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ANGLO
ENSINO FUNDAMENTAL
ANGLO
ano6
º-
2
caderno
MANUAL 
DO 
PROFESSOR
MATEMÁTICA
capa_final_ANGLO_SOMOS_MP_matematica.indd 3 1/12/17 09:28
6º ano
Ensino Fundamental
Manual do 
Professor
Matemática
Adair Mendes Nacarato
Cármen Lúcia B. Passos
Fábio Orfali
Heimar Aparecida Fontes
2
caderno
MP_AngloEFII_Matematica_6.2_MP_001a052.indd 1 11/30/15 9:27 AM
 Direção de conteúdo e inovação pedagógica: Mário Ghio Júnior
Direção: Tania Fontolan
Coordenação pedagógica: Ricardo Leite
Conselho editorial: Bárbara M. de Souza Alves, Eliane Vilela, 
Fábio Aviles Gouveia, Helena Serebrinic, Lidiane Vivaldini Olo, 
Luís Ricardo Arruda de Andrade, Mário Ghio Júnior, 
Marisa Sodero Cardoso, Ricardo de Gan Braga, 
Ricardo Leite, Tania Fontolan
Direção editorial: Renata Mascarenhas
Gerência editorial: Bárbara M. de Souza Alves
Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edição: Fernando Manenti Santos (coord. Biologia, Física, Matemática e Química), 
Walter Catão Manoel (Matemática)
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.), 
Rosângela Muricy (coord.), Danielle Modesto, Marília Lima, 
Marina Saraiva, Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Coordenação de produção: Paula P. O. C. Kusznir (coord.), 
Daniela Carvalho
Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga
Edição de arte: Daniel Hisashi Aoki
Diagramação: Fernando Afonso do Carmo, 
Lourenzo Acunzo, Luiza Massucato
Iconografia: Silvio Kligin (supervisão), 
Claudia Bertolazzi, Claudia Cristina Balista, 
Ellen Colombo Finta, Marcella Doratioto
Licenças e autorizações: Patrícia Eiras
Cartografia: Eric Fuzii
Capa: Daniela Amaral
Foto de capa: Eric Isselee/Shutterstock/Glow Images
Ilustração de capa: D’Avila Studio
Projeto gráfico de miolo: Daniela Amaral
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Ensino fundamental, 6º ano : matemática :
 caderno 2 : professor / Adair Mendes
 Nacarato... [et al.]. -- 1. ed. -- 
 São Paulo : SOMOS Sistemas de Ensino, 2016.
 Outros autores: Cármen Lúcia B. Passos, Fábio 
Orfali, Heimar Aparecida Fontes
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Nacarato, 
Adair Mendes. II. Passos, Cármen Lúcia B.. 
III. Orfali, Fábio. IV. Fontes, Heimar Aparecida
15-09888 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
2017
ISBN 978 85 7595 470 6 (PR)
Código da obra 824651217
1a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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SUMÁriO
O Caderno 2 ........................................................................................... 4
12. Giros e ângulos .................................................................................................................... 5
13. Localização de pontos .......................................................................................................... 9
14. Retas paralelas e retas perpendiculares .............................................................................13
15. Números racionais em diferentes contextos ........................................................................19
16. Multiplicação e divisão por 10, 100 e 1 000 com números decimais ....................................23
17. Porcentagem .......................................................................................................................26
18. Polígonos ............................................................................................................................30
19. Adição e subtração: propriedades e relações .....................................................................35
20. Adição e subtração de números decimais ...........................................................................39
21. Multiplicação de números decimais ....................................................................................42
22. Resolução de problemas .....................................................................................................48
Módulo Interdisciplinar ............................................................................................................ 53
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4 Ensino Fundamental
O CAdErNO 2
Este Caderno está organizado em 11 Módulos. No campo Aritmética, o foco será em números racio-
nais, dando continuidade ao trabalho iniciado no Caderno anterior, explorando os procedimentos de 
comparação, ordenação e as operações de adição, subtração e multiplicação (Módulos 15, 16, 17, 19, 
20 e 21). Daremos ênfase, também, a cálculos mentais e estimativas com números naturais e racionais. 
No campo Espaço e Forma, a ênfase será em ângulos (Módulo 12), localização de pontos em siste-
mas de coordenadas (Módulo 13), retas (Módulo 14) e polígonos (Módulo 18). Optamos por intercalar 
o Módulo 18 aos de Aritmética para não deixar o curso tão cansativo para os alunos trabalhando-se 
apenas Geometria. No entanto, se você preferir trabalhar os quatro Módulos de Espaço e Forma sequen-
cialmente, poderá fazê-lo, desde que no início do bimestre. 
Conceitos relativos aos campos de Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação serão integra-
dos aos Módulos de Aritmética.
Lembramos que o último Módulo (Módulo 22) sempre será reservado para resolução de problemas 
ou investigações matemáticas. As estratégias de resolução não estão, necessariamente, vinculadas aos 
conteúdos do Caderno. 
Recomenda-se certificar-se dos materiais de que irá precisar em alguns Módulos para o desenvol-
vimento das aulas, providenciando-os com antecedência para cada um dos alunos. Neste sentido, 
destacamos que, no Módulo 12, é introduzido aos alunos o uso dos esquadros de 45° e 60°, que será 
explorado também no Módulo 14.
Os autores
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AULAS 31 e 32
Objetivos 
•	 Associar giros (rotações), vistos em situações do cotidiano, à ideia de ângulo.
•	 Identificar o grau como unidade de medida de rotações.
•	 Reconhecer a representação e os principais elementos de um ângulo.
•	 Identificar o grau como unidade de medida de ângulos.
•	 Identificar ângulos retos e sua representação.
•	 Manipular esquadros para construir ângulos simples.
roteiro de aulas (sugestão) 
Aula Descrição Anotações
31
Abertura do módulo
Giros de uma roda-gigante
Ângulos
Exercício (item 1)
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 a 3 (Em casa)
32
Retorno das tarefas 1 a 3
Orientação para a utilização dos esquadros
Exercício (itens 2 e 3)
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 4 a 7 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 1 e 2
Materiais
•	 Esquadros de 45° e 60° (cada aluno deverá ter os seus). 
•	 Régua de 30 cm (cada aluno deverá ter a sua).
Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos relacionem as ideias de giro e de ângulo e que identifiquem o 
grau como unidade de medida das duas grandezas. 
12. GirOS E âNGULOS
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Estratégias e orientações 
O texto de abertura do Módulo tem por objetivo des-
pertar a curiosidade dos alunos para o grau como unida-
de de medida de giros. Sugerimos que você faça a sua 
leitura seguida de uma breve discussão nos primeiros 
minutos da aula. Porém, se tiver mais tempo disponível, 
você pode enriquecer o texto com a apresentação de 
um vídeo com imagens da manobra citada no texto. No 
Caderno Digital, fazemos a sugestão de um vídeo com 
trechos que podem ser usados com essa finalidade. 
É provável que, durante a leitura, muitos alunos as-
sociem a expressão “giro de 360 graus” a umavolta 
completa, já que é uma expressão bastante utilizada no 
dia a dia. Se isso acontecer, você já pode introduzir as 
principais ideias do Módulo, fazendo perguntas como: 
“E o que seria um giro de 180°?” 
Atividades de construção de conceitos
Giros de uma roda-gigante (página 301)
O texto desta seção é bem curto e não deve trazer 
grandes dificuldades para os alunos durante a leitura. 
Por isso, sugerimos que você os organize em duplas ou 
em trios, para que realizem a leitura e a atividade que se 
segue a ela.
Oriente os alunos no começo da atividade, na qual 
deverão relacionar o tempo de rotação da roda-gigante 
com a fração do giro que ela realizará. Uma hipótese 
que deve ser presumida é que a velocidade de rotação 
é constante ao longo do percurso, fato bastante aceitá-
vel nessa situação. Também devem ser desprezados os 
efeitos de eventuais paradas. Com isso, a ideia de pro-
porcionalidade acaba aparecendo no cálculo, embora de 
modo bastante intuitivo.
Ao longo da atividade, reforce com os alunos as rela-
ções: 1 giro ↔ 360°; 
1
2 
giro ↔ 180°; 
1
4 
de giro ↔ 90°.
Ao final da discussão das perguntas propostas na ativi-
dade, apresente o conteúdo do boxe “Convenção matemá-
tica”, fornecendo as ideias básicas do processo de definição 
de uma unidade de medida. Para tornar o assunto mais 
concreto, você pode exemplificar como se estabeleceu o 
metro como unidade de medida de comprimento (trata-se 
de um comprimento escolhido arbitrariamente).
ângulos (página 303)
Esta seção é uma continuação natural da anterior. Por 
isso, sugerimos que ambas sejam abordadas na mesma 
aula. O objetivo aqui é relacionar as frações do giro da 
roda-gigante com diferentes ângulos. Desse modo, torna-
-se bastante natural perceber que rotações e ângulos 
podem ser medidos na mesma unidade (graus).
Como fechamento da primeira aula, reforce a repre-
sentação e os elementos de um ângulo e as demais infor-
mações que aparecem no boxe De olho nos ângulos.
Os exercícios que exigem a utilização dos esquadros 
foram planejados para a segunda aula do Módulo. As-
sim, sugerimos que você inicie a segunda aula com uma 
retomada do grau e do conceito de ângulo para, em se-
guida, orientar os alunos quanto ao uso dos esquadros. 
É importante destacar:
•	 as medidas dos ângulos dos dois esquadros;
•	 a posição em que o esquadro deve ser colocado quan-
do pretendemos utilizá-lo para construir um ângulo;
•	 o fato de que não é possível construir ângulos de 
qualquer medida usando apenas os esquadros.
Observação 
recado ao professor
Não pretendemos, com este Módulo, esgotar o 
assunto ângulos, mas apenas fornecer subsídios 
para capacitar os alunos a compreender conceitos 
como o de retas perpendiculares, por exemplo. O 
estudo completo de ângulos será feito no 7º- ano. 
Por isso, o uso do transferidor não será introduzido 
no 6º- ano, mas sim no ano seguinte.
respostas e comentários 
