Material Didático Hexag Medicina

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© Hexag Editora, 2017
Direitos desta edição: Hexag Editora Ltda. São Paulo, 2015
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Autores
Caco Basileus
Felipe Filatte
Diretor geral
Herlan Fellini
Coordenador geral
Raphael de Souza Motta
Responsabilidade editorial
Hexag Editora
Diretor editorial
Pedro Tadeu Batista
Revisores
Cristiane Andrea Hruschka Fogaça
Delano Malta
Pesquisa iconográfica
Camila Dalafina Coelho
Programação visual
Hexag Editora
Editoração eletrônica
Camila Dalafina Coelho
Eder Carlos Bastos de Lima 
Filipi Figueiredo
Raphael Campos Silva
Raphael de Souza Motta
Projeto gráfico e capa
Raphael Campos Silva
Foto da capa
pixabay (http://pixabay.com)
Impressão e acabamento
Meta Solutions
ISBN: 978-85-9542-034-2
Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legislação, tendo por fim único e exclusivo o 
ensino. Caso exista algum texto, a respeito do qual seja necessária a inclusão de informação adicional, ficamos à disposição 
para o contato pertinente. Do mesmo modo, fizemos todos os esforços para identificar e localizar os titulares dos direitos sobre 
as imagens publicadas e estamos à disposição para suprir eventual omissão de crédito em futuras edições.
O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra está sendo usado apenas para fins didáticos, não represen-
tando qualquer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.
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CARO ALUNO
O Hexag Medicina é referência em preparação pré-vestibular de candidatos à carreira de Medicina. Desde 2010, são centenas de aprovações nos principais 
vestibulares de Medicina no Estado de São Paulo, Rio de Janeiro e em todo Brasil. O material didático foi, mais uma vez, aperfeiçoado e seu conteúdo enri-
quecido, inclusive com questões recentes dos relevantes vestibulares de 2017. 
Esteticamente, houve uma melhora em seu layout, na definição das imagens, criação de novas sessões e também na utilização de cores.
No total, são 88 livros, distribuídos da seguinte forma: 
 § 18 livros Ciências da Natureza e suas tecnologias (Biologia, Física e Química);
 § 12 livros Ciências Humanas e suas tecnologias (História e Geografia);
 § 06 livros Linguagens, Códigos e suas tecnologias (“Entre Textos” – Estudo da Gramática, Literatura e Interpretação de Textos);
 § 06 livros Matemática e suas tecnologias;
 § 03 livros “Entre Pensamentos” (Sociologia e Filosofia);
 § 03 livros “Entre Aspas” (Obras Literárias Fuvest e Unicamp);
 § 01 livro “Entre Aspas” (Obras Literárias da UERJ);
 § 01 livro “Entre Aspas” (Obras Literárias UEL e UFPR);
 § 03 livros “Entre Frases” (Estudo da Escrita – Redação);
 § 03 livros “Between English and Portuguese” (Língua Inglesa para os vestibulares e Enem);
 § 03 livros “Entre Espanõl y Portugués” (Língua Espanhola para a UERJ);
 § 12 livros UTI – Unidade Técnica de Imersão (revisão ao término de cada dois livros);
 § 04 livros RPA BREVIÁRIO (sinopse de todas as matérias);
 § 04 livros RPA ENEM (Revisão para o Enem);
 § 01 livro de exercícios RPA UNESP (Revisão para a Unesp);
 § 01 livro de exercícios RPA UNICAMP (Revisão para a Unicamp);
 § 01 livro de exercícios RPA FUVEST (Revisão para a Fuvest) ;
 § 01 livro de exercícios RPA UNIFESP, FAMEMA e FAMERP (Revisão para os vestibulares da Unifesp, Famema e Famerp);
 § 01 livro de exercícios RPA FUVEST. UNESP e UNICAMP 2ª FASE (Revisão para 2ª Fase dos vestibulares da Fuvest, Unesp e Unicamp); 
 § 01 livro de exercícios RPA FACULDADE DE MEDICINA ABC;
 § 02 livros RPA UERJ QUALIFICAÇÃO (Revisão para os exames de qualificação da UERJ);
 § 01 livro RPA UERJ DISCURSIVO (Revisão para o exame discursivo da UERJ).
O conteúdo dos livros foi organizado por aulas. Cada assunto contém uma rica teoria, que contempla de forma objetiva e clara o que o aluno 
realmente necessita assimilar para o seu êxito nos principais vestibulares do Brasil e Enem, dispensando qualquer tipo de material alternativo complementar.
Os capítulos foram finalizados com nove categorias de exercícios, trabalhadas nas sessões de Estudo Orientado (E.O.), como segue:
E.O. Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha, para iniciar o processo de fixação da matéria estudada em aula;
E.O. Fixação: exercícios de múltipla escolha, que apresentam grau médio de dificuldade, buscando a consolidação do aprendizado;
E.O. Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade;
E.O. Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais vestibulares do Brasil;
E.O. Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, preparando o aluno para esse tipo de exame;
E.O. UERJ-Exame de Qualificação: exercícios de múltipla escolha, buscando a consolidação do aprendizado para o vestibular da UERJ;
E.O. UERJ-Exame Discursivo: exercícios dissertativos nos moldes da segunda fase da UERJ;
E.O. (Unesp, Unicamp, Fuvest e Unifesp)-Questões Objetivas: exercícios de múltipla escolha, das Faculdades públicas de São Paulo;
E.O. (Unesp, Unicamp, Fuvest e Unifesp)-Questões Dissertativas: exercícios dissertativos da segunda fase das Faculdades públicas de São Paulo.
A edição 2017 foi elaborada com muito empenho e dedicação, oferecendo ao aluno um material moderno e completo, um grande aliado para o seu 
sucesso nos vestibulares mais concorridos de Medicina.
Herlan Fellini
 
