CAD EST_MATEMATICA 2º ANO 1º BIMESTRE

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Caderno do Estudante 
 
 
Matemática 
 
Aprender a matemática das funções, dos logaritmos e 
das formas geométricas 
 
2º ano/1º bimestre 
Uma parceria entre a SED/SC e 
o Instituto Ayrton Senna 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Olá! Esperamos que você esteja animado(a) para começar mais um ano. 
 
 
Bem-vindo(a) às aulas de Matemática! 
 
Neste Caderno do Estudante, você encontra as orientações de aula para o 1º bimestre do 
2º ano do Ensino Médio. Este material tem o objetivo de ajudar você a continuar 
construindo uma base sólida de conhecimentos matemáticos para a sua vida, com o auxílio 
e supervisão de seu professor, desenvolvendo saberes indispensáveis para enfrentar os 
grandes desafios do século 21. 
 
Bom ano! 
 
 
2º ano/1º bimestre 
Caderno do Estudante 
 
 
Matemática 
 
 
Aprender a matemática das funções, dos logaritmos e das formas 
geométricas 
 
Uma parceria entre a SED/SC e 
o Instituto Ayrton Senna 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 3 
Matemática 
Ficha 1 – Problemas com Calculadora 
 
Você vai aprender: a utilizar as propriedades das operações para resolver uma situação 
bem estranha: calcular com uma calculadora quebrada. 
 
Você precisa: respeitar os dados da situação problema; conferir se a solução é adequada 
ou não; registrar cada solução encontrada. 
 
 
 
 
O visor da máquina funciona perfeitamente. 
 
 
 
 
Escreva a sequência de teclas que foram digitadas para cada resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção! Depois que você completar a lista dos oito números, que tal encontrar outros 
números que possam aparecer no visor dessa máquina quebrada? Desafie os colegas 
a conseguir os mesmos números que você descobriu. 
O desafio é: em 4 minutos conseguir no visor os oito números da lista a seguir: 
 
6, 7, 8, 10, 12, 15, 20 e 50 
Suponha que uma calculadora está com quase todas as teclas quebradas e que você 
só tenha disponíveis as teclas com os números e , as teclas das 
operações e , as teclas e . 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 4 
Matemática 
Ficha 2 – Organizando a contagem 
 
Você vai aprender: a organizar os dados de uma situação problema para poder fazer a 
contagem de possibilidades; usar sua percepção visual para discriminar figuras iguais de 
figuras diferentes; relembrar o significado da planificação de um cubo. 
 
Você precisa: ser organizado; fazer alguns desenhos; não se deixar enganar pela 
aparência das figuras; trocar informações com os colegas. 
 
Você sabe o que é um dominó? Claro que sim, mas se esquecermos do jogo e 
observarmos apenas a forma de um dominó, você verá que ele é formado por dois 
quadrados iguais ligados por um lado. Podemos fazer isso com diferentes quantidades de 
quadrados e construir o que chamamos poliminós. Conheça alguns deles e seus nomes: 
Monominó Dominó Triminó Tetraminó Pentaminó Hexaminó 
 
Você e seu time têm duas situações para resolver. 
 
Situação 1 
Quantos pentaminós diferentes existem? 
Lembrem-se de que os pentaminós são formados por 5 quadradinhos, ligados dois a dois 
por um de seus lados, e não vale dizer que é diferente a mesma figura em posições 
diversas, como é o caso dos seguintes desenhos: 
 
 
 
 
 
 
 
Situação 2 
Alguns pentaminós podem ser dobrados para formar uma caixa cúbica sem tampa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já o pentaminó a seguir, quando dobrado nas linhas dos lados dos quadrados não pode 
formar uma caixa. 
 
 
Esse pentaminó 
pode ser 
dobrado 
E formar 
essa caixa 
Quantos pentaminós se dobram para 
formar uma caixa cúbica aberta? 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 5 
Matemática 
Ficha 3 – Problemas de Tempo 
 
Você vai aprender: a resolver problemas que exigem trabalhar com diferentes unidades 
de tempo para a sua solução. 
 
Você precisa: fazer um plano de resolução, levando em consideração os dados trazidos 
pelo problema; ler e reler o problema para monitorar a sua estratégia e solução; persistir 
na busca da solução; discutir com seus colegas o problema. 
 
Problema 1 - Enem 2014 
 
Um show especial de Natal teve 45.000 ingressos vendidos. Esse evento ocorrerá em um 
estádio de futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas eletrônicas por 
portão. Em cada uma dessas catracas, passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O 
público foi igualmente dividido pela quantidade de portões e catracas, indicados no 
ingresso para o show, para a efetiva entrada no estádio. Suponha que todos aqueles que 
compraram ingressos irão ao show e que todos passarão pelos portões e catracas 
eletrônicas indicadas. 
 
Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas catracas? 
a) 1 hora. 
b) 1 hora e 15 minutos. 
c) 5 horas. 
d) 6 horas. 
e) 6 horas e 15 minutos. 
 
Problema 2 - OBMEP 2014 
 
Rosane percebeu que seu antigo relógio de parede tinha parado às 9 horas. Ela deu corda 
no relógio, colocando-o para funcionar sem acertar o horário, e foi imediatamente ao 
mercado. Chegou ao mercado às 10 horas e 10 minutos. Fez suas compras em 1 hora e 
voltou para casa. Entrando em casa, notou que o relógio de parede marcava 10 horas e 40 
minutos. 
 
Se Rosane realizou os percursos de ida e volta ao mercado em tempos iguais, a que horas 
ela entrou em casa? 
a) 10 horas e 50 minutos. 
b) 11 horas e 10 minutos. 
c) 11 horas e 30 minutos. 
d) 11 horas e 40 minutos. 
e) 11 horas e 50 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 6 
e) (a-80)/2 
f) √a + 36 
g) √(a .36) 
h) 288/a 
 
Matemática 
Ficha 4 – Qual valor? Depende! 
 
Você vai aprender: a fazer cálculos algébricos com maior agilidade. 
 
Você precisa: concentrar-se na hora da atividade; procurar fazer os cálculos com atenção; 
falar de suas dúvidas e dificuldades com o(a) professor(a). 
 
Seria interessante que você se preparasse relembrando algumas operações algébricas e 
assistindo ao seguinte vídeo, antes ou depois das sessões de cálculo mental: Expressões 
algébricas – aula 1, disponível em: bit.ly/exp_algebricas. Acesso em: jun. 2017. 
Lembre-se de que ter fluência em cálculos algébricos é importante para a ampliação da 
linguagem matemática, bem como para a diminuição de erros na resolução de problemas. 
 
1. Para a = 144, ache mentalmente o valor destas expressões: 
a) a/3 
b) √a 
c) 3√a 
d) a – 100 
 
2. Quando p = -2 e q = 16, ache os valores de: 
a) √q + 32 b) √(q+20) 
c) √p2 + √q2 d) √(p^2+q^2 ) 
 
3. Calcule: 
a) 4x + 2 (-3x – 4) 
b) -3x (x – 2) 
c) (-x – 1)2 
d) -1 + (6 + x)2 
e) 4ab (-c + 1) 
f) -x (x – 2y) - 5y 
 
4. Desenvolva os produtos. Observe o exemplo. 
a) (x – 7)2 = x2 – 14x + 49 
b) (z - 8)2 
c) (-y2 + 4)2 
d) (2m4 + 5)2 
e) (10 – 3x)2 
 
5. Calcule os produtos. Observe o exemplo. 
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + a . b 
a) (x + 2) (x - 5) = x2 - 3x - 10 
b) (y - 6) (y - 2) 
c) (t + 1) (t + 1) 
d) (u + 2) (u + 5) 
e) (n – 2) (n + 2) 
 
 
 
 
 
f) (1/5 + 2z3)2 
g) (1/2 - z)2 
h) (3/2 m2 – 1)2 
i) (-z2 – 5m3)2 
j) (z3 – 3)2 
f) (a + 2) (a +1) 
g) (t - 5) (t – 9) 
h) (x – 2) (x – 4) 
i) (y – 6) (y – 6) 
j)(z – 8)(z + 10) 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 7 
Matemática 
Ficha 5 – Inteiros e seus sinais 
 
Você vai aprender a: calcular com números inteiros. 
Você precisa: controlar seus erros e acertos, tentando sempre pensar por qual motivo 
errou e colocando a você mesmo uma meta de errar cada vez menos. 
 
Sessão 1 
1. Calcule: 
a) -7 + 6 = 
b) -8 – 7 = 
c) 10 - 2 = 
d) 7 – 13 = 
e) -1 – 0 = 
f) 16 – 20 = 
g) -18 – 9 = 
h) 5 – 45 = 
i) -15 – 7 = 
j) -8 + 12 = 
 
2. Vocêse lembra? 
 
Use os lembretes e calcule os seguintes produtos: 
 
a) (+25).(-20) = 
b) (-36).(-36) = 
c) (-12).(+18) = 
d) (+24).(-11) = 
 
3. Você se lembra? 
 
Use os lembretes e calcule os seguintes quocientes: 
 
a) (+265):(-5) = 
b) (+824):(+4) = 
c) (-180):(-10) = 
d) (-420):(10) = 
 
4.Calcule: 
 