Giros de uma roda-gigante (página 301)
1. Um possível encaminhamento para o preenchimen-
to dos quatro esquemas das rodas-gigantes é dado 
a seguir.
32 minutos → 1 giro completo.
16 minutos (metade de 32) → 
1
2 
de giro.
8 minutos (metade de 16) → 
1
4
 de giro (metade de 
meio giro).
4 minutos (metade de 8) → 
1
8
 de giro (metade de 
1
4 
de giro).
Caso não queira utilizar a terminologia de frações, 
você pode identificar cada posição sempre se refe-
rindo à metade do percurso percorrido no esquema 
anterior. Temos então: 
86 Ensino Fundamental
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 a) 32 minutos
 b) 16 minutos
 c) 8 minutos
 d) 4 minutos
2. Nas situações c e d, as frações do giro correspondem, 
respectivamente, a 90° e a 45° em relação à posição 
mais baixa.
ângulos (página 303)
A figura mostra o ângulo pedido.
Exercício (página 304)
1. Os giros assinalados correspondem, respectiva-
mente, a:
 a) 90°
 b) 180°
 c) 270°
 d) 30° (basta fazer 360° : 12)
2. Antes de propor este exercício, dedique um bom 
tempo a orientar os alunos sobre o uso dos esqua-
dros. Identifique os dois esquadros, apresentando as 
medidas de seus ângulos internos. Lembramos que 
os esquadros serão utilizados novamente em outros 
momentos do curso.
Sugerimos que o exercício seja feito individualmen-
te, para que cada aluno possa treinar o manuseio 
dos esquadros. 
Solicitamos as seguintes construções (indicadas em 
linha tracejada):
 a) 
A
 b) 
B
 c) 
C
 d) 
D
Note que, na construção d, os alunos deverão utili-
zar os dois esquadros, somando um ângulo de 45° 
a outro de 30°.
O ângulo assinalado na 
figura mede 45°.
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3. Proponha a realização do exercício preferencialmente 
em duplas. Os alunos deverão identificar no ângulo 
raso (de medida 180°) a ideia de giro de meia-volta. 
Além disso, utilizarão ideias bastante intuitivas de 
adição de medidas de ângulos consecutivos, como 
ilustrado a seguir.
0
A
α
B
β
Na figura acima, os ângulos α e β são consecutivos. 
A medida do ângulo AOB é igual a α 1 β.
 a) ? 5 180° 2 45° 5 135°
 b) ? 5 180° 2 90° 5 90°
 c) ? 5 20° 1 40° 5 60°
 d) ? 5 90° 2 25° 5 65°
Teste
1. Alternativa B. No primeiro giro indicado pelas instru-
ções, a figura fornece duas opções, ambas à direita (45° 
e 90°). Cabe aos alunos diferenciá-las pela medida do 
giro em graus. Assim, os que assinalarem as alternati-
vas c ou d provavelmente estão com dificuldade para 
diferenciar um giro de 45° de um de 90°.
No segundo giro, a figura oferece duas opções, am-
bas de 45°, sendo uma à direita e outra à esquerda. 
Assim, os alunos que assinalarem a alternativa a pro-
vavelmente não conseguiram diferenciar esquerda e 
direita no contexto apresentado. 
2. Alternativa C. 
Se o ângulo de inclinação da escada medir 25°, tere-
mos: ? 5 180° 2 25° 5 155°. 
Já se o ângulo de inclinação da escada medir 30°, 
teremos: ? 5 180° 2 30° 5 150°.
Logo, a medida do ângulo assinalado com ? está entre 
150° e 155°.
Alguns alunos poderão encontrar dificuldade pelo 
fato de que é dado um intervalo de possíveis medidas 
para o ângulo de inclinação. Oriente-os a trabalhar 
com os extremos desse intervalo. 
Em casa (página 307)
1. Na manobra “aéreo 360 graus”, o surfista realiza um 
giro completo com sua prancha. Como visto em aula, 
convencionamos que a medida de um giro completo 
é 360 graus.
2. Em 3 minutos, a roda-gigante completará meia-volta, 
ou seja, 180°. Já em 1 minuto, andará um terço disso, 
isto é, 60°.
3. A medida de cada ângulo indicado é igual a:
 a) 90°
 b) 4 3 30° 5 120°
 c) 5 3 30° 5 150°
4. Temos as seguintes possíveis construções (assinaladas 
em linha mais grossa):
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
5. Os ângulos assinalados têm as seguintes medidas:
 a) ? 5 45° 1 60° 5 105°
 b) ? 5 90° 1 30° 5 120°
6. Os ângulos assinalados têm as seguintes medidas:
 a) ? 5 180° 2 150° 5 30°
 b) ? 5 60° 1 60° 5 120°
 c) ? 5 90° 2 40° 5 50°
 d) ? 5 180° 2 25° 2 15° 5 140°
7. Verifique as anotações no glossário. Você também po-
derá escolher algumas delas e compartilhá-las com a 
classe, para que todos possam corrigir ou acrescentar 
algo que considerarem importante.
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Ensino Fundamental
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AULAS 33 e 34
Objetivos 
•	 Introduzir o conceito de sistema de coordenadas em um plano.
•	 Utilizar as coordenadas cartesianas para localizar pontos em um plano.
roteiro de aulas (sugestão) 
Aula Descrição Anotações
33
Retorno das tarefas 4 a 7 do Módulo 12
Abertura do módulo
Localizando-se em um mapa
Exercício 1
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
34
Retorno das tarefas 1 e 2
O sistema de coordenadas cartesianas
Exercício 2
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 3 e 4
Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos compreendam a utilizaçãode sistemas de coordenadas cartesianas 
para a localização de pontos em um plano. 
Estratégias e orientações 
A localização de pontos em um plano e, posteriormente, no espaço é uma habilidade que vem sendo cada vez 
mais valorizada em documentos oficiais, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio. Na Prova Brasil, 
por exemplo, as matrizes de referência trazem um descritor que se refere diretamente a essa habilidade:
D1 2 Identificar a localização /movimentação de objeto em mapas, croquis e outras representações gráficas.
Já no Enem (Exame Nacional do Ensino Médio), a matriz de referência inclui a seguinte habilidade:
H6 2 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua represen-
tação no espaço bidimensional.
13. LOCALizAçãO dE PONTOS
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Assim, este Módulo trabalha, de maneira mais inten-
cional, o desenvolvimento dessa habilidade.
Como motivação, apresentamos, no texto de abertu-
ra, uma explicação bem simplificada do funcionamento 
do GPS. Trata-se de um recurso cada vez mais comum 
em nosso dia a dia e que utiliza intensamente as ideias 
de localização por meio de coordenadas. Procure des-
tacar isso para os alunos e, se houver tempo, aprofunde 
a discussão, pedindo a eles que pesquisem sobre o 
tema. Há muitos sites que detalham, em maior ou menor 
profundidade, o funcionamento de um GPS. Na refe-
rência a seguir, você encontra um texto relativamente 
simples, que pode ser usado para dar mais detalhes aos 
alunos: <http://mundoestranho.abril.com.br/materia/
como-funciona-o-gps>.
Atividades de construção de conceitos
Localizando-se em um mapa (página 310)
Sugerimos que você organize os alunos em duplas para 
a realização desta atividade. Nela, eles deverão localizar di-
ferentes pontos em um mapa da cidade do Rio de Janeiro.
Trata-se de uma atividade que pode ser estendida 
com a utilização de ferramentas de localização como o 
Google Maps. Você pode baixar mapas da sua região ou 
de outra região de interesse dos alunos e pedir a eles que 
localizem determinados pontos. Com o uso do computa-
dor ou tablet, é possível até trabalhar a ideia de escala, 
visualizando os mapas em diferentes aproximações. 
Ao final da atividade, faça a socialização das conclu-
sões, verificando se todos compreenderam o princípio 
de localização de pontos no sistema de coordenadas 
apresentado. Discuta com eles se a ordem em que as 
coordenadas são apresentadas (D4 ou 4D) faria dife-
rença para a localização de um ponto. Trata-se de uma 
preparação para a próxima seção, em que será discutido 
o sistema de coordenadas cartesianas.
O sistema de coordenadas cartesianas 
(página 312)
O objetivo desta seção é apresentar uma breve intro-
dução do sistema de coordenadas cartesianas, voltada à 
mera localização de pontos em um plano. Sabemos que 
as coordenadas cartesianas apresentam inúmeras outras 
aplicações na Matemática, que serão vistas em outros 
momentos. Ainda no Ensino Fundamental, no 8º- ano 
(representação gráfica de sistemas de equações linea-
res) e no 9º- ano (introdução às funções). E, no Ensino 
Médio, aprofunda-se bastante o assunto, especialmente 
no estudo da Geometria Analítica.
Por esse motivo, não se preocupe em esgotar o as-
sunto. Estamos apenas apresentando as primeiras ideias. 
Optamos por não apresentar a nomenclatura (abscissas 
e ordenadas; eixos x e y; pares ordenados), trabalhando 
apenas com os termos “eixo horizontal” e “eixo vertical”. 
Além disso, trabalhamos apenas com o 1º- quadrante 
do plano cartesiano, já que os alunos ainda não conhe-
cem os números negativos, e não colocamos situações 
que envolvessem pontos sobre os eixos (abscissa ou 
ordenada zero).
Portanto, trabalhamos com o sistema de coordenadas 
cartesianas como uma extensão natural do sistema visto 
na seção anterior, com letras e números.
Você pode fazer uma leitura coletiva do texto da 
seção, reforçando, na lousa, as ideias aplicadas para a 
localização de pontos com os eixos cartesianos. Faça 
alguns exemplos e peça aos alunos que trabalhem nos 
exercícios propostos.
respostas e comentários 
Localizando-se em um mapa (página 310)
1. Na figura, está destacada a Rua Senador Pompeu.
295 m0
N
S
LO
Parque
Campo de
Santana
Monumento Nacional
aos Mortos da Segunda
Guerra Mundial
2. a) Presidente Vargas d) Praça Onze
 b) Carioca e) Cidade Nova
 c) Cinelândia
3. Nesta pergunta, as respostas podem ser um pouco 
diferentes, já que há vários pontos que podem servir 
como referência para os locais indicados, com coor-
denadas diferentes.
 a) G8 c) K14
 b) B14 d) H17
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Ensino Fundamental
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Exercício 1 (página 312)
a) e b) Na figura, estão marcados o ponto onde a joani-
nha pousou (P), seu trajeto e o ponto onde ela 
levantou voo (V).
 c) Ela levantou voo do ponto de coordenadas D7.
O sistema de coordenadas cartesianas 
(página 312)
Exercício 2 (página 315)
1. 
1
6
5
4
3
2
B
A
E
F
D
C
1
0
2 3 4 5 6 7 8
1
A
B
C
D
E
F
P
V
G
H
2 3 4 5 6 7 8
2. Neste problema, os alunos terão de trabalhar com 
pontos cujas coordenadas não se encontram exata-
mente sobre as marcas dos eixos. Para isso, eles terão 
de utilizar as subdivisões dos eixos e fazer aproxima-
ções. Na tarefa 4 (em casa), eles terão de fazer um 
raciocínio semelhante, utilizando, inclusive, valores 
não inteiros para as coordenadas. 
 a) No ponto (800; 400) está localizada uma árvore.
 b) As coordenadas do ponto onde o tesouro está 
enterrado são (900; 700).
 c) Uma estimativa para as coordenadas do ponto 
