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7141 - TIPOS DE VIBRAÇÕES 1. Sistemas oscilatórios podem ser encontrados em diversas situações. Um exemplo clássico são o sistema de amortecimento presente nos veículos. Sabendo disso, as frequências naturais do Sistema Automóvel representado na figura abaixo săo f1=1,04 Hz,f2=1,45 Hz,f3=8,15 Hz�1=1,04 Hz,�2=1,45 Hz,�3=8,15 Hz e f4=10,89 Hz�4=10,89 Hz Os autovetores correspondentes são, na ordem: u1=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−0,51320,12810,0199⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦,u2=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣0,80141−0,02900,2715⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦,u3=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣−0,0138−0,01420,00051⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦,u4=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣−0,0550,004110,0001⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦�1=[1−0,51320,12810,0199],�2=[0,80141−0,02900,2715],�3=[−0,0138−0,01420,00051],�4=[−0,0550,004110,0001] O vetor grau de liberdade está arrumado da seguinte forma: Z=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣zchθz1z2⎤⎥ ⎥ ⎥⎦Z=[��ℎ��1�2] Avaliando os valores, e conhecendo o vetor grau de liberdade, é correto afirmar que, enquanto o veículo trafega em uma pista ondulada de perfil senoidal, à medida que sua velocidade aumenta, o primeiro e o último grau de liberdade a entrar em ressonância săo, respectivamente: θ� e zch��ℎ Zch∈Z2��ℎ∈�2. θ� e z1�1 Zch��ℎ e Z1�1. zch∈θ��ℎ∈� Data Resp.: 12/10/2023 20:35:33 Explicação: A ressonância é identificada nos autovetores pela coordenada de maior valor absoluto, e examinando os valores, vê-se que o primeiro grau de liberdade a entrar em ressonância é zch��ℎ, e o último é z1�1. 2. É muito comum utilizar sistemas de matrizes na resolução de equações com muitas variáveis. Dentro deste contexto, a equação característica do sistema de três graus de liberdade mostrado na figura abaixo é: λ(λ2−7k3mλ+k2m2)=0�(�2−7�3��+�2�2)=0. λ(λ2−kmλ+k2m2)=0�(�2−���+�2�2)=0. λ(λ2−5k3mλ+k2m2)=0�(�2−5�3��+�2�2)=0. λ(λ2−1k3mλ+k2m2)=0�(�2−1�3��+�2�2)=0. λ(λ2−3kmλ+k2m2)=0�(�2−3���+�2�2)=0 Data Resp.: 12/10/2023 20:35:28 Explicação: A matriz de rigidez é K=⎡⎢⎣k−k0−k2k−k0−kk⎤⎥⎦�=[�−�0−�2�−�0−��] A matriz de inércia é e sua inversa são: Ξ=⎡⎢⎣m0002m0003m⎤⎥⎦;Ξ−1=⎡⎢⎣(1/m)000(1/(2m))000(3/m)⎤⎥⎦Ξ=[�0002�0003�];Ξ−1=[(1/�)000(1/(2�))000(3/�)] Amatriz dinâmica é: A=Ξ−1 K�=Ξ−1 K