OPA_MATEMATICA 2º ANO 3º BIMESTRE

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Orientação para Planos 
de Aulas (OPA) 
Matemática 
Desafios em matemática discreta e geometria para os 
alunos avançarem em seus conhecimentos
2º ano/3º bimestre
Uma parceria entre a SED/SC e 
o Instituto Ayrton Senna
 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 2
Introdução
Caro(a) professor(a), 
Neste programa de educação integral, a proposta de Matemática prevê que a ação dos 
estudantes em aula além de criar oportunidades para que os jovens ganhem habilidades e 
conhecimentos matemáticos básicos, também desenvolva as capacidades de letramento 
matemático de que todos precisam em suas vidas. 
A proposta de Matemática tem por objetivo ainda incutir nos jovens uma apreciação da 
elegância e poder do raciocínio matemático. Desejamos que percebam que as ideias 
matemáticas evoluíram juntamente com as culturas durante milhares de anos, e estão em 
constante desenvolvimento. A proposta visa ao desenvolvimento da compreensão 
matemática, do pensamento analítico e de habilidades de resolução de problemas. Essas 
capacidades habilitam os estudantes a responder a situações familiares e não familiares 
pelo uso de estratégias matemáticas para a tomada consciente de decisões e o 
enfrentamento de problemas de maneira eficiente.
Desejamos também que todos os jovens estudantes se beneficiem do acesso ao raciocínio 
matemático por meio um estudo que equilibre habilidades e conceitos, bem como 
competências cognitivas e socioemocionais. A proposta encoraja o professor a ajudar seus 
estudantes a se tornarem motivados e confiantes para aprender por meio da investigação e 
Su
m
ár
io
Introdução p. 2
Quadro de competências e conteúdos p. 8
Mapa das atividades p. 9 
Quadro-síntese das atividades p. 10
2º ano/3º bimestre
Orientação para Planos de Aulas
(OPA) 
Matemática 
Desafios em matemática discreta e geometria para os alunos 
avançarem em seus conhecimentos
Uma parceria entre a SED/SC e 
o Instituto Ayrton Senna 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 3
participação ativa em experiências diversificadas. Desse desejo nascem alguns objetivos 
importantes, de modo a garantir que os estudantes: 
Sejam confiantes, criativos e comunicadores em Matemática, capazes de investigar, 
representar e interpretar situações diversas. 
Desenvolvam uma compreensão crescente dos conceitos matemáticos sendo capazes 
de propor e resolver problemas e de raciocinar diferentes campos da Matemática. 
Reconheçam a conexão entre as áreas da Matemática e outros componentes, e 
apreciem a Matemática sentindo-se capazes de aprendê-la. 
Para atingir esses objetivos fizemos opção por valorizar alguns aspectos em especial, seja 
no que diz respeito às competências que desejamos que os estudantes adquiram ao longo 
do Ensino Médio, seja no que diz respeito à forma de conduzir o trabalho em aula. 
Falando da forma de ensinar para que todos aprendam
Na proposta de Matemática deste programa reconhecemos a diversidade que existe entre 
os jovens para aprender Matemática. Acreditamos que eles podem e merecem a 
oportunidade de aprender esse componente. Também sabemos que a aprendizagem em 
Matemática não ocorre necessariamente da mesma maneira para todos, com os mesmos 
recursos e nos mesmos intervalos de tempo. Sendo assim, os diferentes estilos de 
aprendizagem exigem o uso de uma variedade de ferramentas e estratégias didáticas e 
avaliativas para garantir uma aprendizagem de qualidade aos jovens. As atividades 
propostas visam desafiar os estudantes incluindo expectativas que exijam o uso de 
habilidades de pensamento de ordem superior e o estabelecimento de conexões entre 
conceitos matemáticos relacionados e entre matemática, outros componentes curriculares e
o mundo real. 
Com as propostas apresentadas nas orientações para aprendizagem desejamos apoiar o 
jovem a construir uma sólida base conceitual em Matemática que permita aplicar seu 
conhecimento e promover seu aprendizado. Apostamos na ideia de que os estudantes
aprendem Matemática com mais eficácia quando damos a eles oportunidades de investigar 
ideias e conceitos por meio da resolução de problemas propiciando que compreendam os 
princípios matemáticos envolvidos nas diversas atividades selecionadas para as sequências 
didáticas.
Reconhecendo que os estudantes precisam de uma base conceitual sólida em Matemática 
para desenvolver e aplicar seus conhecimentos de forma eficaz, os professores se esforçam 
para criar um ambiente em sala de aula que desperte o interesse dos estudantes, 
proporcionando inúmeras oportunidades para que eles desenvolvam sua capacidade de 
resolver problemas, raciocinar matematicamente e relacionar a Matemática que estão 
aprendendo a contextos mais amplos. Por isso nos valemos de jogos, leituras, aulas 
invertidas, trabalho em duplas, grupos ou individuais e mesmo o uso de materiais 
manipulativos e o livro didático. 
Comunicação em Matemática 
A Matemática é uma ferramenta de aprendizagem poderosa. À medida que os estudantes
identificam relações entre conceitos matemáticos e situações cotidianas e estabelecem 
conexões entre a Matemática e outros assuntos, eles desenvolvem a capacidade de usar 
Matemática para ampliar e aplicar seu conhecimento em outras áreas do conhecimento, 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 4
bem como ampliam formas de pensar, analisar e tomar decisões em diferentes situações 
dentro e fora da escola. 
Os estudantes desenvolvem a habilidade de fazer escolhas, interpretar, formular, modelar e 
investigar situações problema, e comunicar resoluções de maneira eficaz. Os estudantes 
formulam e resolvem problemas quando usam a Matemática para representar situações não 
familiares e significativas, quando planejam investigações e suas abordagens, quando 
aplicam suas estratégias já existentes na busca de soluções, e quando verificam que suas 
respostas são razoáveis.
Mais do que o domínio de habilidades básicas, o ensino de Matemática deve fornecer um 
meio de comunicação conciso e poderoso. As estruturas, operações, processos e linguagem 
matemática quando aprendidas, propiciam um arcabouço e ferramentas para raciocinar,
justificar conclusões e expressar ideias de maneira clara. 
Assim, para além da resolução de problemas, temos enfatizado a capacidade de 
comunicação matemática, visando que os estudantes deste programa de desenvolvimento 
integral saibam ler textos matemáticos, consigam utilizar a linguagem matemática quando 
precisarem explicar ou justificar algo oralmente ou por escrito, ampliem seu conhecimento a 
respeito de como e quando utilizar uma determinada representação matemática, passando 
de um recurso ao outro, sabendo discernir entre a representação mais ou menos adequada 
a cada situação. Nesse sentido, é importante que os jovens compreendam que os símbolos 
matemáticos são parte de uma linguagem, com função comunicativa e que seu uso facilita a 
resolução de diferentes tipos de problema.
Comunicação é o processo de expressar ideias e compreensão matemáticas oralmente, 
visualmente e por escrito, utilizando números, símbolos, imagens, gráficos, diagramas e 
palavras. Os estudantes se comunicam com várias finalidades e para diferentes públicos, 
tais como o(a) professor(a), um colega, um grupo de estudantes, ou toda a classe. A
comunicação é um processo essencial na aprendizagem da matemática. Por meio da 
comunicação, os estudantes são capazes de refletir e esclarecer suas ideias, sua 
compreensão das relações matemáticas e seus argumentos matemáticos.
Há várias oportunidades na sala de aula para ajudar os estudantes a se comunicarem. Por 
exemplo, é possível:
Exemplificar raciocínio matemático pensando em voz alta e incentivando os estudantes apensar em voz alta. 
Exemplificar o uso adequado de símbolos, vocabulário e anotações em forma oral, visual 
e escrita. 
Garantir que os estudantes comecem a usar novo vocabulário matemático quando ele é 
introduzido (por exemplo, com o auxílio de um mural com palavras, fornecendo 
oportunidades para ler, questionar e discutir). 
Fornecer retorno aos estudantes a respeito do uso de terminologia e convenções da 
linguagem matemática. 
Incentivar a conversa em cada fase do processo de resolução de problemas. 
Fazer perguntas de esclarecimento e ampliação e incentivar os estudantes a fazer tipos 
semelhantes de perguntas. 
Fazer perguntas abertas aos estudantes relacionadas aos tópicos ou informações (por 
exemplo, “como você sabe”? “por quê”? "e se ... ?", "que padrão você está vendo?", “isto é 
sempre verdade?"). 
Exemplificar formas em que vários tipos de perguntas podem ser respondidas. 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 5
Incentivar os estudantes a pedir esclarecimentos quando não têm certeza ou não 
entendem alguma coisa.
Uma comunicação eficaz em sala de aula requer um ambiente favorável e respeitoso em 
que todos os membros da classe se sintam confortáveis quando falam e quando 
questionam, reagem e exploram as declarações de seus colegas e do(a) professor(a). 
A capacidade de fornecer explicações eficazes e a compreensão e aplicação da correta 
notação matemática no desenvolvimento e na apresentação de ideias e soluções 
matemáticas são aspectos fundamentais da comunicação eficaz na Matemática. 
Em cada uma das sequências didáticas que apresentamos nos diferentes bimestres, temos 
enfatizado esses aspectos de modo integrado, ora com ênfase mais para um ou outro, mas 
contemplando todos no conjunto de vivências propostas.
Por isso, é bem importante estar atento a não ignorar algumas propostas não tão habituais 
das aulas de Matemática, e que são valorizadas em nossa proposta, como produzir textos, 
fazer uma roda de conversa após um jogo ou conduzir com os estudantes registros de aula 
no caderno. Embora possa parecer que essas atividades sejam demoradas, que tirem o 
lugar de alguns exercícios, elas são de alta relevância para o desenvolvimento das 
competências cognitivas associadas à Matemática e das não cognitivas que se associam 
para formar o jovem protagonista, meta deste programa.