B é: (1 130; 380). Em relação ao eixo horizontal, 
vemos que o ponto B encontra-se entre 1 100 
e 1 200 metros, mais próximo de 1 100. Assim, 
estimamos o valor de sua primeira coordenada 
em 1 130. Já no eixo vertical, ele está um pouco 
abaixo da linha correspondente a 400 metros.
 d) No trajeto, o pirata caminhou aproximadamente 
1 200 metros.
Do ponto onde atracou até o ponto (200; 700), 
o pirata andou cerca de 500 metros. Em seguida, 
para ir do ponto (200; 700) até o tesouro (ponto 
(900; 700)), ele caminhou mais 700 metros. Com 
isso, totalizou aproximadamente 1 200 metros. 
Teste
1. Alternativa B. Na figura, estão marcados os dez pon-
tos escolhidos pelo aluno. Ao ligá-los por linhas retas, 
obtemos a letra “F”. Assim, o nome do aluno, dentre 
as opções apresentadas, só pode ser Felipe. 
2. Alternativa A. Marcando os pontos e unindo-os como 
indicado no enunciado, obtemos a figura a seguir.
1
A
B
C
D
E
F
G
H
2 3 4 5 6 7 8
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O ponto onde as duas linhas retas se encontram tem 
coordenadas (5; 3).
A questão exige dois raciocínios distintos dos alu-
nos: marcar pontos conhecendo suas coordenadas e 
identificar as coordenadas de um ponto já marcado. 
Procure identificar, dentre os alunos que assinalaram 
uma alternativa errada, em que etapa da resolução 
eles encontraram dificuldade.
Em casa (página 317)
1. Pela quantidade de cada embarcação distribuída na 
malha quadriculada, é possível identificá-las:
Quantidade Símbolo
1 porta-aviões
2 encouraçados
3 fragatas
4 submarinos
5 hidroaviões
 a) Submarinos: B7, E4, I8 e O9.
 b) Fragata que está mais próxima do porta-aviões: 
C10 e C11.
2. a) Os tiros F5 e I12.
 b) Os tiros C2 (hidroavião), M6 (encouraçado) e N4 
(hidroavião).
3. O desenho obtido ligando-se os 12 pontos é:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
L
A B
C D G H
E F
I J
K
1
2
3
4
5
6
7
8
0
4. Nesta questão, os alunos trabalharão com um ponto 
cujas coordenadas não são inteiras. A própria malha 
quadriculada auxilia a visualização disso, pois apresen-
ta subdivisões nos eixos entre dois números inteiros 
consecutivos. Durante a correção, destaque isso para 
osalunos, já que se trata de uma vantagem de se tra-
balhar com números nos eixos, em lugar de letras. 
 a) Na figura, estão representados os dois quadrados 
pedidos. Em cada um deles, está assinalado o res-
pectivo centro.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
0
D
B
H
E
G
F
A C
 b) (2; 3)
 c) (6,5; 2,5)
5. Verifique as anotações no glossário. Você também po-
derá escolher algumas delas e compartilhá-las com a 
classe, para que todos possam corrigir ou acrescentar 
algo que considerarem importante.
812
Ensino Fundamental
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AULAS 35 a 37
Objetivos 
•	 Compreender a diferença entre uma reta e um segmento de reta. 
•	 Conhecer a representação e a nomenclatura utilizadas para retas e segmentos de retas.
•	 Depreender os conceitos de retas paralelas, retas concorrentes e retas perpendiculares.
•	 Construir, com o auxílio de régua e esquadro, retas paralelas e retas perpendiculares.
roteiro de aulas (sugestão) 
Aula Descrição Anotações
35
Retorno das tarefas 3 a 5 do Módulo 13
Abertura do módulo
Segmentos e retas
Exercício 1
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
36
Retorno das tarefas 1 e 2
Retas paralelas, retas concorrentes e retas perpendiculares
Exercício 2
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
37
Retorno das tarefas 3 a 5
Traçando retas com régua e esquadro
Exercício 3
Teste (item 3)
Desafio
Orientações para as tarefas 6 a 9 (Em casa)
Exercício Complementar correspondente a este Módulo: 5
Materiais
•	 Esquadros de 45° e 60° (cada aluno deverá ter os seus).
•	 Régua de 30 cm (cada aluno deverá ter a sua).
14. rETAS PArALELAS E rETAS PErPENdiCULArES
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Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos sejam 
capazes de:
•	 compreender o conceito de reta, diferenciando reta de 
segmento de reta e dominando suas representações 
e nomenclatura.
•	 conhecer o significado de retas paralelas, concorrentes 
e perpendiculares.
•	 construir retas paralelas e perpendiculares usando a 
régua e os esquadros.
Estratégias e orientações 
O conceito de reta possui algumas características que 
devemos levar em consideração ao preparar sua apresen-
tação aos alunos. Por ser um conceito primitivo, ele não 
pode ser definido. Por si só, esta já é uma grande dificul-
dade, já que não é possível responder à pergunta: “O que 
é uma reta?”. Além disso, trata-se de um conceito bastante 
abstrato, pois não existe, no mundo físico, algo que possa 
ser considerado uma reta perfeita (afinal, a reta não tem 
espessura e é infinita 2 não tem começo nem fim).
Por isso, no texto de abertura do Módulo, optamos 
por apresentar uma situação cotidiana que remete a uma 
característica da reta. Quando olhamos, do chão, um 
edifício muito alto, ele parece não ter fim. Suas linhas 
retas vão se perdendo ao longo de sua fachada, passando 
uma ideia de infinitude. 
Trabalhe o texto nos primeiros minutos da aula, enfo-
cando essa característica das retas. Se achar conveniente, 
apresente outros exemplos de situações do dia a dia que 
podem ser associadas ao conceito de reta, como os trilhos 
de trem e a linha do horizonte no oceano.
Trilhos de trem e a linha do horizonte passam a sensação de uma linha reta que se estende infinitamente.
K
e
n
n
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h
 K
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m
a
G
e
S
Atividades de construção de conceitos
Segmentos e retas (página 320)
É mais conveniente que este tópico seja trabalhado 
individualmente, pois, seguindo as instruções dadas no 
Caderno, cada aluno deverá obter as representações em 
perspectiva de dois poliedros na malha quadriculada. 
Uma vez que os alunos já trabalharam com sistemas 
de coordenadas no Módulo anterior, eles não deverão 
ter muitas dificuldades para marcar os vértices dos polie-
dros. Porém, podem se atrapalhar com o grande volume 
de informações fornecido. Procure circular pela sala e 
auxiliá-los caso tenham mais dificuldades.
Quando os desenhos estiverem prontos, serão 
exploradas as relações entre os segmentos de reta 
traçados na malha quadriculada. O ponto central é 
a constatação da existência de segmentos de reta 
colineares, ou seja, contidos numa mesma reta (ver 
a seguir). Isso levará à investigação de um novo con-
ceito, o de reta.
Diferentes segmentos de reta colineares 
(contidos na mesma reta)
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Ensino Fundamental
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O termo colineares ainda não será introduzido aos 
alunos do 6º- ano; é mais adequado que isso seja feito 
em séries mais avançadas. Também não será dito a eles 
que a reta não tem início nem fim. O intuito é que, ao 
longo da atividade proposta, eles percebam sozinhos 
essa característica. Lembre-se de que reta é um concei-
to primitivo, ou seja, não pode ser definido. Assim, é 
indicado que os alunos explorem situações práticas em 
que apareçam retas, para que, pouco a pouco, cheguem 
ao conceito (a abordagem do texto introdutório pode 
facilitar essa construção).
Para finalizar este tópico, explique as representações 
e as nomenclaturas que aparecem no boxe De olho 
nas retas.
retas paralelas, retas concorrentes e retas 
perpendiculares (página 322)
Sugerimos que esse tópico seja desenvolvido com os 
alunos reunidos em grupos. 
Com base em um desenho, são apresentados os 
conceitos de retas paralelas, retas concorrentes e retas 
perpendiculares. Incentive os grupos a discutirem cada 
conceito, procurando exemplos de situações no ambiente 
da sala de aula.
O conceito de retas reversas não é explorado 
neste Módulo. Porém, durante as discussões, ele pode 
surgir por iniciativa dos alunos. Esteja preparado para 
abordá-lo, caso ocorra. Se achar propício, questione 
os alunos a respeito. Veja uma possibilidade, usando 
a sala de aula:
Parede 
lateral
Parede da lousa
As retas destacadas têm algum ponto em comum?
Não, por isso não são concorrentes.
Estão localizadas no mesmo plano? Não, portanto não 
são paralelas.
As retas que não têm nenhum ponto em comum nem 
estão localizadas no mesmo plano recebem o nome 
de retas reversas.
Vale lembrar que, no Caderno 4 do 6º- ano, abordare-
mos o tema “arestas reversas em um poliedro”.
Traçando retas com régua e esquadro 
(página 324)
Neste tópico, é proposta a construção, com régua e 
esquadro, de retas paralelas e de retas perpendiculares. 
É importante que cada aluno manuseie seus próprios 
materiais. Por isso, aconselhamos que o tópico seja ex-
plorado individualmente. 
No início da seção, apresentamos a descrição das duas 
construções. Você pode fazer a leitura coletiva dessas 
instruções e orientar os alunos para que tentem construir, 
no caderno, retas paralelas e perpendiculares usando a 
régua e os esquadros. Circule pela classe para auxiliar 
os que estiverem confusos no manuseio dos materiais e 
passe para os exercícios da seção. 
respostas e comentários 
Segmentos e retas (página 322)
1. Na figura, estão desenhados os poliedros 1 e 2 na 
malha quadriculada. 
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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Q R
E
D
F
A B
G
C
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L
H I
2. Estão localizados sobre a mesma linha reta os se-
guintes pares de segmentos: (HI e EF ), (OP e JK ) e 
(RK e FG ). Na figura, destacamos cada reta que 
contém um par de segmentos.
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G
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Exercício 1 (página 321)
1. a) O desenho ao lado refe-
re-se ao que foi pedido 
nos itens a e c. 
 b) Algumas possibilidades: 
AB, BA, AP, BQ, QP.
 c) Sim, a reta FG passa 
pelo ponto Q, como in-
dicado na figura ao lado.
2. a) O desenho abaixo refere-seao que foi pedido nos 
itens a, b e c.
1
A
B
C
D
E
F
P S
Q
R
2 3 4 5 6
F
G
QPBA
 b) Não, os segmentos de reta PQ e RS não se encon-
tram em nenhum ponto.
 c) Sim, as retas PQ e RS encontram-se no ponto de 
coordenadas B3, como indicado na figura anterior.
retas paralelas, retas concorrentes e retas 
perpendiculares (página 322)
1. Respostas pessoais (os alunos deverão nomear as 
retas). Seguem algumas possibilidades de acordo com 
as retas marcadas no desenho a seguir:
r
s
t u v x
