Avaliação Semanal V

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
DISCIPLINA: Vibrações dos Sistemas Mecânicos - PERÍODO: 2019.4 
 
 
Avaliação Semanal V 
 
1) Uma guia de controle de um elevador de avião é articulada em torno de um eixo no elevador, 
mostrado como o ponto O em Figura 1, e ativado por uma ligação de controle que se 
comporta como uma mola de torção de rigidez kT. O momento de inércia da massa da guia 
de controle é I0, de modo que a frequência natural do sistema é wn = (kT/I0)1/2. Como kT 
não pode ser calculado exatamente, é necessário obter a frequência natural 
experimentalmente. Para este fim, o elevador é mantido fixo e a guia é excitada 
harmonicamente por meio do mola k2 enquanto contido pela mola k1, como mostra a Figura 
1, e a frequência de excitação wn é variada até a frequência de ressonância wr ser atingida. 
Calcular a frequência natural wn da guia de controle em termos de wr e os parâmetros da 
configuração experimental. 
 
 
Figura 1 
 
2) Uma máquina de massa M repousa sobre um piso elástico sem massa, como mostra a 
Figura 2. Se uma carga unitária for aplicada na meia altura, o piso sofre uma deflexão Xst. 
Um agitador com massa total ms e carregando dois massas desbalanceadas rotativas 
(semelhantes às massas rotativas mostradas na apostila) produz uma força harmônica 
mlw2sen(wt), onde a frequência de rotação pode variar. Mostre como o agitador pode ser 
usado para derivar uma fórmula para a frequência natural de vibração flexivel da estrutura. 
 
 
Figura 2 
 
 
3) Drive a equação diferencial de movimento para o pêndulo invertido da Figura 3, onde A 
cos(wt) representa uma excitação de deslocamento. Então assuma pequenas amplitudes e 
resolva para o ângulo θ como um função do tempo. 
 
 
Figura 3 
 
 
4) Um lado do tubo do da Figura 4 está sujeito à pressão P (t) = Po cos(wt), onde Po tem 
unidades em libras por polegada quadrada (lb/in2). Derive a equação diferencial de 
movimento e obtenha a frequência de ressonância. Considere ρ a densidade de massa do 
líquido e L o comprimento da coluna de líquido. 
 
Figura 4 
 
 
5) A fundação do edifício trepresentada pela Figura 5 sofre o movimento horizontal y(t) = 
Sen(wt). Derivar a resposta do sistema. 
 
 
Figura 5 
6) O sistema da Figura 6 está submetido ao torque MA = M0 cos (wt) na inercia 6. Derive 
uma expressão para movimento angular equivalente, referente a inercia 6, colocando os 
valores corretos de Inércia e Rigidez Torcional Equivalentes. Dados: J’s: 1=10; 2=1; 3=2; 
4=1/5; 5=8; 6=300. Diâmetros: a=2 in; b=1 in; c=2 in; d=1 in. Diâmetros das 
Engrenagens: 2=4 in; 3=10 in; 4=2 in. Comprimentos: a=10 in; b=10 in c=20 in; 
d=40 in. Materiais: a e b são de aço, c é de bronze e d é de alumínio. 
 
 
Figura 6 
 
7) Uma máquina pode ser considerada uma massa rígida com dois desbalanceados rotativos 
alternados massas como na Figura 7. A massa total do sistema é de 12 kg e cada uma das 
massas desequilibradas é igual a 0,5 kg. Durante a operação normal, a rotação das massas 
varia de zero a 600 rpm. Projete um sistema de suporte para que a amplitude máxima de 
vibração não exceda 10% da excentricidade das massas rotativas. 
 
