Gabarito Eletromagnetismo

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1. Questão 
Vetores, objetos criados para a representação de grandezas que necessitam de 
direção e sentido além do seu valor. Podem ser definidos por pontos em um 
plano, ou espaço, cartesiano. 
Sabendo disso, qual das alternativas a seguir representa o vetor entre os pontos: 
𝐴(1, 2, 3) e 𝐵(−1, −2, 3). 
(a) 𝑪 = 𝟐𝒄𝒙 + 𝟒𝒄𝒚 − 𝟒𝒄𝒛 
(b) 𝑪 = 𝟒𝒄𝒚 − 𝟒𝒄𝒛 
(c) 𝑪 = −𝟐𝒄𝒙 − 𝟒𝒄𝒚 
(d) 𝑪 = −𝟒𝒄𝒙 − 𝟒𝒄𝒚 + 𝒄𝒛 
(e) 𝑪 = 𝟐𝒄𝒙 + 𝟒𝒄𝒛 
Solução: Resposta certa, letra C 
O vetor 𝑪, ligando os pontos 𝐴 e 𝐵 pode ser determinado pela computação da 
distância entre os vértices. Observe que o enunciado citou o sistema de 
coordenadas cartesianas desta forma: 
𝑪𝑨𝑩 = (𝒃𝒙 − 𝒂𝒙)𝒄𝒙 + (𝒃𝒚 − 𝒂𝒚)𝒄𝒚 + (𝒃𝒛 − 𝒂𝒛)𝒄𝒛 
𝑪𝑨𝑩 = (−𝟏 − (𝟏))𝒄𝒙 + (−𝟐 − (𝟐))𝒄𝒚 + (𝟑 − 𝟑)𝒄𝒛 
𝑪𝑨𝑩 = −𝟐𝒄𝒙 − 𝟒𝒄𝒚 
2. Questão 
Os sistemas de coordenadas e métricos servem para que os estudantes e 
pesquisadores possam usar as mesmas referências e terem as mesmas 
interpretações de equações, cálculos e medidas. Mas, no estudo puro e simples 
das equações vetoriais, eles são dispensáveis. 
Considere, por exemplo um sistema onde as distâncias sejam medidas apenas 
por unidades de medida, sem a definição de unidades. Neste sistema temos dois 
vetores. Um que parte da origem até o ponto 𝐴 dado por (6, -2, -4) e um vetor 
unitário 𝒃, a partir da origem e apontando a direção do ponto 𝐵, dado por 
1
3
(2, −2, 1). Se os pontos 𝐴 e 𝐵 estão separados por 10 unidades de medida, 
marque a opção que indica corretamente as coordenadas do ponto 𝐵. 
(a) 𝑩 = 𝟕, 𝟖𝟑𝒂𝒙 − 𝟕, 𝟖𝟑𝒂𝒚 + 𝟑, 𝟗𝟐𝒂𝒛 
(b) 𝑩 = 𝟑, 𝟗𝟐𝒂𝒙 − 𝟕, 𝟖𝟑𝒂𝒚 + 𝟑, 𝟗𝟐𝒂𝒛 
(c) 𝑩 = 𝟒𝒂𝒙 + 𝟏𝟏𝒂𝒚 + 𝟒𝒂𝒛 
(d) 𝑩 = 𝟔, 𝟒𝟑𝒂𝒙 − 𝟔, 𝟒𝟑𝒂𝒚 + 𝟐, 𝟏𝟐𝒂𝒛 
(e) 𝑩 = 𝟖, 𝟓𝟔𝒂𝒙 − 𝟖, 𝟓𝟔𝒂𝒚 + 𝟖, 𝟓𝟔𝒂𝒛 
Solução: Resposta certa letra A 
O enunciado especifica que 𝑨 = (6, −2, −4) . Podemos usar a definição de vetor 
unitário: 
𝒂 = 
𝑨
|𝑨|
=
𝑨
√𝑖2 + 𝑗2 + 𝑘2
=
1
√𝑖2 + 𝑗2 + 𝑘2
𝑨 
Substituindo os dados fornecidos pelo enunciado chegamos e equação do vetor 
unitário de B: 𝒃 =
1
3
𝑩(2, −2, 1) expandindo o que sabemos de 𝐵, teremos: 
𝒃 =
2𝑩
3
𝒂𝑥 −
2𝑩
3
𝒂𝑦 +
𝑩
3
𝒂𝑧 
𝒂 = 6𝒂𝑥 − 2𝒂𝑦 − 4𝒂𝑧 
O enunciado também especifica que a distância entre estes dois pontos é de 10 
unidades. Sabemos que a distância entre dois pontos é dada pelo módulo do 
vetor que liga estes pontos então |𝐵 − 𝐴| = |𝐴 − 𝐵| = 10. Tudo que precisamos 
fazer é calcular este módulo. 
|(6 −
2𝐵
3
) 𝑎𝑥 + [−2 − (−
2𝐵
3
)] 𝑎𝑦 + [(−4) −
1𝐵
3
]𝑎𝑧| = 10 
|(6 −
2𝐵
3
) 𝑎𝑥 + (−2 +
2𝐵
3
)𝑎𝑦 + [(−4) −
1𝐵
3
]𝑎𝑧| = 10 
√(6 −
2𝐵
3
)
2
+ (−2 +
2𝐵
3
)
2
+ [(−4) −
1𝐵
3
]
2
= 10 
(6 −
2𝐵
3
)
2
+ (−2 +
2𝐵
3
)
2
+ [(−4) −
1𝐵
3
]
2
= 100 
[62 + (2.6. −
2𝐵
3
) + (
2𝐵
3
)
2
] + [−22 + (2. −2.
2𝐵
3
) + (
2𝐵
3
)
2
] + [−42 + (2. −4. −
1𝐵
3
) +
1𝐵
3
2
] = 100 
36 − 8𝐵 +
4𝐵2
9
+ 4 −
8𝐵
3
+
4𝐵2
9
+ 16 +
8𝐵
3
+
𝐵2
9
= 100 
56 + 8𝐵 + 𝐵2 = 100 
𝐵2 − 8𝐵 − 44 = 0 
Resolvendo a equação do segundo grau temos: 𝐵′ = −3,7460 𝑒 𝐵" = 11,746 
com não existe módulo negativo temos: 𝐵 = 11,746 logo o vetor 𝑩 será: 
𝑩 =
2
3
(11,746)𝒂𝑥 −
2
3
(11,746)𝒂𝑦 +
1
3
(11,746)𝒂𝑧 
𝑩 = 𝟕, 𝟖𝟑𝒂𝒙 − 𝟕, 𝟖𝟑𝒂𝒚 + 𝟑, 𝟗𝟐𝒂𝒛 
 
