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Estabilidade SCHOLA DIGITAL 2018 Material Didático de Leitura Obrigatória utilizado na Disciplina de Estabilidade – Revisão 00 de Janeiro de 2018 ÍNDICE UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL Aula 1: Elementos Estruturais.....................................................................................................1 Aula 2: Estática I........................................................................................................................15 Aula 3: Estática II.......................................................................................................................24 UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS Aula 4: Vigas Isostáticas............................................................................................................33 Aula 5: Esforços Internos..........................................................................................................48 Aula 6: Cálculos e Diagramas I..................................................................................................58 UNIDADE 3 – APROFUNDAMENTO Aula 7: Cálculos e Diagramas II.................................................................................................69 Aula 8: Estática III......................................................................................................................85 Aula 9: Introdução à Resistência dos Materiais........................................................................96 UNIDADE 4 – DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL BÁSICO Aula 10: Dimensionamento de Lajes......................................................................................104 Aula 11: Dimensionamento de Vigas......................................................................................135 Aula 12: Dimensionamento de Pilares....................................................................................147 E sta b ilid a d e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Aula 1 – Elementos Estruturais UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 1 Unidade 1 – Análise Estrutural Aula 1: Elementos Estruturais Para que consigamos entender bem os conceitos trabalhados nesta disciplina, é imprescindível que o aluno entenda bem alguns conceitos matemáticos envolvidos. Esta unidade inicial pretende relembrar alguns desses assuntos de forma rápida e concisa. Fica como sugestão uma consulta à literatura específica para que se rememore os temas das próximas aulas. 1. Introdução à Análise Estrutural Pode-se definir estrutura como sendo: “A forma com que algo é composto“, “É o conjunto de elementos que compõe algo“. Essa definição pode ser aplicada a todo tipo de estrutura, organizacional, política, econômica, militar e civil dentre outras. Em se tratando de estruturas civis a estrutura é subdividida em “peças estruturais“ (elementos) como mostra a Figura. Cada parte que compõe a estrutura deve resistir aos esforços internos e retransmitir os esforços externos para as demais peças através dos vínculos que as unem, finalizando com a condução do esforço para o solo que deverá suportá-lo. A ciência responsável pelo estudo desses fenômenos referentes à estrutura civil é a engenharia estrutural, que é o Aula 1 – Elementos Estruturais ESTABILIDADE 2 ramo da engenharia civil dedicado primariamente ao projeto e cálculo de estruturas. De forma simplificada, é a aplicação da mecânica dos sólidos ao projeto de edifícios, pontes, muros de contenção, barragens, túneis e outras estruturas. 2. Classificação dos Elementos Estruturais Os elementos estruturais em suas variedades podem ser classificados em três formas distintas: • Barras ou Fios: Caracterizado pela predominância de uma dimensão em relação às outras duas. Exemplos claros de elementos de barras ou fios são vigas (Figura), pilares, arcos, cabos etc. • Folhas: Caracterizado pela predominância de duas dimensões em relação a uma terceira. Os principais exemplos desse tipo de estrutura são as lajes e cascas. • Blocos: Em elementos classificados como blocos, não existe predominância entre as dimensões. Esse tipo de estrutura possui dimensões aproximadas nas Aula 1 – Elementos Estruturais UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 3 três direções. Os principais exemplos são as fundações tipos sapatas isoladas e blocos. 2.1. Conceber Versus Dimensionar Pode-se começar a entender a definição dessas duas palavras da seguinte forma: é possível imaginar uma forma sem uma estrutura? É possível imaginar uma estrutura sem uma forma? “A estrutura e a forma, ou a estrutura e a arquitetura são um só objeto, e assim sendo, conceber uma implica em conceber a outra“. Na realidade tanto a estrutura e a forma dependem exclusivamente da sua destinação, em geral engenheiros têm como prioridade especificações técnicas e economia em detrimento a forma e estética, enquanto no ponto de vista de arquitetos a forma e a estética prevalece. 2.2. Ações Sobre as Estruturas Como dito anteriormente a estrutura é o caminho de forças até o solo, desta feita, cabe-se perguntar: qual o melhor caminho estrutural a se seguir? A resposta para essa pergunta é um pouco complicada, uma vez a finalidade é importante em alguns casos estruturais. De uma forma geral as estruturas são compostas do conjunto viga, laje, pilar como representado na Figura: Aula 1 – Elementos Estruturais ESTABILIDADE 4 Em geral a melhor concepção tem que possuir: Funcionalidade, ser eficiente para o que foi prevista, Econômica e Bela, onde na maioria dos casos economia e beleza são inversamente proporcionais, ou seja, quanto mais bela menos econômica, ou quanto mais econômico menos belo. Para começar a entender o funcionamento e analisar as estruturas é de fundamental importância conhecer as forças que atuam sobre a mesma. Todas as ações dentro de um sistema estrutural são forças vetoriais, em sendo sua direção, sentido e intensidade influenciam diretamente na concepção estrutural da edificação. Adiante (futuras aulas) serão estudados os princípios básicos de manipulação de forças vetoriais. As ações sobre as estruturas verssão por dois tipos distintos, que são as cargas permanentes e as cargas acidentais. 2.2.1. Cargas Permanentes As cargas permanentes sobre a estruturas são carregamentos que atuam em toda vida útil da mesma. Dentre as cargas permanentes pode-se exemplificar: peso próprio da estrutura, peso do revestimento, peso das paredes, etc. As cargas permanentes têm uma precisão numérica grande. 2.2.2. Cargas Acidentais As cargas acidentais como o próprio nome diz acontece esporadicamente durante certo período de tempo, destacam-se as cargas: peso de ocupação de pessoas, peso dos móveis, peso dos veículos, força do vento, ação da chuva, etc. As cargas acidentais são geralmente tabeladas e normatizadas. As cargas acidentais previstas para o uso da construção correspondem normalmente a cargas verticais de uso da construção (prescritas na NBR 6118-2003), cargas móveis considerando o impacto vertical, impacto lateral, força longitudinal de frenagem ou aceleração e força centrífuga. 3. Tipos de Solicitações em Estruturas As ações sobre as estruturas são as maisdiversas possíveis, dentre as principais destacam-se: tração, torção, compressão, cisalhamento, flexão simples e composta, dentre outras. Aula 1 – Elementos Estruturais UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 5 Abaixo encontra−se a definição dessas solicitações: • Tração: caracteriza-se pela tendência de alongamento do elemento na direção da força atuante; • Compressão: a tendência é uma redução do elemento na direção da força de compressão; • Flexão: ocorre uma deformação na direção perpendicular à da força atuante; • Torção: forças atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seção transversal tende a girar em relação às demais; • Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um deslocamento linear entre seções transversais. Além das solicitações sobre as estruturas, outro importante fator para se conceber uma estrutura são os critérios de projeto, a saber: • Equilíbrio: Conceber um arranjo estrutural capaz de absorver às solicitações externas e transmiti-las aos elementos de apoio mantendo-se em repouso; • Estabilidade: A configuração de equilíbrio do arranjo não pode ser alterada drasticamente na presença das imperfeições e das ações