raciocinio logico

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RACIOCÍNIO LÓGICO
 MATEMÁTICO
Prof. Dudan
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 CARTA AOS ALUNOS
Caro futuro funcionário do Banco do Brasil .
Seja bem vindo ao GG Concursos.
Nesse livro cada capítulo, cada regra, cada exercício é um degrau que vai orientá-lo nessa 
árdua caminhada rumo á tua nomeação.
Faça de cada erro ,um futuro acerto e vamos gabaritar essa prova.
Para aqueles que tem traumas matemáticos, chegou a hora de enfrentá-los e mostrar pra 
banca quem é que manda.
Não esqueçam das doses homeopáticas de exercícios no dia a dia porque isso é o que faz 
toda a diferença.
Aquilo que se faz constantemente se torna um hábito, e isso nos leva à excelencia. Estamos 
juntos nessa batalha e dela sairemos vivos e vitoriosos.
Abraço e bons estudos
Professor Dudan
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SUMÁRIO
MÓDULO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS. ...........................................................................
MÓDULO 2 – OPERAÇÕES MATEMÁTICAS; .......................................................................
MÓDULO 3 – FRAÇÕES; .....................................................................................................
MÓDULO 4 – RAZÃO E PROPORÇÃO; ................................................................................
MÓDULO 5 – PORCENTAGEM; ..........................................................................................
MÓDULO 6 – EQUAÇÕES E PROBLEMAS; ..........................................................................
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Naturais (ℕ)
Definição: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Números Inteiros (ℤ)
Definição: ℤ = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Números Racionais (ℚ)
Definição – É todo número que pode ser escrito na forma:
p com p ∈ ℤ e q ∈ ℤ*.
q
Frações, Decimais e Fração Geratriz
Decimais exatos
2 = 0,4 1 = 0,25
5  	 4
Decimais periódicos
1	=	0,333...	=	0,3  7 = 0,777... = 0,7
3	          	9
MÓDULO 1
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Números Irracionais (𝕀)
Definição: Todo número cuja representação decimal não é periódica.
Exemplos:
0,212112111... 1,203040... π
Números Reais (ℝ)
Definição: Conjunto formado pelos números racionais e pelos irracionais.
ℝ = ℚ ∪ 𝕀, sendo ℚ ∩ 𝕀 = Ø
Subconjuntos
ℝ* = {x ∈	R	|	×	≠	0}	→	reais	não	nulos
ℝ + = {x ∈	R	|	×	≥	0}	→	reais	não	negativos
ℝ*+ = {x ∈	R	|	×	>	0}	→	reais	positivos
ℝ – = {x ∈	R	|	×	≤	0}	→	reais	não	positivos
ℝ*- = {x ∈	R	|	×	<	0}	→	reais	negativos
Números Complexos (C)
Definição: Todo número que pode ser escrito na forma a + bi, com a e b reais.
Exemplos:
3	+	2i	 	 	 –	3i	 	 	 –	2	+	7i		 	 9
1,3 1,203040... π
Resumindo:
Todo número é complexo.
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Raciocínio Lógico Matemático – Prof. Dudan
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Teoria dos Conjuntos (Linguagem dos Conjuntos)
Classificação dos Conjuntos
Vejamos	a	classificação	de	alguns	conjuntos:
 • Conjunto Unitário: possui apenas um elemento. Exemplo: o conjunto formados pelos nú-
meros primos e pares.
 • Conjunto Vazio: não possui elementos, é representado por ∅ ou, mais raramente, por { }. 
Exemplo: um conjunto formado por elemento par, primo e diferente de 2.
 • Conjunto Universo (U): possui todos os elementos necessários para a realização de um es-
tudo	(pesquisa,	entrevista,	etc.)
 • Conjunto Finito: um conjunto é finito quando seus elementos podem ser contados um a 
um,	do	primeiro	ao	último,	e	o	processo	chega	ao	fim.	Indica-se	n	(A)	o	número	(quantida-
de)	de	elementos	do	conjunto	“A”.
Exemplo: A = {1, 4, 7, 10} é finito e n(A) = 4
 • Conjunto Infinito:	um	conjunto	é	infinito	quando	não	é	possível	contar	seus	elementos	do	
primeiro ao último.
Relação de Pertinência
É uma relação que estabelecemos entre elemento e conjunto, em que fazemos uso dos 
símbolos ∈ e ∉.
Exemplo:
Fazendo uso dos símbolos ∈ ou ∉, estabeleça a relação entre elemento e conjunto:
a) 7 ∈ ℕ
b) –	9	∉ ℕ
c) 0,5 ∉ 𝕀
d) – 12,323334 ∈ ℚ
e) 0,1212... ∈ ℚ
f) ∈ 𝕀
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Relação de Inclusão
É uma relação que estabelecemos entre dois conjuntos. Para essa relação, fazemos uso dos 
símbolos ⊂, ⊄, ⊃ e ⊅.
A	ideia	é	que	um	conjunto	esteja	dentro	(contido)	do	outro	e	vice-versa.
Exemplos:
Fazendo uso dos símbolos de inclusão, estabeleça a relação entre os conjuntos:
ℕ ⊂ ℤ
ℚ ⊄ ℕ
ℝ ⊄ 𝕀
𝕀 ⊄ ℚ
Observações:
 • Dizemos que um conjunto “B” é um subconjunto ou parte do conjunto “A” se, e somente 
se, B ⊂ A.
 • Dois conjuntos “A” e “B” são	iguais	se,	e	somente	se,	A ⊂ B e B ⊂ A.
 • Dados os conjuntos “A”, “B” e “C”, temos que: se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.
 • O total de subconjuntos é dado por 2e, onde "e" é o número de elementos do conjunto. 
Exemplo: o conjunto A = {1, 2, 3, 4} possui 16 subconjuntos, pois 24 = 16.
União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos
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E se forem 3 conjuntos??
IMPORTANTE:	 quando	 somarmos	 os	 três	 conjuntos	 integrais	 teremos	 um	 excedente	 que	 é	
resultado	de:	d	+	e	+	f	+	2g
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Conjunto Complementar
Considere	A	um	conjunto	qualquer	e	U	o	conjunto	universo.	Todos	os	elementos	que	não	estão	
em A estão no complementar de A.
Veja	o	diagrama	de	Venn	que	representa	o	complementar	de	A,	indicado	por	AC:
Assim, o complementar de um subconjunto A se refere a elementos que não estão no conjunto 
A.	Normalmente,	o	complementar	se	trata	de	maneira	relativa	à	um	conjunto	universo	U,	sendo	
o conjunto AC o complementar de A formado pelos elementos de U que não pertencem a A.
Vamos exemplificar como o contexto é importante para determinar o conjunto complementar. 
Considere o conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8, 10,…}
Veja	como	fica	se	o	conjunto	universo	no	nosso	contexto	for	N	(números	naturais).
AC	=	N	−	A	=	{0,	1,	2,	3…}	–	{0,	2,	4,	6,	8,…}	=	{1,	3,	5,	7,	9…}
B) Conjunto	universo	U	=	Z
Agora,	se	o	conjunto	universo	no	nosso	contexto	for	Z	(números	inteiros):
AC	=	Z	−	A	=	{…	–	3,	–	2,	–	1,	0,	1,	2,	3…}	–	{0,	2,	4,	6,	8,	…}	=	{…,	−	3,	−	2,	−	1,	1,	3,	5,	7,	9…}
Complemento Relativo
Se	A	e	B	são	conjuntos,	então	o	complemento	relativo	de	A	em	relação	a	B	,	também	conhecido	
como diferença de B e A, é o conjunto de elementos de B que não estão em A.
A	diferença	de	B	para	A	é	geralmente	denotada	B	\	A	ou	tambem	B	–	A.
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Assim:
B	\	A	=	{	x	∈ B/ x ∉ A}
Exemplos: Se A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}, então:
A	–	B	=	{1,	2,	3}	\	{2,	3,	4}	=	{1}	 	 	 B	–	A=	{2,	3,	4}	\	{1,	2,	3}	=	{4}
Faça você
1. Numa	turma	do	GG	Concursos	 fez-se	uma	pesquisa	entre	 funcionários,	com	duas	perguntas	
apenas: Estudou pelo GG Concursos? Gosta de Matemática? 75 funcionários responderam sim 
à	primeira	e	86	responderam	sim	à	segunda.	Se	31	responderam	sim	às	duas	e	42	responderam	
não a ambas, o número de alunos dessa turma é:
a) 110
b) 118
c) 136
d) 172
e) 234
2. Numa	turma	preparatória	para	o	concurso	do	Banco	do	Brasil	 ,	dos	74	alunos,	56	gostam	de	
RLM	e	28,	de	Português.	Além	disso,	sabe-se	que	15	alunos	não	gostam	nem	de	RLM	nem	de	
Português.	Assim,	o	número	de	alunos	que	gostam	de	ambas	as	disciplinas	é	de:
a) 13
b) 22
c) 25
d) 28
e) 30
3. Num	grupo	de	alunos	do	GG	Concursos,	verificou-se	que	140	assistiram	a	apenas	uma	das	aulas	
de	RLM	ou	Conhecimentos	Bancários;	117	assistiram	à	aula	de	Conhecimentos	Bancários;	54	
assitiram	às	duas	aulas	e	88	não	assistiram	à	aula	de	RLM.
