44-Polinômios -Exercícios+gab

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OSG.: 18050/09 
ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO 
 
TC 
MATEMÁTICA 
 
TURNO DATA 
ALUNO(A) 
 TURMA 
Nº 
SÉRIE 
PROFESSOR(A) JUDSON SANTOS 
RUMO AO ITA 
SEDE 
___/___/___ 
1. (Peru/2000) O resto da divisão 
199
5
x x 1
x 1
x 1
 é igual a: 
a) x
2
(x – 1) 
b) x
3
(x – 1) 
c) x(x + 1) 
d) –x
2
(x + 1) 
e) x
4
(x + 1) 
 
2. Calcular o valor absoluto do quociente dos 
determinantes abaixo: 
4 2
4 2
4 2
3 2
3 2
3 2
1 1 1 1
2 2 2 1
3 3 3 1
4 4 4 1
1 1 1 1
2 2 2 1
3 3 3 1
4 4 4 1
 
 
3. (EUA/83) Sabendo que g(x) = x
5
 + x
4
 + x
3
 + x
2
 + x + 1. 
Calcule o resto da divisão entre os polinômios g(x
12
) por 
g(x) é: 
a) 6 
b) 5 – x 
c) 4 – x + x
2
 
d) 3 – x + x
2
 – x
3
 
e) 2 
 
4. (EUA) Achar a se a e b são inteiros tais que x
2
 – x – 1 é 
fator de ax
17
 + bx
16
 + 1. 
 
5. (OMRN) Um certo polinômio p(x) quando dividido por 
x – a, x – b e x – c deixa resto a, b,c, respectivamente. 
Qual é o resto da divisão de p(x) por (x – a) (x – b) (x – c)? 
NOTA: os números a, b e c são distintos. 
a) a + b + c 
b) x
2
 
c) abc 
d) x 
e) –(a + b + c) 
 
6. (EUA) Dado P(x) = x
6
 + ax
5
+ bx
4
 + cx
3
 + dx
2
 + ex + f um 
polinômio tal que: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3, P(4) = 4, 
P(5) = 5 e P(6) = 6. Quanto vale P(7)? 
a) 0 
b) 7 
c) 14 
d) 49 
e) 727 
 
7. (EUA) Considere o polinômio: 
 n n 1
1 n 1 nf (x) x a .x ..... a .x a com coeficientes 
inteiros. Suponha que existam quatro inteiros distintos 
a, b, c, d tais que f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 5. Mostre 
que não existe inteiro k tal que f(k) = 8. 
 
8. (Ibero/1985) Ache as raízes r1, r2, r3, r4 da equação 
4 3 24x ax bx cx 5 0, sabendo que são reais 
positivas e que satisfazem: 
 31 2 4
rr r r
1
2 4 5 8
 
 
 
9. (Ibero/1987) Sejam r, s, t as raízes da equação: 
 x(x – 2) (3x – 7) = 2 
a) Demonstre que r, s, t são positivas. 
b) Calcule arctg r + arctg s + arctg t. 
 Obs.: Se denota por arctg a, o ângulo compreendido 
entre 0 e cuja tangente é x. 
 
10. (Treinamento para Ibero-Americana/2004) Sejam a, b, c 
e d números reais tais que 
a 45 21 a , b 45 21 b , 
c 45 21 c , e d 45 21 d. Então o valor 
de a b c d é igual a: 
a) 2004 d) 2007 
b) 2005 e) 2008 
c) 2006 
 
11. (Croácia/2001) Se x + y + z = 0, simplifique 
7 7 7
4 4 4
x y z
xyz x y z
 
Sugestão: calcule (x + y)
4
 e (x + y)
6
 
 
12. (O.M.Canadá/96) Se α, β e θ são as raízes da equação x
3
 
– x – 1 = 0. Calcule 
1 1 1
1 1 1
. 
 
13. (EUA/2003) Considere o polinômio 
 p(x) = x
6
 – x
5
 – x
3
 – x
2
 – x e Q(x) = x
4
 – x
3
 – x
2
 – 1. 
Sabendo que z1, z2, z3 e z4 são as raízes de Q(x) = 0, 
calcule p(z1) + p(z2) + p(z3) + p(z4). 
 
14. (Peru/2001)A partir de 
2 2 2
3 3 3
x y z 1
x y z 9.
x y z 1
 O valor de 
4 4 4
4
x y z
 é igual a: 
a) 1/33 d) 16/33 
b) 2/33 e) 64/33 
c) 4/33 
 
TC – MATEMÁTICA 
 
 2 OSG.: 18050/09 
15. (EUA/1997) Os números reais α e β são tais que 
3 2
3 2
3 5 17 0
3 5 11 0
. Calcule α + β. 
 
 
16. (Hong Kong/1997) Se a, b e c são as raízes da equação 
x
3
 – 2x
2
 – 3x – 4 = 0. O valor da expressão 
5 5 5 5 5 5a b b c c a
a b b c c a
 é igual a: 
a) 180 d) 183 
b) 181 e) 184 
c) 182 
 