 
FÍSICA
CINEMÁTICA E DINÂMICA
Aulas 19 e 20: Movimento circular 7
Aulas 21 e 22: Transmissão de movimento circular 33
Aulas 23 e 24: Introdução às leis de Newton 55
Aulas 25 e 26: Força peso, força normal, força de tração e sistema de corpos 81
ÓPTICA GEOMÉTRICA
Aulas 19 e 20: Espelhos planos 115
Aulas 21 e 22: Espelhos esféricos: estudo geométrico 147
Aulas 23 e 24: Espelhos esféricos: estudo analítico 175
Aulas 25 e 26: Refração da luz 193
ELETRODINÂMICA
Aulas 19 e 20: Associação de resistores: em paralelo 223
Aulas 21 e 22: Potência dissipada por efeito Joule 245
Aulas 23 e 24: Amperímetro, voltímetro e Ponte de Wheatstone 279
Aulas 25 e 26: Estudo do gerador 307
LIVRO 3
F
A
C
U
L
D
AD
E DE MED
IC
IN
A
BOTUCAT
U
1963
FUVEST - A dinâmica é abordada sempre com questões que envolvem mais de um tópico, sendo 
as questões sempre com aplicações das fórmulas matemáticas. 
UNICAMP - sempre temos presentes questões de 
dinâmica com aplicações matemáticas diretas.
UNIFESP - Com questões bem elaboradas a UNIFESP 
sempre aborda em suas provas questões que envol-
vem raciocínio matemático envolvendo dinâmica. 
Física 2
ENEM / UFRJ - O movimento circular é abordado nas transmissões de movimento 
em engrenagens e polias. Questões conceituais de dinâmica também estão pre-
sentes.
UERJ - Temos tanto questões teóricas e também questões conceituais 
de dinâmica.
UNESP - sempre traz em suas provas ques-
tões numéricas com aplicações matemáti-
cas de transmissão de movimento e ques-
tões de dinâmica. 
INFOGRÁFICO:
Abordagem da CINEMÁTICA E DINÂMICA nos principais 
vestibulares.
CINEMÁTICA E DINÂMICA
Aulas 19 e 20: Movimento circular 7
Aulas 21 e 22: Transmissão de movimento circular 33
Aulas 23 e 24: Introdução às leis de Newton 55
Aulas 25 e 26: Força peso, força normal, força de tração e sistema de corpos 81
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Aulas
19 e 20
Movimento circular
Competências 1, 2, 5 e 6
Habilidades 1, 6, 17 e 20
Competência 1 – Compreender as ciências naturais e as tecnologias a elas associadas como construções humanas, percebendo seus papéis nos 
processos de produção e no desenvolvimento econômico e social da humanidade.
H1 Reconhecer características ou propriedades de fenômenos ondulatórios ou oscilatórios, relacionando-os a seus usos em diferentes contextos.
H2 Associar a solução de problemasde comunicação, transporte, saúde ou outro, com o correspondente desenvolvimento científico e tecnológico. 
H3 Confrontar interpretações científicas com interpretações baseadas no senso comum, ao longo do tempo ou em diferentes culturas.
H4
Avaliar propostas de intervenção no ambiente, considerando a qualidade da vida humana ou medidas de conservação, recuperação ou utilização sustentável 
da biodiversidade.
Competência 2 – Identificar a presença e aplicar as tecnologias associadas às ciências naturais em diferentes contextos.
H5 Dimensionar circuitos ou dispositivos elétricos de uso cotidiano.
H6 Relacionar informações para compreender manuais de instalação ou utilização de aparelhos, ou sistemas tecnológicos de uso comum.
H7
Selecionar testes de controle, parâmetros ou critérios para a comparação de materiais e produtos, tendo em vista a defesa do consumidor, a saúde do 
trabalhador ou a qualidade de vida.
Competência 3 – Associar intervenções que resultam em degradação ou conservação ambiental a processos produtivos e sociais e a instrumen-
tos ou ações científico-tecnológicos.
H8
Identificar etapas em processos de obtenção, transformação, utilização ou reciclagem de recursos naturais, energéticos ou matérias-primas, considerando 
processos biológicos, químicos ou físicos neles envolvidos.
H9
Compreender a importância dos ciclos biogeoquímicos ou do fluxo de energia para a vida, ou da ação de agentes ou fenômenos que podem causar altera-
ções nesses processos.
H10 Analisar perturbações ambientais, identificando fontes, transporte e(ou) destino dos poluentes ou prevendo efeitos em sistemas naturais, produtivos ou sociais.
H11
Reconhecer benefícios, limitações e aspectos éticos da biotecnologia, considerando estruturas e processos biológicos envolvidos em produtos biotecnoló-
gicos.
H12 Avaliar impactos em ambientes naturais decorrentes de atividades sociais ou econômicas, considerando interesses contraditórios.
Competência 4 – Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando 
conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais.
H13 Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos.
H14
Identificar padrões em fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, 
entre outros.
H15 Interpretar modelos e experimentos para explicar fenômenos ou processos biológicos em qualquer nível de organização dos sistemas biológicos.
H16 Compreender o papel da evolução na produção de padrões, processos biológicos ou na organização taxonômica dos seres vivos.
Competência 5 – Entender métodos e procedimentos próprios das ciências naturais e aplicá-los em diferentes contextos.
H17
Relacionar informações apresentadas em diferentes formas de linguagem e representação usadas nas ciências físicas, químicas ou biológicas, como texto 
discursivo, gráficos, tabelas, relações matemáticas ou linguagem simbólica.
H18 Relacionar propriedades físicas, químicas ou biológicas de produtos, sistemas ou procedimentos tecnológicos às finalidades a que se destinam.
H19
Avaliar métodos, processos ou procedimentos das ciências naturais que contribuam para diagnosticar ou solucionar problemas de ordem social, econômica 
ou ambiental.
Competência 6 – Apropriar-se de conhecimentos da física para, em situações-problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científico-
-tecnológicas.
H20 Caracterizar causas ou efeitos dos movimentos de partículas, substâncias, objetos ou corpos celestes.
H21 Utilizar leis físicas e (ou) químicas para interpretar processos naturais ou tecnológicos inseridos no contexto da termodinâmica e (ou) do eletromagnetismo.
H22
Compreender fenômenos decorrentes da interação entre a radiação e a matéria em suas manifestações em processos naturais ou tecnológicos, ou em suas 
implicações biológicas, sociais, econômicas ou ambientais.
H23
Avaliar possibilidades de geração, uso ou transformação de energia em ambientes específicos, considerando implicações éticas, ambientais, sociais e/ou 
econômicas.
Competência 7 – Apropriar-se de conhecimentos da química para, em situações-problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científico-
-tecnológicas.
H24 Utilizar códigos e nomenclatura da química para caracterizar materiais, substâncias ou transformações químicas.
H25
Caracterizar materiais ou substâncias, identificando etapas, rendimentos ou implicações biológicas, sociais, econômicas ou ambientais de sua obtenção ou 
produção.
H26
Avaliar implicações sociais, ambientais e/ou econômicas na produção ou no consumo de recursos energéticos ou minerais, identificando transformações 
químicas ou de energia envolvidas nesses processos.
H27 Avaliar propostas de intervenção no meio ambiente aplicando conhecimentos químicos, observando riscos ou benefícios.
Competência 8 – Apropriar-se de conhecimentos da biologia para, em situações-problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científico-
-tecnológicas.
H28
Associar características adaptativas dos organismos com seu modo de vida ou com seus limites de distribuição em diferentes ambientes, em especial em 
ambientes brasileiros.
H29
Interpretar experimentos ou técnicas que utilizam seres vivos, analisando implicações para o ambiente, a saúde, a produção de alimentos, matérias-primas 
ou produtos industriais.
H30
Avaliar propostas de alcance individual ou coletivo, identificando aquelas que visam à preservação e à implementação da saúde individual, coletiva ou do 
ambiente.
9
MEDIDAS DE ÂNGULOS
Assistindo a uma corrida de automóveis em um autódromo, a vibração toma conta dos espectadores ao observa-
rem o carro de seu piloto preferido surgir no início da reta. Após atravessar a reta, o carro desaparece e momentos 
depois, surge novamente no início da reta.
Obviamente, os carros só reaparecem no início da reta porque realizaram algumas curvas durante seu 
trajeto, e assim foram conduzidos novamente para aquele ponto, completando mais uma volta e iniciando a volta 
seguinte.
Corrida da Nascar, na Califórnia, EUA, 2010.
No estudo desses tipos de movimento, chamado de curvilíneo, as grandezas lineares não são suficientes. É 
necessário o tratamento matemático com grandezas angulares. Para tanto, relembraremos a relação entre arco 
e ângulo medido em radianos (rad).
S
θ = arco 
 » AB ______ 
Raio
 = S __ 
R
 
