OPA_MATEMATICA 2º ANO 1º BIMESTRE (2)

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OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 1 
 
 
 
 
Orientação para Planos 
de Aulas (OPA) 
 
Matemática 
 
Aprender a matemática das funções, dos logaritmos e 
das formas geométricas 
2º ano/1º bimestre 
 
Uma parceria entre a SED/SC e 
o Instituto Ayrton Senna 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Caro(a) professor(a), 
 
Na proposta de Matemática para o 2º ano, seguimos em busca de nosso maior 
propósito:o de que os estudantes desenvolvam o domínio do conhecimento matemático 
esperado para essa fase do Ensino Médio, sem perder de vista que, quando se visa ao 
desenvolvimento integral do jovem, não basta focar conceitos e procedimentos 
matemáticos de forma isolada. 
 
Sabemos que, em uma perspectiva de desenvolvimento integral, a proposta de 
Matemática envolve o domínio de habilidades básicas do componente curricular, mas 
também demanda que o jovem obtenha um conjunto de recursos para raciocinar 
criticamente, levantar e refutar hipóteses, justificar conclusões, desenvolver 
argumentações fundamentadas, expressar ideias de maneira clara, identificar e enfrentar 
problemas, ter determinação para propor as soluções de um problema e, ainda, ser capaz 
de criar e inovar a partir do que aprende. 
 
Para aprender Matemática de um modo que lhes seja útil ao longo da vida, os estudantes 
precisam de experiências em sala de aula que lhes deem oportunidades de investigar 
S
u
m
á
ri
o
 
Introdução p. 2 
Quadro de competências e conteúdos p. 8 
Mapa das atividades p. 9 
Quadro-síntese das atividades p. 11 
 
Matemática 
 
Aprender a matemática das funções, dos logaritmos e das 
formas geométricas 
 
 
2º ano/1º bimestre 
Orientação para Planos de Aulas 
(OPA) 
 
Uma parceria entre a SED/SC e 
o Instituto Ayrton Senna 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 3 
ideias e conceitos por meio da resolução de problemas; que os desafiem para o uso de 
habilidades de pensamento de ordem superior; que os ajudem a dar sentido ao que 
aprendem, a estabelecer relações entre diferentes conceitos matemáticos e a fazer 
conexões entre a Matemática e outros assuntos, por meio de atividades envolventes e 
relevantes, que considerem a tecnologia como parceira e que sejam aplicadas em sua 
vida atual e futura, quando possível. 
 
A concepção de Matemática nesta proposta de educação integral reconhece a 
diversidade que existe entre os jovens, baseia-se na crença de que todos podem 
aprender Matemática de qualidade e merecem essa oportunidade. Ela também 
reconhece que nem todos os estudantes aprendem Matemática necessariamente da 
mesma maneira, usando os mesmos recursos e nos mesmos intervalos de tempo. Por 
isso, nessa proposta, busca-se a equidade, promovendo a participação ativa de todos os 
estudantes nas aulas ao dividir com eles a responsabilidade pela aprendizagem, ao 
identificar claramente o conhecimento e as habilidades que se espera que aprendam e 
ao utilizar uma variedade de estratégias didáticas (jogos, trabalho em times, pesquisa, 
problemas, recursos da tecnologia) e avaliativas. 
 
O desenvolvimento do conhecimento matemático é um processo gradual que exige um 
planejamento contínuo e coeso ao longo de todos os anos e períodos escolares e, para 
ajudar os estudantes a desenvolver uma compreensão das "grandes ideias" da 
Matemática, torna-se importante a abordagem de diferentes campos ou eixos da 
Matemática, dentre os quais destacamos neste bimestre noções de números e álgebra, 
bem como de geometria. 
 
Retomamos as noções de funções. Agora, com os logaritmos e a trigonometria, vamos 
explorar processos de cálculo mental rápido para auxiliar no desenvolvimento de maior 
controle do estudante a respeito de seus erros básicos de cálculo rotineiro e dedicaremos 
tempo maior à geometria. 
 
A experiência sugere que os estudantes não compreendem todas essas relações 
matemáticas automaticamente. Uma ampla gama de atividades, problemas e 
investigações, com a orientação do professor, vai ajudá-los a entender a Matemática e 
saber como e quando aplicar conceitos, estratégias e operações relevantes durante a 
resolução de problemas. 
 
As noções e os conceitos são apresentados em sequências didáticas, com propostas 
variadas de atividades que atendem aos princípios trazidos pela educação para o 
desenvolvimento integral do jovem no Ensino Médio, modificando, por vezes, a ordem de 
alguns dos conteúdos originalmente indicados na proposta curricular, ou inserindo 
algumas temáticas em função das necessidades percebidas nos estudantes,durante o 
trabalho desenvolvido no 1º ano desse curso. Cada sequência é organizada em uma 
ordem, com sugestões cuja meta é que estudantes e educadores possam aprofundar 
seus conhecimentos em relação às metodologias que embasam a proposta curricular e 
aos princípios do trabalho de Matemática, escolhidos durante a elaboração desta 
sequência. A forma pela qual imaginamos que as sequências sejam desenvolvidas, ao 
longo de cada mês do bimestre, está apresentada no Mapa de Atividades, que pode ser 
lido a partir da página 9. 
 
Destacamos que todas as sequências estão voltadas também para o desenvolvimento 
do Letramento em Matemática, que ocorre à medida que os estudantes desenvolvem o 
conhecimento e as habilidades para usar Matemática de modo confiante em diferentes 
situações da vida (escolar ou não) e reconhecem o papel da Matemática no mundo, 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 4 
porque podem identificar quando e como o conhecimento matemático os auxilia a ser 
mais bem posicionados frente à diversidade de situações que vivem todos os dias. 
 
Estudos orientados na aula de Matemática 
 
Todos sabemos da importância dos estudos pessoais dos estudantes para aprender 
Matemática. É preciso um repensar um tempo de apropriação e estudos, conforme 
Sprenger1 (2008) indica ao ressaltar que uma aprendizagem profunda, com mais sentido, 
envolve tempo para pensar novamente naquilo que se conheceu, exige experiência, 
análise de dados e um tempo pessoal de reflexão a respeito do assunto abordado. É 
necessário favorecer a atenção a respeito daquilo que se está aprendendo para que o 
cérebro detecte padrões e forme memória dos aspectos mais relevantes da 
aprendizagem em questão. 
 
De acordo com a autora, a exercitação é um processo importante para a promoção do 
armazenamento das informações na memória de longa duração, ou seja, para 
aprendermos algo para além das primeiras impressões, é necessário que as informações 
armazenadas nas diversas áreas do nosso cérebro possam ser acessadas de forma 
eficiente quando necessitarmos delas. Para Sprenger, isso ocorre se houver 
oportunidades de o cérebro pensar muitas vezes a respeito de um mesmo assunto, de 
modo a formar um caminho, um percurso de aprendizagem com significado, fazendo com 
que as informações inicialmente adquiridas por meio das experiências – como uma 
atividade ou ação realizada pontualmente – transformem-se em conhecimento. 
 
Dessa forma, em uma concepção atual de ensino, é importante que o estudante possa 
pensar mais sobre um assunto, rever, ter o tempo de aprender para apropriar-se melhor 
de um conhecimento (conceito ou procedimento) e aprofundar-se nele, ter memória 
daquilo que é relevante, validar conclusões, descobertas, entre outras possibilidades. 
 
Tradicionalmente, a aula é dada em sala e o professor propõe tarefas que deveriam ser 
realizadas em casa pelos estudantes. Ocorre que, nesta proposta de formação integral, 
os estudantes ficam o dia todo na escola. Quando termina o período de aulas, eles 
dificilmente acharão tempo para realizar atividadesextras que seus professores 
propuserem. Pensando nisso, e considerando que entre as aulas de Matemática e de 
letramento matemático os estudantes têm nove aulas por semana, nós estamos propondo 
desde os bimestres anteriores – e agora de modo mais organizado – que sejam 
destinadas aulas específicas em cada sequência didática, especialmente as SD3, SD4 e 
SD6, para os jovens estudarem. 
 
Quando elaboramos as OPAs, já previmos não apresentar propostas para todas as aulas 
do bimestre. Assim, sabendo que há feriados, avaliações da escola, avaliações externas 
e outros eventuais ajustes que possam ser necessários segundo as suas observações, 
professor, as sequências não ocupam todas as aulas bimestre. Aqui já é possível 
organizar aulas para estudos dos estudantes com a oportunidade única de o professor 
estar em sala, acompanhando, tirando dúvidas, auxiliando o estudante para que ele 
aprenda a estudar Matemática. 
 
 
1 SPRENGER, Marylee. Memória: como ensinar para o aluno lembrar. Porto Alegre: Artmed, 2008. 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 5 
No entanto, neste bimestre, apresentaremos sugestões específicas para tornar esse 
estudo ainda mais possível e organizado. Esperamos que você e seus alunos aproveitem 
bem a oportunidade única de estudarem juntos. 
 
Foco na avaliação 
 
O principal objetivo da avaliação é melhorar a aprendizagem do estudante. Os dados 
obtidos por meio de avaliações continuadas realizadas com informações coletadas a 
partir de diversas fontes (tarefas rotineiras, observações durante as aulas, conversas do 
dia a dia, demonstrações, projetos, provas, entre outas) ajudam os professores a 
determinar os pontos fortes e fracos dos estudantes em sua aprendizagem e devem servir 
para orientar os alunos, a escola e até mesmo as famílias em relação ao desenvolvimento 
integral do jovem na escola. 
 
Contudo, essa orientação acontece apenas se, após a coleta, houver a organização e a 
análise dos dados, seguidas de um planejamento de como intervir para que quem 
aprende avance do ponto em que se encontra até patamares mais altos de 
desenvolvimento. Nas OPAs, por várias vezes haverá a tentativa de mostrar diversas 
possibilidades de acompanhar e orientar a aprendizagem pela avaliação em processo. 
 
