OPA_MATEMÁTICA 2º ANO 2º BIMESTRE (1)

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Orientação para Planos 
de Aulas (OPA) 
Matemática 
Medidas, Geometria e Padrões
2º ano/2º bimestre
Uma parceria entre a SED/SC e 
o Instituto Ayrton Senna
Uma parceria entre a SED/SC e
 
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 2
Introdução
Caro(a) professor(a),
Nesta proposta de educação integral, temos insistido no desenvolvimento de competências 
cognitivas e socioemocionais e, na introdução deste segundo bimestre, desejamos voltar ao 
tema, não para defini-lo, mas para pensar em conjunto o que caracteriza uma aula de 
Matemática voltada para o desenvolvimento de competências.
Seja qual for o modelo teórico usado para explicar competências, há algumas características 
associadas ao conceito que sempre aparecem como essenciais na mobilização do sujeito que 
possui competências. De acordo com Santos (2003)1, são elas: 
Ação - uma vez que competência envolve um saber em uso, um processo de ativação de 
recursos em face de uma situação;uma competência associa-se necessariamente ao ato de 
agir, de ter pró-atividade.
Situação com certo nível de complexidade - porque mobiliza-se competência na 
possibilidade de tomar decisões adequadas e eficazes frente a uma situação concreta. Não 
se ativam recursos no abstrato, mas sim em face de uma dada situação, não rotineira. A 1SANTOS, L. Avaliar competências: uma tarefa impossível? Educação e Matemática n. 74 • set./out.
2003, p. 16- 21. Disponível em: bit.ly/avaliar-competencias. Acesso em: set. 2017.
Su
m
ár
io
Introdução p. 1
Quadro de competências e conteúdos p.7
Mapa das atividades p. 8
Quadro-síntese das atividades p. 9
2º ano/2º bimestre
Orientação para Planos de Aulas
(OPA) 
Matemática 
Medidas, Geometria e Padrões
Uma parceria entre a SED/SC e 
o Instituto Ayrton Senna 
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 3
competência é mobilizada em casos em que se deve decidir de forma consciente quais 
recursos devem ser disponibilizados para enfrentar a complexidade da situação.
Integração - os recursos que serão ativados possuem componentes de natureza distinta, 
tais como conhecimentos, capacidades e atitudes. Não se trata de adicionar componentes 
diferentes, mas antes, seguir uma perspectiva integradora da atividade intelectual.
Esses três elementos integram a compreensão de “situações mobilizadoras de competência”. 
Perrenoud (1999)2, ao procurar esclarecer o conceito de competência, afirma que, quando 
estamos frente a uma situação nova, procuramos, em primeiro lugar, estabelecer uma 
analogia com outra situação que conhecemos. O autor afirma que, em seguida, mobilizamos 
recursos idênticos aos que fizemos anteriormente. Mas, para ele, isso não basta para 
mobilizar competências. Se a situação é nova, tem algo diferente da anterior, de forma que 
exige a introdução de certo nível de criatividade para responder à situação no que ela tem de 
distinto e de inovador quando comparada com todas as anteriores. Mas não basta saber, é 
preciso saber e agir, tomar decisão, antecipando os seus efeitos. 
Pensar sob esse enfoque de competências para as aulas de Matemática implica questionar 
quais condições terão de ser satisfeitas para que se crie na sala um ambiente de trabalho 
adequado ao desenvolvimento almejado, inclusive sabendo que ele ocorrerá 
progressivamente, de modo diferente entre turmas e entre estudantes da mesma turma.
Na concepção desta proposta, as implicações que decorrem desta nova forma de encarar o 
ensino da Matemática envolvem professor e estudante. No que se refere ao professor, vários 
são os desafios. Por um lado, se o desenvolvimento de competências se faz trabalhando com 
situações novas e complexas, será necessário regularmente propor problemas aos 
estudantes. Problemas mais complexos, não rotineiros e adequados para o que precisam 
aprender. As atividades de exercitação diminuem significativamente.
Por outro lado, a gestão de uma aula em que se trabalham tarefas de natureza mais aberta é
certamente mais exigente do que aquela em que o professor tem a sensação de ter o controle 
de todo trabalho que os estudantes realizam. Isso porque, em um ambiente de 
problematização, não é possível prever todas as questões e caminhos de solução da tarefa 
proposta. São atividades de duração maior, com imprevistos e dinâmicas diversas. Assim, 
cabe ao professor ser capaz de agir na incerteza, tomando novas decisões ou dando novos 
rumos à aula para ir ao encontro daquilo que espera desenvolver nos estudantes. É uma aula 
centrada no estudante, em sua aprendizagem, em suas conquistas e necessidades e não na 
exposição única do professor.
Consideramos, no entanto, que o maior desafio que o professor tem de enfrentar é o de ser 
capaz de aceitar a incompletude, de resistir à tentação de garantir que, com uma boa 
explicação sua, o estudante adquira um conjunto amplo de conhecimentos para, então, 
começar a pensar no desenvolvimento de competências. Em uma aula problematizadora, os 
processos acontecem simultaneamente, com espaço de discussão. As competências 
envolvem ação dos estudantes.
Cabe também ao estudante satisfazer algumas condições sem as quais muito dificilmente as 
competências serão desenvolvidas. Ele deve ser chamado ao envolvimento consciente na 
realização das tarefas propostas. Precisa saber que parte de sua aprendizagem é 
responsabilidade dele. A vivência de experiências de aprendizagem só acontece com a 
participação direta dele - uma conquista importante a ser feita também com apoio do 
professor, que, com boas atividades, torna esse processo possível. 
2 PERRENOUD, P. Construir as competencias desde a escola. Porto Alegre: Penso, 1999. 
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 4
Como as situações que se propõem aos estudantes não são rotineiras e têm algum grau de 
complexidade, elas exigirão persistência, determinação e responsabilidade para que se 
ultrapassem as dificuldades que eventualmente possam surgir. O trabalho em times, a 
avaliação em processo, os registros reflexivos, a análise das causas de erros são estratégias 
reconhecidamente adequadas para estimular no estudante os comportamentos que se deseja 
ver. Tais estratégias auxiliam também que o jovem perceba a importância de se colocar, de 
respeitar e ouvir os outros. 
Por fim, podemos afirmar que um ensino da Matemática orientado para o desenvolvimento de 
competências exige um ambiente de sala de aula no qual professor e estudantes
progressivamente sejam capazes de responder a um conjunto de solicitações sem as quais 
dificilmente se estabelece um contexto favorável a um ensino com sucesso, isto é, aquele em 
que as aulas de Matemática modificam a forma de o estudante ser e pensar a respeito do 
conhecimento e seu valor para o desenvolvimento pessoal e social. 
Mais uma vez, a avaliação em foco
Ao longo do 1º ano, nos detivemos a discutir esse tema, que é sempre tão complexo, e neste 
ano daremos continuidade a essa conversa. Observem que, ao longo das atividades desta 
OPA, há uma série de propostas para avaliar seus estudantes durante o processo de 
aprendizagem, de modo que você possa intervir e replanejar as ações assim que tiver dados 
sobre o que seus estudantes sabem ou não de Matemática. 
Em termos de desenvolvimento das habilidades cognitivas, temos investido 
consideravelmente para as competências de leitura e produção de textos e, também, de 
resolução de problemas. No entanto, queremos dar um passo à frente, incluindo em suas 
observações os avanços dos estudantes em termos de habilidades socioemocionais
presentes na Matriz de Competências e que são metas desta proposta curricular para o 
Ensino Médio.
Vamos nos deter em apenas três delas: Autoconfiança, Responsabilidade e Colaboração.
A autoconfiança estará em desenvolvimento nas diversas exposiçõesde resultados e de 
observações de experimentos ou quando o estudante tiver que emitir suas concepções 
prévias referentes a conceitos e fenômenos. Essa habilidade é mobilizada no 
desenvolvimento da macrocompetência autonomia, apresentada como uma competência 
central na Matriz de Competências para o Século 21. Se nós entendemos a autonomia como 
a capacidade de fazer escolhas com base em objetivos de vida consistentes, a autoconfiança 
é parte do chamado “ciclo de desafios” para se chegar a isso. Ter autoconfiança é aprender 
a apoiar-se primeiro em suas forças, em vez de ficar preso a suas fragilidades ou carências. 
Por isso a avaliação é tão importante, pois, se trabalhada intencionalmente, dá aos jovens 
condições de conhecer suas forças, e mostra a cada um deles seu valor como pessoa sem 
qualquer preocupação com uma nota ou conceito. 
Outra competência ou habilidade que será bastante solicitada aos estudantes é a 
responsabilidade. Será necessário um trabalho intencional do professor para engajá-los na 
realização de tarefas e no cuidado com o material de estudo e para os experimentos. A 
ausência desse comprometimento com o que está sendo solicitado nas atividades certamente 
prejudicará as aulas e a aprendizagem dos jovens. Assumir responsabilidade frente a uma 
tarefa pode ser entendido como parte do que chamamos de conscienciosidade (do inglês 
conciousness), ou seja, adquirir a consciência de que o esforço e a responsabilidade são 
necessários para atingir seus próprios objetivos, para além de motivações ou obrigações 
externas. Nesse sentido, a responsabilidade também está relacionada à macrocompetência
autonomia.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 5
Por fim, a colaboração – uma das macrocompetências para o Século 21 – será solicitada em 
todos os trabalhos em grupos ou em times, especialmente em tarefas ou atividades mais 
complexas. Colaborar não significa apenas ajudar o colega com dificuldade, apesar de ser 
importante. De fato, a colaboração é uma ação mais dinâmica e sistêmica, que envolve a 
capacidade de agir com os outros, compartilhar a ação e crescer com as diferenças e decisões 
comuns. A colaboração se torna uma atitude diante dos colegas quando a avaliação envolve 
não somente o aprendizado pessoal, mas do grupo ou time (ser responsável pelo seu
aprendizado e dos colegas).