Na figura acima, as distâncias OA e OB têm a mesma medida R, e o arco que liga os pontos A e B tem valor 
igual a S. Se as medidas de S e R forem iguais, teremos u = 1 rad.
Assim, sendo u um ângulo expresso em radianos, vale a relação: S = uR
A partir da medida do arco de uma circunferência completa (S = 2pR), obtém-se a conversão de grau para 
radiano e vice-versa:
u = 2pR ____ 
R
 = 2p rad, que equivale a 360°
Desse modo: 2p rad ; 360° e p rad ; 180°
10 
DESLOCAMENTO ANGULAR E VELOCIDADE ANGULAR NO M.C.U.
Uma partícula move-se sobre uma circunferência de raio R e , durante o intervalo de tempo ∆t, percorre o arco 
 » PQ , 
do ponto P ao ponto Q, de comprimento DS. O ângulo Du é o deslocamento angular da partícula no intervalo 
de tempo Dt.
∆S
Então, para Du expresso em radianos, o comprimento DS e o deslocamento angular Du da partícula se 
relacionam com o raio R da circunferência pela equação:
DS = Du · R
Teoria na prática
1. Uma partícula percorre um arco 
 » PQ , que corresponde a um ângulo central Du = 60°, sobre uma circunfe-
rência de raio R = 30 cm. Calcule o comprimento do arco 
 » PQ .
Resolução:
Devemos lembrar da relação, da Geometria plana, vista acima:
180° ; p radianos ; p rad
Então calculamos o deslocamento angular, fazendo a seguinte regra de três:
180° p rad
60° x rad
Ou seja: x = p __ 
3
 rad, isto é:
Du = 60º = p __ 
3
 rad
11
Portanto, com ∆θ dado em radianos, calculamos o comprimentodo arco:
DS = (Du) · R = ( p __ 3 ) (30 cm) = 10p cm
Usando a aproximação p > 3,14, teremos:
DS > 10(3,14) cm ⇒ DS > 31,4 cm
Na figura abaixo, uma partícula percorre o arco de circunferência 
 » PQ , de comprimento DS, no intervalo de 
tempo Dt. A velocidade escalar média da partícula é dada pela razão entre o espaço percorrido e o 
intevalo de tempo:
v
m
 = ∆S ___ ∆t 
A velocidade angular média (w
m
) da partícula é calculada de modo similar. No entanto, ao invés de usar 
a distância ∆S percorrida, o cálculo é feito com a distância angular Du. Assim, a velocidade angular média 
da partícula durante o intervalo de tempo Dt é:
v
m
 = Du ___ 
Dt
 
2. Durante o intervalo de tempo Dt = 2 segundos, uma partícula descolaca-se sobre uma circunferência, per-
correndo o arco 
 » PQ correspondente ao ângulo central Du = 120°. Calcule a velocidade angular média da 
partícula nesse intervalo de tempo.
Resolução:
Obtemos o valor do deslocamento angular em radianos:
180° p rad
120° x rad
⇒ x = 2p ___ 
3
 rad
Assim:
Du = 2p ___ 
3
 rad e Dt = 2 s
12 
Portanto, a velocidade angular média é:
v
m
 = Du ___ 
Dt
 = 
 2p ___ 
3
 rad
 ______ 
2s
 ⇒ v
m
 = p __ 
3
 rad/s
Considerando Du dado em radianos, a velocidade média linear e a velocidade média angular podem ser 
relacionadas por:
DS = (Du) · R ⇒ Ds ___ 
Dt
 = 
(Du) · R
 ______ 
Dt
 = ( Du ___ Dt ) · R
Isto é:
v
m
 = v
m
 · R
Da mesma forma que para a velocidade escalar média define-se a velocidade escalar instantânea, para a 
velocidade angular média, define-se uma velocidade angular instantânea (v). Em geral, a velocidade 
angular média e instantânea são diferentes. No entanto, no caso de movimento uniforme, isto é, a velocidade 
angular instantânea é constante, teremos w
m
 = w. Para os valores instantâneos vale uma equação semelhante 
à equação anterior:
v = v · R
3. Um disco gira em torno de um eixo passa por seu centro O, com velocidade angular v = 1,5 rad/s. A figura 
indica a posição dos pontos A e B sobre o disco.
Sendo a = 4,0 cm, a distância do ponto O ao ponto A e b = 2,0 cm, a distância do ponto O ao ponto B, 
calcule:
a) A velocidade linear do ponto A;
b) A velocidade linear do ponto B.
Resolução:
a) O raio de trajetória do ponto A é a = 4,0 cm
Assim temos:
v
A
 = v · R = v · a = (1,5 rad/s) (4,0 cm)
v
A
 = 6,0 cm/s
b) O raio da trajetória do ponto B é b = 2,0 cm.
v
B
 = v · R = v · b = (1,5 rad/s) (2,0 cm)
v
B
 = 3,0 cm/s
A velocidade linear v também é chamada de velocidade escalar ou velocidade tangencial.
13
PERÍODO E FREQUÊNCIA
Estudaremos agora dois conceitos bastante importantes na Física e também em vários aspectos das nossas vidas, e 
que estão relacionados à fenômenos que se repetem com a mesma regularidade. Os exemplos a seguir ilustram 
alguns desses fenômenos:
 § A alternância entre o dia e a noite devido à rotação da Terra em torno do seu eixo;
 § A alternância das estações do ano decorrentes do movimento de translação da Terra em torno do Sol;
 § A alternância das fases da Lua durante as semanas.
Em todas essas situações e também em outras e que ocorre uma alternância regular de eventos, o intervalo 
de tempo gasto para que o evento volte a se repetir é o período T.
Por exemplo:
Ilustração produzida com base em Enciclopédia do estudante: Ciências da Terra e do Universo – 
da Geologia à exploração do espaço. São Paulo: Moderna, 2008. p. 241.
 § O período de rotação da Terra em torno do seu próprio eixo é de 23,93 h.
 § O período de translação da Terra ao redor do Sol é de 365,25 dias.
 § O período de revolução da Lua é de 27,32 dias.
Uma segunda grandeza, intimamente relacionada com o período, é a frequência f. A frequência é definida 
como o número n de vezes que um evento se repete em um intervalo de tempo (por exemplo, um segundo, um 
minuto, uma semana etc):
f = n __ ∆t 
Da definição de período, durante o intervalo correspondente a um período, Dt = T, o evento se repete uma 
vez, ou seja, n = 1. Assim, a frequência e o período são inversamente proporcionais:
f = 1 __ 
T
 ou T = 1 __ 
f
 