Assim, o primeiro foco que desejamos estabelecer como proposta quanto à avaliação na 
área de Matemática é o de que as orientações da OPA sobre a avaliação sejam 
cuidadosamente analisadas e planejadas para execução. 
 
É importante ler atentamente o que está sugerido, compreender a extensão do que é 
sugerido e planejar os momentos para que as diferentes propostas sejam realizadas em 
processo, de modo que não se restrinja o ato de avaliar a uma prova ou duas ao longo 
do bimestre. 
 
O conjunto de informações obtidas pela análise dos diversos registros de 
acompanhamento dos estudantes permite ao professor refletir sobre cada jovem e sobre 
o seu próprio trabalho. Assim, ao longo das aulas ele acumula dados que lhe possibilitam 
ir adiante ou que evidenciam a necessidade de replanejar. Essa é, essencialmente, a 
recuperação em processo das aprendizagens e ela torna imprescindível o registro do 
professor, pois, como explicitado, não se trata de dar nota, mas de acompanhar o 
desenvolvimento de uma habilidade – a da escrita –, o que pode exigir tempos diferentes 
para cada estudante e intervenções distintas em cada caso. Para ter tudo organizado, é 
interessante que o professor use um caderno de bordo, uma espécie de diário que será 
utilizado para tomar notas, fazer lembretes, registrar impressões, isto é, criar memória e 
história do trabalho desenvolvido e das aprendizagens em processo. 
 
O segundo ponto relativo à avaliação diz respeito ao processo de recuperação dos 
estudantes, para o qual é preciso ter dois olhares quanto ao que deve ser recuperado. 
Conteúdos que serão naturalmente retomados na continuidade do ensino não precisam 
ser recuperados de imediato. Se no próximo bimestre os estudantes continuarem a 
estudar conceitos que envolvem ideias, teorias ou procedimentos que ainda não 
alcançaram, cabe ao professor ter isso registrado e acompanhar de perto esses 
estudantes para verificar se eles conseguem, em outro contexto, compreender ou realizar 
o que não haviam conseguido no bimestre anterior. 
 
No entanto, os aspectos que precisam ser recuperados de imediato, porque impedirão o 
estudante de acompanhar as aulas, exigem intervenção cuidadosa e rápida. Afinal, 
sabemos que mais exercícios ou um trabalho individual para complementar a nota 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 6 
dificilmente significam aprendizagem efetiva. Propomos, então, trabalhar com planos de 
estudo individuais ou em times. 
 
Em função da formação de estudantes protagonistas, meta desta proposta curricular, os 
planos de estudo em grupos podem ser mais adequados. O professor procede da 
seguinte forma: 
 
 Identifica, por meio dos instrumentos de avaliação, o que determinado grupo de 
estudantes precisa recuperar e organiza-o em torno das mesmas necessidades 
(dificuldades ou até mesmo interesse em saber mais) e das forças que eles podem 
agregar no sentido de se auxiliarem mutuamente. 
 
 Elabora e orienta o plano de estudos (com vídeos, listas de exercícios, estudo do livro 
didático, repetição de experimento ou de atividades, consulta a estudantes que podem 
ser monitores etc.) e estabelece com o time um cronograma de estudo. 
 
 O líder do grupo (escolhido pelo grupo) é responsável por organizar os tempos e 
espaços para que o estudo do time aconteça. Para evitar que a escolha do líder seja 
casual, por interesses outros, ela tem de ser um combinado claro do grupo, feito com 
atenção. 
 
 Cumprido o plano, cabe ao professor avaliar os progressos do grupo, seja com uma 
autoavaliação, um conjunto de novas atividades ou simplesmente com o 
acompanhamento dos estudantes nas aulas do próximo período de estudo. 
 
 A nota dessa recuperação passa a ser secundária. O importante é ter certeza de que 
os estudantes avançaram e se perceberam parte desse processo como responsáveis por 
sua aprendizagem, e não mais meros fazedores de tarefas em troca de nota. 
 
Para saber mais 
 
BRASIL, Ministério da Educação/Diretoria de concepções e orientações para a Educação 
Básica/Coordenação Geral de Ensino Médio. Ensino Médio Inovador. Disponível em: 
bit.ly/EM-inovador. Acesso em: abr. 2017. 
 
BRASIL, Ministério da Educação/Secretaria de Educação Média e Tecnológica. 
PCN+Ensino Médio: orientações educacionais complementares aos Parâmetros 
Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/Semtec, 2002. Disponível em: bit.ly/pcn-
matematica. Acesso em: abr. 2017. 
 
BOALER, J. Mathematical Mindsets. San Francisco: Jossey-Bass editions, 2016. 
 
CALLEJO, M. L.; GOÑI, J. M. (Orgs.). Educación matemática y cidadania. Barcelona: 
Editorial Graó, 2010. 
 
CAZORLA, I.M.; SANTANA, E.R. (Orgs.). Do tratamento da informação ao letramento 
estatístico. Salvador: Via Litterarum, 2010. (Série Alfabetização Matemática, Estatística e 
Científica.) 
 
DINIZ, M. I.; SOUZA, E. R. Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo: 
CAEM – Centro de Aperfeiçoamento do Ensino da Matemática do IME-USP, 2003. 
 
ESCÁMEZ, J. e GIL, R. O protagonismo na educação. Porto Alegre: Artmed, 2003. 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 7 
NCTM. De los princípios a la acción: Para garantizar el éxito. Reston: NCTM, s/d. 
 
ORTEGA, R. (Org.). Diezideas clave – disciplina y gestión de la convivência. Barcelona: 
Editorial Graó, 2008. 
 
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática no Ensino Médio. v. 1. São Paulo: Saraiva, 2010. 
 
SMOLE, K. S; DINIZ, M.I.; MILANI, E.; PESSOA, N. Cadernos do Mathema, 6º ao 9º ano 
– Jogos de Matemática. Porto Alegre: Artmed, 2008. 
 
VILA, A.; CALLEJO, M. L. Matemática para aprender a pensar. Porto Alegre: Artmed, 
2011. 
 
WALLE, J. A. Van de. Matemática no Ensino Fundamental - formação de professores e 
aplicação em sala de aula. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009. 
 
WISKE, M. S. (Org.). Ensino para Compreensão: a pesquisa na prática. Porto Alegre: 
Artmed, 2007. 
 
 
Macrocompetências em foco 
 
Autogestão, responsabilidade, colaboração, curiosidade, resolução de problemas e 
comunicação. 
 
Metodologias integradoras 
 
As atividades promovem a integração entre estudantes e educadores, e entre eles e a 
concepção de ensino do componente curricular, com base na aprendizagem colaborativa 
e na problematização, conceitos que, por sua vez, favorecem e estimulam oportunidades 
de integrar conteúdos de todas as áreas de conhecimento. 
 
 
 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 8 
Quadro de competências e 
conteúdos 
 
 
 
Trigonometria na 
circunferência 
 
Função Logarítmica Introdução à 
Geometria 
Espacial 
 
Competências 
do Enem 
comuns a 
todas as áreas 
 
Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa 
e fazer uso das linguagens matemática, artística e científica e das 
línguas espanhola e inglesa. 
Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, 
interpretar dados e informações representados de diferentes formas, 
para tomar decisões e enfrentar situações-problema. 
Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas 
em diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações 
concretas, para construir argumentação consistente. 
 
Matriz de 
Competências 
para o Século 
21 
 
Autoconhecimento; Colaboração; Comunicação; Resolução de 
problemas e Pensamento crítico. 
 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 9 
Mapa das Atividades 
 
 Nome Conteúdos Objetivos Aulas 
previstas 
Página 
Sequência 
Didática 
1 
Resolução 
de 
Problemas 
Leitura e 
interpretação de 
problemas; 
Problemas não 
convencionais; 
Visualização 
espacial; 
Estratégias para 
resolver 
problemas. 
Ler e interpretar textos em 
Matemática; 
Utilizar argumentações para 
justificar como resolveu um 
problema se valendo de 
vocabulário matemático; 
Desenvolver uma variedade 
de estratégias para abordar 
e resolver um problema; 
Comunicar-se 
matematicamente. 
5 aulas p. 13 
Sequência 
Didática 
2 
Cálculo 
Mental 
Produtos notáveis; 
Resolução de 
equações; 
Valor numérico; 
Potenciação; 
Números inteiros. 
Desenvolver procedimentos 
de cálculo mental rápido com 
produtos notáveis, resolução 
de equações, potências, 
valor numérico e números 
inteiros. 
10 a 15 
minutos, 
duas a três 
vezes por 
semana 
p.20 
Sequência 
Didática 
3 
 De volta à 
Trigonome-
tria 
Seno, cosseno e 
tangente de um 
arco qualquer no 
círculo 
trigonométrico. 
Representar seno, cosseno e 
tangente de um arco 
qualquer no círculo 
trigonométrico; 
Resolver equações 
trigonométricas simples. 
9aulas p. 23 
Sequência 
Didática 
4 
 Logaritmos 
e função 
logarítmica 
Noção de 
logaritmo; 
Condição de 
existência do 
logaritmo e sua 
relação com 
cálculos 
exponenciais; 
Operações simples 
que utilizam 
propriedades de 
logaritmos; 
Função 
logarítmica. 
Entender a noção de 
logaritmo, bem como sua a 
condição de existência; 
Realizar operações simples 
utilizando propriedades de 
logaritmos; 
Ler, analisar, construir 
gráficos de funções 
logarítmicas, identificando 
seu domínio e sua imagem; 
Resolver problemas que 
envolvem noção de 
logaritmos. 
9 aulas p.29 
Sequência 
Didática 
5 
 Bingo de 
Formas 
Propriedades 
relativas a lados e 
ângulos em 
polígonos; 
Habilidades 
verbais, visuais e 
lógicas. 
Identificar, nomear e contar 
lados e vértices em 
polígonos; 
Identificar propriedades 
relativas a lados e ângulos 
em polígonos; 
Utilizar um vocabulário 
relativo à geometria. 
3 aulas p.33 
Sequência 
Didática 
6 
Planos, 
Retas e 
Sólidos 
Geométri-
cos 
Retas concorrentes 
e paralelas; 
Poliedros e corpos 
redondos; 
Planificação de 
sólidos 
geométricos; 
Identificar e nomear retas 
concorrentes e paralelas em 
poliedros. 
Utilizar um vocabulário 
relativo à geometria. 
Identificar e nomear 
poliedros e corpos redondos. 
9 aulas p.36 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 10 
Relação de Euler; 
Habilidades 
verbais, visuais e 
lógicas. 
Utilizar a relação de Euler na 
resolução de problemas. 
Ler imagens geométricas e 
interpretar as informações 
nelas representadas. 
Identificar a planificação de 
um poliedro ou corpo 
redondo. 
Construir a planificação de 
um poliedro. 
 
