Aula 11 - Funções de várias variáveis

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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Máximos e mínimos para funções de várias
variáveis reais: Parte I
Antonio R. G. Garcia
Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Departamento de Ciências Naturais, Matemática e Estatística
12 de julho de 2020
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Máximo e mínimo em A definição
Definição
Seja f (x , y) uma função a valores reais e seja (x0, y0 ∈ A), com
A ⊆ Df . Dizemos que (x0, y0) é um ponto de máximo da f em A,
se para todo (x , y) ∈ A,
f (x , y) 6 f (x0, y0).
Sendo (x0, y0) ponto de máximo de f em A, o número f (x0, y0)
será denominado valor máximo de f em A.
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Máximo e mínimo global
Definição
Dizemos que (x0, y0) ∈ Df é ponto de máximo global ou absoluto
de f se, para todo (x , y) ∈ Df ,
f (x , y) 6 f (x0, y0).
Diremos, neste caso, que f (x0, y0) é o valor máximo de f .
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Máximo e mínimo local
Definição
Finalmente, diremos que (x0, y0) ∈ Df é ponto de máximo local de
f , se existir uma bola aberta de centro (x0, y0) e raio r > 0, isto é,
Br (x0, y0) tal que
f (x , y) 6 f (x0, y0),∀(x , y) ∈ Br (x0, y0) ∩ Df .
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Exemplos
Exemplo
(0, 0) é ponto de mínimo global de f (x , y) = x2 + y2 e f (0, 0) = 0
é o valor mínimo de f , pois
f (x , y) > f (0, 0) = 0, ∀(x , y) ∈ R2.
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Exemplos cont.
Exemplo
Sejam f (x , y) = 2x − y e A o conjunto determinado pelas
condições x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3 e y ≥ x. Estude f com relação
a máximo e mínimo em A.
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Exemplos cont.
Exemplo
Seja f (x , y) definida em R2 dada por
f (x , y) =
{
x2 + y2, se x2 + y2 ≤ 4;
1− (x − 3)2 − y2, se x2 + y2 > 4.
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Teorema
Seja (x0, y0) um ponto interior de Df e suponhamos que ∂f∂x (x0, y0)
e ∂f∂y (x0, y0) existam. Nestas condições, uma condição necessária
para que (x0, y0) seja um extremante local de f é que
∂f
∂x (x0, y0) = 0 =
∂f
∂y (x0, y0).
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Exemplo
Seja f (x , y) = x2 + y2. Como Df = R2 é um conjunto aberto, de
∂f
∂x (x , y) = 2x ,
∂f
∂y (x , y) = 2y segue que (0, 0) é o único candidato
a extremante local. Como f (x , y) > f (0, 0) = 0, ∀(x , y) ∈ R2,
resulta que (0, 0) é um ponto de máximo global de f .
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Exemplo
O único ponto crítico de f (x , y) = x2 − y2 é (0, 0). Verifica-se
sem dificuldade que (0, 0) não é extremante local (para uma
visualização geométrica, desenhe as interseções do gráfico de f
com os pontos yz e xz). O ponto (0, 0) denomina-se ponto de
sela. O gráfico desta função tem aspecto de uma “sela de cavalo”:
tente desenhá-lo.
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Exemplo
Seja z = f (x , y), com domínio A = {(x , y) ∈ R2 : x > 0, y > 0},
onde f (x , y) = x2y + 3x. O ponto (0, 0) é um ponto de mínimo
de f em A, pois f (x , y) ≥ f (0, 0) = 0,∀(x , y) ∈ A. Como
∂f
∂x (x , y) = 2xy + 3, segue que
∂f
∂x (0, 0) = 3 6= 0. Isto não
contradiz o teorema 4, pois ele só se aplica aos pontos interiores
da f e (0, 0) não é ponto interior do Df = A.
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Teorema
Seja f de classe C2 e seja (x0, y0) um ponto interior do domínio da
f . Uma condição necessária para que (x0, y0) seja ponto de
máximo local é que (x0, y0) seja ponto crítico de f e, além disso,
∂2f
∂x2 (x0, y0) ≤ 0 e
∂2f
∂y2 (x0, y0) ≤ 0. Se ao contrário tivermos
∂2f
∂x2 (x0, y0) ≥ 0 e
∂2f
∂y2 (x0, y0) ≥ 0, teremos uma condição necessária
para (x0, y0) ser ponto de mínimo local de f .
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Exemplo
Determine os candidatos a extremantes locais de
f (x , y) = x3 + y3 − 3x − 3y + 4.
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Teorema
Seja f (x , y) de classe C2 e (x0, y0) um ponto interior de Df .
Suponhamos que (x0, y0) seja ponto crítico de f . Então
i) Se ∂2f
∂x2 (x0, y0) > 0 e H(x0, y0) > 0, então (x0, y0) será ponto
de mínimo local de f ;
ii) Se ∂2f
∂x2 (x0, y0) < 0 e H(x0, y0) > 0, então (x0, y0) será ponto
de máximo local de f ;
iii) Se H(x0, y0) < 0, então (x0, y0) não será extremante local,
neste caso, (x0, y0) será ponto de sela;
iv) Se H(x0, y0) = 0, nada podemos afirmar.
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Exemplo
Seja f (x , y) = x3 + y3 − 3x − 3y + 4. Estude f quanto aos pontos
de máximo e mínimo local.
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Exemplo
Seja f (x , y) = 3x4 + 2y4. Calcule os pontos críticos de f e estude
quanto a máximo e mínimo local.
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Pontos de máximo e ponto de mínimo Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Exemplo
Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um
paralelepípedo retângular e com 1m3 de volume. O material a ser
utilizado nas laterais custa o triplo do que será usado no fundo.
Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.
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	Pontos de máximo e ponto de mínimo
	Condições necessárias para que um ponto interior ao Df seja um extremante local de f
	Uma condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local