Qualquer unidade de tempo pode ser usada para o período. No SI, a unidade de tempo é o segundo. As 
unidades mais usuais de frequência são: rotações por segundo (rps), rotações por minuto (rpm) e rotações por hora 
(rph). No SI é usado o rps, que é denominada hertz (Hz).
14 
MOVIMENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME
O movimento de uma roda-gigante, por motivos de segurança, ocorre sem trancos e sem solavancos, girando de 
modo uniforme, sem aumentar ou diminuir a velocidade da rotação, com exceção do início e do final do movimento, 
para as pessoas subirem e descerem da roda-gigante.
Esse movimento de giro constante também ocorre em diversas situações no nosso cotidiado, como o movi-
mento das pás de um ventilador, de um liquidificador ou de uma máquina de lavar roupas.
Após iniciarem seu funcionamento, os dispositivos mencionados executam um movimento circunfe-
rencial uniforme (M.C.U.). O estudo desse tipo de movimento é importante pois é necessário nos projetos de 
diversos equipamentos, como, por exemplo, o motor de automóvel.
Uma partícula realiza movimento circunferencial uniforme se sua trajetória for uma circunferência e o mo-
vimento for realizado com velocidade angular constante. Os movimentos dos ponteiros de um relógio exempli-
ficam muito bem esse tipo de movimento. A velocidade angular do ponteiro dos minutos, por exemplo, pode ser 
calculado a partir do comprimento percorrido em uma volta completa igual a 2π radianos e o período T.
O movimento dos ponteiros é periódico. O ponteiro dos minutos passará novamente pela mesma indicação 
no relógio após 60 minutos.
Du = 2p
Dt = T
 v = Du ___ 
Dt
 ⇒ v = 2p ___ 
T
 
Sendo T = 1 _ 
f
 ⇒ v = 2pf
A velocidade linear da extremidade do ponteiro pode ser calculada se o valor do raio da trajetória circular 
for conhecido.
15
Sendo v = vR, temos:
v = 2pR ____ 
T
 ou v = 2pRf
Função horária angular
Determinaremos, a seguir, a função horária do movimento circunferencial uniforme. 
Considerando o instante inicial como t
0
 = 0, a partir da fórmula da velocidade angular temos que:
v = Du ___ 
Dt
 ⇒
Du = v · Dt ⇒
u – u
0
 = v · (t – t
0
) ⇒
u = u
0
 + v · t
Assim, a posição agular u pode ser calculada para o instante de tempo t. Essa função horária angular do 
M.C.U. pode ser obtida a partir da função horária do MRU, dividindo-se todos os termos pelo raio R da circunfe-
rência:
S = S
0
 + vt
 S __ 
R
 = 
S
0 __ 
R
 + vt __ 
R
 
u = u
0
 + v · t
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO 
Anteriormente vimos o caso em que um móvel descreve uma trajetória circular com velocidade angular constante. 
Porém, para o caso em que a velocidade varia uniformemente, temos que:
g = Dv __ 
Dt = 
v – v
0 ______ t – t
0
 
Onde g representa a aceleração angular.
Fazendo t
0
 = 0 
v = v
0
 + g
 
·
 
t
Sendo v
m 
= Du ___ 
Dt
 = 
v + v
0 ______ 
2
 , podemos dizer que:
u = u
0 
+
 
 v
0 
·
 
t + 1 __ 
2
 · g · t2
Assim como:
v2 = v 2 
0
 + 2 · g · Du
16 
Teoria na prática
1. Uma moto percorre meia volta por segundo, em uma trajetória circular com raio de 3 m. Sabendo que no 
início da contagem dos tempos a moto se encontra na origem dos arcos, determine:
a) A frequência e o período;
b) A velocidade angular do movimento;
c) A velocidade escalar linear;
d) O módulo da aceleração centrípeta;
e) As funções horárias do movimento sob as formas linear e angular;
f) O tempo decorrido para descrever um ângulo de 3p ___ 
2
 rad.
Resolução:
a) Pela definição de frequência e período, temos:
f = n ___ 
Dt
 ⇒ f = 
 1 __ 
2
 volta
 ______ 
1s
 ⇒ f = 1 __ 
2
 Hz
T = 1 __ 
f
 ⇒ T = 1 __ 
 1 __ 
2
 