Nestas orientações, as atividades propostas não contemplam o total das aulas do 
bimestre porque reservamos, em média, uma aula livre por quinzena para o professor 
retomar e realinhar o que foi desenvolvido, atendendo tanto aos ritmos de aprendizagem 
de cada estudante e turma quanto aos acertos necessários no tempo, em função de 
possíveis feriadose atividades planejadas pela escola. Nos quadros a seguir, estão as 
sínteses das atividades. Seus objetivos e comentários para o planejamento das aulas são 
apresentados na descrição das propostas, em uma ordem sugerida para seu 
desenvolvimento. 
 
Desejamos fazer uma sugestão: trabalhar as atividades de cálculo mental, como previsto 
na proposta (em momentos de 10 a 15 minutos de aula, duas vezes por semana), utilizar 
três aulas por semana para desenvolver as atividades da sequência 3 e, 
simultaneamente, reservar uma aula por semana para iniciar a sequência 5, que é a do 
Bingo de Formas. Depois, continuar com três aulas por semana para trabalhar a 
sequência 3 ou a 4 e, em uma aula por semana, introduzir a sequência 6. Com isso, você 
vai trabalhar álgebra e geometria ao mesmo tempo e terá mais chance de que seus 
estudantes consigam aprender mais Matemática em diferentes eixos. 
. 
 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 11 
Quadro-síntese das atividades 
 
A distribuição de aulas no mês computa possíveis feriados e aulas livres. 
 
 
1º mês 
 
 
Aula 
 
1ª Semana 
 
2ª Semana 
 
3ª Semana 
 
4ª Semana 
 
1 Recepção aos 
estudantes 
 
SD3- 
Continuação 
Ficha 7 
 
SD1- Ficha 2 
SD1- retomada 
do problema da 
semana PS1 
 
SD2- Ficha 5 
propostas 1 e 2 
SD 3- Ficha 9 
Estudos 
orientados 
 
 
2 
SD1- Ficha 1 
SD2- Ficha 4- 
propostas 3 a 5 
SD3- Ficha 8 
 
3 
SD2- Ficha 4 – 
Propostas 1 e 2 
SD3- Sem ficha 
 
4 SD5 -
Problematizações 
 
5 
SD5- Ficha 12 
SD5- 
continuação 
Aula livre 
Apresentação do 
problema da 
semana PE1 
 
 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 12 
Quadro-síntese das atividades 
 
A distribuição de aulas no mês computa possíveis feriados e aulas livres. 
 
 
2º mês 
 
 
Aula 
 
1ª Semana 
 
2ª Semana 
 
3ª Semana 
 
4ª Semana 
 
1 SD2- Ficha 5 –
Propostas 3 e 4 
SD4- Revisão de 
Função 
exponencial 
SD6- Ficha 14 
SD6- Ficha 15 
SD1-
Apresentação do 
PS2 
SD1- Retomada 
do PS2 
SD2- Ficha 6 –
Propostas 3 e 4 
SD6- Ficha 16 
 
2 
SD2- Ficha 6-
Propostas 1 e 2 
SD4- Ficha 10 
 
3 
SD 6- Ficha 13 
SD2- Ficha 6 -
Sequências 2 e 3 
SD4- Finalização 
 
4 
SD4- continuação 
 
5 
SD1- Ficha 3 SD 6- Ficha 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre13 
SD 1 
 
Resolução de Problemas 
Resumo 
Em Matemática, além das problematizações nas aulas, de modo 
geral, foi feita a opção por criar a aula de resolução de problemas, na 
qual os estudantes individualmente, em dupla ou em pequenos times, 
durante 40 a 50 minutos quinzenais, atuam com situações 
desafiadoras que não dizem respeito a propostas diretamente ligadas 
ao conteúdo curricular, que será abordado nas demais sequências 
didáticas. As atividades problematizadoras das aulas de resolução 
de problemas são tarefas ricas porque: são motivadoras, captam o 
interesse dos estudantes, facilitam seu envolvimento com diferentes 
formas de raciocinar, permitem diferentes tentativas de resolução, 
criam um ambiente de questionamento, de troca e de diálogo na sala 
de aula. As aulas de resolução de problemas visam ainda a que os 
estudantes ampliem sua capacidade de ler e interpretar textos de 
problemas, bem como de elaborar estratégias de resolução de 
problemas bem-sucedidas. 
Foco 
Ler e interpretar problemas, elaborar estratégias pessoais de 
abordagem de tipos variados de problema, desenvolver a capacidade 
de analisar e resolver problemas. 
Objetivos 
Ler e interpretar textos em Matemática, desenvolver argumentações; 
ampliar vocabulário matemático; desenvolver uma variedade de 
estratégias para abordar e resolver um problema; aprender a 
comunicar-se matematicamente. 
Organização da 
turma 
Individual e depois coletivo para as discussões. 
Recursos Problemateca; Fichas 1 a 3 do Caderno do Estudante. 
Duração Prevista 5 aulas (sendo duas para problema da semana). 
 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 14 
Desenvolvimento 
 
A resolução de problemas não é uma situação qualquer, focada em achar uma resposta 
de forma rápida, pois deve colocar o resolvedor diante de uma série de decisões a serem 
tomadas para alcançar um objetivo previamente traçado por ele, ou que lhe foi proposto, 
com o qual ele interage, se desafia e se envolve. A resolução de problemas está centrada 
na ideia de superação de obstáculo, não sendo, assim, de resolução imediata pela 
aplicação de fórmula conhecida, ao oferecer uma resistência suficiente, que leve à 
mobilização de conhecimentos disponíveis, bem como representações e questionamento 
para a elaboração de novas ideias e de caminhos que visem solucionar os desafios 
estabelecidos pela situação problematizadora. 
 
Para que esse processo seja garantido nesta proposta de educação integral, não é 
necessária uma quantidade grande de problemas, apenas um ou dois por semana, que 
variem no estilo de texto e na forma pela qual são propostos. 
 
Gestão da aula 
 
A aula de Matemática, voltada para um enfoque problematizador, exige do professor uma 
condução organizada e que respeite o tempo e a possibilidade de trabalho pessoal dos 
estudantes, seja individualmente ou em grupos. Dessa forma, os estudantes poderão se 
envolver nas atividades e ter disciplina e organização para pensar, analisar e discutir, 
concretizando o sonho da maioria dos educadores em relação aos seus estudantes e 
suas aulas. John Van de Walle2 (2009) sugere o seguinte esquema para a condução da 
aula de problemas: 
 
F
A
S
E
 
A
N
T
E
S
 
D
u
ra
ç
ã
o
: 
1
0
-1
5
m
in
.  Os estudantes precisam compreender o problema. 
 Os estudantes devem saber por que estão trabalhando com 
problemas. 
 Os estudantes precisam saber o que aprenderão fazendo aquele 
problema. 
F
A
S
E
 D
U
R
A
N
T
E
 
 
D
u
ra
ç
ã
o
:2
0
-3
0
 m
in
.  Os estudantes trabalham e o professor acompanha observando, 
avaliando, anotando. 
 Os estudantes precisam se concentrar, então não é hora de 
interromper para brincar com o estudante, nem fazer comentários 
desnecessários. 
 Se houver dúvidas, atender ao estudante ou grupo que tem a 
dúvida e não responder para a “classe toda ouvir”. 
 O professor tem um problema extra para estudantes que trabalham 
muito rápido na tarefa originalmente proposta. 
F
A
S
E
 
D
E
P
O
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. 
 Os estudantes são encorajados a partilhar soluções, dúvidas, 
processos realizados. 
 O professor escuta, aceita, questiona as apresentações. 
 A classe se torna uma comunidade de discussão e aprendizagem. 
 As soluções são analisadas, debatidas e as conclusões anotadas. 
 É feita uma síntese de ideias. 
 
Ainda podemos acrescentar em relação à gestão da aula de problemas: 
 
2WALLE, John A. Van de. Matemática no Ensino Fundamental, formação de professores e aplicação em sala de aula. 
6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 15 
 
 O professor circula pela classe observando os resolvedores e incentiva alguns a 
apresentarem suas soluções ou dúvidas para a discussão com a turma; 
 Não se apresenta apenas a resposta, as resoluções são expostas e discutidas na 
íntegra; 
 Os estudantes resolvem o mesmo problema, para possibilitar discussões ao final da 
resolução por meio de um painel de soluções; 
 Não é necessário que todos apresentem a solução. Bastam quatro ou cinco 
estudantes; 
 Cada solução é explicada pelo resolvedor e as soluções são comparadas entre si em 
suas semelhanças, diferenças, praticidade, originalidade etc.; 
 Os estudantes são incentivados a pensar a respeito de possíveis confusões ou erros 
que tenham cometido; 
 Ao final, os estudantes são estimulados a registrar no caderno uma resolução diferente 
daquela que ele mesmo fez. 
 
Uma palavra a respeito dos problemas desta OPA 
 
Devido ao número de aulas do 2º ano, trabalharemos problemas todas as semanas, mas 
nem todos em aula. Está prevista uma aula de problemas a cada 15 dias. No total foram 
selecionados seis problemas, sendo que, na primeira e na quarta aulas de problemas, os 
estudantes resolverão um único problema e, nas demais, dois problemas por aula. 
 