A=⎡⎢⎣(1/m)000(1/2m)000(1/3m)⎤⎥⎦⎡⎢⎣k−k0−k2k−k0−kk⎤⎥⎦=⎡⎢⎣k/m−k/m0−k/2mk/m−k/2m0−k/3mk/3m⎤⎥⎦�=[(1/�)000(1/2�)000(1/3�)][�−�0−�2�−�0−��]=[�/�−�/�0−�/2��/�−�/2�0−�/3��/3�] Para encontrar a equaçâo característica é preciso resolver o determinante e igualá-lo a zero: det(A−λI)=∣∣ ∣ ∣∣{k/m−λ}−k/m0−k/2m{k/m−λ}−k/2m0−k/3m{k/3m−λ}∣∣ ∣ ∣∣=0λ(λ2−7k3mλ+k2m2)=0det(�−��)=|{�/�−�}−�/�0−�/2�{�/�−�}−�/2�0−�/3�{�/3�−�}|=0�(�2−7�3��+�2�2)=0 3. O rotor de cauda de um velho helicóptero tem cinco pás, todas de massa igual a 1,8 kg. OO centro de massa de cada pá dista 220 mm220 mm do eixo de giro. O conjunto redutor tem uma massa igual a 34,8 kg34,8 kg. A cauda do helicóptero é considerada uma viga com rigidez equivalente e fração de amortecimento ζ=0,08�=0,08, e apresenta ressonância na frequência igual a 30 Hz30 Hz. Imediatamente antes da decolagem, quando o rotor girava a 1080rpm1080rpm, uma pá se desprende, produzindo desbalanceamento. Calcule a amplitude de oscilação, em milímetros, nessas condiçôes. 22 9 34 15 4 Data Resp.: 12/10/2023 20:35:15 Explicação: A rigidez equivalentée: kV=mcJω2n=(mcj−rd+5×mpa)ω2nkV=(34,8+5×1,8)(2π×30)2=1,56×106 N/m��=�����2=(���−��+5×���)��2��=(34,8+5×1,8)(2�×30)2=1,56×106 N/m O desbalanceamento produzido pela pá que se solta é: mparCM=(1,8)(0,22)=0,396 kg m������=(1,8)(0,22)=0,396 kg m Afrequência natural sem a pá é: ωn=√kVmCJ−mpa=√1,56×10642=192,72rad/s��=�����−���=1,56×10642=192,72rad/s A razăo entre as frequências é: ωωn=(1.080)(2π)/(60)192,72=0,586���=(1.080)(2�)/(60)192,72=0,586 A amplitude de oscilação é: X=[mparCM(mCJ−mma)](ωn/ωn)2√[1−(ω/ωn)2]2+[2ζ(ω/ωn)]2X=[(1,8)(0,220)(42)](0,586)2√[1−(0,586)2]2+[2(0,08)(0,586)]2=4 mm�=[������(���−���)](��/��)2[1−(�/��)2]2+[2�(�/��)]2�=[(1,8)(0,220)(42)](0,586)2[1−(0,586)2]2+[2(0,08)(0,586)]2=4 mm 4. Um poste de 50 m50 m de altura tem no topo um lampadário que pesa 70 kg70 kg, e está instalado em uma regiâo onde o vento nessa altura pode alcançar 54 km/he54 km/he a densidade do ar é igual a 1,10 kg/m3kg/m3. O diâmetro é constante e igual a 2,20 m2,20 m. Calcule qual deve ser a rigidez equivalente do poste, em kN/mkN/m para que a amplitude de oscilação seja inferior a 2 mm2 mm. Desconsidere o amortecimento. 8.570 2.617 4.322 6.795 9.315 Data Resp.: 12/10/2023 20:35:07 Explicação: A expressão para o cálculo da amplitude de oscilação é: X=(Φm2)[(ω/ωn)21−(ω/ωn)2](XmlΦ)=[(ω/ωn)21−(ω/ωn)2]⇒(ω/ωn)2=[1−(ω/ωn)2](XmlΦ)(ω/ωn)2[1+(XmlΦ)]=(xmlΦ)⇒(ω/ωn)2=(Xm2/Φ)1+(Xm2/Φ)�=(Φ�2)[(�/��)21−(�/��)2](���Φ)=[(�/��)21−(�/��)2]⇒(�/��)2=[1−(�/��)2](���Φ)(�/��)2[1+(���Φ)]=(���Φ)⇒(�/��)2=(��2/Φ)1+(��2/Φ) A