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ANGLO
ENSINO FUNDAMENTAL
ANGLO
ano6
º-
2
caderno
MANUAL 
DO 
PROFESSOR
MATEMÁTICA
capa_final_ANGLO_SOMOS_MP_matematica.indd 3 1/12/17 09:28
6º ano
Ensino Fundamental
Manual do 
Professor
Matemática
Adair Mendes Nacarato
Cármen Lúcia B. Passos
Fábio Orfali
Heimar Aparecida Fontes
2
caderno
MP_AngloEFII_Matematica_6.2_MP_001a052.indd 1 11/30/15 9:27 AM
 Direção de conteúdo e inovação pedagógica: Mário Ghio Júnior
Direção: Tania Fontolan
Coordenação pedagógica: Ricardo Leite
Conselho editorial: Bárbara M. de Souza Alves, Eliane Vilela, 
Fábio Aviles Gouveia, Helena Serebrinic, Lidiane Vivaldini Olo, 
Luís Ricardo Arruda de Andrade, Mário Ghio Júnior, 
Marisa Sodero Cardoso, Ricardo de Gan Braga, 
Ricardo Leite, Tania Fontolan
Direção editorial: Renata Mascarenhas
Gerência editorial: Bárbara M. de Souza Alves
Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edição: Fernando Manenti Santos (coord. Biologia, Física, Matemática e Química), 
Walter Catão Manoel (Matemática)
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.), 
Rosângela Muricy (coord.), Danielle Modesto, Marília Lima, 
Marina Saraiva, Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Coordenação de produção: Paula P. O. C. Kusznir (coord.), 
Daniela Carvalho
Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga
Edição de arte: Daniel Hisashi Aoki
Diagramação: Fernando Afonso do Carmo, 
Lourenzo Acunzo, Luiza Massucato
Iconografia: Silvio Kligin (supervisão), 
Claudia Bertolazzi, Claudia Cristina Balista, 
Ellen Colombo Finta, Marcella Doratioto
Licenças e autorizações: Patrícia Eiras
Cartografia: Eric Fuzii
Capa: Daniela Amaral
Foto de capa: Eric Isselee/Shutterstock/Glow Images
Ilustração de capa: D’Avila Studio
Projeto gráfico de miolo: Daniela Amaral
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
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© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Ensino fundamental, 6º ano : matemática :
 caderno 2 : professor / Adair Mendes
 Nacarato... [et al.]. -- 1. ed. -- 
 São Paulo : SOMOS Sistemas de Ensino, 2016.
 Outros autores: Cármen Lúcia B. Passos, Fábio 
Orfali, Heimar Aparecida Fontes
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Nacarato, 
Adair Mendes. II. Passos, Cármen Lúcia B.. 
III. Orfali, Fábio. IV. Fontes, Heimar Aparecida
15-09888 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
2017
ISBN 978 85 7595 470 6 (PR)
Código da obra 824651217
1a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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SUMÁriO
O Caderno 2 ........................................................................................... 4
12. Giros e ângulos .................................................................................................................... 5
13. Localização de pontos .......................................................................................................... 9
14. Retas paralelas e retas perpendiculares .............................................................................13
15. Números racionais em diferentes contextos ........................................................................19
16. Multiplicação e divisão por 10, 100 e 1 000 com números decimais ....................................23
17. Porcentagem .......................................................................................................................26
18. Polígonos ............................................................................................................................30
19. Adição e subtração: propriedades e relações .....................................................................35
20. Adição e subtração de números decimais ...........................................................................39
21. Multiplicação de números decimais ....................................................................................42
22. Resolução de problemas .....................................................................................................48
Módulo Interdisciplinar ............................................................................................................ 53
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4 Ensino Fundamental
O CAdErNO 2
Este Caderno está organizado em 11 Módulos. No campo Aritmética, o foco será em números racio-
nais, dando continuidade ao trabalho iniciado no Caderno anterior, explorando os procedimentos de 
comparação, ordenação e as operações de adição, subtração e multiplicação (Módulos 15, 16, 17, 19, 
20 e 21). Daremos ênfase, também, a cálculos mentais e estimativas com números naturais e racionais. 
No campo Espaço e Forma, a ênfase será em ângulos (Módulo 12), localização de pontos em siste-
mas de coordenadas (Módulo 13), retas (Módulo 14) e polígonos (Módulo 18). Optamos por intercalar 
o Módulo 18 aos de Aritmética para não deixar o curso tão cansativo para os alunos trabalhando-se 
apenas Geometria. No entanto, se você preferir trabalhar os quatro Módulos de Espaço e Forma sequen-
cialmente, poderá fazê-lo, desde que no início do bimestre. 
Conceitos relativos aos campos de Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação serão integra-
dos aos Módulos de Aritmética.
Lembramos que o último Módulo (Módulo 22) sempre será reservado para resolução de problemas 
ou investigações matemáticas. As estratégias de resolução não estão, necessariamente, vinculadas aos 
conteúdos do Caderno. 
Recomenda-se certificar-se dos materiais de que irá precisar em alguns Módulos para o desenvol-
vimento das aulas, providenciando-os com antecedência para cada um dos alunos. Neste sentido, 
destacamos que, no Módulo 12, é introduzido aos alunos o uso dos esquadros de 45° e 60°, que será 
explorado também no Módulo 14.
Os autores
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AULAS 31 e 32
Objetivos 
•	 Associar giros (rotações), vistos em situações do cotidiano, à ideia de ângulo.
•	 Identificar o grau como unidade de medida de rotações.
•	 Reconhecer a representação e os principais elementos de um ângulo.
•	 Identificar o grau como unidade de medida de ângulos.
•	 Identificar ângulos retos e sua representação.
•	 Manipular esquadros para construir ângulos simples.
roteiro de aulas (sugestão) 
Aula Descrição Anotações
31
Abertura do módulo
Giros de uma roda-gigante
Ângulos
Exercício (item 1)
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 a 3 (Em casa)
32
Retorno das tarefas 1 a 3
Orientação para a utilização dos esquadros
Exercício (itens 2 e 3)
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 4 a 7 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 1 e 2
Materiais
•	 Esquadros de 45° e 60° (cada aluno deverá ter os seus). 
•	 Régua de 30 cm (cada aluno deverá ter a sua).
Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos relacionem as ideias de giro e de ângulo e que identifiquem o 
grau como unidade de medida das duas grandezas. 
12. GirOS E âNGULOS
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Estratégias e orientações 
O texto de abertura do Módulo tem por objetivo des-
pertar a curiosidade dos alunos para o grau como unida-
de de medida de giros. Sugerimos que você faça a sua 
leitura seguida de uma breve discussão nos primeiros 
minutos da aula. Porém, se tiver mais tempo disponível, 
você pode enriquecer o texto com a apresentação de 
um vídeo com imagens da manobra citada no texto. No 
Caderno Digital, fazemos a sugestão de um vídeo com 
trechos que podem ser usados com essa finalidade. 
É provável que, durante a leitura, muitos alunos as-
sociem a expressão “giro de 360 graus” a umavolta 
completa, já que é uma expressão bastante utilizada no 
dia a dia. Se isso acontecer, você já pode introduzir as 
principais ideias do Módulo, fazendo perguntas como: 
“E o que seria um giro de 180°?” 
Atividades de construção de conceitos
Giros de uma roda-gigante (página 301)
O texto desta seção é bem curto e não deve trazer 
grandes dificuldades para os alunos durante a leitura. 
Por isso, sugerimos que você os organize em duplas ou 
em trios, para que realizem a leitura e a atividade que se 
segue a ela.
Oriente os alunos no começo da atividade, na qual 
deverão relacionar o tempo de rotação da roda-gigante 
com a fração do giro que ela realizará. Uma hipótese 
que deve ser presumida é que a velocidade de rotação 
é constante ao longo do percurso, fato bastante aceitá-
vel nessa situação. Também devem ser desprezados os 
efeitos de eventuais paradas. Com isso, a ideia de pro-
porcionalidade acaba aparecendo no cálculo, embora de 
modo bastante intuitivo.
Ao longo da atividade, reforce com os alunos as rela-
ções: 1 giro ↔ 360°; 
1
2 
giro ↔ 180°; 
1
4 
de giro ↔ 90°.
Ao final da discussão das perguntas propostas na ativi-
dade, apresente o conteúdo do boxe “Convenção matemá-
tica”, fornecendo as ideias básicas do processo de definição 
de uma unidade de medida. Para tornar o assunto mais 
concreto, você pode exemplificar como se estabeleceu o 
metro como unidade de medida de comprimento (trata-se 
de um comprimento escolhido arbitrariamente).
ângulos (página 303)
Esta seção é uma continuação natural da anterior. Por 
isso, sugerimos que ambas sejam abordadas na mesma 
aula. O objetivo aqui é relacionar as frações do giro da 
roda-gigante com diferentes ângulos. Desse modo, torna-
-se bastante natural perceber que rotações e ângulos 
podem ser medidos na mesma unidade (graus).
Como fechamento da primeira aula, reforce a repre-
sentação e os elementos de um ângulo e as demais infor-
mações que aparecem no boxe De olho nos ângulos.
Os exercícios que exigem a utilização dos esquadros 
foram planejados para a segunda aula do Módulo. As-
sim, sugerimos que você inicie a segunda aula com uma 
retomada do grau e do conceito de ângulo para, em se-
guida, orientar os alunos quanto ao uso dos esquadros. 
É importante destacar:
•	 as medidas dos ângulos dos dois esquadros;
•	 a posição em que o esquadro deve ser colocado quan-
do pretendemos utilizá-lo para construir um ângulo;
•	 o fato de que não é possível construir ângulos de 
qualquer medida usando apenas os esquadros.
Observação 
recado ao professor
Não pretendemos, com este Módulo, esgotar o 
assunto ângulos, mas apenas fornecer subsídios 
para capacitar os alunos a compreender conceitos 
como o de retas perpendiculares, por exemplo. O 
estudo completo de ângulos será feito no 7º- ano. 
Por isso, o uso do transferidor não será introduzido 
no 6º- ano, mas sim no ano seguinte.
respostas e comentários 
Giros de uma roda-gigante (página 301)
1. Um possível encaminhamento para o preenchimen-
to dos quatro esquemas das rodas-gigantes é dado 
a seguir.
32 minutos → 1 giro completo.
16 minutos (metade de 32) → 
1
2 
de giro.
8 minutos (metade de 16) → 
1
4
 de giro (metade de 
meio giro).
4 minutos (metade de 8) → 
1
8
 de giro (metade de 
1
4 
de giro).
Caso não queira utilizar a terminologia de frações, 
você pode identificar cada posição sempre se refe-
rindo à metade do percurso percorrido no esquema 
anterior. Temos então: 
86 Ensino Fundamental
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 a) 32 minutos
 b) 16 minutos
 c) 8 minutos
 d) 4 minutos
2. Nas situações c e d, as frações do giro correspondem, 
respectivamente, a 90° e a 45° em relação à posição 
mais baixa.
ângulos (página 303)
A figura mostra o ângulo pedido.
Exercício (página 304)
1. Os giros assinalados correspondem, respectiva-
mente, a:
 a) 90°
 b) 180°
 c) 270°
 d) 30° (basta fazer 360° : 12)
2. Antes de propor este exercício, dedique um bom 
tempo a orientar os alunos sobre o uso dos esqua-
dros. Identifique os dois esquadros, apresentando as 
medidas de seus ângulos internos. Lembramos que 
os esquadros serão utilizados novamente em outros 
momentos do curso.
Sugerimos que o exercício seja feito individualmen-
te, para que cada aluno possa treinar o manuseio 
dos esquadros. 
Solicitamos as seguintes construções (indicadas em 
linha tracejada):
 a) 
A
 b) 
B
 c) 
C
 d) 
D
Note que, na construção d, os alunos deverão utili-
zar os dois esquadros, somando um ângulo de 45° 
a outro de 30°.
O ângulo assinalado na 
figura mede 45°.
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3. Proponha a realização do exercício preferencialmente 
em duplas. Os alunos deverão identificar no ângulo 
raso (de medida 180°) a ideia de giro de meia-volta. 
Além disso, utilizarão ideias bastante intuitivas de 
adição de medidas de ângulos consecutivos, como 
ilustrado a seguir.
0
A
α
B
β
Na figura acima, os ângulos α e β são consecutivos. 
A medida do ângulo AOB é igual a α 1 β.
 a) ? 5 180° 2 45° 5 135°
 b) ? 5 180° 2 90° 5 90°
 c) ? 5 20° 1 40° 5 60°
 d) ? 5 90° 2 25° 5 65°
Teste
1. Alternativa B. No primeiro giro indicado pelas instru-
ções, a figura fornece duas opções, ambas à direita (45° 
e 90°). Cabe aos alunos diferenciá-las pela medida do 
giro em graus. Assim, os que assinalarem as alternati-
vas c ou d provavelmente estão com dificuldade para 
diferenciar um giro de 45° de um de 90°.
No segundo giro, a figura oferece duas opções, am-
bas de 45°, sendo uma à direita e outra à esquerda. 
Assim, os alunos que assinalarem a alternativa a pro-
vavelmente não conseguiram diferenciar esquerda e 
direita no contexto apresentado. 
2. Alternativa C. 
Se o ângulo de inclinação da escada medir 25°, tere-
mos: ? 5 180° 2 25° 5 155°. 
Já se o ângulo de inclinação da escada medir 30°, 
teremos: ? 5 180° 2 30° 5 150°.
Logo, a medida do ângulo assinalado com ? está entre 
150° e 155°.
Alguns alunos poderão encontrar dificuldade pelo 
fato de que é dado um intervalo de possíveis medidas 
para o ângulo de inclinação. Oriente-os a trabalhar 
com os extremos desse intervalo. 
Em casa (página 307)
1. Na manobra “aéreo 360 graus”, o surfista realiza um 
giro completo com sua prancha. Como visto em aula, 
convencionamos que a medida de um giro completo 
é 360 graus.
2. Em 3 minutos, a roda-gigante completará meia-volta, 
ou seja, 180°. Já em 1 minuto, andará um terço disso, 
isto é, 60°.
3. A medida de cada ângulo indicado é igual a:
 a) 90°
 b) 4 3 30° 5 120°
 c) 5 3 30° 5 150°
4. Temos as seguintes possíveis construções (assinaladas 
em linha mais grossa):
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
5. Os ângulos assinalados têm as seguintes medidas:
 a) ? 5 45° 1 60° 5 105°
 b) ? 5 90° 1 30° 5 120°
6. Os ângulos assinalados têm as seguintes medidas:
 a) ? 5 180° 2 150° 5 30°
 b) ? 5 60° 1 60° 5 120°
 c) ? 5 90° 2 40° 5 50°
 d) ? 5 180° 2 25° 2 15° 5 140°
7. Verifique as anotações no glossário. Você também po-
derá escolher algumas delas e compartilhá-las com a 
classe, para que todos possam corrigir ou acrescentar 
algo que considerarem importante.
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Ensino Fundamental
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AULAS 33 e 34
Objetivos 
•	 Introduzir o conceito de sistema de coordenadas em um plano.
•	 Utilizar as coordenadas cartesianas para localizar pontos em um plano.
roteiro de aulas (sugestão) 
Aula Descrição Anotações
33
Retorno das tarefas 4 a 7 do Módulo 12
Abertura do módulo
Localizando-se em um mapa
Exercício 1
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
34
Retorno das tarefas 1 e 2
O sistema de coordenadas cartesianas
Exercício 2
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 3 e 4
Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos compreendam a utilizaçãode sistemas de coordenadas cartesianas 
para a localização de pontos em um plano. 
Estratégias e orientações 
A localização de pontos em um plano e, posteriormente, no espaço é uma habilidade que vem sendo cada vez 
mais valorizada em documentos oficiais, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio. Na Prova Brasil, 
por exemplo, as matrizes de referência trazem um descritor que se refere diretamente a essa habilidade:
D1 2 Identificar a localização /movimentação de objeto em mapas, croquis e outras representações gráficas.
Já no Enem (Exame Nacional do Ensino Médio), a matriz de referência inclui a seguinte habilidade:
H6 2 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua represen-
tação no espaço bidimensional.
13. LOCALizAçãO dE PONTOS
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Assim, este Módulo trabalha, de maneira mais inten-
cional, o desenvolvimento dessa habilidade.
Como motivação, apresentamos, no texto de abertu-
ra, uma explicação bem simplificada do funcionamento 
do GPS. Trata-se de um recurso cada vez mais comum 
em nosso dia a dia e que utiliza intensamente as ideias 
de localização por meio de coordenadas. Procure des-
tacar isso para os alunos e, se houver tempo, aprofunde 
a discussão, pedindo a eles que pesquisem sobre o 
tema. Há muitos sites que detalham, em maior ou menor 
profundidade, o funcionamento de um GPS. Na refe-
rência a seguir, você encontra um texto relativamente 
simples, que pode ser usado para dar mais detalhes aos 
alunos: <http://mundoestranho.abril.com.br/materia/
como-funciona-o-gps>.
Atividades de construção de conceitos
Localizando-se em um mapa (página 310)
Sugerimos que você organize os alunos em duplas para 
a realização desta atividade. Nela, eles deverão localizar di-
ferentes pontos em um mapa da cidade do Rio de Janeiro.
Trata-se de uma atividade que pode ser estendida 
com a utilização de ferramentas de localização como o 
Google Maps. Você pode baixar mapas da sua região ou 
de outra região de interesse dos alunos e pedir a eles que 
localizem determinados pontos. Com o uso do computa-
dor ou tablet, é possível até trabalhar a ideia de escala, 
visualizando os mapas em diferentes aproximações. 
Ao final da atividade, faça a socialização das conclu-
sões, verificando se todos compreenderam o princípio 
de localização de pontos no sistema de coordenadas 
apresentado. Discuta com eles se a ordem em que as 
coordenadas são apresentadas (D4 ou 4D) faria dife-
rença para a localização de um ponto. Trata-se de uma 
preparação para a próxima seção, em que será discutido 
o sistema de coordenadas cartesianas.
O sistema de coordenadas cartesianas 
(página 312)
O objetivo desta seção é apresentar uma breve intro-
dução do sistema de coordenadas cartesianas, voltada à 
mera localização de pontos em um plano. Sabemos que 
as coordenadas cartesianas apresentam inúmeras outras 
aplicações na Matemática, que serão vistas em outros 
momentos. Ainda no Ensino Fundamental, no 8º- ano 
(representação gráfica de sistemas de equações linea-
res) e no 9º- ano (introdução às funções). E, no Ensino 
Médio, aprofunda-se bastante o assunto, especialmente 
no estudo da Geometria Analítica.
Por esse motivo, não se preocupe em esgotar o as-
sunto. Estamos apenas apresentando as primeiras ideias. 
Optamos por não apresentar a nomenclatura (abscissas 
e ordenadas; eixos x e y; pares ordenados), trabalhando 
apenas com os termos “eixo horizontal” e “eixo vertical”. 
Além disso, trabalhamos apenas com o 1º- quadrante 
do plano cartesiano, já que os alunos ainda não conhe-
cem os números negativos, e não colocamos situações 
que envolvessem pontos sobre os eixos (abscissa ou 
ordenada zero).
Portanto, trabalhamos com o sistema de coordenadas 
cartesianas como uma extensão natural do sistema visto 
na seção anterior, com letras e números.
Você pode fazer uma leitura coletiva do texto da 
seção, reforçando, na lousa, as ideias aplicadas para a 
localização de pontos com os eixos cartesianos. Faça 
alguns exemplos e peça aos alunos que trabalhem nos 
exercícios propostos.
respostas e comentários 
Localizando-se em um mapa (página 310)
1. Na figura, está destacada a Rua Senador Pompeu.
295 m0
N
S
LO
Parque
Campo de
Santana
Monumento Nacional
aos Mortos da Segunda
Guerra Mundial
2. a) Presidente Vargas d) Praça Onze
 b) Carioca e) Cidade Nova
 c) Cinelândia
3. Nesta pergunta, as respostas podem ser um pouco 
diferentes, já que há vários pontos que podem servir 
como referência para os locais indicados, com coor-
denadas diferentes.
 a) G8 c) K14
 b) B14 d) H17
810
Ensino Fundamental
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Exercício 1 (página 312)
a) e b) Na figura, estão marcados o ponto onde a joani-
nha pousou (P), seu trajeto e o ponto onde ela 
levantou voo (V).
 c) Ela levantou voo do ponto de coordenadas D7.
O sistema de coordenadas cartesianas 
(página 312)
Exercício 2 (página 315)
1. 
1
6
5
4
3
2
B
A
E
F
D
C
1
0
2 3 4 5 6 7 8
1
A
B
C
D
E
F
P
V
G
H
2 3 4 5 6 7 8
2. Neste problema, os alunos terão de trabalhar com 
pontos cujas coordenadas não se encontram exata-
mente sobre as marcas dos eixos. Para isso, eles terão 
de utilizar as subdivisões dos eixos e fazer aproxima-
ções. Na tarefa 4 (em casa), eles terão de fazer um 
raciocínio semelhante, utilizando, inclusive, valores 
não inteiros para as coordenadas. 
 a) No ponto (800; 400) está localizada uma árvore.
 b) As coordenadas do ponto onde o tesouro está 
enterrado são (900; 700).
 c) Uma estimativa para as coordenadas do ponto 
B é: (1 130; 380). Em relação ao eixo horizontal, 
vemos que o ponto B encontra-se entre 1 100 
e 1 200 metros, mais próximo de 1 100. Assim, 
estimamos o valor de sua primeira coordenada 
em 1 130. Já no eixo vertical, ele está um pouco 
abaixo da linha correspondente a 400 metros.
 d) No trajeto, o pirata caminhou aproximadamente 
1 200 metros.
Do ponto onde atracou até o ponto (200; 700), 
o pirata andou cerca de 500 metros. Em seguida, 
para ir do ponto (200; 700) até o tesouro (ponto 
(900; 700)), ele caminhou mais 700 metros. Com 
isso, totalizou aproximadamente 1 200 metros. 
Teste
1. Alternativa B. Na figura, estão marcados os dez pon-
tos escolhidos pelo aluno. Ao ligá-los por linhas retas, 
obtemos a letra “F”. Assim, o nome do aluno, dentre 
as opções apresentadas, só pode ser Felipe. 
2. Alternativa A. Marcando os pontos e unindo-os como 
indicado no enunciado, obtemos a figura a seguir.
1
A
B
C
D
E
F
G
H
2 3 4 5 6 7 8
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O ponto onde as duas linhas retas se encontram tem 
coordenadas (5; 3).
A questão exige dois raciocínios distintos dos alu-
nos: marcar pontos conhecendo suas coordenadas e 
identificar as coordenadas de um ponto já marcado. 
Procure identificar, dentre os alunos que assinalaram 
uma alternativa errada, em que etapa da resolução 
eles encontraram dificuldade.
Em casa (página 317)
1. Pela quantidade de cada embarcação distribuída na 
malha quadriculada, é possível identificá-las:
Quantidade Símbolo
1 porta-aviões
2 encouraçados
3 fragatas
4 submarinos
5 hidroaviões
 a) Submarinos: B7, E4, I8 e O9.
 b) Fragata que está mais próxima do porta-aviões: 
C10 e C11.
2. a) Os tiros F5 e I12.
 b) Os tiros C2 (hidroavião), M6 (encouraçado) e N4 
(hidroavião).
3. O desenho obtido ligando-se os 12 pontos é:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
L
A B
C D G H
E F
I J
K
1
2
3
4
5
6
7
8
0
4. Nesta questão, os alunos trabalharão com um ponto 
cujas coordenadas não são inteiras. A própria malha 
quadriculada auxilia a visualização disso, pois apresen-
ta subdivisões nos eixos entre dois números inteiros 
consecutivos. Durante a correção, destaque isso para 
osalunos, já que se trata de uma vantagem de se tra-
balhar com números nos eixos, em lugar de letras. 
 a) Na figura, estão representados os dois quadrados 
pedidos. Em cada um deles, está assinalado o res-
pectivo centro.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
0
D
B
H
E
G
F
A C
 b) (2; 3)
 c) (6,5; 2,5)
5. Verifique as anotações no glossário. Você também po-
derá escolher algumas delas e compartilhá-las com a 
classe, para que todos possam corrigir ou acrescentar 
algo que considerarem importante.
812
Ensino Fundamental
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AULAS 35 a 37
Objetivos 
•	 Compreender a diferença entre uma reta e um segmento de reta. 
•	 Conhecer a representação e a nomenclatura utilizadas para retas e segmentos de retas.
•	 Depreender os conceitos de retas paralelas, retas concorrentes e retas perpendiculares.
•	 Construir, com o auxílio de régua e esquadro, retas paralelas e retas perpendiculares.
roteiro de aulas (sugestão) 
Aula Descrição Anotações
35
Retorno das tarefas 3 a 5 do Módulo 13
Abertura do módulo
Segmentos e retas
Exercício 1
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
36
Retorno das tarefas 1 e 2
Retas paralelas, retas concorrentes e retas perpendiculares
Exercício 2
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
37
Retorno das tarefas 3 a 5
Traçando retas com régua e esquadro
Exercício 3
Teste (item 3)
Desafio
Orientações para as tarefas 6 a 9 (Em casa)
Exercício Complementar correspondente a este Módulo: 5
Materiais
•	 Esquadros de 45° e 60° (cada aluno deverá ter os seus).
•	 Régua de 30 cm (cada aluno deverá ter a sua).
14. rETAS PArALELAS E rETAS PErPENdiCULArES
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Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos sejam 
capazes de:
•	 compreender o conceito de reta, diferenciando reta de 
segmento de reta e dominando suas representações 
e nomenclatura.
•	 conhecer o significado de retas paralelas, concorrentes 
e perpendiculares.
•	 construir retas paralelas e perpendiculares usando a 
régua e os esquadros.
Estratégias e orientações 
O conceito de reta possui algumas características que 
devemos levar em consideração ao preparar sua apresen-
tação aos alunos. Por ser um conceito primitivo, ele não 
pode ser definido. Por si só, esta já é uma grande dificul-
dade, já que não é possível responder à pergunta: “O que 
é uma reta?”. Além disso, trata-se de um conceito bastante 
abstrato, pois não existe, no mundo físico, algo que possa 
ser considerado uma reta perfeita (afinal, a reta não tem 
espessura e é infinita 2 não tem começo nem fim).
Por isso, no texto de abertura do Módulo, optamos 
por apresentar uma situação cotidiana que remete a uma 
característica da reta. Quando olhamos, do chão, um 
edifício muito alto, ele parece não ter fim. Suas linhas 
retas vão se perdendo ao longo de sua fachada, passando 
uma ideia de infinitude. 
Trabalhe o texto nos primeiros minutos da aula, enfo-
cando essa característica das retas. Se achar conveniente, 
apresente outros exemplos de situações do dia a dia que 
podem ser associadas ao conceito de reta, como os trilhos 
de trem e a linha do horizonte no oceano.
Trilhos de trem e a linha do horizonte passam a sensação de uma linha reta que se estende infinitamente.
K
e
n
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 K
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G
e
S
Atividades de construção de conceitos
Segmentos e retas (página 320)
É mais conveniente que este tópico seja trabalhado 
individualmente, pois, seguindo as instruções dadas no 
Caderno, cada aluno deverá obter as representações em 
perspectiva de dois poliedros na malha quadriculada. 
Uma vez que os alunos já trabalharam com sistemas 
de coordenadas no Módulo anterior, eles não deverão 
ter muitas dificuldades para marcar os vértices dos polie-
dros. Porém, podem se atrapalhar com o grande volume 
de informações fornecido. Procure circular pela sala e 
auxiliá-los caso tenham mais dificuldades.
Quando os desenhos estiverem prontos, serão 
exploradas as relações entre os segmentos de reta 
traçados na malha quadriculada. O ponto central é 
a constatação da existência de segmentos de reta 
colineares, ou seja, contidos numa mesma reta (ver 
a seguir). Isso levará à investigação de um novo con-
ceito, o de reta.
Diferentes segmentos de reta colineares 
(contidos na mesma reta)
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Ensino Fundamental
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O termo colineares ainda não será introduzido aos 
alunos do 6º- ano; é mais adequado que isso seja feito 
em séries mais avançadas. Também não será dito a eles 
que a reta não tem início nem fim. O intuito é que, ao 
longo da atividade proposta, eles percebam sozinhos 
essa característica. Lembre-se de que reta é um concei-
to primitivo, ou seja, não pode ser definido. Assim, é 
indicado que os alunos explorem situações práticas em 
que apareçam retas, para que, pouco a pouco, cheguem 
ao conceito (a abordagem do texto introdutório pode 
facilitar essa construção).
Para finalizar este tópico, explique as representações 
e as nomenclaturas que aparecem no boxe De olho 
nas retas.
retas paralelas, retas concorrentes e retas 
perpendiculares (página 322)
Sugerimos que esse tópico seja desenvolvido com os 
alunos reunidos em grupos. 
Com base em um desenho, são apresentados os 
conceitos de retas paralelas, retas concorrentes e retas 
perpendiculares. Incentive os grupos a discutirem cada 
conceito, procurando exemplos de situações no ambiente 
da sala de aula.
O conceito de retas reversas não é explorado 
neste Módulo. Porém, durante as discussões, ele pode 
surgir por iniciativa dos alunos. Esteja preparado para 
abordá-lo, caso ocorra. Se achar propício, questione 
os alunos a respeito. Veja uma possibilidade, usando 
a sala de aula:
Parede 
lateral
Parede da lousa
As retas destacadas têm algum ponto em comum?
Não, por isso não são concorrentes.
Estão localizadas no mesmo plano? Não, portanto não 
são paralelas.
As retas que não têm nenhum ponto em comum nem 
estão localizadas no mesmo plano recebem o nome 
de retas reversas.
Vale lembrar que, no Caderno 4 do 6º- ano, abordare-
mos o tema “arestas reversas em um poliedro”.
Traçando retas com régua e esquadro 
(página 324)
Neste tópico, é proposta a construção, com régua e 
esquadro, de retas paralelas e de retas perpendiculares. 
É importante que cada aluno manuseie seus próprios 
materiais. Por isso, aconselhamos que o tópico seja ex-
plorado individualmente. 
No início da seção, apresentamos a descrição das duas 
construções. Você pode fazer a leitura coletiva dessas 
instruções e orientar os alunos para que tentem construir, 
no caderno, retas paralelas e perpendiculares usando a 
régua e os esquadros. Circule pela classe para auxiliar 
os que estiverem confusos no manuseio dos materiais e 
passe para os exercícios da seção. 
respostas e comentários 
Segmentos e retas (página 322)
1. Na figura, estão desenhados os poliedros 1 e 2 na 
malha quadriculada. 
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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Q R
E
D
F
A B
G
C
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L
H I
2. Estão localizados sobre a mesma linha reta os se-
guintes pares de segmentos: (HI e EF ), (OP e JK ) e 
(RK e FG ). Na figura, destacamos cada reta que 
contém um par de segmentos.
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G
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Exercício 1 (página 321)
1. a) O desenho ao lado refe-
re-se ao que foi pedido 
nos itens a e c. 
 b) Algumas possibilidades: 
AB, BA, AP, BQ, QP.
 c) Sim, a reta FG passa 
pelo ponto Q, como in-
dicado na figura ao lado.
2. a) O desenho abaixo refere-seao que foi pedido nos 
itens a, b e c.
1
A
B
C
D
E
F
P S
Q
R
2 3 4 5 6
F
G
QPBA
 b) Não, os segmentos de reta PQ e RS não se encon-
tram em nenhum ponto.
 c) Sim, as retas PQ e RS encontram-se no ponto de 
coordenadas B3, como indicado na figura anterior.
retas paralelas, retas concorrentes e retas 
perpendiculares (página 322)
1. Respostas pessoais (os alunos deverão nomear as 
retas). Seguem algumas possibilidades de acordo com 
as retas marcadas no desenho a seguir:
r
s
t u v x
 a) r e s; t e u; v e x.
 b) s e t; s e u; s e v; s e x.
 c) s e v; s e x.
2. As retas EF e GH são paralelas, mas as retas EG e 
FH são concorrentes.
 As retas EF e FH são concorrentes, mas não são 
perpendiculares. Já as retas FG e GH, além de con-
correntes, são perpendiculares.
Exercício 2 (página 324)
 a) ( V ) As retas AB e BC são perpendiculares.
 b) ( V ) As retas AB e DE são paralelas.
 c) ( F ) As retas DF e DE são perpendiculares.
 (Chame atenção dos alunos para o fato de que elas 
formam um ângulo de 45¡.) 
 d) ( F ) As retas AB e AC são paralelas.
 (Mostre que as retas AB e AC têm o ponto A em 
comum.) 
Traçando retas com régua e esquadro 
(página 324)
Exercício 3 (página 325)
1. Existem várias possibilidades. Estão desenhadas a 
seguir algumas delas.
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r
t
2. Existem várias possibilidades. Estão desenhadas a 
seguir duas delas.
b
c
3. Apenas os segmentos AB e EF são paralelos ao seg-
mento L M. 
4. Este exercício tem um nível de dificuldade maior, 
já que as ruas estão representadas em perspectiva. 
Assim, os ângulos retos ficam ligeiramente deforma-
dos, dificultando a identificação de retas perpendi-
culares. O paralelismo das retas, porém, é mantido 
no desenho feito nessa perspectiva. Por isso, vamos 
resolver a questão a partir das retas paralelas.
 a) Basta traçar uma reta paralela à Rua 2 passando 
pelo ponto Q.
 b) Traçamos uma reta paralela à rua que passa pela 
lateral da Casa 1, passando pelo ponto P. Como essa 
rua é perpendicular à rua que passa na frente da casa, 
garantimos que a reta construída também será.
No desenho, estão marcadas, em cinza, as duas 
retas construídas.
P
Q
Teste (página 327)
1. Alternativa C. A figura a seguir mostra o retângulo 
ABCD e a reta EF representados no sistema de coor-
denadas fornecido.
1
6
5
4
3
2
1
0
2 3 4 5 6 7 8
F
E
D
A
C
B
Pela figura, vemos que a reta cruza tanto o lado 
AB quanto o lado CD do retângulo.
Os alunos que assinalarem a alternativa a podem 
ter desenhado o segmento E F em lugar da reta EF . 
2. Alternativa A. Para resolver a questão, vamos repre-
sentar os quatro pontos e as duas retas no sistema 
de coordenadas fornecido. 
1
6
5
4
3
2
1
0
2 3 4 5 6 7 8
C
D
A
B
Observando a representação das duas retas, concluí-
mos que elas são paralelas.
Verifique, entre os alunos que assinalaram a alterna-
tiva errada, aqueles que têm dificuldade em marcar 
os pontos no sistema de coordenadas e os que não 
conseguiram identificar, mesmo com o desenho cor-
reto, que as duas retas eram paralelas.
3. Alternativa C. Do enunciado, os segmentos AB e 
E F são lados do quadrado ABEF, pois estão em uma 
mesma face do cubo. Como os dois segmentos 
não compartilham um vértice, concluímos que são 
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lados opostos desse quadrado. Assim, as retas AB 
e E F são paralelas. 
Se os alunos tiverem dificuldade para compreender 
o raciocínio, traga um modelo de cubo para a classe 
e repita o argumento mostrando os dois segmentos 
no modelo.
desafo (página 327)
O marceneiro poderá fazer a divisão serrando o cubo 
6 vezes: com dois cortes horizontais e dois verticais, serão 
formadas 9 barrinhas de 3 3 1 3 1; serrando-as juntas 
duas vezes, ele obterá 27 cubinhos de 10 cm de aresta.
É interessante discutir com a turma por que é impos-
sível obter os 27 cubinhos serrando o cubo menos de 
6 vezes (considerar o cubinho interno).
Em casa (página 328)
1. Seis retas passam por pelo menos dois desses pontos. 
São elas: MN, MP, MQ, NP, NQ e PQ.
2. a) O segmento OT é, ao mesmo tempo, lado do 
retângulo e do quadrado.
 b) A reta PO pode ser chamada PN ou ON.
 c) O segmento AO não intercepta o segmento NE, 
como mostrado na figura abaixo.
 d) A reta AO intercepta a reta NE, como mostrado 
na figura abaixo.
3. a) ( I ) AB e CD. d) ( I ) BC e E F.
 b) (III) AD e CD. e) ( II ) BC e AF.
 c) ( II ) BC e AE .
4. O ângulo formado pelas ruas Japão e Portugal mede 
90° 2 40°, ou seja, 50°.
P
A
NO
ET
P
A
N
O
ET
5. Existem várias possíveis respostas. Mostramos algu-
mas delas:
 a) AB, BC, FG.
 b) CD, E F, GH.
6. A resposta é a linha tracejada.
P
r
7. A resposta é a linha tracejada.
Q
s
8. Para resolver o exercício, os alunos deverão:
•			traçar, pelo ponto A, uma reta perpendicular à 
reta AB;
•			traçar, pelo ponto B, uma reta perpendicular à 
reta AB;
•			traçar, pelo ponto P, uma reta paralela à reta AB.
 A figura mostra as três retas construídas e o retângulo 
ABCD obtido.
P
A
B
D
C
9. Verifique as anotações no glossário. Se achar conve-
niente, escolha algumas delas e compartilhe-as com a 
classe, para que todos possam corrigir ou acrescentar 
algo que considerem importante.
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Ensino Fundamental
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AULAS 38 a 40
Objetivos 
•	 Comparar e ordenar números racionais na representação decimal.
•	 Localizar números decimais na reta numérica.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
38
Retorno das tarefas 6 a 9 do Módulo 14
Números decimais em contextos de pesquisa
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
39
Retorno das tarefas 1 e 2
Comparação de números decimais
Localização de números decimais na reta numérica
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
40
Retorno das tarefas 3 a 5
Exercício
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 6 a 9 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 6 a 9
Noções básicas
Ao final do Módulo, espera-se que os alunos consigam comparar e ordenar números racionais na representação 
decimal.
Estratégias e orientações 
Este Módulo dá continuidade às ideias já trabalhadas no Caderno anterior. Exploraremos a comparação e a or-
denação de números decimais, bem como a localização na reta numérica. 
Apresentamos, também, alguns contextos em que essa representação dos números racionais é utilizada. 
Você poderá ampliar as discussões, principalmente a partir do texto de abertura, verificando outros contextos 
15. NÚMErOS rACiONAiS EM diFErENTES CONTEXTOS
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que são de conhecimento dos alunos. No caso da 
placa com erros ortográficos, aproveite para discutir 
com eles o quanto é comum encontrarmos placas, 
letreiros e outros anúncios com erros de ortografia, 
com símbolos de medidas escritos erroneamente. Essa 
discussão está relacionada aos problemas de não es-
colarização ou analfabetismo, temas que serão apre-
sentados neste Módulo.
Atividades de construção de conceitos
Números decimais em contextos de pesquisas 
(página 331)
O texto informativo, o gráfico e as tabelas são trazidos 
neste tópico com o objetivo de apresentar os dois tipos 
de números com vírgula: os que estão na representação 
decimal e os que são representados na forma percentual 
2 ambos representações do número racional. 
Quanto à leitura do texto, sugerimos que ela seja feita 
individualmente e de forma silenciosa. Após a leitura, 
você poderá propor algumas questões 2 oralmente 2 
para se certificar de que houve compreensão do texto. 
Aproveite para discutir com os alunos a organização do 
sistema educacional brasileiro:os níveis da educação 
básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino 
Médio) 2 obrigatórios atualmente 2 e o Ensino Superior.
Ao término da discussão, os alunos responderão aos 
itens propostos. O item 1 complementa o texto com um 
gráfico em que os números com vírgula estão na repre-
sentação percentual e no item 2 os números com vírgula 
representam números decimais. 
Se necessário, retome com a turma os tipos de gráfi-
cos já estudados para que possam responder aos itens.
Comparação de números decimais (página 334)
Este tópico sistematiza os critérios para comparação de 
números decimais. Inicialmente, os alunos irão explorar 
a ideia de que podemos acrescentar zeros ao final de um 
número decimal, sem alterá-lo. Tal fato é fundamental 
para a comparação quando o número de ordens decimais 
não é o mesmo; nesse caso, os alunos irão completar os 
números com zeros, deixando-os com o mesmo núme-
ro de ordens decimais. A partir dessa compreensão, os 
alunos poderão concluir que a estrutura existente para 
as ordens inteiras também é válida para as não inteiras 
(ou decimais), desde que estejam com o mesmo número 
de ordens.
Se necessário, retome o quadro de ordens e mostre, 
por exemplo, que 0,5 é o mesmo que 0,50.
Localização de números decimais na reta 
numérica (página 336)
Ao comparar e localizar números decimais na reta 
numérica, estamos contribuindo para a compreensão 
da densidade dos números racionais, ou seja, entre dois 
números racionais quaisquer sempre existem infinitos nú-
meros racionais. Essa ideia será construída intuitivamente 
até o 9º- ano, quando esse conceito será sistematizado. 
É importante que, nos momentos de correção dos exer-
cícios que abordam essa questão, o professor comece a 
chamar a atenção para esse fato.
respostas e comentários
Números decimais em contextos de pesquisas 
(página 331)
1. a) Gráfico de colunas múltiplas.
 b) O gráfico apresenta a porcentagem de estudantes 
da educação básica matriculados no Brasil, com-
parando os anos de 2004 e 2013.
 c) O nível de ensino com maior percentual de ma-
triculados é o Ensino Fundamental (6 a 14 anos).
 d) 13,4 ♦ 23,2 ♦ 61,5 ♦ 81,4 ♦ 81,8 ♦ 84,3 ♦ 96,1 
♦ 98,4.
2. a) O país não cumpriu sua meta. A previsão de que 
todos os brasileiros nascidos a partir de 1971 ti-
vessem 8 anos de escolaridade não se confirmou, 
pois a média de escolarização dos brasileiros com 
mais de 25 anos em 2013 ficou em 7,7.
 b) As regiões Norte e Nordeste não cumpriram a 
meta. Em 2013, a média dos adultos com mais de 
25 anos alfabetizados era de 7,1 e 6,4, respectiva-
mente, nessas regiões. 
 c) 4,9 ♦ 5,8 ♦ 6,4 ♦ 6,6 ♦ 6,8 ♦ 7,1
 d) 8,4 ♦ 8,1 ♦ 8,0 ♦ 7,7 ♦ 7,1 ♦ 6,4
 e) Os alunos deverão fazer os cálculos para cada re-
gião. Nas regiões Nordeste e Centro-Oeste houve 
o maior aumento da média de anos de estudos: 
1,5 ano (6,4 2 4,9 5 1,5 e 8,1 2 6,6 5 1,5).
 f) A diferença observada no item anterior (1,5) foi 
maior que a observada no Brasil (1,3). 
Comparação de números decimais (página 334)
1. Inicialmente os alunos irão representar os números 
na malha quadriculada para perceber quando o zero 
nas ordens decimais altera ou não o número decimal.
 a) Em 0,2, os alunos irão pintar 20 quadradinhos 
(ou 2 colunas ou 2 linhas); em 0,02, irão pintar 2 
quadradinhos. Assim, 0,2 Þ 0,02 e 
2
10 
Þ
 