Para iniciar as atividades com resolução de problemas, sugerimos uma conversa sobre a 
experiência dos estudantes no 1º ano. Questione: 
 
 O que vocês se lembram das aulas de resolução de problemas? 
 O que foi bom? O que era mais difícil? 
 O que aprenderam e trazem como bagagem para resolver mais problemas? 
 Em que precisam melhorar nessas aulas? 
 
Faça um primeiro registro das respostas dos estudantes para utilizá-las no 
acompanhamento do desenvolvimento deles ao longo deste ano. Lembre-se de que a 
competência de resolver problemas leva tempo e exige investimento para que ela 
aconteça. 
 
Nas Fichas 1 a 3 selecionamos problemas envolvendo estratégia. Veja alguns 
comentários a respeito deles: 
 
 O problema da Ficha 1 é relativamente simples e tem como objetivo colocar toda 
a classe muito à vontade para mostrar diferentes respostas possíveis para a 
formação de cada número da sequência. Providencie algumas calculadoras, para 
que os jovens possam testar suas hipóteses e depois registrá-las com mais 
segurança. 
 
 O problema da Ficha 2 tem forte apelo lúdico e desenvolve a percepção espacial 
dos estudantes. Pode haver alguma dificuldade para visualizar a mesma figura 
em diferentes posições e constatar que se trata da mesma figura. Muitas vezes 
será necessário recorrer à criação de um pequeno modelo para que se 
convençam de que não encontraram outro pentaminó ou que dois cubos pintados 
são o mesmo, estando apenas rotacionado. Se for preciso, providencie quadrados 
de papel e fita adesiva para que os jovens possam fazer os pentaminós e move-
los em diferentes posições. 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 16 
 
 Os problemas da Ficha 3 foram pensados para serem resolvidos em uma aula e 
têm duas situações distintas emque unidades de medida de tempo são 
solicitadas. O problema1 tem sua solução com o uso das operações aritméticas 
da multiplicação e divisão e do cálculo de horas em 4500 segundos, ou seja, uma 
redução de unidades de tempo. Já o problema 2 não se resolve apenas com 
operações, é preciso um esquema, um desenho, ou algo semelhante para 
descrever a situação e entender que o que se pede exige uma estratégia não 
convencional de resolução, sem ser preciso grandes cálculos com unidades de 
medida de tempo. 
 
Respostas dos problemas do bimestre 
 
Ficha 1 - Há várias respostas possíveis. Apresentamos apenas uma possibilidade para 
cada número. 
2 x 3 = 6 
2 x 2 + 3 = 7 
2 x 2 x 2 = 8 
2 + 3 x 2 = 10 
2 x 3 x 2 = 12 
2 + 3 x 3 = 15 
2 + 3 x 3 + 2 + 3 = 20 
2 + 3 x 3 + 2 + 3 + 2 + 3 x 2 = 50 
 
Ficha 2 - Existem 12 pentaminós diferentes. Oito deles podem ser dobrados em forma 
de caixas abertas. Quatro, não. Os estudantes podem precisar recortar as formas e 
dobrá-las para ver se dois dos quadrados se sobrepõem. Por outro lado, alguns deles 
podem visualizar o processo de dobra sem precisar fazê-lo. 
 
Aqui estão os 12 pentaminós, divididos entre aqueles que dão certo e aqueles que não. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha 3 - Problema 1: B. Problema 2: C. 
 
 
Esses não dão certo. Os quadrados 
marcados com um “X” se sobrepõem 
quando dobrados. Portanto a forma não 
se dobra em uma caixa aberta. O 
pentaminó no canto inferior esquerdo não 
pode ser dobrado adequadamente porque 
quatro quadrados estão ligados em dois 
lados diferentes. 
Esses oito pentaminós podem ser 
dobrados para formar caixas 
abertas. Se for, preciso os 
estudantes podem recortá-los e 
dobrá-los se não se convencerem 
apenas com a visualização. 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 17 
 
 
Mais problemas 
 
Apresentamos ainda dois problemas para serem trabalhados como problemas da semana 
(PS), isto é, problemas extras para serem explorados com calma pelos estudantes, ao 
longo de uma semana, para que se organizem e decidam como e quando resolver fora 
da aula de problemas. No começo da semana, você propõe o problema aos estudantes, 
explica que terão uma semana para resolução e deixa um espaço para que publiquem 
suas resoluções em local visível (pode ser em uma cartolina na sala destinada a isso), 
conforme forem encontrando. Os problemas podem ter mais do que uma solução 
possível, ou utilizar estratégias variadas de resolução. Incentive que isso apareça. Os 
problemas para esse trabalho são, PS1 (contagem) e PS2 (geometria, proponha este 
problema após a última semana de março). 
 
PS1. Existem três caixas idênticas e separadas umas das outras. Dentro de cada uma 
dessas caixas existem duas caixas menores, e dentro de cada uma dessas caixas 
menores outras seis caixas menores ainda. Separando-se todas essas caixas, tem-se um 
total de quantas caixas? 
 
Resolução 
Dentro de cada uma das três caixas idênticas e separadas umas das outras temos duas 
caixas menores. Então podemos deduzir que temos 6 caixas menores e 3 maiores até 
agora, totalizando 9 caixas. 
Se dentro de cada uma das 6 caixas menores podemos encontrar outras seis caixas 
menores ainda, teremos 36 caixas menores ainda. 
Somando tudo temos: 
Caixas idênticas e separadas umas das outras = 3 
Caixas menores = 6 
Caixas menores ainda = 36 
3 + 6 + 36 = 45 
Resposta: São 45 caixas.(Há outras formas de calcular) 
 
PS2. Quantas planificações diferentes podem ser 
encontradas para o seguinte paralelepípedo? 
 
Resolução: Lembre-se de que as duas planificações a seguir 
são iguais, apenas uma foi “girada”. 
 
O paralelepípedo tem, assim como o 
cubo, 11 planificações diferentes. 
 
 
 
 
Como posso avaliar o que aprenderam? 
 
Não se esqueça de observar e dar retorno para a classe a 
respeito do que estão fazendo bem, no que melhoraram, e de 
quais as metas ainda precisam ser vencidas. Converse 
algumas vezes com eles a respeito do que já fazem bem e do 
que, na opinião deles, é preciso aperfeiçoar. 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 18 
Uma ação especial: Problemateca 
 
Uma problemateca é uma coleção de problemas de tipos diferentes, especialmente 
aqueles que exigem doestudante recorrer a uma estratégia não usual e mais pessoal para 
sua resolução. O principal objetivo da problemateca, além da variedade de problemas 
ofertados para a resolução, é incentivar o trabalho independente e de livre escolha dos 
estudantes, favorecendo processos de autogestão do tempo e dos conhecimentos. Essa 
é uma das competências socioemocionais focadas nesta proposta para o Ensino Médio. 
 
Os problemas são organizados em fichas numeradas para facilitar sua identificação e o 
controle do resolvedor. A resposta dos problemas pode estar no verso da ficha de modo 
que o estudantefaça a autocorreção e trabalhe sem depender diretamente da resolução 
conduzida pelo professor. Essas fichas são organizadas em uma caixa ou fichário de fácil 
acesso aos estudantes, que devem escolher os problemas que desejam resolver ou então 
seremorientados, vez ou outra,na escolha de um problema específico. 
 
Em sala de aula, a problemateca assume duas funções diferentes. A primeira delas é 
apoio ao trabalho independente, para os estudantes mais ágeis, no desenvolvimento das 
atividades da aula. Nesse caso, o professor encaminha o estudante à problemateca para 
que ele escolha um problema, ou seleciona um problema específico para que o jovem 
resolva individualmente ou em time. 
 
A segunda função da problemateca é o de complementar as atividades da aula de 
problemas, permitindo que, no seu ritmo, o estudante escolha e resolva outros problemas 
além daqueles propostos a todos. Nesse caso, é preciso prever no planejamento um 
tempo específico para o trabalho com a problemateca, o que pode ser feito em ligação 
com a aula de estudos orientados. 
 
Seja qual for a maneira pela qual se utiliza a problemateca, é interessante que os 
estudantes sejam incentivados a trocar suas impressões referentes ao trabalho com cada 
problema, sugerindo aos colegas da classe um problema diferente ou para o qual 
encontraram uma resolução particular e, eventualmente, se muitos se interessarem por 
um mesmo problema, aqueles que o resolveram podem apresentar aos outros as 
resoluções. 
 
Para que seja possível acompanhar as resoluções e a escolha de cada estudante, 
sugerimos uma ficha de acompanhamento, com o número do problema e nome dos 
estudantes que o resolveram. Da mesma forma, cada jovem pode ter uma folha com seu 
nome, na qual marca os números dos problemas que já resolveu e podendo escreverno 
verso damesma a resolução de alguns dos problemas que ele considerou mais 
interessantes. O professor pode consultar essas fichas e intervir sugerindo outros 
problemas, ou selecionando algumas resoluções para socializar com a classe, ou com 
um grupo de estudantes. 
 
De início, espera-se que os estudantes selecionem os problemas aleatoriamente, mas, 
com o passar do tempo, as escolhas são feitas com critérios pessoais e alguns dos 
problemas se tornam famosos entre os estudantes, que desafiam os colegas para 
enfrentar aqueles problemas que exigiram mais deles. Ter na sala um painel de gestão à 
vista, com o número de todos os problemas e a quantidade de jovens que já os resolveu 
é interessante. Do mesmo modo, vez ou outra é possível conversar com cada estudante 
individualmente sobre quantos problemas ele fez, e saber porque a média desse ou 
daquele jovem foi menor do que um por semana, e quais implicações isso tem no 
desempenho de cada um ao longo do tempo. Não sugerimos que se faça uma preleção, 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 19 
mas sim que eles reflitam como professor a responsabilidade partilhada pelo avanço em 
sua aprendizagem. 
 