constante ΦΦ é igual a: Φ=0,317ρArHD3Φ=0,317�����3 Φ=0,317(1,10)(50)(2,20)3=185,65Φ=0,317(1,10)(50)(2,20)3=185,65 Entăo: (ω/ωn)2=(2,0×10−3)(70)/(185,65)1+[(2,0×10−3)(70)/(185,65)]=7,54×10−4ω/ωn=√7,54×10−4=2,75×10−2(�/��)2=(2,0×10−3)(70)/(185,65)1+[(2,0×10−3)(70)/(185,65)]=7,54×10−4�/��=7,54×10−4=2,75×10−2 A frequência de excitação a depende da velocidade do vento: ω=0,4πDv=0,4π(2,20)(543,6)=8,57rad/s�=0,4���=0,4�(2,20)(543,6)=8,57rad/s Daí, tem-se que: ω/ωn=2,75×10−2⇒ωn=ω2,75×10−2=8,572,75×10−2=311,56rad/s�/��=2,75×10−2⇒��=�2,75×10−2=8,572,75×10−2=311,56rad/s A rigidez equivalente do postée, então: kθq=m2ω2n=(70)(311,562)=6.795kN/m���=�2��2=(70)(311,562)=6.795kN/m 5. Sistemas matriciais são utilizados na resolução de sistemas com várias incógnitas. A equação característica do sistema de três graus de liberdade mostrado na figura abaixo é: λ3−8(k/m)λ2+8(k/m)2λ−(k/m)3=0�3−8(�/�)�2+8(�/�)2�−(�/�)3=0 2λ3−8(k/m)λ2+8(k/m)2λ−8(k/m)3=02�3−8(�/�)�2+8(�/�)2�−8(�/�)3=0 λ3−8(k/m)λ2+8(k/m)2λ−2(k/m)3=0�3−8(�/�)�2+8(�/�)2�−2(�/�)3=0 2λ3−8(k/m)λ2+8(k/m)2λ−(k/m)3=02�3−8(�/�)�2+8(�/�)2�−(�/�)3=0 λ3−8(k/m)λ2+8(k/m)2λ−3(k/m)3=0�3−8(�/�)�2+8(�/�)2�−3(�/�)3=0 Data Resp.: 12/10/2023 20:35:04 Explicação: A matriz de rigidez é K=⎡⎢⎣k−k0−k2k−k0−k2k⎤⎥⎦�=[�−�0−�2�−�0−�2�] A matriz de inércia é e sua inversa são: Ξ=⎡⎢⎣m0002m0000⎤⎥⎦;Ξ−1=⎡⎢⎣(1/m)000(1/(2m))000(1/m)⎤⎥⎦Ξ=[�0002�0000];Ξ−1=[(1/�)000(1/(2�))000(1/�)] Amatriz dinâmica é: A=Ξ−1 K�=Ξ−1 K A=⎡⎢⎣(1/m)000(1/2m)000(1/m)⎤⎥⎦⎡⎢⎣k−k0−k2k−k0−k2k⎤⎥⎦=⎡⎢⎣(k/m)−(k/m)0−(k/2m)(k/m)−(k/2m)0−(k/m)(2k/m)⎤⎥⎦�=[(1/�)000(1/2�)000(1/�)][�−�0−�2�−�0−�2�]=[(�/�)−(�/�)0−(�/2�)(�/�)−(�/2�)0−(�/�)(2�/�)] Para encontrar a equação característica é preciso resolver o determinante e igualá-lo a zero: det(A−λI)=∣∣ ∣ ∣∣{(k/m)−λ}−(k/m)0−(k/2m){(k/m)−λ}−(k/2m)0−(k/m){(2k/m)−λ}∣∣ ∣ ∣∣=0det(�−��)=|{(�/�)−�}−(�/�)0−(�/2�){(�/�)−�}−(�/2�)0−(�/�){(2�/�)−�}|=0 Resolvendo o determinante e manipulando a equação, tem-se: 2λ3−8(k/m)λ2+8(k/m)2λ−(k/m)3=02�3−8(�/�)�2+8(�/�)2�−(�/�)3=0 6. Um ventilador de 30 kg30 kg apresentando desbalanceamento rotativo igual a 0,18 kg m0,18 kg m, preso a uma haste de comprimento medindo 1,2 m1,2 m, confeccionada em liga de alumínio ( E=70GPa�=70GPa ) com I=2,2×10−6 m4�=2,2×10−6 m4 e comportamento de amortecimento viscoso comζ=0,07com�=0,07, quando gira a uma velocidade de 800 rpm é mostrado na figura abaixo. Calcule a amplitude de oscilação, em milimetros, mas desprezando o efeito do amortecimento viscoso para encontrar a amplitude de oscilação. 