Obviamente, para que tudo isso aconteça, é necessário que o professor e as atividades 
propostas tenham intencionalidade no desenvolvimento dessas competências, criando um 
ambiente protegido para que os estudantes tenham essa tranquilidade de trabalhar e se 
posicionar sem julgamento, mas com disposição a críticas e discordâncias.
Lançado o desafio de ampliação de seu olhar ao avaliar seus estudantes, professor, propomos 
que, em suas anotações relativas aos jovens, nas diversas atividades que serão realizadas,
responda para si mesmo e anote:
Responsabilidade: Os jovens compreenderam a importância de se comprometer com as 
tarefas e leituras? Realizaram as tarefas e leituras solicitadas? Cumpriram os prazos 
estabelecidos para as tarefas e leituras? Trouxeram o material combinado para cada aula? 
Perceberam que aprendem mais e melhor quando se comprometem com as tarefas 
combinadas? 
Autoconfiança: Os estudantes expuseram suas opiniões sem temer julgamento do colega 
ou do professor? Como eles resolveram os impasses em cada grupo ou time e depois na 
discussão coletiva? Todos se sentiram ouvidos e valorizados por você?
Colaboração: Todos os estudantes participaram e colaboraram com o trabalho de cada 
grupo ou time? Você observou atitudes concretas de apoio mútuo e a preocupação de que 
nenhum membro do time ou grupo “ficasse para trás”? Como você procurou envolver aqueles 
que demonstravam falta de iniciativa ou interesse em participar e colaborar?
E sua gestão da sala de aula: 
Você envolveu todos os grupos ou times na realização das atividades e na resolução de 
algum problema de convívio surgido? Solicitou que ficassem atentos ao desenvolvimento do 
grupo como um todo e de cada participante, buscando resolver com maior autonomia os 
problemas de interesse, colaboração e aprendizagem?
Você propiciou um ambiente de respeito e liberdade de expressão para seus estudantes? 
Fique atento aos seus “segredos de sucesso”!
O que você tem a dizer a respeito de seus estudantes para os demais professores da área 
ou da escola? Que informações são importantes registrar pensando no próximo Conselho de 
Classe?
Analise seus registros durante a atividade dos estudantes. O que você pode destacar deles 
como sendo uma aprendizagem sua?
Aceita o desafio?
Que tal, então, um caderno de anotações para esses registros? Nada muito sofisticado, 
apenas um bom apoio à sua memória e a chance de poder voltar sempre que desejar ao que 
você observou de seus estudantes. Será seu Caderno de Bordo.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 6
Para saber mais 
BRASIL, Ministério da Educação/Diretoria de concepções e orientações para a Educação 
Básica/Coordenação Geral de Ensino Médio. Ensino Médio Inovador. Disponível em:
bit.ly/EM-inovador. Acesso: abr. 2017. 
BRASIL, Ministério da Educação/Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino 
Médio: orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. 
Brasília: MEC/Semtec, 2002. Disponível em: bit.ly/pcn-matematica. Acesso: abr. 2017.
ESCÁMEZ, J. e GIL, R. O protagonismo na educação. Porto Alegre: Artmed, 2003.
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática Ensino Médio, vol. 1. São Paulo: Saraiva, 2010.
SMOLE, K. S; DINIZ, M. I.; MILANI, E. Cadernos do Mathema, Ensino Fundamental - Jogos 
de Matemática. Porto Alegre: Artmed, 2007.
STEMBERG, R. Psicologia cognitiva. 4. ed. Porto Alegre: Artmed, 2008.
VILA, A.; CALLEJO, M.L. Matemática para aprender a pensar. Porto Alegre: Artmed, 2011.
WALLE, John A. Van de. Matemática no Ensino Fundamental, formação de professores e 
aplicação em sala de aula. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.
WILLINGHAN, D. T. Por que os estudantes não gostam da escola? Porto Alegre: Artmed, 
2011.
Macrocompetências em foco
Autoconhecimento – Colaboração – Abertura para o novo – Resolução de problemas –
Comunicação.
Metodologias integradoras
As atividades promovem integração entre estudantes e educadores e entre eles e a 
concepção de ensino do componente curricular, com base na aprendizagem colaborativa e 
na problematização, conceitos que, por sua vez, favorecem e estimulam oportunidades de 
integrar conteúdos de todas as áreas de conhecimento.
Atividades
Nesta orientação, as atividades propostas não contemplam o total das aulas do bimestre, 
porque reservamos, em média, uma aula livre por quinzena para o professor retomar e 
realinhar o que foi desenvolvido, atendendo tanto aos ritmos de aprendizagem de cada 
estudante e turma, quanto os acertos necessários no tempo em função de possíveis feriados 
e atividades planejadas pela escola. Nos quadros a seguir estão as sínteses das atividades. 
Seus objetivos e comentários para o planejamento das aulas são apresentados na descrição 
das propostas em uma ordem sugerida para seu desenvolvimento. 
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 7
Quadro de competências e 
conteúdos
Matemática
Matriz de 
competências do 
Enem
Competência de área 
2 - Utilizar o 
conhecimento 
geométrico para 
realizar a leitura 
earepresentação da 
realidade e agir sobre 
ela.
Competência de área 4 
- Construir noções de
variação de grandezas 
para a compreensão da 
realidade e a solução de 
problemas do cotidiano.
Competência de área 5 -
Modelar e resolver 
problemas que envolvem 
variáveis socioeconômicas 
ou técnico-científicas, 
usando representações 
algébricas.
Competências do 
Enem comuns a 
todas as áreas
Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer 
uso das linguagens matemática, artísticae científica e das línguas espanhola 
e inglesa;
Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, 
interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para 
tomar decisões e enfrentar situações-problema;
Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas em 
diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para 
construir argumentação consistente.
Competências da 
Matriz de 
competências 
para o Século 21 
(cognitivas e 
socioemocionais)
Autoconhecimento – Colaboração – Abertura para o novo – Resolução de 
problemas – Comunicação.
 
 
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 8
Mapa das Atividades
Matemática
Nome Conteúdos Objetivos Duração 
prevista
Pagina
Sequência 
Didática
1
Resolução de 
Problemas
Leitura e 
interpretação de 
problemas;
Problemas não 
convencionais;
Visualização 
espacial;
Estratégias para 
resolver 
problemas.
Lê e interpreta textos em Matemática;
Utiliza argumentações para justificar 
como resolveu um problema se 
valendo de vocabulário matemático;
Desenvolve uma variedade de 
estratégias para abordar e resolver um 
problema;
Comunica-se matematicamente.
6 aulas p. 11
Sequência 
Didática
2
Cálculo 
Mental
Potências;
Radiciação;
Logaritmo;
Teorema de 
Pitágoras.
Resolve mentalmente equações 
exponenciais simples;
Utiliza estimativa para calcular raízes 
quadradas;
Resolve mentalmente equações 
logarítmicas simples;
Utiliza o teorema de Pitágoras para 
calcular medidas em triângulos e 
quadrados.
10 a 15 
minutos 
duas vezes 
por semana
p.19
Sequência 
Didática
3
Capture um 
Polígono
Propriedades 
relativas a lados e 
ângulos em 
polígonos.
Identifica propriedades relativas a 
lados e ângulos em polígonos 
(paralelismo, perpendicularismo, eixo 
de simetria, ângulos agudos, obtusos 
e retos).
4 aulas p. 21
Sequência 
Didática
4
Revisando 
áreas de 
figuras 
planas
Cálculo de medida 
de superfície em 
polígonos;
Cálculo da área do 
círculo;
Cálculo de 
perímetros.
Resolver problemas que envolvam 
cálculo de área em polígonos e 
círculos;
Resolver problemas que envolvam 
cálculo de área de polígonos e círculo;
Levantar e checar hipóteses;
Fazer deduções informais.
5 aulas p.23
Sequência 
Didática
5
Prismas e 
cilindros
Prismas: conceito, 
planificação, área 
total, volume;
Cilindro: conceito, 
planificação, área 
total e volume;
Princípio de 
Cavaliere
Identificar prismas ou cilindros dentre 
um conjunto de sólidos geométricos;
Identificar arestas, faces, vértices nos 
prismas;
Representar um prisma ou um cilindro 
por sua planificação;
Resolver problemas que envolvam 
cálculo de área total de um prisma ou 
um cilindro;
Resolver problemas que envolvam 
cálculo de volume em prisma ou 
cilindro.
10 aulas p.25
Sequência 
Didática 
6
Logaritmos e 
Progressões
Noção de 
logaritmos;
Matemática 
financeira.
Identifica o uso de logaritmos em 
situações diversas;
Resolve problemas que envolvam 
logaritmos;
13 aulas p.30
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 9
Progressão 
aritmética;
Progressão 
geométrica.
Identifica um padrão e expressa sua 
generalização por uma escrita 
matemática;
Resolve problemas envolvendo 
progressão aritmética ou geométrica;
Resolve problemas de matemática 
financeira por meio de progressões.
Quadro-síntese das atividades 
A distribuição de aulas no mês computa possíveis feriados e aulas livres.
3º mês
Aula
1ª Semana 2ª Semana 3ª Semana 4ª Semana
1
Aula livre
SD 4
SD 1- Problema 
2
Ficha 2
SD 5- Prismas e 
cilindros
Fichas11 e 12
2
SD 2- Ficha 7-
Propostas 1 a 3
SD 3- Ficha 9
SD 3- Jogo
3
SD 3- Jogo
Ficha 9
SD 2- Ficha 
Propostas 4 A 6
SD 4
SD 1-
Apresentação do 
problema da 
semana ficha 5-
PS 1
4 SD 1- Problema 
1
Ficha 1
5
SD4 SD 5 ficha 10 SD5 ficha 11
SD 1- Retomada 
do problema da 
semana
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 10
Quadro-síntese das atividades 
A distribuição de aulas no mês computa possíveis feriados e aulas livres.
4º mês
Aula
1ª Semana 2ª Semana 3ª Semana 4ª Semana
1
SD 1- Problema 
3
SD 6- Logaritmos e 
progressões
Ficha 14
SD 1- Problemas 
4 e 5
Apresentação do 
problema da 
semana.