 
Figura 7 
 
8) Considere o sistema da Figura 8. Quando o suporte está fixo, y = 0, e a massa é permitida 
a vibrar livremente, a relação entre duas amplitudes máximas consecutivas de deslocamento 
é x2/x1 = 0,8. Por outro lado, quando a massa está em equilíbrio, a mola é comprimida por 
uma quantidade Xst = 0,1 (2,54 x 10-3 m). O peso da massa é de mg = 20 lb (88.96N). 
Faça y(t) = A cos(wt), x(t) = X sen(wt-φ) e plotar X/A versus w/wn e φ versus wlwn 
para 0 =< w/wn <=2. 
 
Figura 8 
 
9) O sistema mostrado na Figura 9 simula um veículo viajando em uma estrada irregular. 
Deixe o Veículo a uma velocidade seja uniforme, v = Constante, e calcule a resposta z(t), 
bem como a força transmitida ao veículo. 
 
 
Figura 9 
 
10) O suporte do pêndulo viscosamente amortecido, mostrado na Figura 10, sofre oscilação 
harmônica. Derive a equação diferencial de movimento do sistema, assuma pequenas 
amplitudes e resolva para θ(t). 
 
Figura 10 
 
11) O sistema da Figura 7 possui os seguintes parâmetros: M = 80 kg, m = 5 kg, k = 8000 
N/m, l = 0,1 m. Projete um amortecedor viscoso de modo que, na velocidade de rotação w 
= 4wn, a força transmitida ao suporte não exceda 250 N. 
 
12) Um motor elétrico pesando 80 Kg está montado numa viga apoiada como mostra a Figura 
11 abaixo (engastada em A e ligada a uma haste em B). Verifica-se que, devido a um 
desequilíbrio existente no motor, a extremidade B da viga vibra verticalmente com amplitude 
de 3.5 x 10-3 m para frequências muito além da ressonância. Nestas condições (admita que 
o comportamento da haste é o mesmo quer em tração quer à compressão): 
 
a) Calcule o valor do desequilíbrio do motor. 
b) Sabendo que na ressonância a amplitude da resposta vertical registrada no ponto B é de 
3.5 x 10-2 m, determine a amplitude dos esforços dinâmicos transmitidos ao engaste, 
quando o sistema se encontra em funcionamento à velocidade nominal do motor que 
corresponde ao dobro da velocidade de ressonância. 
 
 
 
 Figura 11 
 
c) Com a retirada da haste, optou-se pelo sistema da Figura 12. Procedeu-se à medição 
das vibrações livres verticais, através de um sensor colocado no topo do motor, cujo 
registro se encontra representado na Figura 13. Verifique se houve alguma mudança no 
fator de amortecimento. 
 
 
 Figura 12 Figura 13 
 
d) Calcular a frequência natural amortecida. 
e) Calcule os esforços transmitidos à base, quando o motor funciona à velocidade nominal 
que corresponde ao dobro da velocidade em ressonância. 
f) Que efeitos serão produzidos sobre aqueles esforços quando o sistema adquire as 
configurações das Figuras 14 e 15 com a introdução de um componente adicional com 
rigidez k=10 kN/m. 
 
 Figura 14 Figura 15 
 
13) Um motor pesando F = 490 Kgf será montado na extremidade da estrutura horizontal de 
aço formando um triangulo equilatero de comprimento L, rigidez à flexão EI, apoiada por 
uma haste delgada de mesmo material, também de comprimento L, com módulo de Young E 
e área da seção transversal Ah. A haste é unida por pinos em ambas as extremidades, 
localizados no plano de simetria vertical da estrutura, como mostrado na Figura 16. Nestas 
condições admite-se que o comportamento da haste é o mesmo quer em tração quer à 
compressão. A estrutura horizontal pode ser assumida como duas vigas em balanço, tendo 
cada uma rigidez, massa e flexão. Segundo os engenheiros responsáveis pela montagem o 
sistema será montado com um amortecedor vertical fixo base, com coeficiente de 
amortecimento C = 3350 N s/m na posição do motor. Após alguns testes, já com o 
amortecedor, observou-se que, devido a um desequilíbrio existente no motor, a extremidade 
da estrutura vibra verticalmente com amplitude de 2 cm, correspondente a uma posição da 
massa excêntrica de 30 graus. Pede-se: 
 