9,02 22,86 27,34 11,43 30,58 Data Resp.: 12/10/2023 20:34:54 Explicação: A rigidez da hasteé igual a: k=3EIL3=3(70×109)(2,2×10−6)1,23=267,36×103 N/m�=3���3=3(70×109)(2,2×10−6)1,23=267,36×103 N/m Calcula-se sua frequência natural: ωn=√km=√267,36×10330=94,4rad/s��=��=267,36×10330=94,4rad/s Para calcular a amplitude de oscilação a N=800rpm�=800rpm é preciso obter a razão entre as frequências de operação e natural: ϕ=ωωn=(800)(2π)/6094,4=0,89�=���=(800)(2�)/6094,4=0,89A amplitude em regime permanente será de: x=(m0εm)(ω/ωn)21−(ω/ωn)2x=(0,1830)(0,89)21−(0,89)2=22,86 mm�=(�0��)(�/��)21−(�/��)2�=(0,1830)(0,89)21−(0,89)2=22,86 mm 7. Considere o aviẫo bimotor da figura abaixo, sabendo que sua massa é de 1.800 kg1.800 kg e que os motores têm massa de 150 kg150 kg cada. A distância LL mede 1,65 m1,65 m. Usando a abordagem de parâmetros concentrados, e considerando o modelo de três graus de liberdade, calcule as frequências naturais, em Hertz. Considere que E=6,9�=6,9 GPae que I=5,2×10−6 m4�=5,2×10−6 m4. 0, 3,02 e 3,32 0, 7,26 e 9,45 0, 2,55 e 2,78 0, 11,88 e 12,84 0, 1,89 e 2,04 Data Resp.: 12/10/2023 20:36:11 Explicação: O sistema de equações de movimento escrito em forma matricial é: ⎡⎢⎣ηr2000M000m⎤⎥⎦⎡⎢⎣¨x1¨x2¨x3⎤⎥⎦+⎡⎢ ⎢⎣kθq−kθq0−kθq(kθq+kθq)−kθq0−kθqkθq⎤⎥ ⎥⎦⎡⎢⎣x1x2x3⎤⎥⎦=⎡⎢⎣000⎤⎥⎦[��2000�000�][�¨1�¨2�¨3]+[���−���0−���(���+���)−���0−������][�1�2�3]=[000] Chega-se à equação característica a partir do determinante da matriz Ξ−1K−λIΞ−1�−�� : ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣kθqm−λ−kθqm0−kθqM2kθqM−λ−kθqM0−kθqmkθqm−λ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣=0−λ(kθq−mλ)[(M+2m)kθq−Mmλ]=0|����−�−����0−����2����−�−����0−��������−�|=0−�(���−��)[(�+2�)���−���]=0 São três raizes, sendo que uma delas é nula, o que caracteriza o movimento de corpo rigido, quando o avião se desloca para cima e para baixo como um todo, resultando em ω1=0�1=0. As outras duas frequências naturais săo: ω2=√kθqm�2=���� ω3=√keq(M+2mmM)�3=���(�+2���) Sendo k日q =3EI/L3�日q =3��/�3, e considerando m=150 kgM=1.800 kg,L=1,65 m,E=6,9GPae�=150 kg�=1.800 kg,�=1,65 m,�=6,9GPae I=4,6×10−6�=4,6×10−6, tem-se que: kθq=3(6,9×109)(4,6×10−6)1,653=21,2kN/m���=3(6,9×109)(4,6×10−6)1,653=21,2kN/m Consequentemente, as frequências naturais não nulas são: ω2=√kθqm=√21.200150=11,88rad/s=1,89 Hzω3=√kθq(M+2mmM)= ⎷(21.200)[1.800+2(150)(150)(1.800)]=12,84rad/s=2,04 Hz�2=����=21.200150=11,88rad/s=1,89 Hz�3=���(�+2���)=(21.200)[1.800+2(150)(150)(1.800)]=12,84rad/s=2,04 Hz 8. Quer-se instalar um conjunto de antenas de telefonia móvel que pesa 32 kg32 kg no alto