 
 
 
 
 
k) -32 – 18 = 
l) 26 – 45 = 
m) -72 – 72 = 
n) -84 + 84 = 
o) -10 – 100 = 
p) -2 – 4 – 1 = 
q) -8 + 6 – 1 = 
r) 12 – 7 + 3 = 
s) 4 + 13 – 21 = 
 O sinal de um produto que tem dois números positivos é positivo. 
 O sinal de um produto que tem dois números negativos é positivo. 
 O sinal de um produto que tem um número positivo e outro negativo é negativo. 
 
e) (+12).(-30).(-1) = 
f) (-8).(-3).0.(-15) = 
g) (-1).(-10).(-3).(+6) = 
h) (-2).(+4).(-3).(+5).(+2) = 
 
 O sinal de um quociente que tem dois números positivos é positivo. 
 O sinal de um quociente que tem dois números negativos é positivo. 
 O sinal de um quociente que tem um número positivo e outro negativo é negativo. 
e) 720:(-8) = 
f) 0:(-568) = 
g) (-330): 5 = 
h) (-101):101 = 
a) -14+42:3 = 
b) 40:(-2)+9 = 
c) (-12):3+6 = 
d) (-54):(-9)+2 = 
e) 20+(-10).(-5) = 
f) (-1).(-8)+20 = 
 
g) 4+6.(-2) = 
h) 3.(-7)+40 = 
i) (+3).(-2)-25 = 
j) (-4).(-5)+8.(+2) = 
k) 5:(-5)+9.2 = 
l) 36:(-6)+5.4 = 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 8 
Se quiser fazer mais 
 
 
 
 
 
 
 
a) 5+6.(-3) = 
b) (-2).(-8)+40 = 
c) (+6).(-1)-24 = 
d) (-4).(-3)+8.(-1) = 
e) 6:(-6)+5.2 = 
f) 42:(-6)+5.3 = 
 
g) -10+22:3 = 
h) 60:(-2)+8 = 
i) (-9):3+6 = 
j) (-54):(9)+2 = 
k) 30+(-10).(-5) = 
l) (-2).(-9)+10 = 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 9 
Matemática 
Ficha 6 – Potências e Equações 
 
Você vai aprender a: calcular potências com números inteiros e calcular raízes de 
equações de 1º grau. 
 
Você precisa: controlar seus erros e acertos, tentando sempre pensar por qual motivo 
errou e colocando a você mesmo uma meta de errar cada vez menos. 
 
1. Calcule: 
 
 
 
 
2. Resolva no conjunto dos números reais as equações: 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule: 
 
a) Qual é o valor da expressão a – b + c para a = 13, b = -6 e c = -7? 
b) Sabendo que x + y = -5 e m + n = +9, o valor da expressão (x + y) + (m + n) é de quanto? 
c) Obtenha o valor da expressão 3 x 2 - 1 para cada valor de x, dado: x = 5, x = -3 e 
x = 0. 
 
4. Resolva as equações: 
 
a) 2x + 5 = 13 
b) 4y + 8 = 40 
c) 6t + 2 = 26 
d) 3a + 10 = 70 
e) 2x - 20 = 4 
f) 7m - 5 = 16 
g) -2b + 10 = 0 
h) -4z + 12 = -12 
i) -5t + 20 = 35 
j) -8z + 10 = -6 
 
g)33 = 
h)(−3)3 = 
i)12 = 
a)22 = 
b)−22 = 
c)32 = 
d) − 32 = 
e)23 = 
f)(−2)3 = 
 
j)−12 = 
k) −13 = 
 
e) 10x = 100000 
f) 12x = 1 
g) 5x = 53 
h) – 2x = -8 
a) 2x = 4 
b) 3x = 9 
c) 2x = 16 
d) 5x = 625 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 10 
Matemática 
Ficha 7 – Batalha Trigonométrica 
 
Você vai aprender a: localizar pontos no círculo trigonométrico; calcular em graus e 
radianos; compreender ainda mais seno, cosseno e tangente. 
 
Você precisa: pensar em cada jogada antes de sair “chutando” uma posição; consultar 
o livro e suas anotações das aulas de trigonometria; identificar se está melhorando na 
localização dos pontos no círculo. 
 