SD 1- retomada 
do problema da 
semana
2
SD 2- Ficha 8
Propostas 1 e 2
SD 5- Prismas e 
Cilindros
Ficha 13
SD 2- Ficha 8, 
Propostas 3 e 4
SD 6-Ficha 15
SD 6- Ficha16
3
4
5
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 11
SD 1
Resolução de Problemas
Resumo
Dando sequência ao trabalho que temos realizado desde o 1° ano, trazemos 
uma seleção de novos problemas para serem trabalhados com os 
estudantes. Como de costume, apresentaremos uma diversidade de 
propostas visando a que os estudantes se tornem cada vez mais 
competentes em resolver problemas, daí abordarmos estratégias de 
resolução, o enfrentamento de situações com e sem solução e planejarmos 
ações visando ao desenvolvimento de estratégias de leitura e intepretação 
de textos.
Foco
Ler e interpretar textos em Matemática; desenvolver argumentações; 
ampliar vocabulário matemático; desenvolver uma variedade de estratégias 
para abordar e resolver um problema; aprender a comunicar-se 
matematicamente; favorecer o enfrentamento de situações matemáticas 
que exijam o estabelecimento de conexões, os processos de reflexão e a 
tomada de decisão.
Objetivos
Ler e interpretar textos em Matemática, desenvolver argumentações; 
ampliar vocabulário matemático; desenvolver uma variedade de estratégias 
para abordar e resolver um problema; aprender a comunicar-se 
matematicamente.
Organização da 
turma Individual e coletiva.
Recursos e 
providências Fichas 1 a 6; Problemateca.
Duração Prevista 6 aulas (sendo duas para problema da semana).
Para a sua mediação e presença pedagógica: 
Ao desenvolver a aula de resolução de problemas, não se esqueça de propor que os 
estudantes:leiam cuidadosamente o problema; identifiquem os dados essências para a 
resolução;identifiquem palavras desconhecidas e procurem em um dicionário (pode ser on-line)
o significado;sem ler o problema, respondam mentalmente qual é a questão, do que o problema 
trata e quais os dados essenciais para sua resolução. Organize o tempo para que haja diálogo a 
respeito das resoluções, das dúvidas, dos eventuais erros. Lembre-se: não é você que explica 
como resolver, mas os estudantes, e você media fazendo boas perguntas, pedindo que 
expliquem e justifiquem o que fizeram e porquê. 
Desenvolvimento
Podemos propor problemas aos estudantes com diversos objetivos, tais como desenvolver 
estratégias e processos gerais ou específicos de resolução, ou para motivar e dar maior 
significado à introdução de uma noção ou conceito. No caso da aula de problemas, buscamos 
atingir o primeiro objetivo. 
Por isso, nesta sequência didática, a resolução de problemas é objeto de aprendizagem. 
Enfocamos que o estudante aprenda a resolver problemas, a pensar matematicamente, isto 
é, modelar, simbolizar, abstrair e aplicar ideias matemáticas a uma ampla variedade de 
situações, pondo em ação tanto as ferramentas (noções, conceitos, estratégias, atitudes) que 
foram desenvolvidas e que permitem abordar com êxito a nova situação, quanto 
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 12
desenvolvendo estratégias e conhecimentos novos que se fizerem necessários para enfrentar 
o desafio novo.
Os problemas desempenham um papel essencial como ponto de partida de discussões 
matemáticas, inclusive para auxiliar os estudantes a perceber sua aprendizagem e seu 
desenvolvimento, uma vez que, ao se sentirem capazes de resolver um problema, 
compreendem que é possível utilizar o que sabem para resolver certos problemas e adaptar 
seus conhecimentos para interpretar os problemas em condições que não são habituais, ou 
mesmo para propor novas questõesrelativas a eles. 
Para atingir plenamente as metas que se tem para a resolução de problemas nas aulas, é 
importante que o ensino da matemática integre em sua organização momentos em que se 
simule, entre os estudantes, um grupo de investigação e discussão. 
No ambiente proposto, a aula de Matemática se constitui em um lugar em que todas as 
propostas de trabalho são exploradas para fazer despertar diversas formas de raciocínio e 
processos, como experimentar, conjecturar, justificar etc. 
A aula de matemática, como um ambiente de resolução de problemas, é um desafio cujo 
enfrentamento pelo professor depende da natureza das atividades de aprendizagem. Por isso, 
temos defendido nesta proposta que os problemas desempenham um papel central na 
didática do professor e, em particular, analisamos o papel de destaque que o enunciado 
desempenha nas aulas de problema, uma vez que se trata da porta que permite a imersão no 
ambiente de pensamento matemático. 
Por isso, é importante que o enunciado dos problemas que propomos não forneça indicações 
para a sua resolução, nem pertença a um contexto excessivamente padronizado, nem seja 
fortemente associado aos conhecimentos matemáticos envolvidos em sua resolução. Ou, pelo 
menos, sugerimos que essas características não ocorram frequentemente. 
Consideramos que, a partir desse enfoque, é possível integrar todos os estudantes usando a 
matemática para conhecer a si mesmos, desenvolvendo suas capacidades intelectuais, bem 
como habilidades de observação, exploração, análise e reflexão. Sem contar que, 
frequentemente, os estudantes se interessam mais por usar a matemática, perdem o medo 
de enfrentar matematicamente situações que lhes são propostas e se tornam mais capazes
de controlar seus próprios mecanismos de pensamento. 
De acordo com Vila e Callejo (2007)3, os fatores que influem em maior grau na efetividade do 
raciocínio matemático são três: o conhecimento dos conteúdos matemáticos, a competência 
no uso dos processos de investigação matemática e a confiança em sua capacidade de 
enfrentar e vencer os desafios propostos. Outro pesquisador dos processos humanos de 
resolução de problemas, Robert Stemberg (2008)4, considera que a confiança permite que o 
resolvedor fique cada vez mais eficiente, e ela virá, entre outros fatores, da experiência 
constante de resolver problemas. 
Gestão da Aula
Na condução de uma aula voltada para a resolução de problemas, mais importante do que 
propor um problema é a capacidade de o professor manter os estudantes em atitude de 
resolver problemas, sabendo que o pensamento matemático acontece em um ambiente de 
3 Vila, A. e Callejo, M. L. Matemática para aprender a pensar: o papel das crenças na resolução de 
problemas. Porto Alegre: Artmed, 2007.
4Stemberg, R. Psicologia cognitiva. 4ª ed. Porto Alegre: Artmed, 2008.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 13
interrogação, desafio e reflexão. Portanto, na aula, é bom garantir espaço para a elaboração 
e socialização de conjecturas, a análise de erros, o espaço para a explicação e a justificativa 
dos pensamentos elaborados e das soluções desenhadas. O professor faz o mínimo 
daquiloque os estudantes são capazes de realizar sozinhos, e planeja sua condução da aula,
de tal modo que:
Incentiva os estudantes, propondo problemas acessíveis a todos.
Planeja suas ações, analisando como é possível conseguir, no conjunto dos estudantes,
certo domínio nos processos de investigação matemática.
Define como conduzirá a discussão dos problemas entre e com os estudantes, isto é, de 
que modo organizará a classe para o trabalho e como será organizado o painel das soluções. 
Anima, estimula, esclarece as dúvidas, mas deve evitar intervir na forma da resolução. 
Incentiva que os estudantes explicitem, oralmente ou por escrito, como resolveram o 
problema e a solução encontrada. 
Medeia as discussões acerca das soluções, ajudando os estudantes a validar ou refutar 
suas soluções. 
Auxilia os estudantes a identificar o novo saber e saber-fazer. 
Ajuda os estudantes a se familiarizarem com os novos conhecimentos e a usá-los em 
diferentes situações.
Uma palavra a respeito dos problemas desta OPA
Os problemas desta OPA terão textos muitos variados, alguns mais longos e diálogos. Há 
problemas com excesso e falta de dados e outros que exigem leitura de imagem. Imaginamos 
trabalhar um problema em aula por quinzena, propor dois problemas da semana (um em cada 
mês) e, semanalmente, manter o trabalho iniciado com a Problemateca.
O problema na Ficha 1 do Caderno do Estudante explora a percepção espacial, e, para 
resolvê-lo, é preciso imaginar a figura do cubo e “ver” as faces opostas com números. 
Ficha 1 do Caderno do Estudante
Esse problema foi proposto em uma prova seletiva de vestibular sendo mais elaborado 
porque exige organização das informações e a formulação de hipóteses como se pode ver 
no seguinte raciocínio:
A primeira regra implica em que na face oposta à de número 5 só podem estar os números 
6 ou 8. A segunda regra, que a soma dos valores de faces opostas deve estar entre 6,5 e 
12, 5, elimina a hipótese do número 8, logo, duas das faces opostas têm os números 5 e 6.
Os problemas das Fichas 2 e 3 do Caderno do Estudante envolvem estratégias de leitura,
sendo foco o texto do problema e não apenas sua resolução. Neste bimestre, como no 
anterior, optamos por realizar as propostas com problemas de provas seletivas, de modo que 
os estudantes se habituem a problemas que exigem habilidades de leitura e interpretação 
mais complexas.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 14
Ficha 2 do Caderno do Estudante
Na Ficha 2 encontra-se um roteiro sobre como ler um texto de problema extenso e com 
muitas informações, como é usual em provas como as do Enem e de vários vestibulares. 
Valorize a leitura desse roteiro e acompanhe se os estudantes de fato o utilizam para a 
leitura. Ao final, depois do painel de soluções, converse com os jovens sobre a importância 
de se identificar a pergunta do problema para fazer uma leitura do texto tendo como foco 
as informações que podem auxiliar na obtenção da resposta, eliminando-se aquelas que
são desnecessárias para a resolução. A leitura como foco facilita a resolução e otimiza 
tempo valioso em processos seletivos, nos quais os estudantes encontram várias questões 
a serem respondidas em um tempo delimitado da prova.