 a) r e s; t e u; v e x.
 b) s e t; s e u; s e v; s e x.
 c) s e v; s e x.
2. As retas EF e GH são paralelas, mas as retas EG e 
FH são concorrentes.
 As retas EF e FH são concorrentes, mas não são 
perpendiculares. Já as retas FG e GH, além de con-
correntes, são perpendiculares.
Exercício 2 (página 324)
 a) ( V ) As retas AB e BC são perpendiculares.
 b) ( V ) As retas AB e DE são paralelas.
 c) ( F ) As retas DF e DE são perpendiculares.
 (Chame atenção dos alunos para o fato de que elas 
formam um ângulo de 45¡.) 
 d) ( F ) As retas AB e AC são paralelas.
 (Mostre que as retas AB e AC têm o ponto A em 
comum.) 
Traçando retas com régua e esquadro 
(página 324)
Exercício 3 (página 325)
1. Existem várias possibilidades. Estão desenhadas a 
seguir algumas delas.
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r
t
2. Existem várias possibilidades. Estão desenhadas a 
seguir duas delas.
b
c
3. Apenas os segmentos AB e EF são paralelos ao seg-
mento L M. 
4. Este exercício tem um nível de dificuldade maior, 
já que as ruas estão representadas em perspectiva. 
Assim, os ângulos retos ficam ligeiramente deforma-
dos, dificultando a identificação de retas perpendi-
culares. O paralelismo das retas, porém, é mantido 
no desenho feito nessa perspectiva. Por isso, vamos 
resolver a questão a partir das retas paralelas.
 a) Basta traçar uma reta paralela à Rua 2 passando 
pelo ponto Q.
 b) Traçamos uma reta paralela à rua que passa pela 
lateral da Casa 1, passando pelo ponto P. Como essa 
rua é perpendicular à rua que passa na frente da casa, 
garantimos que a reta construída também será.
No desenho, estão marcadas, em cinza, as duas 
retas construídas.
P
Q
Teste (página 327)
1. Alternativa C. A figura a seguir mostra o retângulo 
ABCD e a reta EF representados no sistema de coor-
denadas fornecido.
1
6
5
4
3
2
1
0
2 3 4 5 6 7 8
F
E
D
A
C
B
Pela figura, vemos que a reta cruza tanto o lado 
AB quanto o lado CD do retângulo.
Os alunos que assinalarem a alternativa a podem 
ter desenhado o segmento E F em lugar da reta EF . 
2. Alternativa A. Para resolver a questão, vamos repre-
sentar os quatro pontos e as duas retas no sistema 
de coordenadas fornecido. 
1
6
5
4
3
2
1
0
2 3 4 5 6 7 8
C
D
A
B
Observando a representação das duas retas, concluí-
mos que elas são paralelas.
Verifique, entre os alunos que assinalaram a alterna-
tiva errada, aqueles que têm dificuldade em marcar 
os pontos no sistema de coordenadas e os que não 
conseguiram identificar, mesmo com o desenho cor-
reto, que as duas retas eram paralelas.
3. Alternativa C. Do enunciado, os segmentos AB e 
E F são lados do quadrado ABEF, pois estão em uma 
mesma face do cubo. Como os dois segmentos 
não compartilham um vértice, concluímos que são 
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lados opostos desse quadrado. Assim, as retas AB 
e E F são paralelas. 
Se os alunos tiverem dificuldade para compreender 
o raciocínio, traga um modelo de cubo para a classe 
e repita o argumento mostrando os dois segmentos 
no modelo.
desafo (página 327)
O marceneiro poderá fazer a divisão serrando o cubo 
6 vezes: com dois cortes horizontais e dois verticais, serão 
formadas 9 barrinhas de 3 3 1 3 1; serrando-as juntas 
duas vezes, ele obterá 27 cubinhos de 10 cm de aresta.
É interessante discutir com a turma por que é impos-
sível obter os 27 cubinhos serrando o cubo menos de 
6 vezes (considerar o cubinho interno).
Em casa (página 328)
1. Seis retas passam por pelo menos dois desses pontos. 
São elas: MN, MP, MQ, NP, NQ e PQ.
2. a) O segmento OT é, ao mesmo tempo, lado do 
retângulo e do quadrado.
 b) A reta PO pode ser chamada PN ou ON.
 c) O segmento AO não intercepta o segmento NE, 
como mostrado na figura abaixo.
 d) A reta AO intercepta a reta NE, como mostrado 
na figura abaixo.
3. a) ( I ) AB e CD. d) ( I ) BC e E F.
 b) (III) AD e CD. e) ( II ) BC e AF.
 c) ( II ) BC e AE .
4. O ângulo formado pelas ruas Japão e Portugal mede 
90° 2 40°, ou seja, 50°.
P
A
NO
ET
P
A
N
O
ET
5. Existem várias possíveis respostas. Mostramos algu-
mas delas:
 a) AB, BC, FG.
 b) CD, E F, GH.
6. A resposta é a linha tracejada.
P
r
7. A resposta é a linha tracejada.
Q
s
8. Para resolver o exercício, os alunos deverão:
•			traçar, pelo ponto A, uma reta perpendicular à 
reta AB;
•			traçar, pelo ponto B, uma reta perpendicular à 
reta AB;
•			traçar, pelo ponto P, uma reta paralela à reta AB.
 A figura mostra as três retas construídas e o retângulo 
ABCD obtido.
P
A
B
D
C
9. Verifique as anotações no glossário. Se achar conve-
niente, escolha algumas delas e compartilhe-as com a 
classe, para que todos possam corrigir ou acrescentar 
algo que considerem importante.
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Ensino Fundamental
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AULAS 38 a 40
Objetivos 
•	 Comparar e ordenar números racionais na representação decimal.
•	 Localizar números decimais na reta numérica.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
38
Retorno das tarefas 6 a 9 do Módulo 14
Números decimais em contextos de pesquisa
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
39
Retorno das tarefas 1 e 2
Comparação de números decimais
Localização de números decimais na reta numérica
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
40
Retorno das tarefas 3 a 5
Exercício
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 6 a 9 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 6 a 9
Noções básicas
Ao final do Módulo, espera-se que os alunos consigam comparar e ordenar números racionais na representação 
decimal.
Estratégias e orientações 
Este Módulo dá continuidade às ideias já trabalhadas no Caderno anterior. Exploraremos a comparação e a or-
denação de números decimais, bem como a localização na reta numérica. 
Apresentamos, também, alguns contextos em que essa representação dos números racionais é utilizada. 
Você poderá ampliar as discussões, principalmente a partir do texto de abertura, verificando outros contextos 
15. NÚMErOS rACiONAiS EM diFErENTES CONTEXTOS
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que são de conhecimento dos alunos. No caso da 
placa com erros ortográficos, aproveite para discutir 
com eles o quanto é comum encontrarmos placas, 
letreiros e outros anúncios com erros de ortografia, 
com símbolos de medidas escritos erroneamente. Essa 
discussão está relacionada aos problemas de não es-
colarização ou analfabetismo, temas que serão apre-
sentados neste Módulo.
Atividades de construção de conceitos
Números decimais em contextos de pesquisas 
(página 331)
O texto informativo, o gráfico e as tabelas são trazidos 
neste tópico com o objetivo de apresentar os dois tipos 
de números com vírgula: os que estão na representação 
decimal e os que são representados na forma percentual 
2 ambos representações do número racional. 
Quanto à leitura do texto, sugerimos que ela seja feita 
individualmente e de forma silenciosa. Após a leitura, 
você poderá propor algumas questões 2 oralmente 2 
para se certificar de que houve compreensão do texto. 
Aproveite para discutir com os alunos a organização do 
sistema educacional brasileiro:os níveis da educação 
básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino 
Médio) 2 obrigatórios atualmente 2 e o Ensino Superior.
Ao término da discussão, os alunos responderão aos 
itens propostos. O item 1 complementa o texto com um 
gráfico em que os números com vírgula estão na repre-
sentação percentual e no item 2 os números com vírgula 
representam números decimais. 
Se necessário, retome com a turma os tipos de gráfi-
cos já estudados para que possam responder aos itens.
Comparação de números decimais (página 334)
Este tópico sistematiza os critérios para comparação de 
números decimais. Inicialmente, os alunos irão explorar 
a ideia de que podemos acrescentar zeros ao final de um 
número decimal, sem alterá-lo. Tal fato é fundamental 
para a comparação quando o número de ordens decimais 
não é o mesmo; nesse caso, os alunos irão completar os 
números com zeros, deixando-os com o mesmo núme-
ro de ordens decimais. A partir dessa compreensão, os 
alunos poderão concluir que a estrutura existente para 
as ordens inteiras também é válida para as não inteiras 
(ou decimais), desde que estejam com o mesmo número 
de ordens.
Se necessário, retome o quadro de ordens e mostre, 
por exemplo, que 0,5 é o mesmo que 0,50.
Localização de números decimais na reta 
numérica (página 336)
Ao comparar e localizar números decimais na reta 
numérica, estamos contribuindo para a compreensão 
da densidade dos números racionais, ou seja, entre dois 
números racionais quaisquer sempre existem infinitos nú-
meros racionais. Essa ideia será construída intuitivamente 
até o 9º- ano, quando esse conceito será sistematizado. 
É importante que, nos momentos de correção dos exer-
cícios que abordam essa questão, o professor comece a 
chamar a atenção para esse fato.
respostas e comentários
Números decimais em contextos de pesquisas 
(página 331)
1. a) Gráfico de colunas múltiplas.
 b) O gráfico apresenta a porcentagem de estudantes 
da educação básica matriculados no Brasil, com-
parando os anos de 2004 e 2013.
 c) O nível de ensino com maior percentual de ma-
triculados é o Ensino Fundamental (6 a 14 anos).
 d) 13,4 ♦ 23,2 ♦ 61,5 ♦ 81,4 ♦ 81,8 ♦ 84,3 ♦ 96,1 
♦ 98,4.
2. a) O país não cumpriu sua meta. A previsão de que 
todos os brasileiros nascidos a partir de 1971 ti-
vessem 8 anos de escolaridade não se confirmou, 
pois a média de escolarização dos brasileiros com 
mais de 25 anos em 2013 ficou em 7,7.
 b) As regiões Norte e Nordeste não cumpriram a 
meta. Em 2013, a média dos adultos com mais de 
25 anos alfabetizados era de 7,1 e 6,4, respectiva-
mente, nessas regiões. 
 c) 4,9 ♦ 5,8 ♦ 6,4 ♦ 6,6 ♦ 6,8 ♦ 7,1
 d) 8,4 ♦ 8,1 ♦ 8,0 ♦ 7,7 ♦ 7,1 ♦ 6,4
 e) Os alunos deverão fazer os cálculos para cada re-
gião. Nas regiões Nordeste e Centro-Oeste houve 
o maior aumento da média de anos de estudos: 
1,5 ano (6,4 2 4,9 5 1,5 e 8,1 2 6,6 5 1,5).
 f) A diferença observada no item anterior (1,5) foi 
maior que a observada no Brasil (1,3). 
Comparação de números decimais (página 334)
1. Inicialmente os alunos irão representar os números 
na malha quadriculada para perceber quando o zero 
nas ordens decimais altera ou não o número decimal.
 a) Em 0,2, os alunos irão pintar 20 quadradinhos 
(ou 2 colunas ou 2 linhas); em 0,02, irão pintar 2 
quadradinhos. Assim, 0,2 Þ 0,02 e 
2
10 
Þ
 