Sugestão de controle da problemateca (para acompanhar a caixa com as fichas dos 
problemas) 
Sugestão de ficha para o estudante 
Problemateca – controle de resoluções 
Nome: _______________________________________________ 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
 
Os problemas da problemateca estão organizados da seguinte forma: 
 
 Numerados em ordem crescente a partir de 1. 
 
 De diferentes tipos, alguns envolvendo mais o raciocínio dedutivo sem a exigência de 
cálculos, outros que podem ser resolvidos por tentativa e erro e alguns que exigem 
relacionar propriedades de números ou formas geométricas. 
Nesta OPA 1º bimestre, apresentamos os cinco primeiros problemas da problemateca 
para iniciar a coletânea. Há problemas de conteúdo, incluindo alguns abordados no ano 
anterior, outros não. Você também pode procurar outros problemas e acrescentá-los. Um 
ponto importante da problemateca é que sua utilização pelos estudantes é livre – eles 
escolhem qual problema querem resolver, onde e como resolver. No entanto, todos 
devem resolver ao menos um problema da coletânea por semana. Seguem aqueles 
propostos para essa finalidade. 
 
1. Considerando a figura a seguir, qual o valor 
da expressão x + y? 
 
 
 
 
 
 
 
2. Quantos números inteiros estão entre √8 
e √80 ? 
 
Problemateca – Controle de resoluções 
Problema Quem resolveu: 
1 
2 
3 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 20 
3. Os senhores Barros, Caldas, Morais e Sousa trabalham na cidade de São Paulo como 
arquiteto, empreiteiro, farmacêutico e professor, não necessariamente nessa ordem. Qual 
é a ocupação de cada homem? 
 
Dados: 
 O farmacêutico ganha, exatamente, duas vezes mais que o professor. 
 O arquiteto ganha, exatamente, duas vezes mais que o farmacêutico. 
 O empreiteiro ganha, exatamente, duas vezes mais que o arquiteto. 
 Embora o Sr. Barros seja mais velho que qualquer pessoa que ganhe mais dinheiro 
que o Sr. Caldas, este não ganha duas vezes mais que o Sr. Barros. 
 O Sr. Souza ganha, exatamente, R$ 3776,00 mais que o Sr. Morais. 
 
4. Três amigos estavam visitando uma cidade quando notaram um motorista cometendo 
uma grave infração de trânsito. Mais tarde, comentando o caso, nenhum dos amigos 
lembrava os números da placa do carro, mas cada um havia guardado uma 
particularidade desse número. Um deles notara que os dois primeiros algarismos eram 
iguais. O segundo percebera que os dois últimos eram iguais. O terceiro dos amigos 
jurava que o número da placa era um quadrado perfeito. Você consegue determinar os 
números da placa usando apenas esses dados? 
 
5. Sabendo que xy é um número de dois algarismos e que xy. 23 = 1xy1, que número é 
xy? 
 
6. (UFMG) Raquel, Julia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-
se em uma festa, e ainda se sabe que: 
 Essas pessoas formam quatro casais. 
 Carolina não é esposa de Paulo. 
Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o 
marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão sentados, 
conversando. 
Então é correto afirmar que a esposa de Antônio é: 
a) Carolina b) Julia c) Raquel d) Rita. 
 
7. Quanto tempo economizará uma pessoa que caminha 1 
quilômetro em 12 minutos se, em vez de controlar 2 lados de 
um parque quadrado com 1 km de lado, ela o atravessar pela 
diagonal? 
 
 
 
 
SD 2 
Cálculo mental 
Resumo 
Ao longo da escola básica, os estudantes precisam ganhar habilidades de 
cálculo rápido em diferentes modalidades: estimativa, estratégias pessoais 
ou convencionais de cálculo, cálculo envolvendo procedimentos algébricos, 
potências, porcentagens e mesmo trigonometria e medidas. Para que 
desenvolvam habilidades de cálculo mental e percebam o valor que ele tem, 
propomos, ao longo deste segundo ano, a continuidade do que foi realizado 
no ano anterior em relação a estratégias de cálculo mental rápido: uma 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 21 
aulasemanal dedicada especialmente a essa finalidade, organizada em 
sequências que, nesse momento, incluirão atividades com álgebra (em 
especial produtos notáveis, resolução de equações e valor numérico), 
números inteiros e potenciação. 
Foco Desenvolver agilidade de cálculo. 
Objetivos 
Desenvolver procedimentos de cálculo mental rápido com produtos 
notáveis, resolução de equações, potências e valor numérico. 
Recursos 
Fichas 4 a 6 do Caderno do Estudante e videoaulas3: 
- Expressões algébricas – aula 1. Disponível em: bit.ly/exp_algebricas. 
- Introdução aos expoentes. Disponível em: bit.ly/khanexpoentes. 
Acessos em: out. 2017. 
Duração 
Prevista 
Dois tempos de 10 minutos por semana (as sugestões propostas estão no 
quadro de planejamento). 
Para a sua mediação e presença pedagógica: 
Mesmo que os professores valorizem a compreensão das operações sem perder o enfoque 
das aulas de Matemática por meio da resolução de problemas, eles vivem uma crise sobre 
a dualidade: compreensão de cálculos versus agilidade ao fazer cálculos. 
 
Mais reflexivos e amadurecidos nos estudos a respeito de como os estudantes aprendem 
Matemática, já é possível afirmar que ambas as coisas são importantes. Sem dúvida, 
devemos fazer com que compreendam os significados das operações nos diferentes 
campos numéricos, dominem a linguagem matemática e tenham oportunidade de criar 
procedimentos pessoais ao resolver problemas. No entanto, alguma agilidade com cálculos 
é importante porque favorece o controle de possíveis erros, auxilia na resolução de 
problemas e serve para as tarefas simples do dia a dia. Afinal, se ao longo do tempo usamos 
a língua portuguesa com agilidade, por que seria diferente com o cálculo, seja ele aritmético, 
algébrico ou métrico? 
 
Desenvolvimento 
 
Nesta proposta, o cálculo rápido ou mental ganha destaque por: 
 
 Relacionar-se com a maioria das ideias importantes da Matemática – medidas, 
expressões algébricas, números reais, trigonometria, gráficos e estatísticas. 
 
 Propiciar o desenvolvimento de habilidades de pensamento importantes – memória, 
busca de regularidades, análise e síntese. 
 
 Permitir uma revisão de procedimentos de cálculo já explorados no Ensino 
Fundamental. 
 
 Eliminar passos intermediários da escrita matemática, especialmente no cálculo literal. 
 
 Valorizar caminhos pessoais na busca da solução de um problema. 
 
 Fornecer um meio de avaliar a razoabilidade da resolução de um problema ou cálculo. 
 
 Diminuir os erros cometidos pelos estudantes na resolução de problemas diversos. 
 
 
3 Caso as videoaulas indicadas aqui não se encontrem disponíveis, o professor pode selecionar outras no canal Youtube 
educação, desde que tratem dos temas abordados nas propostas de cálculo mental. 
http://bit.ly/khanexpoentes
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 22 
As atividades a serem propostas estão nas Fichas 4 a 6 do Caderno do Estudante. No 
entanto, há algumas observações a fazer: 
 
 Antes de propor a Ficha 4, é interessante orientar os estudantes que 
assistam ao vídeo Expressões algébricas - aula 1. Disponível em: 
bit.ly/exp_algebricas. Acesso em: jun. 2017. O vídeo os ajudará a lembrar 
noções básicas de álgebra elementar. 
 
 Há atividades nas fichas para quem quiser saber mais. Essas atividades podem 
ser desenvolvidas para estudantes que ainda estão cometendo muitos erros e 
desejam aprimorar seus cálculos ou para aqueles que gostam de desafiar a si 
mesmos em Matemática. 
 
 Antes derealizar a Ficha 6, os estudantes que quiserem podem revisar noções e 
procedimentos que envolvam potência com expoente inteiro. Para isso podem 
usar um livro didático ou assistir aos vídeos “Introdução aos expoentes” e 
“Entendendo os expoentes”. Disponíveis em: bit.ly/khanexpoentes. Acesso em: 
out. 2017. 
 
Embora esses vídeos possam ter sido assistidos no 1º ano, não há problema, porque são 
úteis a quem ainda tem dúvida ou não se recorda de pontos importantes desse assunto. 
 
Aproveite essa oportunidade para iniciar a coleta, pelos jovens em suas casas, de conta-
gotas sem uso, copos dosadores, colheres medidoras, colheres comuns de diferentes 
tamanhos e copos descartáveis de diferentes tamanhos, basta uma unidade de cada tipo 
para cada grupo de 4 estudantes. Incentive-os para que eles se organizem nessa coleta. 
 
Gestão da aula 
 
Nas propostas com cálculo mental, é importante: 
 Apresentar a proposta e seus objetivos aos estudantes na primeira aula e lembrá-los 
sempre disso. 
 Realizar as sequências presencialmente (salvo exceções indicadas na OPA) para 
poder avaliar as dúvidas, necessidades e avanços dos estudantes. 
 Realizar, em sala, sessões de cálculo rápido duas vezes por semana em períodos que 
não ultrapassem 15 minutos. 
 Entender que erros são normais nessa primeira fase e devem ser discutidos com os 
estudantes, para que possam compreendê-los e avançar às sequências seguintes. 
 Incentivar os estudantes a socializar dúvidas e erros, para que possam ser ajudados 
a compreender as estratégias necessárias para progredirem. 
 
 
 
 
 
Como posso avaliar o que aprenderam? 
 