Sendo	assim,	o	número	de	alunos	dessa	turma	é	igual	a:
a) 219
b) 281
c) 320
d) 340
e) 417
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4. A tabela abaixo apresenta os resultados de uma pesquisa feita em 65 funcionários do Banco do 
Brasil	a	respeito	de	estudo	dos	idiomas	Inglês,	Francês	e	Espanhol.
IDIOMA QUANTIDADE ESTUDANTES
Inglês 37
Francês 15
Espanhol 25
Inglês	e	Francês 10
Francês e Espanhol 5
Inglêse	Espanhol 17
Inglês/Francês/Espanhol 2
Baseando-se nos resultados dessa tabela, é CORRETO afirmar que o total de participantes da 
pesquisa	que	não	estuda	nenhum	dos	três	idiomas	é	igual	a:
a) 18
b) 21
c) 39
d) 43
e) 55
5. O	professor	Dudan,	ao	lecionar	Teoria	dos	Conjuntos,	revelou	uma	pesquisa	sobre	as	preferên-
cias	clubísticas	de	seus	alunos,	tendo	chegado	ao	seguinte	resultado:
 • 32 alunos torcem pelo Grêmio;
 • 25 alunos torcem pelo Inter;
 • 20 alunos torcem pelo São Paulo;
 • 8 alunos torcem pelo Grêmio e pelo São Paulo;
 • 9	alunos	torcem	pelo	São	Paulo	e	pelo	Inter.
Se	designarmos	por	G	o	conjunto	dos	torcedores	do	Grêmio,	por	I	o	conjunto	dos	torcedores	do	
Inter, por C o conjunto dos torcedores do São Paulo, da referida turma, e sabendo que nenhum 
torcedor do Grêmio torce para o Inter, concluímos que o número de alunos dessa turma que 
para um único time é de:
a) 29
b) 35
c) 43
d) 54
d) 66
Gabarito: 1.	D 2.	C 3. A 4. A 5. C
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OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Meus queridos alunos,
Esse	módulo	foi	preparado	com	carinho	para	“desenferrujar”	todos	vocês.
A habilidade do aluno nas operações básicas é fundamental para todos os assuntos referentes a 
Matemática	(Básica	ou	Financeira)	e	também	de	RLM	(Raciocínio	lógico	Matemático).
Dediquem-se	 ao	 máximo	 e	 lembrem-se	 que	 calculadoras	 são	 proibidas	 no	 dia	 da	 prova	 e	
consequentemente durante nossas aulas.
Observe	que	cada	operação	tem	nomes	especiais:
 • Adição: 3 + 4 = 7, em que os números 3 e 4 são as parcelas e o número 7 é a soma ou total.
 • Subtração: 8 – 5 = 3, em que o número 8 é o minuendo, o número 5 é o subtraendo e o 
número 3 é a diferença.
 • Multiplicação: 6 × 5 = 30, em que os números 6 e 5 são os fatores e o número 30 é o 
produto.
 • Divisão: 10 ÷ 5 = 2, em que 10 é o dividendo, 5 é o divisor e 2 é o quociente, neste caso o 
resto da	divisão	é	ZERO.
Adição e Subtração
Regra de sinais
 • A soma de dois números positivos é um número positivo.
(+	3)	+	(+	4)	=	+	7,	na	prática	eliminamos	os	parênteses.	+	3	+	4	=	+	7
 • A soma de dois números negativos é um número negativo.
(–	3)	+	(–	4)	=	–	7,	na	prática	eliminamos	os	parênteses.	–	3	–	4	=	–	7
 • Se adicionarmos dois números de sinais diferentes, subtraímos seus valores absolutos e 
damos o sinal do número que tiver o maior valor absoluto.
(–	4)	+	(+	5)	=	+	1,	na	prática	eliminamos	os	parênteses.	–	4	+	5	=	1	assim,	6	–	8	=	–	2.
 • Se subtrairmos dois números inteiros, adicionamos ao 1º o oposto do 2º número.
(+	5)	–	(+	2)	=	(+	5)	+	(–	2)	=	+	3,	na	prática	eliminamos	os	parênteses	escrevendo	o	oposto	
do	segundo	número,	então:	+	5	–	2	=	+	3 (o oposto de + 2 é – 2)
MÓDULO 2
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(–9)	–	(-3)=	–9+3=	–6
(–8)	–	(+5)=	–8–5=	–13
Lembrando	que	quando	antes	dos	parenteses	vier	um	sinal	de	+ , ele derruba os parenteses e 
mantem	o	sinal	de	quem	está	dentro.	Caso	venha	um	sinal	de	– , ele derruba os parenteses e 
troca o sinal de quem está dentro.
DICA: Na	adição	e	subtração,	um	número	de	sinal	positivo	representa	“o	que	eu	tenho	
de	dinheiro”	e	um	número	de	sinal	negativo,	“o	que	eu	devo	à	alguém”,	assim,	basta	
imaginar	que	você	está	acertando	as	contas.
Faça você
1. Calcule:
a)	–	5	+	3	=	 	 	 	 b)	+	73	–	41	=
c)	–	24	–	13	=	 	 	 	 d)	–	5	+	(–	12)	=
e)	+	51	–	4	=	 	 	 	 f)	+	17	+	(–14)	=
g)	–	9	–	(–	25)	=	 	 	 	 h)	+	72	–	(–12)	=
i)	+	19	–	25	=	 	 	 	 j)	–	80	+	41	+	57	=
k)	–	2	–	22	–	21	=	 	 	 	 l)	–	6	–	(+	31)	+	50	=
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2. Calcule:
a)	 1234	 	 	 b)	752	 	 	 c)	425	 	 	 d)	1321
 + 463	 	 	  + 271       – 328        + 412
e)	632	 	 	 f)	921	 	 	 g)	2358	 	 h)	32,54
 + 346	 	    – 708	 	 	  		+ 426	 	  +	85,89
i)	233,2	 	 	 j)	5,174	 	 k)	23,42	 	 l)	237,85
– 143,1 –	6,719 + 34,67 – 156,38
m)	17,43	 	 	 n)	275,74	 	 o)	157,32	 	 p)	329,75
 –	29,38	 	 	  – 131,12	 	  – 38,43 + 158,37
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DIVISORES E MÚLTIPLOS
Os	múltiplos	e	divisores	de	um	número	estão	relacionados	entre	si	da	seguinte	forma:
Se	15	é	divisível	por	3,	então	3	é	divisor	de	15,	assim,	15	é	múltiplo	de	3.
Se	8	é	divisível	por	2,	então	2	é	divisor	de	8,	assim,	8	é	múltiplo	de	2.
Se	20	é	divisível	por	5,	então	5	é	divisor	de	20,	assim,	20	é	múltiplo	de	5.
Múltiplos de um Número Natural
Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural 
qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada.
Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2)
2 x 0 = 0
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
2 x 7 = 14
2 x 8 = 16
2	x	9	=	18
2 x 10 = 20
E	assim	sucessivamente.
Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3)
3 x 0 = 0
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3	x	3	=	9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3	x	9	=	27
3 x 10 = 30
E	assim	sucessivamente.
Portanto, os múltiplo de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, ...
E	os	múltiplos	de	3	são:	0,	3,	6,	9,	12,	15,	18,	21,	24,	27,	30,	...
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Divisores de um Número Natural
Um	número	é	divisor	de	outro	quando	o	resto	da	divisão	for	igual	a	0.	Portanto,	12	é	divisível	
por 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
36	é	divisível	por	1,	2,	3,	4,	6,	9,	12,	18	e	36.
48	é	divisível	por	1,	2,	3,	4,	6,	8,	12,	16,	24	e	48.
Observações	importantes:
 • O	menor	divisor	natural	de	um	número	é	sempre	o	número	1.
 • O	maior	divisor	de	um	número	é	o	próprio	número.
 • O	zero	não	é	divisor	de	nenhum	número.
 • Os	divisores	de	um	número	formam	um	conjunto	finito.
Principais Critérios de Divisibilidade
Dentre	 as	 propriedades	operatórias	 existentes	na	Matemática,	 podemos	 ressaltar	 a	 divisão,	
que	consiste	em	representar	o	número	em	partes	menores	e	iguais.
Para	que	o	processo	da	divisão	ocorra	normalmente,	 sem	que	o	 resultado	 seja	um	número	
não	 inteiro,	 precisamos	 estabelecer	 situações	 envolvendo	 algumas	 regras	 de	 divisibilidade.	