2
100
.
820
Ensino Fundamental
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 b) Tanto em uma quanto em outra representação, 
os alunos irão pintar 50 quadradinhos. Assim, 
0,5 5 0,50 e
 
5
10
5
100
5 .
2. Este item tem por objetivo verificar se os alunos con-
seguem perceber a posição do zero: quando este 
altera ou não o número dado.
 a) 0,3 5 0,300 e) 0,006 Þ 0,06
 b) 2,500 5 2,5 f ) 9,5 5 9,500
 c) 0,085 Þ 0,805 g) 8,350 5 8,35
 d) 35,6 Þ 35,06 h) 0,900 5 0,9
3. Espera-se que os alunos tenham percebido que, se 
o zero estiver ao final das ordens decimais, ele po-
derá ser suprimido, pois não altera o número dado; 
no entanto, se ele estiver representando a ausência 
de uma ordem, ele não poderá ser suprimido. Essa 
propriedade é fundamental para a comparação de 
números decimais.
4. a) A tabela ordenada será a seguinte:
Regiões 
Taxa de analfabetismo 
das pessoas com 15 ou mais 
anos de idade
2004 2013
Nordeste 22,4 16,9
Norte 13,0 9,5
Centro-Oeste 9,2 6,5
Sudeste 6,6 4,8
Sul 6,3 4,6
 b) Em 2004: Centro-Oeste (9,2), Sudeste (6,3) e 
Sul (6,6).
Em 2013: Centro-Oeste (6,5), Sudeste (4,8) e 
Sul (4,6).
5. Oriente os alunos para que deixem os números deci-
mais sempre com o mesmo número de ordens para 
facilitar a comparação. Para isso, eles irão acrescentar 
zeros ao final.
 a) Acrescentando zeros ao final de cada número, 
temos: 
2,100 ♦ 2,500 ♦ 2,010 ♦ 2,510 ♦ 2,050 ♦ 2,501 
Comparando-os, chegamos à seguinte ordenação:
2,01 ♦ 2,05 ♦ 2,1 ♦ 2,5 ♦ 2,501 ♦ 2,51
 b) Acrescentando zeros ao final de cada número, temos: 
15,600 ♦ 15,060 ♦ 15,160 ♦ 15,016 ♦ 15,061 
♦ 16,601 
Comparando-os, chegamos à seguinte ordenação: 
15,016 ♦ 15,06 ♦ 15,061 ♦ 15,16 ♦ 15,6 ♦ 16,601 
6. Respostas pessoais. Neste tipo de exercício, os alunos 
também precisarão deixar os números de cada item 
com o mesmo número de ordens decimais, acrescen-
tando quantos zeros forem necessários. 
 a) 0 e 1 2 Neste intervalo estarão todos os números 
em que a ordem das unidades seja 0. Algumas 
possibilidades: 0,16; 0,0004; 0,9.
 b) 0 e 0,1 2 Com acréscimos de zeros em 0,1 po-
demos ter: 0,10; 0,100; 0,1000, o que facilitará a 
percepção do intervalo a ser trabalhado. Algumas 
possibilidades: 0,01; 0,05; 0,005; 0,0235.
 c) 1 e 2 2 Alguns intervalos a serem considerados: 
1,0 e 2,0; ou 1,00 e 2,00. Algumas possibilidades: 
1,1; 1,05; 1,985.
 d) 1 e 1,2 2 Alguns intervalos a serem considerados: 
1,0 e 1,2; ou 1,00 e 1,20. Algumas possibilidades: 
1,1; 1,15; 1,05.
 e) 1 e 1,02 2 Alguns intervalos a serem considerados: 
1,00 e 1,02; ou 1,000 e 1,020. Algumas possibili-
dades: 1,01; 1,015; 1,002.
 f) 7 e 7,5 2 Alguns intervalos a serem considerados: 
7,0 e 7,5; ou 7,00 e 7,50; ou 7,000 e 7,500. Algumas 
possibilidades: 7,1; 7,2; 7,35.
 g) 7,4 e 7,5 2 Alguns intervalos a serem considerados: 
7,40 e 7,50; ou 7,400 e 7,500. Algumas possibili-
dades: 7,41; 7,45; 7,425.
 h) 8,25 e 8,3 2 Alguns intervalos a serem considera-
dos: 8,25 e 8,30; ou 8,250 e 8,300. Algumas pos-
sibilidades: 8,26; 8,251; 8,299. 
 i) 8,9 e 9 2 Alguns intervalos a serem considerados: 
8,90 e 9,00; ou 8,900 e 9,000. Algumas possibili-
dades: 8,95; 8,99; 8,975.
 j) 0,15 e 0,2 2 Alguns intervalos a serem considera-
dos: 0,15 e 0,20; ou 0,150 e 0,200. Algumas pos-
sibilidades: 0,16; 0,159; 0,199.
7. Oriente os alunos para a síntese sobre os procedi-
mentos para comparação de números decimais. É 
fundamental mencionar que os números precisam 
ficar com a mesma quantidade de ordens decimais 
para facilitar a comparação.
Exercício (página 336)
1. 
2 3 4
0 1
2. Neste exercício é apresentada uma unidade da reta 
numérica, ou seja, o intervalo de 7 a 8, no qual os 
alunos irão representar os números dados.
821
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7 8
7,09
7,05
7,500 7,750
7,740
7,90
3. Novamente é apresentado um segmento de 1 uni-
dade, subdividido em milésimos (as marcas maiores 
indicam um intervalo de 0,01). Os alunos irão indicar 
a localização de cada número dado.
7
6
6,011
6,022
6,03
6,04 6,05
6,2
6,5
6,3
6,39
4. No momento da correção, discuta com os alunos 
qual é a regra de formação ou regularidade de cada 
sequência. Nos anos iniciais do Sistema, os alunos 
usam com frequência a expressão “regularidade”.
 a) Subtrai-se de cada número 0,25 e continuando a 
sequência tem-se: 
3,25 ♦ 3,0 ♦ 2,75 ♦ 2,5 ♦ 2,25
 b) Acrescenta-se 0,025 a cada número e continuando 
a sequência tem-se:
0,175 ♦ 0,2 ♦ 0,225 ♦ 0,25 ♦ 0,275
 c) Subtrai-se 0,01 de cada número e continuando a 
sequênciatem-se:
35,07 ♦ 35,06 ♦ 35,05 ♦ 35,04 ♦ 35,03
 d) Acrescenta-se 0,75 a cada número e continuando 
a sequência tem-se:
9,55 ♦ 10,3 ♦ 11,05 ♦ 11,08 ♦ 12,55
Teste (página 337)
1. Alternativa B. Oriente os alunos para que leiam 
todas as alternativas e as analisem a partir dos da-
dos dos gráficos. Chame a atenção também para a 
informação no título do gráfico: “em milhares de 
pessoas...”. Assim, os dados do primeiro gráfico pre-
cisam ser transformados com todas as ordens, ou 
seja, há 115 885 000 de alfabetizados e 29 500 000 de 
analfabetos funcionais.
2. Alternativa D. Oriente os alunos para que analisem os 
dois gráficos de setores, nos quais é fácil identificar 
que apenas a alternativa d é verdadeira.
3. Alternativa B. Oriente os alunos para que analisem 
cada uma das afirmações. Assim, eles vão identificar 
que: I é falsa, II é verdadeira e III é falsa.
Em casa (página 338)
1. 88% 5
88
100
5 0,88 64% 5
64
100
5 0,64
 36% 5
36
100
5 0,36 40% 5
40
100
5 0,40
 12% 5
12
100
5 0,12
2. a) 
30
100
5 0,30 5 30% c) 0,49 5 
49
100
5 49%
 b) 
7
10
5 0,7 5 70% d) 23% 5 
23
100
5 0,23
3. Respostas pessoais. Algumas possibilidades: 
2,05 ♦ 2,052 ♦ 2,009 ♦ 2,031 ♦2,045
4. a) 0,33 está compreendido entre 0 e 1.
 b) 2,1 está compreendido entre 2 e 3.
 c) 36,36 está compreendido entre 36 e 37.
 d) 5,406 está compreendido entre 5 e 6.
 e) 9,04 está compreendido entre 9 e 10.
 f) 15,36 está compreendido entre 15 e 16.
5. a) 8 ♦ 8,1 ♦ 8,01 ♦ 8,003 ♦ 8,213 
 b) 8,3 e 8,4
 c) 8,213 ♦ 8,3 ♦ 8,4 
 d) 8 ♦ 8,1 ♦ 8,01 ♦ 8,003
6. a) Respostas pessoais. Algumas possibilidades: 57% 
e 63,2%.
 b) Sim, pois é maior que 52% e menor que 64,7%.
7. No momento da correção, discuta a regularidade de 
cada sequência.
 a) Acrescenta-se 0,04: 7,32 ♦ 7,36 ♦ 7,4 ♦ 7,44 ♦7,48 
♦ 7,52
 b) Subtrai-se 0,7: 62,6 ♦ 61,09 ♦ 61,2 ♦ 60,5 ♦ 59,8 
♦ 59,1
8. a) Os números menores que 71,23 são: 71,03 ♦ 71,12 
♦ 71,2 ♦ 71,21 ♦ 71,229
 b) O maior número dentre os apresentados é 71,3 e 
o menor, 71,03.
9. Confira as anotações do glossário.
822
Ensino Fundamental
MP_AngloEFII_Matematica_6.2_MP_001a052.indd 22 11/30/15 9:07 AM
AULAS 41 e 42
Objetivos 
•	 Perceber regularidades na multiplicação e na divisão por 10, 100 e 1 000.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
41
Retorno das tarefas 6 a 9 do Módulo 15
Descobrindo regras com a calculadora 2 itens 1 a 10
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 a 3 (Em casa)
42
Retorno das tarefas 1 a 3
Descobrindo regras com a calculadora 2 itens 11 a 16
Teste (item 2)
Desafio
Orientações para as tarefas 4 e 5 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 10 e 11
Material 
•	 Calculadora (cada aluno deverá ter a sua).
Noções básicas
Ao final do Módulo, espera-se que os alunos sejam capazes de identificar regras na multiplicação e na divisão 
por 10, 100 e 1 000.
Estratégias e orientações 
Neste Módulo propomos atividades com a calculadora, o que já é familiar aos alunos do Sistema de Ensino. No 
entanto, se não for esse o caso dos seus alunos, faça as intervenções necessárias. 
Sugere-se que o trabalho seja realizado em duplas para propiciar a troca e a enunciação das regras esperadas. 
Ao final, faça a socialização das conclusões no item 9. 
Todas as situações propostas são de construção de conceitos, o que será sistematizado nos itens 9 e 13.
respostas e comentários 
descobrindo regras com a calculadora (página 340)
1. a) 1º- resultado: 10 3 5 5 50
2º- resultado: 10 3 50 5 500
3º- resultado: 10 3 500 5 5 000
16. MULTiPLiCAçãO E diviSãO POr 10, 100 E 1 000 
COM NÚMErOS dECiMAiS
823
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4º- resultado: 10 3 5 000 5 50 000
Sequência obtida: 50; 500; 5 000; 50 000
 b) 1º- resultado: 10 3 13 5 130
2º- resultado: 10 3 130 5 1 300
3º- resultado: 10 3 1 300 5 13 000
4º- resultado: 10 3 13 000 5 130 000
Sequência obtida: 130; 1 300; 13 000; 130 000
 c) 1º- resultado: 10 3 25 5 250
2º- resultado: 10 3 250 5 2 500
3º- resultado: 10 3 2 500 5 25 000
4º- resultado: 10 3 25 000 5 250 000
Sequência obtida: 250; 2 500; 25 000; 250 000
2. Cada número obtido na sequência é 10 vezes maior 
que o número anterior.
3. Os alunos farão os registros no quadro de ordens.
 a) 
Ordens inteiras , Ordens decimais
CM DM UM C D U Déc. Cent. Mil. ...
4 , 3 0 5
4 3 , 0 5
4 3 0 , 5
4 3 0 5 ,
4 3 0 5 0 ,
 b) 
Ordens inteiras , Ordens decimais
CM DM UM C D U Déc. Cent. Mil. ...
3 1 , 4 7 5
3 1 4 , 7 5
3 1 4 7 , 5
3 1 4 7 5 ,
3 1 4 7 5 0 ,
4. a) 12,7 ♦ 127♦ 1 270 ♦12 700
 b) 3,129 ♦ 31,29 ♦ 312,9 ♦ 3 129
5. Cada número obtido na sequência é 10 vezes maior 
que o anterior.
6. a) 13,5
 b) 20,5
 c) 134
 d) 1 623
 e) 1 623
 f) 1,23
7. Os alunos farão a autocorreção do item 6, com a 
calculadora.
8. O objetivo deste item é ampliar a regra para 100 e 1 000.
 a) 235
 b) 27,5
 c) 13 120
 d) 129,5
 e) 10,5
 f) 1,35
 g) 14,8
 h) 148
9. A síntese da propriedade poderá ser feita em dupla ou 
com a classe toda. Aconselha-se não usar a conhecida 
regra: “Ao multiplicar por 10, 100 e 1 000, a vírgula 
muda uma, duas ou três ordens”, pois, considerando o 
quadro de valor posicional, observamos que a vírgula 
se mantém separando a parte inteira da parte decimal; 
o que muda de posição são os algarismos, que passam 
a ocupar ordens superiores. Assim, uma síntese mais 
coerente com o que foi feito seria:
•	 ao se multiplicar um número (não nulo) por 10, 
cada algarismo do número passa a ocupar a pri-
meira ordem imediatamente superior;
•	 ao se multiplicar um número (não nulo) por 100, 
cada algarismo do número passa a ocupar a se-
gunda ordem imediatamente superior;
•	 assim, multiplicar por 10, 100 e 1 000 significa mu-
dar o valor posicional dos algarismos em uma, 
duas ou três ordens, respectivamente.
10. a) 2,5
 b) 0,01
 c) 30,15
 d) 2,7
 e) 27
 f) 31,2
 g) 13,89
 h) 3 120
 i) 500
 j) 800
11. Espera-se que os alunos façam uma analogia com a 
multiplicação e concluam que os algarismos passarão 
a ocupar uma, duas ou três ordens imediatamente 
inferiores, respectivamente.
12. a) 32,5
 b) 3,25
 c) 0,325
 d) 3,198
 e) 0,3198
 f) 0,03198
 g) 0,4
 h) 0,04
 i) 0,004
 j) 0,01
 k) 0,001
 l) 0,0001
13. Espera-se que os alunos concluam que, ao dividirmos 
cada algarismo por 10, ele passa a ocupar a primeira 
ordem imediatamente inferior; ao dividirmos por 100, 
a segunda; por 1 000, a terceira.
14. a) 1,5
 b) 0,015
 c) 0,05
 d) 0,005
 e) 0,904
 f) 0,009
 g) 5,314
 h) 1,206
 i) 0,500 5 0,5
 j) 23
15. É provável que os alunos usem as teclas que for-
mam os números 10, 100, 1 000... No entanto, outras 
também poderão ser usadas. Socialize as diferentes 
possibilidades encontradas pelos alunos.
 a) Deverá usar as teclas: : 1 0 5
 b) Deverá usar as teclas: : 1 0 5 
8
24 Ensino Fundamental
MP_AngloEFII_Matematica_6.2_MP_001a052.indd 24 11/30/15 9:07 AM
 c) Deverá usar as teclas: 
: 1 0 0 5
 
ou
: 1 0 5 5
 d) Podem ter sido usadas as teclas:
3 1 0 5
 
ou
3 2 3 5 5
 e) Podem ter sido usadas as teclas:
3 1 0 0 5
 
ou
3 1 0 3 1 0 5
16. a) : 1 0 0 5
 
ou
: 1 0 5 5
 
 b)
 
: 1 0 5 5 5 ou 
: 1 0 0 0 5
 c)
 
: 1 0 5 5 5 ou 
: 1 0 0 0 5
 d) 3 1 0 0 5
 
 e) 3 1 0 5 3 1 0 5
 
3 1 0 5
 
(os dois primeiros sinais de 5 não precisam 
ser teclados) ou
3 1 0 0 0 5
 f) 3 1 0 5 3 1 0 5
 
 (aqui também o primeiro sinal de 5 não pre-
cisa ser teclado) ou
3 1 0 0 5
desafo (página 344)
1. Há 89,4 toneladas, pois em 1 tonelada há 1 000 qui-
logramas, e em 1 quilograma há 1 000 gramas. Assim, 
89,4 3 1 000 000 5 89 400 000 g, ou 89 400 kg,
ou 89,4 t.
2. Primeiro, vão os homens de 50 kg e 75 kg. Um deles 
(qualquer um) desembarca no ponto de destino, e o 
outro volta sozinho à margem inicial. Lá, ele desembar-
ca e passa o barco para o homem de 120 kg, que faza 
travessia sozinho e entrega o barco ao primeiro homem 
que desembarcou. Este volta com o barco, resgata o 
outro homem na margem inicial, e os dois fazem juntos 
a última travessia, encontrando-se na outra margem 
com o homem de 120 kg. Portanto, são necessárias 
cinco viagens para transportar os três homens até a 
outra margem do rio, sem afundar o barco. 
Teste (página 345)
1. Alternativa C. Oriente os alunos a descobrirem a re-
gularidade da sequência: cada número é 10 vezes 
menor que o anterior. Assim, dividindo-se 7 653 por 
10, obtém-se 765,3 (alternativa c).
2. Alternativa A. Os alunos deverão escrever o número 
dado com todas as suas ordens, ou seja:
 3,75 3 108 5 3,75 3 100 000 000 5 375 000 000 5 
5 375 3 106 (alternativa a).
Em casa (página 345)
1. As sequências que aparecerão no esquema são:
 a) 3,25; 32,5; 325
0,325 × 10 5 3,25
0,325 × 10 × 10 5 32,5
0,325 × 100 5 32,5
0,325 × 10 × 10 × 10 5 325
0,325 × 1 000 5 325
 b) 2,5; 0,25; 0,025 
25 : 10 5 2,5
25 : 10 : 10 5 0,25
25 : 100 5 0,25
25 : 10 : 10 : 10 5 0,025
25 : 1 000 5 0,025
2. a) 70,5 b) 5 c) 7,5 d) 10,5 e) 0,78
3. a) 7,2 b) 4,25 c) 0,7 d) 0,06 e) 0,47
4. a) 7,653
 b) 0,7653
 c) 0,07653
 d) 765,3
 e) 7 653
 f) 76 530
 g) 450
 h) 375
 i) 30
 j) 45
 k) 37,54
 l) 0,873
5. Verifique as anotações no glossário. Você poderá 
socializar com a turma as anotações no momento 
da correção, a fim de esclarecer eventuais dúvidas e 
possibilitar aos alunos que complementem o verbete.
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AULAS 43 a 46
Objetivos 
•	 Calcular porcentagem utilizando frações.
•	 Calcular porcentagem por raciocínio proporcional.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
43
Retorno das tarefas 4 e 5 do Módulo 16
A problemática do lixo em nosso país
Estratégias para calcular porcentagem
Teste (item 1)
Orientações para a tarefa 1 (Em casa)
44
Retorno da tarefa 1
Estratégias de cálculo mental para a porcentagem
Teste (item 2)
Orientações para a tarefa 1 (Em casa)
45
Retorno da tarefa 2
Exercício 1
Uso da calculadora para o cálculo de porcentagens
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 3 e 4 (Em casa)
46
Retorno das tarefas 3 e 4
Mais uma estratégia de cálculo de porcentagem
Síntese dos procedimentos de cálculo da porcentagem
Exercício 2
Teste (item 4)
Orientações para as tarefas 5 e 6 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 12 a 14
Material 
•	 Calculadora (cada aluno deverá ter a sua).
Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos sejam capazes de:
•	 estabelecer relações entre frações e porcentagens.
•	 identificar e construir estratégias para o cálculo de porcentagens.
17. POrCENTAGEM
826
Ensino Fundamental
MP_AngloEFII_Matematica_6.2_MP_001a052.indd 26 11/30/15 9:07 AM
Estratégias e orientações 
Ao longo do Módulo, são exploradas diferentes estra-
tégias para o cálculo de porcentagem. Após conhecê-las, 
os alunos poderão optar por qualquer uma delas para 
resolver cálculos relacionados à porcentagem.
No caso da calculadora, ela será utilizada apenas como 
ferramenta para cálculos que envolvam números deci-
mais. Além disso, é fundamental que os alunos saibam 
usar as diferentes teclas da calculadora. Isso não significa 
que eles sempre lançarão mão dela para cálculos, mas é 
importante aprender diferentes estratégias para ter op-
ções pertinentes a cada contexto.
Inicialmente, explore com a turma o texto da abertura 
do Módulo, destacando o uso constante da porcentagem 
em pesquisas, gráficos, tabelas e dados informativos e o 
quanto, em determinados contextos, os dados percentuais 
possibilitam uma maior compreensão da informação. 
Se julgar necessário que os alunos tenham mais con-
tato com esse tipo de texto, providencie jornais e revistas 
da semana, para que, em grupos, pesquisem e recortem 
notícias cujas manchetes contenham números expressos 
na forma de porcentagens, estabelecendo relações entre 
esses números e os dados divulgados.
Atividades de construção de conceitos
Neste Módulo buscamos construir com os alunos es-
tratégias para o cálculo de porcentagem. Consideramos 
fundamental que diferentes estratégias sejam exploradas, 
inclusive para desenvolver a habilidade de estimativas 
e cálculo mental. Sabemos que, atualmente, com o uso 
da calculadora, principalmente a do celular, as pessoas 
não realizam mais cálculos; no entanto, se o sujeito não 
dispuser dessas habilidades, pode acontecer de digitar 
dados equivocados e não ser capaz de analisar a inade-
quação dos resultados.
Iniciamos o Módulo com um texto para evidenciar 
o quanto a porcentagem está presente em diferentes 
contextos. Selecionamos uma situação com gráficos, pois 
dessa forma já retomamos a análise de dados. 
A partir desse contexto, exploramos as diferentes es-
tratégias de cálculo de porcentagem, inclusive com o uso 
da calculadora. Temos constatado em nossas práticas que 
muitos alunos não dispõem de estratégias para o cálculo 
de porcentagem diretamente numa calculadora.
respostas e comentários 
A problemática do lixo em nosso país (página 346)
1. a) Gráfico de colunas múltiplas.
 b) O gráfico traz duas colunas comparativas: na pri-
meira delas estão representados os percentuais 
do lixo coletado no Brasil e por regiões do país e 
na segunda, percentuais desse lixo que vão para 
lixões ou aterros precários.
 c) As regiões com percentuais de lixo coletado supe-
riores ao do Brasil são: Centro-Oeste, Sul e Sudeste.
 d) As regiões com percentual de lixo coletado que vai 
para lixões ou aterros precários, maior que a taxa 
do Brasil, são: Norte, Nordeste e Centro-Oeste.
 e) Somente a região Centro-Oeste, que coleta 92% do 
lixo, destina 70% para lixões e aterros precários. 
As regiões Sudeste e Sul, cuja taxa de coleta é su-
perior à do Brasil, destinam percentual menor que 
o do Brasil para lixões e aterros precários (28% e 
30%, respectivamente). 
 f) Sim. Apenas 58% do lixo coletado no Brasil vai para 
aterros sanitários 
(100% 2 42% 5 58%).
2. Esta questão visa explorar o conhecimento que os 
alunos já trazem de porcentagem, compreendendo 
que 50% correspondem à metade. Assim, a região 
Sudeste produz diariamente 125 mil toneladas de 
lixo, ou seja, metade da produção nacional.
Estratégias para calcular porcentagem 
(página 348)
1. São apresentadas duas estratégias para que os alunos 
as analisem e tentem explicar o raciocínio envolvido. 
Sugerimos que a discussão seja feita em duplas, a fim 
de que haja troca de ideias entre os pares. 
•	 André: Ele encontrou 1% de 200 (o valor dado) e, 
em seguida, calculou 20%, ou seja, multiplicou o 
quociente obtido por 20.
•	 Letícia: ela raciocinou proporcionalmente, ou seja, se 
ela sabe que 20% é 20 em cada 100, então, dobrando 
os valores de ambas as grandezas, chega-se em 40 
em cada 200. Esse tipo de raciocínio os alunos do 
Sistema de Ensino já exploraram em anos anteriores.
2. a) 20% representam 20 em cada 100.
 b) 30% representam 30 em cada 100.
 c) 25% representam 25 em cada 100.
 d) 48% representam 48 em cada 100.
 e) 90% representam 90 em cada 100.
 f) 100% representam 100 em cada 100, ou seja, re-
presentam o todo-referência.
3. Os alunos poderão utilizar qualquer uma das duas 
estratégias exploradas no item 1, ou criar outras 2 
nesse caso, faça a socialização com a classe.
 a) 30
 b) 60
 c) 90
 d) 60
 e) 100
 f) 128
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Estratégias de cálculo mental para a 
porcentagem (página 349)
1. Os alunos irão explicar o raciocínio apresentado em 
cada estratégia.
• Júlia: ela decompôs 24% em 20% 1 4%. Para 
obter 20%, ela fez 700 : 5, pois 20% é a quinta 
parte de 100%. 
Para encontrar 4%, ela primeiro obteve 1%, divi-
dindo 700 por 100, e multiplicou o resultado por 
4. Finalmente, ela somou os doisvalores.
• Rafael: ele obteve 24% subtraindo 1% de 25% 
(25% 2 1% 5 24%). 
Para obter 25%, ele fez 700 : 4, pois 25% é a quarta 
parte de 100%; assim, obteve 175. 
Para calcular 1% de 700, ele fez diretamente 
700 : 100 5 7. Em seguida, ele subtraiu 7 de 175, 
obtendo 168.
• Mateus: ele decompôs 24% em:
24% 5 2 3 10% 1 4 3 1%.
Para calcular 10%, ele fez
 
1
10 
de 700; para calcular 
1%, ele fez
 
1
100 
de 700. Em seguida, ele multipli-
cou o primeiro valor por 2 e o segundo por 4 e 
somou os dois valores, obtendo 168.
Após a socialização das explicações dos alunos para 
os raciocínios, seria interessante explorar com eles 
algumas porcentagens relacionadas com frações de 
cálculo simples. Por exemplo:
• 10% 2 é o mesmo que a décima parte;
• 20% 2 é o mesmo que a quinta parte;
• 25% 2 é o mesmo que a quarta parte;
• 50% 2 é o mesmo que a metade.
Sabendo calcular mentalmente essas porcentagens, 
podem-se obter outras, fazendo adições ou subtra-
ções 2 como ocorreu nas estratégias que aparecem 
no Caderno.
2. Os alunos poderão utilizar a estratégia que quiserem. 
No momento da correção, socialize as que foram 
utilizadas pela turma.
 a) 200
 b) 120
 c) 24
 d) 150
 e) 15
 f) 6
Exercício 1 (página 349)
Conduza a realização desse exercício retomando 
com a turma a leitura do texto do início do Módulo, 
em especial a informação contida no quadro que apre-
senta o gráfico. Os alunos deverão considerar essas 
informações e as constantes no exercício para resolver 
os itens 1 e 2. Eles poderão utilizar a estratégia que 
quiserem. Socialize essas estratégias com a turma no 
momento da correção.
1. Estratégias pessoais. Apresentamos uma possibilidade.
 a) Se a população rural brasileira é de 30%, a urbana 
é de 70%.
10% de 210 000 000 5 21 000 000
50% de 210 000 000 5 105 000 000
70% 5 10% 1 10% 1 50%, então, pode-se fazer:
21 000 000 1 21 000 000 1 105 000 000 5 147 000 000
A população urbana brasileira é de 147 milhões 
de habitantes.
 b) As regiões Sul e Sudeste reúnem 60% da popu-
lação urbana do país.
10% 1 50% 5 60%, então:
14 700 000 1 73 500 000 5 88 200 000
Nas regiões Sul e Sudeste há 88,2 milhões de 
habitantes nas regiões urbanas.
2. Estratégias pessoais. Apresentamos uma:
Calcular: 63% de 250 mil toneladas.
1% de 250 000 5 2 500 t
10% de 250 000 5 25 000 t
50% de 250 000 5 125 000 t
63% 5 1% 1 1% 11% 1 10% 1 50%, logo:
2 500 1 2 500 1 2 500 1 25 000 1 125 000 5 157 500
A produção diária de lixo das regiões Sul e Sudeste 
é de 157 500 toneladas.
Uso da calculadora para o cálculo 
de porcentagens (página 350)
Serão apresentados dois procedimentos de cálculo de 
porcentagem: por meio da tecla da porcentagem e por meio 
da multiplicação pelo número decimal correspondente.
Para cada um dos modos, foram explicados todos 
os passos. Certifique-se de que os alunos entenderam 
(ao final das explicações promova uma discussão com 
a turma). Enfatizamos que os alunos poderão escolher 
qual dos procedimentos utilizar.
1. Os procedimentos são introduzidos a partir do texto 
que também se refere a lixo. Tanto em um quanto em 
outro procedimento, deverá aparecer no visor da cal-
culadora o número 9 400 000. Assim, os Estados Unidos 
reciclam anualmente 1 316 000 toneladas de e-lixo.
2. A China recicla anualmente 438 000 toneladas de e-lixo.
3. 
Destino do lixo % Total (em toneladas)
Aterro sanitário 64,2 3 210 000
Aterro controlado 18,9 945 000
Lixão 16,9 845 000
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Ensino Fundamental
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Mais uma estratégia de cálculo de porcentagem 
(página 352)
As situações propostas referem-se a contextos em 
que se conhece uma parte, um percentual, e pretende-se 
conhecer o todo (ou todo-referência).
1. Estabeleça um tempo para que os alunos levantem 
suposições de como resolver essa situação. Socialize 
as estratégias que utilizaram. Uma estratégia possível 
é raciocinar por proporcionalidade. Se for necessário 
dar sugestões, veja a estratégia apresentada no próxi-
mo item. Os alunos deverão concluir que o total de 
lixo produzido em um dia é de 25 toneladas. 
2. É apresentada uma estratégia para resolução do mes-
mo problema do item 1, pelo raciocínio proporcional. 
Esse aluno partiu do princípio de que 40% represen-
tam 10 toneladas de lixo; então 20% serão a meta-
de, ou seja, 5 toneladas. Conhecendo-se 20%, basta 
multiplicar esse valor por 5 para se chegar aos 100%.
3. Os alunos poderão utilizar a estratégia que quiserem, 
mas deverão registrá-las. Socialize-as no momento da 
correção. Você também poderá sugerir que façam a 
autocorreção com a calculadora. 
 a) 300 alunos
 b) 200 reais
 c) 500 indústrias
 d) 28 000 estudantes
 e) 50 alunos
 f) 20 alunos
Síntese dos procedimentos de cálculo 
da porcentagem (página 353)
Com base nas estratégias estudadas, os alunos deverão 
elaborar uma síntese dos possíveis procedimentos de 
cálculo de porcentagens. O texto poderá ser produzido 
coletivamente: à medida que eles apresentarem as ideias, 
você as registrará na lousa. Em seguida, após se certifi-
carem de que o texto contemplou todas as estratégias 
estudadas, eles deverão copiá-lo no Caderno.
Exercício 2 (página 353)
Nestes exercícios sugere-se o uso da calculadora para 
a autocorreção. Não dispense o registro do procedimento 
utilizado pelos alunos, pois é uma forma de garantir que 
eles o fizeram. 
1. Tipo de lixo produzido 
diariamente no Brasil
Total (em toneladas)
Lixo orgânico 130 000
Papel e papelão 65 000
Plástico 7 500
Metais 5 000
Vidro 5 000
Outros 37 500
Teste (página 354)
1. Alternativa C. Se necessário, oriente os alunos a 
calcularem, inicialmente, 20% de 250 000 tonela-
das. Eles poderão utilizar cálculo mental: 10% são 
25 000, portanto, 20% são 50 000 toneladas. Com 
isso, eles já eliminam as alternativas a e b. Como 
as outras duas estão na forma de potenciação, eles 
poderão escrever:
50 000 t 5 5 3 104 t (logo não é a alternativa d)
Ou 50 000 t 5 50 000 000 kg 5 5 3 107 kg (alternativa c)
2. Alternativa C. Oriente os alunos para analisarem cada 
uma das alternativas. 
Alternativa a é falsa, pois 45% de 250 mil toneladas 
é 112 500 toneladas.
Alternativa b é falsa, pois 45% é inferior a 50% (metade).
Alternativa d não pode ser, visto que não há dados 
que permitam essa conclusão.
3. Alternativa B. Oriente os alunos a calcularem as 
porcentagens indicadas para 2,2 milhões de to-
neladas de lixo. Como todas as alternativas estão 
em quilogramas, eles deverão partir da informação 
de que 2,2 milhões de toneladas correspondem 
a 2 200 000 000 kg. Calculadas as porcentagens, 
eles devem voltar os resultados para a escrita com 
potenciação de base 10.
4. Alternativa D. Nessa situação, conhece-se a parte 
e se quer saber o todo-referência. Os alunos po-
derão fazer o cálculo e, em seguida, identificar a 
resposta correta. 
Em casa (página 354)
1. a) 0,09
 b) 0,975
 c) 0,02493
 d) 0,00007
 e) 0,005
 f) 0,048
 g) 0,021
 h) 0,45
2. a) 5
 b) 2
 c) 20
 d) 20
 e) 42
 f) 960
 g) 60
 h) 50
 i) 171
3. a) 25
 b) 60
 c) 15
 d) 225
 e) 150
 f) 60
 g) 40
 h) 7,5
 i) 90
 j) 375
 k) 210
 l) 240
4. a) 150
 b) 216
 c) 215
 d) 28
 e) 600
 f) 32
5. a) 1 300 c) 20
 b) 1 000 d) 20
6. Verifique as anotações no glossário.
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AULAS 47 a 49
Objetivos 
•	 Compreender o conceito de polígono. 
•	 Conhecer os principais elementos de um polígono e suas representações.
•	 Classificar um polígono de acordo com seu número de lados.
•	 Reconhecer polígonos convexos e polígonos não convexos.
roteiro de aulas (sugestão) 
Aula Descrição Anotações
47
Retorno das tarefas 5 e 6 do Módulo 17
Abertura do módulo
Características dos polígonos
Os elementos de um polígono
Exercício 1
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
48
Retorno das tarefas 1 e 2
Uma classificação dos polígonos
Exercício2
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
49
Retorno das tarefas 3 a 5
Outra classificação: polígonos convexos e polígonos 
não convexos
Exercício 3
Teste (item 3)
Desafio
Orientações para as tarefas 6 a 8 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 15 a 18
Materiais
•	 Régua de 30 cm (cada aluno deverá ter a sua).
Noções básicas
Espera-se que ao final deste Módulo os alunos sejam capazes de:
•	 dominar o conceito de polígono, conhecendo seus principais elementos, sua nomenclatura, suas representações 
e sua classificação segundo o número de lados.
•	 diferenciar polígonos convexos de não convexos. 
18. POLÍGONOS
830 Ensino Fundamental
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Estratégias e orientações 
Existem várias situações do cotidiano em que a ideia 
de polígono está presente. O texto de abertura do Módu-
lo destaca uma dessas situações: os mosaicos geométri-
cos, bastante usados em arquitetura, decoração e moda. 
No caso do texto de abertura, falamos do mosaico 
usado em várias calçadas da cidade de São Paulo, que 
imita o mapa do estado. Este desenho acabou se trans-
formando em um dos símbolos da cidade de São Paulo. 
Dependendo do tempo disponível, você pode ampliar a 
discussão iniciada no texto. Por exemplo, na cidade do Rio 
de Janeiro, também existe um desenho nas calçadas que se 
tornou um símbolo da cidade. Trata-se do calçamento utili-
zado no bairro de Copacabana, que imita as ondas do mar.
c
a
t
a
r
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K
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l
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w
 i
m
a
G
e
S
Calçada da cidade do Rio de Janeiro com padrão inspirado nas 
ondas do mar. 
Do ponto de vista geométrico, você pode comparar 
os padrões das calçadas das duas cidades: apenas o de-
senho da cidade paulista é formado por polígonos, pois 
apresenta o contorno formado por linhas retas.
É possível, ainda, discutir a importância dos símbolos 
regionais como um fator de criação da cultura e da iden-
tidade regionais, focando nos aspectos característicos da 
sua cidade ou região. 
Atividades de construção de conceitos
Características dos polígonos (página 357)
Não é conveniente apresentar aos alunos do 6º- ano 
uma definição rigorosa de polígono. Neste momento, o 
mais importante é eles compararem polígonos com outras 
figuras geométricas, construindo a ideia de polígono e 
observando suas propriedades. Sugerimos, por isso, que 
este tópico seja desenvolvido em grupos, o que enrique-
cerá as observações. 
Para reforçar a comparação entre o mapa do estado 
de São Paulo e o polígono que aparece nos ladrilhos de 
calçadas na cidade de São Paulo, você pode perguntar, 
durante a realização da atividade, que propriedade do 
polígono favorece sua utilização no desenho das calça-
das, em vez de utilizar o próprio mapa. Espera-se que 
os alunos cheguem à seguinte conclusão: o contorno de 
um polígono é formado exclusivamente por segmentos 
de reta, facilitando a combinação de vários polígonos, 
como num mosaico. Quando você perceber que todos os 
grupos chegaram a essa conclusão, faça o fechamento, 
trabalhando os elementos de um polígono. Certifique-
-se também de que todos os alunos entenderam como 
nomear um polígono.
Para sua referência, fornecemos a seguir algumas 
fundamentações teóricas adicionais sobre polígonos. A 
abordagem mais formal do ponto de vista da linguagem 
matemática utilizada a seguir será apresentada aos alunos 
apenas no Ensino Médio.
defnição
Dada uma sequência (P1, P2, ..., Pn) de n pontos 
distintos de um plano, n > 3, de modo que quais-
quer três pontos consecutivos dessa sequência 
(P1, P2, P3); (P2, P3, P4); ...; (Pn 2 1, Pn, P1) e (Pn, P1, P2) 
sejam não colineares, chama-se polígono P
1
P
2
P
3
 ... P
n
 