Mantenha foco na avaliação 
No bimestre anterior apresentamos o desafio de avaliar os estudantes em aspectos 
socioemocionais presentes na Matriz de Competências e que são metas desta proposta 
curricular de Ensino Médio. Propusemos, para esse desafio, que você se organizasse com 
um caderno de anotações para os registros de suas observações. 
Neste bimestre, desejamos que você analise alguns aspectos que podem demonstrar 
evolução no domínio de habilidades matemáticas que vão além do conteúdo, quais sejam, a 
comunicação matemática e a capacidade de resolver problemas.
Novamente afirmamos que a observação direta dos estudantes e de suas produções é 
central para podermos compreender a evolução dos estudantes na direção de ações 
matemáticas cada vez mais avançadas. Também sabemos que nem sempre é possível 
observar todos, mas se a cada aula você se organizar para observar três ou quatro jovens e 
mantiver isso anotado, em poucas semanas todos os seus estudantes terão sido 
acompanhados por você. Com o tempo essa prática se tornará cada vez mais simples e 
imprescindível em sua tomada de decisões sobre se deve avançar com as atividades, 
retomar algumas delas, inserir aulas para resolver dúvidas e dificuldades dos estudantes. 
Ou seja, o registro é a coleta de dados que permite decisões refletidas e não apenas 
espontâneas pela sensação gerada por sua percepção em situações críticas e esporádicas. 
Neste bimestre queremos sugerir que você observe: 
Uso da linguagem matemática oral e escrita. 
Leitura de texto. 
Capacidade de argumentar ou justificar soluções/respostas de problemas. 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 6
Fica nossa sugestão para que você saiba em que situações pode observar tais habilidades 
em seu estudante: nas atividades realizadas individualmente (escreve com clareza, é capaz 
de ler um problema e resolver, nos trabalhos em grupo e mesmo nos momentos de 
socialização com todos os estudantes usa a linguagem e os termos matemáticos; está mais 
preocupado em utilizar nomenclatura específica oralmente e por escrito; dá ou pede 
explicações oralmente quando necessário justificando seu ponto de vista ou suas decisões.
Como propusemos antes, é necessário informar aos estudantes que serão avaliados nesses 
aspectos, já que as diferentes atividades propostas ao longo deste bimestre permitem ao 
professor essas avaliações. E o resultado delas deve ser transmitido a eles imediatamente, 
pois a dinâmica de observação permite esse retorno rápido. No entanto, é necessário cuidar 
da forma de apresentar essas análises aos estudantes, ou seja, individualmente e em sigilo, 
no sentido de auxiliá-los a reconhecerem falhas em suas ações e poderem se aprimorar. 
Desse modo, você poderá qualificar cada vez mais seu olhar para os estudantes.
Lembre-se de que sua gestão de aula é determinante para que os estudantes evoluam nos 
aspectos que propusemos serem observados. Por isso, pense: os jogos têm sido 
realizados? Os estudantes são chamados a justificar suas resoluções estando elas corretas 
ou incorretas? Os erros estão sendo analisados? Os estudantes podem trabalhar em 
pequenos grupos? Você propiciou um ambiente de liberdade de expressão para seus 
estudantes? Todos puderam ouvir e falar nas aulas? Como você procurou envolver aqueles 
que demonstravam falta de iniciativa?
Em síntese desejamos deixar claro que a cada ação pedagógica, a cada escolha 
metodológica que o professor faz há uma reação de aprendizagem. Observe isso ao longo 
do bimestre para fazer a gestão do ensino integrada com a gestão da aprendizagem de 
seus estudantes. 
O que você pode registrar sobre sua gestão da sala de aula:
Você envolveu todas as duplas ou grupos na tarefa de buscarem uma solução para as 
atividades propostas? 
Você propiciou um ambiente de liberdade de expressão?
Todos foram estimulados a participar se sentiram ouvidos por você?
Como você procurou envolver aqueles que demonstravam falta de iniciativa?
O que tem a dizer sobre seus estudantes para os demais professores da área ou da 
escola? Que informações são importantes registrar pensando no próximo Conselho de 
Classe?
Aprendeu algo ao observar e fazer anotações sobre os estudantes? O que destacaria 
como uma aprendizagem sua?
Lembre-se:
Para não perder todas as informações, você pode manter um diário de bordo, isto é, um 
caderno de anotações das observações feitas com e a respeito dos jovens. 
Essas observações não valem nota, mas, se desenvolvidas as habilidades, ajudamos 
os jovens a serem melhores como estudantes e pessoas. Trata-se de um duplo olhar: para 
o conteúdo de Matemática, porque afinal os estudantes precisam saber bem essa ciência, 
e também para as atitudes deles frente ao conhecimento, às pessoas e a si mesmos. 
Contamos com você, professor!
Para saber mais 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 7
BRASIL, Ministério da Educação/Diretoria de concepções e orientações para a Educação 
Básica/Coordenação Geral de Ensino Médio. Ensino Médio Inovador. Disponível em: 
www.mec.gov.br. Acesso em: nov. 2017.
BRASIL, Ministério da Educação/Secretaria de Educação Média e Tecnológica. 
PCN+Ensino Médio: orientações educacionais complementares aos Parâmetros 
Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/Semtec, 2002. Disponível em: www.mec.gov.br.
Acesso em: nov. 2017.
ESCÁMEZ, J. e GIL,R. O protagonismo na educação. Porto Alegre: Artmed, 2003.
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática Ensino Médio. v. 2. São Paulo: Saraiva, 2012.
SPRENGER, M. Memória: como ensinar para o estudante lembrar. Porto Alegre: Artmed, 
2008. 
VILA, Antoni; CALLEJO, María Luz. Matemática para aprender a pensar. Porto Alegre: 
Artmed, 2011.
WALLE, John A. Van de. Matemática no Ensino Fundamental, Formação de Professores e 
Aplicação em Sala de Aula. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.
Macrocompetências em foco
Autogestão – Colaboração – Curiosidade investigativa – Resolução de problemas – 
Comunicação.
Metodologias integradoras
As atividades promovem integração entre estudantes e educadores e entre eles e a 
concepção de ensino do componente curricular, com base na aprendizagem colaborativa e 
na problematização, conceitos que, por sua vez, favorecem e estimulam oportunidades de 
integrar conteúdos de todas as áreas de conhecimento.
Atividades
As ações propostas, para as quais prevemos 28 aulas, não contemplam o total das aulas do 
bimestre, porque continuamos deixando em média uma aula por semana livre para o 
professor retomar e realinhar as atividades, atendendo tanto aos ritmos de aprendizagem de 
cada estudante e turma, quanto aos acertos necessários no tempo em função de possíveis 
feriados e atividades planejadas pela escola. 
As sequências didáticas propostas para o bimestre compreendem resolução de problemas, 
cálculo mental com foco em medidas, números inteiros e álgebra, estudo de matrizes,
revisão de noções relativas ao círculo, problemas envolvendo pirâmides e cones. 
As noções e conceitos apresentados nas sequências didáticas atendem aos princípios 
trazidos pela Matriz de Competências para o Século 21, especialmente a gestão da 
aprendizagem, o enfrentamento de resolução de problemas, a resiliência, a cooperação e a 
autogestão.
Nos quadros que se seguem apresentamos o conjunto de sequências didáticas (SD) e a 
síntese das atividades, cuja descrição, mais adiante, traz objetivos e comentários para o 
planejamento das aulas. 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 8
Quadro de competências e conteúdos
Matemática
Matriz de 
competências do 
Enem
Competência de 
área 2 - Utilizar o 
conhecimento 
geométrico para 
realizar a leitura e
a representação da 
realidade e agir 
sobre ela.
Competência de área 
3 - Construir noções 
de grandezas e 
medidas para a
compreensão da 
realidade e a solução 
de problemas do 
cotidiano.
Competência de área 5 -
Modelar e resolver 
problemas que envolvem 
variáveis
socioeconômicas ou 
técnico-científicas, 
usando representações 
algébricas.
Competências do 
Enem comuns a 
todas as áreas
Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa 
e fazer uso das linguagens matemática, artística e científica e das 
línguas espanhola e inglesa. 
Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, 
interpretar dados e informações representados de diferentes formas, 
para tomar decisões e enfrentar situações-problema. 
Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas 
em diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações 
concretas, para construir argumentação consistente.
Matriz de 
Competências 
para o Século 21 
(cognitivas e 
socioemocionais)
Autogestão – Colaboração – Curiosidade investigativa – Resolução de 
problemas – Comunicação
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 9
Mapa das Atividades
Matemática
Nome Conteúdos Objetivos Duração 
prevista Página
Sequência 
Didática
1 
RESOLUÇÃO 
DE 
PROBLEMAS
Leitura e 
interpretação de 
problemas;
Problemas não 
convencionais;
Visualização 
espacial;
Estratégias para 
resolver 
problemas.
Ler problemas de texto.
Identificar os dados necessários 
para a resolução de problemas. 
Identificar a situação proposta, bem 
como os dados para sua resolução. 
Criar uma ou mais estratégias de 
resolução e as colocar em prática. 
Comunicar por escrito ou oralmente 
a estratégia utilizada para resolver 
um problema. 
Participar das discussões da 
resolução dos problemas propostos. 
Ter iniciativa para resolver 
problemas. 
Utilizar argumentos adequados para 
analisar resoluções de problemas.
6 aulas p.12 
Sequência 
Didática
2
CÁLCULO 
MENTAL
Números 
inteiros;
Medidas 
superfície;
Resolução de 
sistemas de 
equações.
Realizar operações com inteiros. 
Resolver sistemas de equações de 1º 
grau mentalmente. 
Fazer cálculos com transformações 
de medidas de superfície.