1ª parte: Conhecendo o jogo 
Com o professor, decidam se jogarão em duplas ou quartetos (duplas contra duplas). 
Verifiquem se está tudo certo com os marcadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Decide-se quem começa. Os jogadores se alternam. 
2. Na sua vez, o jogador faz um lançamento, tentando acertar um dos pontos de alguma 
das ternas de seu oponente. Um lançamento é um par de condições retirado da caixa 
de possibilidades, desde que esse par não tenha sido utilizado em alguma jogada 
anterior sua ou de seu oponente. Alguns exemplos de lançamentos: 
a. O lançamento (
3
3
- α tg ,
2
1
- α sen  ) atinge o valor 
6
11
 

 , que corresponde ao 
ponto P que, no tabuleiro de nosso exemplo, significa um tiro na água. 
b. O lançamento (
3
3
 α tg ,
2
1
- α sen  ) corresponde a 
6
7
 

 , que, no tabuleiro do 
exemplo, atinge o ponto Q da terna em vermelho. 
3. O oponente deve informar se o lançamento atingiu alguma de suas ternas ou a água. 
4. Cada lançamento só poderá ser feito uma vez durante a partida. Caso um jogador 
queira fazer o lançamento no mesmo ponto, ele terá de mudar pelo menos uma das 
condições do par para ter um lançamento válido. 
5. Caso um dos jogadores faça um lançamento inconsistente, ou seja, o par de 
condições não correspondaa nenhum ponto do tabuleiro, ele será multado, deixando de 
jogar uma vez. 
Por exemplo, não existe  para o lançamento (cos  = 
2
1
 e sen = -1). 
6. Ganha o jogo aquele que conseguir atingir todas as ternas de seu oponente em 
primeiro lugar. 
 
 
Cada jogador em seu tabuleiro 
marca 3 ternas, uma de cada cor, 
sem que seu oponente veja. Uma 
terna corresponde a 3 pontos 
seguidos no círculo trigonométrico. 
Um exemplo de tabuleiro preenchido 
com 3 ternas é o seguinte: 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 11 
Batalha Trigonométrica – Folha de registros 
Nome: ____________________________________________________________ 
Meus lançamentos Alvo Lançamentos do oponente Alvo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 12 
Batalha Trigonométrica – Tabuleiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 13 
Matemática 
Ficha 8 – Outra Vez Batalha Trigonométrica 
 
 
Você vai aprender a: localizar pontos no círculo trigonométrico; calcular em graus e 
radianos; compreender ainda mais seno, cosseno e tangente. 
 
Você precisa: pensar em cada jogada antes de sair “chutando” uma posição; consultar o 
livro e suas anotações das aulas de trigonometria; identificar se está melhorando na 
localização dos pontos no círculo. 
 
Agora que jogaram novamente, resolvam os problemas propostos a seguir. 
 
1. Anote os lançamentos que devem ser feitos para atingir as ternas registradas no 
seguinte tabuleiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, compare suas respostas com as de seu colega. Há situações em que é possível 
registrar mais de um par ordenado para localizar um ponto no tabuleiro? Justifique. 
 
2. Ana queria atingir o ponto M do tabuleiro acima. Ela fez o seguinte lançamento: 
 
cos  =
2
1
 e sen = 
2
3
. 
 
É possível atingir o alvo? Justifique sua resposta. 
 
3. O que você mudaria nas coordenadas dadas por Ana para que ela atingisse o 
ponto R? 
 
4. Dê duas possibilidades de lançamento para atingir o ponto do círculo trigonométrico que 
corresponde à medida angular de 150º no sentido horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 14 
 
Matemática 
Ficha 9 – Investigando Funções 
Trigonométricas 
 
Você vai aprender a: analisar as funções trigonométricas relativas a seno, cosseno e 
tangente; relacionar uma função à sua expressão algébrica; identificar os zeros das 
funções, o domínio, a imagem e a periodicidade. 
 
Você precisa: trabalhar em dupla com um colega, explorando os gráficos das funções, 
justificando e anotando as conclusões. 
 
A proposta é que as atividades sejam desenvolvidas com a utilização do software 
Winplot, que pode ser encontrado gratuitamente na internet. No entanto, caso a escola 
não disponha de recursos tecnológicos, seu professor os orientará para realizar a proposta 
com meios comuns, usando régua e calculadora. 
 
Parte 1: construção do gráfico de y = senx 
 
 
Parte 2: inserindo a legenda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
expressão algébrica da 
função aparece no canto 
superior esquerdo da 
tela,como mostra a 
figura ao lado: 
 
Ao clicar em “Equação” e “Explícita”, 
uma caixa de diálogo é aberta. É 
necessário apagar a função descrita 
e digitar a função a ser traçada em 
inglês, ou seja, sin(x). O Winplot lê a 
escrita independentemente do 
espaçamento entre as letras e 
símbolos. 
Se você desejar restringir o domínio 
do gráfico, marque "travar intervalo" 
e digite os valores mínimos e 
máximos de x. 
Faça as configurações necessárias 
preenchendo os demais itens da 
caixa de diálogo e clique em “ok” 
O gráfico é traçado 
e uma nova caixa 
de diálogo é aberta. 
Para que a 
expressão 
algébrica da função 
seja mostrada com 
o gráfico, clique em 
“mostrar equação”. 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte 3: formatando a área de plotagem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora é com você 
1. Observe como ficou o gráfico e teste outras configurações para a sua representação. 
 