 ⇒ T = 2 s
b) A velocidade angular é dada por:
v = 2pf ⇒ v = 2p · 1 __ 
2
 ⇒ v = p rad/s
c) A velocidade linear é:
v =vR = p · 3 = 3p ⇒ v = 3p m/s
d) O módulo da aceleração centrípeta é dado por:
a
cp
 = v
2
 __ 
R
 = 
(3p)2
 _____ 
3
 = 9p
2
 ___ 
3
 = 3p2 ⇒ a
cp
 = 3p2 m/s2
e) 
Forma linear: Forma angular:
s = s
0
 + vt, u = u
0
 + wt
como s
0
 = 0 e v = 3π m/s com u
0
 = 0 rad e v = p rad/s
Substituindo-se: Substituindo-se:
s = 0 + 3pt ⇒ s = 3pt u = 0 + pt ⇒ u = pt
f) O tempo para descrever o ângulo Du = 3p ___ 
2
 rad será obtido pela função horária angular ∆θ = w . t
 3p ___ 
2
 = pt ⇒ t = 1,5 s
2. (Unicamp) Anemômetros são instrumentos usados para medir a velocidade do vento. A sua construção mais 
conhecida é a proposta por Robinson em 1846, que consiste em um rotor com quatro conchas hemisféricas 
presas por hastes, conforme figura abaixo. Em um anemômetro de Robinson ideal, a velocidade do vento é 
dada pela velocidade linear das conchas. Um anemômetro em que a distância entre as conchas e o centro 
de rotação é r = 25 cm em um dia cuja velocidade do vento é v = 18 km/h teria uma frequência de rotação 
de:
17
THE ROSINSON ANENOMETER
Se necessário, considere π ≈ 3.
a) 3 rpm.
b) 200 rpm.
c) 720 rpm.
d) 1200 rpm.
Resolução:
Dados: v = 18 km/h = 5 m/s; r = 25 cm; π = 3
v = 2 πrf ⇒ f = v ____ 
2 πr = 
5 __________ 
2 ∙ 3 ∙ 0,25
 = 5 ___ 
1,5
 Hz = 5 ___ 
1,5
 ∙ 60 rmp ⇒ f = 200 rpm
Alternativa B
3. (UECE) O ano de 2015 tem um segundo a mais. No dia 30 de junho de 2015, um segundo foi acrescido à 
contagem de tempo de 2015. Isso ocorre porque a velocidade de rotação da Terra tem variações em rela-
ção aos relógios atômicos que geram e mantêm a hora legal. Assim, no dia 30 de junho, o relógio oficial 
registrou a sequência: 23h59min59s - 23h59min60s para somente então passar a 1º de julho. Como essa 
correção é feita no horário de Greenwich, no Brasil a correção ocorreu às 21h, horário de Brasília. Isso sig-
nifica que, em média, a velocidade angular do planeta 
a) cresceu.
b) manteve-se constante e positiva.
c) decresceu.
d) é sempre nula.
Resolução:
Sabendo que, às 24h contatas no relógio correspondem ao tempo que a terra completa uma volta em 
relação ao sol.
E sabendo que:
v
m
 = Du ___ 
Dt
 
Se foi acrescido 1 segundo no tempo total e o deslocamento angular é o mesmo, logo a velocidade angular 
média decresceu.
Alternativa C
18 
4. (UECE) Durante uma hora o ponteiro dos minutos de um relógio de parede executa um determinado deslo-
camento angular. Nesse intervalo de tempo, sua velocidade angular, em graus/min é dada por 
a) 360.
b) 36.
c) 6.
d) 1.
Resolução:
Para uma volta completa, tem-se um deslocamento angular de 2π radianos ou 360º.
O tempo necessário para o ponteiro dar uma volta completa é de 60 minutos.
Desta forma:
v = Du ___ 
Dt
 = 360º ___ 
60 min
 
v = 6 graus/minuto.
Alternativa C
5. (Esc. Naval) Observe o gráfico a seguir.
O gráfico da figura acima mostra a variação do raio da Terra (R) com a latitude (Φ).Observe que foram acres-
centadas informações para algumas latitudes, sobre a menor distância entre o eixo da Terra e um ponto P 
na superfície da Terra ao nível do mar, ou seja, R cos Φ. Considerando que a Terra gira com uma velocidade 
angular w
T
 = π/12(rad/h), qual é, aproximadamente, a latitude de P quando a velocidade de P em relação 
ao centro da Terra se aproxima numericamente da velocidade do som? 
Dados: v
som
 = 340 m/s; π = 3.
a) 0º.
b) 20º.
c) 40º.
d) 60º.
e) 80º.
Resolução:
Foi dado no enunciado que v
T
 = π ___ 
12
 rad/h. Para poder utilizar este dado, é necessário fazer a conversão 
para unidades do SI.
v
T
 = π ________ 
12 · 3600
 rad/s
Para saber em qual latitude a terra terá uma velocidade igual a velocidade do som,
v = v · R
R = v __ w = 
340 ________ 
 π ________ 
12 · 3600
 