10 a 15 
minutos 
duas vezes 
por semana
p.21 
Sequência 
Didática
3 
PIRÂMIDES E 
CONES
Círculo;
Pirâmide;
Cone;
Área total e 
volume de 
pirâmide e cone.
Identificar raio e diâmetro em um 
círculo, estabelecendo relação entre 
eles. 
Resolver problemas envolvendo 
cálculo da área do círculo e 
comprimento da circunferência. 
Identificar planificação de pirâmides 
ou cones retos. 
Estabelecer relação entre o volume 
de pirâmide e o de um prisma com 
mesma área da base e mesma 
altura. 
Estabelecer relação entre o volume 
de cone e o de um cilindro com 
mesma área da base e mesma 
altura. 
Resolver problemas simples 
envolvendo o cálculo da área e do 
volume de pirâmides e cones. 
Utilizar o vocabulário geométrico 
correspondente aos conceitos 
estudados.
13 aulas p. 23 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 10
 
 
Fazer deduções locais e as expressar
oralmente ou por escrito. 
Ler textos relativos aos conceitos 
estudados.
Sequência 
Didática
4 
CARA A CARA 
DE 
POLIEDROS
Poliedros;
Linguagem 
geométrica,
Associar um poliedro às suas 
propriedades relativas a faces, vértice
e arestas.
Utilizar vocabulário geométrico. 
Associar um poliedro à sua 
planificação e vice-versa.
4 aulas p.28 
Sequência 
Didática
5 
MATRIZES Matrizes, 
sistemas 
lineares.
Resolver um sistema linear 2 x 2.
Identificar e representar os 
diferentes tipos de matrizes. 
Efetuar cálculos de adição, 
subtração, multiplicação por um 
número real e multiplicação entre 
matrizes. 
Resolver problemas utilizando as 
operações com matrizes e a 
linguagem matricial.
16 aulas p.31 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 11
Quadro-síntese das atividades 
A distribuição de aulas no mês computa possíveis feriados e aulas livres.
5º mês
Aula
1ª Semana 2ª Semana 3ª Semana 4ª Semana
1 
SD 1- Problemas 
1 e 2
Ficha 1
SD 3- Pirâmides 
e cones
Ficha 8
SD2- Ficha 1-
Propostas 3 e 4
SD 3- Pirâmides 
e cones
Fichas 9 e 10
SD 3- Finalização
Combinar 
elaboração do 
material do jogo 
da SD 4- Ficha 
122 SD 2- Ficha 5, 
Propostas 1 e 2
SD 3- Pirâmides 
1e cones
Ficha 7
3
SD 5- Matrizes4 
SD5- Ficha 13
 1Lembre-se de que há duas aulas desta sequência previstos para EO fora da aula de Matemática. 
6º mês
Aula
1ª Semana 2ª Semana 3ª Semana 4ª Semana
1 
SD 1-
Ficha 3
SD 4- Ficha 11 SD 1- Problemas 
Ficha 4
SD 5
Ficha 15
Apresentação do 
projeto de 
construção de 
jogos2 
SD 5- matrizes
Ficha do 
estudante 13
SD 2- Ficha 6- 
Propostas 1 e 2
SD 5 - Matrizes
SD 2- Ficha 6 –
Propostas 3 e 4
SD 5
3 
4 
SD 4- Ficha 12 SD4-
SD1-
Apresentação do 
PS2
5 SD5 SD1- Retomada 
do PS2
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 12
SD 1
Resolução de problemas
Resumo
Seguimos com a aula de resolução de problemas visando a ampliar a 
capacidade de os estudantes lerem, interpretarem e resolverem 
problemas de modo que, ao final do Ensino Médio, eles consigam 
elaborar e desenvolverestratégias pessoais de identificação e solução de 
problemas, e que as apliquem espontaneamente a situações da vida 
cotidiana. Nas aulas de problemas são selecionadas situações para 
induzir nos estudantes uma busca e apropriação de estratégias 
adequadas para alcançarem a meta de formar bons resolvedores de 
problemas. 
Foco Elaborar estratégias pessoais de abordagem de um problema.
Objetivos
Ler e interpretar textos em Matemática, desenvolver argumentações; 
ampliar vocabulário matemático; desenvolver uma variedade de 
estratégias para abordar e resolver um problema; aprender a comunicar-
se matematicamente.
Organização da 
turma
Individual ou em duplas e depois coletivo.
Recursos e 
providências Fichas 1 a 4; Problemateca. 
Duração Prevista 6 aulas (sendo para problemas da semana). 
Para a sua mediação e presença pedagógica: 
Analisar a razoabilidade de uma solução considerando a pergunta ou problema 
original é outra maneira pela qual os jovens podem melhorar sua capacidade de 
entender problemas. Os estudantes necessitam ser ensinados a examinar seus 
próprios processos de resolução.
Uma das melhores oportunidades para essa análise ocorre se logo após os 
estudantes terem concluído uma investigação, o(a) professor(a) os reúne para 
compartilhar e analisar suas soluções. Os jovens então compartilham estratégias, 
defendem os procedimentos que usaram, justificam suas respostas e esclarecem os 
erros que possam ter cometido. Este é o momento em que podem refletir sobre o 
que dificultou ou facilitou a resolução do problema (por exemplo, havia muitos 
detalhes a considerar; falta de familiaridade com os termos matemáticos usados) e 
pensar em como poderiam resolvê-lo de outra forma. Por isso, planeje o tempo da 
aula para garantir discussão das formas de resolver o problema, seja por discussão 
em pequenos grupos, por painel de soluções ou por análise dos processos 
utilizados. 
Desenvolvimento
Formar para resolução de problemas não consiste somente em ensinar ao estudante
estratégias eficazes, mas também formar nele o hábito e a atitude de enfrentar a 
aprendizagem como um problema para o qual deve ser encontrada uma solução. Não é 
uma questão de somente ensinar a resolver problemas, mas também de desenvolver a 
atitude de procurar respostas para suas próprias perguntas/problemas, de se habituar a 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 13
questionar em vez de receber somente respostas já elaboradas por outros. O maior objetivo 
da aprendizagem da solução de problemas é fazer com que o estudante adquira o hábito de 
enfrentar problemas e buscar resolvê-los como forma de aprender. 
Para isso, um problema necessita ser entendido como uma situação que um indivíduo ou 
um grupo quer ou precisa resolver e para a qual não dispõe de um caminho rápido e direto 
que o leve à solução. Uma situação somente pode ser concebida como um problema na 
medida em que exista um reconhecimento dela como tal, e de modo que o resolvedor não 
disponha de procedimentos automáticos que permitam solucioná-la de forma mais ou 
menos imediata, sem exigir, de alguma forma, um processo de reflexão ou uma tomada de 
decisões sobre a sequência de passos a serem seguidos. Observe que essa forma de 
conceber problema está diretamente relacionada com o desenvolvimento de habilidades de 
persistência, decisão, argumentação e criatividade, alguns dos elementos centrais no 
desenvolvimento socioemocional dos estudantes.
É sabido que as habilidades de resolução de problemas e, em geral, a competência de 
resolver problemas são um efeito de muitas coisas, inclusive da prática. De fato, é 
necessário um trabalho persistente e constante, para se tornar um resolvedor de problemas 
mais experiente: só se aprende a resolver problemas, enfrentando situações 
problematizadoras, tentando, errando, pensando a respeito do erro, analisando 
possibilidades, em síntese, resolvendo problemas. Daí nossa insistência na aula de 
resolução de problemas.
Dois aspectos que continuamos definindo como relevantes para as aulas de resolução de 
problemas são a variedade de tipos de problemas e das soluções que eles permitem e a 
discussão das soluções pelas turmas. Por isso, há problemas propostos comuns a todos os 
estudantes da turma. Como afirma Van de Walle (2009), a aprendizagem matemática requer 
justificativa e explicações para as respostas e as estratégias de solução, permitindo aos 
estudantes compreenderem que a responsabilidade para determinar se as respostas estão 
corretas e por que também é deles. Encontrar e expressar a justificativa para um processo 
de resolução de problemas é parte integrante da aula de Matemática e auxilia a desenvolver 
a autogestão dos processos, como prevê a metodologia integradora deste projeto.
Lembre-se:
Há um conjunto de ações de pensamento que são desenvolvidas na aula de resolução de 
problemas: 
Representar situações por meios matemáticos, incluindo a seleção de estratégias 
adequadas ao problema proposto. 
Analisar – usar o raciocínio matemático e os procedimentos adequados. 
Interpretar e avaliar – avaliar as evidências e justificar os resultados. 
Comunicar o que pensou, aprendeu ou fez. 
Analisar a solução encontrada bem como sua relação/validade em função do problema 
proposto.
Gestão da Aula
Toda aula deve ter começo, meio e fim, para que os estudantes vejam sentido no estudo 
dedicado à Matemática. Observe se isso está claro em cada proposta de aula desta OPA!
Em cada aula, propomos que a pauta seja exposta no quadro e que os 5 minutos finais 
sejam dedicados a verificar se o proposto foi ou não cumprido. Os estudantes devem 
identificar o que favoreceu ou prejudicou o cumprimento da pauta. Se, eventualmente, o seu
planejamento foi inadequado, é interessante que isso também seja compartilhado com a 
classe. 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 14
Quando for analisar com os estudantes as estratégias desenvolvidas para a solução de 
problemas lembre-se de: não permitir que o painel de solução seja impedido pela falta de 
tempo, por isso, planeje tempos específicos para as várias seções da aula de problemas e 
tente cumpri-los. Se você planejar adequadamente o trabalho com o painel, será menos 
provável que ele seja negligenciado. Avise aos estudantes antecipadamente o tempo 
previsto para a resolução dos problemas propostos e para sua discussão. 