a união dos n segmentos, P
1
P
2
, P
2
P
3
, ..., P
n 2 1
P
n
, P
n 
P
1
.
De acordo com a definição acima, representam 
polígonos as seguintes figuras:
Figura A Figura B Figura C
P
1
P
2
P
5
P
3
P
4
P
1
P
3
P
4
P
2
P
1
P
3
P
2
P
4
Classifcação
As figuras A e B são classificadas como polígonos 
simples, já que dois segmentos quaisquer (lados) 
só podem se interceptar nas suas extremidades. Na 
figura C, temos um polígono estrelado (ou entrelaça-
do), uma vez que dois de seus lados interceptam-se 
num ponto que não é a extremidade desses lados.
região poligonal
A união de um polígono com o seu interior é 
chamada região ou superfície poligonal.
Nota: na abordagem feita para o 6º- ano, usamos, 
por abuso de notação, o termo polígono para nos 
referir tanto ao polígono quanto à região poligonal.
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Uma classifcação dos polígonos (página 360)
As atividades deste tópico podem ser feitas em grupo 
ou individualmente. Pretende-se no item 1 que os alunos 
pratiquem a simbologia vista no tópico anterior; nos itens 
2 e 3, espera-se que eles percebam que, em qualquer po-
lígono, o número de vértices, de lados e de ângulos é igual.
Explique a classificação dos polígonos de acordo com 
o número de lados, ressaltando que é equivalente clas-
sificá-los quanto ao número de vértices ou de ângulos.
No Caderno, colocamos o polígono de até 8 lados 
(octógono). Caso julgue conveniente, você pode apre-
sentar os polígonos de 9 e de 10 lados (eneágono e 
decágono, respectivamente).
Outra classifcação: polígonos convexos e 
polígonos não convexos (página 364)
Sugerimos que este tópico seja desenvolvido em gru-
pos. Na primeira parte, os grupos deverão analisar qua-
tro polígonos 2 dois convexos e dois não convexos –, 
dividindo-os em dois conjuntos de dois elementos. Deixe 
que os alunos observem as características de cada po-
lígono, discutam entre si e formulem hipóteses. É impor-
tante que você os incentive a deixar bem claro o critério 
usado na classificação. Neste momento, o principal não 
é o critério que cada grupo indicar, mas que ele seja 
claramente explicitado. 
Na segunda parte, os alunos são conduzidos a explorar 
as propriedades que levam à definição de polígono conve-
xo. Ao final, certifique-se de que todos compreenderam o 
critério. Se preferir, desenhe na lousa figuras que não sejam 
polígonos (círculo, coroa circular, elipse) e peça aos alunos 
que as classifiquem em convexo ou não convexo.
respostas e comentários 
Características dos polígonos (página 357)
1. A finalidade deste item é que os alunos observem e 
explorem as características de duas figuras geométri-
cas. Por isso, eles podem fazer diferentes observações 
sobre o contorno das duas figuras, mesmo que elas 
não estejam relacionadas ao conceito de polígono. Ao 
longo da atividade, este conceito será sistematizado. 
Seguem duas possíveis observações que podem ser 
feitas pelos alunos:
•	 o contorno da figura usada nos ladrilhos é cons-
tituído de vários segmentos de reta; o do mapa, 
por uma curva;
•	 o contorno da figura usada nos ladrilhos é simé-
trico e o do mapa é irregular. 
2. Acompanhe as discussões dos diferentes grupos, 
observando os critérios que eles adotam para clas-
sificar as linhas (contornos) apresentadas. Sugerimos 
que as linhas sejam divididas em abertas e fechadas 
e, também, em curvas e retas. Geraríamos, assim, 
quatro grupos, como destacado no quadro a seguir.
Linhas Retas Curvas
Abertas
Linhas abertas 
e retas
(d)
Linhas abertas 
e curvas
(c)
Fechadas
Linhas fechadas 
e retas
(a, e)
Linhas fechadas 
e curvas
(b, f)
Durante a socialização, a partir da classificação dos 
diferentes grupos, você pode conduzir para a classifica-
ção acima. Observe que os polígonos seriam as figuras 
com contorno formado por uma linha fechada e reta. 
3. Figuras a e e.
Exercício 1 (página 359)
1. São polígonos as figuras a, d e h. Durante a corre-
ção, pergunte aos alunos por que as demais figuras 
não são polígonos. Eles deverão perceber que seus 
contornos não são formados unicamente por linhas 
retas ou não são linhas fechadas.
2. a) O polígonoque apresenta cinco vértices é o GHIJK.
 b Û, V̂, Ŵ, X̂ , Ŷ, Ẑ .
 c) AB, BC, CD e DA. 
 d) Existem várias possibilidades, como: CDAB, GHIJK, 
UVWXYZ.
Uma classifcação dos polígonos (página 360)
1. b) Nome POTE
Vértices P, O, T e E
Ângulos P̂ , Ô, T̂ e Ê
Lados PO, OT, T E e E P. 
 c) Nome HIJKFG
Vértices H, I, J, K, F e G
Ângulos Ĥ, Î , Ĵ , K̂, F̂ e Ĝ
Lados HI, I J, JK, KF, FG e GH 
2. 
Polígono
Número de 
vértices
Número de 
ângulos
Número 
de lados
CBA 3 3 3
POTE 4 4 4
HIJKFG 6 6 6
 a)
 b) 
 c) 
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Ensino Fundamental
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3. Sim, em todo polígono, os números de vértices, ân-
gulos e lados são iguais.
Exercício 2 (página 363)
1. a) O polígono tem 14 lados.
 b) Dependendo do tempo e dos recursos disponíveis, 
você pode pedir aos alunos que façam uma busca 
na internet para tentar descobrir o nome que se dá 
a um polígono de 14 lados (eventualmente, você 
poderá deixar como tarefa de casa). Uma pesquisa 
em um site de buscas da expressão “polígono de 
14 lados” já será suficiente.
Trata-se de um tetradecágono. O prefixos gre-
gos tetra e deca significam, respectivamente, 
4 e 10. Por isso, tetradeca é usado para repre-
sentar 14.
2. Existem várias possíveis respostas. Um exemplo é 
dado a seguir.
Quadrilátero URSOHeptágono ABCDEFG
A G
F
U R
S
O
E
D
C
B
3. a) Cada ângulo do pentágono ABRIL mede 108° 
(540° : 5).
 b) Pela figura (pentágono JUNHO), os ângulos Ĵ e 
Ĥ medem 150°, e os ângulos Û e N̂ medem 90°. 
A soma de suas medidas é: 
90° 1 90° 1 150° 1 150° 5 480°. Portanto, o 
ângulo R̂ mede 540° 2 480° 5 60°.
Professor: se considerar necessário, utilize o geopla-
no para montar outros pentágonos cujos lados tenham 
medidas iguais, variando as medidas dos ângulos.
Outra classifcação: polígonos convexos e 
polígonos não convexos (página 364)
1. Espera-se que os alunos coloquem os desenhos de 
Laura e de Rafael em um grupo e os desenhos de 
Gustavo e Bruna em outro. Para justificar a separa-
ção das figuras, há várias respostas possíveis, que o 
professor deve verificar se são coerentes. Uma delas 
é a divisão entre polígonos convexos e polígonos 
não convexos, conforme será feito mais adiante 
no material (neste caso, os alunos não usariam os 
termos “convexo” e “não convexo” para descrever 
essa característica).
2. Os polígonos desenhados por Laura e Rafael são 
convexos, e os desenhados por Gustavo e Bruna são 
não convexos.
 a) Sim, todos os segmentos traçados no desenho de 
Laura estão inteiramente dentro do hexágono.
 b) Não, nem todos os segmentos traçados no desenho 
de Gustavo estão inteiramente dentro do hexágono.
 c) Não, não é possível ligar com linha reta dois pon-
tos quaisquer do hexágono de Laura de modo que 
o segmento obtido não esteja inteiramente dentro 
do hexágono.
 d) O polígono convexo é o de Rafael.
Exercício 3 (página 366)
1. São convexos os polígonos dos itens b e d; são não 
convexos os polígonos dos itens a e c.
2. Existem diferentes possibilidades de respostas. A se-
guir, mostramos uma dessas possibilidades.
Hexágono ABCDEF 
Pentágono GHIJK 
A
G
B
H
C
I
D
J
K
E
F
Teste (página 367)
1. Alternativa D. Por se tratar de um polígono não conve-
xo, alguns alunos podem encontrar dificuldade para 
contar os números de lados e vértices. Por exemplo, 
os alunos que escolherem a alternativa c podem ter 
contado apenas as 7 pontas da estrela, esquecendo-se 
dos demais vértices. Neste caso, vale a pena comen-
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tar sobre a propriedade básica dos polígonos que 
será vista na segunda aula do Módulo: em qualquer 
polígono, os números de lados e vértices são iguais. 
Assim, seria impossível que o polígono apresentasse 
14 lados e apenas 7 vértices.
2. Alternativa D. A partir da informação do enunciado, 
podemos concluir que cada ângulo obtido ao tra-
çarmos a diagonal de um quadrado mede 45°, como 
indicado na figura à esquerda. 
A figura à direita mostra que o ângulo indicado no enun-
ciado é formado pela justaposição de um ângulo de 
medida 45° com um ângulo reto. Dessa forma, a medida 
representada por ? é igual a 45° 1 90°, ou seja, 135°.
45º
45º
45º
3. Alternativa C. Para responder à questão, o aluno pre-
cisa identificar o polígono com forma de “L” como o 
elemento básico que compõe o mosaico. Tal polígono 
possui 6 lados (hexágono) e é não convexo.
Os alunos que escolherem a alternativa a talvez te-
nham observado a união de dois desses polígonos, 
que acaba formando um retângulo.
desafo (página 366)
Temos as seguintes possibilidades:
 a) 
 b) 
Em casa (página 368)
1. a) Pode-se nomear este polígono como BRASIL.
 b) Ele possui 6 vértices.
 c) Ele tem 6 lados: BR, RA, AS, SI, IL e L B.
 d) Há três possibilidades: ( BR e S I ) ou (R A e IL ) 
ou (LB e AS ).
 e) Há duas possibilidades: (BR e RA ) ou ( SI e IL ).
2. a) Poderia ser usado o polígono 1.
 b) Um possível recobrimento:
3. a) Não representam polígonos: 2, 4, 5.
 b) São octógonos: 1, 6.
 c) É polígono de cinco vértices: 3.
 d) Polígonos que apresentam pelo menos um ângulo 
reto: 3, 7.
4. Cada ângulo mede 135° (1 080° : 8).
5. Em torno de cada vértice de um hexágono, há três 
ângulos, completando uma volta (360°). Assim, cada 
ângulo do hexágono medirá 360° : 3 5 120°.
6. a) O polígono vermelho tem 3 lados, e o polígono 
branco tem 12 lados.
 b) O polígono vermelho é convexo, e o polígono 
branco é não convexo.
 c) A primeira bandeira é do estado de Minas Gerais, 
e a segunda é da Suíça.
7. Existem diferentes possíveis respostas. Segue um 
exemplo:
 a) 
Quadrilátero ABCD
B
A D
C
Lados paralelos: 
AD e BC .
 b) 
Hexágono EFGHIJ
J
E F
G
H
I
Ângulos retos: 
Ê, F̂, Ĝ, Î , Ĵ .
8. Verifique as anotações no glossário. Você também po-
derá escolher algumas delas e compartilhá-las com a 
classe, para que todos possam corrigir ou acrescentar 
algo que considerarem importante.
834
Ensino Fundamental
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AULAS 50 a 52
Objetivos 
•	 Identificar e aplicar algumas propriedades não estruturais da adição e da subtração.
•	 Retomar estratégias de cálculo mental da adição e da subtração.
•	 Realizar estimativas.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
50
Retorno das tarefas 6 a 8 do Módulo 18
Relações entre a adição e a subtração
Exercício 1
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
51
Retorno das tarefas 1 e 2
Uma propriedade da adição
Uma propriedade da subtração
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
52
Retorno das tarefas 3 a 5
Estimativas e estratégias de cálculo mental
Exercício 2
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 6 a 10 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 19
Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos estabeleçam relações entre adição e subtração, apliquem ade-
quadamente algumas propriedades e realizem cálculo mental e estimativas.
Estratégias e orientações 
O foco deste Módulo é o conceito de operação inversa (a subtração é a operação inversa da adição) 2 
ideias intuitivas já trabalhadas nos anos iniciais do Ensino Fundamental –, bem como a exploração de algumas 
19. AdiçãO E SUBTrAçãO: PrOPriEdAdES 
E rELAçÕES
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propriedades da adição e da subtração (transformações 
que podem ser feitas nos termos da operação sem que 
o resultado se altere).
Destacamos o caso em que o termo desconhecido na 
subtração é o subtraendo, pois nessa ocorrência precisa-
mos realizar duas operações. Por exemplo, seja a subtra-
ção: 45 2 ? 5 23. Aplicando a operação inversa, temos: 
23 1 ? 5 45. Essa adição permite calcular a parcela des-
conhecida, isto é: 45 2 23 5 22. Nomomento da explica-
ção dessas situações, chame atenção para o fato de que, 
aplicando a operação inversa diretamente, obteríamos no 
subtraendo um número maior que o do minuendo, o que 
não é possível no campo dos números naturais.
respostas e comentários 
Atividade de construção de conceitos
relações entre a adição e a subtração (página 370)
Dê um tempo para que os alunos resolvam as si-
tuações propostas. O trabalho em duplas é uma boa 
estratégia, pois, assim, possibilitará a troca de ideias. No 
momento da correção, analise os raciocínios utilizados 
e, principalmente, a pertinência ou não de verificar o 
número obtido como resposta.
1. Esse primeiro item poderá ser feito mentalmente. O 
importante é que os alunos comecem a perceber a 
necessidade de fazer uma subtração. Mesmo que eles 
pensem “quanto falta a 10 para chegar em 35”, eles 
estarão usando a ideia de completar da subtração. 
Ao longo do Ensino Fundamental I, os alunos traba-
lham com as três ideias da subtração: subtrair (tirar, 
diminuir, ...), completar (quanto falta) e comparar 
(quantos a mais, quantos a menos, a diferença entre).
2. Este item já é mais difícil de ser feito mentalmente. 
O esperado é que os alunos façam a subtração: 
113 2 57 5 56.
3. Espera-se que os alunos façam a adição: 27 1 18 5 45.
4. Essa situação exige dos alunos que pensem na opera-
ção a ser realizada, pois, se fizerem a adição, obterão 
um número maior que o minuendo. Caso façam por 
cálculo mental, discuta com eles que operação pre-
cisariam fazer para chegar ao número 22 (ou seja, é 
necessária a operação: 45 2 23 5 22).
5. Esse item tem como objetivo sintetizar os três casos 
explorados.
•	 Como calcular a parcela desconhecida de uma adi-
ção: faz-se uma subtração, ou seja, 51 2 32 5 19. 
Aqui se usa a operação inversa.
•	 Como calcular o minuendo desconhecido de uma 
subtração: faz-se uma adição, ou seja, 27 1 39 5 66. 
•	 Como calcular o subtraendo desconhecido de 
uma subtração: faz-se uma subtração, ou seja, 
80 2 37 5 43.
Exercício 1 (página 372)
O objetivo dos exercícios 1 e 2 é explorar os nomes 
dos termos da adição e da subtração, respectivamente, 
uma vez que basta efetuar as operações indicadas. Nos 
demais, os alunos usarão as noções de operação inversa.
1) 219 1 326 5 545. A soma é 545.
2) 426 2 297 5 129. O resto é 129.
3) 309 2 198 5 111. O subtraendo é 111.
4) 936 1 137 5 1 073. O minuendo é 1 073.
5) Os alunos deverão somar os valores conhecidos e 
subtrair a soma obtida de 155. Assim:
48 1 32 5 80
155 2 80 5 75
Logo, a mãe de Marcela pagou R$ 75,00 pela lava-
gem das três calças.
Uma propriedade da adição (página 372)
Neste tópico, os alunos vão explorar o que acontece 
com a soma de uma adição quando realizamos transfor-
mações em seus termos. 
Eles deverão registrar na tabela cada uma das situações 
propostas, usando os dados iniciais: 18 e 15. Se julgar 
necessário, chame a atenção para esse fato e exemplifi-
que transcrevendo a operação na lousa.
Situação Caio Pedro Total
Referência 18 15 18 1 15 5 33
a 18 1 5 5 23 15 38
b 18 15 1 7 5 22 40
c 18 2 5 5 13 15 1 5 5 20 33
d 18 2 3 5 15 15 2 3 5 12 27
e 18 1 4 5 22 15 1 4 5 19 41
f 18 2 3 5 15 15 1 3 5 18 33
1. Neste item, os alunos deverão perceber que a soma 
não se altera quando a mesma quantidade que é 
acrescentada a uma parcela é subtraída da outra, e 
vice-versa.
 a) Os dois tinham 33 carros.
 b) O total permaneceu 33 nas situações c e f. No 
caso da c, subtraíram-se 5 carros da quantidade 
de Caio, mas somaram-se 5 à de Pedro; no caso 
f, Caio ganhou 3 e Pedro deu 3.
836
Ensino Fundamental
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2. Oriente os alunos para que, em cada item, façam as 
transformações indicadas nos termos das operações. 
 a) Se somarmos 7 às duas parcelas, a soma ficará 
acrescida de 14 unidades.
 b) Se subtrairmos 7 das duas parcelas, a soma ficará 
diminuída em 14 unidades.
 c) Se subtrairmos 7 da primeira parcela e somarmos 7 
à segunda parcela, a soma permanecerá a mesma.
 d) Se somarmos 10 à primeira parcela deveremos 
subtrair 10 da segunda para que a soma perma-
neça 52.
 e) Se subtrairmos 10 da primeira parcela, precisare-
mos somar 10 à segunda parcela para que a soma 
permaneça a mesma.
3. Para que uma soma não se altere, qualquer número 
somado a uma das parcelas deve ser subtraído da 
outra parcela. Os exemplos são pessoais.
Uma propriedade da subtração (página 374)
Os alunos vão completar a tabela com base nas 
transformações a serem feitas nos termos da subtração, 
conforme os comandos propostos. Em cada item, deve 
ser considerada a situação inicial: 35 para Mateus e 10 
para Rafael.
1. Se necessário, enfatize esse fato para os alunos e 
exemplifique preenchendo uma linha da tabela com 
a operação adequada.
Situação Caio Pedro Total
Referência 35 10 35 2 10 5 25
a 35 1 13 5 48 10 48 2 10 5 38
b 35 10 1 9 5 19 35 2 19 5 16
c 35 10 2 9 5 1 35 2 1 5 34
d 35 1 15 5 50 10 1 15 5 25 50 2 25 5 25
e 35 2 9 5 26 10 1 9 5 19 26 2 19 5 7
f 35 1 5 5 40 10 2 5 5 5 40 2 5 5 35
g 35 2 3 5 32 10 2 3 5 7 32 2 7 5 25
h 35 1 7 5 42 10 1 3 5 13 42 2 13 5 29
2. a) A diferença é 25, ou seja, 35 2 10 5 25.
 b) Essa diferença permaneceu nos itens d e g. No 
caso do item d, ambos ganharam a mesma quan-
tidade de game cards; no item g, ambos perderam 
a mesma quantidade. 
3. a) Se somarmos 5 ao minuendo, a diferença aumen-
tará 5 unidades.
 b) Se somarmos 5 ao subtraendo, a diferença dimi-
nuirá 5 unidades.
 c) Se subtrairmos 5 dos dois termos, a diferença per-
manecerá a mesma.
 d) Se somarmos 5 ao minuendo e subtrairmos 5 do 
subtraendo, a diferença aumentará 10 unidades.
 e) Se somarmos 5 aos dois termos, a diferença per-
manecerá a mesma.
4. Se somarmos (ou subtrairmos) um mesmo número 
ao minuendo e ao subtraendo de uma subtração, 
a diferença permanecerá a mesma. Os exemplos 
são pessoais.
Estimativas e estratégias de cálculo mental 
(página 376)
1. Os alunos deverão preencher os campos de cada 
quadro com os números que satisfaçam às operações 
indicadas; em seguida, deverão observar as regulari-
dades em cada quadro. 
37 2 17 5 20
38 2 17 5 21
39 2 17 5 22
40 2 17 5 23
41 2 17 5 24
42 2 17 5 25
295 1 15 5 310
295 1 20 5 315
295 1 25 5 320
295 1 30 5 325
295 1 35 5 330
295 1 40 5 335
24 1 18 5 22 1 20
275 1 35 5 280 1 30
375 1 225 5 400 1 200
97 1 312 5 100 1 309
319 1 15 5 324 1 10
405 1 395 5 400 1 400
Quadro A Quadro B Quadro C
Regularidades existentes:
Quadro A: O resto ou diferença aumenta em uma 
unidade a cada unidade acrescentada no minuendo. 
Quadro B: A soma ou total aumenta em cinco unida-
des quando a segunda parcela da adição é aumentada 
em cinco unidades.
Quadro C: Quando o mesmo número é subtraído de 
uma das parcelas da adição e acrescentado à outra, 
a soma ou total não se altera. Nesse caso, as duas 
adições são equivalentes.
2. Estratégias pessoais. Algumas possibilidades:
 a) 58 1 172 5 60 1 170 5 230 
 b) 132 2 56 5 136 2 56 2 4 5 80 2 4 5 76 
 c) 819 1 673 5 820 1 672 5 800 1 600 1 20 1 72 5 
5 1 400 1 92 5 1 492
 d) 500 – 125 5 500 2 100 2 25 5 400 2 25 5 375
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 e) 614 1 236 5 610 1 240 5 600 1 200 1 10 1 40 5 
5 800 1 50 5 850
 f) 527 2 149 5 549 2 149 2 22 5 400 2 22 5 
5 400 2 20 2 2 5 378
3. a) 600, pois é mais próximo do resultado 637.
 b) 800, pois é mais próximo do resultado 803.
 c) 315, pois é mais próximo do resultado 314.
 d) 100 ou 110, pois ambos são igualmente próximos 
de 105.
Exercício 2 (página 377)
No item 1, discuta com os alunos esse tipo de situação, 
bastante frequente no comércio, ou seja, pagar contas 
com valores não exatos e o caixa do estabelecimento 
solicitar (ou o próprio cliente dar) determinada quantia 
a mais para facilitar o troco. Por exemplo, ao pagar uma 
conta de R$ 27,50 com três notas de R$ 10,00, se o cliente 
derR$ 2,50 a mais, facilitará o troco, pois essa quantia 
será somada à que o caixa terá de devolver-lhe e, assim, 
ele receberá de troco R$ 5,00.
1. Sílvia deu 300 1 1,50 5 301,50
 a) O par de tênis custou R$ 296,50, visto que ela 
recebeu R$ 5,00 de troco. 
 b) O troco teria sido de R$ 3,50.
 c) Sim, pois 300,00 2 3,50 5 296,50
2. Dê um tempo para que os alunos criem suas estra-
tégias; se necessário, você poderá ajudá-los com 
algumas dicas. Por exemplo: subtrair primeiro a 
diferença entre os pontos e, depois, dividir o resul-
tado por 2.
83 2 27 5 56 (Total de pontos a ser dividido igualmente.)
56 : 2 5 28 (Esta é a parte igual aos dois times.)
28 1 27 5 55 (Total de pontos do time de Marcos.)
O time de Marcos fez 55 pontos, e o time adversá-
rio, 28.
3. 127 2 1 5 126 (Esta é a parte a ser dividida igualmente.)
126 : 2 5 63 (Este será o número menor.)
63 1 1 5 64 (Este é o consecutivo de 63.)
Os números são 63 e 64.
4. Se necessário, retome com os alunos o que são nú-
meros consecutivos pares.
94 2 2 5 92 (Agora são retiradas 2 unidades, porque 
são números pares.)
92 : 2 5 46 (Este é o número menor.)
46 1 2 5 48 (Este é o consecutivo par de 46).
Os números são 46 e 48.
Teste (página 378)
1. Alternativa C. Sugira aos alunos que analisem cada 
uma das alternativas. Se necessário, eles poderão 
partir de um exemplo numérico.
2. Alternativa D. Os alunos precisarão analisar cada 
uma das adições para verificar em qual delas houve 
a compensação, ou seja, somou-se e subtraiu-se a 
mesma quantidade das duas parcelas.
3. Alternativa B. Provavelmente os alunos irão reali-
zar os cálculos em cada igualdade. No momento 
da correção discuta com eles que poderiam ter 
utilizado as propriedades estudadas para a adição 
e a subtração. 
Em casa (página 379)
1. O subtraendo é 40.
2. 
345
181 164
90 91 73
45 45 46 27
3. A diferença aumentará em 22 unidades.
4. A diferença permanecerá a mesma.
5. Os exemplos são pessoais. Socialize-os no momento 
da correção.
 a) É sempre 1. Exemplo: 15 2 14 5 1.
 b) É sempre um número par. Exemplo: 8 2 2 5 6.
 c) É sempre um número par. Exemplo: 9 2 3 5 6.
 d) É sempre um número ímpar. Exemplo: 9 2 4 5 5.
6. A soma também dobrará.
7. A soma aumentará 20 unidades.
8. A diferença é 513 (720 2 207 5 513).
9. A diferença é 885 (987 2 102 5 885).
10. Verifique as anotações no glossário. Socialize com a 
turma os registros e os exemplos anotados.
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Ensino Fundamental
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AULAS 53 e 54
Objetivos 
•	 Realizar adições e subtrações com números decimais.
•	 Resolver situações-problema envolvendo adição e subtração de números decimais.
•	 Criar estratégias de cálculo mental para adição e subtração com números decimais.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
53
Retorno das tarefas 6 a 10 do Módulo 19
Algoritmo da adição e da subtração com números 
decimais
Exercício (itens 1 a 3)
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
54
Retorno das tarefas 1 e 2
Exercício (itens 4 a 10)
Teste (item 2)
Desafio
Orientações para as tarefas 3 e 4 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 20 a 25
Noções básicas
Espera-se que ao final deste Módulo os alunos sejam capazes de:
•	 realizar adições e subtrações com números decimais.
•	 dominar o algoritmo da adição e da subtração de números decimais.
•	 realizar cálculo mental com estratégias próprias.
Estratégias e orientações 
Geralmente os alunos chegam ao 6º- ano já conhecendo o algoritmo da adição e da subtração com números 
decimais (no Sistema de Ensino, esse conteúdo é trabalhado no 5º- ano). Portanto, acreditamos que este Mó-
dulo retomará conteúdos já estudados. Ao explorar os exemplos do Caderno, você poderá verificar se ainda 
existem dúvidas.
20. AdiçãO E SUBTrAçãO dE NÚMErOS dECiMAiS
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Atividade de construção de conceitos
Algoritmo da adição e da subtração com 
números decimais (página 380)
Leia o texto com os alunos e complemente com in-
formações que você julgar necessárias. 
No caso da subtração, os alunos do Sistema apren-
deram dois algoritmos: o que utiliza as decomposições 
do sistema de numeração decimal e o da compensação. 
Exemplo: seja a subtração 574 2 178.
Nesse caso, as dezenas foram decom-
postas em 10 unidades, que, somadas com 
as 4 já existentes, resultaram em 14 unida-
des; as centenas foram decompostas em 10 
dezenas, que, somadas com as 6 existentes, 
totalizam 16 dezenas. Em momento algum 
utilizamos com os alunos a expressão “em-
presta”, visto que não se trata de emprés-
timo, mas de outra representação do nú-
mero dado (4 centenas 1 16 dezenas 1 
1 14 unidades 5 400 1 160 1 14 5 574). 
Esse é o algoritmo da compensação 
que consiste em somar 10 ao minuendo 
e ao subtraendo. Inicialmente somam-se 
10 unidades ao 4 do minuendo e 1 de-
zena (10 unidades) ao 7 do subtraendo; 
em seguida, somam-se 10 dezenas ao 7 
do minuendo e 1 centena (10 dezenas) 
ao 1 do subtraendo.
respostas e comentários 
Exercício 1 (página 381)
1. a) 7,56
 b) 37,4
 c) 52,109
d) 18,83
e) 10,657
f ) 9,202
2. a) 4,53
 b) 70,3
 c) 0,099
d) 16,87
e) 2,35
f ) 20,998
3. a) 98,4 2 96,1 5 2,3
 b) Faixa de 0 a 3 anos: 23,2 2 13,4 5 9,8
Faixa de 4 a 5 anos: 81,4 2 61,5 5 19,9
Faixa de 6 a 14 anos: 98,4 2 96,1 5 2,3
Faixa de 15 a 17 anos: 84,3 2 81,8 5 2,5
 c) O maior aumento ocorreu na faixa de 4 a 5 anos.
4. O valor que falta nas anotações é R$ 62,20. 
4 16 14
5 7 4
2 1 7 8
3 9 6
17 14
5 7 4
2 1 7 8
3 9 6
2 8
5. No momento da correção, socialize algumas estraté-
gias utilizadas pelos alunos. É importante exigir que 
eles registrem como raciocinaram.
 a) 19,85. Uma estratégia possível é somar as ordens 
inteiras e as ordens decimais. No caso, 8,100 pode 
ser considerado 8,10. Assim: 11 1 8 5 19 e 75 cen-
tésimos 1 10 centésimos é igual a 85 centésimos.
 b) 2,19. Aqui também basta somar as ordens decimais: 
10 centésimos 1 9 centésimos.
 c) 21,914. Aqui também basta somar as ordens deci-
mais, transformando 21 centésimos em 210 milé-
simos. Assim, 210 milésimos 1 704 milésimos 5 
5 914 milésimos.
 d) 3,65. Uma estratégia possível é subtrair 8 de 11 e 
10 centésimos de 75 centésimos.
 e) 2,07. Uma estratégia possível é subtrair 9 centési-
mos de 16 centésimos.
 f) 3,4. Uma estratégia possível é arredondar 0,7 
para 1. Assim, 4,1 2 1 5 3,1. Em seguida, acres-
centar 0,3 que foram adicionados a 0,7.
6. A segunda parcela é de 7,25.
7. O minuendo é 10,377.
8. a) 0,774
 b) 7,636
 c) 7,5
d) 5,03
e) 11,7
f) 3,575
9. Chame a atenção dos alunos para o fato de que 
na estimativa não é necessário chegar ao resultado 
exato, mas ao mais próximo possível. No momento 
da correção, discuta oralmente com eles sobre como 
chegaram ou poderiam chegar à resposta.
 a) 6,5
 b) 8
c) 8,87
d) 0,38
10. 
35 2 0,1 5 34,9
36 2 0,1 5 35,9
37 2 0,1 5 36,9
38 2 0,1 5 37,9
39 2 0,1 5 38,9
40 2 0,1 5 39,9
29,5 1 1,5 5 31
29,5 1 2 5 31,5
29,5 1 2,5 5 32
29,5 1 3 5 32,5
29,5 1 3,5 5 33
29,5 1 4,0 5 33,5
24,2 1 1,8 5 24 1 2,0
27,5 1 3,5 5 28 1 3,0
3,75 1 2,25 5 4,0 1 2,0
0,9 1 0,312 5 1,0 1 0,212
3,19 1 0,15 5 3,20 1 0,14
4,05 1 3,95 5 4,0 1 4,0
Quadro A Quadro B Quadro C
Regularidades existentes:
Quadro A: Como no minuendo aumentou 1 unidade 
e o subtraendo é constante, então aumenta também 1 
unidade no resto ou diferença.
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Ensino Fundamental
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Quadro B: O minuendo é constante e o subtraendo 
vai sendo acrescido de 0,5, então, a soma também vai 
sendo acrescida de 0,5.
Quadro C: Em todas as linhas do quadro, houve a 
aplicação da mesma propriedade da adição: se uma das 
parcelas é alterada, então faz-se a alteração inversa na 
outra parcela. Por exemplo, na primeira linha, acrescen-
tou-se 0,2 à segunda parcela, portanto,subtraiu-se 0,2 
na primeira (ou vice-versa). 
Teste (página 384)
1. Alternativa D. Os alunos deverão analisar cada uma 
das alternativas.
•	 Alternativa a é falsa, pois em 2011 houve aumento, 
o mesmo acontecendo em 2013, 2014 e 2015.
•	 A alternativa b é falsa, pois esse aumento de 0,01% 
não é constante.
•	 A alternativa c é falsa, pois não só em 2011 houve 
aumento da população.
2. Alternativa B. Neste teste os alunos terão que tra-
balhar com a escrita simplificada de números com 
muitas ordens. Para isso, precisarão fazer os arredon-
damentos corretos.
•	 A alternativa a é falsa, pois o arredondamento e a 
escrita simplificada de 6 155 012 014 é 6,2 bilhões.
•	 A alternativa c é falsa, pois o arredondamento e a 
escrita simplificada de 6 699 876 576 é 6,7 bilhões.
•	 A alternativa d é falsa, pois o arredondamento e a 
escrita simplificada de 7 263 339 729 é 7,3 bilhões.
desafo (página 384)
O processo de geração dessas sequências é o mesmo 
da sequência de Fibonacci (que começa com 0 e 1). As 
sequências geradas desta forma, mas que começam com 
outros números são por vezes conhecidas por “Núme-
ros de Lucas”, em homenagem ao matemático francês 
Édouard Lucas, que os estudou.
A relação existente é que a soma dos dez primeiros 
números de sequências como essas é onze vezes maior 
que o sétimo número. 
•	 Na primeira sequência, o sétimo número é 50, e a 
soma dos dez primeiros é 550 2 ou seja, onze vezes 
maior que o sétimo número.
•	 Na segunda sequência, o sétimo número é 13, e a 
soma dos dez primeiros é 143 2 ou seja, onze vezes 
maior que o sétimo número.
Incentive os alunos a criarem outras sequências 
como essas.
Caso você queira conhecer a validação dessa relação, 
basta utilizar a álgebra. Seja a sequência começando 
por x e y:
x ; y ; x 1 y ; x 1 2y ; 2x 1 3y ; 3x 1 5y ; 5x 1 8y ; 
8x 1 13y ; 13x 1 21y ; 21x 1 34 y 
A soma desses dez números é: 55x 1 88y, que é onze 
vezes o sétimo termo, ou seja: 55x 1 88y 5 11 ? (5x 1 8y).
Evidentemente, essa explicação algébrica não será 
dada aos alunos. O objetivo do desafio é despertar neles 
a percepção de relações entre números numa sequência.
Em casa (página 385)
1. a) 43,35
 b) 3,732
 c) 53,06
 d) 2,15
 e) 4,35
f) 36,25
g) 16,2
h) 0,067
i) 67,5
2. a) 3,9 b) 49,27
3. 
41,48
10,37 31,11
6,2 4,17 26,94
3,3 2,9 1,27 25,67
1,3 2 0,9 0,37 25,3
110,993
35,918
10,318
9,013
7,723 1,29 0,015 24,28 0,9
1,305 24,295 25,18
25,6 49,475
75,075
4. No momento da correção relembre a turma que esse 
é um gráfico de barras. 
 a) 78,6 2 15,6 5 63
 b) Juntas elas têm o percentual de 43,1 (15,6 1 27,5 5 
5 43,1), que é bem próximo ao do Oriente Médio 
40,2, mas não o mesmo.
 c) Os alunos deverão calcular 44% de 7,3 bilhões. 
No momento da correção, socialize as estratégias 
que utilizaram.
A estratégia aqui apresentada parte da escrita desse 
dado com todas as suas ordens: 7 300 000 000.
Calculando 10% de 7 300 000 000 tem-se: 730 000 000
Logo, 40% seriam: 4 3 730 000 000 5 2 920 000 000
4% é a décima parte desse valor: 292 000 000 
Somando-se 40% e 4% tem-se: 2 920 000 000 1 
1 292 000 000 5 3 212 000 000.
Logo, 44% correspondem a 3,212 bilhões de pessoas.
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AULAS 55 a 58
Objetivos 
•	 Explorar os diferentes significados da multiplicação e da divisão.
•	 Relacionar a multiplicação e a divisão.
•	 Explorar a propriedade da compensação da multiplicação.
•	 Compreender e dominar o algoritmo da multiplicação de decimais.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
55
Retorno das tarefas 3 e 4 do Módulo 20
A multiplicação
A divisão
Relações entre a multiplicação e a divisão
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
56
Correção das tarefas 1 e 2
Exercício 1
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 6 (Em casa)
57
Retorno das tarefas 3 a 6
Uma propriedade da multiplicação
Multiplicação de decimais: o procedimento da compen-
sação
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 7 a 10 (Em casa)
58
Retorno das tarefas 7 a 10
Exercício 2
Multiplicação de decimais: descobrindo uma regra
Exercício 3
Teste (item 4)
Orientações para as tarefas 11 a 13 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 26 a 29
Material
Calculadora (uma por aluno).
21. MULTiPLiCAçãO dE NÚMErOS dECiMAiS
842 Ensino Fundamental
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Noções básicas
Espera-se que ao final deste Módulo os alunos sejam 
capazes de:
•	 relacionar a multiplicação e a divisão de números 
decimais.
•	 reconhecer as propriedades dessas operações.
•	 dominar o algoritmo da multiplicação e da divisão 
com números decimais.
Estratégias e orientações 
O Módulo começa com uma retomada das ideias da 
multiplicação e da divisão. Vale destacar que os alunos do 
Sistema de Ensino vêm explorando as quatro operações 
desde o 2º- ano, incluindo sistematizações.
A multiplicação (página 387)
Sugerimos que você faça uma leitura coletiva e com-
partilhada do texto deste tópico, com as intervenções 
que julgar necessárias. Trata-se de uma síntese dos co-
nhecimentos prévios dos alunos. A única ideia explorada 
anteriormente, de forma mais intuitiva, foi a relativa ao 
contexto multiplicativo (“tantas vezes”).
Quanto à nomenclatura dos termos da multiplicação, 
apresentamos apenas a mais usual: fatores e produto. 
Os termos multiplicando (número que vai se repetir 
tantas vezes quantas forem as unidades do multiplicador) 
e multiplicador (número que indica quantas vezes o 
multiplicando se repetirá como parcela), embora utiliza-
dos por alguns autores, só são válidos quando se trata 
de números naturais. Dessa forma, optamos por não 
trabalhar com essa terminologia.
É interessante enfatizar que, embora o resultado de 
3 × 12 seja o mesmo de 12 × 3, os significados são dife-
rentes. Enquanto em 3 × 12 a parcela 12 é que se repete 
3 vezes, em 12 × 3 a parcela 3 é que se repete 12 vezes.
No caso da multiplicação de números decimais, a regra 
é a última a ser apresentada. Sabemos que, após aprendê-
-la, os alunos a usarão mecanicamente. No entanto, o ob-
jetivo é que eles a compreendam. Por isso, são exploradas 
várias atividades que possibilitam a construção gradual 
dessa regra. É fundamental que, na síntese 5 (página 397), 
você retome todas as sínteses anteriores, evidenciando aos 
alunos que elas foram necessárias para chegar à regra. 
A divisão (página 388)
Discuta com os alunos os nomes dos termos da divi-
são, os tipos de divisão 2 exata e não exata 2 e as formas 
de representação, destacando que, no caso da divisão 
não exata, é imprescindível o uso da chave.
Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, os alunos 
do Sistema de Ensino conheceram e trabalharam com os 
três algoritmos da divisão: o processo por estimativas, o 
processo longo e o processo breve.
•	 Processo por estimativas 2 também conhecido 
como processo das subtrações sucessivas. Nele os 
alunos usam, necessariamente, a ideia de medida: 
quantas vezes o divisor cabe no dividendo. Podem ser 
distribuições quaisquer, e o processo continua até que 
não seja mais possível prosseguir com as distribuições. 
Exemplo: 285 : 25.
285 25
2250 101
35 1
2 25 11
10
Repertório:
10 3 25 5 250
1 3 25 5 25
No exemplo dado acima, foram distribuídos 10 grupos 
de 25; na segunda distribuição, foi 1 grupo de 25. Soman-
do as duas distribuições, obtém-se o total 11. Os alunos 
podem distribuir quantos grupos quiserem; o importante 
é que, ao final, a soma seja a mesma. 
Você pode conversar com seus colegas dos anos 
iniciais para que descrevam como foi o trabalho com 
esse algoritmo.
•	 Processo longo 2 nesse algoritmo, as subtrações 
são indicadas.
285 25
225 11
35
2 25
10
•	 Processo breve 2 nesse algoritmo, as subtrações não 
são indicadas. 
285 25
35 11
10
Após conhecer os três algoritmos, os alunos podem 
escolher o que acharemmais conveniente para realizar 
as divisões.
respostas e comentários 
Atividade de construção de conceitos
relações entre a multiplicação e a divisão 
(página 389)
Tal como trabalhamos com a adição e a subtração, 
neste tópico também serão exploradas as relações entre 
a multiplicação e a divisão. Sugere-se que os alunos 
trabalhem em duplas para a troca de ideias.
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1. Espera-se que os alunos respondam que se deve fazer 
uma divisão, ou seja, 180 : 15 5 12.
2. Espera-se que os alunos respondam que se deve fazer 
uma multiplicação, ou seja, 12 × 13 5 156.
3. Espera-se que os alunos respondam que deverão 
multiplicar o quociente pelo divisor: 13 × 12 5 156.
Depois, somar o resto: 156 1 7 5 163.
4. Esse é o caso em que será aplicada a ideia da divisão 
como operação inversa da multiplicação:
144 : ? 5 18, em que 18 × ? 5 144. 
Como o elemento desconhecido passa a ser um dos 
fatores, faz-se a divisão 144 : 18 5 8. Assim, ao final, 
os alunos deverão constatar que, nesse caso, basta 
dividir o dividendo pelo quociente.
5. Neste item os alunos farão uma síntese dos quatro 
casos anteriores.
•	 Como calcular o fator desconhecido de uma 
multiplicação:
Operação dada Operação a ser realizada
32 3 ? 5 416 416 : 32 5 13
•	 Como calcular o dividendo desconhecido de uma 
divisão exata:
Operação dada Operação a ser realizada
 ? : 15 5 13 13 3 15 5 199
•	 Como calcular o divisor desconhecido de uma 
divisão exata:
Operação dada Operação a ser realizada
240 : ? 5 16 240 : 16 5 15
•	 Como calcular o dividendo de uma divisão não exata:
Operação dada Operação a ser realizada
 ? 14
07 21
21 3 14 5 294
294 1 7 5 301
Exercício 1 (página 390)
1. O produto é 1 225.
25 3 49 5 1 225
2. O outro fator é 13. 
? 3 67 5 871
871 : 67 5 13
3. O quociente é 27, e o resto é 11.
875 32
235 27
 11 
4. O dividendo é 420.
? : 12 5 35
12 3 35 5 420
5. O dividendo é 360.
 ? 13
 ? 27
 9 
13 3 27 1 9 5 360
6. Os restos possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
7. O dividendo é 783 (15 3 49 1 48 5 783).
8. O dividendo é 389 (25 3 15 1 14 5 389).
9. O objetivo é fazer com que os alunos percebam a uti-
lização das operações inversas, quando possível, ou 
da própria operação para resolver uma situação dada. 
Esse tipo de raciocínio é fundamental para compreen-
der os procedimentos de resolução de equações, os 
quais serão trabalhados no 7º- ano.
Na situação proposta, espera-se que os alunos con-
cluam que:
•	 na 1ª- parte do esquema (ou diagrama), Marcos 
traduziu o problema, deixando em branco os nú-
meros desconhecidos;
•	 na 2ª- parte, Marcos realizou as operações inversas da 
1ª- parte para descobrir os números desconhecidos.
10. a) O esquema para o problema é:
1 25
320
3 8
Fazendo as operações inversas, temos:
320 : 8 5 40
40 2 25 5 15
Logo, o número pensado foi 15.
 b) O esquema para o problema é:
2 12
219
3 3
Iniciamos pelo último resultado, fazendo a divisão; 
em seguida, a adição para encontrar o minuendo 
(o primeiro número do esquema).
219 : 3 5 73
73 1 12 5 85
Logo, o número pensado foi 85.
Uma propriedade da multiplicação (página 393)
O objetivo deste tópico é explorar dois fatos mate-
máticos necessários ao algoritmo da multiplicação de 
números decimais.
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Ensino Fundamental
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1. Em cada item os alunos irão efetuar as transformações 
sugeridas nos fatores da multiplicação e verificar em 
quais delas o produto se altera.
 a) 8
3 5
40
16
3 5
80
3 2
Se o fator 8 for multiplicado por 2, o produto ficará 
multiplicado por 2.
 b) 8
3 5
40
8
3 20
160
3 4
Se o fator 5 for multiplicado por 4, o produto ficará 
multiplicado por 4.
 c) 
8
3 5
40
16
3 20
320
3 4
3 2
Se o fator 8 for multiplicado por 2 e o fator 5 for 
multiplicado por 4, o produto ficará multiplicado 
por 8.
 d) 
8
3 5
40
80
3 50
4 000
3 10
3 10
Se os dois fatores forem multiplicados por 10, o 
produto ficará multiplicado por 100.
 e) 
8
3 5
40
80
3 500
40 000
3 100
3 10
Se o primeiro fator for multiplicado por 10 e o 
segundo por 100, o produto ficará multiplicado 
por 1 000.
Síntese 1: Transformações realizadas 
na multiplicação (página 393)
Esta síntese poderá ser feita individualmente, em du-
plas ou coletivamente com a classe.
Resposta-exemplo: o produto de uma multiplicação 
fica multiplicado o mesmo número de vezes em que 
se multiplica um dos fatores. Caso sejam multiplicados 
os dois fatores, o produto final ficará multiplicado pelo 
produto desses dois números. 
Professor, você poderá solicitar um exemplo nesta 
síntese, ou, para cada conclusão, relacionar o item 
correspondente.
2. Neste item, intervenha para que os alunos compreen-
dam que multiplicar, por exemplo, duas vezes con-
secutivas por 10 é o mesmo que multiplicar por 100.
 a) 3 10 3 10
3 100
1 50015 150
 b) 3 10 3 100
3 1 000
6 0006 60
 c) 3 10 3 10
3 100
500,5 5
 d) 3 10 3 100
3 1 000
1 2001,2 12
 e) 3 100 3 10
3 1 000
2500,25 25
 f) 3 100 3 100
3 10 000
1500,015 1,5
3. a) 0,35 × 10 5 3,5
0,35 × 100 5 35
Na multiplicação 0,35 × 100 foi possível transfor-
mar 0,35 em um número natural.
 b) 0,015 × 10 5 0,15
 0,015 × 100 5 1,5
 0,015 × 1 000 5 15
Na multiplicação 0,015 × 1 000 foi possível trans-
formar 0,015 em um número natural.
 c) Respostas possíveis:
•	2,5 × 10 5 25
•	0,12 × 100 5 12
•	0,05 × 100 5 5
•	0,005 × 1 000 5 5
•	0,032 × 1 000 5 32
•	3,04 × 100 5 304
Síntese 2: Transformação de um número 
decimal em natural (página 394)
É sempre possível transformar um número decimal 
em um número natural formado pelos mesmos algaris-
mos. Para isso, basta multiplicar o decimal por 10, 100, 
1 000... dependendo do número de ordens decimais que 
ele possui: 1, 2, 3...
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Multiplicação de decimais: o procedimento 
da compensação (página 395)
O uso da calculadora neste momento tem como 
objetivo agilizar os cálculos, visto que o importante é 
compreender a propriedade. 
1. a) 15 × 14 5 210
 b) 15 × 1,4 5 21,0
 c) 1,5 × 1,4 5 2,10
 d) É necessário dividir por 10.
 e) É necessário dividir por 100.
2. a) Para transformar 0,3 no número natural 3, é ne-
cessário multiplicá-lo por 10.
 b) 24 × 3 5 72
 c) 72 : 10 5 7,2 
 d) 24 × 0,3 5 7,2
Síntese 3: Procedimentos para multiplicar dois 
números decimais (página 395)
Esta síntese tem como objetivo sistematizar os procedi-
mentos utilizados para realizar a multiplicação. Leia o texto 
com os alunos e amplie as informações que julgar necessárias.
Exercício 2 (página 396)
Enquanto os alunos realizam as multiplicações, veri-
fique se eles entenderam o uso do procedimento acima.
 a) 27
 b) 3
 c) 0,448
 d) 18
 e) 2,55
 f) 0,456
Multiplicação de decimais: descobrindo uma 
regra (página 396)
O objetivo aqui é fazer com que os alunos cheguem à 
forma simplificada da multiplicação de números decimais. 
Para isso, usarão a calculadora. Espera-se que percebam 
que o número de ordens decimais do produto varia de 
acordo com o número de ordens decimais existentes nos 
fatores. No entanto, se algum deles preferir usar o algorit-
mo da compensação, respeite a sua opção. O importante 
é que escolham o processo que lhes dá mais segurança.
 a) 15 × 25 5 375 
15 × 2,5 5 37,5
15 × 0,25 5 3,75
15 × 0,025 5 0,375
 b) 9 × 135 5 1 215
9 × 13,5 5 121,5
9 × 1,35 5 12,15
9 × 0,135 5 1,215
Síntese 4: regra para multiplicação de um número 
natural por um número decimal (página 396)
Espera-se que os alunos concluam que o número de 
ordens do produto é o mesmo do fator decimal.
2. O objetivo é que os alunos percebam que, sabendo o 
produto dos dois números naturais, para os decimais 
é só considerar o número de ordens decimais.
 a) 125 3 6 5 750 b) 35 × 12 5 420
125× 0,6 5 75,0 3,5 × 12 5 42,0
125 × 0,06 5 7,50 0,35 × 12 5 4,20
125 × 0,006 5 0,750 0,035 × 12 5 0,420
3. a) 14 × 24 5 336 c) 12 × 31 5 372
1,4 × 24 5 33,6 12 × 3,1 5 37,2
14 × 2,4 5 33,6 1,2 × 31 5 37,2
1,4 × 2,4 5 3,36 1,2 × 3,1 5 3,72
 b) 6 3 25 5 150 d) 18 × 15 5 270
6 × 2,5 5 15,0 18 × 1,5 5 27,0
0,6 × 25 5 15,0 1,8 × 1,5 5 2,70
0,6 × 2,5 5 1,50 0,18 × 1,5 5 0,270
Síntese 5: regra para multiplicação de números 
decimais (página 397)
Espera-se que os alunos percebam que o número de 
ordens decimais do produto varia de acordo com o nú-
mero de ordens decimais existentes nos fatores, ou seja, 
o número de ordens do produto é a soma dos números 
de ordens dos fatores.
4. Espera-se que os alunos compreendam que contar 
o número de ordens decimais dos fatores e colocar 
idêntico número de ordens no produto é o mesmo 
que usar a propriedade da compensação. Explore 
com eles a ilustração para estabelecer as relações 
entre os dois procedimentos.
Exercício 3 (página 398)
1. a) 0,6
 b) 0,6
 c) 0,06
 d) 1,5
 e) 1,5
f) 0,15
g) 60
h) 6,0
i) 6,0
j) 0,0002
2. a) 0,5 × 0,5 5 0,25
 b) 0,2 × 0,2 × 0,2 5 0,008 
 c) 0,3 × 0,3 × 0,3 5 0,027 
 d) 1,5 × 1,5 5 2,25
 e) 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 5 0,0001
 f) 2,3 × 2,3 5 5,29
 g) 0,8 × 0,8 5 0,64
 h) 1,2 × 1,2 5 1,44
 i) 0,2 × 0,2 × 0,2 × 0,2 5 0,0016
 j) 0,5 × 0,5 × 0,5 5 0,125
846
Ensino Fundamental
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Teste (página 398)
1. Alternativa D. Oriente os alunos para resolverem as 
operações em cada item, para que, a partir do resul-
tado, analisem qual é a alternativa correta.
2. Alternativa B. Neste caso, basta os alunos realiza-
rem a multiplicação que já encontrarão a resposta: 
1 014 3 0,5 5 507
3. Alternativa C. Neste item basta os alunos acrescen-
tarem 1,6 cm a 14, resultando em 15,6, e acrescentar 
0,5 a 6,5, resultando em 7.
4. Alternativa B. Chame a atenção dos alunos para o 
fato de que eles precisam acrescentar 7 reais ao valor 
dado de 100 reais, para que o caixa possa dar o troco 
em notas de 10.
Em casa (página 399)
No momento da correção, chame a atenção para o 
uso das operações inversas.
1. a) 
1
1
1
269
132
139
401
540
186
726
 b) 
3
3
3
15
12
9
180
1 620
10
16 200
2. Os valores desconhecidos na tabela são:
Dividendo Divisor Quociente Resto
396 15 A 5 26 B 5 6
946 C 5 43 22 0
D 5 486 27 18 0
E 5 505 31 16 9
F 5 332 27 12 8
3. a) 250
 b) 3 150
 c) 5
 d) 0,15
 e) 37,5
4. a) 45
 b) 32,7
 c) 2,5
 d) 3,2
 e) 0,005
5. a) 2 500
 b) 22 000
 c) 10
 d) 15
 e) 232,7
6. a) 25
 b) 3,70
 c) 0,42
 d) 0,005
 e) 0,0025
7. Os números desconhecidos estão colocados nos 
esquemas.
 a) : 5
9475375
1 19
 b) 
2 35
2403065
3 8
8. O esquema para o problema é:
: 3
63
1 18
Fazendo as operações inversas, temos:
63 2 18 5 45
45 3 3 5 135
Logo, o número pensado foi 135.
9. Resposta pessoal. Você poderá solicitar aos alunos 
que leiam a situação-problema que criaram ou tro-
quem os cadernos entre eles, para que um possa 
conhecer e conferir o que foi criado pelo outro.
Uma situação possível: “Pensei em um número e o 
multipliquei por 8. Do resultado, subtraí 35 e obtive 
85. Em que número pensei?”.
O número pensado foi 15.
10. Registramos o erro de cada algoritmo.
 a) 216 deve ser dividido por 100:
 1,8 3 1,2 5 2,16
 b) Faltou multiplicar 0,9 por 10:
 2,5 3 0,9 5 2,25
 c) 0,04 multiplicado por 10 dá 0,4. Deveria ser mul-
tiplicado por 100:
2,75 3 0,04 5 0,1100
11. a) 0,06
 b) 0,42
 c) 0,608
d) 0,0256
e) 2,28
f) 0,0024
12. No momento da correção, socialize as estratégias 
utilizadas.
 a) 2,1
 b) 0,09
 c) 0,12
 d) 0,36
 e) 0,064
f) 2,1
g) 5
h) 2
i) 0,20 ou 0,2
j) 0,01
13. Verifique as anotações no glossário. Socialize os re-
gistros dos alunos, aproveitando para eliminar as dú-
vidas que ainda persistirem.
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AULAS 59 e 60
Objetivos 
•	 Criar estratégias para resolução de problemas.
•	 Ser capaz de explicar as estratégias criadas.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
59
Retorno das tarefas 11 a 13 do Módulo 21
Resolução e socialização dos problemas 1 e 2
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
60
Retorno das tarefas 1 e 2
Resolução e socialização dos problemas 3 a 5
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 e 4 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 30 e 31
Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos sejam capazes de criar estratégias para resolver problemas com 
diferentes conteúdos.
Estratégias e orientações 
Sugere-se que os problemas sejam resolvidos em duplas para possibilitar a troca de ideias. Se necessário, retome 
os procedimentos trabalhados no Caderno 1. Oriente os alunos a registrar suas estratégias, que depois serão com-
partilhadas com a turma.
Na correção dos problemas da tarefa, também é importante socializar as diferentes estratégias criadas. 
Se você tiver uma aula dupla, poderá dar um tempo para que os alunos resolvam os cinco problemas e, na se-
gunda aula, corrigi-los, compartilhando as estratégias que foram utilizadas pela turma. 
respostas e comentários 
1. A distância percorrida é de 40 km.
Os alunos irão contar quantos segmentos (lados do quadradinho) o ciclista percorreu. Dá um total de 16. Ele 
faz esse trajeto durante 5 dias da semana, no percurso de ida e volta. Portanto, totaliza 160.
22. rESOLUçãO dE PrOBLEMAS
848 Ensino Fundamental
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Como a distância real do percurso é de 25 000 cm, 
então:
160 3 25 000 5 4 000 000 cm. Transformando esse 
valor em km, temos:
4 000 000 cm : 100 000 5 40 km
2. Os alunos precisam se ater à legenda: cada desenho 
de pizza corresponde a 200 peças. Assim, metade 
da pizza corresponde a 100 peças, um quarto, a 
50 peças e três quartos, a 150.
 a) Foi no mês de novembro: 200 1 200 1 150 5 550.
 b) Ao todo são 11 peças e meia, o que totaliza 2 300 
pizzas (11 3 200 1 100 5 2 300).
 c) No mês de outubro foram vendidas 650 pizzas; um 
quinto dessa quantidade corresponde a 130 pizzas 
de mozarela.
3. Carla poderá escolher entre 6 tipos diferentes de pizza.
Este problema envolve o raciocínio combinatório. Os 
alunos poderão resolvê-lo fazendo todas as combi-
nações possíveis.
Os alunos do Sistema de Ensino já resolveram situa-
ções desse tipo, usando uma das estratégias a seguir.
•	Nomear todas as combinações possíveis:
– Pizza de frango com milho verde e borda simples
– Pizza de frango com catupiri e borda simples
– Pizza de frango com palmito e borda simples
– Pizza de frango com milho verde e borda com 
catupiri
– Pizza de frango com catupiri e borda com catupiri 
– Pizza de frango com palmito e borda com catupiri.
•	 Organizar os dados em tabela:
Recheio Borda simples
Borda com 
catupiri
Pizza de 
frango com 
milho verde
Pizza de 
frango com 
milho verde e 
borda simples
Pizza de frango 
com milho verde 
e borda com 
catupiri
Pizza de 
frango com 
catupiri
Pizza de 
frango com 
catupiri e 
borda simples
Pizza de frango 
com catupiri 
e borda com 
catupiri
Pizza de 
frango com 
palmito
Pizza de 
frango com 
palmito e 
borda simples
Pizza de frango 
com palmito 
e borda com 
catupiri
•	 Fazer a árvore de possibilidades que já estudaram 
nos anos iniciais, no material do Sistema.
Frango com 
milho verde
Frango com 
catupiri
Frango com 
palmito
borda simples
borda com catupiri
borda simples
borda com catupiri
borda simples
borda com catupiri
4. Este problema também envolve o raciocínio combi-
natório. Os alunos poderão elaborar esquemas, criar 
trajetos ou apenas fazer a multiplicação. O importante 
é que saibam explicar a estratégia utilizada.
 a) Os alunos irão representar os diferentes caminhos 
da casa ao colégio e do colégio ao clube.Farão 3 
caminhos de casa ao colégio (você poderá sugerir 
que eles nomeiem esses caminhos 2 caminhos A, 
B, C) e 4 caminhos do colégio ao clube.
 b) Rogério tem 12 maneiras diferentes para realizar 
esse trajeto.
5. Os avós de Paula tinham visto 5 carneiros e 5 galinhas.
Esse é um contexto tradicionalmente resolvido por 
sistemas de equações – o que deixa de ser um proble-
ma, pois exige apenas a tradução da linguagem usual 
para a linguagem algébrica. No entanto, por se tratar 
de alunos que ainda não têm domínio da álgebra, a 
situação torna-se bastante rica, pois exigirá a criação 
de estratégias. É provável que uma das estratégias seja 
por tentativas. No momento da socialização, analise as 
tentativas e procure estabelecer com os alunos uma 
lógica entre elas. Por exemplo: eles podem pensar 
em 1 animal de cada espécie, o que daria:
1 animal de cada: 4 patas 1 2 patas → total de 6 patas.
Como há um total de 30 patas, e 30 é o produto de 
6 3 5, então são 5 animais de cada.
desafo (página 405)
Não usando as figuras refletidas ou rotacionadas, há seis 
formas diferentes (uma delas já apresentada no Caderno).
Teste (página 406)
1. Alternativa C. Os alunos precisarão atentar que o pro-
blema deu o total coletado: 450 kg. No pictograma há 
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18 pacotes, portanto, cada um corresponde a 25 kg de 
papel. Assim, 6 3 25 5 150, que é a resposta c.
2. Alternativa D. Observe que há uma sequência na 
posição das contas do colar: 1 conta branca que se 
alterna com as pretas; estas vão aumentando de 1 
em 1. Fora da caixa, do lado esquerdo, há:
•	1 conta branca
•	1 conta preta
•	1 conta branca
•	2 contas pretas
•	1 conta branca
•	3 contas pretas
•	1 conta branca
Portanto, dentro da caixa há:
•	4 contas pretas
•	1 conta branca
•	 3 contas pretas (da sequência de 5 contas, pois 2 
delas estão fora da caixa)
Em casa (página 407)
1. Este problema admite duas soluções. Se os alunos or-
ganizarem uma tabela, o registro ficará mais simples. 
Se julgar conveniente, repasse a dica a eles. 
O que se sabe:
•	a quantia dada por Caio é fixa;
•	a quantia de Pedro é 20 a mais que a de Fernando;
•	 como nada se sabe sobre a quantia dada por Paulo, 
ao somar as três quantias, o que faltar para 240 é 
a quantia com que ele contribuiu.
Assim, podemos organizar a tabela, começando pelos 
valores de Fernando, os quais vão aumentando a cada 
linha. Assinalamos em cinza as linhas cujos valores 
não são possíveis, pois há valores iguais:
Caio Fernando Pedro Paulo
20 20 40 160
20 40 60 120
20 60 80 80
20 80 100 40
20 100 120 0
Assim, os valores possíveis são:
•	Caio: 20; Fernando: 40; Pedro: 60; Paulo: 120.
•	Caio: 20; Fernando: 80; Pedro: 100; Paulo: 40.
2. Ana Cristina somou as 3 voltas completas e mais meia 
volta (6,25). Rafael fez o total de 7 voltas e depois 
dividiu por 2, pois 3,5 é a metade de 7.
3. Há diferentes estratégias. Veja duas delas:
•	 Fazer a soma de parcelas iguais, ou seja, 17 par-
celas de 2,25. Adriana pode somar 2,25 1 2,25 e 
apertar a tecla igual 5 sucessivamente 16 vezes, 
que obterá o resultado 38,25.
•	 Adriana poderá lançar mão de cálculo mental e 
usar a calculadora para conferir o resultado obtido. 
Por exemplo: 
 17 3 2 5 34 é um cálculo que pode ser mental. 
0,25 é a quarta parte da unidade; logo, na calcu-
ladora, ela pode fazer 17 : 4 5 4,25. Somando os 
dois valores, obtém-se 38,25.
4. Se o número pensado foi multiplicado por 2 e por 5, 
então ele foi multiplicado por 10. Logo, o único nú-
mero possível é 4 250, porque termina em 0.
respostas do exercício complementar
1. a) 90°
 b) 45°
 c) 135°
d) 90°
e) 90°
2. O ângulo indicado na figura mede 360° : 3 5 120°.
3. F4
4. a) C3
 b) A pessoa passou pelos retângulos A1, A2, B2, B3 
e C3. 
5. a) Os alunos irão localizar e nomear os pontos indi-
cados.
 b) Sim, os segmentos GH e I J se cruzam no ponto 
de coordenadas B4.
 c) A medida desse ângulo é 90°. 
6. Respostas pessoais. Veja algumas possibilidades:
 a) O número pode ter duas ou mais ordens decimais. 
Se tiver duas, a ordem dos décimos deve ser 5, e 
a dos centésimos, qualquer algarismo diferente de 
zero (0,51; 0,52...).
 b) O número pode ter duas ou mais ordens decimais. 
Se tiver duas, a ordem dos décimos deve ser 1, e 
a dos centésimos, qualquer algarismo diferente de 
zero (2,11; 2,12...).
 c) O número pode ter três ou mais ordens decimais. 
Se tiver três, a ordem dos centésimos deve ser 4, 
e a dos milésimos, qualquer algarismo diferente 
de zero (0,041; 0,042...).
 d) O número pode ter três ou mais ordens decimais. 
Se tiver três, a ordem dos centésimos deve ser 7, 
e a dos milésimos, qualquer algarismo diferente 
de zero (0,171; 0,172...).
 e) O número pode ter três ou mais ordens decimais. 
Se tiver três, a ordem dos centésimos deve ser 4, 
e a dos milésimos, qualquer algarismo diferente 
de zero (2,041; 2,042...).
850
Ensino Fundamental
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 f) O número pode ter quatro ou mais ordens deci-
mais. Se tiver quatro, a ordem dos milésimos deve 
ser 5, e a dos décimos de milésimos, qualquer 
algarismo diferente de zero (0,1251; 0,1252...).
7. a) 0,05 ♦ 0,25 ♦ 0,5 ♦ 0,52 ♦ 0,55
 b) 2,001 ♦ 2,01 ♦ 2,011 ♦ 2,1 ♦ 2,11
 c) 500 000 ♦ 1,5 milhão ♦ 1 800 000 ♦ 2 000 000 ♦ 
2,5 milhões
8. a) 0,14 ♦ 0,15 ♦ 0,16 ♦ 0,17 ♦ 0,18
 b) 4,4 ♦ 4,2 ♦ 4 ♦ 3,8 ♦ 3,6
 c) 2 ♦ 2,25 ♦ 2,5 ♦ 2,75 ♦ 3
 d) 0,45 ♦ 0,35 ♦ 0,25 ♦ 0,15 ♦ 0,05
 e) 1 000 010 ♦ 1 000 009 ♦ 1 000 008 ♦ 1 000 007 ♦ 
1 000 006
9. Respostas pessoais.
 a) Pode ser qualquer número do tipo 0,... Exemplo: 
0,1; 0,2.
 b) Pode ser qualquer número do tipo 1,... Exemplo: 
1,2; 1,74.
 c) A primeira ordem decimal tem de ser qualquer 
algarismo de 0 a 4. Exemplo: 2,01; 2,4.
 d) A primeira ordem decimal deve ser 0, e deve exis-
tir pelo menos mais uma ordem diferente de 0. 
Exemplo: 3,01.
 e) A segunda ordem decimal deve ser 0, e deve exis-
tir pelo menos mais uma ordem diferente de 0. 
Exemplo: 0,101.
 f) A terceira ordem decimal deve ser 0, e deve exis-
tir pelo menos mais uma ordem diferente de 0. 
Exemplo: 10,6102.
10. a) 46
 b) 46
 c) 360 
 d) 360
 e) 214,0
 f) 0,14
 g) 0,14 
 h) 1,348
 i) 0,1348
 j) 1,348
11. a) 50 000
 b) 800
 c) 30 500 000
 d) 1 500
 e) 2 750 000
 f) 32 000
12. a) 72% 5 0,72 5
 