perturbadoras; • Resistência: O material das peças estruturais deve ser capaz de absorver o nível de solicitação interna gerado pelas ações externas sem comprometer a sua integridade física; • Rigidez: As peças estruturais devem ser capazes de absorver as ações externas sem apresentar grandes deslocamentos que comprometam sua funcionalidade. Aula 1 – Elementos Estruturais ESTABILIDADE 6 4. Unidades e Indexadores A unidades do Sistema Internacional se dão conforme tabelas abaixo. E ainda; Indexadores mais utilizados; Aula 1 – Elementos Estruturais UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 7 5. Introdução à Estática Os princípios da estática foram desenvolvidos por grandes cientistas que contribuíram para o incremento dessa parte da mecânica clássica. Aristóteles (384 a 322 a.C) deu início aos estudos dos movimentos de corpos celestes, desenvolvendo bases para formulação posterior de Newton sobre a lei fundamental da gravitação universal. Na era Alexandrina, (século IV a.C. até 30 a.C., ano da conquista do Egito por Roma), aparece duas figuras centrais, Euclides e Arquimedes, sendo Euclides responsável por uma das obras mais influentes da humanidade denominada, os "Elementos" (300 a.C.). Arquimedes (287 a 212 a.C) contempla com seus trabalhos o equilíbrio de alavancas, roldanas e polias, além da clássica lei do empuxo. Arquimedes é tido por muitos como o pai da matemática, uma de suas obras mais importantes é o livro "Sobre o Equilíbrio dos Planos", onde ele desenvolve as regras da estática. Ainda sobre Arquimedes destaca-se a celebre frase: "Dê-me um ponto de apoio e eu moverei a terra". Segundo (Arruda, 2001), o primeiro estudo ligado a resistência dos materiais deve ser atribuído a Leonardo da Vince (1452 - 1519), com os primeiros ensaios de tração em fios metálicos, entretanto a primeira abordagem científica desse assunto foi atribuída ao cientista nascido em Pisa chamado Galileu Galilei. Galileu Galilei (1564 a 1642) descobriu a lei dos corpos, enunciou o princípio a inércia e o conceito de referencial inerciai, ideias precursoras da Mecânica newtoniana. Os dois primeiros capítulos do seu livro "Diálogos sobre Duas Novas Ciências" traz referências ao estudo de barras e vigas engastadas (Figura). Aula 1 – Elementos Estruturais ESTABILIDADE 8 Um pouco antes da mecânica newtoniana se estabelecer como uma das maiores contribuições do homem a ciência, surge em Robert Hooke (1635 a 1703), que estudou a resistência dos materiais e deixou como legado a conhecida Lei de Hooke publicada em 1676. Isaac Newton (1642 a 1727) Desenvolvedor da denominada Mecânica Newtoniana, sir Isaac Newton desenvolveu os princípios da Dinâmica enumerando as três leis, além da gravitação universal, cálculo diferencial e integral. No século 18, é marco para as maiores contribuições a mecânica dos sólidos, partindo dos princípios enumerados por Sir. Newton, os irmãos Bernoulli Jaques e Johan, desenvolveram estudos de vigas em balanço, rotação de vigas, problemas de dinâmica e o princípio dos deslocamentos virtuais. Seguindo os princípios de uma família de cientistas, o filho de Johan, Daniel Bernoulli, desenvolveu junto com seu então aluno Leonard Euler (1707-1783) a teoria de flexão em vigas batizada e ainda válida até hoje de teoria de Euler- Bernoulli. Destaca-se ainda contribuições mais recentes a resistência dos materiais, como a teoria de Timoshenko (1878 a 1972), para vigas com cisalhamento, denominadas vigas de Timoshenko. Albert Einstein (1879 a 1955) descobriu as limitações da mecânica Newtoniana, entretanto em sistemas de Engenharia, a base está fundamentada na Mecânica Clássica de Newton. 5.1. Mecânica Newtoniana A Mecânica de Newton é uma teoria que versa sobre o movimento dos corpos e suas causas. A essência da teoria foi publicada pelo inglês Isaac Newton no seu livro Phílosophíae Naturalís Príncípía Mathematíca (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural) publicado no ano de 1687, mas notáveis contribuições à física já tinham sido feitas (principalmente por Galileu) ao fazer seus experimentos que contradisseram a teoria aristotélica. No entanto, a teoria como está aqui exposta se vale de uma nova roupagem matemática e conceitual desenvolvida nos séculos que se seguiram. Nos anos que se seguiram a Newton, diversos físicos e matemáticos aplicaram essa teoria ao movimento dos corpos na terra e também ao movimento dos corpos celestes, desenvolvendo assim o grande triunfo da teoria newtoniana: a Mecânica Celeste. Aula 1 – Elementos Estruturais UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 9 Essa teoria se aplicou com bastante sucesso aos resultados experimentais até enfrentar problemas no final do século XIX e início do século XX. A mecânica de Newton pode ser entendida pelos seis princípios fundamentais (Figura). 5.1.1. Lei do Paralelogramo para Adição de Forças Estabelece que duas forças atuando numa partícula possam ser substituídas por uma única força, chamada resultante, obtida traçando a diagonal do paralelogramo que tem por lados as duas forças dadas (Figura). 5.1.2. 1ª Lei de Newton Se a resultante das forças que atuam numa partícula é nula, esta permanecerá em repouso (se estava inicialmente em repouso) ou mover-se-á com velocidade constante segundo uma linha reta (se estava inicialmente em movimento). 5.1.3. 2ª Lei de Newton Se a resultante que atua sobre um ponto material não é zero, este terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção desta, com o mesmo sentido, sendo sua equação descrita na forma simplificada pela Equação: Aula 1 – Elementos Estruturais ESTABILIDADE 10 F⃗ = m . a⃗ 5.1.4. 3ª Lei de Newton As forças de ação e reação entre corpos interagindo têm as mesmas intensidades, mesmas linhas de ação e sentidos opostos. 5.1.5. Princípio da Transmissibilidade Estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido não se alteram se substituirmos uma força atuando num ponto do corpo por outra forçacom a mesma intensidade, direção e sentido, mas atuando em um outro ponto do corpo, desde que ambas as forças possuam a mesma linha de ação. 5.1.6. Lei da Gravitação Universal Estabelece que dois pontos materiais de massas M e m são mutuamente atraídas com forças iguais e opostas F e -F de intensidade F dada por F = M .m r2 . G onde r é a distância que separa os corpos e G é a constante da gravitação universal. O Exemplo abaixo ilustra como funcionam alguns a aplicação dos princípios da mecânica newtoniana. Exemplo: Dado o pórtico abaixo identificar os princípios da mecânica de newton. Aula 1 – Elementos Estruturais UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 11 Se as forças T = 2 kN e a força P = 1,5 kN, qual será a resultante? No caso numérico acima o método gráfico ilustra claramente a direção da força resultante, entretanto para se achar a intensidade da mesma deve-se recorrer às equações clássicas da matemática vetorial: a lei dos senos e dos cossenos. 5.1.7. Lei dos Cossenos Dados dois vetores como indicado na Figura abaixo, a lei dos cossenos retornará a resultante desses vetores: r = √a2 + b2 + 2 . a . b . cos θ Aula 1 – Elementos Estruturais ESTABILIDADE 12 Para vetores com a posição ponta-cauda como mostrado na Figura abaixo, a lei dos cossenos se resume à Equação: r = √a2 + b2 − 2 . a . b . cos θ 5.1.8. Lei dos Senos Uma segunda lei muito importante para o estudo da estabilidade das construções está na chamada lei dos senos. A lei dos senos leva em consideração o lado de um vetor fechado em forma de triângulo e seu respectivo ângulo oposto. 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛿 Exemplo: Encontrar a resultante dos vetores mostrados na figura abaixo e o ângulo que a resultante faz com o eixo horizontal. r = √a2 + b2 + 2 . a . b . cos θ r = √22 + 1,52 + 2 .2 . 1,5 . cos 120 r = 1,083 𝑘𝑁 Aula 1 – Elementos Estruturais UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 13 a sen α = b sen β = c sen δ R sen 60 = P sen x sen x = 1,5 1,803 . sen 60 x = 46,10o ∴ ÂnguloH = 16,10 o Exemplo: Calcule o a tração nos cabos da figura abaixo: Aula 1 – Elementos Estruturais ESTABILIDADE 14 ∑ Fx = 0 e ∑ Fy = 0 TAB . cos 30o - TAC . cos 50o = 0 TAB . sen 30o + TAC sen 50o = 0 0,866 . TAB – 0,643 . TAC = 0 0,5 . TAB + 0,766 . TAC = 750 TAB = 486,84 kN TAC = 657,89 kN Baseado e adaptado de Rodrigo Mero Sarmento da Silva. Edições sem prejuízo de conteúdo. Aula 2 – Estática I UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 15 Aula 2: Estática I A Estática é o capítulo da Mecânica que estuda corpos que não se movem, estáticos. A ausência de movimento é um caso especial de aceleração nula, ou seja, pelas Leis de Newton, uma situação em que todas as forças que atuam sobre um corpo se equilibram. Portanto, a soma vetorial de todas as forças que agem sobre o corpo deve ser nula. Esta aula resgatará alguns conceitos de Física Elementar, necessários para o desenvolvimento da disciplina de Estabilidade. 