3. Questão 
O cálculo de vetores unitários permite a determinação de um vetor com a mesma 
direção e sentido de um outro vetor qualquer. Esta ferramenta é utilizada para 
separar o módulo, ou amplitude, da direção e sentido de um vetor e simplifica as 
operações com grandezas vetoriais. 
Sabendo disso, você precisa encontrar a direção e o sentido do vetor 𝑪 resultante 
da operação entre os vetores 𝑴 = −10𝒂𝑥 + 4𝒂𝑦 − 8𝒂𝑧 e 𝑵 = 8𝒂𝑥 + 7𝒂𝑦 − 2𝒂𝑧. 
Sabendo que a operação necessária pode ser representada por −𝑴 + 2𝑵, qual 
das respostas a seguir contém o vetor unitário desejado? 
(a) 𝑪 = 0,36𝒂𝑥 + 𝒂𝑦 + 0,56𝒂𝑧 
(b) 𝑪 = 0,45𝒂𝑦 + 0,84𝒂𝑧 
(c) 𝑪 = 9,12𝒂𝑥 + 5,37𝒂𝑦 + 2,08𝒂𝑧 
(d) 𝑪 = 0,92𝒂𝑥 + 0,36𝒂𝑦 + 0,14𝒂𝑧 
(e) 𝑪 = 𝒂𝑥 + 0,5𝒂𝑦 
Solução: Letra d 
Realizando a operação desejada encontramos os fatores de 𝑪 
𝑪 = −𝑴 + 2𝑵 = −(−10𝒂𝑥 + 4𝒂𝑦 − 8𝒂𝑧) + 2(8𝒂𝑥 + 7𝒂𝑦 − 2𝒂𝑧) 
𝑪 = 10𝒂𝑥 − 4𝒂𝑦 + 8𝒂𝑧 + 16𝒂𝑥 + 14𝒂𝑦 − 4𝒂𝑧 
𝑪 = 26𝒂𝑥 + 10𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧 ∴ 𝑪(26,10,4) 
Com isso podemos calcular o vetor unitário de 𝑪: 
𝑐 =
26𝒂𝑥 + 10𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧
√262 + 102 + 42
=
26𝒂𝑥 + 10𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧
28,1425
 