72
100
 b) 7% 5 0,07 5 
7
100
 c) 45% 5 0,45 5
 
45
100
 d) 3% 5 0,03 5 
3
100
 e) 96% 5 0,96 5
 
96
100
13. a) V
 b) F
 c) V
 d) F
 e) F
14. a) 60
 b) 100
 c) 180 
 d) 120
e) 160
f) 300
g) 810
h) 240
15. Em torno de cada vértice, há 
um quadrado e dois octógonos, 
como mostrado na figura ao lado.
A soma das medidas dos ângu-
los assinalados deve ser 360º, 
pois corresponde a uma volta 
completa. Como o quadrado tem ângulos retos, a 
soma das medidas dos ângulos dos octógonos deve 
ser 360º 2 90º 5 270º. Assim, cada ângulo do octó-
gono mede 270º : 2 5 135º.
16. As respostas são pessoais. Damos uma possibilidade 
em cada caso.
 a) AOHE
 b) DOC
 c) BEIOH
 d) ADCBO
e) AGFCHE
f) AG e BH
g) AC e GH
h) AD e DC
17. a) 10 faces.
 b) 8 faces são polígonos convexos.
 c) 2 faces são polígonos não convexos. 
18. Podemos desenhar quatro triângulos diferentes: PQR, 
PQS, PRS, QRS.
Triângulos PQR e PRS Triângulos PQS e QRS
P
Q R
S
P
Q R
S
19. a) Os números são 119 e 120.
 b) Os números são 92 e 94.
 c) Os números são 115 e 117.
 d) O subtraendo é 222.
 e) O resto é 618.
 f) A soma aumenta em 15 unidades.
 g) A soma aumenta em 5 unidades.
 h) A soma aumenta em 16 unidades.
 i) O resto ou diferença aumenta em 5 unidades.
 j) O resto ou diferença diminui em 5 unidades.
 k) O resto ou diferença não se altera.
 l) O resto ou diferença aumenta em 15 unidades.
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20. a) 1,099 ♦ 1,40 ♦ 9,6 ♦ 3,552 ♦ 0,91 ♦ 1
 b) 1,009 ♦ 1,31 ♦ 9,51 ♦ 3,462 ♦ 0,82 ♦ 0,91
 c) 2,341 ♦ 8,101 ♦ 1 ♦ 5,001 ♦ 1,377 ♦ 0,541
21.
Números dados
3,1 6,05 7 5,136 0,009
 1 0,1 3,2 6,15 7,1 5,236 0,109
1 0,01 3,11 6,06 7,01 5,146 0,019
1 0,001 3,101 6,051 7,001 5,137 0,01
22. a) 0,65 ♦ 0,6 ♦ 0,55 (Regularidade: diminui 0,5.)
 b) 7,85 ♦ 7,75 ♦ 7,65 (Regularidade: diminui 0,1.)
 c) 0,76 ♦ 0,86 ♦ 0,96 (Regularidade: acrescenta 0,1.)
 d) 3,148 ♦ 3,147 ♦ 3,146 (Regularidade: diminui 
0,001.)
 e) 0,636 ♦ 0,536 ♦ 0,436 (Regularidade: diminui 0,1.)
23. Há erros nos itens b, c, e, g.
 b) As ordens não estão alinhadas. O resultado correto 
é 0,19.
 c) O erro está no resultado. O correto é 1,49.
 e) As ordens não estão alinhadas. O resultado correto 
é 2,82.
 g) Faltou 0,04 na resposta. O correto é 8,94.
24. a) 2,15
 b) 3,672
 c) 24,24
 d) 1,45
e) 19
f) 13
g) 322
h) 18
25. As estratégias são pessoais. Uma sugestão para 
cada item.
 a) 312 1 198 5 310 1 200 5 510
 b) 450 2 132 5 452 2 132 2 2 5 320 2 2 5 318
 c) 2,45 1 0,05 5 2 1 0,45 1 0,05 5 2 1 0,50 5 2,50
 d) 23,1 2 1,09 5 23,10 2 1,09 5 22,01
 e) 53,75 2 13,7 5 53,75 2 13,70 5 40,05
26. a) 
3 12 : 100
1,8015 180
 b) 
: 15 1 39
66405 27
 c) 
: 9 2 135
701 845 205
 d) 
1 0,49 3 100
9198,7 9,19
27. a) 0,12
 b) 0,058
 c) 0,028
 d) 0,65
 e) 18,4
 f) 0,48
28. a) 21,6
 b) 2,088 
 c) 9,5436 
 d) 36,45
 e) 93,84
 f) 128,52
29. a) 0,01
 b) 0,0001
 c) 1,21
 d) 0,0121 
 e) 0,0169 
 f) 1,69
 g) 169
 h) 0,0025
 i) 0,25
 j) 0,0036
 k) 0,36
 l) 0,001
30. Da meia-noite às seis horas da manhã serão des-
perdiçados
6 3600
3
?
? 0,2 mL 5 1 440 mL > 1,4 L.
31. Este problema tem mais de uma solução. Algumas 
delas:
•	 Pão com manteiga na chapa, suco e fatia de 
mamão. Total: R$ 6,10.
•	 Pão com manteiga na chapa, refrigerante e fatia 
de mamão. Total: R$ 5,90.
•	 Pão com manteiga na chapa, refrigerante e 
maçã. Total: R$ 5,60.
•	 Misto quente, suco e fatia de mamão. Total: 
R$ 6,30.
•	 Hambúrguer, refrigerante e fatia de mamão. 
Total: R$ 5,80.
Sugestão de material para consulta
Na estante
•	 LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. 
(Org.). Aprendendo e ensinando Geometria. São 
Paulo: Atual, 1994.
•	 PARRA, Cecília; SAIZ, Irma (Org.). Trad. Juan Acuña 
Llorens. Didática de Matemática: reflexões psicope-
dagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996.
•	 TINOCO, Lucia. Geometria euclidiana por meio da 
resolução de problemas. Rio de Janeiro: Instituto de 
Matemática/UFRJ, Projeto Fundão, 1999.
•	 VAN DE WALLE, John A. Matemática no Ensino Fun-
damental: formação de professores e aplicação em 
sala de aula. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.
852
Ensino Fundamental
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Módulo 
Interdisciplinar
Manual do 
Professor
2
caderno
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As atividades propostas no Módulo Interdisciplinar 
pretendem mostrar ao aluno que um mesmo assunto ou 
tema tem aspectos múltiplos que podem ser analisados 
e trabalhados por várias disciplinas. 
Orientações gerais
•	 Cada disciplina envolvida deve utilizar uma aula para o 
desenvolvimento das atividades que lhe correspondem. 
•	 Deve-se evitar o repasse de atividades para casa, pois 
o Módulo não pode se tornar enfadonho e repetitivo. 
•	 É importante que os professores dos componentes 
curriculares envolvidos conversem anteriormente 
entre si para programar as atividades e, depois, para 
avaliar os resultados.
•	 O assunto do Módulo Interdisciplinar deste bimestre 
– a água – permite retomar e aprofundar temas que 
foram vistos ao longo do caderno. 
Componentes curriculares envolvidos: Língua Por-
tuguesa, Ciências, Geografia e Matemática.
Os professores devem conversar e escolher a ordenação 
das aulas que julgarem ser mais adequada. Como sugestão, 
ordenamos as matérias segundo a abordagem das ativi-
dades, da mais genérica para a mais específica: iniciando 
com Língua Portuguesa (o poema é uma espécie de mote, 
de disparo); seguindo com Ciências, com uma ativida-
de baseada numa discussão de temas atitudinais; depois 
Geografia, com atividade mais específica, já que trabalha 
com conceitos, definições, descrições e mapas. Por fim, a 
Matemática fecha o bloco com atividades que auxiliam as 
desenvolvidas em Ciências e, sobretudo, as de Geografia.
Língua Portuguesa
Para a aula sobre o poema de Mario Quintana só se 
preveem atividades orais, de leitura. O professor pode, 
se julgar conveniente, orientar o registro das observações 
de leitura. 
Procedimentos 
1a leitura: leia expressivamente o poema para a classe, 
ou selecione antecipadamente quatro alunos para fazê-lo, 
encarregando cada um de uma estrofe/parágrafo. 
2a leitura (Leitura compartilhada): explique que se 
trata de um poema em prosa, ou seja, embora seja poe-
sia, não é feita em versos (com exceção da última estrofe/
parágrafo).
Sugestões de detalhes a serem discutidos na leitura 
compartilhada:
1a estrofe/parágrafo 
•	 Protagonista: recordar o significado desse termo, 
estudado no Módulo 19. Trata-se do personagem 
central, em torno do qual giram todos os aconteci-
mentos. Quem são os protagonistas da História? (Os 
seres humanos.)
•	 Discutir as imagens escolares usadas pelo poeta: mes-
tra, reprovações. A História tem sido uma boa mestra? 
Por quê? (Não, porque os erros e as reprovações sem-
pre se repetem, ou seja, os homens não aprendem.)
•	 Erros: quais são os erros cometidos pelos protagonis-
tas? (Destruição, fome, guerra.)
•	 Imagem da rede de segurança: a partir dessa imagem, 
o que se pode deduzir das ações dos homens? (As 
ações dos homens os põem em risco de queda, como 
se fossem equilibristas ou trapezistas de circo.) 
2a estrofe/parágrafo
•	 Desaparecer: discutir o sentido desse verbo. (A que 
nos referimos quando dizemos que a água da Terra 
pode desaparecer ou acabar? Ela realmente desapare-
cerá? Ou o verbo tem um sentido figurado, para dizer 
que acabará a água limpa, utilizável pelos seres vivos?) 
•	 O que será de: comentar o uso dessa frase como 
expressão de desespero (ex.: O que será de mim?). 
Consequências do “desaparecimento” da água para os 
seres vivos da natureza (sofrimento, morte, desapare-
cimento). A inclusão de Deus entre os que sofrerão as 
consequências pode causar questionamento (o criador 
sofre com a perda da criatura).
3a estrofe/parágrafo 
•	 Movendo as peças: imagem do jogo de tabuleiro: 
partidas infinitas (discutir a ilusão de que os recursos 
naturais são inesgotáveis); a água como uma peça 
essencial do jogo; as regras são imutáveis (perguntar 
aos alunos que regras seriam essas – não poluir, não 
desperdiçar a água potável...).
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Ensino Fundamental
MóduLo interdisciPLinar
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4a estrofe/parágrafo 
•	 A quem se dirige o poeta? (À Terra.)
•	 Quem é o responsável pela Terra? (O homem, que 
deve protegê-la.)
•	 De quem, ou contra quem, o homem deve proteger 
a Terra? (De si mesmo, já que o modo de fazê-lo é 
conservando os elementos da natureza.)
•	 Cristal – imagem (metáfora) de água pura.
•	 Tuiuiú – imagem (metonímia) de ave do Pantanal 
representando, simbolicamente, todas as criaturas da 
natureza; o ninho simboliza a reprodução, a vida 
natural saudável.
sugestão de atividade extra
Produção de cartazes a partir de frases do texto “Ni-
nho de Tuiuiú nas margens do rio Paraguai”, de Mário 
Quintana.
ciências
Esta atividade foi baseada em informações contidas 
no vídeo: A história da água engarrafada – A grande 
mentira da indústria. Disponível em: <http://youtube/
KeKWbkL1hF4>. Acesso em: 29 jul. 2015. The Story of 
Stuff Project – Free Range Studios, 2012.
O objetivo, dentro da perspectiva de sustentabilidade 
na solução da crise da água, é focar um dos aspectos 
que levam a essa crise – o consumismo, tema trabalhado 
intensamente no Caderno2 de Ciências. O consumismo 
é simbolizado pela água engarrafada (que também pode 
ser encontrada na forma de copinhos plásticos) e deverá 
ser confrontado com a possibilidade de simplesmente se 
consumir, como alternativa, a água potável de torneira. 
Isso, em última análise, gera menos lixo, é mais barato, 
impacta bem menos o ambiente e, portanto, é uma so-
lução mais sustentável.
Sugere-se que esta atividade seja desenvolvida com toda 
a classe, numa discussão coletiva, nas seguintes etapas:
•	 Leitura do texto e da imagem, que resumem a relação 
entre a produção de água engarrafada e o lixo, e a 
possível alternativa de se ter água potável na torneira 
para todos (previsão de 10 minutos).
•	 Caso haja tempo e recursos, sugere-se a projeção 
o filme A história da água engarrafada – A grande 
mentira da indústria, disponível em: <http://youtube/
KeKWbkL1hF4>. Acesso em: 27 jul. 2015. Esse filme 
traz muitas das sugestões de atitudes que são previstas 
nesta atividade (previsão de 10 minutos).
•	 Início da discussão proposta na atividade. Durante a 
discussão, vá registrando na lousa as principais su-
gestões de atitudes consensuais criadas pelos alunos 
(previsão de 20 minutos).
Como elementos iniciais para a discussão, podem-se 
usar algumas das informações encontradas no filme em 
que esta atividade foi baseada:
•	 A água engarrafada pode custar até duas vezes mais 
que a água de torneira.
•	 Os norte-americanos consomem quase meio bilhão de 
garrafas de água por semana. Se todas essas garrafas 
fossem enfileiradas, isso seria suficiente para dar mais 
de cinco voltas ao redor do mundo. 
•	 Essa situação decorre do excesso de consumo. Se as 
companhias querem continuar crescendo, têm que 
vender mais. 
•	 As fábricas de refrigerante estão investindo cada vez 
mais na venda de água engarrafada. Isso porque viram 
um novo mercado consumidor que foi seduzido por 
propagandas muitas vezes enganosas. Nelas, a água 
engarrafada supostamente vem de fontes naturais, 
como nascentes (isso aparece em imagens nos rótulos 
de muitos desses produtos), mas nem sempre isso é 
verdade, pois muitas vêm da própria água tratada da 
torneira, recebendo mais etapas de filtração. Além 
disso, em análises de qualidade da água engarrafada, 
não é rara a constatação de qualidade inferior à da 
água que vem da torneira. Há uma forte propaganda 
para que se imagine que aquela é melhor que esta.
•	 Fechamento com as principais ideias de ação listadas 
na lousa e registradas nos cadernos (previsão de 
10 minutos).
respostas e comentários
Espera-se que os alunos consigam perceber que eles, 
como cidadãos, são agentes dos processos que envolvem 
toda a crise da água, no caso específico, como consumi-
dores de água engarrafada. 
Como cidadãos, cabe tomar atitudes inicialmente indi-
viduais, como trocar o consumo de água engarrafada pelo 
da água de torneira, nem que para isso se deva passá-la 
por um filtro adicional. Isso é recomendável, sobretudo 
quando se suspeita de que a água da torneira possa estar 
com sua qualidade comprometida. Em vez de se comprar 
água engarrafada todos os dias, pode-se programar para 
sair com um recipiente reutilizável e reabastecê-lo com 
água de torneira ao longo do dia.
Outra forma de exercer a cidadania é participar de 
campanhas que valorizem a produção de água cada vez 
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mais limpa e segura para ser distribuída às torneiras de 
todos. Muitas das soluções apresentadas para aumentar 
a produção de água em grandes cidades brasileiras estão 
centradas na construção de grandes obras, que desviam 
água de rios cada vez mais distantes para mananciais 
onde possam ser captadas e tratadas. Essas soluções não 
contemplam a ideia de se realizar ações efetivas para 
proteger as nascentes e as margens dos rios e lagos no 
intuito de aumentar essa produção. Também é válido par-
ticipar de campanhas de conscientização sobre a poluição 
da água, na maioria das vezes ocasionada por resíduos 
das indústrias e da agropecuária ou ainda por esgotos 
domésticos despejados em rios sem tratamento prévio.
As campanhas podem ainda estar mais próximas da 
realidade dos alunos, incentivando a diminuição do con-
sumo de água engarrafada na cantina da escola e o 
consumo de produtos mais saudáveis. 
geografia
Aos professores de Geografia, caberá esclarecer que 
os aquíferos foram vistos durante muitos anos como a 
salvação para a crescente escassez de água. É fato que a 
maior parte da água doce em estado líquido se encontra 
nos aquíferos, mas é um mito a afirmação de que isso 
soluciona o problema da escassez.
A leitura do texto informativo e a observação do mapa 
devem anteceder a discussão. Cabe ao professor propor 
a atividade e organizar a discussão de cada uma das 
afirmações e, só então, encaminhar o preenchimento 
das respostas. 
respostas e comentários
1. I. Incorreta. Toda a água do planeta Terra, em algum 
momento, participa do ciclo da água. 
 II. Incorreta. As águas do compartimento Norte Alto 
Uruguai são salinas, o que as torna inadequadas 
para irrigação.
III. Correta. O texto descreve algumas características 
do aquífero Guarani que permitem concluir que 
esse reservatório de água, para ser aproveitado, 
precisa ser estudado com maior detalhamento, 
já que algumas de suas partes (compartimentos) 
apresentam águas inadequadas ao consumo hu-
mano ou irrigação.
2. Resposta pessoal. Espera-se que os alunos possam em 
sua discussão elencar algumas soluções que pode-
rão abranger uma ou mais formas das contaminações 
mencionadas, por exemplo:
 a) redução do uso de pesticidas nas lavouras, com a 
ampliação do uso de métodos de controle biológico 
(isso será trabalhado no Caderno 3, em Ciências); 
redução do uso de fertilizantes químicos nas la-
vouras, com a ampliação do uso de adubos orgâ-
nicos e outros métodos de plantio que ajudem a 
enriquecer o solo, como a rotação de culturas e 
adoção de princípios da agroecologia (trabalhado 
no Caderno 3, em Ciências).
 b) e c) melhoria do saneamento básico, principalmen-
te com a coleta e tratamento de esgotos domésti-
cos e industriais em sua totalidade (trabalhado no 
Caderno 6.1, em Ciências, Módulo 8).
MateMática
Aos professores de Matemática, caberá contribuir para 
que os alunos compreendam os dados numéricos do 
texto e se posicionem criticamente frente a eles.
A atividade prevê o cálculo de porcentagens que foi 
explorado neste Caderno, no Módulo 17. Como desta-
cado nas orientações gerais para este Módulo Interdis-
ciplinar, é fundamental que você converse com seus 
colegas das demais disciplinas para que você o trabalho 
em Matemática possa contribuir para a compreensão e 
ampliação das informações.
respostas e comentários
1. a) Os alunos poderão utilizar a estratégia que quise-
rem para realizar o cálculo. Você poderá disponi-
bilizar a calculadora. Não deixe de incentivar o uso 
de cálculo mental; a calculadora poderá ser uma 
ferramenta para verificação da resposta.
•	 Estratégia utilizando cálculo mental:
10% de 562 000 5 56 200
60% de 562 000 5 6 3 56 200 5 337 200
1% de 562 000 5 5 620
59% de 562 000 5 337 200 2 5 620 5 331 580
•	 Estratégia com o uso da calculadora: 
0,59 3 562 000 5 331 580
b) Promova a discussão com a turma. Como eles par-
ticiparam das discussões nas aulas das disciplinas 
anteriores, eles terão posições críticas para o de-
bate. Destaque as implicações dessa alta produção 
para as questões ambientais, desde a produção de 
PET até a sua reciclagem.
856 Ensino Fundamental
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2. Embora não tenhamos, ainda, retomado o cálculo de 
áreas, os alunos do Sistema de Ensino já exploraram 
noções intuitivas – sem uso de fórmulas – no 5o ano. 
Eles já realizaram, por exemplo, atividades nas quais 
concluíram que a área do retângulo é o produto das 
medidas de seus lados. Você poderá retomar essaideia 
com eles, fazendo na lousa representações como estas:
•	 um quadrado de 1 km de lado terá uma área de 1 km2;
•	 um quadrado de 2 km de lado terá uma área de 4 km2, 
pois, ao se quadricular esse quadrado, tomando o km2 
como unidade de área, obtém-se 4 quadrados menores.
4 km2
2 km
1 km
1 km2
a) Como o quadrado é um caso particular do retângulo, 
os alunos poderão fazer alguns esboços e buscar che-
gar a um número cuja multiplicação por ele mesmo se 
aproxime de 1,2 milhão, ou seja, 1 200 000. Nesse caso, 
a calculadora é fundamental para agilizar os cálculos. 
Como exemplo apresentamos cinco esboços com os 
respectivos cálculos, lembrando que o esboço é apenas 
para auxiliar na visualização do quadrado e sua área. 
1090
1090 1095
1095
500
500 2500
1000
1000
1000000
1188100 1199025
1100
1100
1210000
500 3 500 5 250 000
1 000 3 1 000 5 1 000 000
1 100 3 1 100 5 1 210 000
1 090 3 1 090 5 1 188 100
1 095 3 1 095 5 1 199 025
 Assim, pode-se dizer que essa área corresponde a um 
quadrado de lado aproximadamente igual a 1 095 km.
b) Há muitas respostas possíveis. Algumas possibilidades:
•	 2 000 km 3 600 km
•	 3 000 km 3 400 km
•	 2 400 km 3 500 km
3. Para o cálculo dessa porcentagem, os alunos poderão 
utilizar a estratégia que quiserem. A afirmação está 
correta, pois 70% de 1 200 000 correspondem a 840 000.
4. Pode-se considerar a afirmação verdadeira, visto que 
10% de 8,5 milhões correspondem a 850 mil, valor 
próximo a 840 mil. No entanto, se os alunos dis-
cordarem, promova a discussão com eles. Chame a 
atenção para o fato de que, muitas vezes, a imprensa 
arredonda dados para valores superiores ou inferiores, 
para facilitar a compreensão do leitor. 
sugestão de atividade extra
Suponha que, ao final da realização deste Módulo, o 
aluno foi convidado para escrever um texto que, junto 
ao infográfico, será publicado no jornal da escola. Como 
trabalhou com conteúdos de diferentes disciplinas e se 
envolveu em várias discussões, o aluno dispõe de ele-
mentos para a produção desse texto. Ele deve, então, 
escrever essa proposta e entregar ao professor.
Esta atividade só poderá ser realizada após o térmi-
no do Módulo por todas as disciplinas envolvidas. O 
texto produzido deverá passar pela leitura de todos os 
professores dessas disciplinas. Sugere-se a valorização 
dessa produção por um dos seguintes modos: exibin-
do os textos num painel na escola ou na sala de aula; 
selecionando um deles para compor o jornal da escola, 
se houver; incluindo-os nos cartazes produzidos pelos 
alunos, se for realizada a Atividade Extra sugerida para 
a aula de Língua Portuguesa.
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anotações
 