Ficha 3 do Caderno do Estudante
O problema da Ficha 3 merece atenção especial, pois ele tem dois objetivos distintos. 
O primeiro deles certamente é a leitura, por isso o texto é apresentado em tiras. Uma vez 
organizado o texto para quem não conhece esse tipo de texto, a resolução pode parecer 
bem complicada, por isso talvez seja preciso mais tempo para que os estudantes possam 
pensar sobre ele. Depois desse tempo, tenham eles resolvido o problema ou não, apresente 
à classe os problemas que, como esse, estão baseados no princípio chamado de “Princípio 
da casa de pombos”.
UM POUCO DE MATEMÁTICA
O princípio do pombal ou princípio da casa de pombos é a afirmação de que 
se n pombos devem ser postos em m casas, e se n > m, então pelo menos uma casa 
irá conter mais de um pombo. Matematicamente falando, isto quer dizer que se o número 
de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um 
outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetora.
Simplificando, o raciocínio contido no princípio da casa de pombos pode ser exemplificado 
nas seguintes situações.
Situação 1 - Se numa festa há 13 pessoas, pelo menos duas delas fazem aniversário no 
mesmo mês. Isso porque seria impossível ter as 13 pessoas fazendo aniversário em meses 
diferentes, pois o ano só tem 12 meses. Nesse caso, a função é aquela que a cada pessoa 
associa o mês de seu aniversário. Observe que, se na festa tivéssemos 12 pessoas ou 
menos, nãopoderíamos fazer essa afirmação.
Situação 2 – Numa gaveta há 20 pares de meias de cores diferentes uns dos outros e estão 
todas embaralhadas, sem olhar, quantas meias é preciso retirar da gaveta para ter certeza 
de se tem duas meias da mesma cor?
A função agora é aquela que a cada meia associa sua cor, trata-se de 40 meias e 20 cores, 
então na pior das hipóteses se as meias forem escolhidas uma a uma e saírem de cores 
diferentes, quando for retirada 21ª meia ela obrigatoriamente deve ter a cor de uma das 20 
anteriores.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 15
Observe com os estudantes que problemas baseados nesse princípio têm muitas 
formulações, ou seja, aparecem revestidos de histórias diferentes, mas trata-se sempre do 
mesmo raciocínio. 
De posse desse entendimento, os jovens passam a ter mais uma ferramenta para resolver 
muitos problemas aparentemente difíceis.
Ficha 4 do Caderno do Estudante
Os problemas da Ficha 4 são problemas de lógica, cuja resolução se baseia no raciocínio 
lógico dedutivo e na organização das informações para a tomada de decisões.
Nas fichas 5 e 6 estão dois problemas especiais para serem explorados como problemas da 
semana (PS) e eles sãomais relacionados a conteúdos matemáticos. 
Ficha 5 do Caderno do Estudante
No primeiro deles a forma dos alvos faz com que as pessoas escolham por percepção visual 
um ou outro. No entanto, depois dos cálculos, percebe-se que as áreas em preto e branco 
são iguais nos três alvos, logo, é indiferente escolher um ou outro.
Ficha 6 do Caderno do Estudante
O problema 6 traz uma situação relacionada a fuso horário e é mais exigente do ponto de 
vista da leitura, da interpretação de texto e da relação com situações do cotidiano. 
Problemateca
A seguir damos sugestões de problemas complementares para serem utilizados na 
Problemateca.
Os dois primeiros problemas são conhecidos como criptogramas e, em geral, estão 
associados a descobrir números em contas. Na socialização, é importante que os jovens 
expliquem como pensaram para decidir por este ou aquele algarismo nas posições indicadas 
na conta. 
1. (OBMEP 2009) Davi estava fazendo uma conta no caderno quando sua caneta 
estragou e borrou quatro algarismos, como na figura. Ele se lembra que só havia 
algarismos ímpares na conta. Qual é a soma dos algarismos manchados? 
Não se esqueça de observar e dar retorno para a classe a respeito 
do que estão fazendo bem, no que melhoraram, e de quais as metas 
que ainda precisam ser vencidas. Converse algumas vezes com 
eles a respeito do que já fazem bem e do que, na opinião deles, é
preciso aperfeiçoar. Inclua na sua avaliação os aspectos que 
sugerimos serem avaliados ao longo desse bimestre logo na 
apresentação da OPA.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 16
Resposta: 26 e os números na conta são 139 x 7 = 973.
2.(UFSCar – SP) Considere a, b e c algarismos que fazem com que a conta a seguir 
realizada com números de três algarismos esteja correta.
4 a 5
- 1 5 b
c 7 7
Nas condições dadas, b.c-a é igual a:
a) 9 b) c) d) 1 e) 16.
Resposta: d) (a = 3; b = 8; c = 2)
Os dois problemas a seguir, apesar de descreverem situações simples, exigem mais de uma 
etapa em sua resolução, o que significa um raciocínio mais complexo na resolução.
3. Em 2014 uma escola tinha 320 estudantes esportistas, dos quais 45% jogavam vôlei. 
Em 2015 essa porcentagem diminuiu para 25%, mas o número de jogadores de vôlei não 
se alterou. Qual era o número de estudantes esportistas em 2015?
Resposta: 576 estudantes.
4. Um fabricante de chocolate cobrava R$ 5,00 por uma barra de 250 gramas. 
Recentemente o peso da barra foi reduzido para 200 gramas, mas seu preço continuou 
R$ 5,00. Qual foi o aumento percentual do preço do chocolate desse fabricante?
Resposta: 25% (calcular o preço cobrado por quilo antes e depois do aumento auxiliar na 
resolução). 
Incluímos a seguir mais dois problemas de raciocínio espacial. 
5. Para montar um cubo, Guilherme recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de 
cinza algumas partes, como na figura a seguir:
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 17
Qual das figuras abaixo representa o cubo construído por Guilherme?
Resposta: Alternativa e
6. As doze faces de dois cubos foram marcadas com números de 1 a 12, de modo que a 
soma dos números de duas faces opostas em qualquer um dos cubos é sempre a mesma. 
Juliano colou duas faces com números pares, obtendo a figura a seguir: 
Qual é o produto dos números nas faces coladas?
Resposta: 60
RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS das Fichas 1 a 4
1. CUBO NUMERADO
Começando a análise pela face 5, temos que ela somente pode opor-se às faces 6 ou 8 (1ª 
regra). 
Entretanto, a oposição da face 5 à face 8 geraria soma 13, o que não é permitido (2ª regra). 
Por exclusão, portanto, a face 5 deve ser oposta à face 6.
Tomando agora a outra face ímpar, 3, temos como opções de faces opostas 4 ou 8 (1ª regra). 
Entretanto, opor a face 3 à face 8 obrigaria a face 4 a opor-se à face 2, o que geraria soma 
de faces igual a 6 (mais uma vez, proibida pela 2ª regra). 
Desse modo, por exclusão, concluímos que a face 3 deve opor-se à face 4, e a face 8, à face 
2.
Assim, os produtos de faces opostas restringem-se a 
5 x 6 = 30, 3 x 4 = 12 e 8 x 2 = 16.
Portanto, Alternativa C
2. PEIXES, RAÇÃO E TANQUES
a) Se x e y são as quantidades de peixes de cada espécie, temos x + y = 600
E o total de 800 gramas deve ser distribuído entre as duas espécies de tal modo que 
1,5 x + 1y = 800
Resolvendo-se o sistema, temos: x = 400 e y = 200.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 18
b) Para cada 1(um) metro cúbico devemos ter 400 peixes e o tanque comporta 7200 peixes, 
vamos encontrar o volume necessário para que comporte este número. Por regra de três 
simples, temos:
400 ↔ 1 m3
7200 ↔ v m3
Resolvendo temos v = 18, logo o tanque terá 18 metros cúbicos.
Considerando o comprimento e a largura do tanque iguais a a
Temos a.a.2 = 18
A2 = 9
A = 3
Logo as dimensões do tanque são 3m, 3m e 2m.
3. UM PROBLEMA DESARRUMADO
O texto do problema reorganizado deve ser:
Em uma festa estão presentes 15 casais cada qual de uma nacionalidade diferente da dos 
demais. Será feito um sorteio entre essas 30 pessoas ao acaso, uma por uma. Qual o menor 
número de pessoas que deverão ser sorteadas para, com certeza, garantir a formação de um 
casal de mesma nacionalidade?
Resposta: 16 pessoas devem ser sorteadas porque, como são 15 nacionalidades diferentes,
a 16ª pessoa sorteada certamente deve ter a mesma nacionalidade de uma das 15 anteriores.
4. PROBLEMAS DE LÓGICA
Problema A
Alternativa B
Na tabela abaixo mostramos como analisar as informações do enunciado. Na primeira linha, 
supomos que Bernardo disse a verdade; na segunda, que Guto disse a verdade e na terceira, 
que Carlos disse a verdade. 
Nas duas primeiras linhas, chega-se à conclusão de que o celular de Guto tanto tocou quanto 
não tocou. Essa contradição mostra que o único caso possível é o da terceira linha, ou seja, 
Carlos disse a verdade e os celulares de Guto e Carlos tocaram.
Problema B
Alternativa A
Cada uma das três pessoas, em princípio, pode beber água ou suco, logo há 2×2× 2 = 8 
possibilidades para considerar, conforme a tabela.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 19
Devemos agora analisar as condições do problema para decidir qual das possibilidades é a 
correta. A primeira condição (se Ari pede a mesma bebida que Carlos, então Bruna pede 
água) elimina as possibilidades 3 e 8.
A segunda condição (se Ari pede uma bebida diferente da de Bruna, então Carlos pede suco) 
elimina a possibilidade 2.
A terceira condição (se Bruna pede uma bebida diferente da de Carlos, então Ari pede água) 
elimina as possibilidades 4 e 6. Até o momento, restam as possibilidades 1, 5 e 7.
E, como apenas um delespede sempre a mesma bebida, chegamos a Ari, que sempre pede 
água.