 
R = 4896 km
Comparando com a ilustração fornecida no exercício, chega-se à conclusão de que este fato será observado 
na Latitude de 40º.
Alternativa C
INTERATIVIDADE
ASSISTIR
20
Vídeo Física Total - Aula 11 - Introdução à cinemática angular
Fonte: Youtube
Vídeo Why Does The Earth Spin?
Fonte: Youtube
Vídeo
Fonte: Youtube
Sites Movimento circular. 
brasilescola.uol.com.br/fisica/movimento-circular-uniforme-mcu.htm
www.physicsclassroom.com/class/circles/Lesson-1/Mathematics-of-Circular-Motion
ACESSAR
Física - Relação entre a velocidade angular e velocidade...
APLICAÇÃO NO COTIDIANO
INTERDISCIPLINARIDADE
21
Muitos objetos a nossa volta executam movimentos circulares uniformes. Na famosa vitrola ou toca-discos, os vinis 
giram com velocidades constantes (33 ou 45 rotações por minuto), enquanto são tocados por uma agulha que 
percorre as trilhas gravadas nos discos. O relógio de ponteiro, habitante comum das paredes de nossas cozinhas ou 
dos nossos pulsos, também possui dois ponteiros que executam movimentos com velocidades diferentes. Outros 
diversos aparelhos realizam movimentos circulares uniformes, como a máquina de lavar roupa e os ventiladores. 
Além dos astros celestes e dos satélites artificiais, que caminham pelo espaço executando movimentos circulares.
.
O movimento circular é qualquer deslocamento que se desenvolve numa trajetória que não se configure como 
uma reta, já que, de forma abstrata, qualquer curva pode ser aproximada para um trecho de uma circunferência. 
Comumente os movimentos circulares são descritos em circunferências, que são conjunto de pontos, situados em 
um plano, e esses pontos são equidistantes de um ponto fixo, denominado centro da circunferência. A razão entre 
o perímetro de um círculo e o seu diâmetro produz o número π (pi). 
A principal curiosidade, no caso do π, é a obtenção de um valor constante não importando o tamanho do 
círculo analisado. As civilizações antigas exigiam valores calculados precisos para π, por razões práticas de cons-
truções de veículos e estruturas arquitetônicas. Os chineses conseguiram descobrir 7 dígitos do π no século 5 a.C. 
A primeira fórmula exata para π, baseada em séries infinitas, foi desenvolvida muito tempo depois, no século XVII, 
através da série de Madhava-Leibniz:
π = 4 __ 
1
 – 4 __ 
3
 + 4 __ 
5
 – 4 __ 
7
 + 4 __ 
9
 – 4 ___ 
11
 + 4 ___ 
13
 – ... 
22 
E.O. APRENDIZAGEM
 1. (PUC-RJ) A Lua leva 28 dias para dar uma vol-
ta completa ao redor da Terra. Aproximando a 
órbita como circular, sua distância ao centro 
da Terra é de cerca de 380 mil quilômetros.
A velocidade aproximada da Lua, em km/s, é: 
a) 13.
b) 0,16.
c) 59.
d) 24.
e) 1,0.
 2. (UFPA) O escalpelamento é um grave aciden-
te que ocorre nas pequenas embarcações que 
fazem transporte de ribeirinhos nos rios da 
Amazônia. O acidente ocorre quando fios de 
cabelos longos são presos ao eixo desprote-
gido do motor. As vitimas são mulheres e 
crianças que acabam tendo o couro cabeludo 
arrancado. Um barco típico que trafega nos 
rios da Amazônia, conhecido como “rabeta”, 
possui um motor com um eixo de 80 mm de 
diâmetro, e este motor, quando em operação, 
executa 3000 rpm.
Considerando que, nesta situação de escal-
peamento, há um fio ideal que não estica e 
não desliza preso ao eixo do motor e que o 
tempo médio da reação humana seja de 0,8 s 
(necessário para um condutor desligar o mo-
tor), é correto afirmar que o comprimento 
deste fio que se enrola sobre o eixo do motor, 
neste intervalo de tempo, é de: 
a) 602,8 m.
b) 96,0 m.
c) 30,0 m.
d) 20,0 m.
e) 10,0 m.
 3. (UFTM) Foi divulgado pela imprensa que a 
ISS (sigla em inglês para Estação Espacial 
Internacional) retornará à Terra por volta 
de 2020 e afundará no mar, encerrando suas 
atividades, como ocorreu com a Estação Orbi-
tal MIR, em 2001. Atualmente, a ISS realiza 
sua órbita a 350 km da Terra e seu período 
orbital é de aproximadamente 90 minutos.
Considerando o raio da Terra igual a 6 400 km 
e p > 3, pode-se afirmar que:
a) ao afundar no mar o peso da água desloca-
da pela estação espacial será igual ao seu 
próprio peso.
b) a pressão total exercidapela água do mar 
é exatamente a mesma em todos os pontos 
da estação.
c) a velocidade linear orbital da estação é, 
aproximadamente, 27 × 103 km/h.
d) a velocidade angular orbital da estação é, 
aproximadamente, 0,25 rad/h.
e) ao reingressar na atmosfera a aceleração re-
sultante da estação espacial será radial e de 
módulo constante. 
 4. (IFCE) Numa pista circular de diâmetro 200 
m, duas pessoas se deslocam no mesmo sen-
tido, partindo de pontos diametralmente 
opostos da pista. A primeira pessoa parte 
com velocidade angular constante de 0,010 
rad/s, e a segunda parte, simultaneamente, 
com velocidade escalar constante de 0,8 m/s. 
As duas pessoas estarão emparelhadas após: 
(use π com duas casas decimais) 
a) 18 minutos e 50 segundos. 
b) 19 minutos e 10 segundos. 
c) 20 minutos e 5 segundos. 
d) 25 minutos e 50 segundos. 
e) 26 minutos e 10 segundos. 
 5. (CPS) Salto de penhasco é um esporte que 
consiste em saltar de uma plataforma eleva-
da, em direção à água, realizando movimen-
tos estéticos durante a queda. O saltador é 
avaliado nos seguintes aspectos: criativida-
de, destreza, rigor na execução do salto pre-
visto, simetria, cadência dos movimentos e 
entrada na água.
Considere que um atleta salte de uma pla-
taforma e realize 4 rotações completas du-
rante a sua apresentação, entrando na água 
2 segundos após o salto, quando termina a 
quarta rotação.
Sabendo que a velocidade angular para a re-
alização de n rotações é calculada pela ex-
pressão v = n · 360 _______ 
Dt
 em que n é o número de 
rotações e ∆t é o tempo em segundos, assina-
le a alternativa que representa a velocidade 
angular das rotações desse atleta, em graus 
por segundo. 
a) 360.
b) 720.
c) 900.
d) 1 080.
e) 1 440.
 6. (UFRGS) Levando-se em conta unicamente o 
movimento de rotação da Terra em torno 
de seu eixo imaginário, qual é aproximada-
mente a velocidade tangencial de um ponto 
na superfície da Terra, localizado sobre o 
equador terrestre?
Considere p = 3,14; 
raio da Terra R
T
 = 6.000 km.
23
a) 440 km/h.
b) 800 km/h.
c) 880 km/h.
d) 1.600 km/h.
e) 3.200 km/h.
 7. (PUC-MG) “Nada como um dia após o outro”. 
Certamente esse dito popular está relaciona-
do de alguma forma com a rotação da Ter-
ra em torno de seu próprio eixo, realizando 
uma rotação completa a cada 24 horas.