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Ensino Fundamental
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Matemática
Autores:
Adair Mendes Nacarato
Cármen Lúcia B. Passos
Fábio Orfali
Heimar Aparecida Fontes
SUMÁRIO
12. Giros e ângulos ...............................................................................300
13. Localização de pontos .....................................................................309
14. Retas paralelas e retas perpendiculares .........................................319
15. Números racionais em diferentes contextos ....................................331
16. Multiplicação e divisão por 10, 100 e 1 000 com números decimais ...340
17. Porcentagem ...................................................................................346
18. Polígonos ........................................................................................356
19. Adição e subtração: propriedades e relações .................................370
20. Adição e subtração com números decimais ....................................380
21. Multiplicação de números decimais ................................................387
22. Resolução de problemas .................................................................402
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8300
Ensino Fundamental
Acompanhar o surfista brasileiro Gabriel Medina em ação nas principais competições 
internacionais é um grande privilégio. Suas manobras são mesmo impressionantes, espe-
cialmente o aéreo 360 graus, a mais famosa de todas. Nessa manobra, que exige muita 
técnica, Medina realiza um giro completo de sua prancha em plena onda.
Você sabe por que o aéreo 360 graus recebe este nome? Ele está relacionado ao 
movimento de giro realizado pelo surfista e, também, a uma unidade de medida muito 
usada em Geometria, o grau. Neste Módulo, partindo da observação do giro de uma 
roda-gigante, vamos estudar o grau e introduzir o conceito de ângulo.
GIROS E ÂNGULOS12
A manobra aéreo 360 graus
O brasileiro Gabriel Medina em ação
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GIROS DE UMA RODA-GIGANTE 
Uma das atrações mais populares em qualquer parque de diversões é a roda-gigante. 
Nos últimos anos, porém, esse brinquedo atravessou a fronteira dos parques e se tornou, 
em várias cidades do mundo, uma grande atração turística. Trata-se das enormes rodas-
-gigantes que oferecem aos visitantes, além de muito conforto, uma belíssima visão da 
região onde estão localizadas. 
É o caso da London Eye, localizada na cidade de Londres, Inglaterra. Inaugurada no 
ano 2000 em comemoração à chegada do novo milênio, a roda-gigante passou a ser 
um dos pontos mais visitados da cidade. Com 135 metros de altura, a London Eye é a 
quarta mais alta roda-gigante do mundo. Ela possui 32 cabines que se movimentam a 
uma velocidade de aproximadamente 1 km/h. Com isso, elas levam cerca de 32 minutos 
para realizar um giro completo. Em dias claros, a vista do alto da London Eye chega a 
atingir 40 quilômetros. 
Fonte: <www.londoneye.com/AboutUs/InterestingFacts/Default.aspx>. Acesso em: fev. 2015. 
A roda-gigante London Eye à beira do rio Tâmisa, em Londres
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8
302 Ensino Fundamental
1 Imagine que Laura entre na cabine destacada na fgura abaixo, localizada no ponto mais baixo da roda-gigante London Eye. 
 Após a entrada de Laura, a roda-gigante continua normalmente seu movimento. A seta indica o sentido do giro. Usando 
os esquemas a seguir e as informações do texto, indique a posição onde estará a cabine de Laura após terem passado, 
desde a sua entrada na cabine,
a) 32 minutos
 
b) 16 minutos
 
c) 8 minutos
 
d) 4 minutos
 
 Cada uma das situações acima corresponde a uma parte do giro realizado pela roda-gigante. Na situação a, 
por exemplo, temos o giro completo. Para comparar diferentes giros, estabelecemos que a medida de um giro 
completo é igual a 360 graus (indicamos 360°).
Na situação b, temos a metade do giro completo. Assim, a medida dessa parte do giro será 180°.
2 Qual medida da parte do giro corresponde à situação c? E à situação d? 
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ÂNGULOS
Cada parte do giro realizado pela London Eye pode ser associada a um ângulo. No 
esquema abaixo, observe o ângulo correspondente a 1
4
 do giro completo. Esse ângulo 
assinalado mede 90°. Ângulos de 90° são chamados ângulos retos.
Volte à figura que mostra a posição da cabine de Laura após 4 minutos de sua en-
trada na roda-gigante (situação d). Assinale lá o ângulo correspondente à parte do giro 
realizado pela cabine naquele caso. Marque também a medida desse ângulo.
Convenção matemática
Quando os matemáticos combinam entre si que um giro completo mede 360°, eles estão adotando uma con-
venção. Outros números poderiam ter sido escolhidos para representar essa medida. Porém, se todos utilizarem 
a mesma convenção, a comparação entre duas medidas realizadas por pessoas diferentesficará bem mais fácil. 
É dessa maneira que são estabelecidas as unidades de medida.
Observe, na figura a seguir, como representamos um ângulo em Geometria.
O ponto P é o
vértice do ângulo.
Esse é um dos
lados do ângulo.
Aqui indicamos a 
medida do ângulo.
P
508
Podemos usar o vértice de um ângulo para nomeá-lo. O ângulo acima, por 
exemplo, pode ser chamado ângulo P̂.
Um ângulo reto (aquele que mede 90°) é identificado de maneira especial. Veja:
De olho... nos ‰ngulos
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Ensino Fundamental
a) Giro realizado em 15 minutos.
 
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b) Giro realizado em 30 minutos.
 
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c) Giro realizado em 45 minutos.
 
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d) Giro realizado em 5 minutos. 
 
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6
2 Para construir ângulos, podemos utilizar uma régua e um esquadro. Observe os dois tipos de esquadro que costuma-
mos utilizar:
Esquadro de 45°: tem um ângulo 
reto e dois ângulos de 45°.
Esquadro de 60°: tem um ângulo reto, 
um ângulo de 60° e um ângulo de 30°.
1 Os ponteiros de um relógio estão sempre realizando giros. Determine a medida, em graus, do giro realizado pelo ponteiro 
dos minutos em cada situação proposta. Para você visualizar melhor, desenhamos somente o ponteiro dos minutos, que 
parte sempre da posição 12 (indicada pela linha tracejada).
EXERCÍCIO
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M
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Utilizando seus esquadros, desenhe:
a) um ângulo de 45° com vértice no ponto A.
A
b) um ângulo de 60° com vértice no ponto B.
B
c) um ângulo de 135° com vértice no ponto C.
C
d) um ângulo de 75° com vértice no ponto D.
D
3 Descubra a medida do ângulo assinalado com ? em cada situação representada abaixo. Deixe registrado o modo como 
você pensou.
a) 
 
458
?
b) 
 
?
c) 
 
d) 
 
258
?
408
?
208
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306 Ensino Fundamental
1 Pedro estacionou seu carro na entrada da cidade de Sossegópolis para pedir informações sobre como chegar ao local 
onde encontraria um amigo. Ele recebeu as seguintes instruções de um guarda da cidade: 
Siga em frente e, no primeiro cruzamento, vire 90° para a direita. Ande reto e, na encruzilhada, faça um giro de 45° para 
a esquerda. Prosseguindo mais alguns metros, você chegará ao seu destino. 
TESTE
Se Pedro seguiu corretamente as instruções do guarda, então ele chegou:
a) à prefeitura.
b) à igreja.
c) à escola.
d) ao mercado.
2 De acordo com as normas técnicas, o ângulo de inclinação de uma escada rolante, em relação ao chão, deve medir entre 
25° e 30°.
?
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e
m
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c
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 Se a inclinação da escada rolante ilustrada na página anterior está conforme as normas técnicas, então a medida do ân-
gulo assinalado com o símbolo ? está entre:
a) 160° e 165°.
b) 155° e 160°.
c) 150° e 155°.
d) 145° e 150°.
1 Considerando o que você aprendeu sobre a medida de um giro, explique o nome da manobra aéreo 360 graus 
realizada pelo surfsta brasileiro Gabriel Medina.
2 Lucas foi a um parque de diversões e andou numa roda-gigante que completava uma volta inteira em 6 minutos. 
Em 3 minutos, qual é a medida, em graus, do giro realizado por essa roda-gigante? E em 1 minuto?
3 Determine a medida do ângulo formado pelos ponteiros do relógio nas situações indicadas abaixo.
a) 9 horas b) 4 horas c) 7 horas
12
1
2
3
4
57
8
9
10
11
6
12
1
2
3
4
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6
12
1
2
3
4
57
8
9
10
11
6
4 Usando régua e esquadros, desenhe, em seu caderno:
a) um ângulo de 90°;
b) um ângulo de 45°;
c) um ângulo de 30°;
d) um ângulo de 120°.
5 Usando seus esquadros, Juliana formou alguns ângulos. Determine a medida de cada um deles.
a) 
 
?
b) 
 
?
EM CASA
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308 Ensino Fundamental
6 Calcule a medida do ângulo indicado com ? em cada uma das fguras abaixo.
a) 
 
1508
?
b) 
 
608
608
?
c) 
 
408
?
d) 
 
158258
?
7 Na letra A do seu glossário, anote o signifcado da expressão ângulo reto e faça um desenho que ajude a entender 
sua explicação. Indique também a representação do ângulo reto.
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LOCALIZAÇÃO DE PONTOS13
Dirigir em uma cidade onde você nunca esteve antes é muito mais fácil hoje do que 
há alguns anos. Tudo graças ao GPS, que identifica a sua localização e indica o caminho 
a seguir para chegar ao lugar desejado. E não é necessário comprar um aparelho espe-
cífico para isso, já que os celulares atuais trazem seu próprio GPS.
GPS é a sigla para Global Positioning System (Sistema de Posicionamento Global). 
Trata-se de um sistema de localização, desenvolvido pelo Departamento de Defesa dos 
Estados Unidos, que funciona a partir de um conjunto de satélites que se deslocam em 
torno da Terra. Os satélites enviam constantemente sinais de rádio, que são recebidos 
pelo aparelho GPS. Com as informações do sinal, o GPS determina a distância do apa-
relho até os satélites e calcula a sua localização exata.
Por trás dos cálculos mais complexos feitos pelo GPS, está um princípio muito básico, 
desenvolvido pelo matemático francês René Descartes no século XVII: a localização de 
pontos a partir de um sistema de coordenadas. Neste Módulo, veremos como funciona 
um sistema de coordenadas.
GPS indica ao motorista a rota a seguir
P
IN
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S
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Ensino Fundamental
LOCALIZANDO-SE EM UM MAPA 
Para calcular a melhor rota em tempo real, o GPS precisa conhecer, além da sua 
localização, o mapa detalhado das ruas e avenidas da região em que você se encon-
tra. A figura abaixo mostra um mapa desse tipo, que está representando uma parte 
da região central da cidade do Rio de Janeiro. É possível obter mais detalhes, como 
os nomes das ruas menores, aproximando mais a vista fornecida pelo programa.
1 No mapa fornecido acima, localize, o mais rápido que conseguir, a rua Sen. Pompeu.
Centro da cidade do Rio de Janeiro representado no Google Maps
295 m0
N
S
LO
Parque
Campo de
Santana
Monumento Nacional
aos Mortos da Segunda
Guerra Mundial
Como o mapa traz muitas informações, você deve ter demorado um pouco para en-
contrar o que foi pedido no item 1. Porém, se você tivesse uma referência que o ajudasse 
a localizar um ponto próximo à rua Sen. Pompeu, seu trabalho ficaria bem mais fácil. 
Esta é a finalidade principal de um sistema de coordenadas: criar uma identificação que 
facilite a localização de pontos. Veja, na figura da página a seguir, como podemos criar 
esse sistema de coordenadas. 
As letras, colocadas na faixa vertical, e os números, colocados na faixa horizontal, consti-
tuem um sistema de coordenadas. Cada uma dessas faixas recebe o nome de eixo. Combi-
nando as informações dos dois eixos, podemos localizar pontos no mapa. Por exemplo, a rua 
Sen. Pompeu está localizada próxima ao ponto de coordenadas D8. Para localizar este ponto, 
• traçamos uma linha horizontal partindo da letra D;
• traçamos uma linha vertical partindo do número 8;
• marcamos o ponto de encontro das duas linhas traçadas, que é o ponto de coorde-
nadas D8.
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2 Usando o mapa com o sistema de coordenadas, indique o nome da estação de metrô que está localizada nas proximi-
dades do ponto de coordenadas:
a) E9: 
 
b) G12: 
 
c) H13: 
 
d) H4: 
 
e) G2: 
 
3 Dê as coordenadas de um ponto que sirva como referência para localizar:
a) o parque Campo de Santana;
b) a ilha das Cobras; 
c) o Monumento Nacional aos Mortos da Segunda Guerra Mundial; 
d) o aeroporto do Rio de Janeiro − Santos Dumont.Mapa da cidade do Rio de Janeiro com sistema de coordenadas
295 m0
N
S
LO
Parque
Campo de
Santana
Monumento Nacional
aos Mortos da Segunda
Guerra Mundial
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
A
B
C
D
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Ensino Fundamental
EXERCÍCIO 1
Na f gura abaixo, cada quadrado da malha tem lado medindo 1 cm.
O SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
O sistema de coordenadas que vimos na seção anterior é formado por um eixo 
horizontal, em que são marcados os números, e um eixo vertical, em que ficam marca-
das as letras. Embora seja útil em alguns casos, este sistema possui algumas limitações, 
principalmente pelo uso de letras:
A
1 2 3 4 5 6
B
C
D
E
?
 Uma joaninha pousou na folha de papel exatamente no 
ponto F1. Então, ela caminhou 5 cm para a direita, em linha 
reta, girou 90° para a esquerda e caminhou mais 2 cm em 
linha reta. Em seguida, ela girou 90° para a direita e cami-
nhou mais 1 cm em linha reta, chegando a um ponto de 
onde ela levantou voo novamente.
a) Indique na figura o ponto onde a joaninha pousou.
b) Indique na figura, com lápis vermelho, o trajeto percor-
rido pela joaninha.
c) Quais são as coordenadas do ponto de onde a joaninha 
levantou voo?
E agora? 
Qual letra usar?
1
A
B
C
D
E
F
G
H
2 3 4 5 6 7 8
Em nosso alfabeto temos apenas 26 letras – isso será um problema se preci-
sarmos fazer mais marcações no eixo vertical.
Como representar as coordenadas de um ponto que esteja exatamente entre 
as linhas correspondentes às letras B e C?
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Este problema pode ser resolvido usando uma ideia do matemático francês René 
Descartes, que viveu no século XVII. Ele pensou em utilizar dois eixos para localizar 
pontos, um horizontal e outro vertical, sendo ambos com marcações numéricas. Na 
figura a seguir, está desenhado o sistema com dois eixos criado por Descartes. Observe 
que, no eixo vertical, as marcações são feitas de baixo para cima.
1
1 2 3 4
2
3
4
0
Eixo horizontal
Eixo 
vertical
O sistema de coordenadas cartesianas funciona de maneira muito semelhante à 
do sistema com letras e números com que você já trabalhou. Para cada ponto, vamos 
associar duas informações, uma lida no eixo horizontal e outra lida no eixo vertical. 
Veja como podemos localizar o ponto P:
Você sabia?
Ao ter a ideia de representar pontos a partir de 
dois eixos com marcações numéricas, Descartes 
criou uma nova área da Matemática, que você vai 
estudar no Ensino Médio: a Geometria Analítica. 
Em sua homenagem, chamamos este sistema de re-
presentação de pontos de sistema de coordenadas 
cartesianas.
1
1 2 3 4
2
3
4
0
P
Matemático francês René Descartes (1596-1650)
G
E
O
R
G
IO
S
 K
O
L
L
ID
A
S
/S
H
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Ensino Fundamental
No eixo horizontal, associamos ao ponto P o número 3. No eixo vertical, associamos 
o número 2. Para não confundir as duas informações, convencionamos sempre escrever 
primeiro a informação do eixo horizontal e, depois, a do eixo vertical. Dessa forma, as 
coordenadas do ponto P, escritas entre parênteses e separadas por um ponto e vírgula, são: 
MATEMÁTICA EM CONTEXTO
Você sabia que a tela do seu computador possui um sistema de coordenadas cartesianas? Isso mesmo: a 
tela conta com milhões de pontos luminosos, os pixels, que, juntos, compõem as imagens que nós vemos.
Os pixels ficam distribuídos em 1 200 linhas. Em cada linha, há 1 920 pixels (estes números podem variar 
um pouco dependendo do equipamento). Para localizar um pixel específico, o computador usa coordenadas. 
Por exemplo, as coordenadas (500; 300) referem-se ao pixel que está na 500a posição da 300a linha. Com 
isso, o computador pode comandar quais pixels estarão acesos e com que cor, formando a imagem desejada.
P(3; 2)
Leitura do eixo
horizontal
Leitura do eixo
vertical
Pixels em uma região da tela de um computador 
aumentada várias vezes 
F
C
G
/S
H
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1 Represente, no sistema de coordenadas cartesianas fornecido, os pontos:
A(1; 4) ◆ B(3; 1) ◆ C(6; 2) ◆ D(8; 3) ◆ E(4; 6) ◆ F(5; 5)
2 Um pirata, receoso de que o mapa de seu tesouro caísse em mãos erradas, decidiu adotar um sistema de coordenadas 
cartesianas na ilha onde ele está enterrado. Assim, ele poderia destruir o mapa e guardar apenas as coordenadas da lo-
calização do tesouro.
 A f gura a seguir mostra o mapa da ilha. No sistema de coordenadas adotado, as medidas marcadas nos dois eixos estão 
em metros.
1000
800
600
400
200
2000 400 600 800 1000 1200 1400
B
EXERCÍCIO 2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
0
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316 Ensino Fundamental
a) O pirata marcou um encontro com seus companheiros no ponto de coordenadas (800; 400). De acordo com o mapa, 
o que está localizado neste ponto?
b) O tesouro do pirata está enterrado no local indicado por um “X”. Quais são as coordenadas do ponto onde o tesouro 
está enterrado?
c) Na figura, o ponto B representa o local onde a bandeira pirata foi fincada. Faça uma estimativa das coordenadas desse 
ponto, explicando como você pensou.
d) O navio pirata atracou na praia próximo ao ponto (200; 200). O pirata, então, seguiu a pé, em linha reta, até o ponto 
(200; 700). Em seguida, ele girou 90° para a direita e andou em linha reta até chegar ao local onde o tesouro está en-
terrado. Quantos metros, aproximadamente, o pirata andou neste trajeto? Deixe registrado seu raciocínio.
TESTE
1 Uma professora de Matemática do 6o ano pediu a cada aluno que representasse a primeira letra de seu nome no quadri-
culado abaixo.
1
A
B
C
D
E
F
G
H
2 3 4 5 6 7 8
 Para fazer isso, um dos alunos marcou dez pontos no quadriculado, ligando, com uma linha reta, o primeiro ponto com o 
segundo, o segundo com o terceiro, e assim por diante, até unir o décimo com o primeiro. As coordenadas desses pontos 
estão escritas abaixo, na ordem em que eles foram marcados. 
B2, B5, C5, C3, D3, D4, E4, E3, G3, G2
O nome desse aluno pode ser:
a) Eduardo.
b) Felipe.
c) Pedro.
d) Thales.
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1 Batalha-naval é um jogo bem antigo, em que se usa um sistema de coordenadas. Atualmente, existem versões 
eletrônicas desse jogo. Para jogar batalha-naval, utiliza-se uma malha quadriculada em que cada quadrado é 
identif cado por um sistema de coordenadas. Numa das variações desse jogo, cada participante deve distribuir 
nessa malha sua frota, composta de um porta-aviões, dois encouraçados, três fragatas, quatro submarinos e cinco 
hidroaviões. Embarcações iguais são representadas por símbolos de mesma cor, e os quadrados em branco repre-
sentam a água.
Na malha quadriculada abaixo, vemos como um jogador dispôs sua frota. Observe-a e responda às questões.
1
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
a) Determine as coordenadas dos quadrados onde estão localizados os submarinos.
b) Quais são as coordenadas dos quadrados ocupados pela fragata que está mais próxima do porta-aviões?
2 Considere o jogo batalha-naval descrito na questão anterior. Imagine que o adversário daquele jogador disparou 
cinco tiros, tentando acertar as embarcações inimigas. Os tiros foram disparados nos quadrados de coordenadas: 
F5, C2, M6, N4 e I12.
a) Quais tiros foram disparados na água?
b) Quais tiros acertaram embarcações? Quais embarcações?
EM CASA
2 Marcelo marcou os pontos (1; 1) e (7; 4) em um sistema de coordenadas cartesianas e uniu-os com uma linha reta. Em seguida, 
marcou os pontos (6; 1) e (4; 5) e também os uniucom uma linha reta. As duas linhas retas desenhadas por Marcelo encon-
traram-se no ponto de coordenadas:
a) (5; 3).
b) (5; 2).
c) (4; 3).
d) (4; 2).
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318 Ensino Fundamental
3 Você costumava brincar de “Liga Pontos” quando era menor? Nesta questão, você vai completar um “Liga Pontos 
Cartesiano”. Para isso,
a) marque, no sistema de coordenadas cartesianas fornecido, os 12 pontos indicados abaixo;
 A(1; 4) ❖ B(2; 4) ❖ C(2; 1) ❖ D(4; 1) ❖ E(4; 3) ❖ F(5; 3)
 G(5; 1) ❖ H(7; 1) ❖ I(7; 4) ❖ J(8; 4) ❖ K(5; 7) ❖ L(4; 7)
b) ligue os pontos marcados com linhas retas, seguindo a ordem alfabética;
c) ligue o último ponto ao primeiro para fechar a figura.
 
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7 
0
4 Considere os quadrados ABCD e EFGH, cujos vértices, em relação a um sistema de coordenadas cartesianas, são 
dados por:
A(1; 3) ■ B(2; 2) ■ C(3; 3) ■ D(2; 4)
E(5; 1) ■ F(8; 1) ■ G(8; 4) ■ H(5; 4)
a) Desenhe os dois quadrados no sistema de coordenadas cartesianas fornecido a seguir.
b) Determine as coordenadas do ponto onde está localizado o centro do quadrado ABCD.
c) Determine as coordenadas do ponto onde está localizado o centro do quadrado EFGH.
 
5
4
3
2
1
10 2 3 4 5 6 7 8 9
5 Na letra S do seu glossário, anote a expressão sistema de coordenadas e escreva qual é a sua f nalidade. Faça tam-
bém um desenho que exemplif que um sistema de coordenadas.
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RETAS PARALELAS E RETAS 
PERPENDICULARES14
Muito comuns nas grandes cidades do mundo, os arranha-céus são aqueles edifícios 
tão altos que parecem não ter fim. A sensação que temos ao olhar para um arranha-céu 
nos permite associá-los a uma ideia muito importante em geometria: o conceito de reta. 
Observando a fachada dos edifícios da foto, podemos identificar várias linhas retas 
que aparentam não terminar. Algumas delas se cruzam, outras parecem decididas a 
nunca se encontrar. 
Neste Módulo, vamos analisar estas e outras características das retas, partindo de 
figuras que você já sabe representar: os segmentos de reta.
As linhas retas se destacam nas fachadas dos arranha-céus em uma grande cidade
P
H
O
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O
C
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E
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 M
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H
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 B
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320 Ensino Fundamental
SEGMENTOS E RETAS 
Para representar diferentes segmentos de reta e, a partir deles, construir a ideia de reta, 
vamos explorar um recurso que estudamos no último Módulo: os sistemas de coordenadas. 
1 Na malha quadriculada a seguir, há um sistema de coordenadas com letras no eixo vertical e números no eixo horizontal. 
Siga as instruções abaixo para representar dois poliedros nessa malha.
1
A
A B
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
2 3 4 5 6 7 8 9
Poliedro 1
Marque os seguintes pontos: A(B6), B(B9), C(C8), D(C5), E(F5), F(F8) e G(E9). Como exemplo, os pontos A e B já foram marcados.
Usando sua régua, ligue os pontos para formar os seguintes segmentos de reta: AB, BC, CD, DA, DE, EF, FC, FG e GB.
Poliedro 2
Marque os seguintes pontos: H(F2), I(F4), J(G4), K(G7), L(I7), M(J6), N(J1), O(G1), P(G3), Q(H3) e R(H6). 
Trace os segmentos de reta: HI, IJ, JK, KL, LM, MN, NO, OP, PQ, QR, RM, HO, IP, JQ e KR.
2 Observe que os segmentos HI e EF que você traçou na malha quadriculada são diferentes, porém estão localizados sobre 
a mesma linha reta (a f gura abaixo ajudará você a identif car essa linha).
H I E F
Do mesmo modo, outros segmentos de reta que formam os dois desenhos que você fez na malha quadriculada podem 
estar localizados sobre uma mesma linha reta. Procure nesses desenhos outros segmentos de reta que estejam locali-
zados sobre a mesma linha reta. Se necessário, utilize uma régua para ajudá-lo na busca. Anote abaixo o nome desses 
segmentos.
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1 A f gura ao lado foi construída unindo-se sete quadrados idênticos.
a) Os segmentos AB e PQ estão localizados sobre a mesma reta. Desenhe na figura 
essa reta.
b) De que forma podemos nomear essa reta? Escreva duas possibilidades.
c) A reta FG
sru
 passa pelo ponto Q?
G
F
A B P Q
Todo segmento de reta está localizado sobre uma linha reta, que pode ou não 
estar desenhada. Uma linha reta pode ser prolongada tanto quanto você queira. 
Por isso, as linhas retas não são limitadas por dois pontos como os segmentos de 
reta. Em geometria, uma linha reta chama-se simplesmente reta.
Em Geometria, costumamos nomear uma reta usando letras minúsculas. Observe 
como representamos a reta a seguir:
r
Também podemos nomear uma reta indicando dois de seus pontos. Assim, a reta 
abaixo é chamada reta AB
s ruu
 (ou BA
s ruu
).
A
B
Aten•‹o: se considerarmos apenas os pontos dessa reta que estão entre A e B, 
incluindo os pontos A e B, temos o segmento de reta AB (ou BA).
A
B
De olho... nas retas
EXERCÍCIO 1EXERCÍCIO 1
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8322
Ensino Fundamental
2 Na malha quadriculada ao lado, foi representado um sistema de coordenadas. Con-
sidere esse sistema para responder ao que se pede.
a) Marque na figura os pontos P(C1), Q(A5), R(E6) e S(C4).
b) Trace na figura os segmentos de reta PQ e RS. Eles se encontram em algum 
ponto? Em caso afirmativo, quais são as coordenadas desse ponto?
c) Trace na figura as retas PQ
s ru
 e RS
sru
. Elas se encontram em algum ponto? Em caso 
afirmativo, quais são as coordenadas desse ponto?
1
A
B
C
D
E
F
2 3 4 5 6
RETAS PARALELAS, RETAS CONCORRENTES E RETAS PERPENDICULARES
1 A f gura abaixo representa uma longa rodovia e duas ruas que terminam nela.
Identif que e marque na f gura duas retas que:
a) não tenham ponto em comum;
b) se cruzem em um ponto;
c) se cruzem em um ponto e formem ângulo reto.
Você deve ter percebido que duas retas podem ocupar diferentes posições uma em 
relação à outra. Em cada situação, as retas recebem um nome diferente. 
Veja outros exemplos de retas paralelas:
r s B
A
D
C
u
t
v
Observe que as retas a e b, representadas ao 
lado, nunca se cruzam. Duas retas localizadas em 
um mesmo plano e que não têm ponto em comum 
são chamadas retas paralelas.
a
b
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8323
M
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c
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Para indicar que duas ou mais retas são paralelas entre si, usamos o símbolo //. Usando 
esse símbolo para as retas desenhadas anteriormente, temos: r // s, AB
s ruu
 // CD
s ruu
 e t // u // v.
Dizemos que dois segmentos de reta são paralelos quando estão localizados sobre retas 
paralelas entre si. Por exemplo, os segmentos PQ e RS representados abaixo são paralelos.
P
R S
Q
Existem, ainda, retas que se cruzam em um único ponto. Veja alguns exemplos:
u
v
x
t
r
s
Observe outros exemplos de retas perpendiculares:
r
s
u
t
P
Q R
Para indicar que duas retas são perpendiculares entre si, usamos o símbolo '. Usando 
esse símbolo para as retas desenhadas acima, temos: r ' s, t ' u e PQ
s ruu
 ' PR
s ru
.
Duas retas que têm um único ponto em co-
mum são denominadas retas concorrentes. Se 
duas retas concorrentes, ao se cruzarem, forma-
rem ângulos retos, então elas serão chamadas de 
retas perpendiculares. As retas c e d representa-
das ao lado são perpendiculares. 
2 Dado o retângulo ao lado, complete cada espaço do texto abaixo com uma den-
tre as seguintes palavras:
paralelas concorrentes perpendiculares
As retas EF
sru
 e GH
s ru
 são , mas as retas EG
sru
 e FH
sru
 são 
 .
As retas EF
sru
 e FH
sru
 são , mas não são . Já as 
retas FG
sru
 e GH
s ru
, além de , são . 
E H
F G
d
c
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8324 Ensino Fundamental
Observe a caixa abaixo, com a forma de paralelepípedo, e classif que as afrmações a seguir como verdadeiras (V) ou 
falsas (F).
E
D
A
B
C
G
F
a) ( ) As retas AB
s ru
 e BC
s ru
 são perpendiculares.
b) ( ) As retas AB
s ru
 e DE
s ru
 são paralelas.
c) ( ) As retas DF
s ru
 e DE
s ru
 são perpendiculares.
d) ( ) As retas AB
s ru
 e AC
s ru
 são paralelas.
EXERCÍCIO 2
TRAÇANDO RETAS COM RÉGUA E ESQUADRO
Na seção anterior, você viu como classificar duas retas já desenhadas de acordo com 
a posição que elas ocupam uma em relação à outra. Em muitas situações, porém, é im-
portante desenhar duas retas em uma certa posição. Para que você possa fazer isso com 
um mínimo de precisão, vamos utilizar a régua e os esquadros. 
1 Como traçar uma reta s paralela a uma reta r que já foi desenhada? Acompanhe o procedimento.
a) Alinhe o esquadro com a reta r.
 
r
b) Apoie a régua no lado do esquadro que está perpendicular à reta r.
 
r
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a
te
m
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c) Deslize o esquadro, segurando a régua com firmeza, para que ela não se mova. Você pode traçar a reta s acima ou 
abaixo de r.
r
s
2 E como traçar uma reta s perpendicular a uma reta r que foi dada? Como você viu no Módulo anterior, os esquadros têm 
um ângulo reto. Portanto, os dois lados menores dos esquadros são perpendiculares. Para traçar uma reta perpendicular a 
r, basta apoiar um dos lados perpendiculares do esquadro em r e traçar a reta s no outro lado perpendicular. Veja na f gura.
r
s
1 Usando régua e esquadro, trace duas retas paralelas a cada reta dada abaixo.
 
r
t
EXERCÍCIO 3
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8
326 Ensino Fundamental
2 Usando régua e esquadro, trace uma reta perpendicular a cada reta dada abaixo.
 