Lembrando	que	um	número	é	considerado	divisível	por	outro	quando	o	resto	da	divisão	entre	
eles	é	igual	a	zero.
Regras de divisibilidade
Divisibilidade por 1
Todo	número	é	divisível	por	1.
Divisibilidade por 2
Um	número	natural	é	divisível	por	2	quando	ele	termina	em	0,	ou	2,	ou	4,	ou	6,	ou	8,	ou	seja,	
quando ele é par.
Exemplos:	5040	é	divisível	por	2,	pois	termina	em	0.
	 	 237	não	é	divisível	por	2,	pois	não	é	um	número	par.
Divisibilidade por 3
Um	número	é	divisível	 por	3	quando	a	 soma	dos	 valores	 absolutos	dos	 seus	 algarismos	 for	
divisível	por	3.
Exemplo:	234	é	divisível	por	3,	pois	a	soma	de	seus	algarismos	é	igual	a	2	+	3	+	4	=	9,	e	como	9	é	
divisível	por	3,	então	234	é	divisível	por	3.
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Divisibilidade por 4
Todo	número	natural	é	divisível	por	4	quando	os	seus	últimos	dois	digitos	(dezena	e	unidade)	
formarem um número múltiplo de 4.
Exemplo:	156	é	divisível	por	4,	pois	"56"	é	um	número	múltiplo	de	4.
Divisibilidade por 5
Um	número	natural	é	divisível	por	5	quando	ele	termina	em	0	ou	5.
Exemplos:	55	é	divisível	por	5,	pois	termina	em	5.
	 	 90	é	divisível	por	5,	pois	termina	em	0.
	 	 87	não	é	divisível	por	5,	pois	não	termina	em	0	nem	em	5.
Divisibilidade por 6
Um	número	natural	é	divisível	por	6	quando	é	divisível	por	2	e	3	ao	mesmo	tempo.
Exemplos:
54	é	divisível	por	6,	pois	é	par,	 logo	divisível	por	2	e	a	soma	de	seus	algarismos	é	
múltiplo	de	3,	logo	ele	é	divisível	por	3	também.
90	é	divisível	por	6,	pelo	mesmos	motivos.
87	não	é	divisível	por	6,	pois	não	é	divisível	por	2.
Divisibilidade por 9
Será	 divisível	 por	 9	 todo	 número	 em	 que	 a	 soma	 de	 seus	 algarismos	 constitui	 um	 número	
múltiplo	de	9.
Exemplos:	81	:	9	=	9,	pois	8	+	1	=	9
	 	 1107	:	9	=	123,	pois	1	+	1	+	0	+	7	=	9
	 	 4788	:	9	=	532,	pois	4	+	7	+	8	+	8	=	27
Divisibilidadepor 10
Um	número	é	divisível	por	10	se	termina	com	o	algarismo	0	(zero).
Exemplos:	5420	é	divisível	por	10	pois	termina	em	0	(zero).
	 	 6342	não	é	divisível	por	10	pois	não	termina	em	0	(zero).
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Multiplicação e Divisão
Regra de sinais
 • Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais positivos, o resultado é um 
número positivo.
Exemplos: a)	(+	3)	×	(+	8)	=	+	24
 b)	(+12)÷(+2)=+6
 • Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais negativos, o resultado é um 
número positivo.
Exemplos: a)	(–	6)	×	(–	5)	=	+	30
 b)	(–9)÷(–3)=+3
 • Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais diferentes, o resultado é um 
número negativo.
Exemplos: a) (–	4)	×	(+	3)	=	–	12
 b) (+16)÷(–8)=–2
DICA: Na	multiplicação/divisão,	quando	os	dois	sinais	forem	iguais,	o	resultado	é	(	+	)	
e,	quando	forem	diferentes,	o	resultado	é	(	–	).
Além disso, na MULTIPLICAÇÃO	 alinharemos	 os	 números	 à	 direita,	 como	 se	 houvesse	 uma	
“parede”	a	direita	dos	numeros.
E na DIVISÃO,	temos	as	seguintes	regras:
 • Depois	 de	 iniciada	 a	 divisão,	 sempre	 deve	 cair	 um	 algarismo	 original	 (que	 pretence	 ao	
Dividendo)	por	vez	e	quando	ele	cair	devemos	efetuar	a	divisão.	Caso	não	seja	possível	
dividir	colocaremos	“0”	no	quociente	e	somente	assim	cairá	o	próximo	algarismo	original.
 • Após	 a	 colocação	 da	 vírgula	 no	 quociente,	 mediante	 empréstimo	 do	 “0”	 para	 seguir	
dividindo,	a	cada	nova	rodada	de	divisão	teremos	direito	a	um	“0”	gratuito.	Caso	ele	não	
seja	suficiente,	na	mesma	rodada	,	um	outro	“0”	sera	solicitado	devendo	para	isso	colocar	
“0”	no	quociente.
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3. Calcule os produtos e os quocientes:
a) (–	5)	×	(–	4)	=	 	 	 b) 24	÷	(–	2)	=
c) – 5 × 8 = d) (–	14)	÷	(–14)	=
e) 32	÷	(–	16)	=	 	 	 f) –	14	×	(–	4)	=
g) (+	17)	×	(+	2)	=	 	 	 h) (–	64)	÷	(–	8)	=
i) –	3	x	(–	14)	÷	7	=		 	 j) 24	÷	(–	3)	÷	(+	4)	÷	(–	2)=
4. Efetue	os	cálculos	a	seguir:
a)	432	 	 	 b)	317	 	 	 c)			72,3	 	 d)	17,32
 x 76	 	 	  x 32 x 16,2 x	1,9
e)	481	÷	37	 	 f)	800	÷	25	 	 g)	6513	÷	13	 	 h)	721	÷	7
i)	618	÷	50		 	 j)	2546	÷	32	 	 k)	4862	÷	36	 	 l)	926	÷	13
m)	1223,5	÷	25	 	 n)	3585,6	÷	32		 o)	1256	÷	12,5		 p)	1,2	÷	0,24
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Potência
 • No exemplo 72	=	49	temos	que:	7	é	a	base,	2	é	o	expoente	e	49	é	a	potência.
 • A	potência	é	uma	multiplicação	de	fatores	iguais:	72	=	7	x	7	=	49
 • Todo	número	inteiro	elevado	a	1	é	igual	a	ele	mesmo:
  Ex.: a)	(–	4)1 = -4 b)	(+	5)1 = 5
 • Todo	número	inteiro	elevado	a	zero	é	igual	a	1.
  Ex.:	a)	(–	8)0 = 1 b) (+	2)0 = 1
Regra de sinais
 • Expoente par com parênteses: a potência é sempre positiva.
Exemplos: a) (–	2)4	=	16,	porque	(–	2)	×	(–	2)	×	(–	2)	×	(–	2)	=	+	16
     b)(+	2)²	=	4,	porque	(+	2)	×	(+	2)	=	+	4
 • Expoente ímpar com parênteses: a potência terá o mesmo sinal da base.
Exemplos: a)	(–	2)3	=	–	8,	porque	(–	2)	×	(–	2)	×	(–	2)	=	–	8
     b) (+	2)5	=	+	32,	porque	(+	2)	×	(+	2)	×	(+	2)	×	(+	2)	×	(+	2)	=	+	32
 • Quando não tiver parênteses, conservamos o sinal da base independente do expoente.
Exemplos: a) –	2²	=	–	4
    		b)–23=–8
    		c)	+3²=9
    		d) +53=+125
5. Calcule as potências:
a) 3²	=	 	 	 	 	 b) (–	3)²	=
c) –	3²	=	 	 	 	 	 d) (+	5)3 =
e) (–	6)²	=		 	 	 	 f) – 43 =
g) (–	1)²	=	 	 	 	 h)	(+	4)²	=
i) (–	5)0 = j)	–	7²	=
k) – 50 = l)	(–	7)2 =
m) (–8)²	=		 	 	 	 n)	–	8²	=
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Propriedades da Potenciação
 • Produto de potência de mesma base:	Conserva-se	a	base	e	somam-se	os	expoentes.
Exemplos:
a) a3 x a4 x a2 = a3+4+2 = a9
b) (–	5)2	x	(–	5)	=	(–	5)2+1	=	(–	5)3 = – 125
c) 3-2 x 3 x 35 = 3-2+1+5 = 34 = 81
 • Divisão de potências de mesma base:	Conserva-se	a	base	e	subtraem-se	os	expoentes.	
Exemplos:
a) b5 ÷ b2 = b5-2 = b3
b) (–	2)6	÷	(–	2)4	=	(–	2)6-4	=	(–	2)2 = + 4
c) (–	19)15	÷	(–	19)5	=	(–	19)15-5	=	(–	19)10
 • Potência de potência:	Conserva-se	a	base	e	multiplicam-se	os	expoentes.
Exemplos:
a) (a2)3 = a23 = a6
b) [(–	2)5]2	=	(–	2)5.2	=	(–	2)10 = 1024
 • Potência de um produto ou de um quociente: Multiplica-se o expoente de cada um dos 
elementos	da	operação	da	multiplicação	ou	divisão	pela	potência	indicada.