Pode-se, então, dizer que cada hora corres-
ponde a uma rotação de: 
a) 180º.
b) 360º.
c) 15º.
d) 90º.
 8. (UFG) A Lua sempre apresenta a mesma face 
quando observada de um ponto qualquer 
da superfície da Terra. Esse fato, conhecido 
como acoplamento de maré, ocorre porque: 
a) a Lua tem período de rotação igual ao seu 
período de revolução. 
b) a Lua não tem movimento de rotação em tor-
no do seu eixo. 
c) o período de rotação da Lua é igual ao perí-
odo de rotação da Terra. 
d) o período de revolução da Lua é igual ao pe-
ríodo de rotação da Terra. 
e) o período de revolução da Lua é igual ao pe-
ríodo de revolução da Terra. 
 9. (UDESC) O velódromo, nome dado à pista 
onde são realizadas as provas de ciclismo, 
tem forma oval e possui uma circunferência 
entre 250,0 m e 330,0 m, com duas curvas 
inclinadas a 41o. Na prova de velocidade o 
percurso de três voltas tem 1.000,0 m, mas 
somente os 60p últimos metros são crono-
metrados. Determine a frequência de rota-
ção das rodas de uma bicicleta, necessária 
para que um ciclista percorra uma distância 
inicial de 24p metros em 30 segundos, con-
siderando o movimento uniforme. (O raio da 
bicicleta é igual a 30,0 cm.) Assinale a alter-
nativa correta em relação à frequência. 
a) 80 rpm.
b) 0,8p rpm.
c) 40 rpm.
d) 24p rpm.
e) 40p rpm.
 10. (PUC-RJ) Um satélite geoestacionário en-
contra-se sempre posicionado sobre o mes-
mo ponto em relação à Terra. Sabendo-se que 
o raio da órbita deste satélite é de 36×103 
km e considerando-se π = 3, podemos dizer 
que sua velocidade é: 
a) 0,5 km/s.
b) 1,5 km/s.
c) 2,5 km/s.
d) 3,5 km/s.
e) 4,5 km/s.
E.O. FIXAÇÃO
 1. (UFC) Um relógio analógico possui um pon-
teiro A, que marca as horas e um ponteiro 
B, que marca os minutos. Assinale a alter-
nativa que contém o tempo em que os pon-
teiros A e B se encontram pela primeira vez 
após as três horas. 
a) 15 min 16 (81/90) s.
b) 15 min 21 (81/99) s.
c) 16 min 16 (81/99) s.
d) 16 min 21 (81/99) s.
e) 16 min 21 (81/90) s.
 2. (PUC-RJ) O ponteiro dos minutos de um re-
lógio tem 1 cm. Supondo que o movimen-
to deste ponteiro é contínuo e que π = 3, 
a velocidade de translação na extremidade 
deste ponteiro é: 
a) 0,1 cm/min.
b) 0,2 cm/min.
c) 0,3 cm/min.
d) 0,4 cm/min.
e) 0,5 cm/min.
 3. O ponteiro dos minutos de um relógio de-
mora 60 min para completar uma volta, en-
quanto que o ponteiro dos minutos demora 1 
min para também completar uma volta. Qual 
é razão entre a frequência do ponteiro dos 
minutos e do ponteiro das horas?
a) 1.
b) 1 __ 
2
 .
c) 1 ___ 
60
 .
d) 60.
e) 10.
 4. (UFRGS) X e Y são dois pontos da superfície 
da Terra. O ponto X encontra-se sobre a linha 
do equador, e o ponto Y sobre o trópico de 
Capricórnio.
Designando-se por v
X
 e v
Y 
, respectivamente, 
as velocidades angulares de X e Y em torno do 
eixo polar e por a
X
 e a
Y
 as correspondentes ace-
lerações centrípetas, é correto afirmar que: 
a) v
X
 < v
Y
 e a
X
 = a
Y
.
b) v
X
 > v
Y
 e a
X
 = a
Y
.
c) v
X
 = v
Y
 e a
X
 > a
Y
.
d) v
X
 = v
Y
 e a
X
 = a
Y
.
e) v
X
 = v
Y
 e a
X
 < a
Y
.
24 
 5. (UFPR) Recentemente, o ônibus espacial 
Discovery levou tripulantes ao espaço para 
realizarem reparos na estação espacial in-
ternacional. A missão foi bem-sucedida e o 
retorno ocorreu com segurança. Antes de 
retornar, a nave orbitou a Terra a cerca de 
400 km de altitude em relação a sua superfí-
cie, com uma velocidade tangencial de módulo 
26000 km/h. Considerando que a órbita foi 
circular e que o raio da Terra vale 6400 km, 
qual foi o número de voltas completas dadas 
em torno da Terra num período de 6,8π ho-
ras? 
a) 10.
b) 12.
c) 13.
d) 15.
e) 17.
 6. (PUC-RJ) Um menino passeia em um carros-
sel de raio R. Sua mãe, do lado de fora do 
carrossel, observa o garoto passar por ela a 
cada 20 s. Determine a velocidade angular 
do carrossel em rad/s. 
a) p __ 
4
 .
b) p __ 
2
 .
c) p ___ 
10
 .
d) 3p ___ 
2
 .
e) 4p.
 7. (UFPEL) Com base em seus conhecimentos 
sobre Cinemática, analise as afirmativas a 
seguir.
I. Quando um corpo anda com Movimento 
Uniforme, sua velocidade e sua acelera-
ção são constantes e diferentes de zero.
II. Quando dois corpos são lançados, no vá-
cuo, simultaneamente, de uma mesma 
altura, um para cima e outro para baixo, 
com mesma velocidade inicial, chegarão 
ao solo com velocidades iguais.
III. Quando um corpo anda com Movimento 
Uniformemente Variado, a distância per-
corrida por ele é diretamente proporcio-
nal ao tempo gasto.
IV. Quando um corpo anda com Movimento 
Circular Uniforme, sua velocidade é cons-
tante e sua aceleração é nula.
Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s): 
a) II.
b) II e III.
c) I e IV.
d) IV.
e) I e II.
 8. (PUC-MG) Assinale a opção INCORRETA. 
a) O período de rotação da Terra é de 24 horas, 
tanto no equador quanto nos polos. 
b) A frequência de rotação da Terra é a mesma 
no equador e nos polos. 
c) Uma pessoa, em um ponto da América do 
Norte, terá um período de rotação maior que 
uma pessoa no Brasil.
d) Uma pessoa no Ceará tem o mesmo período 
rotacional que uma pessoa em Belo Horizonte.
 9. (UECE) Um automóvel desce uma rampa, 
com velocidade constante. Considere que o 
pneu tem diâmetro 60 cm e que gira sem 
deslizar. Se o tempo para o pneu dar uma 
volta completa for 0,314 s a velocidade do 
carro, em m/s é: 
a) 60/0,314.
b) 12.
c) 6.
d) 3,14.
 10. (UFPA) Durante os festejos do Círio de Na-
zaré, em Belém, uma das atrações é o parque 
de brinquedos situado ao lado da Basílica, 
no qual um dos brinquedos mais cobiçados 
é a Roda Gigante, que gira com velocidade 
angular w constante.
Considerando-seque a velocidade escalar de 
um ponto qualquer da periferia da Roda é 
v = 1 m/s e que o raio é de 15 m, pode-se 
afirmar que a frequência de rotação f em 
hertz, e a velocidade angular w, em rad/s, 
são respectivamente iguais a: 
a) 1 ____ 
30π
 e 2 ___ 
15
 . 
b) 1 ____ 
15π
 e 2 ___ 
15
 . 
c) 1 ____ 
30π
 e 1 ___ 
15
 . 
d) 1 ____ 
15π
 e 1 ___ 
15
 . 
e) 1 ____ 
30π
 e 1 ____ 
30π
 . 
25
a) 1,00 h.
b) 1,05 h.
c) 1,055 h.
d) 12 ___ 
11
 h.
e) 24 ___ 
21
 h.
 4. (UERN) Dois exaustores eólicos instalados 
no telhado de um galpão se encontram em 
movimento circular uniforme com frequên-
cias iguais a 2,0 Hz e 2,5 Hz. A diferença 
entre os períodos desses dois movimentos é 
igual a: 
a) 0,1 s.
b) 0,3 s.
c) 0,5 s.
d) 0,6 s.
 5. (UFRGS) Na temporada automobilística de 
Fórmula 1 do ano passado, os motores dos 