b
c
3 Usando régua e esquadro, verif que quais segmentos de reta indicados abaixo são paralelos ao segmento LM .
M
L
B
A C E G
H
D
F
4 Observe, na f gura, o esquema de um bairro de uma cidade f ctícia em que todas as ruas são retas. Duas ruas quaisquer 
desse bairro ou são paralelas ou são perpendiculares.
a) Uma rua que passe pelo ponto Q e que seja paralela à rua 2 deverá ser construída no bairro, dividindo em dois o quar-
teirão atualmente desocupado. Com régua e esquadro, desenhe essa rua.
b) O morador da Casa 1 deseja construir um caminho reto ligando o portão de sua garagem (ponto P) até a rua que 
passa em frente a sua casa, e que seja perpendicular a essa rua. Com régua e esquadro, desenhe como deve ser esse 
caminho.
P
Q
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Seu Alexandre é um marceneiro que constrói material didático. Ele precisa transformar um cubo de 30 cm de aresta 
em 27 cubinhos de 10 cm de aresta, usando uma serra. Para não danificar o material, o ideal é realizar o menor número 
possível de cortes. Quantos cortes, no mínimo, ele terá de fazer para obter os 27 cubinhos?
BERLOQUIN, Pierre. 100 jogos geomŽtricos. Lisboa: Gradiva, 1991. p. 35.
DESAFIO
TESTE
1 Juliana precisa desenhar, no sistema de coordenadas cartesianas abaixo, o retângulo ABCD e a reta EF
sru
. Para isso, ela conhece as 
seguintes coordenadas:
A(2; 2) / B(7; 2) / C(7; 4) / D(2; 4) / E(4; 3) / F(3; 5)
1
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
0
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328 Ensino Fundamental
Quando terminar o seu desenho, Juliana poderá ver que a reta EF
sru
 cruza:
a) apenas o lado CD do retângulo ABCD.
b) apenas o lado BC do retângulo ABCD.
c) os lados AB e CD do retângulo ABCD.
d) os lados AD e BC do retângulo ABCD.
2 Considere, em um sistema de coordenadas cartesianas, os pontos A(2; 1), 
B(4; 2), C(3; 3) e D(7; 5). Se desenharmos as retas AB
s ru
 e CD
s ruu
, poderemos con-
cluir que elas:
a) são paralelas.
b) são concorrentes, mas não perpendiculares.
c) são perpendiculares.
d) não são paralelas nem concorrentes.
3 Em um cubo, as arestas AB e EF estão em uma mesma face. Dessa forma, as retas AB
s ru
 e EF
sru
, necessariamente,
a) são perpendiculares.
b) são concorrentes, mas não perpendiculares.
c) são paralelas.
d) não são paralelas nem concorrentes. 
1
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
4
5
6
0
EM CASA
1 Os pontos M, N, P e Q são vértices do tetraedro representado abaixo. Quantas retas passam por pelo menos dois 
desses pontos? Dê o nome de cada uma delas.
P
Q
N
M
2 Considere o retângulo PATO e o quadrado NETO desenhados abaixo para responder às perguntas.
P
A T
O N
E
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a) Um dos segmentos da figura é, ao mesmo tempo, lado do retângulo e do quadrado. Dê o nome desse seg-
mento.
b) A reta PO
s ru
 pode receber outros nomes. Indique dois deles.
c) O segmento AO intercepta o segmento NE? Justifique sua resposta com uma figura.
d) A reta AO
s ruu
 intercepta a reta NE
s ru
? Justifique sua resposta com uma figura.
3 Com quatro peças quadradas de mesmo tamanho, Jéssica montou um quadrado grande.
A
D F
E
B
C
Observando o quadrado montado, classif que os pares de retas indicados abaixo de acordo com o código:
 I – retas paralelas.
 II – retas concorrentes, mas não perpendiculares.
 III – retas perpendiculares.
a) ( ) AB
s ru
 e CD
s ruu
.
b) ( ) AD
s ruu
 e CD
s ruu
.
c) ( ) BC
s ru
 e AE
s ru
.
d) ( ) BC
s ru
 e EF
sru
.
e) ( ) BC
s ru
 e AF
s ru
.
4 As ruas Brasil e Portugal são perpendiculares entre si. A rua Japão forma um ângulo de 40° com a rua Brasil. Qual 
é a medida do ângulo formado pelas ruas Japão e Portugal?
408Rua Portugal
R
u
a 
B
ra
si
l
Ru
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ap
‹o
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330 Ensino Fundamental
5 Em relação ao cubo representado abaixo, cujos vértices são os pontos A, B, C, D, E, F, G e H, faça o que se pede.
A B
C
D
E
F
GH
a) Escreva o nome de duas retas que são perpendiculares à reta BF
sru
.
b) Escreva o nome de duas retas que são paralelas à reta AB
s ru
.
6 Usando régua e esquadro, desenhe na f gura abaixo uma reta paralela à reta r, que passe pelo ponto P.
P
r
7 Usando régua e esquadro, desenhe na f gura abaixo uma reta perpendicular à reta s, que passe pelo ponto Q.
Q s
8 Uma quadra para a prática de esportes com a forma de um retângulo ABCD será construída em um parque. 
Na figura, já foi marcado o lado AB desse retângulo. Sabendo que o ponto P pertence ao lado CD do retân-
gulo, construa, com régua e esquadro, os outros três lados do retângulo ABCD.
P
A
B
9 Na letra R do seu glossário, anote a palavra retas e explique o signif cado de:
• retas paralelas;
• retas concorrentes;
• retas perpendiculares.
Faça um desenho representando cada uma das três explicações.
gulo, construa, com régua e esquadro, os outros três lados do retângulo ABCD.
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NÚMEROS RACIONAIS 
EM DIFERENTES CONTEXTOS15
Você já se deu conta de como os números decimais estão presentes no nosso cotidiano? 
Diariamente os identificamos em noticiários, pesquisas, valores monetários...
O númer
o médio 
de 
anos de e
studo dos
 bra-
sileiros co
m dez ou
 mais 
anos de i
dade aum
entou 
de 7,5 pa
ra 7,7.
Índice de analfabetos diminuiu de 8,7% 
em 2012 para 8,3% em 2013.
Já estudamos que os números decimais fazem parte do conjunto dos números ra-
cionais, os quais foram abordados no Caderno anterior. Aprendemos que um número 
racional pode estar na representação decimal ou fracionária. Vamos ampliar nossos 
conhecimentos sobre esses números.
NÚMEROS DECIMAIS EM CONTEXTOS DE PESQUISAS
Você já está cursando o 6o ano e, provavelmente, tem entre 10 e 12 anos, que é a 
idade prevista para o estudante que entrou na escola na idade correta. No entanto, essa 
não é, ainda, a realidade do nosso país. Vamos conhecer alguns dados sobre a educação 
brasileira.
Nosso sistema educacional está dividido em dois níveis: educação básicae educação 
superior. A educação básica está dividida em três níveis: educação infantil (faixa etária 
de 0 a 5 anos), Ensino Fundamental (faixa etária de 6 a 14 anos) e Ensino Médio (faixa 
etária de 15 a 17 anos). Isso significa que um estudante que concluir sem interrupção 
a educação básica contará na ocasião com mais ou menos 17 anos. Por lei, a educação 
básica é obrigatória no país.
Periodicamente, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realiza pes-
quisas para obter informações sobre a população brasileira. Uma dessas pesquisas é a 
chamada Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD). Vamos conhecer alguns 
dados obtidos na PNAD de 2013.
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Ensino Fundamental
1 O gráfi co a seguir traz informações sobre o percentual de estudantes matriculados no Brasil, numa comparação entre os 
anos de 2004 e 2013.
a) De que tipo é esse gráfico? 
b) Qual é o seu conteúdo? 
c) Em qual nível de ensino está o maior percentual de matrículas?
 
d) Escreva os números decimais que representam as porcentagens acima em ordem crescente.
 
 
Fonte: IBGE, Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios 2004/2013.
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Taxa de matrícula no Brasil, 
por faixa etária
0
20
40
60
80
100
13,4
23,2
96,1
61,5
81,4 81,8
98,4
84,3
0 a 3 anos 4 a 5 anos 6 a 14 anos 15 a 17 anos
2004
2013
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2 Em 1971 a legislação brasileira determinou um ciclo obrigatório de 8 anos de escolaridade – era o chamado ensino 
de 1o grau, que hoje corresponde ao Ensino Fundamental. Isso signifi ca que as pessoas que nasceram após essa data 
(42 anos, em 2013) teriam de ter, no mínimo, 8 anos de escolaridade. Veja na tabela, os dados da PNAD 2013 sobre a 
média de anos de estudo das pessoas de 25 anos ou mais de idade.
 
Brasil e regiões 
Média de anos de estudo das pessoas com 25 anos ou mais de idade
2004 2013
Brasil 6,4 7,7
Norte 5,8 7,1
Nordeste 4,9 6,4
Sudeste 7,1 8,4
Sul 6,8 8,0
Centro-Oeste 6,6 8,1
Fonte: IBGE, PNAD 2004/2013
a) O país cumpriu a sua meta de escolarização? Justifique.
b) Em quais regiões essa meta não foi cumprida? Justifique
c) Escreva em ordem crescente os dados de 2004.
d) Escreva em ordem decrescente os dados de 2013.
e) Em qual região houve o maior aumento da média de anos de estudo? Deixe registrado seu raciocínio.
f) Essa diferença é maior ou menor que a diferença de média de anos de estudo do Brasil? Deixe registrado seu raciocínio.
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8334 Ensino Fundamental
1 Compare os decimais seguintes utilizando os símbolos 5 ou Þ. Para isso, represente cada decimal na malha quadriculada 
e, em seguida, dê a escrita fracionária correspondente.
a) 0,2 
 
 0,02
 
0,2 0,02
b) 0,5 0,50
 
0,5 0,50
2 Sem utilizar a malha quadriculada, compare os decimais usando os símbolos 5 ou Þ .
a) 0,3 0,300
b) 2,500 2,5
c) 0,085 0,805
d) 35,6 35,06
e) 0,006 0,06
f) 9,5 9,500
g) 8,350 8,35
h) 0,900 0,9
3 Observando os resultados obtidos nos dois exercícios anteriores, o que se pode concluir quanto ao algarismo zero, quan-
do ele se encontra nas ordens decimais de um número?
Considere a malha 
quadriculada como o todo 
 referência ou unidade.
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
Na atividade anterior, você realizou a comparação de números decimais. Vamos agora 
sistematizar essas ideias.
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4 A tabela traz a taxa de analfabetismo (em %) das pessoas no Brasil com 15 anos ou mais de idade.
 
Brasil e regiões 
Taxa de analfabetismo das pessoas com 15 ou mais anos de idade
2004 2013
Brasil 11,5 8,5
Norte 13,0 9,5
Nordeste 22,4 16,9
Sudeste 6,6 4,8
Sul 6,3 4,6
Centro-oeste 9,2 6,5
Fonte: IBGE/PNAD 2004/2013 
a) Reorganize esses dados na tabela abaixo, colocando-os em ordem decrescente, de acordo com a respectiva região.
Regiões 
Taxa de analfabetismo das pessoas com 15 ou mais anos de idade
2004 2013
b) As taxas do Brasil foram: 11,5% em 2004 e 8,5% em 2013. Quais eram as regiões brasileiras que tinham a taxa de 
analfabetismo inferior à do Brasil em 2004? E em 2013?
5 Escreva em ordem crescente cada sequência de números decimais:
a) 2,1 ♦ 2,5 ♦ 2,01 ♦ 2,51 ♦ 2,05 ♦ 2,501
b) 15,6 ♦ 15,06 ♦ 15,16 ♦ 15,016 ♦ 15,061 ♦ 16,601 
6 Indique três números decimais compreendidos entre:
a) 0 e 1 
b) 0 e 0,1 
c) 1 e 2 
d) 1 e 1,2 
e) 1 e 1,02 
f) 7 e 7,5 
g) 7,4 e 7,5 
h) 8,25 e 8,3 
i) 8,9 e 9 
j) 0,15 e 0,2 
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8336 Ensino Fundamental
7 Escreva os procedimentos para a comparação de dois números decimais.
EXERCÍCIO
1 Complete os quadrados da reta acima com os números que faltam.
2 O segmento de reta abaixo representa o intervalo de 7 a 8, ou seja, uma unidade na reta numérica. 
7 8
Considere os números que estão relacionados aleatoriamente abaixo. Entre eles, escolha aqueles que podem ser colocados 
nos pontos indicados nos retângulos da reta numérica.
7,750 7,740 7,07 7,09 7,500 7,90
LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS NA 
RETA NUMÉRICA
Você aprendeu diferentes maneiras de representar um mesmo número. Agora vamos 
ver como indicá-los em uma reta. Para isso, escolhemos um ponto da reta para repre-
sentar o número 0 (zero), que será chamado de origem.
O
A origem ser‡ simbolizada
pela letra maiœscula O. 
Em seguida, escolhemos outro ponto para representar o número 1. A distância entre 
os dois pontos escolhidos indica a unidade de medida adotada.
O
Unidade de medida
0 1
Para representar os outros números naturais, basta ir avançando na reta, de modo 
que a distância entre dois números seguidos seja sempre igual à unidade de medida.
10
A reta, assim obtida, chama-se reta numŽrica. 
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3 Na corda a seguir, está representada a unidade (intervalo de 6 a 7).
7
6
Coloque os números abaixo no seu lugar correspondente sobre a corda.
6,2 6,03 6,3 6,04 6,05 6,5 6,011 6,022 6,39
4 Para cada sequência abaixo, escreva qual é a regularidade que existe e complete-a com mais 5 elementos.
a) 4,0 ♦ 3,75 ♦ 3,5 
b) 0,1 ♦ 0,125 ♦ 0,15 
c) 35,1 ♦ 35,09 ♦ 35,08 
d) 7,3 ♦ 8,05 ♦ 8,8 
Utilize o infográfi co para responder aos testes 1 e 2.
83,3% 16,7%
59,3% 40,7%
115 885
(79,7%)
29 500
(20,3%)
Alfabetizados Alfabetos
funcionais
A população de analfabetos funcionais
reúne 29,5 milhões de brasileiros: os 14,1 milhões 
que não sabem sequer escrever o 
próprio nome somados com 15,4 milhões
que não concluíram sua alfabetização.
Analfabetismo funcional em milhares de pessoas com 
15 anos de idade ou mais
Em áreas urbanas
Em áreas rurais
Disponível em: https://almanaque.abril.com.br/educacao. Acesso em: 20 de mar. de 2015.
TESTE
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8
338 Ensino Fundamental
1 De acordo com o infográfi co, a população de alfabetizados no Brasil é de:
a) 115 885.
b) 115 885 000.
c) 29 500.
d) 29 500 000. 
2 Quanto à distribuição dos alfabetizados e analfabetos funcionais, é correto afi rmar que:
a) a zona urbana e a zona rural têm a mesma porcentagem de analfabetos funcionais.
b) o maior percentual de alfabetizados encontra-se na zona rural.
c) na zona rural, há o mesmo percentual de alfabetizados e de analfabetos funcionais.
d) na zona rural, há mais de 40% de analfabetos funcionais. 
3 Considere as afi rmações:
 I. 0,02 , 0,0035.
 II. 1,73 está compreendido entre 1,7 e 1,8.
 III. 0,1050 5 0,15.
É(São) verdadeira(s): 
a) apenas a afirmação I.
b) apenas a afirmação II.
c) apenas as afirmações I e III.
d)as três afirmações.
EM CASA
1 Alguns dados sobre a população brasileira
A população brasileira está irregularmente distribuída no território. Enquanto as regiões Nordeste, Sudeste 
e Sul reúnem 88% da população do país e ocupam 36% do território nacional, as regiões Norte e Centro-Oeste, 
com 12% da população, ocupam 64% do território brasileiro.
Outro dado interessante é que 40% dos brasileiros residem fora do município em que nasceram.
Escreva as porcentagens do texto na forma de fração decimal e de número decimal.
2 Dê as outras representações possíveis para os números indicados a seguir. 
a) 30
100
b) 7
10
c) 0,49
d) 23%
3 Os números 2,01; 2,001; 2,08; 2,004; 2,009 e 2,03 são maiores que 2 e menores que 2,1. Escreva outros cinco 
números maiores que 2 e menores que 2,1.
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4 Os números decimais seguintes estão compreendidos entre quais números naturais consecutivos?
a) 0,33
b) 2,1
c) 36,36
d) 5,406
e) 9,04
f) 15,36
5 Considere os seguintes números:
8 8,1 8,01 8,003 8,213 8,4 8,3
Quais desses números são:
a) menores que 8,3?
b) maiores que 8,213?
c) maiores que 8,1?
d) menores que 8,2?
6 Vamos comparar dados percentuais.
a) Escreva duas porcentagens compreendidas entre 52% e 64,7%. 
b) A porcentagem 64,07% está no intervalo citado no item a? Justifique sua resposta.
7 Complete as sequências acrescentando 6 elementos:
a) 7,2 ♦ 7,24 ♦ 7,28 ...
b) 64,7 ♦ 64 ♦ 63,3 ...
8 Considere os seguintes números decimais:
71,2 71,229 71,3 71,299 71, 21 71,03 71,12
a) Circule os números menores que 71,23.
b) Entre os números do quadro, qual é o maior? E qual é o menor?
9 Na letra N de seu glossário, anote números racionais. Em seguida, registre os procedimentos necessários para a 
comparação de dois números racionais na representação decimal.
Dois números naturais 
são consecutivos se o 
maior deles é o menor 
acrescido de 1 unidade. 
Exemplo: 4 e 5 são dois 
números naturais con-
secutivos (4 1 1 5 5).
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8340 Ensino Fundamental
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO POR 10, 
100 E 1 000 COM NÚMEROS DECIMAIS16
Nas aulas de Matemática, você tem usado a calculadora com estas finalidades:
• descobrir como funcionam suas teclas e algumas de suas funções;
• realizar cálculos numéricos muito cansativos ou descobrir regras, validar estratégias, 
resolver desafios, comprovar resultados.
A calculadora não deve substituir o seu trabalho na vida escolar, e sim servir como 
ferramenta para ampliar seus conhecimentos. É o que vamos fazer neste Módulo.
DESCOBRINDO REGRAS COM A CALCULADORA
1 Dê os seguintes comandos na calculadora e, em seguida, registre os resultados das sequências obtidas.
a) 11 0 5 55 55 55 50 53
1o resultado: 10 3 5 5 
2o resultado: 3 5 
3o resultado: 3 5 
4o resultado: 3 5 
Sequência obtida: 
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H
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b) 11 0 1 33 55 55 5 55 5 50 13
1o resultado: 10 3 13 5 
2o resultado: 3 5 
3o resultado: 3 5 
4o resultado: 3 5 
Sequência obtida: 
c) 11 0 2 55 55 5 55 5 55 5 50 223
1o resultado: 10 3 25 5 
2o resultado: 3 5 
3o resultado: 3 5 
4o resultado: 3 5 
Sequência obtida: 
2 O que há em comum nas sequências obtidas na atividade anterior? 
3 Dê os seguintes comandos na calculadora e depois registre os resultados no quadro de ordens:
a) 11 0 4 .. 33 00 55 55 55 5 55 5 50 443
Ordens inteiras
,
Ordens decimais
CM DM UM C D U déc. cent. mil. ...
4 , 3 0 5
b) 11 0 3 11 ?? 44 77 55 55 55 5 55 5 50 333
Ordens inteiras
,
Ordens decimais
CM DM UM C D U déc. cent. mil. ...
3 1 , 4 7 5
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342 Ensino Fundamental
4 Agora registre somente a sequência obtida a partir dos comandos.
a) 11 0 1 ?? 22 72 7 55 55 5 55 5 50 13
Sequência obtida: 
b) 11 0 0 ?? 33 13 1 22 99 55 55 5 55 5 50 003
Sequência obtida: 
5 O que há em comum nas sequências obtidas nas atividades 3 e 4? 
6 Sem utilizar calculadora, determine os produtos: 
a) 10 3 1,35 5 
b) 10 3 2,05 5 
c) 10 3 13,4 5 
d) 10 3 162,30 5 
e) 10 3 162,3 5 
f) 10 3 0,123 5 
7 Conf ra os resultados do item 6 em sua calculadora.
8 Use a calculadora para fazer os seguintes cálculos:
a) 100 3 2,35 5 
b) 100 3 0,275 5 
c) 1 000 3 13,12 5 
d) 1 000 3 0,1295 5 
e) 10 3 1,05 5 
f) 10 3 0,135 5 
g) 100 3 0,148 5 
h) 1 000 3 0,148 5 
9 Observando os resultados dos itens anteriores, que regra você pode deduzir para a multiplicação por 10, 100 e 1 000? 
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10 A regra registrada no item 9 facilita o cálculo mental da multiplicação por 10, 100 e 1 000 (e demais potências de base 10). 
Aplicando essa regra, calcule mentalmente e registre os resultados:
a) 0,25 3 10 5 
b) 10 3 0,001 5 
c) 10 3 3,015 5 
d) 0,027 3 100 5 
e) 0,027 3 1 000 5 
f) 1 000 3 0,0312 5 
g) 0,1389 3 100 5 
h) 31,2 3 100 5 
i) 0,5 3 1 000 5 
j) 8 3 100 5 
11 Em sua opinião, o que aconteceria na divisão de um número por 10, 100 ou 1 000? (Considere esse número diferente 
de zero.)
12 Use a calculadora para fazer as divisões abaixo. Em seguida, verif que se sua resposta à atividade 11 está correta.
a) 325 ; 10 5 
b) 325 ; 100 5 
c) 325 ; 1 000 5 
d) 31,98 ; 10 5 
e) 31,98 ; 100 5 
f) 31,98 ; 1 000 5 
g) 4 ; 10 5 
h) 4 ; 100 5 
i) 4 ; 1 000 5 
j) 0,1 ; 10 5 
k) 0,1 ; 100 5 
l) 0,1 ; 1 000 5 
13 Qual é a regra para dividir por 10, 100, 1 000?
14 Calcule mentalmente e registre os resultados das seguintes divisões:
a) 15 ; 10 5 
b) 15 ; 1 000 5 
c) 0,5 ; 10 5 
d) 0,5 ; 100 5 
e) 9,04 ; 10 5 
f) 0,9 ; 100 5 
g) 53,14 ; 10 5 
h) 120,6 ; 100 5 
i) 500 ; 1 000 5 
j) 2 300 ; 100 5 
15 Responda às questões e, em seguida, verif que sua resposta usando a calculadora.
a) Se no visor estiver 5 , quais teclas você deverá digitar para obter 0.5 ?
b) Se no visor estiver 2.4 , quais teclas você deverá digitar para obter 0.24 ?
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344 Ensino Fundamental
c) Se no visor estiver 7 , quais teclas você deverá digitar para obter 0.07 ?
d) Se no visor estiver 1.8 e, após você digitar algumas teclas, aparecer 18 , quais podem ter sido as teclas apertadas?
e) Se no visor estiver 1.051.051.05 e, após você digitar algumas teclas, aparecer 105 , quais podem ter sido as teclas apertadas?
16 Complete a tabela sem ajuda da calculadora.
No visor de sua calculadora 
aparece
Teclas apertadas Resultado obtido
a 30 0.3
b 110 0.11
c 15.8 0.0158
d 0.6 60
e 0.9 900
f 40.25 4 025
1 Um milhão de objetos
 Um objeto pesa 89,4 g. Calcule mentalmente quantas toneladas pesam um milhão de 
objetos iguais a esse.
2 O barco
 Três homens querem atravessar um rio. O barco deles tem capacidade para transportar, no máximo, 150 kg. Eles pesam 
50 kg, 75 kg e 120 kg. Como devem proceder para atravessar o rio sem afundar o barco?
DESAFIO
Lembre-se: em 1 tonelada 
há 1 000 quilogramas.
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1 O próximo número da sequência 765 300; 76 530 ; 7 653 é
a) 7,653 b) 76,53 c) 765,3 d) 0,7653
2 O número 3,75 3 108 também pode ser representado como:
a) 375 3 106 b) 375 3 1010 c) 37,5 3 109 d) 37 500 000 000
TESTE
EM CASA
1 Complete os esquemas e os registros indicados:
a) 
0,325
3 10 3 10 3 10
0,325 3 10 5 
0,325 3 10 3 10 5 
0,325 3 100 5 
0,325 3 10 3 10 3 10 5 
0,325 3 1 000 5 
b) 
25
; 10 ; 10 ; 10
25 ; 10 5 
25 ; 10 ; 10 5 
25 ; 100 5 
25 ; 10 ; 10 ; 10 5 
25 ; 1 000 5 
2 Torne 10 vezes maior cada um dos números:
a) 7,05 b) 0,5 c) 0,75 d) 1,05 e) 0,0783 Torne 10 vezes menor cada um dos números:
a) 72 b) 425 c) 7 d) 0,6 e) 4,7
4 Calcule mentalmente e registre o resultado das seguintes operações:
a) 76,53 ; 10 5 
b) 76,53 ; 100 5 
c) 76,53 ; 1 000 5 
d) 76,53 3 10 5 
e) 76,53 3 100 5 
f) 76,53 3 1 000 5 
g) 45 3 10 5 
h) 3,75 3 100 5 
i) 0,03 3 1 000 5 
j) 450 ; 10 5 
k) 3 754 ; 100 5 
l) 873 ; 1 000 5 
5 Na letra R do seu glossário, anote regras para multiplicar e dividir um número (diferente de zero) por 10, 
100 e 1 000. Em seguida, escreva as regras e dê exemplos.
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PORCENTAGEM17
No dia a dia, é frequente o uso da porcentagem em manchetes de jornais, gráficos e 
tabelas. Ela se torna uma forma prática de representar dados e facilitar a sua compreensão 
pelo leitor. Por exemplo, se uma reportagem diz que o Brasil, em 2014, tinha 1 118 km 
de ciclovias em cidades com malha viária com aproximadamente 97 000 km de rua, isso 
seria um número suficiente para atendimento da população ou não? No entanto, se a 
reportagem informar que esse número de ciclovias representa 1% do total dessa malha 
viária, já podemos concluir que os ciclistas têm pouca mobilidade nas grandes cidades.
Nos Módulos anteriores, você explorou a porcentagem e já sabe que:
1% 5 
1
100, ou que 1% é 1 em cada 100, ou 1% 5 0,01.
Neste Módulo, vamos conhecer algumas estratégias para calcular porcentagem.
A PROBLEMÁTICA DO LIXO EM NOSSO PAÍS
Você já deve ter discutido nas aulas de Ciências, ou até mesmo nas de Matemática, 
o quanto ainda precisamos mudar nossos hábitos de forma a produzir menos lixo e, 
principalmente, saber dar a ele um destino adequado, cuidando do meio ambiente.
Apesar de tantas campanhas e um trabalho mais sério de educação ambiental, o cenário 
não é nada animador. Segundo levantamento realizado em 2013, houve um aumento do 
lixo produzido, em relação a 2012, em torno de 4% – taxa superior à dos anos anteriores.
Dos 5 570 municípios brasileiros, 1 569 ainda fazem uso de lixão. E, desses, mais da metade 
está no Nordeste, região que ainda conta com 837 lixões a céu aberto, contra 453 aterros 
sanitários licenciados.
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O gráfico a seguir contém dados sobre a coleta de lixo no Brasil e em suas regiões.
Totais coletados e da destinação inadequada, 
em percentual por região (2012)
0
20
40
60
80
100
Brasil
90
42
84
65
77
65
92
70
97
28
92
30
SulSudesteCentro-
-Oeste
NordesteNorte
Total coletado em % por regiões do país
Percentual do lixo coletado que vai para lixões ou aterros precários
Ricos em atraso
O Sul e o Sudeste,
regiões ricas,
reúnem 60% da
população urbana
do Brasil e geram
63% do total de lixo,
mas ainda enviam
quase um terço do
total coletado para
lixões ou aterros
precários.
Adaptado de: http://exame.abril.com.br/brasil/noticias/ainda-falta-muito-para-resolver-o-problema-do-lixo-
no-brasil e http://msalx.almanaque.abril.com.br. Acesso em: 20 mar. de 2015.
1 Vamos fazer uma análise dos dados desse gráf co:
a) De que tipo é esse gráfico? 
b) O que ele está comparando? 
c) Em quais regiões brasileiras a porcentagem de lixo coletado é superior à do Brasil? 
d) Em quais regiões brasileiras a porcentagem de lixo coletado que vai para lixões ou aterros precários é maior que a 
porcentagem do Brasil?
e) Nas regiões de maior porcentagem de lixo coletado, há também a maior destinação para lixões ou aterros precários? 
f) Pode-se dizer que apenas 58% do lixo coletado no Brasil vai para aterros sanitários? 
2 O país produz uma média diária de 250 mil toneladas de lixo. A região Sudeste produz 50% do lixo do país. Quantas tone-
ladas diárias são produzidas na região Sudeste? Deixe registrado seu raciocínio.
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Ensino Fundamental
ESTRATÉGIAS PARA CALCULAR PORCENTAGEM
Numa cidade, o total de lixo produzido diariamente é 200 toneladas e apenas 20% é 
reciclado. Em uma sala de aula do 6o ano, o professor Paulo, na análise da problemática 
do lixo, propôs a seus alunos que calculassem 20% de 200 toneladas. Veja como André 
e Letícia raciocinaram e registraram suas estratégias.
Já sei que 1% 5 1
100
20% é o mesmo que 20 em cada 100.
Então 1
100
 de 200 5 2 Assim, posso fazer:
Logo 20% de 200 20 em cada 100.
20 x 2 5 40. 40 em cada 200
André Letícia
1 Explique como foram os raciocínios de André e de Letícia.
2 Sabendo que 10% representam 10 em cada 100, interprete as porcentagens abaixo:
a) 20% 
b) 30% 
c) 25% 
d) 48% 
e) 90% 
f) 100% 
3 Calcule as porcentagens indicadas. Para isso, escolha uma estratégia e registre-a a seguir:
a) 10% de 300
b) 20% de 300
c) 30% de 300
d) 15% de 400
e) 25% de 400
f) 32% de 400
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ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO MENTAL PARA 
A PORCENTAGEM
Você já explorou duas estratégias para cálculos percentuais. É possível também usar 
outras estratégias que facilitam o cálculo mental da porcentagem. Vamos conhecê-las.
1 Quando o professor Paulo pediu a seus alunos que f zessem o cálculo de 24% de 700, surgiram as seguintes estratégias:
Júlia Rafael Mateus
24% de 700: 24% de 700: 24% de 700:
20% de 700 5 25% de 700 5 10% de 700 5 70
700 : 5 5 140 700 : 45 175 1% de 700 5 7
1% de 700 5 7 1% de 700 5 7 2 x 70 + 4 x 7 5
4 x 7 5 28 
140 + 28 5 168
175 – 7 5 168 140 + 28 5 168
Explique cada uma das estratégias apresentadas acima.
2 Calcule mentalmente as porcentagens indicadas a seguir e registre seu raciocínio: 
a) 25% de 800
b) 50% de 240
c) 20% de 120
d) 75% de 200
e) 20% de 75
f) 10% de 60
EXERCÍCIO 1
Agora que você conhece diferentes estratégias para o cálculo de porcentagens, já pode resolver algumas situações-
-problema. Em todos os casos, deixe registrado seu raciocínio.
Na lateral do gráf co da página 347 há a seguinte informação:
“O Sul e o Sudeste, regiões ricas, reúnem 60% da população urbana do Brasil e geram 63% do total de lixo […]”.
1 Considerando a população brasileira 210 milhões de habitantes, sendo aproximadamente 30% na zona rural, calcule:
a) o total da população urbana do país.
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Ensino Fundamental
b) da população urbana do país, quantos habitantes há nas regiões Sul e Sudeste.
2 Se o país produz diariamente 250 mil toneladas de lixo, qual seria a produção das regiões Sul e Sudeste?
USO DA CALCULADORA PARA O CÁLCULO 
DE PORCENTAGENS
Você já deve ter observado que a maioria das porcentagens que aparecem em matérias divulgadas na imprensa 
vem na forma de decimal. Nesse caso, quando quisermos saber o valor correspondente à porcentagem, podemos 
usar a calculadora para facilitar os cálculos.
Repare na tecla % de sua calculadora. É ela que iremos aprender a usar.
1 Uma das preocupações mundiais tem sido o lixo eletrônico, chamado de e-lixo. Anualmente, em todo planeta, são pro-
duzidas 50 milhões de toneladas de lixo eletrônico. A maior parte, no entanto, não recebe nenhum tipo de tratamento. O 
e-lixo gerado em países ricos é incinerado, despejado em aterros sanitários ou exportado ilegalmente para países como 
China, Índia e Brasil. Os Estados Unidos, por exemplo, produzem, anualmente, 9,4 milhões de toneladas de e-lixo e apenas 
14% são reciclados.
 Vamos utilizar a calculadora para calcular o total de toneladas de e-lixo que os Estados Unidos reciclam anualmente. Va-
mos trabalhar com todas as ordens da produção total: 9 400 000.
Há dois procedimentos para fazer esse cálculo usando a calculadora.
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1o procedimento: usando a tecla % .
•Tecle na calculadora: 9 400 000. 
9 4 0 00 00 00 09 4 0
• Aperte a tecla 3
• Tecle 1 41 4
• Tecle %
Anote o número que aparece no visor: 
2o procedimento: usando número decimal.
• Transforme a porcentagem em número decimal:
 14 % = 14
100
 = 14 : 100 = 0,14
• Tecle na calculadora 9 400 000.
9 4 0 00 00 00 09 4 0
• Aperte a tecla 3
• Tecle 0 . 1 40 . 1
• Anote o número que aparece no visor: 
• É o mesmo número obtido no procedimento anterior? 
2 A China é o segundo país com a maior produção de e-lixo: 7,3 milhões de toneladas. Desse total, apenas 6% é reciclado.
Calcule o total de e-lixo reciclado na China. Use a estratégia que quiser e registre-a.
3 O estado de Minas Gerais coleta 5 milhões de toneladas de lixo por ano. Veja na tabela o destino desse lixo. Complete 
a terceira coluna da tabela com o total de lixo em cada destino.
Destino 
do lixo
%
Total 
(em toneladas)
Aterro 
sanitário
64,2
Aterro 
controlado
18,9
Lixão 16,9
Disponível em: http://planetasustentavel.abril.com.br/pops/o-mapa-do-lixo-info-ng-lixo.shtml. 
Acesso em: 22 mar. de 2015.
Lembre-se: a vírgula na 
calculadora é representada 
pelo ponto. Assim, digita-se 
64.2 para 64,2.
Aterro controlado – O aterro 
controlado já foi lixão e 
acabou remediado para evitar 
maiores danos ao ambiente. 
É feita uma cobertura (saibro 
ou argila) para que o lixo 
não fique exposto ao ar livre.
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Ensino Fundamental
MAIS UMA ESTRATÉGIA DE CÁLCULO DE PORCENTAGEM
1 Considere a seguinte situação: numa cidade, 40% do lixo produzido é reciclado. Se 10 toneladas são recicladas diaria-
mente, como podemos proceder para calcular o total de lixo produzido em um dia?
2 Para resolver a situação anterior, um aluno utilizou a seguinte estratégia:
 
 
Porcentagem Total de toneladas
40 10
20 5
100 25
Explique o raciocínio desse aluno.
3 Utilizando uma das estratégias discutidas por sua turma, resolva as situações abaixo. Deixe registrado o raciocínio adotado. 
a) 30 alunos representam 10% de quantos alunos?
b) 60 reais representam 30% de quantos reais?
c) 100 indústrias representam 20% de quantas indústrias?
d) 2 800 estudantes representam 10% de quantos estudantes?
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e) 5 alunos representam 10% de quantos alunos?
f) 8 alunos representam 40% de quantos alunos?
 
SÍNTESE DOS PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO 
DA PORCENTAGEM
Neste Módulo, você explorou alguns procedimentos para calcular a porcentagem. 
Retome-os e faça uma síntese, dando exemplos.
EXERCÍCIO 2
O gráf co traz a composição do lixo brasileiro.
 Sabendo que a média diária é de 250 mil toneladas de lixo, calcule o total de toneladas para cada tipo de lixo. Use o seu 
caderno para os cálculos, registrando o procedimento que utilizou. Em seguida, complete a tabela e, com a calculadora, 
conf ra os resultados.
Tipo de lixo produzido diariamente no Brasil Total (em toneladas)
Lixo orgânico
Papel e papelão
Plástico
Metais
Vidro
Outros
Composição do lixo brasileiro (em %)
Lixo orgânico
Papel e papelão
Plástico
Metais
Vidro
Outros
52
26
3
2
2
15
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8
354 Ensino Fundamental
1 Das 250 mil toneladas de lixo produzidas diariamente, 20% ainda vão para lixões. O total de lixo enviado diariamente para 
lixões é de:
a) 5 mil toneladas
b) 50 mil quilogramas
c) 5 3 107 kg
d) 5 3 107 t
2 Do total de 250 mil toneladas de lixo produzidas diariamente, somente 45% é reciclado. O restante vai para aterros sani-
tários, aterros controlados ou lixões. Isto signif ca que:
a) o país recicla mais de 125 mil toneladas do lixo produzido diariamente.
b) a maior parte do lixo produzido no país é reciclada.
c) 137 500 000 quilogramas de lixo vão para aterros ou lixões diariamente.
d) 50 mil toneladas de lixo vão para aterros sanitários diariamente.
3 No estado de Pernambuco, de 2,2 milhões de toneladas de lixo produzidas anualmente, em torno de 43% vão para aterros 
sanitários; 30%, para aterros controlados; e 27%, para lixões. Esses valores, em kg, correspondem, respectivamente, a:
a) 946 3 106 kg; 66 3 106 kg; 594 3 106 kg
b) 946 3 106 kg; 66 3 107 kg; 594 3 106 kg
c) 946 3 103 kg; 66 3 104 kg; 594 3 103 kg
d) 94,6 3 106 kg; 66 3 106 kg; 59,4 3 106 kg
4 O estado do Maranhão tem o pior índice de coleta de lixo do país. Apenas 40% do lixo produzido é coletado, o que corres-
ponde a 1,2 milhão de toneladas ao ano. O total de lixo produzido anualmente nesse estado é:
a) 300 mil toneladas.
b) 480 mil toneladas.
c) 4 milhões de toneladas.
d) 3 milhões de toneladas.
TESTE
EM CASA
1 Transforme as porcentagens em números decimais:
a) 9%
b) 97,5%
c) 2,493%
d) 0,007%
e) 0,5%
f) 4,8%
g) 2,1%
h) 45%
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2 Calcule as porcentagens a seguir e registre seu raciocínio:
a) 1% de 500
b) 10% de 20
c) 20% de 100
d) 2% de 1 000
e) 70% de 60
f) 80% de 1 200
g) 15% de 400
h) 25% de 200
i) 90% de 190
3 Use estratégias de cálculo mental para resolver as porcentagens. Em seguida, registre como você pensou. 
a) 10% de 250
b) 20% de 300
c) 25% de 60
d) 50% de 450
e) 75% de 200
f) 50% de 120
g) 25% de 160
h) 10% de 75
i) 15% de 600
j) 75% de 500
k) 42% de 500
l) 48% de 500 
4 Determine a parte que se pede em cada item. Depois, registre como você pensou:
a) 25% de 600
b) 18% de 1 200
c) 43% de 500
d) 28% de 100
e) 75% de 800
f) 16% de 200
5 Determine o todo nos casos abaixo e registre como você pensou:
a) 130 reais representam 10% de quantos reais?
b) 250 reais representam 25% de quantos reais?
c) 4 alunos representam 20% de quantos alunos?
d) 16 meninas representam 80% de quantos alunos?
6 Na letra P do seu glossário, anote porcentagem e registre exemplos de duas estratégias para calcular porcentagens.
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Ensino Fundamental
POLÍGONOS18
Qualquer pessoa que já tenha andado a pé pelas ruas do centro da cidade de São 
Paulo deve ter reparado nas calçadas com desenhos em branco e preto que imitam o 
mapa do estado de São Paulo. A oposição claro-escuro criada pelos desenhos produz 
um efeito bem interessante, que nos dá uma sensação de movimento.
O que pouca gente sabe é como surgiu essa 
ideia, que acabou se transformando em um 
dos símbolos da cidade. A autora do desenho 
é Mirthes Bernardes. Em 1966, quando era de-
senhista da Secretaria de Obras de São Paulo, 
ela venceu um concurso organizado pela pre-
feitura, e a estampa criada por ela passou a ser 
usada para pavimentar as calçadas de várias 
ruas pela cidade.
O segredo do sucesso do desenho de Mirthes 
talvez esteja na simplicidade: com apenas três 
tipos de lajotas quadradas dispostas lado a lado 
(uma branca, uma preta e uma branca e pre-
ta dividida na diagonal), é possível obter um 
padrão de repetição infinito. As figuras que 
compõem esse padrão pertencem a um grupo 
de formas geométricas denominadas polígonos. 
Neste Módulo, você vai estudar as principais 
características e alguns modos de classificar os 
polígonos.
<AngloEF2_Mat_6ano_CA2_F014 
- A foto abaixo é da edição atual. 
Gostaria que fosse substituída. Se 
possível, pesquisar uma foto de uma 
calçada mais larga, que permita vi-
sualizar melhor o padrão geomé-
trico que se estende infinitamente. 
Compor com o texto introdutório 
do módulo>
Calçada típica da cidade de São Paulo
Lajotas quadradas que 
compõem o padrão 
geométrico
C
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 D
E
 F
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/C
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 D
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CARACTERÍSTICAS DOS POLÍGONOS 
Para conseguir obter o padrão de repetição infinito nas calçadas da capital paulista, 
Mirthes Bernardesmodificou o contorno do mapa do estado de São Paulo. Observe as 
duas imagens a seguir:
1 Embora as duas imagens sejam parecidas, as linhas que formam seus contornos têm características diferentes. Observe-as 
novamente e anote as diferenças que você percebe entre os contornos das duas f guras.
2 As linhas destacadas em azul nas f guras a seguir apresentam características diferentes. Identif que algumas dessas carac-
terísticas e classif que as linhas em dois ou mais grupos, de acordo com o que você identif cou. Anote também os critérios 
usados na sua classif cação.
a) 
 
b)
 
Mapa do estado de São Paulo Figura que se repete nas 
calçadas paulistanas
c) 
 
d) 
 
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358 Ensino Fundamental
e) 
 
f) 
 
3 Os polígonos são f guras cujo contorno é uma curva fechada simples formada exclusiva-
mente pela união de três ou mais segmentos de retas. Dentre as f guras que você classif cou 
no exercício anterior, quais delas são polígonos?
 