2. Você já sabe que a função y = senx é periódica. Como o gráfico mostra isso? Escreva 
uma explicação. 
 
3. Pelo gráfico, qual ou quais soluções teríamos para a equação 0 = senx? 
 
4. Construa o gráfico para y = - senx, mas, atenção, o desafio é descobrir como fazer esse 
gráfico no mesmo sistema de eixos já utilizado para y = senx. 
 
5. Construa, em um mesmo sistema, os gráficos de funções da forma y=a+senx, variando 
a constante segundo o seguinte conjunto de números: A = {-2, -1, 0, 1, 2}. Analise o que 
acontece com as funções exploradas nessa proposta de exercício, quando vocês variaram 
a constante a. Compare as quatro funções e escreva semelhanças e diferenças entre elas 
no que se refere à imagem, periodicidade e mais um aspecto que vocês julgarem como 
relevante. 
 
6. Pelo gráfico, qual seria a solução para 2 + senx = 0? 
 
7. Construa em um mesmo sistema de eixos os gráficos de funções da forma y=b.senx, 
variando a constante b segundo o seguinte conjunto de números: A = {-2, -1, 0, 1, 2}. 
 
8. Analise o que acontece com essas funções, quando vocês variaram a constante b. 
 
9. Pelo gráfico, qual é a solução de 0 = 2 senx? 
 
10. Desenhe o gráfico de y = tg x. Sabendo que sen²x + cos²x = 1, escreva y = tgx 
apenas em função de senx. Lembre-se de que 𝑡𝑔 𝑥 = 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 
Desenhe o gráfico da função encontrada. Há diferenças entre os dois gráficos? Por quê? 
Veja como ficou o gráfico e teste outras configurações para a sua representação. 
 
Verifique se a expressão 
algébrica da função 
aparece no canto 
superior esquerdo da 
tela, como mostra a 
figura ao lado: 
 
Feche a caixa de diálogo. Para formatar a área 
de plotagem do gráfico, no menu, clique em 
“Ver”, depois em “grade” e faça as modificações 
que desejar, clicando sempre em “aplicar” para 
efetuar a modificação. Observe a forma como 
foram indicados os comandos: 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 16 
Matemática 
Ficha 10 – Um pouco de uma grande história 
 
Você vai aprender: a história dos logaritmos e o que é um logaritmo. 
 
Você precisa: trabalhar com atenção nas propostas das fichas. 
 
Vocês lerão um texto que mostra a relação da regularidade presente nas duas sequências 
que vocês estudaram e a origem dos logaritmos no século XVI. 
 
Sugestões para a leitura: 
 Façam inicialmente a leitura individual e marquem as palavras e trechos que 
desconhecem ou não entenderam. 
 Façam uma nova leitura e vejam se entenderam a ideia que levou à criação dos 
logaritmos. 
 Só depois disso discutam o texto em grupo, para compreender tudo e responder às 
duas perguntas que estão no final do texto. 
 
Os cálculos que hoje aprendemos nas primeiras séries escolares não eram do domínio de 
todos até há bem pouco tempo. No século XVII, na Europa, as operações de dividir e 
multiplicar eram ensinadas somente nas universidades e com técnicas muito diferentes 
das que usamos atualmente. 
 
No entanto, a expansão do comércio e a busca de novas terras e mercados deram início 
ao período das grandes navegações, que exigiu cálculos mais precisos e rápidos. 
 
O trabalho independente de John Napier, barão escocês, teólogo e matemático, e de Jobst 
Bürgi, matemático suíço e fabricante de instrumentos astronômicos, permitiu simplificar as 
longas operações de dividir e multiplicar, envolvendo tanto números grandes como frações 
decimais muito pequenas. 
 
Contudo, acredita-se que foi a publicação do livro Arithmetica Integra, do matemático 
alemão Michael Stifel, em 1544, que inspirou o trabalho de Napier e Bürgi. Em seu livro, 
Stifel comparou as seguintes sequências numéricas: 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... 
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024... 
 
Com base nessas sequências, para calcular 16 × 64, bastava somar os números 
correspondentes a 16 e a 64 na linha de cima (4 + 6 = 10). O resultado da multiplicação 
era o número correspondente a 10 na linha de baixo, ou seja, 1024. Assim, 16 × 64 = 
1024. 
 