𝐶 = 0,92𝒂𝑥 + 0,36𝒂𝑦 + 0,14𝒂𝑧 
4. Questão 
Considerando o vetor expresso por: −𝑎𝑥 − 5𝑎𝑦 − 𝑎𝑧 e usando o produto escalar, 
encontre o ângulo que este vetor, em um espaço cartesianos de três dimensões 
faz com o eixo 𝑧. 
a) 𝜃 = 101,10° 
b) 𝜃 = 69,5° 
c) 𝜃 = 98,10° 
d) 𝜃 = 47,34° 
e) 𝜃 = 110,20° 
Solução: a resposta certa é a letra a 
Geometricamente, o produto escalar é dado por: 
𝑨 ∙ 𝑩 = |𝑨||𝑩|𝑐𝑜𝑠𝜃 
Onde 𝜽 é o ângulo formado entre os dois vetores. A partir da definição 
geométrica podemos determinar uma fórmula para o cálculo do ângulo 𝜽: 
𝜽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑨 ∙ 𝑩
|𝑨||𝑩|
) 
Logo teremos que calcular o módulo do vetor dado: 
𝑨 = −𝑎𝑥 − 5𝑎𝑦 − 𝑎𝑧 = √1
2 + 52 + 12 = √27 
O vetor que representa o eixo 𝑧 é 𝒂𝑧 e seu módulo é 1. Sendo assim: 
𝜽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
(−𝑎𝑥 − 5𝑎𝑦 − 𝑎𝑧) ∙ 𝑎𝑧
√27
) = 𝑐𝑜𝑠−1 ( −
1
√27
) 
𝜽 = 𝟏𝟎𝟏, 𝟏𝟎° 
5. Questão 
Dados os vetores 𝑨 = 𝒂𝑥+𝒂𝑦, 𝑩 = 𝒂𝑥 + 2𝒂𝑧 e 𝑪 = 2𝒂𝑦 + 𝒂𝑧 , qual das opções a 
seguir representa a desigualdade: (𝑨 × 𝑩) × 𝑪 ≠ 𝑨 × (𝑩 × 𝑪). 
(a) 𝒂𝑥−2𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧 ≠ 𝒂𝑥 − 2𝒂𝑦 − 3𝒂𝑧 
(b) 4𝒂𝑧 ≠ − 2𝒂𝑦 − 5𝒂𝑧 
(c) −2𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧 ≠ 2𝒂𝑥 − 2𝒂𝑦 − 3𝒂𝑧 
(d) 𝒂𝑦 + 2𝒂𝑧 ≠ − 𝒂𝑦 − 𝒂𝑧 
(e) 2𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧 ≠ 2𝒂𝑥 − 2𝒂𝑦 − 3𝒂𝑧 
Solução: a resposta correta é a letra c. 
Para provar que o produto vetorial não é associativo teremos que fazer os quatro 
produtos vetoriais, a saber: 
(𝑨 × 𝑩) 
(𝑨 × 𝑩) × 𝑪 
(𝑩 × 𝑪) 
𝑨 × (𝑩 × 𝑪) 
E comparar os resultados. 
Calculando (𝑨 × 𝑩): 
𝑨 × 𝑩 = |
𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧
1 1 0
1 0 2
| = |
1 0
0 2
| 𝒂𝑥 − |
1 0
1 2
| 𝒂𝑦 + |
1 1
1 0
| 𝒂𝑧 
 
𝑨 × 𝑩 = [(1)(2) − (0)(0)]𝒂𝑥 
− [(1)(2) − (0)(1)]𝒂𝑦 
+[(1)(1) − (1)(0)]𝒂𝑧 
 
𝑨 × 𝑩 = 2𝒂𝑥 − 2𝒂𝑦 − 𝒂𝑧 
Calculando (𝑨 × 𝑩) × 𝑪: 
(𝑨 × 𝑩) × 𝑪 = |
𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧
2 −2 −1
0 2 1
| = |
−2 −1
2 1
| 𝒂𝑥 − |
2 −1
0 1
| 𝒂𝑦 + |
−2 −2
0 −2
| 𝒂𝑧 
(𝑨 × 𝑩) × 𝑪 = [(−2)(1) − (−1)(2)]𝒂𝑥 
− [(2)(1) − (−1)(0)]𝒂𝑦 
+[(−2)(−2) − (−2)(0)]𝒂𝑧 
 