a) Calcule a Rigidez equivalente do sistema. 
b) Calcule a Massa equivalente do sistema, considerando a haste. 
c) O desequilíbrio rotativo do motor. 
d) A amplitude dos esforços dinâmicos transmitidos à base, quando o sistema se encontra 
em funcionamento a uma velocidade nominal do motor, que corresponde ao dobro da 
velocidade de ressonância. 
 
 
Dados: L = 1 m; b = 12 cm; h = 1 cm; E = 210GPa; Ah = 1 cm3; ρ = 7850 kg/m3. 
 
 
 
 
 
Figura 16 
 
 
 
14) Um motor elétrico pesa 80 Kgf e está montado numa viga como se mostra na Figura 17. 
Durante um ensaio em regime forçado verificou-se que, à velocidade de rotação de 1200rpm, o 
ângulo de fase entre a resposta do sistema e a força aplicada era de 90º e que a amplitude 
dessa resposta era de 3,2 cm. Num outro ensaio procedeu-se à medição das vibrações livres 
verticais, através de um sensor colocado no topo do motor, cujo registro se encontra 
representado na Figura 18. Considere a Seção Transversal da Viga com b=0.12 m e h=0.01 m, 
L=1 m, E=210 GPA. Nestas condições determine: 
 
a) O fator de amortecimento (considere o modelo com amortecimento viscoso). 
b) A frequência natural amortecida. 
c) A rigidez equivalente do sistema. 
d) A massa da viga de apoio. 
e) O desequilíbrio do motor. 
f) Calcule os esforços transmitidos à base, quando o motor funciona à velocidade 
nominal que corresponde ao dobro da velocidade em ressonância. 
 
 
 
M
L L/2
 
 
 Figura 17 Figura 18 
 
 
15) Um motor pesando F = 490 Kgf será montado no centro da estrutura horizontal de aço 
formanda por três vigas uniformes construidas de mesmo material, com rigidez à flexão EI. 
Duas das vigas, ambas de massa M, e comprimento L, são simplesmente apoiadas e 
colocadas em paralelo fixa ao solo a uma distância que permita a terceira viga, de massa 
M/2 e comprimento L/2, repouse sobre as duas vigas fixa ao solo, no meio dos vãos e 
perpendicularmente a elas, como mostrado na Figura 19. Segundo os engenheiros 
responsáveis pela montagem o sistema será montado com um amortecedor vertical fixo ao 
motor e ao solo, com coeficiente de amortecimento C = 172.63 N s/m, o que permitirá uma 
transmissibilidade de vibração de 10 % para a base. Após alguns testes, já com o 
amortecedor, observou-se que, devido a um desequilíbrio existente no motor, a extremidade 
da estrutura vibra verticalmente com amplitude máxima de 0.4331 cm. Pede-se: 
 
a) Calcule a Rigidez equivalente do sistema. 
b) Calcule a Massa equivalente do sistema. 
c) O desequilíbrio rotativo do motor. 
d) A amplitude dos esforços dinâmicos transmitidos à base, quando o sistema se encontra 
em funcionamento a uma velocidade nominal do motor, que corresponde a 250 rpm a 
menos da velocidade nominal. 
 
 
e) Dados: L = 2 m; b = 12 cm; h = 1 cm; E = 210 GPa; ρ = 7850 kg/m3. 
 