2
100
.
820
Ensino Fundamental
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 b) Tanto em uma quanto em outra representação, 
os alunos irão pintar 50 quadradinhos. Assim, 
0,5 5 0,50 e
 
5
10
5
100
5 .
2. Este item tem por objetivo verificar se os alunos con-
seguem perceber a posição do zero: quando este 
altera ou não o número dado.
 a) 0,3 5 0,300 e) 0,006 Þ 0,06
 b) 2,500 5 2,5 f ) 9,5 5 9,500
 c) 0,085 Þ 0,805 g) 8,350 5 8,35
 d) 35,6 Þ 35,06 h) 0,900 5 0,9
3. Espera-se que os alunos tenham percebido que, se 
o zero estiver ao final das ordens decimais, ele po-
derá ser suprimido, pois não altera o número dado; 
no entanto, se ele estiver representando a ausência 
de uma ordem, ele não poderá ser suprimido. Essa 
propriedade é fundamental para a comparação de 
números decimais.
4. a) A tabela ordenada será a seguinte:
Regiões 
Taxa de analfabetismo 
das pessoas com 15 ou mais 
anos de idade
2004 2013
Nordeste 22,4 16,9
Norte 13,0 9,5
Centro-Oeste 9,2 6,5
Sudeste 6,6 4,8
Sul 6,3 4,6
 b) Em 2004: Centro-Oeste (9,2), Sudeste (6,3) e 
Sul (6,6).
Em 2013: Centro-Oeste (6,5), Sudeste (4,8) e 
Sul (4,6).
5. Oriente os alunos para que deixem os números deci-
mais sempre com o mesmo número de ordens para 
facilitar a comparação. Para isso, eles irão acrescentar 
zeros ao final.
 a) Acrescentando zeros ao final de cada número, 
temos: 
2,100 ♦ 2,500 ♦ 2,010 ♦ 2,510 ♦ 2,050 ♦ 2,501 
Comparando-os, chegamos à seguinte ordenação:
2,01 ♦ 2,05 ♦ 2,1 ♦ 2,5 ♦ 2,501 ♦ 2,51
 b) Acrescentando zeros ao final de cada número, temos: 
15,600 ♦ 15,060 ♦ 15,160 ♦ 15,016 ♦ 15,061 
♦ 16,601 
Comparando-os, chegamos à seguinte ordenação: 
15,016 ♦ 15,06 ♦ 15,061 ♦ 15,16 ♦ 15,6 ♦ 16,601 
6. Respostas pessoais. Neste tipo de exercício, os alunos 
também precisarão deixar os números de cada item 
com o mesmo número de ordens decimais, acrescen-
tando quantos zeros forem necessários. 
 a) 0 e 1 2 Neste intervalo estarão todos os números 
em que a ordem das unidades seja 0. Algumas 
possibilidades: 0,16; 0,0004; 0,9.
 b) 0 e 0,1 2 Com acréscimos de zeros em 0,1 po-
demos ter: 0,10; 0,100; 0,1000, o que facilitará a 
percepção do intervalo a ser trabalhado. Algumas 
possibilidades: 0,01; 0,05; 0,005; 0,0235.
 c) 1 e 2 2 Alguns intervalos a serem considerados: 
1,0 e 2,0; ou 1,00 e 2,00. Algumas possibilidades: 
1,1; 1,05; 1,985.
 d) 1 e 1,2 2 Alguns intervalos a serem considerados: 
1,0 e 1,2; ou 1,00 e 1,20. Algumas possibilidades: 
1,1; 1,15; 1,05.
 e) 1 e 1,02 2 Alguns intervalos a serem considerados: 
1,00 e 1,02; ou 1,000 e 1,020. Algumas possibili-
dades: 1,01; 1,015; 1,002.
 f) 7 e 7,5 2 Alguns intervalos a serem considerados: 
7,0 e 7,5; ou 7,00 e 7,50; ou 7,000 e 7,500. Algumas 
possibilidades: 7,1; 7,2; 7,35.
 g) 7,4 e 7,5 2 Alguns intervalos a serem considerados: 
7,40 e 7,50; ou 7,400 e 7,500. Algumas possibili-
dades: 7,41; 7,45; 7,425.
 h) 8,25 e 8,3 2 Alguns intervalos a serem considera-
dos: 8,25 e 8,30; ou 8,250 e 8,300. Algumas pos-
sibilidades: 8,26; 8,251; 8,299. 
 i) 8,9 e 9 2 Alguns intervalos a serem considerados: 
8,90 e 9,00; ou 8,900 e 9,000. Algumas possibili-
dades: 8,95; 8,99; 8,975.
 j) 0,15 e 0,2 2 Alguns intervalos a serem considera-
dos: 0,15 e 0,20; ou 0,150 e 0,200. Algumas pos-
sibilidades: 0,16; 0,159; 0,199.
7. Oriente os alunos para a síntese sobre os procedi-
mentos para comparação de números decimais. É 
fundamental mencionar que os números precisam 
ficar com a mesma quantidade de ordens decimais 
para facilitar a comparação.
Exercício (página 336)
1. 
2 3 4
0 1
2. Neste exercício é apresentada uma unidade da reta 
numérica, ou seja, o intervalo de 7 a 8, no qual os 
alunos irão representar os números dados.
821
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7 8
7,09
7,05
7,500 7,750
7,740
7,90
3. Novamente é apresentado um segmento de 1 uni-
dade, subdividido em milésimos (as marcas maiores 
indicam um intervalo de 0,01). Os alunos irão indicar 
a localização de cada número dado.
7
6
6,011
6,022
6,03
6,04 6,05
6,2
6,5
6,3
6,39
4. No momento da correção, discuta com os alunos 
qual é a regra de formação ou regularidade de cada 
sequência. Nos anos iniciais do Sistema, os alunos 
usam com frequência a expressão “regularidade”.
 a) Subtrai-se de cada número 0,25 e continuando a 
sequência tem-se: 
3,25 ♦ 3,0 ♦ 2,75 ♦ 2,5 ♦ 2,25
 b) Acrescenta-se 0,025 a cada número e continuando 
a sequência tem-se:
0,175 ♦ 0,2 ♦ 0,225 ♦ 0,25 ♦ 0,275
 c) Subtrai-se 0,01 de cada número e continuando a 
sequênciatem-se:
35,07 ♦ 35,06 ♦ 35,05 ♦ 35,04 ♦ 35,03
 d) Acrescenta-se 0,75 a cada número e continuando 
a sequência tem-se:
9,55 ♦ 10,3 ♦ 11,05 ♦ 11,08 ♦ 12,55
Teste (página 337)
1. Alternativa B. Oriente os alunos para que leiam 
todas as alternativas e as analisem a partir dos da-
dos dos gráficos. Chame a atenção também para a 
informação no título do gráfico: “em milhares de 
pessoas...”. Assim, os dados do primeiro gráfico pre-
cisam ser transformados com todas as ordens, ou 
seja, há 115 885 000 de alfabetizados e 29 500 000 de 
analfabetos funcionais.
2. Alternativa D. Oriente os alunos para que analisem os 
dois gráficos de setores, nos quais é fácil identificar 
que apenas a alternativa d é verdadeira.
3. Alternativa B. Oriente os alunos para que analisem 
cada uma das afirmações. Assim, eles vão identificar 
que: I é falsa, II é verdadeira e III é falsa.
Em casa (página 338)
1. 88% 5
88
100
5 0,88 64% 5
64
100
5 0,64
 36% 5
36
100
5 0,36 40% 5
40
100
5 0,40
 12% 5
12
100
5 0,12
2. a) 
30
100
5 0,30 5 30% c) 0,49 5 
49
100
5 49%
 b) 
7
10
5 0,7 5 70% d) 23% 5 
23
100
5 0,23
3. Respostas pessoais. Algumas possibilidades: 
2,05 ♦ 2,052 ♦ 2,009 ♦ 2,031 ♦2,045
4. a) 0,33 está compreendido entre 0 e 1.
 b) 2,1 está compreendido entre 2 e 3.
 c) 36,36 está compreendido entre 36 e 37.
 d) 5,406 está compreendido entre 5 e 6.
 e) 9,04 está compreendido entre 9 e 10.
 f) 15,36 está compreendido entre 15 e 16.
5. a) 8 ♦ 8,1 ♦ 8,01 ♦ 8,003 ♦ 8,213 
 b) 8,3 e 8,4
 c) 8,213 ♦ 8,3 ♦ 8,4 
 d) 8 ♦ 8,1 ♦ 8,01 ♦ 8,003
6. a) Respostas pessoais. Algumas possibilidades: 57% 
e 63,2%.
 b) Sim, pois é maior que 52% e menor que 64,7%.
7. No momento da correção, discuta a regularidade de 
cada sequência.
 a) Acrescenta-se 0,04: 7,32 ♦ 7,36 ♦ 7,4 ♦ 7,44 ♦7,48 
♦ 7,52
 b) Subtrai-se 0,7: 62,6 ♦ 61,09 ♦ 61,2 ♦ 60,5 ♦ 59,8 
♦ 59,1
8. a) Os números menores que 71,23 são: 71,03 ♦ 71,12 
♦ 71,2 ♦ 71,21 ♦ 71,229
 b) O maior número dentre os apresentados é 71,3 e 
o menor, 71,03.
9. Confira as anotações do glossário.
822
Ensino Fundamental
MP_AngloEFII_Matematica_6.2_MP_001a052.indd 22 11/30/15 9:07 AM
AULAS 41 e 42
Objetivos 
•	 Perceber regularidades na multiplicação e na divisão por 10, 100 e 1 000.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
41
Retorno das tarefas 6 a 9 do Módulo 15
Descobrindo regras com a calculadora 2 itens 1 a 10
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 a 3 (Em casa)
42
Retorno das tarefas 1 a 3
Descobrindo regras com a calculadora 2 itens 11 a 16
Teste (item 2)
Desafio
Orientações para as tarefas 4 e 5 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 10 e 11
Material 
•	 Calculadora (cada aluno deverá ter a sua).
Noções básicas
Ao final do Módulo, espera-se que os alunos sejam capazes de identificar regras na multiplicação e na divisão 
por 10, 100 e 1 000.
Estratégias e orientações 
Neste Módulo propomos atividades com a calculadora, o que já é familiar aos alunos do Sistema de Ensino. No 
entanto, se não for esse o caso dos seus alunos, faça as intervenções necessárias. 
Sugere-se que o trabalho seja realizado em duplas para propiciar a troca e a enunciação das regras esperadas. 
Ao final, faça a socialização das conclusões no item 9. 
Todas as situações propostas são de construção de conceitos, o que será sistematizado nos itens 9 e 13.
respostas e comentários 
descobrindo regras com a calculadora (página 340)
1. a) 1º- resultado: 10 3 5 5 50
2º- resultado: 10 3 50 5 500
3º- resultado: 10 3 500 5 5 000
16. MULTiPLiCAçãO E diviSãO POr 10, 100 E 1 000 
COM NÚMErOS dECiMAiS
823
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4º- resultado: 10 3 5 000 5 50 000
Sequência obtida: 50; 500; 5 000; 50 000
 b) 1º- resultado: 10 3 13 5 130
2º- resultado: 10 3 130 5 1 300
3º- resultado: 10 3 1 300 5 13 000
4º- resultado: 10 3 13 000 5 130 000
Sequência obtida: 130; 1 300; 13 000; 130 000
 c) 1º- resultado: 10 3 25 5 250
2º- resultado: 10 3 250 5 2 500
3º- resultado: 10 3 2 500 5 25 000
4º- resultado: 10 3 25 000 5 250 000
Sequência obtida: 250; 2 500; 25 000; 250 000
2. Cada número obtido na sequência é 10 vezes maior 
que o número anterior.
3. Os alunos farão os registros no quadro de ordens.
 a) 
Ordens inteiras , Ordens decimais
CM DM UM C D U Déc. Cent. Mil. ...
4 , 3 0 5
4 3 , 0 5
4 3 0 , 5
4 3 0 5 ,
4 3 0 5 0 ,
 b) 
Ordens inteiras , Ordens decimais
CM DM UM C D U Déc. Cent. Mil. ...
3 1 , 4 7 5
3 1 4 , 7 5
3 1 4 7 , 5
3 1 4 7 5 ,
3 1 4 7 5 0 ,
4. a) 12,7 ♦ 127♦ 1 270 ♦12 700
 b) 3,129 ♦ 31,29 ♦ 312,9 ♦ 3 129
5. Cada número obtido na sequência é 10 vezes maior 
que o anterior.
6. a) 13,5
 b) 20,5
 c) 134
 d) 1 623
 e) 1 623
 f) 1,23
7. Os alunos farão a autocorreção do item 6, com a 
calculadora.
8. O objetivo deste item é ampliar a regra para 100 e 1 000.
 a) 235
 b) 27,5
 c) 13 120
 d) 129,5
 e) 10,5
 f) 1,35
 g) 14,8
 h) 148
9. A síntese da propriedade poderá ser feita em dupla ou 
com a classe toda. Aconselha-se não usar a conhecida 
regra: “Ao multiplicar por 10, 100 e 1 000, a vírgula 
muda uma, duas ou três ordens”, pois, considerando o 
quadro de valor posicional, observamos que a vírgula 
se mantém separando a parte inteira da parte decimal; 
o que muda de posição são os algarismos, que passam 
a ocupar ordens superiores. Assim, uma síntese mais 
coerente com o que foi feito seria:
•	 ao se multiplicar um número (não nulo) por 10, 
cada algarismo do número passa a ocupar a pri-
meira ordem imediatamente superior;
•	 ao se multiplicar um número (não nulo) por 100, 
cada algarismo do número passa a ocupar a se-
gunda ordem imediatamente superior;
•	 assim, multiplicar por 10, 100 e 1 000 significa mu-
dar o valor posicional dos algarismos em uma, 
duas ou três ordens, respectivamente.
10. a) 2,5
 b) 0,01
 c) 30,15
 d) 2,7
 e) 27
 f) 31,2
 g) 13,89
 h) 3 120
 i) 500
 j) 800
11. Espera-se que os alunos façam uma analogia com a 
multiplicação e concluam que os algarismos passarão 
a ocupar uma, duas ou três ordens imediatamente 
inferiores, respectivamente.
12. a) 32,5
 b) 3,25
 c) 0,325
 d) 3,198
 e) 0,3198
 f) 0,03198
 g) 0,4
 h) 0,04
 i) 0,004
 j) 0,01
 k) 0,001
 l) 0,0001
13. Espera-se que os alunos concluam que, ao dividirmos 
cada algarismo por 10, ele passa a ocupar a primeira 
ordem imediatamente inferior; ao dividirmos por 100, 
a segunda; por 1 000, a terceira.
14. a) 1,5
 b) 0,015
 c) 0,05
 d) 0,005
 e) 0,904
 f) 0,009
 g) 5,314
 h) 1,206
 i) 0,500 5 0,5
 j) 23
15. É provável que os alunos usem as teclas que for-
mam os números 10, 100, 1 000... No entanto, outras 
também poderão ser usadas. Socialize as diferentes 
possibilidades encontradas pelos alunos.
 a) Deverá usar as teclas: : 1 0 5
 b) Deverá usar as teclas: : 1 0 5 
8
24 Ensino Fundamental
MP_AngloEFII_Matematica_6.2_MP_001a052.indd 24 11/30/15 9:07 AM
 c) Deverá usar as teclas: 
: 1 0 0 5
 