Multiplicar números da segunda linha se reduzia a somar números na primeira linha. 
Simples, não? 
 
1. Utilize essa relação e calcule 8 x 32 e 64 x 256. 
 
Isso valia também para a divisão. Veja: 
 
Para calcular 512 ÷ 32, bastava subtrair os números correspondentes a 512 e a 32 na linha 
de cima. Como 9 – 5 = 4, o resultado da divisão era o número que correspondia a 4 na 
linha de baixo, isto é, 16. Daí, 512 ÷ 32 = 16. 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 17 
2. Agora calcule 256 : 6, 1024 : 64 e 512 :16. 
 
É interessante observar que, se ampliarmos essas duas sequências, poderemos fazer 
cálculos, de forma muito rápida, que envolvem números bem grandes, usando como apoio 
a adição para as multiplicações e a subtração para as divisões. 
 
3. Antes de continuar a leitura, observe as duas sequências e tente descobrir por que os 
cálculos funcionam. 
 
Hoje, com o que conhecemos sobre potências, é fácil encontrar uma explicação para a 
relação entre as sequências: 
 
16 × 64 = 24 × 26 = 210 e 512 ÷ 32 = 29 ÷ 25 = 24 
 
Essa linguagem, no entanto, não existia naquela época. Ela é creditada a René Descartes, 
francês que a desenvolveu por volta de 1637, depois, portanto, dos trabalhos de Stifel, 
Napier e Bürgi, o que é mais um motivo para admirarmos as descobertas desses 
matemáticos. 
 
Assim, qual foi a grande ideia que Napier e Bürgitiveram a partir das sequências de Stifel? 
Eles perceberam que as duas sequências facilitavam os cálculos, desde que os números 
que seriam multiplicados ou divididos estivessem na lista de baixo. Porém, o que fazer 
quando os números não estavam na lista? 
 
Eles notaram que, se trocassem as potências de 
base 2 por potências de um número muito perto de 
1, os valores da lista de baixo estariam bem 
próximos. Com isso, eles poderiam construir uma 
tabela em que a maioria dos números que 
interessavam aos cálculos pudesse ser 
encontrada. 
 
Dessa forma, para calcular o produto de dois 
números, bastava procurar nas tábuas seus 
logaritmos, somá-los e voltar a consultar a tábua 
para obter o resultado da multiplicação. 
 
 
 
Texto produzido com base no artigo de DRUCK, Iole de Freitas. Um pouco da história de potências, 
exponenciais e logaritmos. São Paulo: IME/USP, 1995. (Relatório técnico do Departamento de Matemática, 95-
24.) 
 
Perguntas: 
 
1. Que implicações teve a observação das regularidades entre essas duas sequências de 
números? 
 
2. Depois da leitura desse texto, como vocês explicam o que é o logaritmo de um número 
para alguém que nada sabe sobre logaritmos? Esse é um grande desafio! 
 
 
 
 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 18 
Matemática 
Ficha 11 – Descobrindo Propriedades 
 
Você vai aprender: algumas propriedades envolvendo logaritmos e operações com 
logaritmos. 
 
Você precisa: trabalhar com atenção nas propostas das fichas; usar a calculadora 
científica para fazer contas, mas prestar atençãonas relações que vai descobrir; aplicar o 
que sabe do trabalho em times para colaborar com os colegas e o professor no 
desenvolvimento dessa proposta. 
 
Você trabalhará com mais dois colegas. 
 
Vamos usar uma calculadora científica para investigar algumas propriedades dos 
logaritmos. Você pode acessar uma calculadora científica no computador, clicando em 
calculadora e depois na opção “científica”. Deve aparece uma imagem similar a essa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou ainda utilizar a calculadora científica do celular. Para isso, acione a calculadora e vire 
a posição do celular com a calculadora no visor. Deverá aparecer a versão científica. Veja 
um exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tecla de 
logaritmo 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 19 
Descubra no seu celular! 
 
Vamos trabalhar! 
1. Use a calculadora e calcule: 
a) log 10 
b) log 100 
c) log 1000 
d) log 10 000 
e) log 100 000 
f) O que é possível concluir a respeito do cálculo de um logaritmo do tipo log 10x? 
 
2. Use a calculadora e calcule os valores (com três casas decimais) de: 
a) log 5 = 
b) log 7 = 
c) log 10 = 
d) log 15 = 
e) log 2 = 
 
3. Use os resultados acima para classificar as igualdades a seguir em verdadeiras ou 
falsas, justificando cada caso. 
 
4. Agora a proposta é que vocês combinem com seu professor para fazerem uma consulta 
à internet para aprender como usar a calculadora para fazer os seguintes cálculos: 
a) log 2 57 
b) log 5 138 
 
5. Depois disso a proposta é exercitar: com ajuda de um livro didático selecionem três 
atividades que envolvam propriedades dos logaritmos. Resolvam as atividades e 
entreguem para o professor. Ele organizará uma lista com todas as propostas da turma 
para vocês poderem estudar um pouco mais. 
 