É importante que você incentive os estudantes, no final de cada 
sessão de cálculo mental, a analisar individualmente seus erros e 
acertos e a registrar isso no caderno. Eles devem saber que se 
desenvolvem quando conseguem ampliar a quantidade de acertos 
em relação aos erros. E podem estabelecer metas individuais em 
relação a isso. 
http://bit.ly/khanexpoentes
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 23 
SD 3 
 
De volta à Trigonometria 
Resumo 
Ampliar o estudo das funções trigonométricas básicas no círculo 
trigonométrico é a meta desta sequência. 
Foco 
Representação do seno, do cosseno e da tangente de um arco 
qualquer no círculo trigonométrico. 
Objetivos 
Representar o seno, o cosseno e a tangente de um arco qualquer no 
círculo trigonométrico; resolver equações trigonométricas simples; 
identificar o gráfico das funções seno e cosseno, bem como seu 
domínio e imagem. 
Organização da 
turma 
Depende da etapa da sequência. Observar isso durante o estudo e 
desenvolvimento da sequência. 
Recursos e 
providências 
Livro didático; Fichas 7 a 9 do Caderno do Estudante; calculadora 
científica; Winplot (Disponível em: bit.ly/winplot2. Acesso em: jun. 
2017.); marcadores para jogo e videoaulas indicadas a seguir. 
Disponíveis em: 
- bit.ly/radianos-graus 
- bit.ly/razoes-trigonometricas 
- bit.ly/atividade-trigonometria 
- bit.ly/circulo-trigonometrico 
Acessos em: jun. 2017. 
Duração Prevista 9 aulas. 
Para a sua mediação e presença pedagógica: 
Trigonometria não é um assunto simples de aprender. Por isso, mesmo que os jovens tenham 
estudado esse tema no ano anterior, provavelmente será necessária uma retomada de 
elementos relativos a esse assunto. Assim, é importante que você planeje a aula já prevendo 
que haverá momentos de “ensinar de novo”. A boa notícia é que os recursos didáticos 
disponíveis podem ser importantes aliados no trabalho que faremos. 
 
Desenvolvimento 
 
1ª etapa – Fazendo uma revisão 
 
Peça aos estudantes que, em duplas, de memória, façam uma lista daquilo que se 
lembram de ter estudado sobre trigonometria no 1º anodo Ensino Médio. Peça a eles que 
tentem se lembrar de nomes, relações, usos da trigonometria,atividades que fizeram 
enquanto aprendiam. Imaginamos duas aulas para essa proposta. Não se preocupem 
caso lembrem pouco, o propósito é ativar a memória desses conhecimentos antes de 
retomá-los. Por pouco que lembrem, acionam as conexões que serão ponto de partida 
para aprendizagens novas e revisão de outras já realizadas. 
 
Divida o quadro em três partes: trigonometria do triângulo retângulo, lei dos senos e dos 
cossenos e círculo trigonométrico. Peça às duplas que tentem encaixar suas lembranças 
em uma das três partes dos estudos que fizeram de trigonometria. Uma dupla fala o que 
a outra não falou e você interfere, auxilia, retoma relações, acrescenta alguma informação 
que julgue relevante. Esse é um bom momento para finalizar alguma das atividades que 
tenham ficado sem realizar da OPA do 4º bimestre do 1º ano. Se necessário, converse 
com o professor que trabalhou com as turmas no ano anterior. 
 
http://bit.ly/razoes-trigonometricas
http://bit.ly/atividade-trigonometria
http://bit.ly/circulo-trigonometrico
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 24 
O objetivo dessa atividade é terminar a aula com as principais relações, estudadas no 
ano anterior, mapeadas e sintetizadas para que possam ser utilizadas na aula 
supervisionada de estudos orientados. Peça a eles que façam anotações no caderno (não 
basta fotografar) para ampliar a compreensão da revisão desenvolvida; se achar 
conveniente, após a discussão em dupla, assista com a sua turma ou peça aos 
estudantes que assistam aos seguintes vídeos para aprimorar suas sínteses: 
Disponíveis em: 
 bit.ly/radianos-graus 
 bit.ly/razoes-trigonometricas 
Acessos em : jun. 2017. 
 
Os estudantes podem ainda ser incentivados a entrar no site Khan Academy e fazer as 
atividades propostas em: bit.ly/atividade-trigonometria. Acesso em: jun. 2017. 
 
Estudos Orientados 
 
Organize uma lista com 8 a 10 propostas de atividade que envolvam os conceitos 
estudados na 1ª série (trigonometria do triângulo retângulo, de triângulos quaisquer e 
medidas de arco). A lista, que pode conter atividades da avaliação externa, deverá ser 
resolvida em sala em grupos de quatroestudantes. Forneça as respostas e organize o 
esclarecimento das dúvidas entre eles, usando um livro, os vídeos e, em último caso, com 
você. 
 
2ª etapa – Ler para aprender trigonometria 
 
Para realizar esta etapa, imaginamos quatro aulas e sugerimos que você siga as 
propostas de um livro didático que desenvolva esse tema. Algumas recomendações: 
 
 Selecione um ou mais livros didáticos que você possa utilizar com os estudantes para 
estudar o círculo trigonométrico e as funções trigonométricas simples de seno, cosseno 
e tangente. É importante ter ao menos um livro para cada dupla de estudantes. 
 
 Introduza a ideia de círculo trigonométrico assistindo com os estudantes ao vídeo de 
Khan Academy (Disponível em: bit.ly/circulo-trigonometrico. Acesso em: jun. 2017.). 
 
 Na mesma aula, realize a leitura compartilhada4 do livro escolhido para explorar esse 
mesmo tema, parando para analisar com calma notações, imagens, exemplos e até os 
exercícios resolvidos. Durante a leitura, peça aos estudantes que comentem o que 
entenderam, faça comentários para auxiliar na compreensão etc. Explore com eles as 
dúvidas, as relações entre o livro e o vídeo. 
 
 Após a leitura, apresente algumas propostas de determinação do arco principal. 
Lembre-se de que o foco é entender o círculo e as representações de um arco qualquer. 
Prepare agora umas seis atividades para quesolucionem em duplas, consultando o livro. 
 
 A próxima etapa é para ser realizada em uma aula de estudos orientados. Antes de 
propor a atividade, relembre a eles uma das metas deste programa de educação integral, 
que é a de ensiná-los a estudar, pois isso faz parte do “ser protagonista”. Por isso, em 
 
4 Leitura compartilhada é aquela feita coletivamente, sob a condução do professor, de um trecho de texto oulivro. 
Escolhem-se leitores, estabelece-se a ordem de quem lerá, e cada um dos leitores envolvidos lerá um trecho em voz alta. 
Enquanto a leitura é realizada em voz alta, os demais anotam ideias importantes, dúvidas, sugestões. Terminado um 
trecho, faz-se uma pausa para análise e diálogo a respeito do que foi lido. O próximo leitor inicia a leitura e o processo 
recomeça. 
http://bit.ly/razoes-trigonometricas
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 25 
Matemática, temos usado diversas estratégias nesse sentido, sendo uma delas o uso de 
videoaulas, especialmente a aula invertida ou flipped classroom. Explique aos estudantes 
que terão duas tarefas para realizar nas aulas de estudos orientados: a primeira é assistir 
ao vídeo “Associando funções e relações trigonométricas” (Disponível em: 
bit.ly/trigfunctionskhan. Acesso em: set. 2017.). Eles devem assistir ao vídeo duas vezes, 
realizando as paradas nele propostas. 
 
 A seguir, lerão acerca das funções no círculo trigonométrico, encontradas no livro 
didático que estão usando. Determine as páginas, eles podem olhar os exercícios 
resolvidos, mas não devem fazer as atividades propostas. Explique aos estudantes que 
será normal terem dúvidas e que a proposta é conhecer o tema estudado antes das aulas 
dedicadas a isso. Até aqui, deveremos ter usado 6 dos tempos previstos para essa 
sequência. 
 
3ª etapa – Batalha trigonométrica5 
 
Gestão da aula 
 
 Um dos fatores de sucesso do trabalho com jogos nas aulas de Matemática é o 
professor conhecer bem o jogo antes de apresentá-lo a seus estudantes. Por isso, estude 
Batalha Trigonométrica antes de jogar com a classe e, se possível, jogue-o com algum 
outro professor para que você o conheça bem e possa auxiliar seus estudantes quando 
desenvolverem a atividade. 
 
 Outro fator de sucesso da proposição de jogos é ter todos os materiais previstos à mão 
quando a aula for desenvolvida. Por isso, organize os marcadores (ter saquinhos com 
marcadores por duplas ou quartetos de estudantes pode ajudar). Se desejar, envolva os 
estudantes no planejamento para conseguir o material necessário para o jogo, 
organizando a turma com antecedência. 
 
Nesse ponto da sequência, o jogo tem o objetivo de fazer com que os estudantes 
compreendam ainda melhor a localização de pontos no círculo trigonométrico, a relação 
de seno, cosseno e tangente com o círculo trigonométrico e formem memória de alguns 
valores de funções trigonométricas básicas. Idealmente, destinamos tempo para o seu 
desenvolvimento. 
 
Considerando que desejamos que aprendam Matemática enquanto jogam, o jogo não 
pode ser desenvolvido apenas uma vez. É importante que o pratiquem uma vez para 
conhecer a proposta; uma segunda vez para se apropriar das regras e começar a ampliar 
o conhecimento matemático, a desenvolver estratégias pessoais, a realizar as jogadas 
com mais segurança matemática; e, finalmente, vale a pena jogarem uma terceira vez 
para que resolvam problemas a partir do jogo e organizem suas aprendizagens em 
relação a ele. Um jogo como esse substitui com folga umas três listas de exercícios e 
ainda por cima permite trabalhar autogestão, argumentação, vocabulário matemático, 
cooperação, análise e resolução de problemas, isto é, competências cognitivas e 
socioemocionais integradamente como previsto na matriz curricular deste programa. 
 
Etapa 1: 
Para jogar, você precisará da Ficha 7 do Caderno do Estudante, dezoito marcadores de 
três cores diferentes, sendo três de cada cor. O jogo deve acontecer com os estudantes 
organizados em duplas ou quartetos para que joguem dupla contra dupla. 
 