ou
: 1 0 5 5
 d) Podem ter sido usadas as teclas:
3 1 0 5
 
ou
3 2 3 5 5
 e) Podem ter sido usadas as teclas:
3 1 0 0 5
 
ou
3 1 0 3 1 0 5
16. a) : 1 0 0 5
 
ou
: 1 0 5 5
 
 b)
 
: 1 0 5 5 5 ou 
: 1 0 0 0 5
 c)
 
: 1 0 5 5 5 ou 
: 1 0 0 0 5
 d) 3 1 0 0 5
 
 e) 3 1 0 5 3 1 0 5
 
3 1 0 5
 
(os dois primeiros sinais de 5 não precisam 
ser teclados) ou
3 1 0 0 0 5
 f) 3 1 0 5 3 1 0 5
 
 (aqui também o primeiro sinal de 5 não pre-
cisa ser teclado) ou
3 1 0 0 5
desafo (página 344)
1. Há 89,4 toneladas, pois em 1 tonelada há 1 000 qui-
logramas, e em 1 quilograma há 1 000 gramas. Assim, 
89,4 3 1 000 000 5 89 400 000 g, ou 89 400 kg,
ou 89,4 t.
2. Primeiro, vão os homens de 50 kg e 75 kg. Um deles 
(qualquer um) desembarca no ponto de destino, e o 
outro volta sozinho à margem inicial. Lá, ele desembar-
ca e passa o barco para o homem de 120 kg, que faza 
travessia sozinho e entrega o barco ao primeiro homem 
que desembarcou. Este volta com o barco, resgata o 
outro homem na margem inicial, e os dois fazem juntos 
a última travessia, encontrando-se na outra margem 
com o homem de 120 kg. Portanto, são necessárias 
cinco viagens para transportar os três homens até a 
outra margem do rio, sem afundar o barco. 
Teste (página 345)
1. Alternativa C. Oriente os alunos a descobrirem a re-
gularidade da sequência: cada número é 10 vezes 
menor que o anterior. Assim, dividindo-se 7 653 por 
10, obtém-se 765,3 (alternativa c).
2. Alternativa A. Os alunos deverão escrever o número 
dado com todas as suas ordens, ou seja:
 3,75 3 108 5 3,75 3 100 000 000 5 375 000 000 5 
5 375 3 106 (alternativa a).
Em casa (página 345)
1. As sequências que aparecerão no esquema são:
 a) 3,25; 32,5; 325
0,325 × 10 5 3,25
0,325 × 10 × 10 5 32,5
0,325 × 100 5 32,5
0,325 × 10 × 10 × 10 5 325
0,325 × 1 000 5 325
 b) 2,5; 0,25; 0,025 
25 : 10 5 2,5
25 : 10 : 10 5 0,25
25 : 100 5 0,25
25 : 10 : 10 : 10 5 0,025
25 : 1 000 5 0,025
2. a) 70,5 b) 5 c) 7,5 d) 10,5 e) 0,78
3. a) 7,2 b) 4,25 c) 0,7 d) 0,06 e) 0,47
4. a) 7,653
 b) 0,7653
 c) 0,07653
 d) 765,3
 e) 7 653
 f) 76 530
 g) 450
 h) 375
 i) 30
 j) 45
 k) 37,54
 l) 0,873
5. Verifique as anotações no glossário. Você poderá 
socializar com a turma as anotações no momento 
da correção, a fim de esclarecer eventuais dúvidas e 
possibilitar aos alunos que complementem o verbete.
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AULAS 43 a 46
Objetivos 
•	 Calcular porcentagem utilizando frações.
•	 Calcular porcentagem por raciocínio proporcional.
roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
43
Retorno das tarefas 4 e 5 do Módulo 16
A problemática do lixo em nosso país
Estratégias para calcular porcentagem
Teste (item 1)
Orientações para a tarefa 1 (Em casa)
44
Retorno da tarefa 1
Estratégias de cálculo mental para a porcentagem
Teste (item 2)
Orientações para a tarefa 1 (Em casa)
45
Retorno da tarefa 2
Exercício 1
Uso da calculadora para o cálculo de porcentagens
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 3 e 4 (Em casa)
46
Retorno das tarefas 3 e 4
Mais uma estratégia de cálculo de porcentagem
Síntese dos procedimentos de cálculo da porcentagem
Exercício 2
Teste (item 4)
Orientações para as tarefas 5 e 6 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 12 a 14
Material 
•	 Calculadora (cada aluno deverá ter a sua).
Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos sejam capazes de:
•	 estabelecer relações entre frações e porcentagens.
•	 identificar e construir estratégias para o cálculo de porcentagens.
17. POrCENTAGEM
826
Ensino Fundamental
MP_AngloEFII_Matematica_6.2_MP_001a052.indd 26 11/30/15 9:07 AM
Estratégias e orientações 
Ao longo do Módulo, são exploradas diferentes estra-
tégias para o cálculo de porcentagem. Após conhecê-las, 
os alunos poderão optar por qualquer uma delas para 
resolver cálculos relacionados à porcentagem.
No caso da calculadora, ela será utilizada apenas como 
ferramenta para cálculos que envolvam números deci-
mais. Além disso, é fundamental que os alunos saibam 
usar as diferentes teclas da calculadora. Isso não significa 
que eles sempre lançarão mão dela para cálculos, mas é 
importante aprender diferentes estratégias para ter op-
ções pertinentes a cada contexto.
Inicialmente, explore com a turma o texto da abertura 
do Módulo, destacando o uso constante da porcentagem 
em pesquisas, gráficos, tabelas e dados informativos e o 
quanto, em determinados contextos, os dados percentuais 
possibilitam uma maior compreensão da informação. 
Se julgar necessário que os alunos tenham mais con-
tato com esse tipo de texto, providencie jornais e revistas 
da semana, para que, em grupos, pesquisem e recortem 
notícias cujas manchetes contenham números expressos 
na forma de porcentagens, estabelecendo relações entre 
esses números e os dados divulgados.
Atividades de construção de conceitos
Neste Módulo buscamos construir com os alunos es-
tratégias para o cálculo de porcentagem. Consideramos 
fundamental que diferentes estratégias sejam exploradas, 
inclusive para desenvolver a habilidade de estimativas 
e cálculo mental. Sabemos que, atualmente, com o uso 
da calculadora, principalmente a do celular, as pessoas 
não realizam mais cálculos; no entanto, se o sujeito não 
dispuser dessas habilidades, pode acontecer de digitar 
dados equivocados e não ser capaz de analisar a inade-
quação dos resultados.
Iniciamos o Módulo com um texto para evidenciar 
o quanto a porcentagem está presente em diferentes 
contextos. Selecionamos uma situação com gráficos, pois 
dessa forma já retomamos a análise de dados. 
A partir desse contexto, exploramos as diferentes es-
tratégias de cálculo de porcentagem, inclusive com o uso 
da calculadora. Temos constatado em nossas práticas que 
muitos alunos não dispõem de estratégias para o cálculo 
de porcentagem diretamente numa calculadora.
respostas e comentários 
A problemática do lixo em nosso país (página 346)
1. a) Gráfico de colunas múltiplas.
 b) O gráfico traz duas colunas comparativas: na pri-
meira delas estão representados os percentuais 
do lixo coletado no Brasil e por regiões do país e 
na segunda, percentuais desse lixo que vão para 
lixões ou aterros precários.
 c) As regiões com percentuais de lixo coletado supe-
riores ao do Brasil são: Centro-Oeste, Sul e Sudeste.
 d) As regiões com percentual de lixo coletado que vai 
para lixões ou aterros precários, maior que a taxa 
do Brasil, são: Norte, Nordeste e Centro-Oeste.
 e) Somente a região Centro-Oeste, que coleta 92% do 
lixo, destina 70% para lixões e aterros precários. 
As regiões Sudeste e Sul, cuja taxa de coleta é su-
perior à do Brasil, destinam percentual menor que 
o do Brasil para lixões e aterros precários (28% e 
30%, respectivamente). 
 f) Sim. Apenas 58% do lixo coletado no Brasil vai para 
aterros sanitários 
(100% 2 42% 5 58%).
2. Esta questão visa explorar o conhecimento que os 
alunos já trazem de porcentagem, compreendendo 
que 50% correspondem à metade. Assim, a região 
Sudeste produz diariamente 125 mil toneladas de 
lixo, ou seja, metade da produção nacional.
Estratégias para calcular porcentagem 
(página 348)
1. São apresentadas duas estratégias para que os alunos 
as analisem e tentem explicar o raciocínio envolvido. 
Sugerimos que a discussão seja feita em duplas, a fim 
de que haja troca de ideias entre os pares. 
•	 André: Ele encontrou 1% de 200 (o valor dado) e, 
em seguida, calculou 20%, ou seja, multiplicou o 
quociente obtido por 20.
•	 Letícia: ela raciocinou proporcionalmente, ou seja, se 
ela sabe que 20% é 20 em cada 100, então, dobrando 
os valores de ambas as grandezas, chega-se em 40 
em cada 200. Esse tipo de raciocínio os alunos do 
Sistema de Ensino já exploraram em anos anteriores.
2. a) 20% representam 20 em cada 100.
 b) 30% representam 30 em cada 100.
 c) 25% representam 25 em cada 100.
 d) 48% representam 48 em cada 100.
 e) 90% representam 90 em cada 100.
 f) 100% representam 100 em cada 100, ou seja, re-
presentam o todo-referência.
3. Os alunos poderão utilizar qualquer uma das duas 
estratégias exploradas no item 1, ou criar outras 2 
nesse caso, faça a socialização com a classe.
 a) 30
 b) 60
 c) 90
 d) 60
 e) 100
 f) 128
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Estratégias de cálculo mental para a 
porcentagem (página 349)
1. Os alunos irão explicar o raciocínio apresentado em 
cada estratégia.
• Júlia: ela decompôs 24% em 20% 1 4%. Para 
obter 20%, ela fez 700 : 5, pois 20% é a quinta 
parte de 100%. 
Para encontrar 4%, ela primeiro obteve 1%, divi-
dindo 700 por 100, e multiplicou o resultado por 
4. Finalmente, ela somou os doisvalores.
• Rafael: ele obteve 24% subtraindo 1% de 25% 
(25% 2 1% 5 24%). 
Para obter 25%, ele fez 700 : 4, pois 25% é a quarta 
parte de 100%; assim, obteve 175. 
Para calcular 1% de 700, ele fez diretamente 
700 : 100 5 7. Em seguida, ele subtraiu 7 de 175, 
obtendo 168.
• Mateus: ele decompôs 24% em:
24% 5 2 3 10% 1 4 3 1%.
Para calcular 10%, ele fez
 