SD 2
Cálculo Mental
Resumo
Continuaremos a explorar seções de cálculo rápido, agora com foco em 
cálculos importantes para a resolução de problemas envolvendo medidas de 
superfície e volume de sólidos geométricos.
Foco Aprimorar a agilidade de cálculos com medidas e expoentes.
Objetivos
Desenvolver agilidade de cálculos com medidas; relembrar o valor de 1L, de 
1 mL e a relação entre eles; fazer estimativa de medidas; calcular medidas 
usando o teorema de Pitágoras.
Organização da 
turma Individual e depois coletivo.
Recursos e 
providências Fichas 7 e 8 do Caderno do Estudante.
Duração 
Prevista
2 tempos de 10 minutos por semana (as sugestões de quando propor estão 
no quadro de planejamento).
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 20
Para a sua mediação e presença pedagógica: 
As atividades propostas são realizadas individualmente, uma vez que o cálculo mental é um 
processo pessoal. É importante que os alunos anotem o que não entenderam e prestem atenção 
a como pensaram para calcular, pois depois eles socializarão suas dúvidas e aprendizagens com 
todos da classe. 
Na socialização das respostas, escolha dois ou três alunos para explicar como pensaram. A
seleção de quem deve apresentar como calculou depende de sua observação enquanto os 
alunos realizam a atividade, buscando identificar estratégias diferentes ou dúvidas que merecem 
discussão mais aprofundada com todos da sala.
Desenvolvimento
Neste bimestre as propostas de cálculo darão sequência ao que desenvolvemos no primeiro 
bimestre, avançando para o trabalho com a potenciação, equações exponenciais simples com 
expoentes números inteiros e com cálculos com logaritmos. Além disso, faremos uma 
exploração de cálculos envolvendo aplicações do teorema de Pitágoras. 
A sequência é grande, mas esperamos que agora, sendo o segundo bimestre do segundo 
ano, os estudantes consigam fazer uma quantidade maior de atividades. Você deve ficar 
atento apenas às atividades que envolvem teorema de Pitágoras, porque podem ser um 
pouco mais trabalhosas. 
Gestão da Aula
Nas propostas com cálculo mental, é importante:
apresentar a proposta e seus objetivos aos alunos na primeira aula e lembrá-
los sempre disso;
realizar as sequências presencialmente (salvo exceções indicadas na OPA) 
para poder avaliar as dúvidas, necessidades e avanços dos alunos;
realizar, em sala, sessões de cálculo rápido duas vezes por semana em 
períodos que não ultrapassem 15 minutos;
entender que erros são normais nessa primeira fase e devem ser discutidos 
com os alunos para que possam compreendê-los e avançar às sequências 
seguintes;
incentivar os estudantes a socializar dúvidas e erros para que possam ser 
ajudados a compreender as estratégias necessárias para progredir.
 
É importante que você incentive os alunos no final de cada sessão 
de cálculo mental a analisar individualmente seus erros e acertos e 
a registrar isso no caderno. Eles devem saber que se desenvolvem 
quando conseguem ampliar a quantidade de acertos em relação aos 
erros. E podem estabelecer metas individuais em relação a isso.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 21
SD 3
Capture um Polígono!5
Resumo
A boa compreensão que os estudantes terão dos poliedros, em particular 
dos prismas e das pirâmides, depende de algum conhecimento a respeito 
de figuras planas. Para fazer uma revisão do que os estudantes
aprenderam, e daquilo que é essencial que saibam a respeito de 
polígonos de modo que ampliem sua compreensão para geometria 
métrica espacial, escolhemos um jogo cuja temática abordará as 
principais propriedades de polígonos quanto a lados e ângulos: Capture 
polígonos.
Foco Propriedades de polígonos relativas a lados e ângulos.
Objetivos
Identificar e nomear polígonos; associar a um polígono suas principais 
propriedades; classificar polígonos em quadriláteros, triângulos e outros; 
desenvolver um vocabulário relativo a polígonos e suas propriedades; 
desenvolver habilidades verbais, visuais e lógicas.
Organização da 
turma Em times de 4 alunos.
Recursos e 
providências
- Ficha 9 do Caderno do Estudante;
- cartas do jogo para cada time de 4 estudantes; 
- tesoura e envelopes para guardar as cartas.
Duração Prevista 4 aulas.
Para a sua mediação e presença pedagógica:
Ainda que o jogo seja envolvente, que os jogadores se encantem por ele, e principalmente por 
isso, não é na primeira vez que jogam que ele será compreendido. Uma proposta desafiante 
cria no próprio jogador o desejo de repetição, de fazer de novo. Usando desse princípio natural 
para quem joga, temos recomendado que, nas aulas de Matemática, um jogo nunca seja 
planejado para uma aula apenas. O tempo de aprender exige que haja repetições, reflexões, 
discussões, aprofundamentos e mesmo registros.
Desenvolvimento
Os jogos são uma ótima estratégia didática para levar os estudantes a ampliar seus 
conhecimentos matemáticos, ao mesmo tempo em que desenvolvem competências não 
cognitivas. Analisar pontos de vista, iniciativa, tomada de decisões, capacidade argumentativa 
e resolução de problemas estão entre alguns dos aspectos que os estudantes adquirem 
enquanto jogam. 
Em um jogo de geometria, haverá também a possibilidade de usar, de modo natural, a
linguagem geométrica, explorar propriedades de figura, desenvolver o pensamento espacial, 
dedutivo e apropriar-se de conhecimentos que de outra forma seriam feitos de modo repetitivo 
e sem desafios. O jogo é uma das formas criativas de “praticar” a que se refere Willinghan 
(2011). 
5 Atividade baseada no livro SMOLE, K.S.; DINIZ, M.I e MILANI, E. Jogos de Matemática - série 
Cadernos do Mathema. v. 2. Porto Alegre: Artmed, 2007.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 22
Gestão da Aula
Lembre-se de organizar a rotina da aula com os estudantes, deixando claro o que farão, 
como farão, os recursos necessários e como deverão se organizar para isso. Esse 
procedimento auxilia o time a fazer sua parte para o bom andamento do trabalho. 
Colaboração é uma das metas do trabalho em time.
Etapa 1: Conhecendo o jogo (2 aulas presenciais e 1 de Estudos Orientados)
A classe deverá ser organizada em timesde 3 ou 4 estudantes. Em primeiro lugar, coloque as 
cartas dos polígonos em um slide e projete para o time. Os estudantes devem olhar os 
polígonos, nomeá-los, quando possível, e analisar as propriedades que eles têm. 
Vale a pena:
Olhar com eles as cartas, os significados delas, esclarecer dúvidas;
Escolher um polígono e pedir a eles que separem as cartas que contenham propriedades 
dele;
Escolher três cartas de propriedades e pedir que vejam qual(is) polígono(s) apresenta(m) 
aquela propriedade;
Pedir que separem as cartas de propriedade do paralelogramo e depois ver se há outros 
polígonos com aquelas propriedades (podem concluir que losango, retângulo e quadrado 
também têm as propriedades dos paralelogramos, e vocês registram o que é um 
paralelogramo e mostram que há quadriláteros que são paralelogramos).
Inicie o jogo com a classe toda, conforme as regras sugerem. Você pode distribuir as cartas 
e as regras (Ficha 9 do Caderno do Estudante) entre os times, dar um tempo para que leiam 
e discutam entre si e então jogar contra eles. Se desejar, remova inicialmente a carta Capture! 
para simplificar o jogo coletivo.
Estudos orientados: Sugira que joguem novamente em umaaula de estudos orientados ou 
dê um intervalo adequado para eles, visando saber seserão capazes de realizar todo o 
jogosozinhos. Eles devem anotar as dúvidas para discutir na sala na próxima vez em que 
jogarem. Explique-lhes que esse jogo precisa ser feito com muito empenho porque auxiliará 
a aprender mais a respeito de geometria, um tema importante neste bimestre, no outro e na 
vida.
Etapa 2: Outra vez o jogo (2 aulas)Os estudantes jogam, de preferência, nos mesmos times. Terminada a jogada, conduza uma 
discussão a respeito do jogo: o que aprenderam, o que foi mais difícil, de que ajuda ainda 
precisam. 
Proponha outros problemas:
1. Quais polígonos podem ser capturados se tirarmos as cartas Ao menos um ângulo reto e
Nenhum par de lados paralelos?
2. Há dois pares de cartas que se forem sorteados não permitem capturar nenhum dos 
polígonos?
3. Separem as cartas de propriedades do retângulo. Há outra figura que tenha as mesmas 
propriedades do retângulo? Qual? No que ela se diferencia então do retângulo? O que 
podemos concluir? Vamos registrar?
4. Quais cartas de propriedades eu preciso retirar para capturar os polígonos F, L e P?
5. Qual par de cartas de propriedades permite capturar o maior número de polígonos?
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 23
6. É possível ainda explorar o desenho de figuras. Nesse caso, após jogarem, os estudantes
guardam as cartas de polígonos e ficam apenas com as de propriedade. Cada jogador escolhe 
duas cartas de propriedade e tenta desenhar uma figura que contenha ambas. Para realizar 
o desenho, os estudantes podem utilizar instrumentos de desenho ou papel pontilhado.
IMPORTANTE:
Um aspecto interessante desse jogo são as várias estratégias que os estudantes utilizam. 
Alguns analisam figura por figura para tentar relacionar as propriedades com os polígonos 
correspondentes; outros separam os polígonos que têm a propriedade de ângulos e aqueles 
que têm a propriedade de lados e, então, separam entre esses aqueles polígonos que têm 
ambas as propriedades; outros analisam as propriedades e, sem tocar nas cartas de 
polígonos, separam aquelas que correspondem às propriedades tiradas. Vale a pena observar 
e pedir que os estudantes socializem as estratégias, de uma jogada para outra. 
Quando precisam decidir se um ângulo é reto, os estudantes de modo geral utilizam os 
ângulos do quadrado ou do retângulo como padrão de comparação.