Considerações a respeito dos problemas desta sequência
Os problemas de 1 a 8 foram pensados para 
resolução em sala de aula, como tem sido feito 
tradicionalmente, dois de cada vez. Os problemas 
1 a 6 que estão nas Fichas 1 a 3, são de 
implicação lógica, agora envolvendo diferentes 
tipos de análise de argumentos e afirmações, 
incluindo negação. Não será necessária a 
exploração do ponto de vista da lógica formal, mas 
é importante na discussão analisar com eles o que 
cada negativa implica na decisão que leva a 
resolução da situação proposta. Consideramos 
que no segundo ano esses problemas poderão 
auxiliar os estudantes a desenvolver a capacidade 
de análise e dedução. Nesses problemas, mais do 
que registrar as soluções, importa que os 
estudantes possam explicar suas análises e 
tomadas de decisão em relação a cada afirmação 
ou negação para que fique claro como chegaram a 
deduzir as respostas.
Gestão da Aula
Ao final da sequência dos seis problemas converse a respeito de porque esse tipo de 
problema é importante no desenvolvimento deles como pessoa e para a aprendizagem de 
matemática. Retome quais as principais ações para conseguir enfrentar um problema com 
confiança. Verifique se percebem que:
Precisam ler com mais cuidado e atenção, portanto, desenvolvem a capacidade de ler e 
interpretar um problema.
Precisam analisar com cuidado cada afirmação, portanto, desenvolvem a capacidade de 
analisar,de pensar com mais cuidado em cada ponto apresentado.
Resolvem problemas sem número e sem álgebra, aprendendo assim que nem todo 
problema é numérico.
Ficam mais críticos e cuidadosos 
em relação ao que pensam.
Os problemas 7 e 8, que estão na 
Ficha 4, envolvem raciocínio 
combinatório. Tradicionalmente eles 
poderiam ser explorados após o 
estudo de permutação e combinação, 
mas aqui esperamos que os 
estudantes usem esquemas, 
diagramas ou tabelas para sua 
resolução. Painel de solução será 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 15
imprescindível para a discussão dos diversos caminhos de resolução dos problemas. 
Problemas da semana
Como nos outros bimestres apresentamos dois problemas para serem explorados como os 
problemas que devem ser pensados ao longo de uma semana para depois de resolvidos 
serem discutidos.
Proponha aos estudantes que antes de resolver os próximos problemas:
Verifiquem se é mais simples encontrar a solução de cada um, utilizando um desenho, 
uma tabela, um diagrama, uma lista, o princípio multiplicativo ou outro procedimento de 
contagem. 
Em seguida, utilize a opção escolhida para a resolução do problema.
PS1. O Código de abertura de um armário é uma senha de quatro letras diferentes, formada 
apenas pelas letras A,B,C e D. Quantas senhas diferentes uma pessoa pode escolher como 
sendo aquela que fechará e abrirá o armário, sem repetir nenhuma letra?
PS2. Um anagrama é uma palavra ou frase formada a partir das letras de outra palavra ou 
frase. Por exemplo, EMB é um anagrama da palavra BEM.
Os anagramas são muito utilizados como códigos de segurança em senhas ou em 
mensagens secretas. Agora responda:
Quantos são anagramas da palavra BEM?
Quantos são os anagramas da palavra ÉTICA? Observação: Um anagrama não precisa 
ser uma palavra que faça sentido na Língua Portuguesa.
Problemas para a problemateca
Propomos ainda dezessete problemas para compor a Problemateca da sala. Dentre eles 
apresentamos mais problemas de raciocínio combinatório, problemas do ENEM, problemas 
que revisam progressões aritmética e geométrica, problemas para retomada de 
propriedades dos triângulos (pode ser feito antes de estudar a sequência 3 que explora 
pirâmides) e dois problemas envolvendo cálculo de volume de paralelepípedo retângulo.
1. Quatro amigos vão ao cinema e um deles resolve entrar sem pagar. Aparece um 
segurança e quer saber qual deles entrou sem pagar. Aparece um segurança e quer saber 
qual deles entrou sem pagar:
- Eu não fui, diz Gabriel.
- Foi o Gracindo, diz Manuel.
- Foi o Daniel, diz Gracindo.
- O Manuel não tem razão, diz o Daniel.
Sabendo que só um deles mentiu, quem não pagou o ingresso?
2. Descubra qual a ordem que nasceram meus cinco filhos Lourival, Irineu, Jaime, 
Marcineide e Hilton do mais velho para o novo, a partir das pistas a seguir:
- Hilton é um ano mais velho que Irineu;
- Irineu é dois anos mais velho que Lourival;
- Lourival é um ano mais novo que Jaime;
- Jaime é dois anos mais novo que Hilton;
- Marcineide é dois anos mais nova que Lourival.
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 16
Agora, verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras sobre a soma das idades de 
Hilton e Lourival:
( ) é duas vezes a idade de Irineu;
( ) é igual à soma das idades de Irineu e Jaime;
( ) é um número ímpar.
3. (OBMEP- Nível 2) Arnaldo, Beto, Celina e Dalila formam dois casais. Os quatro têm 
idades diferentes. Arnaldo é mais velho que Celina e mais novo que Dalila. O marido de 
Celina é a pessoa mais velha. É correto afirmar que:
a. Arnaldo é mais velho que Beto e sua esposa é Dalila.
b. Arnaldo é mais velho que sua esposa Dalila.
c. Celina é a mais nova de todos e seu marido é Beto.
d. Dalila é mais velha que Celina e seu marido é Beto.
e. Celina é mais velha que seu marido Arnaldo.
4. (OBMEP – adaptada) Cinco meninas não estão totalmente de acordo sobre a data da 
prova de Matemática.
Andréa diz que será em agosto, dia 16, segunda-feira;
Daniela diz que será em agosto, dia 16, terça-feira;
Fernanda diz que será em setembro, dia 17, terça-feira;
Tatiane diz que será em setembro, dia 17, segunda – feira.
Somente uma está certa, e as outras acertaram pelo menos uma das informações. Seu 
desafio é descobrir quem está certa.
5. (Fatec) Considere verdadeiras as seguintes afirmações:
I Todos os amigos de João são amigos de Mário
II Mário não é amigo de qualquer amigo de Paulo
III Antônio só é amigo de todos os amigos de Roberto. 
Se Roberto é amigo de Paulo, então:
a) Antônio é amigo de Roberto;
b) João é amigo de Roberto:
c) Mário é amigo de Roberto
d) Antônio não é amigo de João. 
6. Descubra a palavra misteriosa:
- “Mês” não tem nenhuma letra em comum;
- “Sim” tem uma letra em comum, que não está no devido lugar;
- “Rói” tem uma letra em comum, situada no devido lugar;
- “Rol” tem uma letra em comum, que não está no devido lugar;
- “Moa” tem uma letra em comum, que não está no devido lugar.
Antes de resolver os próximos problemas proponha aos alunos que cada um: 
Verifique se é mais simples encontrar a solução de cada um, utilizando um desenho, 
uma tabela, um diagrama, uma lista, o princípio multiplicativo ou outro procedimento 
de contagem. 
Em seguida, utilize a opção escolhida para a resolução do problema. 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 17
7. O Código de abertura de um armário é uma senha de quatro letras diferentes, formada 
apenas pelas letras A,B,C e D. Quantas senhas diferentes uma pessoa pode escolher 
como sendo aquela que fechará e abrirá o armário, sem repetir nenhuma letra? 
8. Um anagrama é uma palavra ou frase formada a partir das letras de outra palavra ou 
frase. Por exemplo, EMB é um anagrama da palavra BEM. Os anagramas são muito 
utilizados como códigos de segurança em senhas ou em mensagens secretas. Agora 
responda: 
Quantos são anagramas da palavra BEM? 
Quantos são os anagramas da palavra ÉTICA? Observação: Um anagrama não 
precisa ser uma palavra que faça sentido na Língua Portuguesa. 
Resolução dos problemas de 1 a 8
1. Daniel entrou sem pagar.
2. A ordem em que os filhos nasceram é Hilton, Irineu, Jaime, Lourival e Marcineide. 
3. Alternativa C.
4. Patrícia é quem está certa.
5. Alternativa d.
6. A palavra é LIA
7. 24 códigos
8. São 6 anagramas da palavra BEM e 120 da palavra ÉTICA.
Problemas para Problemateca
9. Carolina e seus três amigos foram a um parque de diversões. Logo que chegaram, 
formaram pares para passear na montanha-russa, com cadeiras de dois lugares em cada.
a) Quantas viagens devem ser realizadas para que todos eles se sentem um ao lado do 
outro apenas uma vez? 
b) Em seguida, resolveram passear de carrinho, e novamente, organizaram-se em duplas. 
Porém, além de um querer sentar-se ao lado do outro amigo apenas uma vez, todos 
queriam ser motorista do carrinho. E agora? Quantas viagens devem ser realizadas para 
que todos andem no carrinho de dois lugares, nas condições acima?
10. (Obmep) Gabriel comprou uma rosa, um cravo e um lírio e quer dar uma flor para cada 
uma de suas três amigas. Ele sabe que uma amiga não gosta de cravos, outra não gosta de 
lírios e a terceira não gosta de rosas. De quantas maneiras ele pode distribuir as flores de 
modo a agradar as três amigas?
11. (ENEM) O tempo que um ônibus gasta para ir do ponto inicial ao ponto final de uma linha 
varia, durante o dia, conforme as condições do trânsito, demorando mais nos horários de 
maior movimento. A empresa que opera essa linha forneceu, no gráfico abaixo, o tempo 
médio de duração da viagem, conforme o horário de saída do ponto inicial, no período da 
manhã.