(𝑨 × 𝑩) × 𝑪 = −2𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧 
Calculando (𝑩 × 𝑪): 
𝑩 × 𝑪 = |
𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧
1 0 2
0 2 1
| = |
0 2
2 1
| 𝒂𝑥 − |
1 2
0 1
| 𝒂𝑦 + |
1 0
0 2
| 𝒂𝑧 
(𝑩 × 𝑪) = [(0)(1) − (2)(2)]𝒂𝑥 
− [(1)(1) − (2)(0)]𝒂𝑦 
+[(1)(2) − (0)(0)]𝒂𝑧 
 
(𝑩 × 𝑪) = −4𝒂𝑥 − 𝒂𝑦 + 2𝒂𝑧 
Calculando 𝑨 × (𝑩 × 𝑪) 
𝑨 × (𝑩 × 𝑪) = |
𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧
1 1 0
−4 −1 2
| = |
1 0
−1 2
| 𝒂𝑥 − |
1 0
−4 2
| 𝒂𝑦 + |
1 1
−4 −1
| 𝒂𝑧 
𝑨 × (𝑩 × 𝑪) = [(1)(2) − (0)(−1)]𝒂𝑥 
− [(1)(2) − (0)(−4)]𝒂𝑦 
+[(1)(−1) − (1)(−4)]𝒂𝑧 
𝑨 × (𝑩 × 𝑪) = 2𝒂𝑥 − 2𝒂𝑦 − 3𝒂𝑧 
Então (𝑨 × 𝑩) × 𝑪 ≠ 𝑨 × (𝑩 × 𝑪) ⟹ −2𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧 ≠ 2𝒂𝑥 − 2𝒂𝑦 − 3𝒂𝑧 
6. Questão 
Dados os pontos: 𝑀(0.1 , −0.2 , −0.1), 𝑁(−0.2 , 0.1 , 0.3) e 𝑃(0.4 , 0, 0.1) indique a 
opção que contém: o produto escalar 𝑹𝑀𝑁 ∙ 𝑹𝑀𝑃 e o ângulo entre 𝑹𝑀𝑁 𝑒 𝑹𝑀𝑃. 
Observe que na especificação dos vetores foi utilizado o caractere ponto como 
separador decimal para não confundir com as vírgulas usadas para separação 
das coordenadas. 
(a) 0,04 e 65º 
(b) 0,05 e 78º 
(c) 0,03 e 67º 
(d) 0,06 e 88º 
(e) 0,05 e 45º 
Solução: a resposta certa é a letra b. 
Utilizando o caractere ponto como separador decimal para não confundir com as 
vírgulas usadas para separação das coordenadas. Para calcular o produto 
escalar 𝑹𝑀𝑁 ∙ 𝑹𝑀𝑃 precisamos, primeiro calcular 𝑹𝑀𝑁 e 𝑹𝑀𝑃: 
𝑹𝑀𝑁 = (−0.2 , 0.1, 0.3) − (0.1,−0.2 , −0.1) = (−0.3 , 0.3, 0.4) 
𝑹𝑀𝑃 = (0.4, 0, 0.1) − (0.1, −0.2 , −0.1) = (0.3, −0.2, −0.2) 
Sendo assim, o produto escalar 𝑹𝑀𝑁 ∙ 𝑹𝑀𝑃 é dado por: 
𝑹𝑀𝑁 ∙ 𝑹𝑀𝑃 = (−0.3 , 0.3, 0.4) ∙ (0.3, 0.2, 0.2) = −0.09 + 0.06 + 0.08 = 0.05 
Por sua vez, o ângulo θ entre 𝑹𝑀𝑁 e 𝑹𝑀𝑃 pode ser calculado por: 
θ = 𝑐𝑜𝑠−1
𝑹𝑀𝑁 ∙ 𝑹𝑀𝑃
|𝑹𝑀𝑁||𝑹𝑀𝑃|
= 𝑐𝑜𝑠−1
0.05
√0.32 + 0.32 + 0.42√0.32 + 0.22 + 0.22
 
θ = 𝑐𝑜𝑠−1
0,05
√0.32 + 0.32 + 0.42√0.32 + 0.22 + 0.22
= 𝑐𝑜𝑠−1
0,05
√0.34√0.17
= 77.96º 
 
7. Questão 
Cinco cargas 𝑄 de igual valor estão arrumadas no 
espaço de acordo com o pentágono apresentado na 
figura ao lado. Qual o campo 𝐸 resultante no ponto 
𝑃, exatamente no centro do pentágono: 
a) Zero; 
b) 5Q; 
c) Diferente de zero; 
d) Diferente de 5Q; 
e) Faltam dados para o cálculo. 
Solução: a resposta correta é a letra a 
 As cargas estão simetricamente 
distribuídas, Os campos se anularão. 
 