 
A palavra polígono vem 
do grego: poli (muitos) e 
gono (ângulo).
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EXERCÍCIO 1
Os elementos de um polígono
Observe o polígono desenhado a seguir, formado pela união de cinco segmentos 
de reta.
A
B
C D
E
Veja agora quais são os principais elementos desse polígono:
• os segmentos de reta AB, BC, CD, DE e EA são os lados do polígono; 
• as extremidades desses segmentos, ou seja, os pontos A, B, C, D e E são os vértices 
do polígono; 
• em cada vértice existe um ângulo. Por exemplo, 
na figura ao lado está destacado o ângulo DD̂.
O nome de um polígono é dado escolhendo-
-se uma sequência de seus vértices, em sentido 
horário ou anti-horário, seguindo a mesma regra 
que já vimos para os retângulos. Por exemplo, 
podemos chamar o polígono do exemplo anterior de ABCDE ou CBAED.
C D
E
1 Dentre as f guras abaixo, identif que aquelas que são polígonos.
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
h) 
 
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8360 Ensino Fundamental
2 Nos polígonos a seguir, faça o que se pede.
A
B
D
V W
U X
H
G
K
JI
Z Y
C
a) Pinte de azul o polígono que apresenta cinco vértices.
b) Escreva o nome de todos os ângulos do polígono que tem seis lados.
c) Anote o nome de todos os lados do polígono com o menor número de vértices.
d) Nomeie cada um dos polígonos.
Vitral formado pela 
composição de vários 
polígonos
UMA CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS
Você já viu um vitral? São aqueles painéis de vidro coloridos, muito comuns em igrejas. 
Os polígonos que compõem o vitral abaixo não são todos iguais. Eles possuem algu-
mas características diferentes, que permitem classificá-los em diferentes grupos. Nesta 
seção, vamos utilizar os principais elementos de um polígono (lados, vértices e ângulos) 
para criar uma classificação para essas figuras geométricas.
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1 Registre o nome de cada polígono desenhado abaixo, indicando todos os seus vértices, ângulos e lados, conforme o exemplo.
a) A
C
B
 
b) P
E
O
T
c) F
K
J I
H
G
2 Complete a tabela a seguir com o número de vértices, de ângulos e de lados de cada um dos polígonos do item anterior.
 
Polígono Número de vértices Número de ângulos Número de lados
a)
b)
c)
3 Existe alguma relação entre o número de vértices, de ângulos e de lados de um polígono? Em caso af rmativo, explique essa 
relação.
Nome CBA
Vértices C, B e A
Ângulos Ĉ , B̂ e Â
Lados CB , BA e CA
Nome
Vértices
Ângulos
Lados
Nome
Vértices
Ângulos
Lados
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362 Ensino Fundamental
Os polígonos são classificados de acordo com seu 
número de lados. Por exemplo, um polígono de 4 lados 
é classificado como quadrilátero.
Um polígono de três lados é chamado triângulo. 
Lembre-se de que o número de ângulos de um po-
lígono é sempre igual ao seu número de lados!
Observe na tabela a seguir a classificação dos prin-
cipais polígonos segundo o número de lados.
A palavra quadrilátero 
é formada por dois ele-
mentos da língua latina: 
quadri (quatro) e late-
ro (lado”).
Polígono Número de lados Classificação
3 triângulo
4 quadrilátero
 
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
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1 A seguir temos a planta baixa de um apartamento, cujo contorno foi destacado em linha azul.
a) Quantos lados tem o polígono delimitado pela linha azul? 
b) Faça uma pesquisa para descobrir o nome desse polígono, considerando sua classificação segundo o número de lados.
2 No espaço a seguir, desenhe, com sua régua, um heptágono e um quadrilátero. Nomeie seus vértices e dê o nome de cada 
polígono desenhado.
EXERCÍCIO 2
Cozinha
Hall
Sala
Suíte
Quarto
Varanda
B
an
h
e
ir
o
B
an
h
e
ir
o
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8364 Ensino Fundamental
3 Observe os dois pentágonos abaixo.
JA
B R
I
L
H
O
U N
a) No pentágono ABRIL, todos os ângulos têm medidas iguais. A soma das medidas desses ângulos é igual a 540°. 
Quanto mede cada ângulo?
b) No pentágono JUNHO, dois ângulos medem 150°. A soma das medidas de todos os ângulos deste pentágono tam-
bém é igual a 540°. Quanto mede o ângulo Ô?
OUTRA CLASSIFICAÇÃO: POLÍGONOS CONVEXOS 
E POLÍGONOS NÃO CONVEXOS
Em uma aula de Geometria para o 6o ano, a professora pediu a cada aluno que 
desenhasse no caderno um hexágono. Observe os desenhos feitos por quatro alunos.
Laura
Bruna
Rafael
Gustavo
Embora todos os desenhos estivessem corretos, os alunos perceberam que alguns 
hexágonos apresentavam características diferentes. Vamos analisá-los.
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1 Separe esses hexágonos em dois grupos. Indique qual característica você considerou para fazer essa separação.
Ao separar os hexágonos, você pode ter levado em conta diferentes critérios. Por isso, 
diferentes respostas são possíveis. A partir de agora, vamos nos concentrar em uma das 
características. 
2 Observe a seguir os desenhos de Laura e Gustavo, agora com quatro pontos assinalados.
LauraLauraLaura Gustavo
a) Usando uma régua, trace linhas retas ligando os quatro pontos do desenho de Laura. Em seguida, faça o mesmo com 
os quatro pontos do desenho de Gustavo. 
b) Todos os segmentos que você traçou no desenho de Laura estão inteiramente dentro do hexágono?
c) Todos os segmentos que você traçou no desenho de Gustavo estão inteiramente dentro do hexágono?
d) Traçando uma linha reta, é possível ligar dois pontos quaisquer do hexágono de Laura, de modo que o segmento 
obtido não esteja inteiramente dentro do hexágono?
e) A característica que você constatou no hexágono de Laura permite classificá-lo como convexo. Já o hexágono de 
Gustavo é denominado não convexo. Observe os hexágonos desenhados por Rafael e Bruna. Qual deles é convexo?
Um polígono é chamado convexo quando, sempre que unimos dois quaisquer 
de seus pontos por uma linha reta, o segmento obtido fica inteiramente dentro desse 
polígono. Se isso não é possível, ele é chamado não convexo.
Polígono convexo Polígono não convexo
De olho... nos polígonos convexos e não convexos
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Ensino Fundamental
1 Classif que os polígonos abaixo em convexos ou não convexos.
a) b) c) d) 
2 Usando sua régua, desenhe, na malha pontilhada abaixo, um hexágono convexo e um pentágono não convexo. Utilize os 
pontos da malha como vértices dos seus polígonos. Em seguida, nomeie os dois polígonos desenhados. 
 
 
Hexágono 
Pentágono 
EXERCÍCIO 3
DESAFIO
Um polígono foi construído com 6 quadrados idênticos.
a) Usando somente dois segmentos de reta, divida esse polígono em trêspartes iguais.
 
b) Usando somente três segmentos de reta, divida esse polígono em quatro partes iguais.
 
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1 André desenhou uma grande estrela em uma das páginas de seu caderno de desenho.
Esta estrela tem forma de um polígono com:
a) 7 lados e 7 vértices.
b) 7 lados e 14 vértices.
c) 14 lados e 7 vértices.
d) 14 lados e 14 vértices.
2 Para formar o padrão geométrico das calçadas da cidade de São Paulo, são usadas lajotas quadradas de três tipos: inteira branca, 
inteira preta e branca e preta dividida na diagonal. Os três tipos de lajota estão indicados em vermelho na f gura a seguir.
?
 Em uma lajota branca e preta, a diagonal divide o ângulo reto do quadrado em dois ângulos de medidas iguais. Com esta 
informação, podemos concluir que o ângulo indicado pelo símbolo ? na f gura acima mede:
a) 90°.
b) 100°.
c) 120°.
d) 135°.
3 Observe o mosaico ao lado, construído com várias cópias de um mesmo polígono.
O polígono usado para construir este mosaico é um:
a) retângulo.
b) quadrilátero não convexo.
c) hexágono não convexo.
d) hexágono convexo. 
TESTE
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368 Ensino Fundamental
1 Observe o polígono ao lado e faça o que se pede.
a) Escreva o nome desse polígono.
b) Quantos vértices ele tem?
c) Quantos lados ele tem? Escreva o nome de todos eles.
d) Escreva o nome de dois lados paralelos desse polígono.
e) Escreva o nome de dois lados perpendiculares desse polígono.
2 Os polígonos abaixo podem ser usados para recobrir uma calçada plana, do mesmo modo que o polígono se-
melhante ao mapa do estado de São Paulo é usado nos ladrilhos de calçadas, como você estudou no início deste 
Módulo. Observe que, ao juntarmos vários desses polígonos, eles vão se encaixando perfeitamente uns nos outros, 
formando um padrão geométrico.
Considere os dois polígonos desenhados abaixo.
1 2
a) Qual dos dois polígonos poderia ser usado para recobrir uma calçada plana, sem que ficassem falhas entre eles?
b) Recubra a malha quadriculada a seguir com o polígono que você escolheu no item a. Use duas cores para 
gerar o mesmo efeito do exemplo dado no início desta atividade. 
3 Entre as f guras desenhadas a seguir, identif que:
a) todas as que não representam polígonos; 
b) todos os octógonos; 
c) todos os polígonos de cinco vértices; 
d) todos os polígonos que apresentam pelo menos um ângulo reto.
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4 Os locais onde ocorrem os combates da modalidade de luta MMA (em português, artes marciais mistas) são chama-
dos de octógonos, devido ao seu formato.
 A soma das medidas de todos os ângulos do polígono que dá forma aos ringues de MMA é igual a 1 080°. Se todos 
os ângulos desse polígono têm a mesma medida, quanto mede cada um desses ângulos?
5 Para armazenar o mel em favos, as abelhas constroem células (os alvéo-
los) com o formato de hexágonos regulares, isto é, hexágonos cujos 
lados e ângulos têm a mesma medida. Esse formato permite melhor 
aproveitamento de espaço e maior capacidade de armazenamento, já 
que todas as células compartilham suas paredes, não deixando nenhum 
vão livre entre elas.
 Com base nessa informação, calcule a medida de cada ângulo das 
células usadas pelas abelhas na construção de suas colmeias.
6 A bandeira mostrada abaixo à esquerda é de um estado brasileiro e a da direita é de um país da Europa.
 Uma das bandeiras é constituída por um polígono vermelho, e, a outra, por um polígono branco. 
a) Quantos lados tem cada um desses polígonos? 
b) Qual desses polígonos é convexo? E qual é não convexo?
c) Faça uma pesquisa para descobrir a qual estado brasileiro pertence a bandeira da esquerda e a qual país da 
Europa pertence a bandeira da direita.
7 Desenhe cada polígono conforme as instruções dadas a seguir. Dê o nome de cada um deles.
a) Quadrilátero convexo que tenha dois lados paralelos.
b) Hexágono não convexo que tenha um ângulo reto.
8 Na letra P do seu glossário, anote a palavra pol’gono. Em seguida:
• faça um desenho indicando seus principais elementos (lado, vértice e ângulo);
• escreva o signif cado de polígono convexo e exemplif que com um desenho.
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8370 Ensino Fundamental
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: 
PROPRIEDADES E RELAÇÕES19
Neste Módulo, estudaremos algumas propriedades da adição e da subtração e as 
relações existentes entre essas operações. 
Vamos, inicialmente, recordar os termos dessas operações. Observe-os nos quadros abaixo:
ADIÇÃO SUBTRAÇÃO
 15 Parcelas 35 Minuendo (aquele que vai diminuir)
120 220 Subtraendo (quanto vai ser subtraído)
 35 Soma ou total 15 Resto ou diferença
Operação: Adição Operação: Subtração
 Sinal: 1 Sinal: 2
RELAÇÕES ENTRE A ADIÇÃO E A SUBTRAÇÃO
Existem relações entre a adição e a subtração. Conheça algumas delas respondendo 
às questões propostas a seguir.
1 Qual é o número que deve ser adicionado a 10 para se obter 35? Registre como você pensou.
2 Qual é o número que deve ser adicionado a 57 para se obter 113? Que operação você pode fazer para obter esse número?
3 Subtraindo 27 unidades de um número, obtemos 18. Que número é esse? Que operação 
você pode fazer para chegar a esse resultado? A relação que você 
observou entre as ope-
rações de adição e de 
subtração ocorre porque 
a subtração é a operação 
inversa da adição. Conhe-
cendo-se o subtraendo 
e o resto, basta fazer a 
adição entre eles para se 
conhecer o minuendo.
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4 Verif que se essa relação entre uma operação e sua inversa pode ser usada para resolver a seguinte situação: 
 
Qual é o número que subtraído de 45 resulta 23?
5 Sintetize as relações que você estabeleceu entre a adição e a subtração. Para isso, complete a coluna da direita da tabela, 
calculando o termo desconhecido.
• Como calcular a parcela desconhecida de uma adição:
 
Operação dada Operação a ser realizada
?
1 32
51
• Como calcular o minuendo desconhecido de uma subtração:
 
Operação dada Operação a ser realizada
 ?
2 39
 27
• Como calcular o subtraendo desconhecido de uma subtração:
 
Operação dada Operação a ser realizada
80
2 ?
37
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8372 Ensino Fundamental
Vamos utilizar essas relações e os nomes dos termos da adição e da subtração na resolução de situações-problema.
1 Numa adição, as parcelas são 219 e 326. Qual é a soma?
2 Numa subtração, o minuendo é 426 e o subtraendo é 297. Qual é o resto?
3 Numa subtração, o minuendo é 309 e o resto é 198. Calcule o subtraendo.
4 Numa subtração, o subtraendo é 137 e o resto é 936. Qual é o minuendo?
5 Observe a anotação de serviço prestado pela lavanderia aonde a mãe de Marcela costuma levar as roupas da casa. O valor 
pago pela lavagem das 3 calças ficou ilegível na nota. Calcule-o. 
 
2 camisas ................... R$ 48,00
1 vestido ....................... R$ 32,00
3 calças ..................... R$ 
Total .......................... R$ 155,00
EXERCÍCIO 1
UMA PROPRIEDADE DA ADIÇÃO
Caio e Pedro colecionam réplicas de carros de corrida. 
Caio tem 18 carros e Pedro, 15.
Para cada situação dada a seguir, faça os cálculos necessários 
e registre na tabela com quantos carros f caria cada garoto e 
o total que os dois teriam juntos. 
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a) Caio ganhou 5 carros no seu aniversário.
b) Pedro ganhou 7 carros no Natal.
c) Caio doou 5 dos seus carros, que eram repetidos, a uma creche no Natal, e Pedro ganhou 5.
d) Cada um deles doou 3 de seus carros a uma creche.
e) Ambos ganharam 4 carros no Dia das Crianças.
f) Pedro doou 3 de seus carros a seu primo, e Caio ganhou 3.
Situação Caio Pedro Total
Referência 18 15
a
b
c
d
e
f
1 Considere a tabela e as situações dadas no item anterior.
a) Qual era o total de carros que Caio e Pedro tinham na situação dada como referência?
b) Em que outras situações esse total se manteve? Explique por que isso aconteceu.
2 Considere a adição:
37 1 15 5 52
a) O que acontecerá com a soma dessa adição se somarmos 7 às duas parcelas?
b) O que acontecerá com a soma dessa adição se subtrairmos 7 das duas parcelas?
c) O que acontecerá com a soma dessa adição se subtrairmos 7 da primeira parcela e somarmos 7 à segunda parcela?
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8374 Ensino Fundamental
d) Se somarmos 10 à primeira parcela, o que devemos fazer na segunda parcela para que a soma permaneça 52?
e) Se subtrairmos 10 da primeira parcela, o que devemos fazer com a segunda parcela para que a soma permaneça 52?
3 Dada uma adição, que operações podem ser feitas em seus termos para que a soma permaneça a mesma? Dê um exemplo. 
UMA PROPRIEDADE DA SUBTRAÇÃO
1 Mateus e Rafael colecionam games cards. Mateus já tem 35 e Rafael tem apenas 10. Para cada situação dada a seguir, faça 
os cálculos necessários e registre na tabela com quantos game cards f caria cada menino e a diferença do número de 
game cards entre eles. 
a) Mateus ganhou 13 novos game cards.
b) Rafael conseguiu 19 novos game cards.
c) Rafael deu 9 game cards a seu primo Mateus.
d) Cada um deles ganhou 15 novos game cards.
e) Mateus deu 9 game cards a Rafael.
f) Rafael deu 5 game cards a Mateus.
g) Cada um deles perdeu 3 game cards.
h) Mateus conseguiu 7 novos game cards e Rafael, 3. 
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Situação Mateus Rafael Diferença
Referência 35 10
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g
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2 Considere a tabela e as situações do item anterior.
a) Qual é a diferença entre o número de game cards na situação dada como referência?
b) Em que outras situações essa diferença permaneceu a mesma? Justifique por que isso aconteceu.
3 Considere a subtração:
42 – 19 5 23
a) O que acontecerá com a diferença dessa subtração se somarmos 5 ao minuendo?
b) O que acontecerá com a diferença dessa subtração se somarmos 5 ao subtraendo?
c) O que acontecerá com a diferença dessa subtração se subtrairmos 5 dos dois termos?
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Ensino Fundamental
d) O que acontecerá com a diferença dessa subtração se somarmos 5 ao minuendo e subtrairmos 5 do subtraendo?
e) O que acontecerá com a diferença dessa subtração se somarmos 5 tanto ao minuendo como ao subtraendo?
4 Dada uma subtração, que operações podem ser feitas em seus termos para que a diferença entre eles não se altere? 
Dê um exemplo.
ESTIMATIVAS E ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO MENTAL 
Em muitas ocasiões, a estimativa e o cálculo mental são mais úteis para resolvermos 
algumas operações do que os próprios algoritmos.
Estimar é pensar num valor que esteja próximo ao resultado, mas não há neces-
sidade de chegar ao resultado exato. Para fazer uma estimativa, podemos usar proprie-
dades do sistema de numeração decimal e das operações. Por exemplo, para a adição 
857 1 136, podemos dizer que a soma está em torno de 1 000, pois podemos pensar em 
850 1 150 5 1 000.
Cálculo mental não é cálculo de cabeça, mas cálculo com estratégias pessoais. Sempre 
registramos as estratégias utilizadas de forma a saber explicá-las. Por exemplo: 275 1 53 5
275 1 58 5
15 25
280 1 53 5
280 1 20 1 33 5
300 1 33 5 333
Vamos realizar algumas adições e subtrações utilizando estimativa ou cálculo mental.
1 Em cada quadro existe uma regularidade. Complete-os e, em seguida, escreva qual é a regularidade existente.
Quadro A Quadro B Quadro C
37 2 17 5 295 1 15 5 24 1 18 5 1 20
38 2 17 5 295 1 20 5 275 1 35 5 280 1
39 2 17 5 295 1 25 5 375 1 225 5 400 1
40 2 17 5 295 1 30 5 97 1 312 5 100 1
41 2 17 5 295 1 35 5 319 1 15 5 1 10
42 2 17 5 295 1 40 5 405 1 395 5 400 1
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Regularidades existentes:
 Quadro A: 
 
 Quadro B: 
 
 Quadro C: 
 
2 Calcule mentalmente as adições e subtrações. Registre suas estratégias.
a) 58 1 172 5
b) 132 2 56 5
c) 819 1 673 5
d) 500 2 125 5 
e) 614 1 236 5
f) 527 2 149 5
3 Para cada adição ou subtração, assinale qual número dentro dos parênteses representa a melhor estimativa. Registre 
como você pensou.
a) 357 1 280 (600 2 500 2 680)
b) 478 1 325 (780 2 800 2 833) 
c) 500 2 186 (300 2 320 2 315) 
d) 601 2 496 (100 2 90 2 110)
EXERCÍCIO 2
 Sílvia comprou um par de tênis e pagou com três notas de R$ 100,00. O caixa pediu mais R$ 1,50 para facilitar o troco e 
devolveu a ela R$ 5,00.
a) Quanto custou o par de tênis?
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8
378 Ensino Fundamental
b) Se Sílvia não tivesse dado R$ 1,50 a mais para o caixa, qual teria sido o troco?
c) Na situação do item b, o valor a ser pago pelo tênis seria o mesmo? Por quê?
2 Num jogo de basquete, o time de Marcos fez 27 pontos a mais que o time adversário. Ao todo, foram feitos 83 pontos no 
jogo. Quantos pontos cada time fez?
3 A soma de dois números naturais consecutivos é 127. Quais são esses números?
4 A soma de dois números naturais pares e consecutivos é 94. Quais são esses números?
TESTE
1 Em uma subtração, se somarmos 5 unidades ao minuendo e 5 unidades ao subtraendo, o resto:
a) ficará acrescido de 10 unidades.
b) ficará acrescido de 5 unidades.
c) permanecerá inalterado.
d) ficará reduzido de 5 unidades.
2 Assinale qual adição abaixo é equivalente a 756 1 317:
a) 760 1 317
b) 750 1 317
c) 756 1 320
d) 760 1 313
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3 Considere as igualdades:
 I. 426 – 138 5 438 – 138 – 12 
 II. 350 – 174 5 350 – 150 – 20 – 4 
 III. 561 – 249 5 561 – 261 1 12 
 É(são) verdadeira(s):
a) nenhuma das três igualdades.
b) as três igualdades.
c) somente a igualdade I.
d) somente as igualdades I e II.
EM CASA
1 Numa subtração, o minuendo é 237 e o resto é 197. Determine o valor do subtraendo.
2 Na pirâmide ao lado, cada número de uma linha é a soma de dois números vizinhos da 
linha de baixo. Complete a pirâmide:
3 Considere a diferença de dois números naturais. Se o minuendo aumentar 15 unidades 
e o subtraendo diminuir de 7 unidades, a diferença aumentará ou diminuirá? Em quantas unidades?
4 Considere a diferença de dois números naturais. Se o minuendo e o subtraendo aumentarem 8 unidades, a dife-
rença aumentará ou diminuirá? Em quantas unidades?
5 Responda às questões seguintes e dê um exemplo que justif que sua resposta:
a) Qual é o número que sempre representa a diferença de dois números naturais consecutivos?
b) A diferença entre dois números pares é sempre um número par ou um ímpar?
c) A diferença entre dois números ímpares é sempre um número par ou um ímpar?
d) A diferença entre um número par e um ímpar é sempre um número par ou um ímpar?
6 Numa adição de duas parcelas, se cada parcela dobrar, o que acontecerá com a soma?
7 Considere uma adição de quatro parcelas. Se a cada parcela aumentarmos 5 unidades, em quanto aumentará 
a soma?
8 Qual é a diferença entre o maior e o menor número de três algarismos distintos (diferentes) e signif cativos forma-
dos por 2, 7 e 0?
9 Qual é a diferença entre o maiore o menor número formados por três algarismos distintos e signif cativos? 
10 No seu glossário, anote:
• na letra A, adição e dê um exemplo escrevendo os nomes dos termos dessa operação matemática;
• na letra S, subtração e dê um exemplo indicando os nomes dos termos dessa operação matemática.
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8380 Ensino Fundamental
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
COM NÚMEROS DECIMAIS20
Nestas aulas, vamos trabalhar as operações de adição e subtração com números de-
cimais. Elas são muito semelhantes às operações de adição e de subtração dos números 
naturais e têm as mesmas propriedades exploradas no Módulo anterior. 
ALGORITMO DA ADIÇÃO E DA SUBTRAÇÃO 
COM NÚMEROS DECIMAIS 
Para a realização do algoritmo (conta armada), é preciso considerar a parte inteira e 
a parte decimal do número para que as diferentes ordens fiquem em correspondência. 
1 Seja a adição: 2,36 1 1,4 
Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos
2 , 3 6
1 , 4
Você já sabe que podemos acrescentar zeros ao f nal de um número decimal sem que ele se altere. Por isso, sempre 
deixamos os números com a mesma quantidade de ordens decimais. Desse modo, temos o seguinte algoritmo para a 
adição acima: 
1
2,36
1,40
3,76
2 Procedemos da mesma forma para a subtração. Seja: 46 2 2,5
Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos
4 6 ,
2 , 5
Inicialmente, deixamos os números com a mesma quantidade de ordens decimais, depois aplicamos o algoritmo:
46,0
2,5
43,5
2
Veja outros exemplos:
9 2 0,975 5 25,3 1 0,62 1 42 5 
9,000 25,30
20,975 1 0,62
8,025 42,00
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1 Aplicando o algoritmo, resolva as adições abaixo:
a) 3,02 1 4,54 5 
b) 34 1 3,4 5 
c) 0,009 1 52,1 5 
d) 11,37 1 1,46 1 6 5
e) 7 1 3,65 1 0,007 5
f) 0,2 1 4,002 1 5 5
2 Aplicando o algoritmo, resolva as subtrações seguintes:
a) 8,07 2 3,54 5
b) 76 2 5,7 5 
c) 0,309 2 0,21 5
d) 21,87 2 5 5
e) 6 2 3,65 5
f) 24 2 3,002 5
EXERCÍCIO 1
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8382
Ensino Fundamental
3 Vamos voltar ao gráf co “Taxa de matrícula no Brasil, por faixa etária”, do Módulo 15.
a) Qual é a diferença percentual entre 2013 e 2004 na faixa etária com o maior número de matrículas? 
b) Para cada faixa etária, calcule o aumento percentual do número de matrículas de 2004 para 2013.
c) Com base nos resultados do item anterior, em qual faixa etária houve o maior aumento percentual de matrículas 
no período pesquisado?
4 Antônia gastou R$ 180,00 num dia. Ela anotou a maioria das compras, mas se esqueceu de marcar quanto gastou com os 
brinquedos. Descubra esse valor e registre como você pensou. 
 
• Açougue R$ 42,40
• Farmácia R$ 38,75
• Brinquedo 
• Padaria R$ 12,30
• Livraria R$ 24,35
 Total R$ 180,00
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Taxa de matrícula no Brasil, por faixa etária
0
20
40
60
80
100
13,4
23,2
96,1
61,5
81,4 81,8
98,4
84,3
0 a 3 anos 4 a 5 anos 6 a 14 anos 15 a 17 anos
2004
2013
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5 Calcule mentalmente as adições e subtrações seguintes. Registre suas estratégias.
a) 11,75 1 8,100 5 
b) 2,10 1 0,09 5 
c) 21,21 1 0,704 5
d) 11,75 2 8,100 5 
e) 2,16 2 0,09 5
f) 4,1 2 0,7 5 
6 Numa adição de números decimais, a primeira parcela é 2,75 e a soma é 10. Determine o valor da segunda parcela.
7 Numa subtração, o subtraendo é 4,327, e a diferença é 6,05. Determine o valor do minuendo.
8 Determine o termo desconhecido em cada operação. Use seu caderno para fazer os cálculos.
a) 3,75 – 5 2,976
b) 13,08 1 5 20,716
c) 7,5 1 5 1 5 20
d) 2 3,93 5 1,1
e) 30,2 2 5 18,5
f) 2 0,075 5 3,5
9 Para cada adição ou subtração, faça o seguinte:
• Estime qual número dentro dos parênteses é o mais próximo do resultado. Circule-o.
• Explique como você pensou.
a) 5,8 1 0,72 5 (5,872 6,0 6,5 5,728)
b) 13,2 2 5,16 5 (8,4 8 8,14 7,94)
c) 8,19 1 0,673 5 (14,92 14,173 9,27 8,87)
d) 0,5 2 0,125 5 (0,3 0,38 0,12 0,75)
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384 Ensino Fundamental
Use a tabela a seguir para responder aos testes.
A tabela traz a população mundial nos primeiros anos do século XXI e a respectiva porcentagem de crescimento em 
relação ao ano anterior.
10 Em cada quadro existe uma regularidade. Complete-os e, em seguida, escreva qual é a regularidade existente.
Quadro A Quadro B Quadro C
35 2 0,1 5 29,5 1 1,5 5 24,2 1 1,8 5 1 2,0
36 2 0,1 5 29,5 1 2,0 5 27,5 1 3,5 5 28 1
37 2 0,1 5 29,5 1 2,5 5 3,75 1 2,25 5 4,0 1
38 2 0,1 5 29,5 1 3,0 5 0,9 1 0,312 5 1,0 1
39 2 0,1 5 29,5 1 3,5 5 3,19 1 0,15 5 1 0,14
40 2 0,1 5 29,5 1 4,0 5 4,05 1 3,95 5 4,0 1
Regularidades existentes:
 Quadro A: 
 Quadro B: 
 Quadro C: 
DESAFIO
Adição aos pares
Observe as duas sequências de números:
2 ♦ 5 ♦ 7 ♦ 12 ♦ 19 ... 1 ♦ 1 ♦ 2 ♦ 3 ♦ 5 ...
Você já percebeu a lógica de formação dessas sequências? 
Você poderá criar outras sequências de números como essas. Comece com dois números quaisquer, um ao lado do 
outro. Faça a soma deles e escreva o resultado à direita. Esse será o terceiro número da sequência. Agora é só continuar. 
Cada novo número será a soma dos dois precedentes.
O desafio consiste em você descobrir uma relação existente entre o sétimo número da sequência e a soma dos dez 
primeiros números. Qual é esta relação?
MILLINGTON, J. Petiscos matem‡ticos: Ideias interessantes para ocupar os momentos de lazer. Lisboa, 2003, p. 83. (Adaptado.)
TESTE
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1 Observando o aumento percentual da população mundial, é correto concluir que:
a) o aumento da população vem diminuindo a cada ano.
b) a diferença percentual de um ano para outro tem se mantido em 0,01%.
c) o único aumento percentual ocorrido foi em 2011.
d) em 2001 e 2011, verificou-se o mesmo aumento percentual da população mundial.
2 Convertendo para a escrita simplif cada as populações da tabela, concluímos que, em:
a) 2001, a população mundial era de 6,1 bilhões de pessoas.
b) 2013, a população mundial era de 7,1 bilhões de pessoas.
c) 2008, a população mundial era de 6,6 bilhões de pessoas.
d) 2015, a população mundial era de 7,2 bilhões de pessoas.
EM CASA
1 Resolva as adições e subtrações:
a) 6 1 0,35 1 37 5 ?
b) 0,032 1 1,7 1 2 5 ?
c) 50 1 3,06 5 ?
d) 1,4 1 0,750 5 ?
e) 0,2 1 0,55 1 3,6 5 ?
f) 40 – 3,75 5 ?
g) 18 – 1,8 5 ?
h) 0,076 – 0,009 5 ?
i) 75 – 7,5 5 ?
Ano População Crescimento (em %)
2001 6 155 012 014 1,28
2002 6 232 666 638 1,26
2003 6 309 979 314 1,24
2004 6 387 631 916 1,23
2005 6 465 450 700 1,22
2006 6 543 264 334 1,20
2007 6 620 996 667 1,19
2008 6 699 876 576 1,19
2009 6 778 968 904 1,18
2010 6 858 401 996 1,17
2011 6 946 106 432 1,28
2012 7 023 092 871 1,11
2013 7 101 880 810 1,12
2014 7 181 970 114 1,13
2015 7 263 339 729 1,13
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386 Ensino Fundamental
2 Qual é a diferença entre:
a) 7,6 e 3,7 ?
b) 76,53 e 27,26 ?
3 Complete as pirâmides em que cada número de uma linha é a soma de dois números vizinhos da linha de baixo.
25,67
41,48
1,3 0,92 25,30,37
25,6
9,013 25,18
110,993
0,90,0151,29
Figura 1 Figura 2
4 O gráf co traz dados relativos ao percentual da população que acessa internet em diferentes regiões do mundo.
América do Norte 78,6
Oceania 67,6
Europa 63,2
América Latina e Caribe 42,9
Oriente Médio 40,2
Ásia 27,5
África 15,6
A presença de internet no mundo (em %)
Disponívelem: https://almanaque.abril.com.br/graficos_e_tabelas#!lightbox/37/. Acesso em: 27 mar. 2015.
a) Qual é a diferença percentual entre o maior e o menor usuário?
b) Pode-se dizer que Ásia e África, juntas, têm o mesmo percentual que o Oriente Médio? Justifique.
c) Embora na Ásia tenha um percentual de 27,5% da população conectada à internet, ela conta com, aproxi-
madamente, 44% das conexões de todo o mundo. Isso porque esse é o continente mais populoso do planeta.
Se a população mundial é de aproximadamente 7,3 bilhões de habitantes, quantas pessoas estão conectadas à 
internet na Ásia? Use cálculo mental e deixe sua estratégia registrada.
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MULTIPLICAÇÃO DE 
NÚMEROS DECIMAIS21
A multiplicação e a divisão fazem parte de seus estudos matemáticos desde que 
você iniciou o Ensino Fundamental. Neste Módulo, vamos retomar alguns conceitos 
já explorados em aulas anteriores para compreendermos o algoritmo da multiplicação 
de decimais.
A MULTIPLICAÇÃO 
Reveja os nomes dos termos da multiplicação:
 12 Fatores
33
 36 Produto
Sinal: 3
Termos: Fatores e produto
O que você entende por multiplicação? Há quatro significados possíveis para essa 
operação. Veja:
1. A multiplicação pode ser interpretada como uma adição de parcelas iguais. Por 
exemplo: 3 3 12 5 36. Pode-se dizer que 36 é 3 vezes 12. O primeiro fator determina 
o número de vezes (3) que a parcela (12) se repetirá. Por esse motivo, o primeiro fator 
é denominado multiplicador, e o segundo, multiplicando.
Observe que, em 12 vezes 3, o produto também é 36; no entanto, o multiplicador é 
12 e o multiplicando é 3, ou seja, a parcela 3 irá se repetir 12 vezes.
2. A multiplicação pode ser interpretada também como o resultado de uma contagem 
na configuração retangular. Por exemplo:
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Observe que é possível representar a quantidade de elementos da imagem da esquerda 
por meio de uma multiplicação: 3 3 2 ou 2 3 3. Na figura da direita, temos uma malha 
quadriculada com 2 linhas e 4 colunas, cujo total de quadrados pode ser o resultado de 
2 3 4 ou 4 3 2. 
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Ensino Fundamental
3. A multiplicação pode ser interpretada como uma combinação. Por exemplo: se você 
dispõe de 2 calças e 3 camisetas, poderá combinar essas peças de 6 maneiras diferentes 
para se vestir.
4. A multiplicação pode ser interpretada como um contexto multiplicativo. Nesse caso, 
usamos a palavra “vezes”. Veja alguns contextos que ilustram essa ideia:
• Numa classe, o número de meninos é 3 vezes o número de meninas. Se na 
classe houver 8 meninas, os meninos serão 24, pois 3 3 8 5 24.
• 10 é 5 vezes maior que 2.
• O salário de um profissional com Ensino Superior é 2 vezes o salário de um 
profissional com Ensino Médio.
Fique atento ao contexto em que aparece a palavra vezes, pois ela também pode 
indicar uma divisão. Você trabalhou com essas ideias na multiplicação e na divisão 
por 10. Por exemplo, tornou o número 10 vezes maior ou 10 vezes menor. Tornar 
10 vezes maior é multiplicar por 10; tornar 10 vezes menor é dividir por 10.
A DIVISÃO
A divisão apresenta dois significados. Dividir é repartir em partes iguais (ideia de reparti-
ção); e dividir é verificar quantas vezes uma quantidade cabe em outra (ideia de medição).
Recorde os nomes dos termos da divisão:
12 ; 4 5 3 Dividendo Divisor
 
123 3
ou 00 41
Sinal: ; ou 
Termos: Dividendo, divisor 
e quociente
 Quociente
Dividendo Divisor Quociente
No caso de divisão exata, temos: quociente 3 divisor 5 dividendo.
No entanto, quando se tratar de divisão não exata (ou divisão com quociente e resto), 
o mais adequado é representá-la por meio da chave.
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Dividendo Divisor
125 3
02 41
 Resto Quociente
Nesse caso de divisão não exata, temos: quociente 3 divisor 1 resto 5 dividendo. 
De acordo com o exemplo acima, podemos escrever:
41 3 3 1 2 5 125
RELAÇÕES ENTRE A MULTIPLICAÇÃO E A DIVISÃO
Entre a multiplicação e a divisão, também existem relações como as existentes entre 
a adição e a subtração. Vamos explorá-las!
1 Numa multiplicação, um dos fatores é 15 e o produto é 180. Qual é o outro fator? Que operação pode ser feita para obter 
esse número?
2 Numa divisão exata, o divisor é 13 e o quociente é 12. Qual é o dividendo? Que operação pode ser feita para obter esse 
número?
3 Numa divisão não exata, o divisor é 12, o quociente é 13 e o resto é 7. Qual é o dividendo? Que operações podem ser 
feitas para obter esse número?
4 Suponha que você conheça o dividendo e o quociente de uma divisão. O que você precisa fazer para descobrir o divisor? 
Por exemplo: numa divisão exata, o dividendo é 144 e o quociente é 18. Qual é o divisor?
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8390
Ensino Fundamental
5 Sintetize, nos quadros a seguir, as relações que você estabeleceu entre a multiplicação e a divisão. Na coluna da direita, 
indique o modo de calcular o termo desconhecido.
• Como calcular o fator desconhecido de uma multiplicação:
 
Operação dada Operação a ser realizada
32 3 ? 5 416
• Como calcular o dividendo desconhecido de uma divisão exata:
 
Operação dada Operação a ser realizada
 ? ; 15 5 13
• Como calcular o divisor desconhecido de uma divisão exata:
 
Operação dada Operação a ser realizada
240 ; ? 5 16
• Como calcular o dividendo de uma divisão não exata:
 