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre18
12. (ENEM) João e Antônio utilizam os ônibus da linha mencionada na questão anterior 
para ir trabalhar, no período considerado no gráfico, nas seguintes condições:
– trabalham vinte dias por mês;
– João viaja sempre no horário em que o ônibus faz o trajeto no menor tempo;
– Antônio viaja sempre no horário em que o ônibus faz o trajeto no maior tempo;
– na volta do trabalho, ambos fazem o trajeto no mesmo tempo de percurso.
Considerando-se a diferença de tempo de percurso, Antônio gasta, por mês, em média,
(A) 05 horas a mais que João.
(B) 10 horas a mais que João.
(C) 20 horas a mais que João.
(D) 40 horas a mais que João.
(E) 60 horas a mais que João.
13. Observe a sequência abaixo: 
a) Faça o desenho próximo da sequência.
b) Assinale, entre as afirmações abaixo, a que explica como obter cada termo da sequência.
( ) Adiciona-se um quadradinho a cada linha do desenho anterior para obter o desenho 
seguinte.
() Acrescenta-se um quadradinho a cada linha e a cada coluna no desenho anterior para 
obter o próximo desenho.
( ) Para obter a próxima figura adiciona-se a cada coluna um quadradinho.
c) Quantos quadradinhos tem o 1º termo? E o 2º? E o 3º?
d) Quantos quadradinhos terá o 12º termo?
e) Qual é o termo geral da sequência?
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 19
14. Sabendo que a medida dos lados de cada um dos polígonos regulares abaixo é 2 cm, 
encontre perímetro de cada figura.
Analise os resultados encontrados e responda:
a) Os valores dos perímetros formam uma sequência?
b) Caso a resposta dada no item anterior seja afirmativa, quantos lados teria o 8º polígono 
da sequência? E o 13º?
c) O perímetro de um polígono de 18 lados representaria qual termo da sequência?
d) Escreva a lei de formação da sequência de perímetros.
15. (Unesp) Num laboratório, foi feito o estudo sobre a evolução de uma população de 
vírus, ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao 
final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte sequência de figuras 
apresenta as populações do vírus (representado por um círculo), ao final de cada um dos 
quatro primeiros minutos.
Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de 
vírus no final de 1 hora era de:
a) 241
b) 238
c) 237
d) 233
e) 232
16. A figura abaixo mostra uma sequência em que os lados de cada retângulo são metade 
dos lados do retângulo anterior.
a) Sabendo que a medida dos lados do primeiro retângulo são 8 cm e 4 cm, complete a 
tabela abaixo. 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 20
b) A sequência das áreas dos retângulos é
(32; ____; ____; ____; _____; ...)
c) A sequência dos perímetros dos retângulos é
(24; ____; ____; ____; ____; ...)
d) Escreva o termo geral de cada sequência
e) Verifique se as sequências são P.G.
17. (Cefet) A loja de Trapos Novos vende mochilas prontas para viagem. Nelas se 
encontram os produtos listados na tabela a seguir;
Produto
Preço (R$)Mochilas Pares de meia
Conj. de 
roupas 
íntimas
Camisetas Jeans
Tipo 1 2 2 4 2 250,00
Tipo 2 2 2 3 1 180,00
Tipo 3 3 3 5 3 345,00
Tipo 4 2 2 2 1 160,00
Se as mochilas têm preço unitário de R$ 20,00 é verdade afirmar que:
a) Cada par de meia custa R$ 25,00
b) Cada camiseta custa R$ 15,00
c) O conjunto formado por um par de meias e conjunto de roupas íntimas custa R$ 25,00.
d) Um jeans custa R$60,00.
e) O conjunto formado por um jeans e duas camisetas custa R$ 70,00.
18. Observe os dois triângulos:g
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 21
Entre as afirmações a seguir, quais são verdadeiras (V) e quais são falsas (F)?
a) Os dois triângulos são isósceles e retângulos. ( )
b) O perímetro do triângulo II é o dobro do perímetro do triângulo I. ( )
c) A área do triângulo II é o dobro da área do triângulo I. ( )
d) As medidas dos ângulos internos do triângulo II são, respectivamente, o dobro das 
medidas dos ângulos internos do triângulo I. ( )
e) Os dois triângulos possuem dois eixos de simetria cada. ( )
f) O triângulo II é uma ampliação do triângulo I. ( )
19. (ENEM – adaptado) Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 
pacotes de 20 cm x 30 cm x 20 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em 
caixas com formato de paralelepípedo retângulo (bloco retangular) de 40 cm x 40 cm x 60 
cm. Qual é a quantidade mínima de caixas necessárias para esse envio?
Resposta: 13.
Não se esqueça de observar e dar retorno para os estudantes a 
respeito do que estão fazendo bem, no que melhoraram e quais as 
metas que ainda precisam ser vencidas. Converse algumas vezes 
com eles a respeito do que já fazem bem e do que na opinião 
deles é preciso melhorar em relação à resolução de problemas. 
Esse pode ser um exercício compartilhado. Você pede que 
pensem a respeito, digam a opinião deles e depois você apresenta 
a sua mostrando concordâncias e pontos de vista que são seus e 
que podem ajudá-los a avançar. Evite informações genéricas tais 
como: “precisa estudar mais”, “prestar atenção”. Procure informar 
de modo a ajudar a avançar. Por exemplo, dizendo: É importante 
ler e identificar as palavras desconhecidas; que tal olhar a 
resolução feita e ver se ela responde à pergunta do problema?
SD 2
Cálculo mental
Resumo
A resolução de problemas em Matemática muitas vezes exige que os 
estudantes selecionem uma estratégia de cálculo apropriada. Eles podem 
usar os procedimentos escritos (ou algoritmos) para operações básicas, 
potência e expressões algébricas. Podem ainda usar técnicas para cálculo 
ou selecionar estratégias relacionadas ao cálculo mental e à 
estimativa. Desenvolver a capacidade de realizar cálculos mentais e 
estimar são, portanto, aspectos importantes da aprendizagem em 
Matemática, nesta Solução Educacional.
Foco Ampliar a capacidade de calcular sem lápis e papel.
Objetivos
Desenvolver habilidades de cálculo mental; resolver mentalmente 
operações numéricas com números negativos, resolver equações e 
sistemas de equações de 1º grau mentalmente; resolver mentalmente 
cálculos envolvendo unidades de medida de comprimento.
Organização 
da turma Individual e depois coletiva
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 22
Recursos e 
providências Fichas 5 e 6 do Caderno do Estudante (uma para cada mês do bimestre). 
Duração 
Prevista Sessões 10 a 15 minutos duas vezes por semana.
Para a sua mediação e presença pedagógica:
Um ponto importante desta sequência é garantir que os estudantes analisem seus acertos e 
erros. Por isso, a partir deste bimestre, amplie o foco da quantidade de erros e acertos para 
o foco onde foi que eu errei? Se logo após realizares as propostas das fichas e as 
respectivas correções, eles forem estimulados a anotar ao lado do cálculo o erro cometido, 
poderão estar mais atentos para não cometer os erros em outras ocasiões. 
Desenvolvimento
Os estudantes que desenvolvem a habilidade de calcular mentalmente tornam-se hábeis em 
usar uma variedade de procedimentos que aproveitem seu conhecimento e compreensão de 
números, operações, medidas e álgebra. Conhecer cálculos fáceis de realizar, desenvolver 
fluência na realização de operações básicas, que contribuem para conseguir controlar erros 
de cálculo, fazer estimativa e compreender como decidir se é melhor calcular mentalmente, 
usando lápis e papel ou fórmulas são metas essenciais da escola básica. Sabemos que o 
cálculo mental em sessões frequentes e organizadas:
É um recurso útil para conseguir que os estudantes ampliem seu potencial de cálculo 
mental e de resolução de problemas, já que melhora o conhecimento dos estudantesa 
respeito de números, operações, álgebra e medidas. 
Contribui com uma aprendizagem mais qualitativa e enriquece a experiência dos 
estudantes na tomada de decisões na hora de realizar cálculos mais complexos.
Favorece a autoavaliação do estudante em relação a suas capacidades de calcular.
Para esse bimestre, retomaremos a exploração de cálculos rápidos com números inteiros 
em função do trabalho com matrizes nos quais eles aparecem com frequência, propomos 
que explique isso aos estudantes. Vale a mesma justificativa para exploração de cálculo 
rápido com equações de 1º grau e sistemas de 1º grau.
Gestão da aula
Em relação à gestão das aulas deste eixo, oriente os estudantes para que leiam a proposta 
da ficha de trabalho do Caderno do Estudante antes de saírem resolvendo sem entender o 
que é solicitado.
Mantenha um ambiente tranquilo e silencioso para que os jovens possam se concentrar 
durante a realização dos cálculos.
Você pode continuar a utilizar as estratégias de avaliação em 
processo que sugerimos nas OPAs anteriores.
Incentive o registro do que aprenderam e do que precisam cuidar 
em relação aos erros que cometeram de modo a não repetir os 
mesmos equívocos. 
Registre em seu caderno de bordo indícios das aprendizagens 
efetivas e aspectos em que pode melhorar essas aulas a cada 
nova proposta.
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 23
SD 3
Pirâmides e cones
Resumo
Esta sequência dá prosseguimento ao trabalho com geometria agora 
explorando pirâmides, cones, suas representações e os cálculos de área 
total e volume desse sólido geométrico. A proposta visa ainda relacionar 
o estudo de prismas, pirâmides, cilindros e cones.
Foco Conhecer pirâmides e cones desenvolvendo habilidades de pensamento espacial.
Objetivos
Identificar e nomear pirâmides ou cones; identificar base, vértices e 
faces laterais de uma pirâmide; calcular área total da superfície da 
pirâmide ou do cone; representar uma pirâmide ou cone por sua 
planificação; relacionar o volume de uma pirâmide com o prisma de 
mesma área da base e mesma altura; relacionar o volume do cone com 
o de um cilindro com mesma área da base e mesma altura; resolver 
problemas que envolvam o cálculo de volume da pirâmide ou do cone; 
fazer deduções locais; ler textos relativos ao assunto estudado; 
desenvolver a linguagem geométrica relativa aos temas estudados.