5 Fonte: SMOLE, K.S et al. Cadernos do Mathema – Jogos de Matemática de 1º a 3º Ano do Ensino Médio. Porto Alegre: 
Artmed, 2008. 
http://bit.ly/trigfunctionskhan
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 26 
 
Faça com os estudantes uma leitura coletiva da Ficha 7 do Caderno do Estudante: 
comecem analisando o tabuleiro e depois leiam as regras, tentando compreender o que 
elas propõem. 
 
 
Ao olhar o tabuleiro, procure chamar a 
atenção dos estudantes para as 
características que ele apresenta, 
perguntando sobre as semelhanças e 
diferenças entre os dois círculos 
apresentados, as representações na caixa 
de possibilidades, a relação que pode haver 
entre a caixa e os dois círculos desenhados. 
 
Durante a leitura conjuntadas regras, 
proponha aos estudantes que acompanhem 
as descrições feitas no texto, olhando novamente o tabuleiro, com cuidado, para que 
estabeleçam relações entre aquilo que leem e aquilo que veem. Por exemplo, na leitura 
da regra três, eles podem analisar qual a relação entre o lançamento exemplificado e a 
caixa de possibilidades, como esse lançamento é localizado nos dois tabuleiros e a 
relação com a resposta, que é 
7𝜋
6
. 
Em seguida, você pode colocar (por meio de uma projeção em uma cartolina ou por um 
desenho) um tabuleiro grande no quadro e realizar algumas jogadas contra uma dupla da 
sala para que compreendam como é o jogo. Proponha, então,aos estudantes,que 
comecem a jogar para ampliar a sua compreensão do jogo. Como as quantidades 
representadas são menos familiares aos estudantes, poderá haver dificuldades nesse 
momento. Não há problema, circule entre eles para esclarecer dúvidas e, aos 
poucos,deixe-os entrar no foco do jogo. 
 
Etapa 2: 
 
Deixe as duplas jogarem e procure interferir apenas quando for muito necessário. O ideal 
é que eles tentem resolver as dúvidas entre si. Ao final, peça a eles que anotem no 
caderno duas aprendizagens novas e uma dúvida que tenham percebido enquanto 
jogavam. Insista com todos os grupos de jogadores para que façam isso, avisando que 
essas anotações serão usadas na terceira e última jogada. 
 
Etapa 3: 
Comece a aula pedindo a alguns grupos que leiam suas aprendizagens. Aproveite o 
momento para avaliar se elas estão corretas, se precisam de algum comentário ou ajuste. 
Depois, outros grupos serão chamados para expor suas dúvidas e todos podem auxiliar 
no esclarecimento delas. Deixe os estudantes jogarem mais uma vez, uma ou duas 
rodadas, e então finalize com a Ficha 8 do Caderno do Estudante, que apresenta 
problematizações para o jogo. 
 
Quando eles terminarem a resolução, tenha uma conversa coletiva a respeito das 
soluções. Com o término do jogo, você poderá verificar uma maior aprendizagem de seus 
estudantes em relação àlocalização de ângulos, seus senos e cossenos no círculo 
trigonométrico. Espera-se ainda que estejam calculando melhor em radianos. 
 
Etapa 4: Investigando as funções trigonométricas 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 27 
Para finalizar, propomos uma abordagem investigativa sobre as funções trigonométricas 
elementares, em três aulas, de modo a ter como foco as propriedades que podem ser 
obtidas pela representação gráfica ou pela expressão algébrica de cada função. Para 
isso, vamos recorrer à tecnologia, com um software de fácil acesso para estudantes e 
professores. Sugerimos em particular o Winplot, um software livre, isto é, ele pode ser 
encontrado gratuitamente na internet. Ele é compacto (ocupa pouca memória) e de fácil 
manuseio. Foi desenvolvido pelo professor norte-americano Richard Parris, da Phillips 
Exeter Academy, na década de 1980. 
 
O Winplot faz parte da Peanut Softwares – uma coleção de softwares matemáticos, todos 
gratuitos, criados por Richard Parris –, é de uso relativamente simples e tem versões em 
vários idiomas, inclusive em português. Disponível em: bit.ly/winplot2. Acesso em: jun. 
2017. 
 
Gestão da aula 
 
 Você e os estudantes usarão o Winplot, prepare o grupo. 
 
 O Winplot já deve ser conhecido por eles. Conversecom o grupo sobre o que sabem 
a respeito. 
 
 Relembre com osestudantes as orientações em relação ao uso do computador e do 
programa. Informe-os de que tudo o que precisam saber está orientado na ficha de 
trabalho, bastando que a leiam com atenção. 
 
 A ficha tem como objetivo fazer com que os estudantes trabalhem em seu próprio 
ritmo, evitando que eles fiquem dispersos ou impacientes, o que sempre acontece 
quandodependem totalmente das instruções do professor. 
 
 Se você for usar o laboratório de informática, é importante que todos os 
esclarecimentos sejam feitos ainda em sala de aula, para que, no computador, os 
estudantes saibam exatamente qual é a tarefa e possam, assim, dedicar-se a ela. 
 
 Durante a execução da atividade, haverá, então, mais tranquilidade para acompanhar 
o desenvolvimento do trabalho e avaliar as aprendizagens dos estudantes. 
 
 Os registros gerados durante a atividade são importantes para que você possa 
acompanhar o trabalho desenvolvido por eles e para que eles possam ter à mão suas 
conclusões ou descobertas quando, em sala de aula, forem feitas as sistematizações 
necessárias. Oriente-os quanto ao registro e relembre a tarefa durante a aula em um ou 
dois momentos. 
 
 Enquanto os estudantes trabalham, observe-os para que possa encaminhar os 
trabalhos das duplas ou intervir neles em função de maior ou menor domínio da máquina 
e dos conceitos envolvidos na atividade. Alguns jovens podem tornar-se monitores, 
auxiliando e orientando aqueles colegas que apresentam alguma dificuldade, seja com 
os comandos, seja com o conteúdo específico. 
 
Já é mais que sabida a importância da integração das tecnologias às aulas, em especial 
as tecnologias informatizadas, considerando que elas estão cada vez mais presentes no 
cotidiano, principalmente dos jovens. Usar a tecnologia é um recurso para ajudá-los a 
aprender mais e uma competência básica a ser desenvolvida neles em todas as áreas do 
conhecimento, inclusive em Matemática. 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 28 
Para desenvolver a atividade, você pode realizar com os estudantes as propostas da 
Ficha 9 do Caderno do Estudante, usando o Winplot ou os meios convencionais, sendo 
que estes últimos, no entanto, deixam a atividade mais demorada e trabalhosa, podendo 
implicar na perda do sentido investigativo que ela pode ter quando é realizada com auxílio 
da tecnologia. 
 
Com recursos normais, a construção dos gráficos exige tempo, paciência e cálculos mais 
trabalhosos. Com a tecnologia, o foco permanece no ponto importante, quaisquer sejam 
as características das funções. Uma das maiores vantagens do software é fazer 
construções, como numa folha de papel, e ser capaz de movimentá-las. Seu caráter 
dinâmico possibilita acelerar o tempo das construções, encoraja a tentativa e erro, permite 
a construção de gráficos mais trabalhosos, além de liberar espaço para que sejam feitas 
conjecturas e simulações de situações que não poderiam ser exploradas com lápis e 
papel, abrindo um ambiente de investigação e discussão de regularidades e relações 
percebidas para confirmá-las ou refutá-las. 
 
Se por qualquer motivo você utilizar os meios normais, sugerimos que escolha apenas 
uma partedas propostas da Ficha 9 para desenvolver com a turma e proponha aos 
estudantes que usem a calculadora científica de seus celulares (na maioria deles, basta 
abrir o aplicativo da calculadora e colocar o celular na horizontal para que a calculadora 
científica apareça). Há botões específicos para trigonometria e, inclusive, é possível optar 
por fazer cálculos em radianos. 
 
Apenas um comentário a respeito das atividades da ficha: observe que, mais do que 
as funções em si, esperamos que os estudantes busquem regularidades, façam 
comparações, construam argumentações para justificar o que perceberam. Isso precisa 
ser feito oralmente e por escrito, a fim de que desenvolvam simultaneamente a 
comunicação oral e escrita, um dos focos da Matemática como contribuição para o 
desenvolvimento integral dos jovens. 
 
Estudos Orientados 
 
Prepare uma sequência com quatro atividades. Todas as atividades da lista devem estar 
com resolução, mas de modo que contenham erros. Em uma aula, os estudantes em 
duplas têm como tarefa identificar e corrigir os erros. Ao analisar com os estudantes os 
erros encontrados, aproveite para tirar dúvidas e fazer coletivamente uma lista de 
cuidados para não cometer mais erros, quando houver necessidade de resolver 
atividades desse tipo. Eles devem guardar essa lista sempre que necessário, inclusive 
em uma prova com consulta, como propomos a seguir. 
 
 
Como posso avaliar o que aprenderam? 
 