1. A Estática A estática é a parte da física que estuda sistemas sob a ação de forças que se equilibram. De acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração destes sistemas é nula. ∑ F = 0 De acordo com a primeira lei de Newton, todas as partes de um sistema em equilíbrio também estão em equilíbrio. Este fato permite determinar as forças internas de um corpo a partir do valor das forças externas. De uma forma simplificada, as estruturas são submetidas a diversos carregamentos combinados e para que se possa garantir que ela não se moverá, deve-se garantir que: • Primeiramente, que ela não translade, ou seja, o somatório de todas as forças tem que ser nulo; • Segundo, que ela não rotacione, ou seja, o somatório dos momentos aplicados a qualquer ponto da estrutura deverá ser nulo. Mais adiante descobriremos e falaremos mais sobre essas duas condições de equilíbrio estático. 2. Estática de Pontos Materiais Em Mecânica, ponto material é uma abstração feita para representar qualquer objeto que em virtude do fenômeno tem dimensões desprezíveis, ou seja, dimensões tais que não afetam o estudo do fenômeno. Por exemplo, no estudo dos movimentos planetas, dada a Aula 2 – Estática I ESTABILIDADE 16 distância que separa esses corpos suas dimensões são desprezíveis e eles podem ser considerados pontos materiais. Esta aula contempla o estudo do efeito de forças sobre pontos materiais. Um exemplo prático foi discutido e analisado na aula anterior sobre a ótica da ação de apenas duas forças. Em problemas de engenharia as ações sobre pontos materiais não são constituídas de duas únicas forças e sim de uma combinação de forças. É fato que os corpos rígidos influenciam no sistema, entretanto para início de estudo devemos tratar os pontos materiais. O que devemos trabalhar é a substituição de duas ou mais forças por uma única força representativa chamada de força resultante. Os princípios da lei dos senos e cossenos são válidos para mais de uma força, porém, demanda um trabalho razoável para sua utilização. Nesse sentido, busca-se a utilização da decomposição de forças como uma alternativa rápida e de fácil entendimento para determinação da resultante de forças. 2.1. Resultantes das Forças Sobre Um Ponto Material O Vetor Resultante independe de qual sequência de vetores será tomada como base. Obedecendo ao sistema Ponta-a-cauda, o resultado sempre será o mesmo. Qualquer que seja a sequência tomada, a direção do vetor resultante não se altera, esse sistema é denominado regra do polígono. 2.2. Componentes de uma Força Para sistemas de mais de dois vetores, a técnica de decomposição vetorial é importante para definição do vetor resultante. A decomposição parte do princípio que Aula 2 – Estática I UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 17 qualquer força pode ser decomposta em direções principais, em geral definidas pelo eixo cartesiano. Entretanto qualquer força pode ser decomposta em qualquer direção, para esse primeiro caso trabalharemos apenas com as direções principais. Uma força única pode ser substituída por duas ou mais forças que, juntas, geram o mesmo efeito sobre o corpo, essas forças são chamadas de componentes da força original, e o processo de substituição da original por ela é denominado decomposição dos componentes da força. Para cada força existe um número infinito de possíveis conjuntos de componentes. Exemplo: Problema vetorial com 3 vetores. Decompondo-se o vetor v na direção ortogonal tem-se: vx = v . cos 35o vy = v . sen 35o Decompondo-se o vetor w na direção ortogonal tem-se: wx = w . cos 45o wy = w . sen 45o Decompondo-se o vetor u na direção ortogonal tem-se: ux = u . cos 20o uy = u . sen 20o Procedendo o somatório das forças nas duas direções principais, tem-se: ∑ Fx = vx – wx + ux ∑ Fx = v · cos (35o) - w · cos (45o) + u · cos (20o) Aula 2 – Estática I ESTABILIDADE 18 ∑ Fx = 3,5 . 0,8192 – 4,0 . 0,7071+ 2,0 . 0,9397 ∑ Fx = 1,9180 Na direção vertical temos: ∑ Fy = vy + wy – uy ∑ Fy = v · sen (35o) + w · sen (45o) - u · sen (20o) ∑ Fy = 3,5 . 0,5736 + 4,0 . 0,7071 - 2,0 . 0,3420 ∑ Fy = 4,1520 Aplicando o teorema de Pitágoras para os vetores ortogonais encontrados tem-se: R2 = Fx2 +Fy2 R2 = 1, 91802 + 4, 15202 R = 4,5736 kN 2.3. Métodos de Análise de Forças Como vimos existem dois métodos básicos para análise da composição de forças, o primeiro é o método gráfico utilizando o processo vetor-ponta-cauda, onde pode-se encontrar a resultante de um sistema de várias forças. Procedimento semelhante pode ser observado com a aplicação da regra do paralelogramo, sendo um método com pouca precisão. O segundo método consiste na interpretação numérica das forças utilizando duas vertentes, a lei dos cossenos e senos ou decomposição de forças. 3. Estática de Corpos Rígidos O corpo rígido é um corpo ideal, resultante da combinação de um número finitos de partículas ocupando posições fixas no espaço. Como dito no tópico anterior, a estática de pontos materiais considera o corpo como sendo apenas um ponto, desprezando sua massa e a relação de atuação da força no mesmo. Na estática de ponto material, todas as forças atuam em um mesmo ponto, fato que não acontece comumente na prática da engenharia. Em contrapartida, tem-se como válvula de escape o estudo da estática de corpos rígidos, onde se considera cada corpo como uma composição de pontos materiais. Sendo assim, deve-se a partir desse momento levar em consideração o tamanho, peso, a geometria, dentre outros fatores. Aula 2 – Estática I UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 19 Os corpos rígidos são tratados dentro da mecânica clássica como sendo corpos indeformáveis, entretanto sabemos que todos os corpos quando sujeitos a carregamentos deformam. Os problemas de deformação de corpos rígidos são estudados pela ciência denominada Resistência dos Materiais, e será alvo de estudo em outro momento. A estática de uma forma geral estuda a ação de força sobre os corpos, sendo que na estática de corpo rígido não se tem a restrição de um ponto de aplicação de força e sim a força pode atuar em qualquer ponto da geometria do corpo. Os efeitos das forças não pontuais em um corpo pode ser entendido a analisado por 3 parâmetros: • Sistema equivalente de força-binários; • Momento de uma força em relação a um ponto; • Forças externas e forças internas. Tomemos como exemplo o caminhão nas condições de carregamento abaixo: Exemplo: Aplicação das leis de Newton na estática de corpos rígidos. No problema acima tem um caminhão sendo rebocado por uma corda, sendo assim podemos destacar as forças atuantes no sistema como sendo: Destacando o peso próprio por “P”, as reações do solo nas rodas como sendo ”R1” e ”R2” e a força que reboca o caminhão por “F”. O Princípio da transmissibilidade pode ser usado livremente para o cálculo de forças externas e determinação da condição de equilíbrio ou movimento de um corpo rígido, entretanto deve ser evitado para o cálculo das forças internas (Figura). Aula 2 – Estática I ESTABILIDADE 20 Quando se fala de forças externas não existem problemas quanto ao uso do princípio enunciado por Newton, entretanto, analisando a aplicação do princípio da transmissibilidade na Figura abaixo. No sistema descrito na Figura, em ambas as situações a resultante externa será sempre nula, ou seja, o deslocamento da força “P1” não influenciou no sistema de equações externas, entretanto para forças internas os dois sistemas estudados são completamente diferentes No primeiro o corpo está tracionado e no segundo o corpo está comprimido. O estudo de forças internas se dará em aulas futuras. 