
e B =
(
3 −4
−2 0
)
em M2(R).
Exerćıcio 8 Verifique se o conjunto de vetores abaixo é LI ou LD. Em caso de ser LD
de exemplo de coeficientes não-nulos.
a) (−3, 0, 4), (5,−1, 2) e (1, 1, 3) em R3.
b) (3, 8, 7,−3), (1, 5, 3,−1), (2,−1, 2, 6) e (1, 4, 0, 3) em R4.
c) 2− x + 4x2, 3 + 6x + 2x2, 2 + 10x− 4x2 em P2(R).
Exerćıcio 9 Em cada item, determine se os três vetores estão no mesmo plano em R3.
a) (−1, 2, 3), (2,−4,−6) e (−3, 6, 0).
b) (2,−1, 4), (4, 2, 3) e (2, 7,−6).
Exerćıcio 10 Seja V um espaço vetorial. Mostre que um conjunto de vetores {v1, . . . , vr} ⊂
V que contenha o vetor nulo O é sempre LD.
Exerćıcio 11 Seja V um espaço vetorial.
a) Mostre que um conjunto de vetores {v1, . . . , vr} ⊂ V que contenha o vetor nulo O
é sempre LD.
b) Quando que um conjunto contendo somente um vetor é LD?
c) Mostre que se {v1, v2, v3} é um conjunto LI então {v1, v2}, {v2, v3}, {v1, v3}, {v1},
{v2} e {v3} também são conjuntos LI.
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