8. Questão 
A Lei de Coulomb, publicada pela primeira vez em 1783 pelo físico francês 
Charles Augustin de Coulomb, permite calcular a força exercida por uma 
partícula carregada sobre uma carga de prova. Considerando a existência de 
duas 
Cargas pontuais de 1𝑛𝐶 e −2𝑛𝐶 estão localizadas no vácuo, respectivamente 
em (0, 0, 0) e (1, 1, 1, ). Qual das opções a seguir indica a força que atua em cada 
carga, 
(a) 𝑭𝟏𝟐 = 
6
√3 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧) 𝑛𝑁 
(b) 𝑭𝟏𝟐 = 
−6
√3 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧) 𝑛𝑁 
(c) 𝑭𝟏𝟐 = 
6
√2 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧) 𝑛𝑁 
(d) 𝑭𝟏𝟐 = 
−6
√2 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧) 𝑛𝑁 
Q 
Q 
Q Q 
Q 
P 
(e) 𝑭𝟏𝟐 = 0,5(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧) 𝑛𝑁 
Solução: a resposta correta é a letra b. 
𝑅12 = (1 − (0))𝑎𝑥 + (1 − 0)𝑎𝑦 + ((1) − 0)𝑎𝑦 
𝑅12 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑦 ⟹ |𝑅12| = √3 
𝑭𝟏𝟐 = 
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖𝑅2
1
√3 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧) 
𝑭𝟏𝟐 = 
(1 × 10−9)(−2 × 10−9)
4𝜋
10−9
36𝑝𝑖 (√3)
2
1
√3 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧) 
𝑭𝟏𝟐 = 
−2 × 10−18
10−9
3 
1
√3 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧) 
𝑭𝟏𝟐 = 
−6 × 10−9
√3 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧) 
𝑭𝟏𝟐 = 
−6
√3 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧) 𝑛𝑁 
9. Questão 
A Lei de Coulomb, publicada pela primeira vez em 1783 pelo físico francês 
Charles Augustin de Coulomb, permite calcular a força exercida por uma 
partícula carregada sobre uma carga de prova. Considerando a existência de 
duas. Cargas pontuais de 1𝑛𝐶 e −2𝑛𝐶 estão localizadas no vácuo, 
respectivamente em (0, 0, 0) e (2, 2, 2). Qual a força que atua em cada carga? 
a) 𝑭𝟏𝟐 = 0,866 × 10
−9(𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒂𝒚) 
b) 𝑭𝟏𝟐 = 0,966 × 10
−9(𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒂𝒚) 
c) 𝑭𝟏𝟐 = 0,766 × 10
−9(𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒂𝒚) 
d) 𝑭𝟏𝟐 = 0,666 × 10
−9(𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒂𝒚) 
e) 𝑭𝟏𝟐 = 1,766 × 10
−9(𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒂𝒚) 
Solução: A resposta correta é a letra A 
A força que atua na carga 1 devida a carga 2 é igual a força que atua na carga 
2 devido a carga um então tanto faz qual das forças calcularemos: 
𝑅12 = (2 − (0))𝑎𝑥 + (2 − 0)𝑎𝑦 + ((2) − 0)𝑎𝑦 
𝑅12 = 2𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦 + 2𝑎𝑦 ⟹ |𝑅12| = √12 = 2√3 
𝑭𝟏𝟐 = 
(1 × 10−9)(−2 × 10−9)
4𝜋
10−9
36𝜋 (2√3)
2
2
2√3 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑦) 
 