4. Momento de uma Força em Relação a um Ponto Momento é a tendência que uma força, atuando sobre um corpo, tenha a possibilidade de girá-lo em tomo de um ponto fixo. O momento depende somente da intensidade da força e do seu braço de alavanca. No caso de ponto material, basta garantir que o corpo não translade, estará garantido que o corpo estará em equilíbrio. No caso de uma barra ou uma ponte (corpos extensos) teremos que garantir que o corpo não rotacione também. A grandeza física que relaciona força e rotação num ponto é chamada de momento ou torque. Obtém-se o momento de Aula 2 – Estática I UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 21 uma força em relação a um ponto multiplicando-se a intensidade da força pela distância do ponto à linha de ação da força (Figura). M = ± | F |. r Convenção de Momentos Fletores (será estudado futuramente) Aula 2 – Estática I ESTABILIDADE 22 Retomando o exemplo anterior: O momento das forças em relação ao ponto “a”: Mf = F . h Mp = P . L MR2 = R2 . x MR1 = R1 . 0 Exemplo: De acordo com a figura e supondo que o corpo estejam em equilíbrio, sob a ação das forças ilustradas, qual será o valor das resultantes H1, R1 e R2 em relação ao ponto “a”? ∑ Fx = 0 -F + H1 = 0 H1 = 5 kN ∑ Fy = 0 R1 + R2 – P = 0 R1 + R2 = 10 kN ∑ M = 0 (F . 0,2) – (P . 2) + (R2 . 3) – (5 . 0,5) = 0 R2 = 7,16 kN Como R1 + R2 = 10 kN R1 = 2,84 kN Aula 2 – Estática I UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 23 5. Momento de um Binário Um caso especial ocorre quando um corpo está sujeito a duas forças, F e – F, que têm o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formando um binário ou conjugado. A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesar das duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar. A distância d mostrada na Figura chama-se braço binário. Exemplo: A força F, de módulo 20 N, e os pontos A, B e C estão todos no plano do papel. Os pontos representam as intersecções entre o plano do papel e três eixos perpendiculares a ele. Utilizando a convenção dos sinais dos momentos, calcule o momento escalar de F em relação a A, B e C. Em relação a A, a força F dá tendência de rotação no sentido horário. Sendo F = 20 N e b = 3 m, temos: M = - F . b = 20 . 3 ⇒ M = - 60 Nm Em relação a B, a força F dá tendência de rotação no sentido anti-horário. Sendo F = 20 N e b = 2 m, temos: M = + F. b = – 20 . 2 ⇒ M = + 40 Nm Em relação a C, a força F não dá tendência de rotação, pois b = 0: M = F. b = 20 . 0 ⇒ M = 0 Baseado e adaptado de Rodrigo Mero Sarmento da Silva. Edições sem prejuízo de conteúdo. Aula 3 – Estática II ESTABILIDADE 24 Aula 3: Estática II As cargas atuantes nas estruturas são definidas em dois tipos, concentrada, ou seja, aplicada em um único ponto, esse tipo de carga pode ser uma força ou uma rotação (carga momento) ou distribuída, composta por um número infinito de forças concentradas ou rotações. 1. Carregamentos Suponha a viga mostrada na Figura, onde tem-se uma segunda viga apoiada na mesma. Abaixo encontra-se o modelo de cálculo dessa estrutura, onde substitui-se o peso da viga apoiada por uma carga concentrada no eixo de apoio da viga. Lembra-se que nesse modelo não se contabilizou o peso da viga principal biapoiada. Suponha agora aestrutura mostrada na figura seguinte, onde além de uma viga apoiada, a estrutura serve de suporte para uma parede. Nesse caso, uma carga apoiada não se adéqua para o modelo de cálculo do sistema, e sim uma série de cargas representativas. Sabemos manipular vetores, as operações básicas e decomposição vetorial, a pergunta é: como trabalharemos com um número infinito de vetores, como mostrado na Figura? É muito simples, iremos converter essas cargas distribuídas em um único vetor representativo aplicado no centro de gravidade do carregamento. Aula 3 – Estática II UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 25 Centro de Gravidade: é um ponto em torno do qual o peso do corpo está igualmente distribuído em todas as direções. O centro de gravidade de um corpo coincide com seu centro de massa quando a aceleração da gravidade tiver o mesmo valor em toda extensão do corpo. Isso significa que corpos com dimensão pequena comparada à Terra, como têm o mesmo valor de aceleração da gravidade para todas as diferentes partes do corpo, seu centro de gravidade coincide com seu centro de massa. Centro de Massa: um corpo extenso ou de um sistema de partículas é uma idealização utilizada em Física para reduzir o problema da ação de forças externas sobre este corpo ou sistema de partículas. A ideia é tentar reduzi-los a uma partícula de massa igual à massa total do corpo extenso ou do sistema de partículas, posicionada justamente no centro de massa. Abaixo encontram-se com os principais centros de gravidades. 1.1. Retângulo Um retângulo é um paralelogramo cujos lados formam ângulos retos entre si e que, por isso, possui dois pares de lados de mesma medida. Para figura geométrica retângulo, o centro de gravidade onde o corpo se equilibrará estará nas coordenadas Xg e Yg: Xg = b/2; Yg = h/2 Aula 3 – Estática II ESTABILIDADE 26 1.2. Quadrado Um quadrado é um quadrilátero (polígono de 4 lados) com tamanhos iguais. Para figura geométrica quadrado, o centro de gravidade onde o corpo se equilibrará estará nas coordenadas Xg e Yg : Xg = L/2; Yg = L/2 1.3. Triângulo Um triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180o. Para figura geométrica triângulo, o centro de gravidade onde o corpo se equilibrará estará nas coordenadas Xg e Yg: Xg = b/3; Yg = 2h/3 Aula 3 – Estática II UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 27 Exemplo: Problema de Conversão de Carga Distribuída em Concentrada. Como o carregamento é um retângulo de base 5m e altura 15N /m, podemos calcular o centro de gravidade da figura. Nota-se que só se precisa calcular o eixo “X”. Xg = b/2 = 5/2 = 2,5 m Convertendo em força: F = 15 . 5 F = 75 N/m Exemplo: Problema de Conversão de Carga Distribuída em Concentrada. No caso abaixo tem-se dois problemas distintos, onde pode-se dividir a figura em duas, sendo um retângulo e um triângulo, e a partir daí, começar a trabalhar: Aula 3 – Estática II ESTABILIDADE 28 1º Passo: Achar o centro de gravidade para o retângulo de base 9 m e altura 10 N/m: Xg = b 2 = 9 2 = 4,5 m Convertendo em força: V2 = 10 . 9 = 90 N 2ª Passo: Achar o centro de gravidade para o triângulo de base 9m e altura 15 N/m (25 N/m – 10 N/m): Xg = b 3 = 9 3 = 3 m Convertendo em força: V1 = 15 . 9 2 = 67,5 N Por fim tem-se os carregamentos distribuídos convertidos em cargas pontuais, como mostrado na figura: Aula 3 – Estática II UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 29 Sempre que houver figuras não conhecidas, as mesmas podem ser subdividi-las em figuras conhecidas como retângulos, triângulos e quadrados etc. Quando não é possível utilizar essa técnica, a mecânica disponibiliza outros métodos para encontrar o centro de gravidade de figuras complexas, o que não é o objetivo principal dessa aula. 2. Tipos de Estruturas de Apoio As estruturas de engenharia podem ser classificadas em relação aos graus de liberdade em que ela está executada. Quanto mais rígida for a estrutura maior será o impedimento ao movimento. Em engenharia existem seis graus de liberdade, sendo três translações, nas direções X, Y e Z, e três rotações, nas direções RX, RY e RZ. A Figura mostra os tipos de estruturas segundo os graus de liberdade impedidos, são elas: 2.1. Estruturas Hipostáticas Onde as equações da estática são superiores aos números de incógnitas do problema, ou seja, nas estruturas hipostática os apoios são em menor número que o necessário para restringir todos os movimentos possíveis da estrutura. As características desse tipo de estrutura é a instabilidade constante: balanço, gangorra, etc. Aula 3 – Estática II ESTABILIDADE 30 2.2. Estruturas Isostáticas As estruturas isostáticas, o número de equações é exatamente igual ao número de incógnitas, ou seja, bastam as equações fundamentais da estática para determinar as suas reações de apoio. Esse tipo de estrutura é bastante utilizado na engenharia, e será bastante utilizada na disciplina. 2.3. Estruturas Hiperestáticas As estruturas hiperestáticas, o número de equações é menor que o número de incógnitas, nesse caso não se consegue resolver o problema apenas com as equações clássicas da estática, necessitando do uso de outras equações. Aula 3 – Estática II UNIDADE 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL 31 3. Reações de Apoio As reações de apoio, são os graus de liberdade travados do sistema, como dito anteriormente uma estrutura isostática possui 3 reações de apoio, uma estrutura hiperestática mais de 3 e uma estrutura hipostática menos de 3. A Figura abaixo mostra a simbologia, o tipo e as reações a serem travadas. Em relação ao tipo, as reações podem ser classificadas como do primeiro, segundo e terceiro gêneros. Exemplo: Calcular as reações de apoio para a estrutura da figura abaixo. Como observado na figura o lado esquerdo possui um apoio do primeiro gênero enquanto o apoio esquerdo é um apoio do segundo gênero. Aula 3 – Estática II ESTABILIDADE 32 ∑ Fx = 0 Rxa = 0 ∑ Fy = 0 Rya + Ryb – (15 . 