Exemplos:
a) [(–	5)2	x	(+	3)4]3	=	(–	5)2.3	x	(+	3)4.3	=	(–	5)6	x	(+	3)12
b) [(–	2)	÷	(–	3)4]2	=	(–	2)1.2	÷	(–	3)4.2	=	(–	2)2	÷	(–	3)8
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Radicais
Já sabemos que 6² = 36.	Aprenderemos	agora	a	operação	que	nos	permite	determinar	qual	o	
número	que	elevado	ao	quadrado	equivale	a	36.
 , pois 6	 elevado	 ao	 quadrado	 é	 36.	 Essa	 operação	 é	 a	 inversa	 da	 potenciação	 e	
denomina-se radiciação.
Principais Regras
→ Regra do SOL e da SOMBRA
Exemplo:
Propriedades da Radicais
Produto	de	radicais	de	mesmo	índice:	conserva-se	uma	raiz	nesse	indice	e	multiplicam-se	os	
radicandos.
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Divisão	 de	 radicais	 de	 mesmo	 índice:	 conserva-se	 uma	 raiz	 nesse	 indice	 e	 dividem2-se	 os	
radicandos.
Expressões numéricas
Para resolver expressões numéricas é preciso obedecer à seguinte ordem:
1º resolvemos	as	potenciações	e	radiciações	na	ordem	em	que	aparecem.
2º resolvemos	as	multiplicações	e	divisões	na	ordem	em	que	aparecem.
3º resolvemos	as	adições	e	subtrações	na	ordem	em	que	aparecem.
Caso contenha sinais de associação:
1º resolvemos	os	parênteses	( )
2º resolvemos	os	colchetes	[ ]
3º resolvemos	as	chaves	{ }
6. Calcule	o	valor	das	expressões	numéricas:
a)	 6²÷3²+10²÷50=
b) 20+23×10–4²÷2=
c) 
d) 33÷27×20=
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e) 100 + 1000 + 10000 =
f)	 5²–5×15+50×53=
7. Aplique	seus	conhecimentos	e	calcule	o	valor	das	expressões	numéricas.	Observe	as	operações	
indicadas, a existência de sinais de associação e tenha cuidado com as potências.
a) (−1−2−3−	4−5)÷(+15)=
b) (8+10÷2−12)÷(−4+3)=
c) 103	−(−10)2	−100 =
d) (−1)8 + 60	−[15+(−40)÷(−2)3 ]=
e) −3	−	{−2	−[(−35)	÷ + 22 ]} =
f) 4	−{(−2)2	×(−3)−[−11+(−3)×(−4)]−(−1)}	=
g) 14	−[(−1)3	×(−2)2	+(−35)÷(+5)]=
h) −2+{−5−[−2−(−2)3−3−(3−2)9]+5} =
i) 	−22	−2−20 =
j) −15+10	÷(2−7)	=
Gabarito: 6.	a)	6	/	b)	92	/	c)	11	/	d)	1	/	e)	3	/	f)	145 7.	a)	-	1 b)	-	1 c)	899 d)	-	18 e)	-	4 f)	18 g)	25 h)	-	4 i)	1 j)	-	17
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Do Português para o Matematiquês
1. 
2. Um número = x
3. O dobro de um número = 2x
4. A metade de um número = 
5. O quadrado de um número = x2
6. A metade do quadrado de um número = 
7. O quadrado da metade de um número = 
8. A terça parte de um número = 
9. O cubo de um número = x³
10. O cubo da terça parte de um número = 
11. A terça parte do cubo de um número = 
12. O triplo da metade de um número = 
13. A metade do triplo de um número = 
14. A quinta parte de um número = 
15. A raiz quadrada de um número = 
16. O oposto de um número = – x
17. O	inverso	de	um	número	=	
18. A razão entre a e b = 
19. A razão entre b e a = 
20. A diferença entre a e b = a – b
21. A diferença entre b e a = b – a
22. A razão entre o cubo de um número e o quadrado desse número = 
23. Três	números	inteiros	consecutivos	= x, x + 1, x + 2
24. Três	números	pares	consecutivos	= x, x + 2, x + 4
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FRAÇÕES
Chegou	a	hora	de,	enfim,	aprender	a	lidar	com	as	partes,	pedaços	e	setores.
Que tal deixar que eu te ajude e mostre o lado belo da Matemática?
Vem	comigo	e	vamos	desvendar	os	mistérios	das	frações...
Definição
Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números 
inteiros.	A	palavra	vem	do	latim	fractus	e	significa	"partido",	dividido	ou	"quebrado	(do	verbo	
frangere:	"quebrar").
Tambémé	considerada	parte	de	um	inteiro,	que	foi	dividido	em	partes	exatamente	iguais.	As	
frações	são	escritas	na	forma	de	números	e	na	forma	de	desenhos.	Observe	alguns	exemplos:
MÓDULO 3
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Na fração, a parte de cima é chamada de numerador e indica quantas partes do inteiro foram 
utilizadas.
A parte de baixo é chamada de denominador, que indica a quantidade máxima de partes em 
que	fora	dividido	o	inteiro	e	nunca	pode	ser	zero.
Exemplo:
Dudan comprou uma barra de chocolate e comeu 3/5 dela.
Sendo	assim,	ele	dividiu	a	barra	em	5	pedaços	e	comeu	3	delas.
Observe	que	tambem	devemos	nos	atentar	à	quantidade	que	restou,	o	chamado	complemento.
O complemento de 3/5 é 2/5 porque Dudan comeu 3 das 5 partes, sobrando 2 outros pedaços 
dessa	divisao.
Vale ressaltar que é muito importante o aluno entender a ideia dessa complementação das 
frações pois a cobrança é frequente.
Mais exemplos:
Se	gastei	5/8	do	meu	plano	de	3G,	entao	restam	os	outros	3/8.
Se	após	pagar	as	contas	de	casa,	gastei	3/7	do	meu	salário,	então	restam	os	outros	4/7.
E assim por diante.
Relação entre frações decimais e os números decimais
 • Para	 transformar	uma	 fração	decimal	em	número	decimal,	escrevemos	o	numerador	da	
fração	e	o	separamos	com	uma	vírgula,	deixando	tantas	casas	decimais	quanto	forem	os	
zeros do denominador.
Exemplo: 
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 • Para transformar um número decimal em uma fração decimal, colocamos no denominador 
tantos	zeros	quantos	forem	os	números	depois	da	vírgula	do	número	decimal.
Exemplo: 
Simplificação de frações
 • Simplificar uma fração, como o próprio termo diz, é torna-la mais simples facilitando o uso 
das operações básicas.
 • Para	 simplificar	uma	 fração,	 divide-se	o	numerador	 e	o	denominador	da	 fração	por	um	
mesmo número.
Exemplo:
 • 32/6	dividindo	ambos	por	2,	teremos	16/3
 • 27/12	e	dividindo	ambos	por	3,	teremos	9/4
 • Para	 simplificar	uma	 fração,	 divide-se	o	numerador	 e	o	denominador	da	 fração	por	um	
mesmo número.
Exemplo:
 • Quando	o	numerador	 é	 divisível	 pelo	 denominador,	 efetua-se	 a	 divisão	 e	 se	obtém	um	
número inteiro.
Exemplo:
 
→	Simplifique	as	frações,	aplicando	a	regra	de	sinais	da	divisão:
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Comparação entre Frações
Para compararmos duas frações, há opções:
1. Se	 duas	 frações	 possuem	 denominadores	 iguais,	 a	 maior	 fração	 é	 a	 que	 possui	 maior	
numerador. Por exemplo:
2. Se as duas frações possuem mesmo numerador mas denominadores diferentes, basta 
entender	a	lógica	envolvida	na	fração.
Exemplo:
2/5	<	2/3	pois	2/5	significa	dividir	a	pizza	em	5	fatias	e	tomar	2;	já	2/3	representa	a	divisão	
em	3	fatias	das	quais	tomamos	duas	também	mas	como	no	segundo	caso,	a	divisão	foi	em	
menos partes, as fatias são maiores.
3. Para estabelecer comparação entre frações que nao tem nem o numerador nem o 
denominador	 iguais,	é	preciso	”reescreve-las	no	mesmo	denominador.	 Isso	é	obtido	por	
meio do menor múltiplo comum.
Exemplo:
Usaremos	frações	equivalentes	(proporcionais)	escritas	no	mesmo	denominador	para,	assim,	
compará-las.
O	MMC	entre	5	e	7	é	35,	logo:
logo	pela	comparacao	dos	numeradores,	temos	que:
Adição e Subtração
 • Sendo	 os	 denominadores	 iguais,	 basta	 somar	 ou	 subtrair	 os	 numeradores	 e	 manter	 o	
denominador.