 
 
f) log 3 = 
g) log 4 = 
h) log 6 = 
i) log 8 = 
j) log 9 = 
k) log (r)s = s log r; com r >0; e s >0 
l) log (
15
3
 ) = log 15 : log 5 
m) log (
15
3
 ) = log 15 - log 5 
n) log (
6
4
 ) = log 6 : log 4 
o) log (
6
4
 ) = log 6 - log 4 
p) log(
3
2
 ) = log 2 - log 3 
q) log(
3
2
 ) = log 3 - log 2 
r) log (
𝑟
4𝑠
 ) = log r − log s; com r >0; e s >0 
a) log 15 = log(3 · 5) = log 3 + log 5. 
b) log (2 · 3) = log 2 + log3. 
c) log (3 · 7) = log 3 + log 7. 
d) log (r · s) = log r + log s; com r >0; e s >0. 
e) log (15)5 = log 15− log 5. 
f) log (3)2 = log (2. 3) 
g) log (30)5 = 5. log 30. 
h) log (3)2 = 2 log 3 
i) 4 log 6 = log (6)4 
j) log (15)5 = 5 log 15 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 20 
Matemática 
Ficha 12 – Bingo de Formas 
 
Você vai aprender a: relacionar uma figura geométrica plana com algumas de suas 
propriedades. 
 
Você precisa: ler com atenção as regras; realizar as propostas que o(a) professor(a) fará; 
identificar as propriedades geométricas que não conhece para conversar a respeito delas 
com seus colegas e professor(a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número de jogadores: 2 
Material: um tabuleiro para cada jogador; dois dados, que estão no Anexo 4; cinco 
marcadores para cada jogador. 
Regras: 
1. Os jogadores devem decidir quem começa o jogo e os participantes jogam 
alternadamente. 
2. O primeiro jogador lança os dois dados e cobre uma figura do seu tabuleiro que 
combine com as informações das duas faces dos dados lançados. 
3. Se o jogador cobrir a figura errada, ou se não tiver a figura que deve cobrir, ele passa 
a vez. 
4. O vencedor é aquele que conseguir colocar primeiro três de seus marcadores em 
linha, horizontal ou vertical, ou aquele que tiver colocado o maior número de 
marcadores em uma linha. 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 21 
BINGO DE FORMAS – TABULEIRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 22 
BINGO DE FORMAS – DADOS 
 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 23 
Matemática 
Ficha 13 – Estruturas de Geometria I 
 
Você vai aprender a: identificar faces, vértices e arestas em um paralelepípedo. 
Você precisa: de um pouco de paciência e muita atenção, para se familiarizar com nomes 
e notações geométricas; fazer anotações de todas as coisas importantes que aprender. 
Observe o paralelepípedo retângulo a seguir. 
 
1. Usando varetas e massa de modelar, construa essa figura em um modelo tridimensional. 
Usando as informações acima e o modelo construído, responda: 
 
a) Que outros pontos você identifica na figura? 
b) Sabendo que os pontos marcados no desenho são os vértices do paralelepípedo, 
quantos vértices ele tem? 
c) Que outros segmentos de reta você identifica na figura? 
d) Sabendo que cada segmento é uma aresta do paralelepípedo, quantas arestas esse 
sólido geométricotem? 
 
2. Use folhas de papel e tesoura para recortar as faces que faltam para a estrutura/modelo 
que você construiu. Quantas faces o paralelepípedo possui? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora responda: 
a) Quais vértices do paralelepípedo não pertencem ao plano? 
b) O que o plano e a face ADEF têm em comum? 
c) Dizemos que a reta AD está contida no plano α porque todos os seus pontos pertencem 
ao plano. Dê exemplos de outras três retas que estão contidas no plano α. 
d) Dê exemplos de duas retas que não pertencem, ou não estão contidas, no plano α. 
 