5) = 0 Rya + Ryb = 75 N ∑ Ma = 0 (- Ryb . 5) + (75 . 5/2) = 0 Ryb = 37,5 N Rya + Ryb = 75 Rya + 37,5 = 75 Rya = 37,5 N Este exemplo será retomado nas próximas aulas caso o aluno ainda esteja com dúvidas. Nela, serão ensinados os passo-a-passo da resolução deste tipo de problema. Baseado e adaptado dem Mário Nalon de Queiroz. Edições sem prejuízo de conteúdo. Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 33 Unidade 2 – Estudo de Vigas Aula 4: Estudo de Vigas Isostáticas Uma estrutura para estar em equilíbrio deve atender as equações de equilíbrio estático vistas anteriormente, este equilíbrio é garantido pelos aparelhos de apoios da estrutura, de maneira que as forças que equilibrarão o sistema provem dos mesmos, ouseja, as reações de apoio. O cálculo dessas reações é entendido de maneira mais fácil através desta aula, que fornecerá os principais modelos de carregamentos para a teoria até aqui estudada. 1. Casos Particulares 1.1. Caso 1: Uma Carga Concentrada Horizontal e Uma Carga Concentrada Vertical. Esquema Estrutural: 1º Passo: Nomear os apoios, isso evita confundir a posição das reações que por ventura aparecerão. Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas ESTABILIDADE 34 2º Passo: Identificar os apoios quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas respectivas reações. Onde: VA = Reação vertical do apoio A (1º gênero); VB = Reação vertical do apoio B (2º gênero); HB = Reação horizontal do apoio B (2º gênero); 3º Passo: Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na horizontal (eixo X). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de X, (→ +). ∑ Fx = 0 2 – HB = 0 HB = 2 kN Desta forma, determinamos a reação horizontal no apoio B que garante que a viga não se deslocará na horizontal. 4º Passo: Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical (eixo Y). Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 35 Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de Y, (↑ +). ∑ Fy = 0 - 4 + VA + VB = 0 VA + VB = 4 kN 5º Passo: Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo Z). Como pode ser observado, com apenas duas das equações não se pode determinar os valores de VA e VB, desta forma faz-se uso da terceira equação de equilíbrio. Escolhe-se um dos apoios como ponto de referência de momento e verificamos quais forças e reações que tendem a promover rotação neste apoio. Neste exemplo escolheremos o apoio B como referência. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário. ∑ MB = 0 (VA . 8) – (4 . 6) = 0 8VA – 24 = 0 VA = 3 kN 6º Passo: Com o conhecimento do valor da reação VA, voltamos ao 4º Passo e determinamos o valor de VB. VA + VB = 4 kN 3 + VB = 4 VB = 1 kN Se analisarmos a estrutura, observaremos que os resultados são compatíveis com a figura, uma vez que a força vertical, 4kN, está mais próxima do apoio A, sua reação deverá ser maior, pois está sendo mais solicitado que o apoio B. O resultado final é apresentado abaixo. Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas ESTABILIDADE 36 1.2. Caso 2: Várias Cargas Concentradas na Direção Vertical Esquema Estrutural: 1º Passo: Dar nome os apoios, isso evita confundir a posição das reações que por ventura aparecerão. 2º Passo: Identificar os apoios quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas respectivas reações. Onde: VA = Reação vertical do apoio A (1º gênero); VB = Reação vertical do apoio B (2º gênero); HB = Reação horizontal do apoio B (2º gênero); Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 37 3º Passo: Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na horizontal (eixo X). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de X, (→ +). ∑ Fx = 0 HB = 0 kN Como pode ser visto na figura, não existe solicitação no eixo X, desta forma, sem solicitação não haverá reação do apoio do 2º gênero na direção correspondente. 4º Passo: Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical (eixo Y). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de Y, (↑ +). ∑ Fy = 0 - 4 – 4 - 4 + VA + VB = 0 VA + VB = 12 kN 5º Passo: Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo Z). Como pode ser observado, com apenas duas das equações não se pode determinar os valores de VA e VB, desta forma faz-se uso da terceira equação de equilíbrio. Escolhe-se um dos apoios como ponto de referência de momento e verificamos quais forças e reações que tendem a promover rotação neste apoio. Neste exemplo escolheremos o apoio B como referência. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário. ∑ MB = 0 (VA . 8) – (4 . 6) – (4 . 4) – (4 . 2) = 0 8VA – 48 = 0 VA = 6 kN Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas ESTABILIDADE 38 6º Passo: Com o conhecimento do valor da reação VA, voltamos ao 4º Passo e determinamos o valor de VB. VA + VB = 12 kN 6 + VB = 12 VB = 6 kN 1.3. Caso 3: Carga de Momento Aplicado com Carga Horizontal Esquema Estrutural: Repetindo-se os passos dos casos anteriores, teremos: ∑ Fx = 0 - HB + 3 = 0 HB = 3 kN ∑ Fy = 0 VA + VB = 0 kN ∑ MB = 0 (VA . 6) + 4 = 0 Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 39 6VA = - 4 VA = - 0,67 kN (↓) VA + VB = 0 kN - 0,67 + VB = 0 VB = 0,67 kN (↑) 1.4. Caso 4: Carga Uniformemente Distribuída Esquema Estrutural: 1º Passo: Dar nome os apoios, isso evita confundir a posição das reações que por ventura aparecerão. 2º Passo: Identificar os apoios quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas respectivas reações. Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas ESTABILIDADE 40 Onde: VA = Reação vertical do apoio A (1º gênero); VB = Reação vertical do apoio B (2º gênero); HB = Reação horizontal do apoio B (2º gênero); 3º Passo: Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na horizontal (eixo X). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de X, (→ +). ∑ Fx = 0 HB = 0 kN Como pode ser visto na figura, não existe solicitação no eixo X, desta forma, sem solicitação não haverá reação do apoio do 2º gênero na direção correspondente. 4º Passo: Cálculo da carga resultante do carregamento distribuído. Neste momento, reduz a carga distribuída a uma carga concentrada equivalente, chamada carga resultante e é determinada pelo cálculo da área do carregamento e será aplicada no centro de gravidade da figura formada pelo carregamento. Como segue: 5º Passo: Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical (eixo Y). Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 41 Faz-se a soma algébrica da carga resultante e das reações que aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de Y,(↑ +). ∑ Fy = 0 - 24 + VA + VB = 0 VA + VB = 24 kN 6º Passo: Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo Z). Como pode ser observado, com apenas duas das equações não se pode determinar os valores de VA e VB, desta forma faz-se uso da terceira equação de equilíbrio. Escolhe-se um dos apoios como ponto de referência de momento e verificamos quais forças e reações tendem a promover rotação neste apoio. Neste exemplo escolheremos o apoio B como referência. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário. Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte forma: ∑ MB = 0 (VA . 6) – 24 . 3 = 0 6VA = 72 VA = 12 kN 7º Passo: Com o conhecimento do valor da reação VA, voltamos ao 4º Passo e determinamos o valor de VB. VA + VB = 24 kN 12 + VB = 24 VB = 12 kN 1.5. Caso 5: Apoio do Terceiro Gênero - Cargas Concentrada e Carga horizontal Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas ESTABILIDADE 42 Esquema Estrutural: 1º Passo: Identificar o apoio quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas respectivas reações. Como só temos um apoio do terceiro gênero, ou seja, um engaste. Desta maneira, representamos suas três reações no mesmo ponto, como abaixo: Onde: VA = Reação vertical do apoio A; HA = Reação horizontal do apoio A; MA = Reação de momento do apoio A; 2º Passo: Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na horizontal (eixo X). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de X, (→ +). ∑ Fx = 0 HA – 3 = 0 HA = 3 kN 3º Passo: Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças no vertical (eixo Y). Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 43 Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de Y, (↑ +). ∑ Fy = 0 - 4 – 4 - 4 + VA = 0 VA = 12 kN 5º Passo: Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo Z). Como pode ser observado, neste apoio temos a presença de uma reação de momento que entrará no somatório dos momentos, pois é a reação de equilíbrio que estamos procurando. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário. ∑ MA = 0 - MA + (4 . 6) + (4 . 4) + (4 . 2) = 0 MA = 24 + 16 + 8 MA = 48 kN.m 1.6. Caso 6: Apoio do Terceiro Gênero - Carga Uniformemente Distribuída e Carga Horizontal Esquema Estrutural: 1º Passo: Identificar o apoio quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas respectivas reações. Como só temos um apoio do terceiro gênero, ou seja, um engaste. Desta maneira, representamos suas três reações no mesmo ponto, como abaixo: Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas ESTABILIDADE 44 Onde: VA = Reação vertical do apoio A; HA = Reação horizontal do apoio A; MA = Reação de momento do apoio A; 2º Passo: Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na horizontal (eixo X). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de X, (→ +). ∑ Fx = 0 HA – 3 = 0 HA = 3 kN 3º Passo: Cálculo da carga resultante do carregamento distribuído. Neste momento, reduz-se a carga distribuída a uma carga concentrada equivalente, chamada carga resultante e é determinada pelo cálculo da área do carregamento e será aplicada no centro de gravidade da figura formada pelo carregamento. Como segue: 4º Passo: Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças no vertical (eixo Y). Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 45 Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de Y, (↑ +). ∑ Fy = 0 - 12 + VA = 0 VA = 12 kN 5º Passo: Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo Z). Como pode ser observado, neste apoio temos a presença de uma reação de momento que entrará no somatório dos momentos, pois é a reação de equilíbrio que estamos procurando. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário. ∑ MA = 0 - MA + (12 . 1,5) = 0 MA = 18 kN.m 1.7. Caso 7: Apoio do Terceiro Gênero - Carga de Momento Aplicado e Carga Horizontal Esquema Estrutural: 1º Passo: Identificar o apoio quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas respectivas reações. Como só temos um apoio do terceiro gênero, ou seja, um engaste. Desta maneira, representamos suas três reações no mesmo ponto, como abaixo: Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas ESTABILIDADE 46 Onde: VA = Reação vertical do apoio A; HA = Reação horizontal do apoio A; MA = Reação de momento do apoio A; 2º Passo: Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na horizontal (eixo X). Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de X, (→ +). ∑ Fx = 0 HA – 3 = 0 HA = 3 kN 3º Passo: Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na vertical (eixo Y). Faz-se a soma algébrica da carga resultante e das reações que aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem na direção positiva de Y, (↑ +). ∑ Fy = 0 VA = 0 kN 4º Passo: Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo Z). Como pode ser observado, neste apoio temos a presença de uma reação de momento que entrará no somatório dos momentos, pois é a reação de equilíbrio que estamos procurando. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário. ∑ MA = 0 Aula 4 – Estudo de Vigas Isostáticas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 47 - MA + 4 = 0 MA = 4 kN.m Como apresentado, para toda determinação das reações de apoio, sempre serão utilizadas as equações de equilíbrio estático. O procedimento adotado segue esse padrão, o entendimento desta etapa da análise estrutural é de fundamental importância para o desenvolvimento dos diagramas de esforços internos, assunto que será abordado com maior detalhe no futuro. Baseado e adaptado de Márcio Varela. Edições sem prejuízo de conteúdo. Aula 5 – Esforços Internos ESTABILIDADE 48 Aula 5: Esforços Internos Foi visto, nas aulas anteriores, como um sistema de forças encontra seu equilíbrio, através das reações de apoio, quando solicitado por carregamentos que as provocam. Agora serão conhecidos os efeitos que essas cargas e reações imprimem emcada seção da estrutura solicitada. 1. Introdução Dado um corpo rígido sujeito a carregamentos combinados, as forças externas são convertidas em ações a exemplos de: compressão, tração, cisalhamento, flexão dentre outras. Ao tentar romper uma estrutura, existem forças contrárias, já descritas pela 3ª lei de Newton. Para estrutura estar em equilíbrio as forças internas também deverão obrigatoriamente estar em equilíbrio. Os esforços internos encontrados nas estruturas, são caracterizados por ligações internas de tensões, ao longo de uma seção transversal. Aula 5 – Esforços Internos UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 49 Em uma seção qualquer, para se manter o equilíbrio, as forças atuantes no lado esquerdo devem ser iguais às forças atuantes no lado direito: Uma seção S de uma estrutura em equilíbrio está submetida a um par de forças F e – F e um par de momentos M e – M aplicados no seu centro de gravidade, resultantes dos esforços atuantes à direita e à esquerda da seção. Decompondo a força resultante e o momento em duas componentes, uma perpendicular e a outra paralela à seção, teremos: Assim, têm-se os seguintes esforços solicitantes: • N = força normal (força perpendicular à seção S); • Q = esforço cortante (força pertencente à seção S); • T = momento torçor (momento perpendicular à seção S); • M = momento fletor (momento pertencente à seção S). Aula 5 – Esforços Internos ESTABILIDADE 50 1.1. Esforço Normal (N) É a soma algébrica de todas as componentes, na direção normal à seção, de todas as forças atuantes de um dos lados da seção. Por convenção, o esforço normal é positivo quando determina tração e negativo quando determina compressão. 1.2. Esforço Cortante (Q) É a soma vetorial das componentes sobre o plano da seção das forças situadas de um mesmo lado da seção. Por convenção, as projeções que se orientarem no sentido dos eixos serão positivas e nos sentidos opostos, negativas. 1.3. Momento Fletor (M) É a soma vetorial das componentes dos momentos atuantes sobre a seção, situados de um mesmo lado da seção em relação ao seu centro de gravidade. Aula 5 – Esforços Internos UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 51 No caso de momento fletor, o sinal positivo ou negativo é irrelevante, importante é determinar o seu módulo e verificar onde ocorre compressão e tração. O momento torçor não será estudado neste curso. 2. Método das Seções Imagine-se uma estrutura qualquer com forças aplicadas; considerando que as partes do corpo têm de estar em equilíbrio quando o corpo o está, e fazendo-se um corte imaginário perpendicular ao eixo da viga, qualquer parte da viga poderá ser considerada como um corpo livre. Cada um dos segmentos da viga está em equilíbrio, cujas condições exigem a existência de um sistema de forças na seção de corte da viga. Em geral, na seção de uma viga, são necessários uma força vertical, uma horizontal e um momento para manter a parte da viga em equilíbrio. A representação gráfica dos esforços internos em qualquer ponto da viga, representados em função de uma distância x a partir de uma das extremidades da mesma, se dá através dos chamados diagramas de estado ou diagramas de esforços internos. Por meio desses diagramas é possível a determinação dos valores máximos absolutos do esforço cortante, do momento fletor e do esforço normal. Aula 5 – Esforços Internos ESTABILIDADE 52 O Cálculo dos Esforços Solicitantes (Solicitações Internas) é o cerne do curso de Estabilidade, pois através de um bom entendimento do conceito de esforços solicitantes é que se pode garantir subsídios para o estudo da Introdução à Resistência dos Materiais, que terá conceitos envolvidos em 2 aulas nesta disciplina. 