𝑭𝟏𝟐 = 
(−2 × 10−18)
12 × 10−9
9 
1
√3 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑦) 
𝑭𝟏𝟐 = 
(−18 × 10−18)
12 × 10−9
1
√3 
(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑦) 
𝑭𝟏𝟐 = 
(−18)
12√3
× 10−9(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑦) 
𝑭𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 × 𝟏𝟎
−𝟗(𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒂𝒚) 
10. Questão 
Como a equação da força devida a existência de uma carga elétrica e linear, 
podemos utilizar o princípio da superposição para encontrar a força devida a um 
conjunto de cargas pontuais espalhadas pelo espaço. Considere uma carga 
pontual 𝑄1 = 35 𝑛𝐶 localizada no ponto 𝑃1(4, −2, 7) e a carga 𝑄2 = 60 𝑛𝐶 no 
ponto 𝑃2(3, 4, −2) ambas no vácuo. Determine a intensidade do campo elétrico 
no ponto 𝑃3(1, 2, 3). 
a) 𝑬 = 11,085 N/C 
b) 𝑬 = 12,184 N/C 
c) 𝑬 = 13,283 N/C 
d) 𝑬 = 14,382 N/C 
e) 𝑬 = 15,481 N/C 
 
Solução: a resposta correta é a letra c 
Se utilizarmos os vetores posição destas cargas e os conceitos de simetria, a 
intensidade do campo elétrico no ponto𝑃3(1, 2, 3), será dada pela soma vetorial 
dos campos elétricos devidos a cada carga: 
𝑬 = 
𝑄1
4𝜋𝜖0 |𝑅13|2
𝑹13 +
𝑄2
4𝜋𝜖0|𝑅23|2
𝑹23 
𝑬 = 
35 × 10−9
4𝜋𝜖0 |𝑅13|2
𝑹13 +
60 × 10−9
4𝜋𝜖0|𝑅23|2
𝑹23 
Agora precisamos lembrar que o vetor unitário será dado pelo vetor 
dividido por seu módulo. Sendo assim: 
𝑬 = 
35 × 10−9
4𝜋𝜖0|𝑅13|2
𝑹13
|𝑅13|
 +
60 × 10−9
4𝜋𝜖0|𝑅23|2
 𝑹23
|𝑅23|
 
Colocando em evidência o que é comum e simplificando, ficamos com: 
𝑬 = 
10−9
4𝜋𝜖0
[
35𝑹13
|𝑹13|3
+
60𝑹23
|𝑹23|3
] 
Sendo assim, o primeiro passo é calcular estes dois vetores unitários: 
𝑹13 = (1 − 4)𝑎𝑥 + (2 − (−2))𝑎𝑦 + (3 − 7)𝑎𝑧 
𝑹13 = −3𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 − 4𝑎𝑧 ∴ |𝑹13| = √32 + 42 + 42 = √41 
𝑹23 = (1 − (3))𝑎𝑥 + (2 − 4)𝑎𝑦 + (3 − (−2))𝑎𝑧 
𝑹23 = −2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧 ∴ |𝑹23| = √22 + 22 + 52 = √33 
Desta forma, a intensidade do campo em 𝑃2 será dada por: 
𝑬 = 
10−9
4𝜋
10−9
36𝜋
[
35(−3𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 − 4𝑎𝑧)
|√41|
3 +
60(−2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧)
|√33|
3 ] 
𝑬 = 9 [
35(−3𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 − 4𝑎𝑧)
|41|
3
2
+
60(−2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧)
|33|
3
2
] 
A soma vetorial dos campos elétricos resulta em: 
𝑬 = −9,298𝑎𝑥 − 0,898𝑎𝑦 + 9,443𝑎𝑧 
Logo, a intensidade será dada pelo módulo deste vetor ou: 
𝑬 = 𝟏𝟑, 𝟐𝟖𝟑 𝐍/𝐂 
11. Questão 
Considere duas cargas 𝑄1 = 2 𝜇𝐶 𝑒 𝑄2 = 3 𝜇𝐶 localizadas nos pontos 
(0, 0 ,0) 𝑒 (−1, 2 3), respectivamente, e determine a intensidade do campo 
elétrico 𝐸 no ponto 𝑃(3, −4, 2) 
(a) 𝑬𝒓 = 623,7𝒂𝑥 − 879,9𝒂𝑦 + 160,2𝒂𝑧 𝑉/𝑚 
(b) 𝑬𝒓 = 548,5𝒂𝑥 − 119,2𝒂𝑦 + 360,2𝒂𝑧 𝑉/𝑚 
(c) 𝑬𝒓 = 856,7𝒂𝑥 − 741,8𝒂𝑦 + 258,9𝒂𝑧 𝑉/𝑚 
(d) 𝑬𝒓 = −548,5𝒂𝑥 + 119,2𝒂𝑦 − 360,2𝒂𝑧 𝑉/𝑚 
(e) 𝑬𝒓 = −623,7𝒂𝑥 + 879,9𝒂𝑦 − 160,2𝒂𝑧 𝑉/𝑚 
Solução: a resposta correta é a letra a. 
Primeiro precisamos determinar os vetores unitários e seus módulos: 
𝑟 − 𝑟1 = 3𝒂𝑥 − 4𝒂𝑦 + 2𝒂𝑧 ∴ |𝑟 − 𝑟1| = √29 
𝑟 − 𝑟2 = 4𝒂𝑥 − 6𝒂𝑦 − 𝒂𝑧 ∴ |𝑟 − 𝑟1| = √53 
𝑬𝒓 = 
𝑄1
4𝜋𝜖0|𝑟 − 𝑟1|2
𝒂1 +
𝑄2
4𝜋𝜖0|𝑟 − 𝑟2|2
𝒂2 
𝑬𝒓 = 
𝑄1(𝑟 − 𝑟1)
4𝜋𝜖0|𝑟 − 𝑟1|3
+
𝑄2(𝑟 − 𝑟2)
4𝜋𝜖0|𝑟 − 𝑟2|3
 