 
 
 
Observe: 
A, B, C e D são pontos. 
AB e GH são retas. 
FE é um segmento de reta. 
ABGF é um retângulo e também uma face do 
paralelepípedo. 
α é um plano determinado pelos pontos 
A, B e C e contém a face ABCD do 
paralelepípedo 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 24 
Matemática 
Ficha 14 – Estrutura de Geometria II 
 
Você precisa: de um pouco de paciência e muita atenção, para se familiarizar com nomes 
e notações geométricas; fazer anotações de todas as coisas importantes que aprender. 
1. Observe o bloco retangular a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) O plano ABC do bloco retangular contém a face ABCD e as retas AB e BC. Dizemos, 
então, que essas retas são coplanares. Que outras retas coplanares você encontra nesse 
bloco retangular? 
b) Retas coplanares que têm um ponto em comum são chamadas concorrentes. Por 
exemplo, EF e FG são concorrentes. Indique outros pares de retas concorrentes. 
c) Retas coplanares que não possuem um ponto em comum são chamadas paralelas. Que 
retas paralelas você pode indicar nesse bloco retangular? 
 
2. Você já sabe que retas coplanares são retas que estão contidas em um mesmo plano. 
Observe a figura do paralelepípedo abaixo. 
 
a) Indique um par de faces paralelas. 
b) Indique quatro retas coplanares que contenham arestas da figura. 
c) Indique um par de retas não 
coplanares. 
d) Indique um par de retas paralelas. 
e) Indique um par de arestas 
concorrentes. 
f) De que tipo é o quadrilátero ABCD? 
 
 
 
3. Veja duas posições relativas entre dois planos distintos. 
Concorrentes 
 
 
Dizemos que α e β são planos concorrentes 
se eles se interceptam. 
Paralelos 
 
 
Se α ∩ β = ∅, dizemos que α e β são 
planos paralelos. 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 25 
Se dois planos são concorrentes, a sua intersecção é uma reta. Observe isso nos desenhos 
acima. 
 
4. Considere os planos que contêm as faces do paralelepípedo a seguir. 
 
 
 
a) Indique dois planos paralelos. 
b) Indique dois planos concorrentes e a reta comum 
entre eles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 26 
Matemática 
Ficha 15 – Poly Pro 
 
Você vai aprender a: utilizar o software Poly Pro; analisar sólidos geométricos. 
 
Você precisa: manter as anotações em seu caderno a respeitodas conclusões que tirar 
sobre o trabalho; realizar as atividades com seu time para que todos façam bem as 
propostas e aprendam mais sobre geometria. 
 
Conhecendo o software Poly 
 
Você conhecerá um programa chamado Poly. Este é um programa shareware, isto é, 
distribuído gratuitamente; porém, na internet ele só está disponível na modalidade 
demonstrativa. Para tê-lo em definitivo e atualizado é preciso comprar sua licença, o que 
não é necessário para a realização das atividades que serão propostas. Ele pode ser 
adquirido em diferentes endereços da internet, utilizaremos o seguinte: bit.ly/peda-baixar 
(Acesso: jun. 2017). Caso ele não esteja instalado em sua máquina, basta acessar o site, 
clicar em download e seguir as instruções do Windows para a instalação do programa. 
 
Explorando o software: 
 
Explorem as ferramentas do programa para aprender: 
 
• como girar o sólido, colori-lo e mostrá-lo de outra forma (planificado, transparente etc.); 
• o que ocorre com o sólido geométrico, quando movemos a barra onde estão disponíveis 
as ferramentas (pare a movimentação no meio da barra, no fim da barra e observe o que 
ocorre); 
• onde estão os sólidos que vocês conhecem e aproveitem para olhar uma variedade de 
outros tantos sólidos; 
• a ver um mesmo sólido representado de diferentes maneiras na tela. Para isso, basta ir 
ao menu e clicar em “Arquivo → Novo”. Um novo arquivo é aberto e você pode arrastá-lo 
e colocá-lo lado a lado com o que já havia sido feito. Veja a ilustração abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://bit.ly/peda-baixar
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 27 
Matemática 
Ficha 16 – Planificações 
 
Você vai aprender a: associar um poliedro à sua planificação; identificar a planificação de 
um poliedro. 
 
Você precisa: manter as anotações em seu caderno das conclusões que tirar sobre o 
trabalho; realizar as atividades com seu grupo para que todos façam bem as propostas e 
aprendam mais sobre geometria. 
 
Indicando com flechas: 
 
1. Quando cada molde se fechar para formar o sólido. Não há problema se você conseguir 
algumas marcações e outras não. O importante será imaginar os sólidos se fechando e, 
então, desenhá-los. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Agora, localize no Poly cada poliedro, deixando-os na forma planificada. Use a barra de 
rolagem para fechar cada sólido e verifique se as flechas desenhadas por você estão 
corretas. Se precisar, faça as correções necessárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 28 
Matemática 
Ficha 17 – Moldes para sólidos geométricos 
 
 
Recorte e monte os moldes para formar os sólidos geométricos. 
Use fita adesiva para juntar as partes. 
 
 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 31 
 
 Caderno do Estudante Matemática – 2ºano/1ºbimestre 32