Registro escrito das conclusões dos problemas e das discussões é inegociável. Garanta 
registros coletivos, organizados no quadro com anotação no caderno. Eles serão úteis nos
estudos dos prismas e pirâmides. 
Peça que, em times, escrevam uma lista de coisas que aprenderam 
jogando. Eles devem ler a lista em voz alta e você observa se as 
aprendizagens expressadas revelam o que você desejava que eles 
aprendessem. Se algo importante não aparecer, planeje com eles jogar 
mais uma vez para tirar dúvidas. Pode também repetir as propostas nas 
primeiras explorações sugeridas no inicio desta sequência. Isso permite 
que haja mediação de sua parte para garantir as aprendizagens 
esperadas. Observe ainda que o jogo fornece uma excelente oportunidade 
para você avaliar como andam as competências socioemocionais do time
para as quais sugerimos um olhar especial neste bimestre. 
SD 4
Revisando áreas de figuras planas
Resumo Esta sequência propõe uma breve revisão do cálculo de áreas de figuras 
planas, em particular do paralelogramo, retângulo, losango, trapézio e 
círculo, de modo que os estudantes possam usar as noções e 
procedimentos envolvidos nesses cálculos na resolução de problemas 
relacionados à geometria métrica espacial abordada neste e no próximo 
bimestre.
Foco Área de figuras planas.
Objetivos Revisar o cálculo de área de figuras planas; resolver problemas que 
envolvam cálculo de área de figuras planas.
Organização da 
turma
Varia conforme o desenvolvimento da sequência. 
Recursos e 
providências
- Livros didáticos.
- Vídeo.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 24
Duração Prevista 4 aulas + 1 de Estudos Orientados.
Desenvolvimento
Escolha um livro didático de Ensino Médio que faça a revisão do cálculo de áreas das 
principais figuras planas. Consideramos que esse conteúdo está bem organizado em: 
Matemática – contextos e aplicações, de Luís Roberto Dante (editora Ática) e Matemática 
Ensino Médio, de Smole e Diniz (editora Saraiva). Proponha que os estudantes sigam o 
seguinte roteiro de estudos:
1. Em duplas, leiam o livro e localizem como calcular a área das principais figuras planas. 
Eles devem fazer um resumoem uma folha de papel, uma espécie de esquema, para poderem 
usar sempre que necessário. Organize também um resumo, para colocar na sala de aula.
Estudos orientados: peça aos estudantes que, em uma aula de Estudos Orientados, 
assistam ao vídeo “Área e perímetro de figuras planas – Matemática Rio” (Disponível em:
bit.ly/area-perimetro. Acesso em: set. 2017.).
Eles devem aproveitar para rever os conceitos, refazer exercícios que tenham errado na 
proposta 2 e trazer as anotações para sala de aula. O vídeo pode ser assistido no canal 
Youtube Educação, diretamente do celular. Retome com eles que usaremos para essa 
atividade uma das estratégias mais modernas em educação: flipped classroom (“FC” ou “sala 
de aula invertida”, em português). Explique que está sendo desenvolvida em poucas escolas 
brasileiras, uma delas é a deles. Relembre que nessa estratégia deve-se assistir à explicação 
em vídeo sozinho ou com um colega; fazer anotações e, depois, em sala, realizar atividades 
para estudar mais o assunto e tirar dúvidas com o professor e os colegas. 
2. Selecione nesses mesmos livros alguns problemas para que eles apliquem o que 
aprenderam. Não mais do que 10. Entregue a lista aos estudantes para que as atividades 
sejam resolvidas: relendo o livro e as anotações do caderno, consultando o vídeo ou com sua 
ajuda, professor. Você pode baixar o vídeo nos computadores da escola, no seu computador 
de sala ou eles podem consultar diretamente pelos próprios celulares. 
Gestão da Aula
Toda aula deve ter começo, meio e fim, para que os alunos vejam sentido no estudo 
dedicado à Matemática. Observe se isso está claro em cada proposta de aula que fizer aos 
seus alunos em cada sequência didática desenvolvida.
Em cada aula, propomos que a pauta seja exposta no quadro e que os 5 minutos finais 
sejam dedicados a verificar se o proposto foi ou não cumprido. Os alunos devem identificar o 
que favoreceu ou prejudicou o cumprimento da pauta. Se, eventualmente, seu planejamento 
foi inadequado, é interessante que isso também seja compartilhado com a classe. Assim, após 
a atividade 3 é importante socializar algumas das multiplicações elaboradas e analisar erros, 
dúvidas etc.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 25
Levante com os alunos as dúvidas que ainda persistem e organize 
uma sequência de 5 a 6 atividades para que resolvam de acordo 
com suas dúvidas. Escolha atividades mais alinhadas com nossa 
proposta. Os alunos resolvem em duplas para que se auxiliem 
mutuamente. Recolha as atividades resolvidas, analise e depois 
devolva para as duplas. No quadro você refaz cada atividade e eles 
devem olhar o que fizeram para ver se há erros. Se houver, 
identificam onde erraram e escrevem na lista resolvida sem apagar 
a resposta errada, após isso anotam no mesmo espaço a resolução 
correta. Essa reflexão permite que aprendam bastante e sejam 
capazes de refletir a respeito do que aprendem ou não. 
SD 5
Prismas e Cilindros
Resumo
Compreender o significado de prismas e cilindros e resolver problemas 
diversos que envolvam cálculos de área e volume desses dois sólidos 
geométricos será objeto dessa sequência didática.
Foco Estudo de prismas e cilindros.
Objetivos
Compreender o prisma como um poliedro e o cilindro como um corpo 
redondo; identificar planificações de prismas e de cilindros; resolver 
problemas que impliquem em cálculo de área de prismas e cilindros; 
desenvolver habilidades de pensamento geométrico.
Organização da 
turma
Varia em função das atividades da sequência. Observar ao estudar as 
propostas e ao desenvolvê-las. 
Recursos e 
providências
- Livro didático; 
- applet Polypro;
- um conjunto de sólidos geométricos de papel ou madeira para cada time
de4 estudantes (eles podem fazer de cartolina e encher com jornal para 
ficar bem firme); 
- tesoura, papel-cartão, fita adesiva, conta-gotas, uma garrafa ou caixa de 
1 L para cada quatro estudantes; 
- Fichas 10 a 13 do Caderno do Estudante;
- vídeo; régua e compasso.
Duração Prevista 10 aulas.
Para a sua mediação e presença pedagógica:
Durante o desenvolvimento da sequência procure observar se os estudantes estão evoluindo na 
utilização da linguagem geométrica, se utilizam habilidades e conceitos aprendidos no 1º 
bimestre. Para isso, incentive que falem e escrevam suas conclusões nas atividades propostas, 
que usem termos geométricos etc. A ampliação da capacidade geométrica também se observa 
pelo avanço de como se expressam em geometria. 
Desenvolvimento
O pensamento espacial inclui a habilidade para visualizar mentalmente objetos e relações 
espaciais – para girar e virar as coisas em sua mente. Isso inclui um conforto com as 
descrições geométricas de objetos e de suas posições. Pessoas com senso espacial 
apreciam formas geométricas na arte, na natureza e na arquitetura. Elas são capazes de usar 
ideias geométricas para descrever e analisar o mundo em que vivem.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 26
O pensamento espacial se desenvolve também relacionado às propostas de trabalho com a 
Geometria, feitas nas aulas de Matemática e envolve conhecimentos ligados ao espaço e à 
forma. Nesta sequência didática, enquanto cuidamos do desenvolvimento do pensamento 
espacial, avançamos com propostas para que os estudantes conheçam melhor os poliedros 
e suas propriedades. 
Nas propostas, apresentamos muitos conceitos e a terminologia relativa a prismas e 
pirâmides. Para facilitar, proponha aos estudantes que, enquanto leem, elaborem um resumo 
ou fichamento com os termos que estão aprendendo, explicando-os com suas próprias 
palavras ou desenhando-os. Eles poderão consultar esse resumo durante a realização das 
atividades e até mesmo, segundo seu critério, durante uma avaliação mensal.
Nessa sequência didática, introduziremos também as medidas de área de superfícies e 
volume de poliedros e corpos redondos, em particular prismas e cilindros. Essa forma de 
organizar o do ensino de geometria espacial está em consonância com os Parâmetros 
Curriculares Nacionais (2002): 
As propriedades de que a Geometria trata são de dois tipos: associadas à posição relativa 
das formas e associadas às medidas. Isso dá origem a duas maneiras diferentes de pensar 
em Geometria. Uma delas é marcada pela identificação de propriedades relativas a 
paralelismo, perpendicularismo, interseção e composição de diferentes formas; a outra tem 
como foco quantificar comprimentos, áreas e volumes.
Usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real é uma 
capacidade importante para a compreensão e construção de modelos para a resolução de 
questões da Matemática e de outras disciplinas. Como parte integrante deste tema, o 
estudante desenvolverá habilidades de visualização, de desenho, de argumentação lógica e 
de aplicação na busca de solução para problemas. 
Parte do trabalho com Geometria está estritamente ligada às medidas, que fazem a ponte 
entre o estudo das formas geométricas e os números que quantificam determinadas 
grandezas. No entanto, o ensino das propriedades métricas envolvendo cálculos de 
distâncias, áreas e volumes é apenas uma parte do trabalho a ser desenvolvido, que não pode 
ignorar as relações geométricas em si.
PCN Ensino Médio: Ciências da natureza, Matemática e suas tecnologias. 
Brasília, SEB/MEC, 2002. p. 123. 
Etapa 1 – Separando sólidos 
Nesta etapa, ainda trabalhando com a classificação de sólidos geométricos, exploraremos 
apenas os poliedros (não redondos), para identificar mais claramente os prismas. 