 
 
 
 
Figura 19 
 
 
16) Uma viga dupla engastada-livre de 1 m de comprimento, construída com material de Módulo 
de Elasticidade E = 210 GPa, possui uma base de 12 Kg onde vai ser fixado um motor 
pesando 15 Kg. Foram colocados uma mola e um amortecedor, ambos de massas 
desprezíveis, em respectivamente 1/2 e 3/4 do engaste de cada viga. Considerando para 
viga: ρ = 7800 kg/m3, b = 0.12 m; h = 0.01 m e K = 5 N/m pede-se: 
 
a) Encontre a equação diferencial do movimento, tendo o amortecimento como variável. 
b) Calcular a expressão para o coeficiente de amortecimento crítico e frequência natural 
amortecida. 
c) Atribuindo valor para coeficiente de amortecimento que garante ao sistema um 
movimento sub amortecido, determine a amplitude do movimento e a amplitude 
ressonante para as condições: Motor girando a 1800 rpm, com desbalanceamento 
residual de 0.32 Kg.m. 
d) Qual o esforço transmitido para a base. 
e) Esboce o gráfico da razão entre a amplitude da velocidade de oscilação e a amplitude de 
deslocamento caso seja aplicado uma excitação da base em função da frequência. 
f) É possível melhorar a isolação do sistema ?, O que você, como futuro engenheiro, 
recomenda para melhorá-lo. Justifique. 
 
Motor
BASE
L
3L/4
L/2
Movimento
Vertical
K
K
C
C
 
Figura 20 
 
 
17) Duas vigas uniformes são feitas do mesmo material, de rigidez a flexão EI e seção 
transversal bh. A viga mais curta, de massa M e comprimento L, é simplesmente suportada 
no solo. A viga mais longa, de massa 2M e comprimento 2L, se apoia à viga mais curta no 
meio do vão de ambas as vigas. A viga mais longa tem uma extremidade fixa ao solo e a 
outra livre, onde será fixada uma máquina pesando 750 N. As duas vigas são 
perpendiculares entre si, como mostrado Figura 3. Assume-se que o amortecimento do 
sistema no ponto de interesse é 40% abaixo do amortecimento crítico. A máquina possui um 
pistão de 20 N, incluído no seu peso, produzindo uma força com excentricidade de 0.075 m 
a uma velocidade de 3000 rpm. Considere que o movimento do pistão e harmônico, com 
dados L = 1 m; b = 0.12 m; h = 0.01 m; E = 210 Gpa; ρ = 7580 kg/m3 pede-se: 
 
 
a) A rigidez equivalente do sistema; 
b) A massa equivalente do sistema; 
c) A amplitude do movimento e a amplitude ressonante; 
d) A força transmitida a base e o ângulo da força transmitida com relação à força de 
excitação; 
e) Repetir os itens a, b, c e d Considerando as vigas engastadas. 
 
 
 
 
Figura 21 
 
18) Uma estrutura é modelada como composta de três segmentos de vigas unidos por pinos, 
formando uma única peça como mostrado na Figura 22. As duas extremidades unidas ao 
vão central são vigas em balanço com massa m/2 e comprimento L/2. A peça central tem 
massa m e comprimento L. A rigidez de flexão para todos os segmentos é igual a EI e o 
ponto de interesse está localizado no centro do vão da viga onde uma máquina pesando 750 
N será montada. Assume-se que a estrutura tem amortecimento de 40% abaixo do 
amortecimento crítico. A máquina possui um pistão de 20 N, incluído no seu peso, 
produzindo uma força com excentricidade de 0.075 m e velocidade de 3000 rpm. 
Assumindo-se que o movimento do pistão e harmônico pede-se: 
 
a) A rigidez equivalente do sistema; 
b) A massa equivalente do sistema; 
c) A amplitude do movimento e a amplitude ressonante; 
d) A força transmitida a base e o ângulo da força transmitida com relação àforça de 
excitação; 
 
Dados: L = 1 m; b = 0.12 m; h = 0.01 m; E = 210 Gpa. e  = 7580 kg/m3 
 
 
 
Figura 22 
 
Observações: 
 
Data de Entrega: 17/07/2020. 
Não serão considerados trabalho com indícios de copiado. 
 
 
Boa Sorte