Operação dada Operação a ser realizada
 ? 14
 07 21
EXERCÍCIO 1
1 Numa multiplicação, os fatores são 25 e 49. Qual é o produto?
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2 Numa multiplicação, um dos fatores é 67 e o produto é 871. Qual é o outro fator?
3 Numa divisão, o dividendo é 875 e o divisor é 32. Qual é o quociente? Há resto? Se houver, determine-o.
4 Numa divisão exata, o quociente é 35 e o divisor é 12. Qual é o dividendo?
5 Numa divisão não exata, o quociente é 27, o divisor é 13 e o resto é 9. Qual é o dividendo?
6 Numa divisão não exata em que o divisor é 8, quais são os restos possíveis?
7 Numa divisão não exata, o divisor é 49, o quociente é 15 e o resto é o maior possível. Determine o dividendo.
8 Determine o dividendo de uma divisão não exata que tem 25 como quociente e 14 como resto, sendo este o maior 
possível.
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8
392 Ensino Fundamental
9 O professor André propôs à turma a seguinte situação:
Veja como Marcos resolveu a questão:
Explique o raciocínio utilizado por Marcos.
10 Resolva os itens a seguir com esquemas adequados, como fez Marcos na atividade anterior. Não se esqueça de dar as 
respostas a cada situação.
a) Pensei em um número; somei-o com 25. Multiplicando o resultado por 8, obtive 320. Em que número pensei?
b) Pensei em um número e dele subtraí 12. Multipliquei o resultado por 3 e obtive 219. Em que número pensei?
39
3 3 115
39
3 3 115
Pensei em um número e 
multipliquei-o por 3. Somei 
15 ao resultado e obtive 39.
Em que número pensei?
21543
39 2 15 5 24
24 4 3 5 8
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UMA PROPRIEDADE DA MULTIPLICAÇÃO
Vamos conhecer uma propriedade que nos ajudará a compreender os procedimentos 
para multiplicar números decimais.
1 Para responder aos próximos itens, considere a seguinte multiplicação:
8
3 5
40
a) O que acontecerá com o produto se o fator 8 for multiplicado por 2? Complete o esquema indicando essa multipli-
cação.
8 3 2
3 5 3 5
40
b) O que acontecerá com o produto se o fator 5 for multiplicado por 4?
c) O que acontecerá com o produto se o fator 8 for multiplicado por 2 e o fator 5, por 4? Indique essas multiplicações em 
um esquema.
d) O que acontecerá como produto se os dois fatores forem multiplicados por 10? Indique essas multiplicações em um 
esquema.
e) O que acontecerá com o produto se o fator 8 for multiplicado por 10, e o 5, por 100? Indique essas multiplicações em 
um esquema.
Síntese 1 – Transformações realizadas na multiplicação
O que você pode concluir das respostas obtidas nos itens anteriores?
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8
394 Ensino Fundamental
2 Complete os esquemas sem usar algoritmo.
a) 
15
3 10
3 
3 10
b) 
6
3 10
3 
3 100
c) 
0,5
3 10
3 
3 10
d) 
1,2
3 10
3 
3 100
e) 
0,25
3 100
3 
3 10
f) 
0,015
3 100
3 
3 100
3 Transformando números decimais em naturais.
a) Complete:
 0,35 3 10 5 0,35 3 100 5 
 Qual das multiplicações acima tornou possível transformar o número decimal em natural (isto é, aquela cujo produto 
é um número natural)?
b) Complete:
 0,015 3 10 5 0,015 3 100 5 0,015 3 1 000 5 
 Qual das multiplicações acima tornou possível transformar o número decimal em natural (isto é, aquela cujo produto 
é um número natural)? 
c) Usando o mesmo raciocínio, transforme os números decimais a seguir em naturais.
 2,5 3 5 0,005 3 5 
 0,12 3 5 0,032 3 5 
 0,05 3 5 3,04 3 5 
Síntese 2 – Transformação de um número decimal em um número natural
Você constatou que é sempre possível transformar um número decimal em um número natural formado pelos 
mesmos algarismos signifi cativos. Qual é o critério a ser utilizado para essa transformação?
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MULTIPLICAÇÃO DE DECIMAIS: O PROCEDIMENTO 
DA COMPENSAÇÃO
1 Use a calculadora para fazer o que se pede.
a) Calcule: 15 3 14 5 
b) Calcule: 15 3 1,4 5 
c) Calcule 1,5 3 1,4 5 
d) Observe os resultados dos itens a e b. O que é necessário fazer no resultado do item a para obter o do item b?
e) Observe os resultados dos itens a e c. O que é necessário fazer no resultado do item a para obter o do item c?
2 Calcule 24 3 0,3 sem utilizar calculadora.
a) Transforme 0,3 no número natural 3. O que é necessário fazer?
b) Multiplique: 24 3 3.
c) Divida o resultado do item b por 10.
d) Quanto é 24 3 0,3? 
Síntese 3 – Procedimentos para multiplicar dois números decimais
Você deve ter percebido que, multiplicando um dos fatores de uma multiplicação por 10 e dividindo o produto por 
10, o resultado não se altera. Isso ocorre porque há uma compensação. Sistematizando este raciocínio, temos:
24 3 0,3 5
24 24 24
3 0,3 3 3 3 0,3
72 7,2
3 10
; 10
Outro exemplo: 1,5 3 1,4 5
1,5 15 1,5
3 1,4 3 14 3 1,4
60 60
1 150 1 150
210 2,10
3 10
3 10
; 100
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8396 Ensino Fundamental
Aplique o procedimento da compensação e, sem utilizar a calculadora, efetue as seguintes multiplicações:
a) 18 3 1,5 5 
b) 12 3 0,25 5
c) 16 3 0,028 5
d) 1,5 3 12 5 
e) 1,5 3 1,7 5 
f) 2,4 3 0,19 5
EXERCÍCIO 2
MULTIPLICAÇÃO DE DECIMAIS: DESCOBRINDO 
UMA REGRA
1 Usando a calculadora, efetue as multiplicações e anote os resultados obtidos.
a) 15 3 25 5 
 15 3 2,5 5 
 15 3 0,25 5 
 15 3 0,025 5 
b) 9 3 135 5 
 9 3 13,5 5 
 9 3 1,35 5 
 9 3 0,135 5 
Síntese 4 – Regra para a multiplicação de um número natural por um decimal
O que você observa nas ordens decimais do produto da multiplicação de um número natural por um decimal?
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2 Efetue na calculadora apenas a primeira multiplicação de cada item. Aplicando a conclusão da síntese 4, dê os demais 
produtos.
a) 125 3 65 
 125 3 0,6 5 
 125 3 0,06 5 
 125 3 0,006 5 
b) 35 3 12 5 
 3,5 3 12 5 
 0,35 3 12 5 
 0,035 3 12 5 
3 Usando a calculadora, efetue as multiplicações e anote os resultados obtidos.
a) 14 3 24 5 
 1,4 3 24 5 
 14 3 2,4 5 
 1,4 3 2,4 5 
b) 6 3 25 5 
 6 3 2,5 5 
 0,6 3 25 5 
 0,6 3 2,5 5 
c) 12 3 31 5 
 12 3 3,1 5 
 1,2 3 31 5 
 1,2 3 3,1 5 
d) 18 3 15 5 
 18 3 1,5 5 
 1,8 3 1,5 5 
 0,18 3 1,5 5 
Síntese 5 – Regra para a multiplicação de números decimais
O que você observa nas ordens decimais do produto da multiplicação de números decimais?
4 Vamos comparar as conclusões das sínteses 4 e 5 com o procedimento da compensação. Veja:
0,2 3 0,3
0,2 3 0,3
0,2 2 0,2
3 0,3 3 3 3 0,3
6 0,06
; 100
3 10
3 10
5
5
0,2 3 0,3 5 6
2 3 3 5 6
6 : 100 5 0,06
0,2 3 0,3 5 0,06
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Ensino Fundamental
 Pode-se dizer que contar as ordens decimais é uma forma simplifi cada de usar o procedimento da compensação? 
Justifi que sua resposta.
EXERCÍCIO 3
1 Calcule mentalmente as seguintes multiplicações:
a) 2 3 0,3 5 
b) 0,2 3 3 5 
c) 0,2 3 0,3 5 
d) 0,3 3 5 5 
e) 3 3 0,5 5 
f) 0,3 3 0,5 5 
g) 12 3 5 5 
h) 1,2 3 5 5 
i) 12 3 0,5 5 
j) 0,01 3 0,02 5 
2 Calcule as potências.
a) (0,5)2 5 
b) (0,2)3 5 
c) (0,3)3 5 
d) (1,5)2 5 
e) (0,1)4 5 
f) (2,3)2 5 
g) (0,8)2 5 
h) (1,2)2 5 
i) (0,2)4 5 
j) (0,5)3 5 
(0,5)2 5 0,5 3 0,5
TESTE
1 Entre os números abaixo, representa um número natural:
a) 4,25 310
b) 0,075 3 102
c) 1,05 3 10
d) 0,50 3 10
2 O resultado da multiplicação 1 014 3 0,5 é:
a) 50,7
b) 507
c) 2 028
d) 5 070
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3 (Enem)
Para dificultar o trabalho de falsificadores, foi lançada uma nova família de cédulas do real. Com tamanho variá-
vel – quanto maior o valor, maior a nota – o dinheiro novo tem vários elementos de segurança. As cédulas anteriores 
tinham 14 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. A maior cédula é a de R$ 100,00, com 1,6 cm a mais no compri-
mento e 0,5 cm maior na largura.
Disponível em: http://br.noticias.yahoo.com. 
Acesso em: 20 abr. 2010. Adaptado.
Quais são as dimensões da atual nota de R$ 100,00? 
a) 15,6 cm de comprimento e 6 cm de largura. 
b) 15,6 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. 
c) 15,6 cm de comprimento e 7 cm de largura. 
d) 15,9 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. 
4 (UFG-GO) Uma pessoa fez uma compra em um supermercado no valor de R$ 77,00. Ao efetuar o pagamento com 
uma nota de R$ 100,00, o operador de caixa informou-lhe que dispunha apenas de notas de R$ 10,00 para o troco. 
O cliente verificou que ainda tinha em sua carteira R$ 73,00, sendo três notas de R$ 10,00, oito notas de R$ 5,00 e 
três moedas de R$ 1,00.
O menor valor que o cliente deve repassar ao operador de caixa, para facilitar o troco, considerando-se o dinheiro que 
tinha em sua carteira, é: 
a) R$ 103,00.
b) R$ 107,00.
c) R$ 113,00.
d) R$ 117,00.
EM CASA
1 Copie em seu caderno os esquemas abaixo completando os números que faltam.
a) 
? ?
139
132 ?
401 7261
1
1
b) 
? 1 620
?
12 ?
180 16 2003
3
3
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8
400 Ensino Fundamental
2 Descubra os números desconhecidos representados pelas letras A, B, C, D, E e F. Registre os cálculos no caderno. 
Dividendo Divisor Quociente Resto
396 15 A B
946 C 22 0
D 27 18 0
E 31 16 9
F 27 12 8
3 Multiplique por 10:
a) 25
b) 315
c) 0,5
d) 0,015
e) 3,75
4 Divida por 10:
a) 450
b) 327
c) 25
d) 32
e) 0,05
5 Multiplique por 100:
a) 25
b) 220
c) 0,1
d) 0,15
e) 2,327
6 Divida por 100:
a) 2500
b) 370
c) 42
d) 0,5
e) 0,25
7 Descubra os números desconhecidos dos esquemas a seguir.
a) ? 75 ?
; 5 1 19
b) ? ? 240
2 35 3 8
8 Pensei em um número e o dividi por 3. Ao resultado, somei 18 e obtive 63. Em que número pensei?
9 Crie uma situação-problema para o esquema abaixo. Em seguida, resolva-a.
 
? ? 85
3 8 2 35
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c
a
10 Na correção da tarefa de Rafael, o professor apontou as multiplicações incorretas. Encontre os erros e explique 
comoas multiplicações deveriam ser feitas.
a) 
1,8 18 1,8
3 1,2 3 12 3 1,2
36 36
1 180 1 180
216 2,16
3 10
3 10
; 10
b) 2,5 25 25
3 0,9 3 0,9 3 0,9
225 22,5
3 10
; 10
c) 
2,75 275 2,75
3 0,04 3 4 3 0,04
1 100 1,100
3 100
3 10
; 1 000
11 Calcule os produtos, aplicando o procedimento da compensação.
a) 0,05 3 1,2 
b) 3,5 3 0,12 
c) 0,32 3 1,9 
d) 0,128 3 0,2
e) 1,2 3 1,9
f) 0,006 3 0,4
12 Calcule mentalmente, fazendo os registros no caderno.
a) 0,7 3 3 
b) (0,3)2
c) 0,6 3 0,2 
d) (0,6)2
e) (0,4)³
f) 3 3 0,7
g) 10 3 0,5
h) 0,4 3 5
i) 0,4 3 0,5
j) (0,10)2
13 Faça anotações no seu glossário:
a) Na letra M, escreva multiplicação e registre:
• os signifi cados da multiplicação;
• os nomes dos termos da multiplicação;
• os procedimentos para multiplicar números decimais.
b) Na letra D, escreva divisão e registre:
• os signifi cados da divisão;
• os nomes dos termos da divisão. 
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8402 Ensino Fundamental
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS22
Para resolver os problemas propostos neste Módulo, você utilizará os procedimentos 
trabalhados no Caderno anterior. Não se esqueça de registrar suas estratégias, que serão 
compartilhadas com a classe.
1 (Enem – Adaptado) A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno 
de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta entre sua casa e a escola. Na 
fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, re-
presentado na fi gura. Cada lado do quadradinho da malha (1 cm) corresponde a 25 000 cm do percurso real. Quantos 
quilômetros esse aluno percorreu, por semana, na fase de implantação do programa? 
1 cm
Casa
Escola
1 cm 
D
A
S
H
A
 R
O
S
A
T
O
/S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
/G
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8403
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2 A pizzaria Bom Sabor registrou suas vendas de setembro a dezembro. O pictograma mostra o número de pizzas vendidas 
em cada mês.
Vendas da pizzaria Bom Sabor
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
5 200 pizzas
a) Em que mês foram vendidas 550 pizzas? Registre como você pensou.
b) Quantas pizzas foram vendidas nesse período? Registre como você pensou.
c) Sabendo-se que um quinto das pizzas vendidas em outubro é de muçarela, quantas pizzas de muçarela foram vendi-
das nesse mês? Registre como você pensou.
Pictograma é um 
gráfico (de barras, colunas 
ou curvas) em que são 
usados símbolos ou de-
senhos para representar o 
objeto ou fenômeno que 
está sendo analisado.
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8
404 Ensino Fundamental
3 Carla gosta muito de pizza com frango. Sábado é dia de sua família pedir pizza para o lanche da noite. Ao consultar 
o folheto da pizzaria para fazer o pedido, Carla constatou que havia três opções de pizza com frango:
• com milho verde;
• com catupiri;
• com palmito.
Além disso, pode-se escolher entre:
• borda simples;
• borda recheada com catupiri.
Carla pensou: quantos tipos diferentes de pizza eu posso escolher?
Vamos ajudar Carla!
4 Rogério vai a pé para o colégio todos os dias. Às quartas-feiras, ele almoça na cantina do colégio e vai direto ao clube, 
onde faz aulas de basquete. Para ir de casa ao colégio, há três caminhos diferentes; para ir do colégio ao clube, há quatro 
caminhos diferentes. 
a) Represente nas imagens abaixo as diferentes opções de caminho que Rogério tem.
b) De quantas maneiras diferentes Rogério pode fazer o percurso de sua casa ao clube às quartas-feiras?
E
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Y
 F
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T
O
S
T
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C
K
/A
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B
 P
H
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5 Paula foi passar o fi m de semana com seus avós em um hotel-fazenda. Durante um passeio, seu avô comentou:
— Paula, percebi que neste hotel há tantos carneiros quantas são as galinhas!
E sua avó completou:
— E todos juntos têm 30 patas!
Paula se viu diante de um problema. Ajude Paula a descobrir quantos carneiros e quantas galinhas seus avós viram!
DESAFIO
Quadrados pintados
Observe o retângulo dividido em quadrados.
De quantas maneiras diferentes podemos colorir três quadrados desse retângulo? 
Atenção! As quatro fi guras abaixo representam uma única composição. É só girar o retângulo ou refl eti-lo.
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406 Ensino Fundamental
1 Os alunos do 6o ano da escola de Ana Rita fazem coleta de papel usado para vender a uma cooperativa de reciclagem. Eles 
conseguiram um total de 450 kg de papel. Com o dinheiro arrecadado, eles compram livros para a biblioteca da escola.
A turma de Ana Rita fez um pictograma para representar a quantidade de papel recolhida em cada classe. 
6o A 6o B 6o C 6o D
Coleta de papel pelas turmas do 6o ano
A quantidade de papel representada pelo símbolo e a quantidade de papel recolhida pelo 6o ano B valem, respec-
tivamente,
a) 50 kg e 150 kg. b) 50 kg e 300 kg. c) 25 kg e 150 kg. d) 25 kg e 300 kg. 
2 Cláudia gosta de fazer bijuterias em suas horas de folga. Ela está fazendo um colar de contas, seguindo uma sequência de 
brancas e pretas. Uma parte do colar está dentro da caixa.
Pode-se dizer que dentro da caixa há, na sequência:
a) 4 contas pretas, 2 contas brancas e 5 contas pretas.
b) 1 conta branca e 9 contas pretas.
c) 3 contas pretas, 1 conta branca e 3 contas pretas.
d) 4 contas pretas, 1 conta branca e 3 contas pretas.
TESTE
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8407
M
a
te
m
á
ti
c
a
Resolva os problemas e registre seu raciocínio.
1 Quatro amigos, Caio, Paulo, Fernando e Pedro, economizaram suas mesadas para comprar um videogame que 
custou R$ 240,00. Veja a declaração dos garotos sobre a quantia com que cada um deles contribuiu:
Caio: — Eu dei apenas R$ 20,00.
Paulo: — Nós demos quantias diferentes, mas só usamos notas de R$ 10,00.
Pedro: — Eu dei R$ 20,00 a mais que Fernando.
Quantos reais cada um pode ter dado para a compra desse jogo?
2 O professor Carlos, do 6o ano A, propôs o seguinte problema aos alunos:
Uma competição de ciclismo premiará o corredor que primeiro completar as 5 voltas em uma pista de 12,5 km. 
Em 1 hora de corrida, um ciclista conseguiu dar 3,5 voltas. Quantos quilômetros esse atleta percorreu?
Veja a estratégia utilizada por dois alunos da turma:
Ana Cristina
12,5
12,5
12,5
43,75
1 6,25
Rafael
7 3 12,5 5 87,5 
87,5 4 2 5 43,75
Explique a estratégia que cada um deles utilizou.
3 Adriana constatou que a tecla de multiplicação de sua calculadora está quebrada. Ela quer conferir o resultado da 
seguinte operação: 17 3 2,25. Usando as outras teclas da calculadora, como ela poderia fazer essa conferência?
4 Um número natural foi multiplicado por 2, e o resultado obtido foi multiplicado por 5. Escolha, entre os números 
abaixo, qual deles pode representar o produto dessa multiplicação. Justifi que sua resposta.
4 025 4 205 4 052 4 250
EM CASA
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1 Ao se deslocar sobre uma malha quadriculada, uma formiga realizou alguns 
giros, indicados na fi gura. Determine a medida, em graus, do giro realizado 
pela formiga nos seguintes pontos:
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
Ponto de
partida
Ponto de
chegada
A
B
C
D E
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8
408 Ensino Fundamental
2 Num programa de televisão, o apresentador utiliza uma roleta para defi nir qual das três equipes responderá à primeira 
pergunta.
Considerando que o espaço de cada equipe na roleta seja igual, calcule a medida do ângulo indicado na fi gura.
Equipe 1
Equipe 2
Equipe 3
?
3 Os vértices P, Q e R do retângulo PQRS estão localizados sobre os pontos de coordenadas C4, C10 e F10, respectivamente, 
de um sistema de coordenadas. Quais são as coordenadas do ponto onde está localizado o vértice Sdesse retângulo?
4 (Saresp − Adaptado) Observe o mapa abaixo, em que foi colocado um sistema de coordenadas.
A
1
2
3
4
 B C D 
Rod. Fernão Dias
Pte da 
Freguesia
R. Q
ue
iró
s F
ilh
o
Pte do
Piqueri
Est. Lapa
Campinas
Americana
Limeira
Av. Marquês de São Vicente
Rod. dos Bandeirantes
R. Clélia
R
. A
u
rélia
ESTAÇÃO
CIÊNCIA
CPTM
Metrô
CPTM
CPTM
Est. Vila
Madalena
R. Guaicurus
R. Tito
R. Monte Pascal
Rod. Pres.
Castelo Branco
Sorocaba
Itú
Avaré
R.
 P
io
 X
I
Minas Gerais
Jundiaí
Campinas
Rod. Anhanguera Marginal Tietê
Rio de Janeiro
Rod. Pres. Dutra
São José dos Campos
Taubaté
Memorial da 
América Latina
Est. Barra
Funda
a) Quais são as coordenadas do retângulo onde está localizada a Estação Ciência?
b) Um morador de Campinas veio visitar a Estação Ciência, na cidade de São Paulo. Ele viajou pela rodovia Anhanguera, 
cruzou a marginal Tietê, passou pela rua Monte Pascal, até chegar à Estação Ciência. Quais são as coordenadas dos 
retângulos do mapa pelos quais esta pessoa passou? 
5 Observe o sistema de coordenadas que foi colocado na malha quadriculada.
Considere nessa malha os pontos G (A6), H (C2), I (A4) e J (E4).
a) Indique esses pontos na malha e nomeie-os.
b) Os segmentos GH e IJ se cruzam? Em caso afirmativo, quais são as coorde-
nadas do ponto de encontro?
c) Qual é a medida do ângulo formado pelos segmentos GI e IJ?
1
A
B
C
D
E
2 3 4 5 6
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M
a
t
e
m
á
t
i
c
a
6 Escreva cinco números decimais compreendidos entre:
a) 0,5 e 0,6
b) 2,1 e 2,2
c) 0,04 e 0,05
d) 0,17 e 0,18
e) 2,04 e 2,05
f) 0,125 e 0,126
7 Escreva as sequências em ordem crescente.
a) 0,05 ♦ 0,5 ♦ 0,25 ♦ 0,52 ♦ 0,55
b) 2,01 ♦ 2,001 ♦ 2,1 ♦ 2,011 ♦ 2,11
c) 1,5 milhão ♦ 1 800 000 ♦ 500 000 ♦ 2,5 milhões ♦ 2 000 000
8 Complete as sequências, escrevendo os próximos cinco números em cada uma delas.
a) 0,11 ♦ 0,12 ♦ 0,13...
b) 5 ♦ 4,8 ♦ 4,6...
c) 1,25 ♦ 1,5 ♦ 1,75...
d) 0,75 ♦ 0,65 ♦ 0,55...
e) 1 000 013 ♦ 1 000 012 ♦ 1 000 011...
9 Escreva cinco números compreendidos entre:
a) 0 e 1
b) 1 e 2
c) 2 e 2,5
d) 3 e 3,1
e) 0,1 e 0,2
f) 10,61 e 10,62
10 Efetue os cálculos abaixo.
a) 0,46 3 10 3 10 
b) 0,46 3 100 
c) 0,36 3 10 3 100
d) 0,36 3 1 000
e) 21,40 3 10 
f) 14 ; 10 ; 10
g) 14 ; 100
h) 134,8 ; 10 ; 10
i) 134,8 ; 1 000
j) 134,8 ; 100
11 Determine o valor de:
a) 5 3 104
b) 8 3 102
c) 305 3 105
d) 1,5 3 103
e) 2,75 3 106
f) 3,2 3 104
12 Transforme as porcentagens em números decimais e em frações decimais.
a) 72%
b) 7%
c) 45%
d) 3%
e) 96%
13 Sabe-se que 97% da água do nosso planeta é salgada. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças a seguir.
a) ( ) 97
100
 da água do planeta é salgada.
b) ( ) 0,003 da água do planeta é doce.
c) ( ) 0,03 da água do planeta é doce.
d) ( ) 3
10
 da água do planeta é doce.
e) ( ) 0,97 da água do planeta é doce.
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410 Ensino Fundamental
14 Calcule cada porcentagem pelo procedimento que quiser.
a) 30% de 200
b) 40% de 250
c) 36% de 500
d) 12% de 1 000
e) 25% de 640
f) 75% de 400
g) 90% de 900
h) 60% de 400
15 O mosaico abaixo é composto por: 
• octógonos, cujos ângulos têm todos a mesma medida;
• quadrados, cujos ângulos são todos retos.
Com essas informações, calcule a medida de cada ângulo de um octógono do mosaico.
16 Observe o desenho abaixo, formado por quatro retângulos, e dê exemplos do que se pede, escrevendo o nome de cada 
fi gura.
A B
H
CF
E
J
LM
I
D
G
O
a) Um quadrilátero.
b) Um triângulo.
c) Um pentágono convexo.
d) Um pentágono não convexo.
e) Um hexágono.
f) Dois segmentos paralelos.
g) Duas retas concorrentes não perpendiculares.
h) Duas retas perpendiculares.
17 Observe o poliedro representado ao lado e responda às perguntas. 
a) Quantas faces tem esse poliedro?
b) De todas as suas faces, quantas são polígonos convexos?
c) De todas as suas faces, quantas são polígonos não convexos?
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M
a
t
e
m
á
t
i
c
a
18 Quantos triângulos diferentes você pode obter usando como vértices três dos quatro pontos indicados abaixo? Dese-
nhe -os e escreva o nome de cada um deles. 
P
Q
R
S
19 Resolva os problemas a seguir.
a) A soma de dois números naturais consecutivos é 239. Quais são esses números?
b) A soma de dois números naturais pares e consecutivos é 186. Determine esses números.
c) A soma de dois números naturais ímpares e consecutivos é 232. Calcule esses números.
d) Numa subtração, o minuendo é 618 e o resto é 396. Qual é o subtraendo?
e) Numa subtração, o minuendo é 800 e o subtraendo é 182. Qual é o resto?
f) O que acontecerá numa adição de duas parcelas se somarmos 10 à primeira delas e 5 à segunda?
g) O que acontecerá numa adição de duas parcelas se somarmos 10 à primeira delas e subtrairmos 5 da segunda?
h) O que acontecerá numa adição de duas parcelas se somarmos 8 às duas parcelas?
i) O que acontecerá numa subtração se somarmos 5 unidades ao minuendo?
j) O que acontecerá numa subtração se somarmos 5 unidades ao subtraendo?
k) O que acontecerá numa subtração se somarmos 5 unidades ao minuendo e ao subtraendo?
l) O que acontecerá numa subtração se somarmos 10 unidades ao minuendo e subtrairmos 5 unidades do subtraendo?
20 Faça as adições que se pedem.
a) Adicione 0,1 a cada número:
0,999 ♦ 1,30 ♦ 9,5 ♦ 3,452 ♦ 0,81 ♦ 0,9
b) Adicione 0,01 a cada número do item a.
c) Adicione 0,001 a cada número:
2,34 ♦ 8,1 ♦ 0,999 ♦ 5 ♦ 1,376 ♦ 0,54
21 Considere os números:
3,1 ♦ 6,05 ♦ 7 ♦ 5,136 ♦ 0,009
Some a cada um desses números:
a) um décimo;
b) um centésimo;
c) um milésimo.
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412 Ensino Fundamental
22 Acrescente três números a cada sequência e escreva a regularidade existente.
a) 0,8 ♦ 0,75 ♦ 0,7...
b) 8,15 ♦ 8,05 ♦ 7,95 ...
c) 0,46 ♦ 0,56 ♦ 0,66 ...
d) 3,151 ♦ 3,150 ♦ 3,149 ...
e) 0,936 ♦ 0,836 ♦ 0,736 ...
23 Entre os cálculos abaixo, alguns estão incorretos. Identifi que-os e aponte os erros.
a) 
3,27
0,49
3,76
1
b) 
0,09
0,1
1,0
1
c) 
5,95
4,46
1,57
2
d) 
5,95
4,46
10,41
1
e) 
3,02
0,2
3,00
2
f) 
0,099
0,001
0,100
1
g) 
5,7
3,24
8,9
1
h) 
3,02
1,5
1,52
2
24 Descubra o termo que falta em cada operação.
a) 7,05 1 5 9,2
b) 1 1,328 5 5
c) 2 22,5 5 1,74
d) 4,2 2 5 2,75
e) 3 36 5 684
f) 47 3 5 611
g) ; 23 5 14
h) 558 ; 5 31
25 Calcule mentalmente. Registre sua estratégia.
a) 312 1 198 5
b) 450 – 132 5
c) 2,45 1 0,05 5
d) 23,1 – 1,09 5
e) 53,75 – 13,7 5
26 Descubra os valores que faltam nos esquemas, registrando no caderno os cálculos que fi zer.
a) ? 180 ?
3 12 ; 100
b) ? 27 ?
; 15 1 39
c) ? ? 70
; 9 2 135
d) 8,7 ? 919
1 0,49 3 100
27 Coloque a vírgula nos produtos a seguir.
a) 0,3 3 0,4 5 012
b) 5,8 3 0,01 5 00058
c) 1,4 3 0,02 5 00028
d) 5 3 0,13 5 065
e) 4,6 3 4 5 184
f) 48 3 0,01 5 0048
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M
a
t
e
m
á
t
i
c
a
28 Determine os produtos abaixo. Registre seus cálculos.
a) 4,8 3 4,5
b) 0,6 3 3,48
c) 3,96 3 2,41
d) 9 3 4,05
e) 1,84 3 51
f) 3,06 3 42
29 Determine as potências.
a) (0,1)2
b) (0,01)2
c) (1,1)2
d) (0,11)2
e) (0,13)2
f) (1,3)2
g) 132
h) (0,05)2
i) (0,5)2
j) (0,06)2
k) (0,6)2
l) (0,1)3
30 (Enem) Uma torneira não foi fechada corretamente e fi cou pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a 
frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota de água tem volume de 0,2 mL. Qual foi o valor 
mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em litros? 
31 Karina foi à cantina do colégio comprar seu lanche. Ela consultou a tabela sobre as escolhas possíveis com os respectivos 
preços:
TABELA DE PREÇOS
SANDUÍCHES
Pão c/ manteiga na chapa.....R$
Misto-quente..............................R$
Hambúrguer...............................R$
2,302,50
2,20
2,00
1,80
2,20
1,80
1,50
2,30
BEBIDAS
Suco...............................................R$
Refrigerante................................R$
Iogurte..........................................R$
SOBREMESAS
Fatia de mamão.........................R$
Maçã..............................................R$
Gelatina........................................R$
O lanche de Karina é sempre composto por um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. Ao olhar para essa tabela, 
Karina pensou: “Que bom! Hoje não vou gastar nem R$ 6,50 no meu lanche”.
Qual pode ter sido a escolha de Karina?
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Ensino Fundamental
Anotações
 
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Módulo 
Interdisciplinar
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O tamanho 
dos mananciais 
subterrâneos é tão 
grande que se criou 
o mito de que não 
haveria falta de 
água doce.
“Dizem que a 
História é a mestra 
da vida. Mas como é 
que seus protagonistas 
incorrem sempre nos 
mesmos erros?”
ARGentInA
A
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n
s
8416
O mais puro 
cristal
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O Brasil produz mais 
de 500 mil toneladas 
de PET por ano. 
Desse total, em torno 
de 59% é reciclado; e 
uma boa parte acaba 
indo para os rios.
PARAGUAI
RS
SC
PR
SP
MS
MG
GO
Mt
URUGUAI
BRASIL
Como é possível 
faltar água nas 
torneiras e haver 
tanta abundância sob o 
solo, e isso ainda ajudar 
a aumentar 
a produção 
de lixo?
Antes
Cantareira
Depois
r
e
P
r
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d
u
ç
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o
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e
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lAtinstoCk brA
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o
C
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8417
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8418
Ensino Fundamental
Língua Portuguesa
Ninho de Tuiuiú nas margens do rio Paraguai
Dizem que a História é a mestra da vida. Mas como 
é que seus protagonistas incorrem sempre nos mes-
mos erros? Destruição. Fome. Guerra. Parece que 
não adiantou em nada os exemplos das reprova-
ções anteriores. Que rede de segurança, pensamos 
nós, cheios de esperança, que rede de segurança 
nos aparará?
Quando a água desaparecer que será do homem, 
que será das coisas, dos verdes e bichos? Que será 
de Deus?
Nós devemos ir movendo as peças, sem esquecer 
que, embora as partidas pareçam variar ao infinito, 
o movimento de cada peça é único e as regras do 
jogo são imutáveis.
Terra, te proteja o Homem conservando sempre:
O mais puro cristal de tuas fontes!
O verde único de tuas folhas.
O ninho do Tuiuiú no Pantanal...
QUINTANA, Mario. 
Ninho de Tuiuiú nas margens do rio Paraguai. 
Água. Porto Alegre: Artes e Ofícios, 2001. p. 15.
1 Participe da apresentação do poema para a classe. 
Prepare-se para fazer uma leitura bem expressiva. 
2 O professor conduzirá a Leitura compartilhada. Parti-
cipe, oferecendo suas respostas e opiniões e apresen-
tando questões para seus colegas.
Ciências
A crise da água, vivida nos últimos anos em 
praticamente todo o Brasil, é gerada por inúmeros 
fatores. Entre eles está o aumento do consumo da 
água de forma não sustentável, já que esse modelo 
de consumo não permite que o ambiente se recu-
pere. Resultado: o recurso natural vai faltar. (E já 
está faltando!) 
A imagem a seguir apresenta outro fator res-
ponsável pela crise da água e relaciona-o com 
o lixo, um dos problemas ambientais discutidos 
neste Caderno.
Queremos água potável na torneira
Em vez de comprar água engarrafada
E aumentar a montanha de lixo
Na imagem pode-se perceber que a água en-
garrafada, ou também em copinhos, gera um grave 
impacto ambiental, ocasionado por todo o processo 
que envolve sua produção. 
As garrafas de plástico provêm do petróleo e o seu 
processo de produção requer grande quantidade de 
energia e água, além de ser gerador de poluição. É 
preciso lembrar também que o petróleo, como a água, 
é recurso finito. Por isso, o processo de produção de 
garrafas de água pode ser muito prejudicial ao am-
biente e, muitas vezes, a industrialização deixa de ser 
a solução para o consumo de uma água de qualidade.
Um segundo problema é que, depois de consumi-
da a água, a garrafa é descartada no lixo. No Brasil, 
são recicladas apenas 59% (dados de 2012) das gar-
rafas PET usadas para engarrafar água, refrigerantes e 
outras bebidas. O restante vai para aterros ou lixões, 
mostrando grande desperdício. Além disso, boa parte 
do PET reciclado não é usado para originar novas 
garrafas PET, mas sim materiais de pior qualidade 
que acabarão não sendo reciclados novamente e ter-
minarão em aterros, lixões, ou mesmo incineradores.
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8419
Discuta com seus colegas em sala de aula as seguintes questões: 
1 Quais atitudes podemos tomar diante desse cenário? 
2 Qual é o papel que você, como cidadão, pode exercer para diminuir os impactos ambientais gerados por tal situação? 
Incorpore na discussão os seguintes aspectos: atitudes individuais, consumismo, água engarrafada, recipientes reu-
tilizáveis, água de torneira, produção de lixo, formas de disposição do lixo, poluição da água, grandes obras de desvio 
de rios para mananciais, campanhas que incentivem atitudes positivas do cidadão frente aos problemas gerados 
pela crise da água.
Geografia
O mito dos aquíferos
Os aquíferos são reservatórios naturais e subterrâneos de água que se formam em rochas porosas e per-
meáveis. Podem ser encontrados em diferentes profundidades, assentados sobre camadas de rochas imper-
meáveis ou presos entre elas. 
A descoberta de que os aquíferos contam com, segundo cálculos recentes, mais de 95% de toda a água 
doce descongelada do mundo criou a ideia de que o problema da escassez de água estava resolvido. 
Para muitos cientistas, trata-se de um mito!
O volume de água consumido no mundo teve um aumento de 10 vezes durante o século XX. Somente nos 
15 primeiros anos do século XXI, esse consumo dobrou em relação ao ano 2000. Dessa forma, a escassez de 
água superficial de fácil acesso aumentou a importância desses reservatórios subterrâneos. Só em 2014, foram 
retirados mais de 200 bilhões de m3 de água desses depósitos, o que está determinando o rebaixamento do 
nível de lençóis freáticos em diversos lugares. 
Na América do Sul encontra-se um dos maiores aquíferos do mundo, o Guarani, com mais de 1 milhão 
de quilômetros quadrados, em sua maior parte dentro do território brasileiro. Observe:
F
o
n
te
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c
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r
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1.
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BA
GO
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RJ
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Brasília
Belo
Horizonte
Vitória
Goiânia
Cuiabá
Campo
Grande
Rio
Claro
São Paulo
Curitiba
Florianópolis
ARGENTINA
PARAGUAI
URUGUAI
Porto Alegre
Rio de Janeiro
420 km0
N
S
LO Campo Grande-Rio Claro
Aquífero
Bacia do Prata
Grupo Bauru
Formação Serra Geral
Aquífero
Grupo Passa Dois
Grupo Tubarão
Grupo Paraná
Embasamento Cristalino
Rio Claro
Campo
Grande
Lins
SP
MS
MG
Rio GrandeR
io Pa
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0 m
1 000
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A localização do aquífero Guarani
A posição do aquífero Guarani, próximo às maiores concentrações humanas e econômicas do Brasil, 
eleva a sua importância estratégica.
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420 Ensino Fundamental
A formação do aquífero Guarani se deu há mais 
de 150 milhões de anos pela lenta infiltração de água 
em camadas arenosas da região, situadas a cerca de 
1 800 metros de profundidade.
Atualmente, além da exploração excessiva, os 
aquíferos são também ameaçados pela contamina-
ção proveniente do excesso de uso de pesticidas e 
fertilizantes, pelos dejetos industriais, pelos metais 
pesados (chumbo, mercúrio, arsênioe cádmio) e 
pelos compostos orgânicos.
1 O aquífero Guarani, com 1,2 milhão de km2, não é o 
“mar de água doce” que se pensava existir. Enquanto 
em algumas áreas a água é excelente, em outras, é 
inacessível, escassa ou não potável. Sobre o tema, leia 
o texto.
O aquífero pode ser dividido em compartimen-
tos. No compartimento Oeste, por exemplo, há boas 
condições geológicas, com recarga rápida a partir das 
chuvas, e as águas são de boa qualidade. Já no com-
partimento Norte Alto Uruguai, coberto por rochas 
vulcânicas, as águas são muito antigas, com mais de 
100 milhões de anos, salinas e não potáveis.
Scientific American Brasil. n. 47, abr. 2006. 
Adaptado.
Seguindo a orientação do seu professor, analise e dis-
cuta as afrmações a seguir. Aponte as corretas e as 
incorretas, justifcando suas escolhas.
 I. Os depósitos de água do aquífero Guarani não par-
ticipam do ciclo da água.
 II. As águas do compartimento Norte Alto Uruguai 
são ótimas para irrigação.
 III. É necessário conhecer detalhadamente esse aquí-
fero para utilizar sua água potável. 
2 O aquífero Guarani é uma importante fonte natural de 
água. Sua exploração excessiva, como foi evidencia-
do até aqui, pode torná-la não disponível num futuro 
próximo. Para que isso seja evitado, discuta com seus 
colegas e proponha soluções para os seguintes pro-
blemas ambientais que afetam esse aquífero:
a) contaminação por pesticidas e fertilizantes; 
b) contaminação por dejetos industriais;
c) contaminação por metais pesados.
Matemática
Como a Matemática pode nos ajudar numa leitura 
crítica dos dados relativos à problemática da água 
no planeta? O que significa uma área de 1,2 milhão 
de km2, como a do aquífero Guarani?
Sabe-se que 59% das garrafas PET no Brasil são 
recicladas. Mas quanto se produz dessa modalidade 
de lixo? 
Ao realizar a atividade de Matemática deste Módu-
lo, você poderá compreender os significados desses 
dados. 
1 O Brasil produziu, em 2012, 562 mil toneladas de PET. 
Desse total, 59% foram para a reciclagem. 
a) Quantas toneladas de PET foram recicladas? Use 
as estratégias estudadas no Módulo 17 para esse 
cálculo.
b) Como você analisa essa produção de PET, conside-
rando as discussões na aula de Ciências?
2 O aquífero Guarani tem 1,2 milhão de km2. Vamos re-
presentar essa área para termos uma ideia de sua di-
mensão?
a) Por exemplo, se essa área tivesse o formato de 
um quadrado, quantos quilômetros ele teria de 
lado? Faça os esboços possíveis para esse qua-
drado.
b) E se essa área fosse retangular? Escreva três pos-
sibilidades para as dimensões dos lados desse re-
tângulo.
3 O aquífero Guarani estende-se por quatro países 
da América Latina: Brasil (840 000 km2), Paraguai 
(58 500 km2), Uruguai (58 500 km2) e Argentina 
(255 000 km2). Pode-se dizer que aproximadamente 
70% da área do aquífero encontra-se em território 
brasileiro? Deixe registrado seu raciocínio.
4 Vamos comparar a área do aquífero Guarani no terri-
tório brasileiro com a área total do país, que é apro-
ximadamente 8,5 milhões de km2. Pode-se dizer que 
o aquífero ocupa aproximadamente 10% do território 
brasileiro? Registre seu raciocínio.
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