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 • Se	 os	 denominadores	 forem	 diferentes,	 será	 necessário	 encontrar	 frações	 equivalentes	
(proporcionais)	que	sejam	escritas	no	mesmo	denominador	comum.	Usaremos	o	m.m.c,	
veja:
Exemplo:
O	m.m.c.	de	3	e	5	é	15.	Em	seguida	divide-se	o	m.m.c	pelo	denominador	original	de	cada	fração	
e	multiplica-se	o	resultado	pelo	numerador,	obtendo	assim,	uma	fração	equivalente.
Observe	que	com	isso,	temos:
Por fim efetuamos o cálculo:
→	Calcule	o	valor	das	expressões	e	simplifique	quando	for	possível:
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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Para multiplicar frações, basta multiplicar os numeradores entre si e fazer o mesmo entre os 
denominadores,	independentemente	de	serem	iguais	ou	não.
Exemplo:
Para	dividir	as	frações,	basta	multiplicar	a	primeira	fração	pelo	inverso	da	segunda	fração.
Exemplo:
→	Efetue	e	simplifique	quando	for	possível:
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE FRAÇÕES
Para	elevarmos	uma	fração	a	determinada	potência,	basta	aplicarmos	a	potência	no	numerador	
e	também	no	denominador,	respeitando	as	regras	dos	sinais	da	potenciação.
Exemplo:
DICA: Dividir	por	um	número	é	multiplicar	pelo	seu	
inverso!
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Caso	seja	necessário	aplicar	um	radical	numa	fração,	basta	entender	que:	“a	raiz	da	fração	é	a	
fração	das	raízes.”
Exemplos:
Expoente negativo
Todo	número	diferente	de	zero	elevado	a	um	expoente	negativo	é	igual	ao	inverso	do	mesmo	
número	com	expoente	positivo.
Exemplo: 
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M.M.C E M.D.C
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C)
O	 mínimo	 múltiplo	 comum	 entre	 dois	 números	 é	 representado	 pelo	 menor	 valor	 comum	
pertencente	aos	múltiplos	dos	números.	Observe	o	M.M.C	entre	os	números	20	e	30:
M(20)	=	0,	20,	40,	60,	80,	100,	120,	...	e	M(30)	=	0,	30,	60,	90,	120,	150,	180,	...
Logo,	o	M.M.C	entre	20	e	30	é	equivalente	a	60.
Outra	forma	de	determinar	o	M.M.C	entre	20	e	30	é	pela	fatoração,	em	que	devemos	escolher	
os fatores comuns de maior expoente e os termos não comuns.
Observe:	20	=	2	x	2	x	5	=	2²	x	5	e	30	=	2	x	3	x	5	=	2	x	3	x	5	logo:
M.M.C	(20;	30)	=	2²	x	3	x	5	=	60
A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea dos números, multiplicando 
os	fatores	obtidos.	Observe:
M.M.C	(20,	30)	=	2	x	2	x	3	x	5	=	60
DICA: Apenas números naturais tem M.M.C
Um método rápido e fácil para se determinar o M.M.C de um conjunto de números naturais é 
a FATORAÇÃO.
Nela iremos decompor simultaneamente os valores, de forma que ao menos um deles possa 
ser dividido pelo fator primo apresentado, até que não sobrem valores maiores que 1.
O produto dos fatores primos utilizados nesse processo é o Mínimo Múltiplo Comum.
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Para	que	possamos	fazer	uma	comparação,	vamos	tomar	os	números	6, 8 e 12 como exemplo.
Da fatoração destes três números temos:
O M.M.C (6, 8, 12) será calculado pelo produto desses fatores primos usados na decomposição 
dos valores dados.
Logo:	M.M.C	(6	,	8	,	12)	=	2.2.2.3	=	24
Qual é o M.M.C (15, 25, 40)?
Fatorando os três números temos:
Assim o M.M.C (15, 25, 40) = 2. 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 600
PROPRIEDADE DO M.M.C.
Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do m.m.c. destes números.
Exemplo:	os	múltiplos	comuns	positivos	de	2	,	5	e	6	são	exatamente	os	múltiplos	positivos	de	
30	(m.m.c.	(2	,5	,	6)	=	30),	ou	seja,	são	30	,	60,	90,...
Como identificar questões que exigem o cálculo do M.M.C?
Para	não	ficar	em	dúvida	quanto	à	solicitação	da	questão,	M.M.C	ou	M.D.C,	basta	entender	que	
o	M.M.C	por	ser	um	“múltiplo	comum”,	é	um	número	sempre	será	maior	ou	igual	ao	maior	dos	
valores	apresentados	,	logo	sempre	um	valor	além	dos	valores	dados.
Apesar	do	nome	Mínimo	Múltiplo	Comum,	é	equivocado	pensar	que	o	“mínimo”	 indica	um	
número	pequeno,	talvez	menor	que	os	valores	apresentados.	Na	verdade	ele	é	o	menor	dos	
múltiplos	e	quase	sempre	maior	que	todos	esses	valores	de	quem	se	busca	o	cálculo	do	M.M.C.
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Exemplo:
1. Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias; na 
máquina B; a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita 
a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinasreceberão manutenção no 
mesmo dia?
Temos que determinar o M.M.C entre os números 3, 4 e 6.
Assim	o	M.M.C	(3,	4,	6)	=	2	*	2	*	3	=	12
Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de 
dezembro.
2. Um	médico,	ao	prescrever	uma	receita,	determina	que	três	medicamentos	sejam	ingeridos	pelo	
paciente	de	acordo	com	a	seguinte	escala	de	horários:	remédio	A,	de	2	em	2	horas;	remédio	
B,	de	3	em	3	horas;	e	remédio	C,	de	6	em	6	horas.	Caso	o	paciente	utilize	os	três	remédios	às	8	
horas	da	manhã,	qual	será	o	próximo	horário	de	ingestão	dos	mesmos?
Calcular o M.M.C dos números 2, 3 e 6.
M.M.C(2,3,6)=2*3=6
O	mínimo	múltiplo	comum	dos	números	2,	3,	6	é	igual	a	6.
De	6	em	6	horas	os	três	remédios	serão	ingeridos	juntos.	Portanto,	o	próximo	horário	será	às	14	
horas.
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Máximo Divisor Comum (M.D.C)
O	 máximo	 divisor	 comum	 entre	 dois	 números	 é	 representado	 pelo	 maior	 valor	 comum	
pertencente	aos	divisores	dos	números.	Observe	o	M.D.C	entre	os	números	20	e	30:	D	(20)	=	1,	
2,	4,	5,	10,	20.	e	D	(30)	=	1,	2,	3,	5,	6,	10,	15,	30.
O	maior	divisor	comum	dos	números	20	e	30	é	10.
Podemos	 também	 determinar	 o	 M.D.C	 entre	 dois	 números	 através	 da	 fatoração,	 em	 que	
escolheremos	os	fatores	comuns	de	menor	expoente.	Observe	o	M.D.C	de	20	e	30	utilizando	
esse método.
20	=	2	x	2	x	5	=	2²	x	5 e 30 = 2 x 3 x 5 = 2 x 3 x 5
Logo	M.D.C	(20;	30)	=	2	x	5	=	10
A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea e conjunta dos números, 
multiplicando	os	fatores	obtidos.	Observe:
Logo	o	M.D.C	(20	,	30)	=	10
Um método rápido e fácil para se determinar o M.D.C de um conjunto de números naturais é a 
FATORAÇÃO.
Nela iremos decompor simultaneamente os valores, de forma que todos eles devem 
ser divididos, ao mesmo tempo, pelo fator primo apresentado, até que se esgotem as 
possibilidades dessa divisão conjunta.
O produto dos fatores primos utilizados nesse processo é o Máximo Divisor Comum.
Para	que	possamos	 fazer	uma	 comparação,	 vamos	 tomar	novamente	os	números	6, 8 e 12 
como exemplo.
Da fatoração conjunta desses três números, temos:
O M.D.C (6, 8, 12) será calculado pelo produto desses fatores primos usados na decomposição 
dos valores dados.
Logo:	M.D.C	(6	,	8	,	12)	=	2
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Qual é o M.D.C (15, 25, 40)?
Fatorando os três números, temos:
Assim	o	M.D.C	(15,	25,	40)	=	5
Exemplo:
Qual é o M.D.C (15, 75, 105)?
Fatorando os três números, temos:
M.D.C	(15,	75,	105)	=	3	.	5	=	15
Note	que	temos	que	dividir	todos	os	valores	apresentados,	ao	mesmo	tempo,	pelo	fator	primo.	
Caso	não	seja	possível	seguir	dividindo	todos,	ao	mesmo	tempo,	dá-se	por	encerrado	o	cálculo	
do M.D.C.
Propriedade Fundamental
Existe uma relação entre o M.M.C e o M.D.C de dois números naturais a e b.
 • m.m.c.	(a,b)	.	m.d.c.	(a,b)	=	a	.	b
Ou seja, o produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois 
números.