Organização da 
turma Varia de acordo com a etapa da sequência.
Recursos e 
providências
Fichas 7 a 10 do Caderno do Estudante; sólidos geométricos 
construídos no bimestre passado; fita adesiva; tesoura; cartolina; varetas 
e massa de modelar; régua; lápis colorido ou caneta hidrocor; arroz cru; 
livros didáticos de Matemática do 2º ano do Ensino Médio; compasso.
Duração 
Prevista 13 aulas (sendo duas de Estudos Orientados). 
Para a sua mediação e presença pedagógica:
Lembre-se de que o desenvolvimento do pensar geométrico depende muito das 
problematizações feitas durante as aulas, de permitir aos alunos que tentem, repensem, 
busquem regularidades, registrem por escrito o que aprenderam, das oportunidades de ler 
e produzir desenhos e, ainda, de momentos em que possam ler e argumentar oralmente. 
As atividades desta sequência permitem isso, então é importante que você garanta o que 
propusemos e, se achar importante, amplie, mas mantendo o mesmo foco.
Desenvolvimento
Etapa 1: Separando sólidos (1 aula) 
O foco inicial desta aula será levar os estudantes a relembrar os dois grupos de sólidos:
poliedros e os corpos redondos, para em seguida trabalhar apenas com os poliedros e 
explorar as pirâmides. Os estudantes trabalharão em grupos de quatro e deverão ter os 
sólidos montados no bimestre passado. Caso não tenham, dê a eles novamente os moldes 
e peça que montem.
Ainda trabalhando com a classificação de sólidos geométricos, proponha que separem os 
poliedros em dois grupos, sendo que em um deles devem ficar todos os sólidos que podem 
ser apoiados, de modo que apenas um dos vértices fique fora da superfície da mesa. Eles 
devem obter a seguinte separação: de um lado os prismas e de outro as pirâmides. 
Novamente peça que expliquem como separaram e incentive que falem a respeito de 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 24
geometria, lembrando que o desenvolvimento da linguagem geométrica auxilia em 
habilidades mais avançadas de pensamento geométrico. Aproveite para ver se utilizam o 
termo prismas para identificar um dos 
grupos de poliedros.
Diga aos estudantes que os sólidos 
que podem ser apoiados de modo que 
apenas um dos vértices fique fora da 
mesa são conhecidos como pirâmides. 
A face que fica apoiada na mesa é a 
base da pirâmide. As pirâmides podem 
ser diferenciadas por suas bases. 
Assim, se a base for um quadrado, a 
pirâmide será denominada pirâmide de 
base quadrada. Se for um triângulo, 
dizemos que se trata de uma pirâmide 
de base triangular. Peça que observem 
as faces que estão em volta do vértice 
que ficou fora da mesa e digam como 
elas são. 
As faces em volta da base são chamadas faces laterais. Eles devem perceber que todas as 
faces laterais são triangulares. 
Para concluir a aula, peça-lhes que:
Anotem no caderno as conclusões a respeito de quando um sólido é uma pirâmide. Cuide 
para que os registros sejam feitos.
Escolham uma pirâmide e construam com varetas.
Façam um desenho dessa pirâmide no caderno abaixo das anotações feitas.
Guardem as pirâmides separadas dos demais sólidos, porque estudarão um pouco mais 
a respeito delas na próxima aula.
Etapa 2: Explorando pirâmides (3 aulas, sendo uma de Estudos Orientados) 
Nesta sequência propomos um avanço na compreensão das propriedades das pirâmides. 
Em grupos, os estudantes devem ler e resolver sozinhos as atividades da Ficha 7.
Alguns comentários especiais a respeito das atividades da ficha:
Acompanhe os grupos para ajudar, 
caso haja dúvidas.
Esse procedimento incentiva a 
autonomia, a leitura atenta e o trabalho 
em grupo. Combine com eles um tempo 
para a realização de cada item, durante o 
qual, eles podem ler a introdução, 
comentar entre eles as imagens 
apresentadas e, depois, desenvolver a 
atividade. Terminado o tempo vocês 
analisam coletivamente as soluções e, 
em seguida, desenvolvem a mesma 
rotina com a próxima atividade, até que 
as cinco propostas sejam realizadas.
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 25
As atividades foram pensadas para explorar habilidades visuais e verbais e lógicas. A 
esse respeito ver as OPAS dos bimestres anteriores.
Nas atividades 1, 3, 6, 7, 8, 9 e 10, a leitura de imagens e a percepção das relações 
espaciais nas imagens são importantes. Assim, sugerimos que você converse com os 
estudantes a respeito de como resolveram as propostas e como pensaram a partir da 
análise das figuras.
Na proposta 8 exploramos também a representação por desenho em perspectiva das 
pirâmides.
As propostas 2, 4 e 11 exigem análise de texto, definições e propriedades das pirâmides, 
assim como exploram (especialmente 2 e 4) o raciocínio dedutivo. São as atividades que 
mais envolvem desenvolvimento de habilidades verbais e lógicas dos estudantes. 
Sugerimos que sempre peça explicações e faça perguntas. Na atividade 11 em especial, 
faremos uma ampliação de termos que normalmente são utilizados quando se estudam 
pirâmides. Como aqui o foco é trabalhar a responsabilização pela própria aprendizagem, a 
capacidade de gerenciar informações, de ter iniciativa entre outras habilidades 
socioemocionais, sugerimos que você não faça essa atividade em aula, apenas combine 
prazos e analise com eles como se organizarão para o trabalho. Lembre a eles que as 
anotações devem estar disponíveis no caderno para consulta em atividadesposteriores.
Na retomada da atividade 11, veja se têm dúvida, se querem explicações extras etc. O 
uso desse material produzido na consulta que fizeram aos livros, vídeos e internet será útil 
nas aulas em que nos dedicaremos a estudar volume de pirâmides. 
Etapa 3: Qual é a relação? (5 aulas sendo 3 em sala e 2 de EO)
Divida a classe em grupos de cinco estudantes e oriente que cada grupo cole a Ficha 8 em 
uma cartolina com cuidado, recorte as peças e monte os seguintes pares de sólidos com as 
peças que estão na ficha:
Grupo 1: prisma de base triangular e pirâmide de base triangular.
Grupo 2: prisma de base quadrada e pirâmide de base quadrada.
Grupo 3: prisma de base hexagonal e pirâmide de base hexagonal.
Grupo 4: prisma de base retangular e pirâmide de base retangular.
Para fazer a montagem eles devem colar as arestas de cada sólido com bastante fita 
adesiva e deixar uma das bases de cada uma aberta, como se fosse uma tampa. 
A seguir, coloque arroz cru em cima da mesa de cada grupo e peça que eles descubram 
quantas vezes devem despejar uma pirâmide cheia de arroz no prisma, para que o mesmo 
fique completamente preenchido pelo arroz. Peça que todos os grupos anotem suas 
respostas e depois conduza uma discussão a respeito do que aconteceu, qual a quantidade 
de vezes que o conteúdo da pirâmide cabe no prisma que fizeram. Leve-os a perceber que 
mesmo com bases diferentes, a relação entre os volumes é a mesma. Escreva 
coletivamente uma frase que mostre a relação, não mencione ainda a questão da mesma 
base e sem mencionar mesma área da base e mesma altura. Todos devem anotar a frase 
no caderno. 
Peça a todos os grupos que experimentem ver se a relação entre volume da pirâmide e do 
prisma se mantém caso usem para preencher o prisma do grupo a pirâmide que todos 
montaram e analisem por que a relação não é a mesma. Vejam se conseguem perceber que 
a altura influencia. Na sequência explorem a montagem do cubo com as três pirâmides.
A seguir, passe o vídeo “Aula 65 Matemática” (Volume de pirâmide, cone, esfera e propriedades)
E. Médio Telecurso, até o tempo 5 min e 25 s. O vídeo ajudará a organizar ideias a respeito do que
aprenderam até aqui. Disponível em: bit.ly/VolumedePiramides. Acesso em: nov. 2017.
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 26
Veja se alterariam algo na frase escrita. Peça que repitam a experiência de encher o prisma 
do grupo com a pequena pirâmide que montaram e que vejam se a relação entre o volume 
do prisma e da pirâmide se mantém e que analisem o que aconteceu.2
A seguir, peça aos estudantes que abram um livro didático, na página que explica a relação 
entre o volume do prisma e da pirâmide, fazendo a leitura coletiva do texto para fechar a 
discussão. Voltem à frase que escreveram e ajustem o texto mais uma vez. Vocês podem 
resolver juntos dois problemas envolvendo volume da pirâmide. 
A seguir, proponha como trabalho em Estudos Orientados a realização das atividades que 
estão na Ficha 9, retomando na próxima aula. Use uma aula para discutir as atividades 
resolvidas e tirar dúvidas. 
Se achar necessário, após a revisão das atividades, proponha 
outras para auxiliar a aprofundar o assunto. Escolha problemas 
relativos às dúvidas mais frequentes entre os estudantes. 
Etapa 4 (2 aulas)
Quando essa sequência começar, entregue aos estudantes uma ficha com até 10 
problemas envolvendo cálculo de volume de cilindro e cone. Relembraremos cilindro e
vamos aprofundar o estudo dos cones.
Providencie para cada dupla de estudantes um pedaço de cartolina, tesoura, régua; papel- 
filme (um rolo dá para distribuir para a classe) e uma garrafa pet pequena com água.
Ensine aos estudantes como construir uma planificação de cone e uma de cilindro 
usando régua e compasso. Você pode determinar as medidas desejadas, mas ainda 
não exija que as bases e a alturas sejam de mesma medida (para os cálculos podem 
usar calculadora do celular). Para isso eles podem seguir o roteiro dado na Ficha 10.