17. (Bulgária) Seja p(x) um polinômio de grau 2 tal que 
3 2p(0) cos 10 , p(1) cos10 sen 10 e p(2) 0 . 
Então o valor de 2 3.p(3) é igual a: 
a) 1 d) 4 
b) 2 e) 5 
c) 3 
 
18. (Canadá) Seja o polinômio 3 2P(x) x 3x x 1 de 
raízes a, b e c. 
i. Determine o valor de a
4
 + b
4
 + c
4
 
ii. Determine S tal que: 
 
2 2 2
1 1 1
S
a 6a 9 b 6b 9 c 6c 9
 
 
19. (Bulgária) Sabe-se que o número complexo 2i é uma 
raiz da equação: 
 6 5 4 3 2x 6x 17x 34x 52 x 40x 0 
 Representando todas as raízes no plano complexo, 
obtem-se um polígono. Qual é o volume do sólido 
gerado pela rotação desse polígono em torno do eixo 
imaginário? 
 
20. (Bulgária) Os comprimentos das alturas do ABC são 
soluções da equação cúbica 3 2x kx x m 0. 
Então o raio do círculo inscrito no ABC é igual a: 
a) 
k
m
 d) 
m
k
 
b) 
k
 e) 
m
 
c) 
m
 
 
21. (ITA) Se P(x) é um polinômio do 5° grau que satisfaz as 
condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, 
ache P(0). 
 
22. (IME/94)Prove que o polinômio p(x) = x
999
 + x
888
 + x
777
 
+ ..... + x
111
 + 1 é divisível por x
9
 + x
8
 + x
7
 +.......+ x + 1. 
 
23. (IME/2007) Encontre o polinômio P(x) tal que 
3
Q(x) 1 x 1 P(x) e Q(x) + 2 é divisível por x
4
, 
onde Q(x) é um polinômio do 6° grau. 
 
 
24. (Aman/2004) Considere o polinômio: 
 3P(x) ax bx c tal que P(1) = 1, P(2) = 4 e P(3) = 9. 
Determine : 
a) o valor de a, b e c. 
b) o número de raízes reais desse polinômio. 
 
25. (Aman/2005) Determine a em função de 
n n N , n 2 , sabendo-se que (x – 1)
2
 é divisor 
do polinômio: 
 n n 1P(x) x ax ax 1 
 
26. (E.N/2006) Um tanque de combustível tem a forma 
de um cilindro circular reto e sua altura mede 3 
metros. O raio da base do cilindro vale, em metros, o 
dobro da soma dos cubos dos inversos das raízes da 
equação x
4
 + 4x
3
 + 8x
2
 + 8x + 4 = 0. A área lateral do 
tanque em m
2
, mede: 
a) 6π 
b) 12π 
c) 18π 
d) 36π 
e) 48π 
 
27. (ITA/2008) É dada a equação polinomial 
 (a + c + 2) x
3
 + (b + 3c + 1) x
2
 + (c – a)x + (a + b + 4) = 0 
com a, b, c reais. Sabendo-se que esta equação é 
recíproca de primeira espécie e que 1 é uma raiz, então 
o produto abc é igual a: 
a) – 2 d) 9 
b) 4 e) 12 
c) 6 
 
28. (Efomm/2003) Sendo r1, r2 e r3 as raízes da 
equação 2x
3
 – 4x
2
 + 3x + 1 = 0 calcule: 
2 2 2
1 2 3
1 1 1
 
r r r
 
a) 
3
2
 d) 17 
b) 2 e) 
1
2
 
c) 
17
4
 
 
29. (AFA/2002) Seja a > 1 e e a base dos logaritmos 
neperianos, o valor real de m para o qual a equação 
x
3
 – 9x
2
 + (loge a
m
 + 8)x – loge a
m
 = 0 tenha raízes em 
progressão aritmética, é dado por: 
a) m = loge a – 8 c) 
e
15
m
log a
 
b) m = loge a – 9 d) e
9
m log a
8
 
 
30. (IME) Considere o polinômio P(x), do sétimo grau. 
Sabendo que {P(x) + 1} é divisível por (x – 1)
4
 e que 
{P(x) – 1} é divisível por (x + 1)
4
, determine P(x). 
 
 
 
 
TC – MATEMÁTICA 
 
 3 OSG.: 18050/09 
GABARITO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
d 10 a 973 d e * * * a 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
7
2
 –7 06 C 2 D C * 
2
3
 A 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
2 * * * * D E D C * 
 
* 
7. Demonstração 
8. 
1
2
3
4
1
r
2
r 1
5
r
4
r 2
 
9. a) Demonstração 
 b) 
4
 
22. Demonstração 
23. 3 2p(x) 10x 6x 3x 1 
24. a) 
 b) 1 
25. 
n
n 2
 
30. Demonstração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FM – 06/05/09 
Rev.: TM