Exemplo
Se	x	é	um	numero	natural	tal	que	m.m.c.	(14,	x)	=	154	e	m.d.c.	(14,	x)	=	2,	podemos	dizer	que	x	
vale.
a) 22
b) – 22
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c) + 22 ou – 22
d) 27
e) – 27
Como identificar questões que exigem o cálculo do M.D.C?
Para	não	ficar	em	dúvida	quanto	à	solicitação	da	questão,	M.M.C	ou	M.D.C,	basta	entender	que	
o	M.D.C	por	ser	um	“divisor	comum”,	é	um	número	que	sempre	será	menor	ou	igual	ao	menor	
dos	valores	apresentados,	logo	sempre	é	um	valor	aquém	dos	valores	dados,	dando	ideia	de	
corte, fração.
Já	o	M.M.C,	por	ser	um	“múltiplo	comum”,	é	um	número	que	sempre	será	maior	ou	igual	ao	
maior	dos	valores	apresentados,	logo	sempre	é	um	valor	além	dos	valores	dados,	criando	uma	
ideia	de	“futuro”.
Apesar	do	nome	Mínimo	Múltiplo	Comum	é	equivocado	pensar	que	o	 “mínimo”	 indica	um	
número	pequeno,	talvez	menor	que	os	valores	apresentados.	Na	verdade	ele	é	o	menor	dos	
múltiplos	e	quase	sempre	maior	que	todos	esses	valores	de	quem	se	busca	o	cálculo	do	M.M.C.
DICA: Quando se tratar de M.M.C a	solução	será	um	valor	no	mínimo	igual	ao	maior	
dos	valores	que	você	dispõe.	Já	quando	se	tratar	de	M.D.C a	solução	será	um	valor	no	
máximo	igual	ao	menor	dos	valores	que	você	dispõe.
Faça você
3. Em	uma	árvore	de	natal,	três	luzes	piscam	com	frequência	diferentes.	A	primeira	pisca	a	cada	4	
segundos,	a	segunda	a	cada	6	segundos	e	a	terceira	a	cada	10	segundos.	Se	num	dado	instante	
as	luzes	piscam	ao	mesmo	tempo,	após	quantos	segundos	voltarão,	a	piscar	juntas?
a) 24
b) 40
c) 60
d) 80
e) 100
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4. Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizar os cortes 
necessários,	 verificou-se	 que	 duas	 peças	 restantes	 tinham	 as	 seguintes	 medidas:	 156	
centímetros	e	234	centímetros.	O	gerente	de	produção	ao	 ser	 informado	das	medidas,	deu	
a	ordem	para	que	o	 funcionário	cortasse	o	pano	em	partes	 iguais	e	de	maior	comprimento	
possível.	Sendo	assim,	a	quantidade	de	novos	retalhos	de	tecido	e	a	medida	de	cada	um	deles,	
valem,	respectivamente:
a) 3 e 78
b) 5 e 78
c) 6 e 65
d) 65 e 6
e) 78 e 5
5. Um	 escritório	 comprou	 os	 seguintes	 itens:	 140	marcadores	 de	 texto,	 120	 corretivos	 e	 148	
blocos	 de	 rascunho	 e	 dividiu	 esse	material	 em	pacotinhos,	 cada	 um	deles	 contendo	 um	 só	
tipo	de	material,	porém	todos	com	o	mesmo	número	de	itens	e	na	maior	quantidade	possível.	
Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então o número total de pacotinhos feitos foi:
a) 74
b) 88
c) 96
d) 102
e) 112
6. Para a confecção de sacolas serão usados dois rolos de fio de nylon. Esses rolos, medindo 450 
cm	e	756	cm	serão	divididos	em	pedaços	iguais	e	do	maior	tamanho	possível.	Sabendo	que	não	
deve	haver	sobras,	quantos	pedaços	serão	obtidos?
a) 25
b) 42
c) 67
d) 35
e) 18
Gabarito: 3. C 4. B 5.	D 6. C
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RAZÃO E PROPORÇÃO
Agora estudaremos a parte mais importante de Raciocínio Lógico-Matemático. Certamente 
na prova teremos questões (no plural) envolvendo esse incrível assunto.
Além disso, o conhecimento amplo de razão e proporção trará mais facilidade e agilidade ao 
lidar com porcentagem.
Se liga então no que vem por aí…
Razão
A	palavra	razão	vem	do	latim	ratio	e	significa	a	divisão	ou	o	quociente	entre	dois	números,	A	e	
B, denotada por A
B
 .
Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4, pois 12
3
 = 4.
Proporção
Já	a	palavra	proporção	vem	do	latim	proportione	e	significa	uma	relação	entre	as	partes	de	uma	
grandeza,	ou	seja,	é	uma	igualdade	entre	duas	razões.
Exemplo: 
6 10
=
53
 , a proporção 
6
3
 é proporcional a 10
5
 .
Se numa proporção temos A C
B D
= , então os números A e D são denominados extremos
Enquanto	os	números	B	e	C	são	os	meios	e	vale	a	propriedade:	o	produto	dos	meios	é	igual	ao	
produto dos extremos, isto é:
A × D = C × B
MÓDULO 4
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Exemplo: Dada a proporção X 12
3 9
= ,	qual	é	o	valor	de	x?
logo	9.x	=	3.12	→	9x	=	36	e	portanto	x	=	4
Exemplo: Se A, B e C são proporcionais a 2, 3 e 5,
Devemos	respeitar	a	ordem	da	citação	e	montar	a	
proproção,	logo:
 
A B C
2 3 5
= =
Faça você
1. A razão entre o número funcionários do sexo masculino e do sexo feminino numa turma do GG 
Concursos é 3/5. Se sabemos que o número de homens é 21, a quantidade de mulheres é
a) 7
b) 14
c) 28
d) 35
e) 40
2. A razão entre o número de alunos do sexo masculino e do sexo feminino numa turma do GG 
Concursos	é	7/5.	Se	sabemos	que	total	de	alunos	é	96,	a	quantidade	de	mulheres	é
a) 32
b) 35
c) 40
d) 53
e) 59
3. A razão entre o número de alunos do sexo masculino e do sexo feminino numa turma do GG 
Concursos é 4/5. Se sabemos há 15 homens a menos do que mulheres, entao o total de alunos é
a) 125
b) 135
c) 140
d) 145e) 163
Dica
DICA: Observe	 a	 ordem	 com	
que	 os	 valores	 são	 enunciados	
para interpretar corretamente a 
questão.
 • Exemplos: A razão entre a 
e	b	é	a/b	e	não	b/a!!!
A	 sua	 idade	 e	 a	 do	 seu	 colega	
são proporcionais a 3 e 4,
logo sua nota = 3
Nota	do	colega				4
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Regra de Três Simples
Grandezas diretamente proporcionais
A	definição	de	grandeza	está	associada	a	tudo	aquilo	que	pode	ser	medido	ou	contado.	Como	
exemplo, citamos: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço, idade, etc.
As	 grandezas	 diretamente	 proporcionais	 estão	 ligadas	 de	 modo	 que,	 à	 medida	 que	 uma	
grandeza	aumenta	ou	diminui,	a	outra	altera	de	forma	proporcional.
Grandezas	diretamente	proporcionais,	explicando	de	uma	forma	mais	informal,	são	grandezas	
que	crescem	juntas	e	diminuem	juntas.	Podemos	dizer	também	que	nas	grandezas	diretamente	
proporcionais	uma	delas	varia	na	mesma	razão	da	outra.	Isto	é,	duas	grandezas	são	diretamente	
proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a 
outra também triplica... E assim por diante.
Resumindo:
Exemplo RESOLVIDO:
Um	aluno	esta	estudando	para	o	concurso	do	Banco	do	Brasil.	A	cada	3	dias	ele	 resolve	11	
questões	 de	RLM.	 Se	 ele	mantiver	 esse	 ritmo	de	 estudos	 ao	 final	 de	 18	dias	 terá	 resolvido	
quantas questões?
Resolução:
O	primeiro	ponto	é	observar	e	definir	se	as	grandezas	envolvidas	são	direta	ou	inversamente	
proporcionais.
Como	 a	 quantidade	 de	 questões	 resolvidas	 tende	 a	 crescer	 conforme	 os	 dias	 de	 estudo	
aumentam,	temos	grandezas	DIRETAMENTE	proporcionais,	sendo	assim	basta	montar	e	usar	o	
metodo CRUZ-CREDO:
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Assim:
Resolvendo,	temos:	3x	=	11.18	→	x	=	11.18 = 11.6 = 66
 3
Grandezas inversamentes proporcionais
Entendemos	 por	 grandezas	 inversamente	 proporcionais	 as	 situações	 em	 que	 ocorrem	
operações	inversas,	isto	é,	se	dobramos	uma	grandeza,	a	outra	é	reduzida	à	metade.