𝑬𝒓 =
1
4𝜋𝜖0
{
𝑄1(𝑟 − 𝑟1)
|𝑟 − 𝑟1|3
+
𝑄2(𝑟 − 𝑟2)
|𝑟 − 𝑟2|3
} 
𝑬𝒓 =
10−6
4𝜋𝜖0
{
2(3𝒂𝑥 − 4𝒂𝑦 + 2𝒂𝑧)
(√29)
3 +
3(4𝒂𝑥 − 6𝒂𝑦 − 𝒂𝑧)
(√53)
3 } 
𝑬𝒓 = 𝟔𝟐𝟑, 𝟕𝒂𝒙 − 𝟖𝟕𝟗, 𝟗𝒂𝒚 + 𝟏𝟔𝟎, 𝟐𝒂𝒛 𝑽/𝒎 
12. Questão 
Duas cargas pontuais: 𝑄1 = 50 𝜇𝐶 e 𝑄2 = 10 𝜇𝐶 estão localizadas em 
𝑃1(−1, 1, −3)𝑚 e 𝑃2(3, 1, 0)𝑚 encontre o módulo e a direção da força aplicada 
em 𝑄2 
Solução: 
Precisamos, antes de qualquer coisa, encontrar o vetor que liga estas duas 
cargas: 
𝑹21 = ((−1) − 3)𝒂𝑥 + (1 − 1)𝒂𝑦 + ((−3) − 0)𝒂𝑧 
𝑹21 = −4𝒂𝑥 − 3𝒂𝑧 
|𝑹21| = 𝑅21 = √42 + 32 = 5 
Sendo assim, a força sobre 𝑄2 será dada por: 
𝑭 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅21
2 𝒂𝑅12 =
(50 × 10−6)(10 × 10−6)
4𝜋10−9 × 25
36𝜋
𝒂𝑅12 =
500 × 10−12
25 ×
10−9
9
𝒂𝑅12 = 
𝑭 =
500 × 9 × 10−3
25
𝒂𝑅12 = 0,18 𝒂𝑅12 
 O vetor unitário na direção 𝑹21 será dado por: 
𝒂21 =
(−4𝒂𝑥 − 3𝒂𝑧)
√42 + 32
= −0,8𝒂𝑥 − 0,6𝒂𝑧 
Sendo assim: O módulo será: 0,18 𝑁 na direção −0,144𝒂𝑥 − 0,108𝒂𝑧 𝑁 
 
 
13. Questão 
Sobre um filamento retilíneo descrito or 𝑥 = 2 𝑚 𝑒 𝑦 = −4𝑚 existe uma 
distribuição uniforme de carga de densidade 𝜌𝑙 = 20 𝑛𝐶/𝑚. Calcule o campo 
elétrico no ponto 𝑃(−2, −1, 4) (EDMINISTER, 1979, p. 23) 
Solução: 
Trata-se da aplicação direta da equação do campo elétrico devido a distribuição 
linear de cargas: 
𝑬 =
𝜌𝐿
2𝜋𝜖0𝜌
𝒂𝜌 
Observe que o filamento em questão é paralelo 
ao eixo 𝑧 logo o campo resultante não terá 
componentes ao longo deste eixo. Se tomarmos 
um ponto no filamento que seja perpendicular ao 
ponto desejado, mas que esteja sobre o 
filamento de cargas, teremos: 
𝑹 = ((−2) − 2))𝒂𝑥 + ((−1) − (−4))𝒂𝑦 
𝑹 = −4𝒂𝑥 + 3𝒂𝑦 
Cujo módulo será dado por: 
|𝑹| = 𝑅 = √42 + 32 = 5No nosso caso, a distância, por causa do uso das coordenadas cilíndricas, 
quando definimos a fórmula 𝑅 = 𝜌 logo, substituindo na equação teremos: 
 