2.1. Definições Inicialmente, imagina-se que uma barra rígida AB qualquer está sendo seccionada. Neste exemplo a barra possui 6m e a secção ocorre a 2m de A, entretanto, a secção poderia ser feita em qualquer ponto da barra. O corte será chamado de α. As intensidades das reações nos apoios já são conhecidas e indicam que o corpo está em equilíbrio. Porém, ao se efetuar um corte qualquer, para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilíbrio, devem aparecer alguns esforços internos, que são desconhecidos. Aula 5 – Esforços Internos UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 53 Pode-se dizer, portanto, que no centro de gravidade desta seção devem aparecer esforços internos resultantes de força e de momento, que mantém o corpo isolado em equilíbrio. Analogamente ao cálculo das reações nos vínculos, onde são somadas forças em x e y, e também são calculados momentos, os esforços internos devem ocorrer em x e y, e gerar um momento. As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação, devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. 2.1.1. Definição do Esforço Normal Como visto em tópico anterior, Esforço Normal é a força atuante no sentido da peça, a qual pode ser calculada a partir da tensão normal na seção. O efeito do Esforço Normal será de provocar alongamentos ou encurtamentos na peça, mantendo suas seções transversais planas e paralelas. É indicado pela letra “N”. O exemplo abaixo ilustra a grosso modo como o Esforço Normal atua em uma barra qualquer. As linhas pontilhadas representam as dimensões da barra antes do esforço: Aula 5 – Esforços Internos ESTABILIDADE 54 Em posse da ideia de Esforço Normal, pode-se agora, analisar a ação do mesmo em um exemplo de aplicação. Imagina-se, então, uma viga de comprimento L engastada e sendo solicitada por uma força de intensidade F: Reação no vínculo: ∑ Fx = 0 → F – RHA = 0 → RHA = F Fazendo um corte α qualquer na barra a x unidades de comprimento, tem-se: Somando forças em x, obtém-se o valor do esforço interno, neste caso, o Esforço Normal: ∑ Fx = 0 → N - F = 0 → N = F 2.1.2. Definição de Esforço Cortante Esforço Cortante, como visto, é a força perpendicular à peça, calculada a partir da tensão cisalhante na mesma. O efeito do Esforço Cortante é o de provocar o deslizamento linear, no sentido do esforço, de uma seção sobre a outra infinitamente próxima, acarretando o corte ou cisalhamento da mesma. É indicado pela letra “Q”. O exemplo abaixo ilustra a grosso modo como o Esforço Cortante atua em uma barra qualquer. (Q = esforço cortante; ∆x e ∆y = deformações da barra devido à ação do esforço cortante). Aula 5 – Esforços Internos UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 55 Em posse da ideia de Esforço Cortante, pode-se agora, analisar a ação do mesmo em um exemplo de aplicação. Imagina-se, então, uma viga de comprimento L engastada e sendo solicitada por uma força de intensidade P: Reação no vínculo: ∑ Fy = 0 → RVA – P = 0 → RVA = P Fazendo um corte α qualquer na barra a x unidades de comprimento, tem-se: Aula 5 – Esforços Internos ESTABILIDADE 56 Somando forças em y, obtém-se o valor doesforço interno, neste caso, o Esforço Cortante: ∑ Fy = 0 → - Q + P = 0 → Q = P 2.1.3. Definição de Momento Fletor O Momento Fletor é definido como a soma vetorial dos momentos provocados pelas forças externas de um dos lados da seção tomada como referência, em relação a um eixo nela contido, no caso, o eixo z. O Momento Fletor tende a flexionar a peça, como resultado de tensões normais de sinais contrários na mesma seção, ou seja, tende fazer a seção girar sobre um eixo localizado no seu próprio plano, comprimindo uma parte e distendendo a outra. É indicado pela letra “M”. O exemplo abaixo ilustra de forma grosseira como o Momento Fletor atua em uma barra qualquer. As linhas pontilhadas representam as dimensões da barra antes do esforço: A deformação máxima ou parecela Δy da imagem é a chamada Flecha Máxima, e será importante nas aulas futuras de dimensionamento de estruturas.Em posse da ideia de Momento Fletor, pode-se agora, analisar a ação do mesmo em um exemplo de aplicação. Imagina-se, então, uma viga de comprimento L engastada e sendo solicitada por um momento de intensidade MF: Aula 5 – Esforços Internos UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 57 Reação no vínculo: ∑ M = 0 → MA – MF = 0 → MA = MF Fazendo um corte α qualquer na barra a x unidades de comprimento, tem-se: Somando momentos em relação ao corte α, obtém-se o valor do esforço interno, neste caso, o Momento Fletor: ∑ Mα = 0 → - M + MF = 0 → M = MF 2.2. Convenções de sinais para “N”, “Q” e “M” A convenção dos sinais é um conceito de extrema importância para o estudo dos esforços solicitantes, pois é a partir da referência destes dados que se inicia todo o processo de cálculo. Deve-se ter muita atenção quanto a estas convenções. Para facilitar os cálculos, recomenda-se adotar as seguintes convenções: • Esforço Normal: É positivo quando de tração (distendendo a barra) ou negativo quando de compressão (comprimindo a barra). Lembrar de Treliças. • Esforço Cortante: É positivo quando as projeções se orientam nos sentidos dos eixos (sentido horário), ou negativo, caso contrário. • Momento Fletor: É positivo se tracionar as fibras inferiores da barra ou negativo, caso contrário. Baseado e adaptado de M árcio Varela, André Christoforo, Cássio Simioni, Rodrigo M ero Sarmento da Silva. Edições sem prejuízo de conteúdo. Aula 6 – Cálculos e Diagramas ESTABILIDADE 58 Aula 6: Cálculos e Diagramas Sabe-se da aula anterior que os esforços internos existem e que na maioria das vezes, variam de acordo com a distância onde se calcula. Diante deste fato, toma-se como exemplos para cálculo de diagramas as vigas e tipos de carregamentos a seguir. 1. Cálculo das Solicitações Internas Para se efetuar o Cálculo das Solicitações Internas, torna-se conveniente, como visto, utilizar o Método das Seções, este, por sua vez, consiste em: 1º Passo: Cortar a peça na seção desejada e isolar um dos lados do corte (qualquer um), com todos os esforços externos atuando. Dependendo do tipo de carregamento, uma barra pode necessitar de mais de um corte para se efetuarem os cálculos. Em suma, um novo corte deve ser feito para cada mudança abrupta de carregamento. Eis alguns exemplos: Aula 6 – Cálculos e Diagramas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 59 Por hora, será analisada uma viga biapoiada com carregamento uniformemente distribuído: Primeiramente, transforma-se o carregamento distribuído numa força pontual e calculam-se as reações nos vínculos: Cálculo das reações vinculares: ∑ Fx = 0 → RHA = 0 ∑ Fy = 0 → RVA + RVB – qL = 0 → RVA + RVB = qL ∑ MA = 0 → (qL . L/2) – (RVB . L) = 0 → RVB = qL/2 Como RVA + RVB = qL e RVB = qL/2 então: RVA + qL/2 = qL → RVA = qL/2 Logo: Aula 6 – Cálculos e Diagramas ESTABILIDADE 60 Em posse dos valores das reações nos vínculos, o próximo passo é escolher um ponto qualquer da viga para se fazer um corte α. Este modelo de carregamento admite apenas um corte para o cálculo das solicitações internas. Portanto, escolhe-se um ponto qualquer a x unidades de comprimento do ponto A ou do ponto B: Independente do sentido escolhido para a análise (AB ou BA), deve-se sempre prestar muita atenção na convenção de sinais. 2º Passo: Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado em equilíbrio (N, Q, M). Estas solicitações são os valores que devem ser determinados. (Não esquecer a convenção de sinais) Após escolhido o ponto para o corte, torna-se conveniente transformar o carregamento q em uma força pontual. Como o corte foi feito a “x” unidades da periferia da barra, então, a carga pontual agora não será mais qL, mas sim, qx (lembrar que a área da figura referente ao carregamento, neste caso um quadrado, é igual ao carregamento, ou seja, A = b . h = q . x ). Se a análise for feita de A para B, a convenção será: Caso a análise seja feita de B para A, a convenção será: Aula 6 – Cálculos e Diagramas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 61 3º Passo: Aplicando as equações de equilíbrio em relação à seção cortada, determinam-se os valores procurados. Vale observar que as solicitações a serem determinadas são 3 e são dispostas, também, 3 equações de equilíbrio, pode-se então formar um sistema de 3 equações com 3 incógnitas, ou seja, sistema Isostático, ou ainda, Sistema Possível Determinado (SPD). De A para B (“pela esquerda”): Somando forças em x e y, e momentos: ∑ Fx = 0 → N = 0 ∑ Fy = 0 → qL/2 – qx – Q(x) = 0 → Q(x) = - qx + qL/2 Note, aluno, que o cortante Q está em função de x, ou seja, seu valor altera conforme o ponto de atuação do carregamento. Se fosse uma demonstração numérica, poderia ser calculado em qualquer ponto da viga, ou seja, para qualquer valor de “x” (isto será útil para a construção do gráfico). Seguindo: ∑ Mα = 0 → (qL/2 . x) – (qx . x/2) – M(x) = 0 → M(x) = - qx²/2 + qLx/2 Idem ao cortante, temos o Momento em função de “x”. Mais adiante se verá, na construção do gráfico, que para este modelo de carregamento e vínculo temos para o Cortante Q, uma equação de 1º grau do tipo f(x) = ax + b (uma reta), e, para o Momento M, uma equação de 2º grau do tipo f(x) = ax² + bx + c (uma parábola). Fazendo-se o mesmo, mas agora de B para A (“pela direita”): Aula 6 – Cálculos e Diagramas ESTABILIDADE 62 Somando forças em x e y, e momentos: ∑ Fx = 0 → N = 0 ∑ Fy = 0 → qL/2 – qx + Q(x) = 0 → Q(x) = qx - qL/2 ∑ Mα = 0 → - (qL/2 . x) + (qx . x/2) + M(x) = 0 → M(x) = - qx²/2 + qLx/2 Observa-se neste caso que a cortante possui sinais diferentes dependendo do sentido escolhido para o corte, porém, isso não vai interferir em nada, pois ao seguir a convenção de sinais corretamente, os gráficos encontrados a partir das funções Normal, Cortante e Momento, para qualquer sentido do corte serão os mesmos. Os gráficos dessas funções de Momento, Cortante e Normal são chamados de Diagramas dos Esforços Solicitantes. 