São	grandezas	que	quando	uma	aumenta	a	outra	diminui	
e	vice-versa.	Percebemos	que,	variando	uma	delas,	a	outra	
varia	na	razão	inversa	da	pri-	meira.	Isto	é,	duas	grandezas	
são	 inversamente	 proporcionais	 quando,	 dobrando	 uma	
delas, a outra se reduz pela metade; triplicando uma 
de- las, a outra se reduz para a terça parte... E assim por 
diante.
Resumindo:
Exemplo Resolvido:
Na	dia	da	prova	do	Banco	do	Brasil	um	aluno	demorou	3	horas	para	chegar	ao	local	de	prova,	se	
deslocando	numa	velocidade	constante	de	60km/h.
Caso	ele	tivesse	percorrido	esse	mesmo	trajeto	com	velocidade	de	90	km/h	teria	levado	quanto	
tempo?
Dica
Quando	 a	 regra	 de	 três	 é	
direta, multiplicamos em X, 
regra	do	“CRUZ	CREDO”.
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Primeiramente	temos	que	observar	que	enquanto	a	velocidade	aumentou,	o	tempo	necessário	
para o aluno se desclocar diminuiria.
Sendo	assim	temos	grandezas	INVERSAMENTE	proporcionais	e	o	metódo	muda,	é	o	LA-LA	(lado	
a	lado)
Portanto:
Logo	90x	=	60	.	3	→	x	=	60.3 = 2h
	 	 	 											90
Faça você
4. Um aluno da turma do Banco do Brasil percebeu que a cada 2 aulas assistidas de RLM ele 
acertava	7	questões.
Sendo assim apos 12 aulas de RLM o numero total de acertos dele sera de.
a) 42
b) 56
c) 63
d) 70
e) 77
5. Enquanto	estudava	para	o	concurso	do	Banco	do	Brasil,	um	aluno	percebeu	que	gastava	20	
minutos	para	ler	a	apostila,	num	ritmo	de	60	palavras	por	minuto.
Caso	esse	ritmo	passasse	para	40	palavras	por	minuto	,	o	tempo	que	esse	aluno	levaria	para	ler	
o mesmo material é de.
a) 13
b) 25
c) 30
d) 35
e) 40
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Regra de Três Composta
A	 regra	de	 três	 composta	é	utilizada	em	problemas	 com	mais	de	duas	grandezas,	direta	ou	
inversamente	proporcionais.	Para	não	vacilar,	 temos	que	montar	um	esquema	com	base	na	
análise	das	colunas	completas	em	relação	à	coluna	do	“x”.
 • Usaremos um método simples e direto que ao contrário dos métodos tradicionais não 
analisa	se	as	grandezas	são	diretamente	ou	inversamente	proporcionais.
Vejamos os exemplos abaixo.
Exemplo:
Em	8	horas,	20	caminhões	descarregam	160	m3	de	areia.	Em	5	horas,	quantos	caminhões	serão	
necessários	para	descarregar	125	m3?
A regra	é	colocar	em	cada	coluna	as	grandezas	de	mesma	espécie	e	deixar	o	X	na	segunda	linha.
 + _
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Identificando as relações quanto à coluna que contém o X:
Se em 8 horas, 20 caminhões carregam a areia, em 5 horas, para carregar o mesmo volume, 
serão MAIS caminhões. Então se coloca o sinal de + sobre a coluna Horas.
Se, 160 m³ são transportados por 20 caminhões, 125 m³ serão transportados por MENOS 
caminhões. Sinal de – para essa coluna.
Assim,	basta	montar	a	equação	com	a	seguinte	orientação:	ficam	no	numerador,	acompanhando	
o	valor	da	coluna	do	x,	o	MAIOR	valor	da	coluna	com	sinal	de	+, e da coluna com sinal de –, o 
MENOR valor.
Assim:
20 × 125 × 8	=	25	Logo,	serão	necessários 25 caminhões.
 160 × 5
Exemplo:
Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos 
serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: organizando	os	dados	em	colunas
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 + _
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
Observe	que,	se	8 homens montam 20 carrinhos, então 4 homens montam MENOS carrinhos. 
Sinal de – nessa coluna.
Se, em 5 dias montam-se 20 carrinhos, então em 16 dias se montam MAIS carrinhos. Sinal de +.
Montando a equação: x = 20 x 4 x 16 = 32
 8 x 5
Logo,	serão	montados	32	carrinhos.
Dica
Não esqueça que o sinal indica quem fica no NUMERADOR da fração, ou seja, se aparecer 
o sinal de +	fica	o	MAIOR	valor	da	coluna,	se	aparecer	o	sinal	de –	fica	o	MENOR	valor	da	
coluna.
Faça você
6. Durante	o	curso	de	preparação	do	GG	Concursos,	o	professor	Dudan	percebeu	que	resolvia	5	
questões todas com 7 subitens em 35 minutos. Mantido esse ritmo, o tempo necessário para 
que	7	questoes	cada	uma	com	12	subitens	sejam	resolvidas	é	de	.
a) 1h e 24 min.
b) 1h e 40 min.
c) 2 horas.
d) 2h e 20 min.
e) 2h e 40 min.
7. Ao	longo	da	preparação	para	o	concurso	do	Banco	do	Brasil,	um	aluno	percebeu	que	acertava	7	
questões	,	ao	longo	de	42	minutos	de	estudo	.
Caso	sua	velocidade	de	estudo	caia	pela	metade	e	mantendo	a	taxa	de	acertos,	o	numero	de	
questões	que	acertará	ao	longo	de	1	hora	de	estudo	é	de.
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 12
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Divisão proporcional
Podemos	 definir	 uma	 DIVISÃO	 PROPORCIONAL	 como	 uma	 forma	 de	 divisão	 na	 qual	 se	
determinam	 valores	 que,	 divididos	 por	 quocientes	 previamente	 determinados,	 mantêm-se	
uma	razão	constante	(que	não	tem	variação).
Caso 1: Dividir em partes diretamente proporcionais à valores inteiros.
EXEMPLO:	 Vamos	 imaginar	 que	 temos	 120	bombons	 para	 distribuir	 em	partes	 diretamente	
proporcionais	a	3,	4	e	5,	entre	os	professores	Zambeli,	Tati	e	Ed,	respectivamente:
Num total de 120 bombons, k representa a quantidade de bombons que cada um receberá. 
Zamba – k k k = 3k
Tati – k k k k = 4k
Ed – k k k k k = 5k
Se Z + T + E = 120 então 3k + 4k + 5k = 120
3k	+	4k	+	5k	=	120	logo	12k	=	120	e	assim	k	=	10
Entendam	esse	k	como	um	“pacote”	de	bombons,	contendo	10	unidades.
Zambeli receberá 3.10 = 30
Tati receberá 4.10 = 40
Ed receberá 5.10 = 50
Caso 2: Dividir em partes diretamente proporcionais com algum valor fracionário.
Exemplo:
Dividir	o	número	810	em	partes	diretamente	proporcionais	a	
2 3,
3 4
 e 
5
6
Primeiramente tiramos o mínimo múltiplocomum entre os denominadores 3, 4 e 6.
Depois de feito o denominador e encontrado frações equivalentes	 a	
2 3,
3 4 e 
5
6 com 
denominador	12	trabalharemos	apenas	com	os	numeradores	ignorando o denominador, pois 
como ele é comum nas três frações, não precisamos trabalhar com ele mais.
Podemos então dizer que: Por fim multiplicamos,
8K	+	9K	+	10K	=	810	 	 	 	 8.30	=	240
27K	=	810	 	 	 	 	 	 9.30	=	270
K = 30. 10.30 = 300
 240, 270 e 300.
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Caso 3: Dividir em partes inversamente proporcionais.
Exemplo:
Dividir	o	número	305	em	partes inversamente proporcionais a 3
8
 , 5 e 5
6
 .
O	que	muda	quando	diz	inversamente	proporcional?	Simplesmente	invertemos	as	frações	pelas	
suas	inversas.
3
8
→
8
3
 5 →
1
5
Depois disto, usamos o mesmo método de cálculo do caso 2.
5
6 →
6
5
 
8 1 6 40 3 18
3 5 5 15 15 15
=
Ignoramos	o	denominador	e	trabalhamos	apenas	com	os	numeradores.	Daí	basta	interpreter	e	
introduzir a constant k de porporcionalidade.
40K	+	3K	+	18K	=	305	logo	61K	=	305	e	assim	K	=	5
Por fim,
40 . 5 = 200
3 . 5 = 15
18	.	5	=	90
200,	15	e	90
Caso 4: Dividir em partes simultâneas.
Dividir	o	R$	118	em	partes	simultaneamente	proporcionais	a	2,	5,	9	e	6,	4	e	3.
Como a razão é direta, basta multiplicarmos suas proporcionalidades na ordem em que foram 
apresentadas em ambas.
2 × 6 = 12
5 × 4 = 20
9	×	3	=	27	 	 	 	 logo,	12K	+	20K	+	27K	=
	 	 	 	 	 118	à	59K	=	118	daí
 K = 2
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Tendo então,
12 . 2 = 24
20 . 2 = 40 24, 40 e 54.