𝑬 =
𝜌𝐿
2𝜋𝜖0𝜌
𝒂𝜌 =
20 × 10−9
2𝜋𝜖0(5)
−4𝒂𝑥 + 3𝒂𝑦
5
=
20 × 10−9
2𝜋𝜖0(5)2
− 4𝒂𝑥 + 3𝒂𝑦 
𝑬 =
20 × 10−9
2𝜋10−9
36𝜋
(5)2
− 4𝒂𝑥 + 3𝒂𝑦 =
10 × 10−9
25 × 10−9
36
− 4𝒂𝑥 + 3𝒂𝑦 
𝑬 =
10
25
36
− 4𝒂𝑥 + 3𝒂𝑦 =
360
25
− 4𝒂𝑥 + 3𝒂𝑦 = 
𝑬 = −57,6𝒂𝑥 + 43,2𝒂𝑦 
 
14. Questão 
Um plano de cargas definido por 𝑦 = 3 𝑚 contém uma distribuição uniforme de 
cargas com densidade superficial dada por 𝜌𝑆 = (
10−8
6𝜋
) 𝐶/𝑚2. Determine o 
campo 𝑬 em todos os pontos do espaço (EDMINISTER, 1979, p. 24). 
Solução: 
Trata-se da aplicação direta da equação de campo elétrico para placas planas: 
𝑬 =
𝜌𝑠
2𝜖0
 𝒂𝑛 
O campo será normal a placa neste caso, o campo terá a direção do eixo 𝑦 para 
𝑦 > 3 𝑚: 
𝑬 =
(
10−8
6𝜋 )
2 ×
10−9
36𝜋
 𝒂𝑦 =
10−8
6𝜋
36𝜋
2 × 10−9
 𝒂𝑦 =
6 × 10−8
2 × 10−9
𝒂𝑦 = 30𝒂𝑦 𝑉/𝑚 
Para 𝑦 < 3 𝑚: 
𝑬 = −30𝒂𝑦 𝑉/𝑚 
15. Questão 
Calcule o campo elétrico no ponto 𝑃(2, 0, 2) relativo a uma configuração 
envolvendo três distribuições de cargas: uma película plana com distribuição 
uniforme dada por 𝜌𝑆1 = (
1
3𝜋
) 𝑛𝐶/𝑚2, localizada em 𝑥 = 0 𝑚; outra película 
uniforme situada em 𝑥 = 4 𝑚 com densidade uniforme de cargas dada por 𝜌𝑆2 =
 − (
1
3𝜋
) 𝑛𝐶/𝑚2 e um filamento de cargas linear, situado em 𝑥 = 6 𝑚 𝑒 𝑦 =
0 𝑚 com densidade uniforme de carga dada por 𝜌𝑙 = −2 𝑛𝐶/𝑚. 
 
Solução: Como as três distribuições são paralelas 
ao eixo 𝑧 não teremos a componente 𝒂𝑧 para o 
campo 𝑬 resultante. Por simetria, o ponto 
𝑃(2, 0, 2) terá o mesmo campo que qualquer 
ponto sobre (2, 0, 𝑧), observe também que dada a 
posição das películas e a direção dos campos 
teremos um efeito aditivo. Logo, o campo 
resultante será o resultado da soma dos campos 
individuais relativos a cada distribuição de 
cargas. 
𝑬 =
𝜌𝑆1
2𝜖0
𝑎𝑛1 +
𝜌𝑆2
2𝜖0
𝑎𝑛2 +
𝜌𝐿
2𝜋𝜖0𝜌
𝒂𝑛3 
𝑬 = 6𝒂𝑥 + 6𝒂𝑥 + 9𝒂𝑥 = 21𝒂𝑥 𝑉/𝑚