Aproveite para determinar com eles elementos importantes do cone: superfície 
lateral, altura, geratriz (aproveite para falar de sólido de revolução); raio da base. Se 
quiser pode relembrar os elementos do cilindro também. Peça que registrem essas 
informações nos cadernos fazendo desenhos. Oriente os desenhos para que todos 
saibam como fazer. O registro em forma de desenho é essencial para desenvolver 
habilidades visuais e de desenho das quais já falamos em OPAs anteriores.
Após a primeira experiência de construção, oriente que cada grupo que descubra 
como calcular a área da base e a área total do cilindro e do cone construídos. 
Provavelmente você terá que intervir para auxiliar no cálculo da área lateral e total do 
cone devido a ela ser dependente do cálculo da área de um setor circular. Faça junto 
com eles para que compreendam.
Terminada essa proposta, oriente registros no caderno. Procure fazer com eles a 
lista das ideias importantes no quadro e depois peça que copiem nos cadernos.
A tarefa agora é cada grupo construir com régua e compasso um cilindro e um cone 
que tenham a mesma altura e bases com a mesma área. O interessante é estimular 
cada grupo a usar medidas diferentes. Auxilie quem tiver dúvida. Ao final, após os 
2Você pode consultar também a sequência “Um poema e três quebra-cabeças”, produzida pela 
UNICAMP. Disponível em: bit.ly/Unicamp1poema3quebra-cabeças. Acesso em: nov. 2017. Se achar 
o vídeo mais adequado, pode substituir pelo que sugerimos no corpo da atividade.
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 27
moldes construídos, eles colam e recortam na cartolina, reforçando bem cada 
construção com fita adesiva e deixam sem colar a base do cone e uma das bases do 
cilindro.
Peça que revistam cada objeto construído usando o papel-filme e depois que 
descubram qual dos dois tem maior volume e quantas vezes um volume é maior do 
que o outro. A ideia é que percebam que o volume do cone é equivalente a um terço 
do volume do cilindro com mesma altura e mesma área de base. Explore que a 
relação é a mesma entre a pirâmide e o prisma já estudada anteriormente. Peça 
para os grupos socializarem as medidas que escolheram e as conclusões que 
tiraram para o problema, organizando uma tabela do seguinte tipo:
Grupo Altura 
do cone
Altura 
do
cilindro
Área da 
base do 
cone
Área da 
base do 
cilindro
Quantas vezes o volume do 
cilindro é maior do que o 
volume do cone?
Observando a tabela podem deduzir informalmente que a relação entre os volumes é 
a mesma. Pergunte a eles o que o cone e o cilindro construídos têm em comum e 
com a classe, escrevam a fórmula do cálculo do volume do cone, em função do 
volume do cilindro para cada grupo e depois, genericamente.
Para finalizar, podem ver o vídeo a seguir. 
Os estudantes podem produzir um mapa conceitual do que 
aprenderam e utilizar em uma prova com consulta. Sabemos que 
os mapas de aprendizagem são pessoais e devem revelar de 
alguma forma gráfica os temas centrais, os secundários 
diretamente relacionados aos temas centrais e finalmente os 
temas periféricos. Eles podem usar o que já sabem de mapas 
conceituais em Biologia e ainda assistir ao vídeo:
Disponível em: bit.ly/mapaConceitualMapaMental. Acesso em: 
nov. 2017.
Lembramos que não existem mapas certos ou errados, eles são 
construções pessoais que permitem a conscientização de quem o 
faz sobre suas conquistas e dificuldades, por isso é importante que 
os estudantes escrevam breves frases se posicionando sobre cada 
um dos temas estudados. Os estudantes podem permitir ou não 
que você leia o que escreveram e nesse caso suas observações 
sobre as aprendizagens deles podem se somar às deles para 
auxiliá-los a avançar.OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 28
SD 4
Cara a cara de poliedros
Resumo
Um dos aspectos mais importantes de serem desenvolvidos pelos 
estudantes no que diz respeito à geometria é a linguagem geométrica. Da 
mesma forma, aprender a ler desenhos, a associar nomes, propriedades 
e imagens é fundamental para o desenvolvimento da compreensão de 
noções e conceitos geométricos. A linguagem verbal e visual da 
geometria é objeto deste jogo.
Foco Conhecimentos geométricos relacionados a poliedros suas faces, arestas, vértices e planificações. 
Objetivos
Identificar e representar os diferentes tipos de matrizes; efetuar cálculos 
envolvendo as operações com matrizes; resolver problemas utilizando as 
operações com matrizes e a linguagem matricial.
Organização da 
turma Em grupos de 4 estudantes.
Recursos e 
providências
Fichas 11 e 12 do Caderno do Estudante; materiais do jogo para cada 
grupo de 4 estudantes.
Duração 
Prevista 4 aulas. 
Para a sua mediação e presença pedagógica:
Garanta que os materiais para jogar estejam prontos antes da etapa 1 desta sequência. O 
aproveitamento do tempo é importante nas aulas de Matemática, por isso, não é adequado 
fazer os baralhos no mesmo dia em que forem jogar.
Este jogo auxiliará muito no desenvolvimento da linguagem geométrica, no conhecimento 
das principais características dos poliedros e na relação entre elas. Por isso é importante 
não apenas fazer o jogo nas vezes em que está previsto, mas especialmente garantir que 
as problematizações e explorações previstas aconteçam. 
Observe os grupos enquanto jogam e veja se de umaaula para outra será necessário fazer 
alterações nos grupos, visando à maior integração entre os jovens e, principalmente, o 
aprofundamento das aprendizagens.
Desenvolvimento
A preocupação com o desenvolvimento de competências cognitivas e socioemocionais nas 
aulas de Matemática traz algumas implicações para o ensino, entre elas a consideração de 
que os conhecimentos se mobilizam aprendizagem acontecer em um contexto 
problematizador. Há uma relação natural entre jogos e resolução de problemas, que coloca 
os estudantes frente a situações que exigem dele desenvolver formas de alcançar uma 
meta, analisar informações, persistir, agir na urgência e tomar decisões. Além disso, ao 
utilizarmos jogos nas aulas criamos um contexto natural de comunicação que permite ao 
estudante:
Reconhecer e utilizar símbolos, códigos e nomenclaturas da linguagem matemática. Por 
exemplo, ao ler textos instrucionais (regras dos jogos), as cartas e tabuleiros dos jogos; 
compreender o significado de informações apresentadas nas mais variadas formas 
(desenho, palavras, símbolos, gráficos etc). 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 29
Analisar, argumentar e posicionar-se criticamente em relação a temas estudados uma 
vez que durante uma partida é possivel refletir a respeito das jogadas, explicar ações 
realizadas, discutir diferentes possibilidades de escolha bem como argumentar para justifica-
la, defender ou refutar pontos de vista. 
Identificar as informações relevantes que lhe permitam tomar decisões sobre uma jogada 
ou elaborar possíveis estratégias para tentar vencer, colocá-las em prática e analisar sua 
eficácia.
Para este bimestre escolhemos um jogo geométrico cuja finalidade é auxiliar os 
estudantes a aprofundar seus conhecimentos acerca de característica dos poliedros, 
analisar diferentes representações desses sólidos e usar a nomenclatura envolvida nos 
estudos de geometria que foram desenvolvidos até aqui. Propomos a exploração do jogo em 
três etapas presenciais e uma que pode ser feita em tempo de escolha dos estudantes, fora 
da aula.
Gestão da Aula
Explique aos estudantes que a participação deles é uma condição importante para que as 
atividades de Matemática aconteçam bem e no tempo adequado. Uma semana antes de 
propor o jogo, conte que farão e que precisa de voluntários da sala para ajudar na produção 
do material necessário para jogar. Estudem o jogo juntos para ver o que precisa ser feito e 
quem se responsabiliza por realizar cada tarefa. Você pode fazer a mesma proposta em 
todas as salas de modo que com a colaboração de times diferentes, o jogo fique de uso dos 
segundos anos. Combine um prazo razoável de entrega e dê pequenos sinais aos ajudantes 
para que se lembrem do compromisso assumido.
 Na aula em que forem jogar, lembre-se de agradecer a colaboração dos estudantes.
Sugerimos que jogue o jogo antes dos estudantes para saber como ele se realiza. Para 
isso, pode convidar algum colega da área em um horário de planejamento integrado. 
Na primeira metade da aula em que forem jogar pela primeira vez, dedique uma aula
para explorarem as regras e as cartas do jogo. Por exemplo, você pode escolher uma carta 
e juntos localizar as propriedades que ela tem; é possível escolher uma carta de 
propriedade e associar a ela todas as cartas de figuras que têm aquela propriedade.
Etapa 1:
Pedir que, seguindo as orientações das regras que estão na Ficha 11 e utilizando os 
baralhos da Ficha 12, joguem para aprender o jogo. 
Conheça as regras:
e
ra apre
É interessante que uma dupla jogue 
contra outra dupla. Isso auxilia na 
análise das cartas, na tomada de 
decisão, e a solucionar dúvidas. Circule 
na sala para acompanhar a turma 
esclarecendo dúvidas se necessário. Ao 
final da aula ouça os estudantes a
respeito do que já aprenderam e de 
quais dúvidas ainda têm. Anote aquelas 
que não conseguir responder na hora 
para retomar na próxima etapa. Esse é 
um bom momento para decidir se 
precisa reorganizar os times para jogar 
na próxima aula.
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 30
1. Cada jogador recebe um conjunto de cartas de poliedros e as cartas das propriedades 
são embaralhadas e colocadas no centro da mesa voltadas para baixo.
2. O cartazete é colocado de modo que os jogadores possam vê-lo durante o jogo.
3. Os jogadores escolhem um poliedro do cartazete sem que seu oponente saiba qual é, 
registram o nome do poliedro escolhido.