2. Diagramas dos Esforços Solicitantes Os Diagramas dos Esforços Solicitantes são gráficos traçados a partir das funções de Esforço Normal, Esforço Cortante e Momento Fletor, funções estas, encontradas no cálculo das solicitações internas. Os diagramas têm como objetivomostrar como os esforços solicitantes se comportam durante toda a barra, ou seja, quantificar seus valores para qualquer trecho de toda seção, bem como, indicar pontos de esforços máximos e mínimos, ou até mesmo, nulos. Os casos de esforço solicitante com valor constante independem de x, ou seja, para qualquer seção da barra o esforço será o mesmo. Matematicamente falando, seria o mesmo que dizer que f(x) = cte. Os exemplos abaixo ilustram uma viga de comprimento L cujo esforço, no primeiro caso é positivo e no segundo caso é negativo. O esforço possui intensidade F: Aula 6 – Cálculos e Diagramas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 63 Quando o resultado das equações fornece uma função do primeiro grau, são necessários, pelo menos dois valores de x para definir a reta. Matematicamente falando, atribui-se um valor inicial e um valor final para x, ou seja, f(x) = ax + b. Os exemplos abaixo ilustram uma viga de comprimento L cujo esforço, no primeiro caso é positivo e no segundo caso é negativo. O esforço máximo possui intensidade F: Obs.: Nos dois casos da imagem acima, em determinados pontos da viga, os esforços são nulos. No 1° Caso isso ocorre no ponto A e no 2° Caso isso ocorre no ponto B. Já para uma função do segundo grau, são necessários, pelo menos três valores de x para definir a parábola. Lembrar: f(x) = ax² + bx + c. O exemplo abaixo ilustra uma viga de comprimento L, cujo esforço é negativo. O esforço máximo possui intensidade F. Nota-se que neste caso os pontos A e B possuem esforço igual à zero: Aula 6 – Cálculos e Diagramas ESTABILIDADE 64 Em casos onde as funções sejam de grau três ou mais, a atribuição de valores para x torna-se um pouco mais trabalhosa, porém, segue-se a mesma metodologia que os exemplos anteriores para a construção dos diagramas. Os sentidos dos esforços solicitantes podem ser orientados arbitrariamente, porém, é conveniente adotar sentidos positivos, pois, assim, os sinais obtidos nas equações dos esforços solicitantes serão os mesmos para os diagramas. Exemplo Numérico: Para a situação de carregamento abaixo, trace os diagramas: • DEN: Diagrama de Esforço Normal; • DEC: Diagrama de Esforço Cortante; • DMF: Diagrama de Momento Fletor. Resolução: 1º Passo: as reações deste exemplo é análogo ao resolvido na Aula 3. Porém, será repetido todo o processo para facilitar a compreensão do aluno. Primeiramente, precisamos calcular as reações nos vínculos, e, para isso, iremos encontrar a carga pontual equivalente ao carregamento distribuído que é a área do retângulo: qeq = b . h → qeq = 5 m . 15 N/m → qeq = 75 N O Diagrama de Corpo Livre fica assim: 2º Passo: serão calculadas as reações nos vínculos: Aula 6 – Cálculos e Diagramas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 65 ∑ Fx = 0 → Rxa = 0 ∑ Fy = 0 → Rya + Ryb – (15 . 5) = 0 → Rya + Ryb = 75 N ∑ Ma = 0 → (- Ryb . 5) + (75 . 5/2) = 0 → Ryb = 37,5 N Rya + Ryb = 75 → Rya + 37,5 = 75 → Rya = 37,5 N 3º Passo: Calcular a Normal, o Cortante. Para isso, seccionaremos a viga em um ponto “S” no ponto médio entre “A” e o carregamento pontual. O seccionamento nos dará novos valores para encontrarmos mais equações para a resolução do problema. Temos como resultado de equilíbrio na direção x: ∑ Fx = 0 (+→) Rxa + N = 0 N = - Rxa N = 0 Analogamente, na direção y, temos 3 atuações: Rya, Q e a carga resultante do “novo” carregamento distribuído em função de q (que sabemos o valor) que é a área do “novo” retângulo A = q . x. Como também já conhecemos Rya, tem-se: Aula 6 – Cálculos e Diagramas ESTABILIDADE 66 ∑ Fy = 0 (+↑) Rya – qx – Q = 0 37,5 – 15x – Q = 0 Q(x) = -15x + 37,5 (Primeira Equação) 4º Passo: Calcular o Momento Fletor As cargas envolvidas na seção são as apresentadas acima. O cortante Q será desprezado por estar no ponto “S” e não gerar Momento. Calculando os Momentos considerando rotação positiva o sentido horário tem-se: ∑ MS = 0 (Rya . x) – (qx . x/2) – M = 0 (37,5 . x) – (15x . x/2) – M = 0 37,5x – 15x²/2 – M = 0 M(x) = -7,5x² + 37,5x (Segunda Equação) 5º Passo: De posse das equações que representam os esforços internos na estrutura podemos desenhar os respectivos diagramas. Para construção dos diagramas toma-se cinco Aula 6 – Cálculos e Diagramas UNIDADE 2 – ESTUDO DE VIGAS 67 pontos distintos na estrutura, verificando os esforços nas respectivas funções acima encontradas. Diagrama de Esforço Normal Para o esforço normal na viga temos N(x) = 0, sendo assim para qualquer valor de x tomado na função normal o resultado será nulo. Abaixo tem-se o diagrama de esforço normal. Diagrama de Esforço Cortante Para o esforço cortante temos 5 pontos de interesse, sendo eles o ponto A (L = 0), L/4, L/2, 3L/4 e o ponto B (L), sendo eles, numericamente na viga de 5 m, x = 0; x = 1,25; x = 2,5; x = 3,75 e x = 5,0. A equação é Q(x) = -15x + 37,5. Portanto: Q(0) = (-15 . 0) + 37,5 → 37,5 Q(1,25) = (-15 . 1,25) + 37,5 → 18,7 Q(2,5) = (-15 . 2,5) + 37,5 → 0 Q(3,75) = (-15 . 3,75) + 37,5 → -18,7 Q(5,0) = (-15 . 5) + 37,5 → -37,5 Diagrama de Momento Fletor Nos mesmo 5 pontos, para a equação do Momento M(x) = -7,5x² + 37,5x; tem-se: Aula 6 – Cálculos e Diagramas ESTABILIDADE 68 M(0) = (-7,5 . 0²) + (37,5 . 0) → 0 M(1,25) = (-7,5 . 1,25²) + (37,5 . 1,25) → 32,5 M(2,5) = (-7,5 . 2,5²) + (37,5 . 2,5) → 46,9 M(3,75) = (-7,5 . 3,75²) + (37,5 . 3,75) → 32,5 M(5,0) = (-7,25 . 5,0²) + (37,5 . 5) →0 E o exercício está finalizado. Algumas regras devem ser respeitadas quando se deseja calcular os esforços internos de uma estrutura. Aqui em especial o exemplo nos trouxe uma estrutura contínua com apenas um carregamento distribuído, desta feita precisou-se fazer apenas um corte na estrutura para analisa-la, porém existem casos em são necessários mais de um corte para poder solucionar o problema, para as exceções destaca-se: • Carga Concentradas; • Carga Momento; • Mudança de geometria da seção transversal. Ademais, os pontos de interesse a serem indicados no gráfico são aqueles que implicam na distribuição das cargas nas vigas. Neste caso, o interessante seriam apenas os valores do ponto A e B e o ponto da aplicação da carga equivalente. A próxima aula será dedicada aos demais modelos de gráficos que as equações matemáticas são conhecidas a nível de ensino técnico. Aula 7 – Cálculos e Diagramas II UNIDADE 3 – APROFUNDAMENTO 69 Aula 7: Cálculos e Diagramas II Nesta aula serão apresentados os modelos de gráficos para os tipos de carregamento mais comuns e corriqueiros, que em algum momento foram apresentados na disciplina, bem como a resolução de mais exercícios para que o aluno se habitue e se familiarize com os cálculos e saiba interpretar as diversas situações quais pode se deparar. 1. Gráficos Variados Aproveitando os cálculos das reações dos vínculos da aula 4, teremos os seguintes modelos de gráficos. 1.1. Uma Carga Concentrada Vertical e Uma Horizontal Este é o Caso 1 da Aula 4. Os Gráficos são deste modelo: Aula 7 – Cálculos e Diagramas II ESTABILIDADE
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