Ficha 10 do Caderno do Estudante
Proponha que montem o sólido da Ficha 10, juntem com os demais e separem os poliedros 
dos corpos redondos. Lembrando que poliedros são os sólidos cuja superfície é composta 
apenas por polígonos. Em seguida, devem separar os poliedros em dois times, sendo que 
em um deles devem ficar todos aqueles que podem ser apoiados, de modo que metade dos 
vértices fique fora da superfície da mesa. Eles devem obter a seguinte separação: de um 
lado os prismas e de outro as pirâmides. Incentive que expliquem como separaram e que 
usem termos geométricos em suas explicações, lembrando que o desenvolvimento da 
linguagem geométrica auxilia em habilidades mais avançadas de pensamento geométrico.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 27
Aproveite para introduzir o termo prismas para identificar um dos grupos de poliedros, 
explicando aos estudantes que os sólidos que podem ser apoiados de modo que metade dos 
vértices fique fora da mesa são conhecidos como prismas. A face que fica apoiada na mesa 
é sua base. Os prismas podem ser diferenciados por suas bases. Assim, se a base for um 
hexágono, o prisma será denominado prisma de base hexagonal. Se for um triângulo, dizemos 
que se trata de um prisma de base triangular. Peça que observem as faces que estão em 
volta das bases (faces laterais) e digam como elas são. Eles devem perceber que todas as 
faces laterais são quadriláteros. 
Para concluir a aula, peça aos estudantes que:
Anotem no caderno as conclusões a respeito de quando um sólido é um prisma. Cuide 
para que os registros sejam feitos no caderno.
Escolham um prisma e construam com varetas.
Façam um desenho desse prisma no caderno abaixo das anotações feitas.
Guardem os prismas separados dos demais sólidos, porque estudarão um pouco mais a 
respeito deles na próxima aula.
Etapa 2 - Descobrindo propriedades dos prismas
Esta etapa da sequência segue o seguinte roteiro:
1. Em duplas, os estudantes realizam as propostas da Ficha 11 do Caderno do Estudante no 
computador. Vocês analisam as resoluções e retomam o sentido de planificação de um sólido, 
aqui os prismas. Aproveite para analisar com os times a ideia de paralelismo entre as bases 
de um prisma. 
Assistam juntos ao vídeo “Classificação dos Prismas” (Disponível em: bit.ly/classificacao-
prismas. Acesso em: set. 2017.).
Após assistirem ao vídeo:
Façam juntos, com você anotando no quadro, uma síntese das principais ideias 
apresentadas. Se precisarem, assistam mais vezes, até que as noções sejam organizadas 
para registro no caderno.
Peça que identifiquem entre os prismas montados: os oblíquos e os retos; os não regulares 
(lembre a eles que há os regulares e os não regulares, não usamos o termo “prismas 
irregulares”); os paralelepípedos. Converse com eles de prismas que se encaixam em mais 
pentagonal 
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 28
de uma categoria: por exemplo, o cubo que é reto, regular e paralelepípedo, ou o 
paralelepípedo que é oblíquo.
A seguir, use um livro didático disponível em sua escola para que os estudantes:
a) Leiam e pensem a respeito da definição de prisma.
b) Numa aula de Estudos Orientados, produzam uma ficha resumindo o que sabem a respeito 
dos prismas. Devem guardar esse resumo porque usarão em uma prova com consulta.
Etapa 3 - Explorando volumes 
Atividade 1 – Quanto vale 1 L?
Organize os estudantes em quartetos. Peça que:
Usem régua, lápis e construam cinco quadrados com 10 cm de lado, em um papel grosso 
como papel-cartão ou papelão.
Com fita adesiva montem um cubo aberto.
Forrem o cubo com um saco plástico.
Coloquem água de uma garrafa ou caixa de 1 L dentro do cubo sem que ele desmanche, 
estimando antes: vai caber?
Depois, cada time completa essa conclusão: 
Um _______ é a capacidade de um cubo de aresta _______ cm. Logo, 1 dm3 é o mesmo que 
1L.
Atividade 2 – Quanto vale 1 mL?
Organize os estudantes em quartetos. Peça que:
Usem régua, lápis e construam cinco quadrados com 1 cm de lado, em um papel grosso 
como papel-cartão ou papelão.
Com fita adesiva montem um cuboaberto.
Explique que esse cubo que construíram é o que chamamos mililitro e representamos por mL. 
Isso significa que 1 mL é a capacidade de um cubo com aresta de 1 cm. Concluímos então
que 1 mL é o mesmo que 1 cm3.
Desafie: Vamos pensar, quantos cubinhos são necessários para encher o cubo grande que 
fizeram na outra aula?
Atividade 3 - Volume e área do prisma
Prepare uma aula expositiva usando como base um livro didático e explore as ideias de 
volume e área do prisma. Você pode usar ainda o vídeo “Como Calcular a Área e Volume de 
Prismas” (Disponível em: bit.ly/area-volume-prismas. Acesso em: set. 2017.).
Os estudantes completam sua lista a respeito de prismas em outra aula de Estudos 
Orientados.
Proponha uma lista com problemas envolvendo cálculo de área e volume de prismas. 
Escolha alguns do Enem e de outros exames. A lista pode ter 15 problemas, sendo 10 
obrigatórios e 5 opcionais. Explique por qual motivo é importante que façam, diga que conta 
com eles para auxiliarem você com esse trabalho e para ajudar na melhor aprendizagem de 
cada um.
Etapa 4 - Explorando cilindro
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 29
Atividade 1
Converse com os estudantes a respeito do que sabem de cilindros, onde aparecem no 
cotidiano e peça que eles observem os cilindros dos sólidos que montaram. Proponha que 
peguem o cilindro reto e o paralelepípedo retângulo e comparem semelhanças e diferenças 
entre eles. Veja se percebem que o cilindro não tem polígonos (logo não há faces), nem 
arestas e nem vértice. A superfície curva do cilindro tem duas bases circulares e paralelas.
Mostre a eles a animação “Geração de um Cilindro” (Disponível em: bit.ly/geracao-cilindro
Acesso em: set. 2017.), para que compreendam um cilindro como sólido de revolução:
Atividade 2
Ficha 12 do Caderno do Estudante
Proponha que pensem a respeito de como podem planificar o cilindro. E, então, devem 
realizar as atividades da Ficha 12 discutindo por que as planificações estão erradas. Essa 
análise permitirá pensarem mais a respeito das propriedades do cilindro reto (bases 
congruentes e paralelas). 
Atividade 3
Use um livro didático para:
Que estudem a definição de cilindro e comparem com a do paralelepípedo.
Que estudem princípio de Cavaliere, volume e área do cilindro.
Na sequência, proponha problemas diversos e a Ficha 13 do Caderno do Estudante.
 
Como um instrumento de avaliação, é possível propor aos estudantes a 
prova em dois tempos:
Consiste de uma prova que, em uma primeira fase, é realizada na aula e 
sem consulta, durante um período de tempo previamente combinado com 
os estudantes.
Você recolhe a prova e avisa aos estudantes que daí a duas aulas, no 
máximo, a devolverá para querefaçam o que desejarem.
Olhe as provas, faça anotações para você, mas não marque as 
resoluções dos jovens.
Em uma segunda fase, os estudantes receberão novamente a prova, 
com uma folha anexa grampeada para completar aquilo que não foram 
capazes de fazer ou para refazer aquilo que sentirem necessidade.
A segunda fase da prova ocorre após o professor ter analisado cada 
prova e, pode ou não, fazer uma apreciação, dando pistas e sugestões a 
cada estudante de como pode rever e aprimorar o trabalho realizado na 
primeira fase.
Eles não podem alterar a primeira versão (para que você saiba o que 
modificaram) e por isso fazem as revisões na folha anexa.
Você corrige as duas versões e valerá sempre a resolução correta.
Embora essa modalidade de prova seja trabalhosa, vale bem a pena,
porque favorece uma reflexão dos estudantes entre eles, com as famílias, 
com você e mesmo buscando nos livros. Isso mobiliza a aprendizagem.
Essa proposta de avaliar em dois tempos é uma oportunidade de analisar 
se seus alunos já mostram persistência, capacidade de análise, 
autogestão da aprendizagem, isto é, alguns dos aspectos que sugerimos 
serem observados ao longo do bimestre.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 30
SD 6
Logaritmos e Progressões
Resumo
Nesta etapa do bimestre faremos a finalização do estudo de logaritmos e 
matemática financeira, uma breve revisão de sequências, um estudo 
focado de alguns aspectos das progressões aritméticas e geométricas e a 
resolução de problemas envolvendo matemática financeira.
Foco Noção de logaritmos, progressão geométrica e aritmética e matemática financeira.
Objetivos Resolver problemas que envolvam logaritmos, progressões e matemática financeira.
Organização da 
turma
Varia de acordo com as etapas da sequência. Ficar atento ao estudar e 
realizar o planejamento das aulas. 
Recursos e 
providências
- Livros didáticos;
- Fichas 14 e 15 do Caderno do Estudante.
Duração Prevista 13 aulas.
Para a sua mediação e presença pedagógica:
Na última etapa desse segundo bimestre usaremos o livro didático para auxiliar a aprendizagem 
dos alunos acerca de progressões. Isso exigirá de sua parte análise de atividades, foco na 
escolha do que será ensinado e, principalmente, desapego de conceitos e procedimentos que 
podem até ser interessantes para nós que somos especialistas em matemática, mas pouco 
necessários para o jovem que aprende Matemática no Ensino Médio. Por isso, ter foco no 
essencial é bem relevante, especialmente em progressões onde a diferenciação entre PA e PG, 
os termos gerais, a relação com função de domínio discreto e a resolução de problemas com 
esses itens são o mais importante a ser aprendido. Havendo tempo e condições do grupo, é 
possível mais, mas o essencial precisa ser aprendido. 
Gestão da Aula
Lembre-se de partilhar com os alunos, na primeira aula da sequência, por escrito na lousa, 
o que eles irão aprender, como irão aprender e o que é preciso que façam para colaborar com 
sua aprendizagem. Peça que registrem isso no caderno. Retome essa partilha a cada nova 
atividade e veja com eles o que já aprenderam e se há dúvidas.
No início de cada aula, coloque a agenda de trabalho no quadro. Eles devem registrá-la 
no caderno.
Explique que durante toda a sequência eles irão trabalhar em times de quatro alunos.