de uma torre, e para cobrir a área desejada, é preciso que o equipamento esteja a 30 m30 m de altura. A� região é conhecida por registrar eventuais rajadas de vento que atingem 45 km/h45 km/h, epara garantir o bom funcionamento, as oscilaçốes não podem ultrapassar 30 mm30 mm nessas condições. A torre é cilíndrica, e o diâmetro de sua seção transversal circular mede 1,5 m1,5 m. Calcule qual deve ser a rigidez equivalente da torre, em kN/mkN/m, para atender os requisitos. Considere ρAr=1,2 kg/m3���=1,2 kg/m3 e desconsidere o amortecimento. 13.880 1.388 138.800 13,88 138,8 Data Resp.: 12/10/2023 20:31:09 Explicação: A expressão para o cálculo da amplitude de oscilação é: X=(Φml)[(ω/ωn)21−(ω/ωn)2](XmlΦ)=[(ω/ωn)21−(ω/ωn)2]⇒(ω/ωn)2=[1−(ω/ωn)2](XmlΦ)(ω/ωn)2[1+(XmlΦ)]=(XmlΦ)⇒(ω/ωn)2=(Xml/Φ)1+(Xml/Φ)�=(Φ��)[(�/��)21−(�/��)2](���Φ)=[(�/��)21−(�/��)2]⇒(�/��)2=[1−(�/��)2](���Φ)(�/��)2[1+(���Φ)]=(���Φ)⇒(�/��)2=(���/Φ)1+(���/Φ) A constante ΦΦ é igual a: Φ=0,317ρArHD3Φ=0,317�����3 Φ=0,317(1,20)(30)(1,50)3=38,52Φ=0,317(1,20)(30)(1,50)3=38,52 Entào: (ω/ωn)2=(30×10−3)(32)/(38,52)1+[(30×10−3)(32)/(38,52)]=2,43×10−2ω/ωn=√2,43×10−2=0,156(�/��)2=(30×10−3)(32)/(38,52)1+[(30×10−3)(32)/(38,52)]=2,43×10−2�/��=2,43×10−2=0,156 Afrequência de excitação a depende da velocidade do vento: ω=0,4πDv=0,4π(1,50)(453,6)=10,47rad/s�=0,4���=0,4�(1,50)(453,6)=10,47rad/s Daí, tem-se que: ω/ωn=0,156⇒ωn=ω0,156=10,470,156=65,86rad/s�/��=0,156⇒��=�0,156=10,470,156=65,86rad/s A rigidez equivalente do poste é, entăo: kθq=m2ω2n=(32)(65,862)=138,81kN/m���=�2��2=(32)(65,862)=138,81kN/m 9. Considere uma viga que oscila lateralmente. Determine a velocidade de propagação de onda em m/sm/s. Considere que E=210GPa,A=1,2×10−2 m2,L=1,4 m,ρ=7.580 kg/m3eI=�=210GPa,�=1,2×10−2 m2,�=1,4 m,�=7.580 kg/m3e�= 4,0×10−5 m44,0×10−5 m4 486 152 304 512 602 Data Resp.: 12/10/2023 20:32:09 Explicação: Justificativa: a equação: c=√EIρA⇒ ⎷(210×109)(4,0×10−5)(7.580)(1,2×10−2)=304 m/s�=����⇒(210×109)(4,0×10−5)(7.580)(1,2×10−2)=304 m/s 10. Considereuma viga engastada em uma extremidadee livre na outra. Agora, calcule a velocidade, em m/sm/s, de onda em um eixo de 20 mm20 mm de diâmetro sujeito à torçăo sabendo que G=80GPa�=80GPa ρ=7.800 kg/m3�=7.800 kg/m3 1,6×1031,6×103 3,2×1033,2×103 4,0×1024,0×102 8,0×1028,0×102 6,4×1036,4×103 Data Resp.: 12/10/2023 20:34:14 Explicação: A expressăo do cálculo da velocidade de onda é: c=√G/ρ=√80×1097.800=3,2×103 m/s�=�/�=80×1097.800=3,2×103 m/s Não Respondida Não Gravada Gravada
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