27 . 2 = 54
Casos particulares
João,	sozinho,	faz	um	serviço	em	10	dias.	Paulo,	sozinho,	faz	o	mesmo	serviço	em	15	dias.	Em	
quanto	tempo	fariam	juntos	esse	serviço?
Primeiramente, temos que padronizar o trabalho de cada um. Neste caso já esta padronizado, 
pois ele fala no trabalho completo, o que poderia ser dito a metade do trabalho feito em um 
certo tempo.
Se	João	faz	o	trabalho	em	10	dias,	isso	significa	que	ele	faz	 1
10
 do trabalho por dia.
Na	mesma	lógica,	Paulo	faz	
1
15
 do trabalho por dia.
Juntos o rendimento diário é de 
1 1 3 2 5 1
10 15 30 30 30 6
+ = + = =
Se em um dia eles fazem 
1
6
 do trabalho em 6 dias os dois juntos completam o trabalho.
Sempre	que	as	capacidades	forem	diferentes,	mas	o	serviço	a	ser	feito	for	o	mesmo,	
seguimos	a	seguinte	regra:		
8. O	professor	Dudan	gastou	10h	para	digitar	sozinho	o	livro	de	RLM.	O	professor	Zambeli	gastaria	
para	digitar	esse	mesmo	livro,	15	horas.	Sendo	assim	,	se	digitassem	juntos	,	o	tempo	que	eles	
terminariam	esse	livro	seria	de	.
a) 10h
b) 12,5h
c) 8h
d) 6h
e) 5h
Gabarito: 1.	D 2. C 3. B 4. A 5. C 6. A 7. C 8. D
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PORCENTAGEM
Agora chegou a hora da verdade!
Hora de aplicar tudo o que foi visto e fazer a base para trabalhar com a Matemática Financeira.
Hora de usar a Porcentagem nossa de cada dia e surpreender a banca.
Hoje é dia de maldade, maldade percentual. Vamos gabaritar a prova!!
DEFINIÇÃO:	A	percentagem	ou	porcentagem	(do	 latim per centum,	significando	“por	cento”,	
“a	cada	centena”)	é	uma	medida	de	razão	com	base	100	(cem).	É	um	modo	de	expressar	uma	
proporção	ou	uma	relação	entre	2	(dois)	valores	(um	é	a	parte	e	o	outro	é	o	inteiro)	a	partir	de	
uma fração	cujo	denominador	é	100	(cem),	ou	seja,	é	dividir	um	número	por	100	(cem).
Sendo assim:
X	%	=	X/100	e	vice-versa,	ou	seja,	toda	porcentagem	é	uma	fração	de	denominador	100	e	toda	
fração	de	denominador	100	representa	uma	porcentagem.
Taxa Unitária
Quando	 pegamos	 uma	 taxa	 de	 juros	 e	dividimos	 o	 seu	 valor	 por	100, encontramos a taxa 
unitária.
A	taxa	unitária	é	importante	para	nos	auxiliar	a	desenvolver	todos	os	cálculos	em	matemática	
financeira.
Pense	na	expressão	20%	(vinte	por cento),	ou	seja,	essa	taxa	pode	ser	representada	por	uma	
fração	cujo	numerador	é	igual	a	20	e	o	denominador	é	igual	a	100.
Como Fazer
10% =
10
100
= 0,10
20% = 20
100
= 0,20
5% = 
5
100
= 0,05
38% = 38
100
= 0,38 
MÓDULO 5
Dica
A	 porcentagem	 vem	 sempre	
associada a um elemento, portanto, 
sempre multiplicado a ele.
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1,5% = 
1,5
100
= 0, 015
230% = 
230
100
 = 2,3
 • É muito importante sabermos calcular os valores básicos de 1% e 10%.
 • 1%: basta movimentar a vírgula duas casas para a esquerda.
 Ex: 1% de 170 = 1,7  1% de 354 = 3,54  1% de 456,7 = 4,567
 • 10%: basta movimentar a vírgula uma casa para a esquerda.
 Ex: 10% de 170 = 17,0  10% de 354 = 35,4  10% de 456,7 = 45,67
Calcule:
a) 20% de 350
b) 30% de 430
c) 40% de 640
d) 75% de 200
e) 215% de 150
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Raciocínio Lógico Matemático – Prof. Dudan
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Faça você
1. Um	cliente	investiu	em	ações	da	empresa	X.	O	valor	total	dessas	ações	(todas	de	mesmo	valor	)	
,	na	compra	,	foi	de	R$	17.000,00	e	na	venda,	R$	20.400,00.Assim	podemos	afirmar	que	o	ganho	
percentual do cliente foi de
a) 30%
b) 50%
c) 10%
d) 20%
e) 15%
2. No	concurso	público	para	o	Banco	do	Brasil	 ,	40%	dos	candidatos	gostavam	de	RLM.	Dentre	
esses	candidatos,	20%	adoravam	o	assunto	Frações.	Do	total	dos	candidatos,	a	porcentagem	
dos que adoram Fraçoes é .
a) 60%
b) 20%
c) 10%
d) 8 %
e) 3 %
3. Uma	certa	tarifa	bancária	era	de	R$	32,50	e	sofreu	um	aumento,	passando	a	custar		R$	41,34.	O	
percentual de aumento da mercadoria foi de:
a) 1,0%
b) 10,0%
c) 27,2%
d) 38,0%
e) 40,84%
4. Em	 uma	 turma	 do	 GG	 Concursos,	 formada	 de	 45	 rapazes	 e	 52	 moças,	 tem-se	 a	 seguinte	
estatística:	20%	dos	rapazes	são	fumantes;	50%	das	moças	são	fumantes.	Logo,	a	porcentagem	
dos que não fumam na turma é de aproximadamente:
a) 25%
b) 50%
c) 60%
d) 64%
e) 75%
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5. O	preço	de	um	bem	de	consumo	é	R$	100,00.	Um	comerciante	tem	um	lucro	de	32%	sobre	o	
preço	de	custo	desse	bem.	O	valor	do	preço	de	custo,	em	reais,	é	de	aproximadamente:
a) 25,00
b) 70,50
c) 76,00
d) 80,00
e) 125,00
6. Um	funcionário	recebeu	um	aumento	de	18%	e	com	isso	seu	salário	chegou	a	R$	1545,80.	O	
salário	dele	antes	do	aumento	era	igual	a?
a) R$	1.188,00
b) R$	1.200,00
c) R$	1.220,00
d) R$	1.310,00
e) R$	1.452,00
Gabarito: 1. D 2. D 3. C 4. D 5. C 6. D
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EQUAÇÕES E PROBLEMAS DE 1º GRAU
DEFINIÇÃO
A	equação	de	1º	grau	é	a	equação	na	forma	ax	+	b	=	0,	onde	a	e	b	são	números	reais	e	x	é	a	
variável	(incógnita).	O	valor	da	incógnita	x	é	.
Exemplo
Resolva	as	equações:
a) 5x – 20 = 0 
b) 4x +15 = - x
c) 
d) 
MÓDULO 6
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1. Dois	funcionários	do	GG	farão	conjuntamente	o	cadastramento	dos	novos	clientes.	Se	um	deles	
cadastrar 2/5 dos clientes e o outro os 81 clientes restantes, o total de clientes cadastrados é 
de:
a) 125.
b) 135.
c) 142.
d) 145.
e) 160.
2. Um	fundo	de	investimentos,	após	uma	queda,	perdeu	1/10	de	seu	valor	e	este	ficou	com	R$	
36.000,00	de	saldo.	Nestas	condições,	o	valor	do	fundo	antes	da	queda	era	igual	a:
a) 44.000,00
b) 42.000,00
c) 40.000,00
d) 38.000,00
e) 32.000,00
3. Do	salário	que	recebe	mensalmente,	um	professor	gasta	5/8	e	guarda	o	restante,	R$1650,00,	
em caderneta de poupança. O salário mensal desse professor, em reais, é:
a) R$	4400,00
b) R$	1976,00
c) R$	3804,00
d) R$	2640,00
e) R$	2800,00
4. Um	aluno	aprovado	em	concurso	quando	foi	nomeado	,gastou	1/3	do	seu	primeiro	salário	e	
depois	gastou		1/4	do	restante	ficando	com	R$	1200,00	apenas.	Esse	salário	é	de
a) R$	4800,00
b) R$	4200,00
c) R$	3600,00
d) R$	2400,00
e) R$	2000,00
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Raciocínio Lógico Matemático – Prof. Dudan
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5. A idade do professor Dudan daqui a 12 anos sera o dobro da idade que ele tinha há 18 anos. 
Sendo assim a idade atual do professor é de. 
a) 30 anos
b) 36 anos
c) 40 anos
d) 48 anos
e) 50 anos
Gabarito: 1.B 2. C 3. A 4. D 5. D
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