1
10 
de 700; para calcular 
1%, ele fez
 
1
100 
de 700. Em seguida, ele multipli-
cou o primeiro valor por 2 e o segundo por 4 e 
somou os dois valores, obtendo 168.
Após a socialização das explicações dos alunos para 
os raciocínios, seria interessante explorar com eles 
algumas porcentagens relacionadas com frações de 
cálculo simples. Por exemplo:
• 10% 2 é o mesmo que a décima parte;
• 20% 2 é o mesmo que a quinta parte;
• 25% 2 é o mesmo que a quarta parte;
• 50% 2 é o mesmo que a metade.
Sabendo calcular mentalmente essas porcentagens, 
podem-se obter outras, fazendo adições ou subtra-
ções 2 como ocorreu nas estratégias que aparecem 
no Caderno.
2. Os alunos poderão utilizar a estratégia que quiserem. 
No momento da correção, socialize as que foram 
utilizadas pela turma.
 a) 200
 b) 120
 c) 24
 d) 150
 e) 15
 f) 6
Exercício 1 (página 349)
Conduza a realização desse exercício retomando 
com a turma a leitura do texto do início do Módulo, 
em especial a informação contida no quadro que apre-
senta o gráfico. Os alunos deverão considerar essas 
informações e as constantes no exercício para resolver 
os itens 1 e 2. Eles poderão utilizar a estratégia que 
quiserem. Socialize essas estratégias com a turma no 
momento da correção.
1. Estratégias pessoais. Apresentamos uma possibilidade.
 a) Se a população rural brasileira é de 30%, a urbana 
é de 70%.
10% de 210 000 000 5 21 000 000
50% de 210 000 000 5 105 000 000
70% 5 10% 1 10% 1 50%, então, pode-se fazer:
21 000 000 1 21 000 000 1 105 000 000 5 147 000 000
A população urbana brasileira é de 147 milhões 
de habitantes.
 b) As regiões Sul e Sudeste reúnem 60% da popu-
lação urbana do país.
10% 1 50% 5 60%, então:
14 700 000 1 73 500 000 5 88 200 000
Nas regiões Sul e Sudeste há 88,2 milhões de 
habitantes nas regiões urbanas.
2. Estratégias pessoais. Apresentamos uma:
Calcular: 63% de 250 mil toneladas.
1% de 250 000 5 2 500 t
10% de 250 000 5 25 000 t
50% de 250 000 5 125 000 t
63% 5 1% 1 1% 11% 1 10% 1 50%, logo:
2 500 1 2 500 1 2 500 1 25 000 1 125 000 5 157 500
A produção diária de lixo das regiões Sul e Sudeste 
é de 157 500 toneladas.
Uso da calculadora para o cálculo 
de porcentagens (página 350)
Serão apresentados dois procedimentos de cálculo de 
porcentagem: por meio da tecla da porcentagem e por meio 
da multiplicação pelo número decimal correspondente.
Para cada um dos modos, foram explicados todos 
os passos. Certifique-se de que os alunos entenderam 
(ao final das explicações promova uma discussão com 
a turma). Enfatizamos que os alunos poderão escolher 
qual dos procedimentos utilizar.
1. Os procedimentos são introduzidos a partir do texto 
que também se refere a lixo. Tanto em um quanto em 
outro procedimento, deverá aparecer no visor da cal-
culadora o número 9 400 000. Assim, os Estados Unidos 
reciclam anualmente 1 316 000 toneladas de e-lixo.
2. A China recicla anualmente 438 000 toneladas de e-lixo.
3. 
Destino do lixo % Total (em toneladas)
Aterro sanitário 64,2 3 210 000
Aterro controlado 18,9 945 000
Lixão 16,9 845 000
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Ensino Fundamental
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Mais uma estratégia de cálculo de porcentagem 
(página 352)
As situações propostas referem-se a contextos em 
que se conhece uma parte, um percentual, e pretende-se 
conhecer o todo (ou todo-referência).
1. Estabeleça um tempo para que os alunos levantem 
suposições de como resolver essa situação. Socialize 
as estratégias que utilizaram. Uma estratégia possível 
é raciocinar por proporcionalidade. Se for necessário 
dar sugestões, veja a estratégia apresentada no próxi-
mo item. Os alunos deverão concluir que o total de 
lixo produzido em um dia é de 25 toneladas. 
2. É apresentada uma estratégia para resolução do mes-
mo problema do item 1, pelo raciocínio proporcional. 
Esse aluno partiu do princípio de que 40% represen-
tam 10 toneladas de lixo; então 20% serão a meta-
de, ou seja, 5 toneladas. Conhecendo-se 20%, basta 
multiplicar esse valor por 5 para se chegar aos 100%.
3. Os alunos poderão utilizar a estratégia que quiserem, 
mas deverão registrá-las. Socialize-as no momento da 
correção. Você também poderá sugerir que façam a 
autocorreção com a calculadora. 
 a) 300 alunos
 b) 200 reais
 c) 500 indústrias
 d) 28 000 estudantes
 e) 50 alunos
 f) 20 alunos
Síntese dos procedimentos de cálculo 
da porcentagem (página 353)
Com base nas estratégias estudadas, os alunos deverão 
elaborar uma síntese dos possíveis procedimentos de 
cálculo de porcentagens. O texto poderá ser produzido 
coletivamente: à medida que eles apresentarem as ideias, 
você as registrará na lousa. Em seguida, após se certifi-
carem de que o texto contemplou todas as estratégias 
estudadas, eles deverão copiá-lo no Caderno.
Exercício 2 (página 353)
Nestes exercícios sugere-se o uso da calculadora para 
a autocorreção. Não dispense o registro do procedimento 
utilizado pelos alunos, pois é uma forma de garantir que 
eles o fizeram. 
1. Tipo de lixo produzido 
diariamente no Brasil
Total (em toneladas)
Lixo orgânico 130 000
Papel e papelão 65 000
Plástico 7 500
Metais 5 000
Vidro 5 000
Outros 37 500
Teste (página 354)
1. Alternativa C. Se necessário, oriente os alunos a 
calcularem, inicialmente, 20% de 250 000 tonela-
das. Eles poderão utilizar cálculo mental: 10% são 
25 000, portanto, 20% são 50 000 toneladas. Com 
isso, eles já eliminam as alternativas a e b. Como 
as outras duas estão na forma de potenciação, eles 
poderão escrever:
50 000 t 5 5 3 104 t (logo não é a alternativa d)
Ou 50 000 t 5 50 000 000 kg 5 5 3 107 kg (alternativa c)
2. Alternativa C. Oriente os alunos para analisarem cada 
uma das alternativas. 
Alternativa a é falsa, pois 45% de 250 mil toneladas 
é 112 500 toneladas.
Alternativa b é falsa, pois 45% é inferior a 50% (metade).
Alternativa d não pode ser, visto que não há dados 
que permitam essa conclusão.
3. Alternativa B. Oriente os alunos a calcularem as 
porcentagens indicadas para 2,2 milhões de to-
neladas de lixo. Como todas as alternativas estão 
em quilogramas, eles deverão partir da informação 
de que 2,2 milhões de toneladas correspondem 
a 2 200 000 000 kg. Calculadas as porcentagens, 
eles devem voltar os resultados para a escrita com 
potenciação de base 10.
4. Alternativa D. Nessa situação, conhece-se a parte 
e se quer saber o todo-referência. Os alunos po-
derão fazer o cálculo e, em seguida, identificar a 
resposta correta. 
Em casa (página 354)
1. a) 0,09
 b) 0,975
 c) 0,02493
 d) 0,00007
 e) 0,005
 f) 0,048
 g) 0,021
 h) 0,45
2. a) 5
 b) 2
 c) 20
 d) 20
 e) 42
 f) 960
 g) 60
 h) 50
 i) 171
3. a) 25
 b) 60
 c) 15
 d) 225
 e) 150
 f) 60
 g) 40
 h) 7,5
 i) 90
 j) 375
 k) 210
 l) 240
4. a) 150
 b) 216
 c) 215
 d) 28
 e) 600
 f) 32
5. a) 1 300 c) 20
 b) 1 000 d) 20
6. Verifique as anotações no glossário.
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AULAS 47 a 49
Objetivos 
•	 Compreender o conceito de polígono. 
•	 Conhecer os principais elementos de um polígono e suas representações.
•	 Classificar um polígono de acordo com seu número de lados.
•	 Reconhecer polígonos convexos e polígonos não convexos.
roteiro de aulas (sugestão) 
Aula Descrição Anotações
47
Retorno das tarefas 5 e 6 do Módulo 17
Abertura do módulo
Características dos polígonos
Os elementos de um polígono
Exercício 1
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
48
Retorno das tarefas 1 e 2
Uma classificação dos polígonos
Exercício2
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
49
Retorno das tarefas 3 a 5
Outra classificação: polígonos convexos e polígonos 
não convexos
Exercício 3
Teste (item 3)
Desafio
Orientações para as tarefas 6 a 8 (Em casa)