4. O objetivo de cada jogador é descobrir o poliedro de seu oponente.
5. Decide-se quem começa e a partir daí os participantes ou duplas jogam alternadamente.
6. Na sua vez, o jogador (dupla) retira uma carta do monte de propriedades e pergunta a 
seu oponente se o poliedro escolhido por ele tem aquela propriedade. O oponente deve 
responder apenas sim ou não. O jogador deverá excluir os poliedros que não lhe 
interessam. Por exemplo, se a carta retirada contiver Algumas faces são triangulares e a 
resposta for sim, ficam excluídos todos os poliedros que não contêm nenhuma face 
triangular, já se a resposta for não, isso significa que o poliedro escondido não tem faces 
triangulares o que exclui todas as pirâmides, o octaedro e os prismas de base triangular.
7. Caso o jogador da vez tire um Curinga deve fazer uma pergunta de sua escolha, mas que 
envolva uma propriedade de poliedros. 
8. Sucessivamente, as perguntas podem auxiliar cada jogador a excluir poliedros até que 
seja possível concluir qual é o poliedro escolhido por seu oponente.
9. Ganha o jogo o primeiro jogador ou dupla que acertar o nome do poliedro escolhido por 
seu oponente.
Etapa 2- Resolvendo problemas
Joguem novamente e deixe vinte minutos da aula para explorar algumas perguntas:
Se a carta propriedade sorteada for: “Algumas faces são congruentes” quais poliedros 
podem ser excluídos?
Quais cartas de poliedros são eliminadas quando a carta propriedade retirada for F é 
ímpar?
Se, numa sequência de duas jogadas, você retirar as cartas propriedades: “Possui 
apenas um par de faces paralelas”, “F é ímpar”, quais poliedros ainda ficariam na mesa? 
Há alguma propriedade enunciada que permita a você se decidir por umúnico poliedro?
Escolha uma carta poliedro. Das cartas propriedades selecione aquelas que são 
verdadeiras para o poliedro escolhido.
Os estudantes devem registrar as respostas das perguntas em seu caderno. Avalie se será 
necessário novo reagrupamento de grupos para jogar.
Etapa 3 - Comunicando a aprendizagem 
Jogue com a turma novamente e ao final peça que os quartetos que façam uma lista de 
quatro aspectos que aprenderam jogando. Deixe que escreva, peça que cada quarteto leia. 
Oriente os grupos para que anotem uma aprendizagem se ela não estiver na sua lista 
original. Todos devem ter a lista final no caderno.
Como um dos instrumentos de avaliação do bimestre, proponha 
que os estudantes organizem uma sequência de quatro cartas de 
propriedades que lhes permita ficar apenas com a carta Prisma 
oblíquo de base quadrada. Eles entregam e você analisa a 
correção do que produziram, devolvendo depois com comentários, 
se necessário. 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 31
SD 5
Matrizes
Resumo
As matrizes são apresentadas como elementos da Matemática discreta 
por suas aplicações relacionadas ao processamento de informações e 
sua utilidade na organização de dados, na resolução de problemas e em 
métodos computacionais.
Foco Conhecimentos algébricos relacionados a matrizes. 
Objetivos
Identificar e representar os diferentes tipos de matrizes; efetuar cálculos 
envolvendo as operações com matrizes; resolver problemas utilizando as 
operações com matrizes e a linguagem matricial.
Organização da 
turma
Varia de acordo com a etapa da sequência.
Recursos e 
providências Fichas 13 a 15 do Caderno do Estudante. 
Duração Prevista 16 aulas. 
Desenvolvimento
A proposta para esta sequência didática é iniciar o estudo de matrizes com problemas 
envolvendo sistemas simples. Veja:
Proponha aos estudantes que resolvam gráfica e algebricamente sistemas lineares 2 x 2 de 
diferentes tipos e aproveite para introduzir os tipos de soluções que os sistemas 
apresentam. Relembre com eles os dois processos, se for necessário:2x + 3y = 14x + 6y = 2Infinitas soluções; sistema possível e indeterminado. 2x + 3y = 14x + 6y = 3 Sem solução; sistema impossível.2x + 3y = 13x + 5y = 2Solução única (-1, 1); sistema possível e determinado.
Observar que geometricamente os sistemas correspondem às possíveis posições relativas 
de duas retas no plano: coincidentes, paralelas ou concorrentes. Peça a eles que observem 
as equações de cada sistema e que analisem se há algo especial entre os coeficientes e os
termos independentes das equações de cada sistema e o fato de as retas serem paralelas, 
concorrentes ou coincidentes. 
Mostre a eles que é possível representar os coeficientes dos sistemas em forma de 
matrizes. Peçam que procurem no dicionário o significado de matrizes em Matemática.
A seguir vamos encaminhar as discussões para que os estudantes possam descobrir 
relações entre as equações de modo a saber se o sistema tem ou não solução, única ou 
não, sem resolver o sistema algébrica ou geometricamente. Diga que dessa vez 
escreveremos os sistemas diretamente em forma de matriz. Para isso, vamos isolar os 
coeficientes das equações num quadro que chamamos matriz e resolver vários exemplos de 
cada tipo. 
a) Exemplos de sistemas sem solução (retas paralelas)
 
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 32
2 3 1 -1 3 4 1 -1 0 
4 6 3 3 -9 -8 4 -4 1 
b) Exemplos de sistemas com infinitas soluções (retas coincidentes)
2 3 1 -1 3 4 1 -1 0 
4 6 2 3 -9 -12 4 -4 0 
c) Exemplos de sistemas com solução única (retas concorrentes)
2 3 1 -1 3 4 1 -1 0 
3 5 2 3 -8 -12 2 -4 1 
Se for necessário, proponha outros exemplos do mesmo tipo.
Informe aos alunos que essas tabelas são chamadas matrizes com 2 linhas e 3 colunas, 
matrizes 2 por 3 ou matrizes 2 x 3. Peça que pesquisem, em um livro didático de 2º ano, o 
que são matrizes. 
Peça que em grupos tentem responder e justificar suas respostas à seguinte questão:
“Que relações existem entre os números nas duas linhas das matrizes associadas aos 
sistemas para que o sistema seja de um tipo ou de outro?”
Feita justificativa nos grupos, o(a) professor(a) sistematiza as descobertas e propõe que os 
estudantes analisem outros sistemas sem resolvê-los. Depois disso, vamos explorar 
algumas outras relações de matrizes com o apoio de um livro didático. Escolha qualquer 
livro disponível e explore as noções indicadas a seguir.
Identificar e representar diferentes tipos de matrizes (linhas e colunas; escrever a matriz 
dada a lei de formação de aij; matriz quadrada; matriz transposta; matriz nula) – não dê 
ênfase à nomenclatura, o foco deve ser na compreensão da representação de uma 
matriz.
Efetuar cálculos envolvendo as operações com matrizes (adição, subtração, 
multiplicação por um número real e multiplicação de matrizes) – não exploraremos 
matrizes invertíveis porque não é um tema que faça diferença na vida dos estudantes. 
Assumiremos que se encontrarem uma questão relativa a isso em uma prova não farão. 
Não vale a pena gastar energia e tempo com um tema sem relevância. A introdução 
dessas operações pode ser feita como proposto na Ficha 13, que foi pensada para ser 
realizada em duplas. Nesse caso, a intenção é dar significado às operações com 
matrizes em situações do cotidiano e na geometria, para em seguida sistematizar o 
estudo destas operações com o apoio de um livro didático. 
Resolver problemas utilizando as operações com matrizes e a linguagem matricial – 
aqui está a parte mais interessante desse estudo e que poderá ser desenvolvida com as 
propostas das fichas de estudantes. Você tem opções de problemas nas Fichas 14 e 
15.
Procure em livros didáticos problemas desse tipo para propor aos estudantes.Há textos 
interessantes relacionando matrizes ao controle de tráfico aéreo, ao controle de
 OPA Matemática – 2ºano/3º bimestre 33
semáforos e à computação gráfica. Sugerimos que procure, leia e estude com os 
estudantes.3
Consulte o banco de questões do ENEM e de vestibulares de diferentes universidades e
proponha algumas questões para os estudantes resolverem, como se fosse um 
pequeno simulado. Não vale nota, apenas deve servir para os estudantes se 
prepararem para a prova. Eles podem fazer sozinhos, sem consulta e depois vocês 
analisam acertos e erros e planejam um modo de revisar ou estudar mais aqueles itens 
em que mais erraram. Procure sempre mostrar como o cálculo mental pode auxiliar na 
resolução de atividades com matrizes. 
Sugerimos que para finalizar o trabalho, você leia o texto “Aplicação das matrizes nos 
vestibulares”, de Gabriel Alessandro de Oliveira. Disponível em:
bit.ly/MatrizesVestibulares. Acesso em: nov. 2017. 
Gestão da Aula
Observe que esta sequência didática prevê o tempo, o tema, o conteúdo, os indicadores de 
avaliação e sugere algumas propostas de problemas e avaliação. No entanto, o 
planejamento das ações em cada aula, a seleção do livro didático, de várias das atividades
e da forma de conduzir cada aula estão na sua responsabilidade. Por isso, a gestão da aula 
e dos tempos de trabalho, bem como a forma da organização dos estudantes, a produção 
que eles farão serão em grande parte uma decisão sua. Veja algumas dicas:
relembre os princípios das metodologias integradoras e da resolução de problemas 
norteadores da nossa proposta;
ter um plano escrito é muito útil para ajudar a memória durante a aula. Você pode 
referir-se a diferentes partes da aula, por exemplo, para lembrar os exemplos que 
pretende usar com a turma toda ou qual página do livro didático será usada;
deve estar claro para você o principal propósito da aula, o que os estudantes
aprenderão, o que farão, em quanto