Ao final de cada aula dessa sequência, a proposta será destinar uns poucos minutos para 
que os alunos escrevam qual foi a principal aprendizagem e uma dúvida (se houver). Na aula 
seguinte da sequência, retome os times (elogie se já estiverem organizados) e peça que leiam 
a aprendizagem e a dúvida. Comentem e discutam. Isso aquece a aula e a memória dos 
alunos.
Observe as dúvidas dos alunos, anote as mais significativas, para você poder analisar se 
precisa ou não retomar o tema com algum time ou a classe toda. Aqui temos avaliação e 
recuperação em processo.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 31
Desenvolvimento
Finalizaremos o estudo dos logaritmos antes de retomar as sequências e o estudo das 
progressões.
Etapa 1
Destine duas aulas para retomar com os estudantes a pesquisa que realizaram a respeito das 
aplicações práticas dos logaritmos. Para isso você pode seguir o seguinte roteiro:
Pergunte aos alunos, de modo geral, quais foram as aplicações práticas que 
encontraram. Deixe que falem e faça com eles uma lista dos resultados da pesquisa.
Avise que você vai sortear quatro times que apresentarão seus resultados para a classe,
usando o PowerPoint, ou algum outro recurso, caso o computador e um datashow não 
sejam possíveis. 
Cada time apresenta e os alunos podem comparar os usos encontrados, analisar os 
exemplos e mesmo relacionar com as demais pesquisas que não foram apresentadas.
Ao final, peça que avaliem em time: o que aprenderam com a pesquisa? Por que ela foi 
importante?
Etapa 2
Usando a Ficha 14 do Caderno do Estudante, proponha que, individualmente, resolvam os 
problemas que estão propostos. Depois de um tempo, vocês analisam as soluções 
coletivamente da seguinte forma:
Enquanto os alunos resolvem o problema, circule pela classe observando os caminhos 
encontrados por eles. Avisea eles que você está acompanhando para selecionar três 
deles para ir ao quadro visando discutir soluções corretas, incompletas ou mesmo que 
contenham erros. Explique que esse processo auxilia a aprenderem juntos pela reflexão 
a respeito do que fizeram. 
Por observação, escolha três alunos para colocarem sua solução no quadro: um que 
resolveu corretamente, outro que ficou pela metade do caminho e um terceiro que tenha 
resolvido errado. Comece pelo problema 1, pedindo à classe que analise a resolução 
correta, como foi conduzida e estimule os alunos que resolveram corretamente a explicar 
para todos como pensaram para resolver o problema.
Em seguida, com a classe, analisem as duas outras resoluções. Nelas o foco é saber 
como continua, ou descobrir o erro para sua superação.
Faça o mesmo procedimento para o problema 2.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 32
Etapa 3
A sequência proposta agora se constitui em uma forma de permitir aos alunos revisar o 
conceito de função e analisar como é a representação gráfica de uma função com domínio 
discreto. Abordar progressões por essa via escolhida para esta sequência didática permite 
que os alunos exponham dúvidas que ainda permaneçam do estudo de funções no ano 
anterior, propicia explorar padrões e busca de regularidades, noções de potência, crescimento 
e decrescimento de funções. 
Na abordagem de progressões, os estudantes poderão ter o primeiro contato mais formal com 
a noção de infinito, sem contar a exploração de situações-problema que envolvem variação 
de grandezas e o desenvolvimento da linguagem geométrica. 
Para atingir as metas dessa sequência didática, propomos que seja feita uma retomada com 
os alunos a respeito do que aprenderam de sequências e progressões em Letramento, para 
depois, usando um livro didático, explorar a sistematização das ideias de PA e PG. 
Começaremos retomando a ideia de padrões, sequências e expressão de regularidades 
observadas.Com os estudantes organizados em times, solicite que façam o que é pedido na 
Ficha 15 do Caderno do Estudante. Ao final, proponha o painel de soluções e deixe que os 
times apresentem e discutam a apresentação de cada um.
Etapa 4
Muito dessa sequência deve se desenvolver no formato de aula expositiva, ainda que 
dialogada com os alunos. Em aulas expositivas, os estudantes precisam registrar os pontos 
importantes: 
• Um conceito novo, um procedimento, uma propriedade para consulta futura etc. Será que 
eles sabem o que anotar? Ou anotam tudo sem discriminar o nível de importância de cada 
coisa?
• Ensiná-los a anotar é também conteúdo de ensino. Para isso, faça paradas ao longo da 
aula e solicite que anotem isso ou aquilo conforme sua orientação.
• Ao final, organize uma pequena síntese da aula com eles e peça que registrem em seus 
cadernos. Use essa síntese como ponto de partida da próxima aula. Isso dá uma forcinha 
para a memória e mostra o sentido e a lógica do percurso de estudo que estão realizando.
O que fazer
Converse com a turma a respeito do que estudaram de sequências e padrões em 
Letramento (seria recomendável que você conversasse antes com o professor desse 
componente, caso não seja você). Façam uma lista, deixe que deem exemplos e observe 
o vocabulário que utilizam. 
Ao longo das duas etapas use seu caderno de bordo para avaliar os 
alunos nos aspectos que sugerimos na introdução desta OPA de 2º 
bimestre. Organize registros que indiquem a evolução de cada um 
tanto no que diz respeito ao conhecimento matemático, quanto ao 
desenvolvimento de competências socioemocionais. Use os registros 
para decidir se é preciso ou não retomar algum ponto em especial. 
Faça uma síntese de suas observações e apresente para a turma, 
sem mencionar alunos em especial, mas deixando claro a eles o que 
está bem e o que precisa melhorar. Ouça os jovens para ver em que 
eles concordam, quais as discordâncias e por que, e o que podem 
fazer para avançar nos pontos de fragilidade.
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 33
Escolha um livro didático e explore o conceito de PA por meio de leitura compartilhada 
(parar antes dos exercícios resolvidos) e comentar, analisar os termos, perguntar etc.
Em duplas, proponha que os alunos estudem alguns exercícios resolvidos previamente 
selecionados por você. Depois, escolha algumas atividades e problemas para eles 
resolverem e pensarem mais a respeito de PA.
Organizar as aulas para discutir os problemas coletivamente aproveitando para esclarecer 
dúvidas. 
Fazer um trabalho semelhante ao anterior com Progressão Geométrica. Não serão 
exploradas média geométrica, nem soma de PG infinita. Explorar bem a diferença entre 
PA e PG. 
Pedir aos alunos que analisem as seguintes escritas: f(x) = 2x com x ε N e g(x) = 2x com 
x ε N. Depois de compararem as semelhanças e diferenças nas leis de formação, analise 
o que seria um domínio natural para uma função: como seria o gráfico? Por que imaginam 
isso? Fale com a turma a respeito do domínio em N ser discreto e o que isso significa. 
Procure “mostrar intuitivamente” que um domínio real “preenche os pontos de uma curva”, 
enquanto um domínio natural, não. Construa com eles os gráficos das duas funções em 
um mesmo eixo. Proponha pelo menos mais duas leis de formação em PA e duas em PG 
e realizem a mesma proposta. 
Para fechar esse estudo, peça que organizem uma lista de aprendizagens desse tema. 
Dê a eles uma lista com 10 propostas de PA e PG para que resolvam em Estudos 
Orientados. Forneça as respostas das atividades e reserve tempo de aula apenas para 
tirar dúvidas ou resolver aqueles que eles não conseguiram.
Etapa 5
Com os estudantes organizados em times, solicite que façam o que é pedido na PARTE 1 da 
Ficha 16 do Caderno do Estudante. Disponibilize a calculadora para cada time, pois o foco 
não são as contas, mas o processo de resolução de cada problema.
Ao final, proponha o painel de soluções e deixe que os times apresentem e discutam a 
apresentação de cada um.
Terminado o painel questione:
O que esses dois problemas têm em comum?
Quais são as diferenças entre os dois problemas?
Deixe-os falar livremente e registre no que se detiveram, foi no texto? Nos dados 
numéricos? Na relação entre os dados? Na resolução?
Provavelmente eles vão se referir ao Problema 1 como uma situação em que o valor aumenta 
a cada semana sempre da mesma quantia (= estoque de 3 tratores a 100 reais cada um).
Enquanto no Problema 2 o valor aumenta de uma quantidade diferente a cada novo aumento.
Não sistematize nada ainda.
Etapa 6
Nos mesmos grupos, solicite que façam a Parte 2 da Ficha 16.
Observe-os trabalhando e registre. Na troca entre os times auxilie na organização e verifique 
se conseguem ler a produção dos colegas.
Terminada a tarefa, socialize as respostas de pelo menos dois times e verifique se todos 
concordam.
Agora, sim, é o momento de uma primeira sistematização do conteúdo envolvido nessa 
atividade. Com os estudantes em roda, no quadro, organize as ideias assim:
 OPA Matemática – 2º ano/2º bimestre 34
Se os estudantes identificaram a P.A. do problema 1 de termos:
300, 600, 900, 1200, ...., 21 600
(21 600 reais é o valor a ser pago na 72ª semana = 3 tratores x 72 semanas x 100 reais)
a1 = 300; r = 300; a72 = 300 + (72-1) x 300 = 21 600; n = 72
Enquanto no Problema 2 temos uma P.G.
Valor de venda do 
produtor 200 000 + 200 000 x 20% = 200 000 x (1,2) = 240 000
Valor de venda do 
distribuidor
240 000 + 240 000 x 20% = 240 000 x (1,2) = 200 000 x (1,2)2=
288 000
Valor de venda do 
lojista
288 000 + 288 000 x 20% = 288 000 x (1,2) = 200 000 x (1,2)3 =
345 600
a1 = 200 000; q = 1,2 ; a4 = 200 000 x (1,2)4-1 ; n = 4
Outra diferença entre os dois problemas está no que se pede como resposta em cada um 
deles:
No problema 1, interessa saber a soma dos valores dos termos da P.A.
S = x 72 = 788 400 reais
Já no Problema