Propor uma prova com consulta é bem interessante. Procure 
elaborar uma prova que contenha no máximo cinco atividades 
de trigonometria para que os estudantes possam resolvê-la 
individualmente, consultando a lista de dicas feita na última 
etapa da sequência didática, bem como as anotações no 
caderno. A prova com consulta favorece a valorização das 
anotações ea seleção de informações relevantes para 
consultar, além do fato de perceber quea consulta não 
dispensa o estudo pessoal. Sugerimos que você combine com 
os estudantes a data da avaliação e avise-os de que poderão 
consultar o próprio caderno. Isso os incentivará a colocar as 
anotações em ordem e, consequentemente, a estudar. 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 29 
 
SD 4 
Logaritmos e Função logarítmica 
Resumo 
O logaritmo sempre ocupou uma posição de destaque no currículo 
escolar brasileiro. Uma prova disso é que, desde a criação desse 
currículo até os dias atuais, esse tema faz parte dos conteúdos que os 
jovens brasileiros devem aprender. No entanto, vai longe o tempo em 
que estudar logaritmos significava usar tabelas ou deter-se em detalhes, 
tais como característica, mantissa, mudança de base, entre outros 
temas, que na época das tecnologias digitais já não faz mais sentido. O 
foco na aprendizagem de logaritmos na escola hoje deve estar em sua 
relevância nas aplicações em diferentes áreas do conhecimento. Isso é 
o centro daquilo que nos propomos a desenvolver com os estudantes. 
Foco 
Compreender fenômenos de crescimento não linear e associá-los à 
ideia de exponencial e logaritmo. 
Objetivos 
Revisar e ampliar cálculos com potência; compreender a noção de 
logaritmo decimal, a condição de existência do logaritmo e sua relação 
com cálculos exponenciais; realizar operações simples utilizando 
propriedades de logaritmos; identificar as características de uma função 
logarítmica e resolver problemas que envolvam a noção de logaritmos. 
Organização da 
turma 
Depende da etapa da sequência. Observar isso durante o estudo e 
desenvolvimento da sequência. 
Recursos e 
providências 
Livro didático; Fichas 10 e 11; calculadora; Winplot. 
Duração Prevista 9 aulas. 
Para a sua mediação e presença pedagógica: 
Existem muitas situações distintas eestudantes diferentes para explorar problemas relativos 
aos logaritmos e seus usos e, por isso, para um trabalho mais eficaz em sala de aula com 
esse tema, selecionamos propostas para explorar de onde surgiu o conceito, identificar seus 
usos e resolver problemas. As situações de aprendizagem foram organizadas para atender 
os estudantes em seus diferentes ritmos de aprendizagem, selecionando o tempo adequado 
para propor as atividades específicas em cada momento, evitando um trabalho que fosse 
pautado em exercícios de repetição ou aplicação de fórmulas. A ideia é explorar os 
logaritmos, partindo de problemas que representem situações diversas e concretas, isto é, 
que permitam aos estudantes formular hipóteses e conjecturas, é um modo de motivá-los 
aoestudo desse conteúdo matemático e propiciar o sucesso escolar, uma vez que as 
aplicaçõesdos logaritmos estãopresentes na sociedade. 
 
Desenvolvimento 
 
Etapa 1 
 
Iniciaremos este estudo dedicando duas aulas para uma breve revisão da função 
exponencial. Prepare uma lista com 5 a 6 atividades e problemas para que os estudantes 
retomem a noção de crescimento e decrescimento exponencial, analisem gráficos de 
função exponencial e resolvam equações exponenciais simples (tais como: 3x+1 = 9). Você 
pode consultar provas locais para compor a lista. 
 
Você pode entregar a lista aos estudantes para que eles tentem resolvê-la. Não 
imaginamos uma aula expositiva, mas sim algo em que os estudantespossamparticipar 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 30 
do próprio processo de aprendizagem. Com alguma antecedência, avise-os de que 
revisarão o tema e devem se preparar, localizando vídeos (isso pode ser feito em aula 
também, durante a execução das atividades) epesquisando informações na internet e em 
livros para retomar o assunto. No dia da proposta das atividades, cada trio ou quarteto 
pode ter um livro didático para ajudá-lo no estudo. Ao final, retome coletivamente as 
propostas da lista e discuta-as, aproveitando o momento para aprofundar conhecimentos 
e esclarecer dúvidas. 
 
Etapa 2: Introdução aos logaritmos 
 
Gestão da aula 
 
Para melhor gerir a aula: 
 
 Já lembramos a você de que toda aula deve ter começo, meio e fim. Por isso, não se 
esqueça de, no início da aula, colocar no quadro o que será feito e, ao final, avaliar se o 
que foi proposto foi realizado por todos. 
 
 Ademais, igualmente importante é relacionar uma aula com a outra para que os 
estudantes, dentre tantas atividades que realizam na escola, possam acompanhar a 
lógica do que fazem a cada atividade. 
 
 Por isso, faça-os relembrar das atividades anteriores, destaque alguma curiosidade 
que tenha acontecido, uma ideia importante que não possa ser esquecida. Assim, eles 
perceberão que você está atento e se preocupa com eles e com a aprendizagem 
esperada para todos. 
 
 Prepare-se estudando a atividade antes de propô-la aos estudantes, ela vai solicitar 
uma leitura mais elaborada de um texto. Com isso você poderá perceber as dificuldades 
que eles poderão encontrar durante essa leitura. 
 
A ideia agora é destinar três aulas para relacionar as sequências numéricas com o estudo 
de logaritmos. 
 
Ao conhecer a história desse conceito em um tempo em que “fazer contas” era de domínio 
de alguns, os jovens adquirem um novo olhar sobre o que aprendem na escola e que, 
para eles, à primeira vista, pode não fazer muito sentido nos dias de hoje. 
 
Com os estudantes em grupos de 3 a 4, proponha a leitura do texto que está na Ficha 10 
do Caderno do Estudante e incentive-os a seguir as orientações de leitura lá descritas. 
 
Ler é a meta desta proposta de Matemática e é uma forma de conseguir autonomia 
para aprender sempre. 
 
Acompanhe as discussões nos grupos e registre o que considerar importante para a 
retomada do texto ao final da aula,em uma roda de conversa com todos. A discussão 
entre os estudantes favorece o desenvolvimento da capacidade de argumentar, de 
justificar seus pontos de vista com fundamentação e clareza, o que também é foco desta 
proposta. 
 
Ao final, verifique se todos conseguem estabelecer a relação entre as duas sequências 
em estudo, ao longo desta atividade, e o conceito de logaritmo e as propriedades que 
estudaram sobre logaritmos de um produto ou quociente: 
 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 31 
64 = 26 ↔ 6 = log2 64 
512 ÷ 32 = 29 ÷ 25 = 24 ↔ 9 − 5 = 4 = log2 512 − log2 32 
 
Não há problema se os estudantes não conseguirem chegar a uma explicação precisa 
para o que seja logaritmo. O importante é que levantem hipóteses e registrem suas 
explicações por escrito, ainda que provisórias. Voltaremos a elas brevemente e eles 
poderão revisar suas hipóteses iniciais. 
 
Em seguida, utilizando uma calculadora, proponha aos estudantes que realizem as 
atividades da Ficha 11. 
 
Terminada a ficha e análise dela, peça-lhes que voltem às explicações iniciais e ajustem-
nas caso achem necessário. Escolha alguns grupos para que socializem as adequações 
que fizeram. Faça com eles um breve fechamento da ideia de logaritmos e de como 
conseguiram analisar as igualdades e justificar suas decisões sobre elas serem falsas ou 
verdadeiras. Peça aos times, então, que escrevam cada propriedadeno caderno com um 
exemplo.Use um livro didático para explorar um pouco mais a condição de existência e 
propriedades dos logaritmos. 
 
Peça aos estudantes que realizem as propostas sugeridas ao final da Ficha 11, em 
particular a proposta de selecionar e resolver três atividades de logaritmos para entregar. 
Use as atividades propostas por eles para organizar uma lista para eles estudarem os 
conceitos trabalhados até aqui. Para a correção, solicite auxílio aos trios que elaboraram 
as questões da lista: eles podem resolver as atividades no quadro para que todos os 
demais grupos confiram a resolução. 
 
Etapa 3: Sistematizando algumas ideias 
 
Introduza a função logarítmica e suas propriedades. Seria recomendável você planejar o 
estudo dessa função utilizando o Winplot. Planejamos 5 aulas para isso. Você pode 
encontrar sugestões a respeito disso em um dos seguintes links: 
 
“Logaritmos: uma abordagem didática”. Disponível em: bit.ly/log-didatica. 
“(Re)significando o conceito de logaritmo”. Disponível em: bit.ly/ressignificando-log. 
“O estudo de logaritmo por meio de uma sequência de Ensino”. Disponível em: 
bit.ly/estudo-log. 
Acessos em: jun. 2017. 
 
Estudos Orientados 
 
Use livros didáticos diversos e elabore uma lista com 10 a 12 atividades e problemas,que 
envolva o estudo de logaritmos e funções logarítmicas para que os estudantes a resolvam 
ao longo do bimestre. Faça pequenas paradas para discutir as dúvidas, se necessário. 
Essa lista deve conter quatro atividades de avaliações de escala. 
 
Vamos pesquisar? 
 
A proposta é que os estudantes investiguem, em grupos de 4 pessoas, as aplicações dos 
logaritmos para além da Matemática e preparem uma apresentação sobre o que 
encontrarem. O roteiro para esse trabalho é o seguinte: 
 
 Em grupos, pesquisar na internet duas aplicações diferentes para logaritmos ou 
funções logarítmicas (escala logarítmica, matemática financeira, escala Richter, 
 
 OPA Matemática – 2ºano/1º bimestre 32 
radioatividade, entre outas). Porém, não conte a eles quais são as aplicações, deixe que 
descubram. 
 
 As aplicações deverão ser estudadas pelo grupo e preparadas para serem 
apresentadas à classe em PowerPoint (PPT) ou Prezzi. Lembre-se de que os estudantes 
podem não saber como usar esses recursos, caso ainda não o tenham feito no núcleo. 
Nesse caso, eles podem identificar na escola quem sabe e, então, combinar um tempo 
para que essa pessoa os auxilie nisso, podendo inclusive ser você professor. Sua tarefa 
é auxiliá-los para que a aula de PPT possa acontecer. 
 
 A apresentação deve ter a aplicação, um exemplo que eles saibam explicar para o 
restante da turma e que seja diferente de outro que outros grupos descobriram (a 
aplicação pode ser a mesma, mas o exemplo deve ser diferente) e os sites utilizados na 
pesquisa também. 
 
 As apresentações precisamser feitas em até 10 minutos e podem conter vídeos, 
animações e ilustrações que ajudem a compreender o que se apresenta. 
 
 É importante que estejam prontas para serem utilizadas no próximo bimestre em data 
a ser combinada futuramente. 
 
Professor, organize um cronograma de trabalho com as turmas, no qual devem constar 
prazos de pesquisa, de preparação e de entrega. Preveja, no meio desse percurso, um 
momento para que entreguem a você um rascunho da apresentação antes de estar 
pronta.