Exercícios Complementares correspondentes a este Módulo: 15 a 18
Materiais
•	 Régua de 30 cm (cada aluno deverá ter a sua).
Noções básicas
Espera-se que ao final deste Módulo os alunos sejam capazes de:
•	 dominar o conceito de polígono, conhecendo seus principais elementos, sua nomenclatura, suas representações 
e sua classificação segundo o número de lados.
•	 diferenciar polígonos convexos de não convexos. 
18. POLÍGONOS
830 Ensino Fundamental
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Estratégias e orientações 
Existem várias situações do cotidiano em que a ideia 
de polígono está presente. O texto de abertura do Módu-
lo destaca uma dessas situações: os mosaicos geométri-
cos, bastante usados em arquitetura, decoração e moda. 
No caso do texto de abertura, falamos do mosaico 
usado em várias calçadas da cidade de São Paulo, que 
imita o mapa do estado. Este desenho acabou se trans-
formando em um dos símbolos da cidade de São Paulo. 
Dependendo do tempo disponível, você pode ampliar a 
discussão iniciada no texto. Por exemplo, na cidade do Rio 
de Janeiro, também existe um desenho nas calçadas que se 
tornou um símbolo da cidade. Trata-se do calçamento utili-
zado no bairro de Copacabana, que imita as ondas do mar.
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a
G
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S
Calçada da cidade do Rio de Janeiro com padrão inspirado nas 
ondas do mar. 
Do ponto de vista geométrico, você pode comparar 
os padrões das calçadas das duas cidades: apenas o de-
senho da cidade paulista é formado por polígonos, pois 
apresenta o contorno formado por linhas retas.
É possível, ainda, discutir a importância dos símbolos 
regionais como um fator de criação da cultura e da iden-
tidade regionais, focando nos aspectos característicos da 
sua cidade ou região. 
Atividades de construção de conceitos
Características dos polígonos (página 357)
Não é conveniente apresentar aos alunos do 6º- ano 
uma definição rigorosa de polígono. Neste momento, o 
mais importante é eles compararem polígonos com outras 
figuras geométricas, construindo a ideia de polígono e 
observando suas propriedades. Sugerimos, por isso, que 
este tópico seja desenvolvido em grupos, o que enrique-
cerá as observações. 
Para reforçar a comparação entre o mapa do estado 
de São Paulo e o polígono que aparece nos ladrilhos de 
calçadas na cidade de São Paulo, você pode perguntar, 
durante a realização da atividade, que propriedade do 
polígono favorece sua utilização no desenho das calça-
das, em vez de utilizar o próprio mapa. Espera-se que 
os alunos cheguem à seguinte conclusão: o contorno de 
um polígono é formado exclusivamente por segmentos 
de reta, facilitando a combinação de vários polígonos, 
como num mosaico. Quando você perceber que todos os 
grupos chegaram a essa conclusão, faça o fechamento, 
trabalhando os elementos de um polígono. Certifique-
-se também de que todos os alunos entenderam como 
nomear um polígono.
Para sua referência, fornecemos a seguir algumas 
fundamentações teóricas adicionais sobre polígonos. A 
abordagem mais formal do ponto de vista da linguagem 
matemática utilizada a seguir será apresentada aos alunos 
apenas no Ensino Médio.
defnição
Dada uma sequência (P1, P2, ..., Pn) de n pontos 
distintos de um plano, n > 3, de modo que quais-
quer três pontos consecutivos dessa sequência 
(P1, P2, P3); (P2, P3, P4); ...; (Pn 2 1, Pn, P1) e (Pn, P1, P2) 
sejam não colineares, chama-se polígono P
1
P
2
P
3
 ... P
n
 
a união dos n segmentos, P
1
P
2
, P
2
P
3
, ..., P
n 2 1
P
n
, P
n 
P
1
.
De acordo com a definição acima, representam 
polígonos as seguintes figuras:
Figura A Figura B Figura C
P
1
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2
P
5
P
3
P
4
P
1
P
3
P
4
P
2
P
1
P
3
P
2
P
4
Classifcação
As figuras A e B são classificadas como polígonos 
simples, já que dois segmentos quaisquer (lados) 
só podem se interceptar nas suas extremidades. Na 
figura C, temos um polígono estrelado (ou entrelaça-
do), uma vez que dois de seus lados interceptam-se 
num ponto que não é a extremidade desses lados.
região poligonal
A união de um polígono com o seu interior é 
chamada região ou superfície poligonal.
Nota: na abordagem feita para o 6º- ano, usamos, 
por abuso de notação, o termo polígono para nos 
referir tanto ao polígono quanto à região poligonal.
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Uma classifcação dos polígonos (página 360)
As atividades deste tópico podem ser feitas em grupo 
ou individualmente. Pretende-se no item 1 que os alunos 
pratiquem a simbologia vista no tópico anterior; nos itens 
2 e 3, espera-se que eles percebam que, em qualquer po-
lígono, o número de vértices, de lados e de ângulos é igual.
Explique a classificação dos polígonos de acordo com 
o número de lados, ressaltando que é equivalente clas-
sificá-los quanto ao número de vértices ou de ângulos.
No Caderno, colocamos o polígono de até 8 lados 
(octógono). Caso julgue conveniente, você pode apre-
sentar os polígonos de 9 e de 10 lados (eneágono e 
decágono, respectivamente).
Outra classifcação: polígonos convexos e 
polígonos não convexos (página 364)
Sugerimos que este tópico seja desenvolvido em gru-
pos. Na primeira parte, os grupos deverão analisar qua-
tro polígonos 2 dois convexos e dois não convexos –, 
dividindo-os em dois conjuntos de dois elementos. Deixe 
que os alunos observem as características de cada po-
lígono, discutam entre si e formulem hipóteses. É impor-
tante que você os incentive a deixar bem claro o critério 
usado na classificação. Neste momento, o principal não 
é o critério que cada grupo indicar, mas que ele seja 
claramente explicitado. 
Na segunda parte, os alunos são conduzidos a explorar 
as propriedades que levam à definição de polígono conve-
xo. Ao final, certifique-se de que todos compreenderam o 
critério. Se preferir, desenhe na lousa figuras que não sejam 
polígonos (círculo, coroa circular, elipse) e peça aos alunos 
que as classifiquem em convexo ou não convexo.
respostas e comentários 
Características dos polígonos (página 357)
1. A finalidade deste item é que os alunos observem e 
explorem as características de duas figuras geométri-
cas. Por isso, eles podem fazer diferentes observações 
sobre o contorno das duas figuras, mesmo que elas 
não estejam relacionadas ao conceito de polígono. Ao 
longo da atividade, este conceito será sistematizado. 
Seguem duas possíveis observações que podem ser 
feitas pelos alunos:
•	 o contorno da figura usada nos ladrilhos é cons-
tituído de vários segmentos de reta; o do mapa, 
por uma curva;
•	 o contorno da figura usada nos ladrilhos é simé-
trico e o do mapa é irregular. 
2. Acompanhe as discussões dos diferentes grupos, 
observando os critérios que eles adotam para clas-
sificar as linhas (contornos) apresentadas. Sugerimos 
que as linhas sejam divididas em abertas e fechadas 
e, também, em curvas e retas. Geraríamos, assim, 
quatro grupos, como destacado no quadro a seguir.
Linhas Retas Curvas
Abertas
Linhas abertas 
e retas
(d)
Linhas abertas 
e curvas
(c)
Fechadas
Linhas fechadas 
e retas
(a, e)
Linhas fechadas 
e curvas
(b, f)
Durante a socialização, a partir da classificação dos 
diferentes grupos, você pode conduzir para a classifica-
ção acima. Observe que os polígonos seriam as figuras 
com contorno formado por uma linha fechada e reta. 
3. Figuras a e e.
Exercício 1 (página 359)
1. São polígonos as figuras a, d e h. Durante a corre-
ção, pergunte aos alunos por que as demais figuras 
não são polígonos. Eles deverão perceber que seus 
contornos não são formados unicamente por linhas 
retas ou não são linhas fechadas.
2. a) O polígono