carros de corrida atingiram uma velocidade 
angular de 18000 rotações por minuto. Em 
rad/s, qual é o valor dessa velocidade? 
a) 300π.
b) 600π.
c) 9000π.
d) 18000π.
e) 36000π.
E.O. DISSERTATIVO
 1. (ITA) Um dispositivo é usado para determi-
nar a distribuição de velocidades de um gás. 
Em t = 0 com os orifícios O’ e O alinhados no 
eixo z, moléculas ejetadas de O’, após pas-
sar por um colimador, penetram no orifício 
O do tambor de raio interno R, que gira com 
velocidade angular constante v. Considere, 
por simplificação, que neste instante inicial 
(t = 0) as moléculas em movimento encon-
tram-se agrupadas em torno do centro do 
orifício O. Enquanto o tambor gira, confor-
me mostra a figura, tais moléculas movem-se 
horizontalmente no interior deste ao longo 
da direção do eixo z, cada qual com sua pró-
pria velocidade, sendo paulatinamente de-
positadas na superfície interna do tambor 
no final de seus percursos. Nestas condições, 
obtenha em função do ângulo u a expressão 
para v – v
min
, em que v é a velocidade da mo-
lécula depositada correspondente ao giro u 
do tambor e v
min
 é a menor velocidade possí-
vel para que as moléculas sejam depositadas 
durante a primeira volta deste.
E.O. COMPLEMENTAR
 1. (UFC) A figura a seguir mostra uma calha 
circular, de raio R, completamente lisa, em 
posição horizontal. Dentro dela há duas bo-
las, 1 e 2, idênticas e em repouso no ponto 
A. Ambas as bolas são disparadas, simulta-
neamente, desse ponto: a bola 1, para a di-
reita, com velocidade v
1
 = 6p m/s e a bola 2, 
para a esquerda, com velocidade v
2
 = 2p m/s. 
As colisões entre as bolas são perfeitamen-
te elásticas, isso significa que a cada colisão 
elas trocam de velocidade e invertem o sen-
tido. Indique onde ocorrerá a quarta colisão 
entre as bolas, após o disparo delas.
a) Entre os pontos A e B. 
b) Exatamente no ponto A. 
c) Entre os pontos C e D. 
d) Exatamente no ponto C. 
e) Exatamente no ponto D. 
 2. (UFJF) Na figura a seguir, quando o pontei-
ro dos segundos do relógio está apontando 
para B, uma formiga parte do ponto A e se 
desloca com velocidade angular constante 
v = 2prad/min, no sentido anti-horário. Ao 
completar uma volta, quantas vezes a formiga 
terá cruzado com o ponteiro dos segundos?
a) Zero.
b) Uma.
c) Duas.
d) Três.
e) Quatro.
 3. (Mackenzie) Ao observarmos um relógio 
convencional, vemos que pouco tempo de-
pois das 6,50 h o ponteiro dos minutos se 
encontra exatamente sobre o das horas. O 
intervalo de tempo mínimo, necessário para 
que ocorra um novo encontro, é: 
26 
 2. (UFTM) Um caminhão de carga tem rodas dianteiras de raio R
d
 = 50 cm e rodas traseiras de raio 
R
t
 = 80 cm. Em determinado trecho do trajeto plano e retilíneo, percorrido sem deslizar e com 
velocidade escalar constante, a frequência da roda dianteira é igual a 10 Hz e efetua 6,75 voltas a 
mais que a traseira.
Considerando p < 3, determine:
a) A velocidade escalar média do caminhão, em km/h.
b) A distância percorrida por ele nesse trecho do trajeto. 
 3. (UFRJ) No dia 10 de setembro de 2008, foi inaugurado o mais potente acelerador de partículas 
já construído. O acelerador tem um anel, considerado nesta questão como circular, de 27 km de 
comprimento, no qual prótons são postos a girar em movimento uniforme.
Supondo que um dos prótons se mova em uma circunferência de 27 km de comprimento, com velocida-
de de módulo v = 240.000 km/s, calcule o número de voltas que esse próton dá no anel em uma hora. 
 4. (CFTCE) Uma bicicleta parte do repouso e percorre 20 m em 4 s com aceleração constante. Sabendo-
-se que as rodas desta bicicleta têm 40 cm de raio, com que frequência estará girando no final 
deste percurso? 
 5. (UFPE) Uma arma dispara 30 balas/minuto. Estas balas atingem um disco girante sempre no 
mesmo ponto atravessando um orifício. Qual a frequência de rotação do disco, em rotações por 
minuto?
 6. (UNIOESTE) Dois carros percorrem uma mesma pista circular com sentidos contrários. Um deles 
percorre toda a pista em três minutos e o outro o faz em dois minutos. Qual é, em segundos, o 
intervalo de tempo decorrido entre dois encontros consecutivos? 
 7. (UFRJ) O olho humano retém durante 1/24 de segundo as imagens que se formam na retina. Essa 
memória visual permitiu a invenção do cinema. A filmadora bate 24 fotografias (fotogramas) por 
segundo. Uma vez revelado, o filme é projetado à razão de 24 fotogramas por segundo. Assim, o 
fotograma seguinte é projetado no exato instante em que o fotograma anterior está desaparecendo 
de nossa memória visual, o que nos dá a sensação de continuidade.
Filma-se um ventilador cujas pás estão girando no sentido horário. O ventilador possui quatro pás 
simetricamente dispostas, uma das quais pintadas de cor diferente, como ilustra a figura.
Ao projetarmos o filme, os fotogramas aparecem na tela na seguinte sequência
27
o que nos dá a sensação de que as pás estão 
girando no sentido anti-horário.
Calcule quantas rotações por segundo, no 
mínimo, as pás devem estar efetuando para 
que isto ocorra. 
 8. (UFPE) Em um determinado instante t
0
 de 
uma competição de corrida, a distância rela-
tiva ao longo da circunferência da pista, en-
tre dois atletas A e B, é 13 metros. Os atletas 
correm com velocidades diferentes, porém 
constantes e no mesmo sentido (anti-horá-
rio), em uma pista circular. Os dois passam 
lado a lado pelo ponto C, diametralmente 
oposto à posição de B no instante t
0
, exata-
mente 20 segundos depois. Qual a diferença 
de velocidade entre eles, medida em cm/s?
 9. (UFPE) A figura a seguir mostra um tipo 
de brinquedo de um parque de diversões. As 
rodas menores giram com uma velocidade 
angular de π/5 rad/s, independentemente 
da roda maior que gira a π/300 rad/s. Qual o 
número de voltas completas da roda peque-
na que terá dado o ocupante da cadeira ha-
churada, inicialmente no ponto mais baixo, 
quando o centro da roda pequena, na qual 
ele se encontra, atinge o ponto mais alto da 
roda maior? (Esse tipo de roda gigante per-
mite trocar os ocupantes de uma roda me-
nor, enquanto os demais se divertem!)
 10. (G1) Duas partículas percorrem uma mesma 
trajetória em movimentos circulares unifor-
mes, uma no sentido horário e a outra no 
sentido anti-horário. A primeira efetua 1/3 
rpm e a segunda 1/4 rpm. Sabendo que par-
tiram do mesmo ponto, em uma hora, quan-
tas vezes se encontrarão? 
E.O. UERJ 
EXAME DE QUALIFICAÇÃO
 1. (UERJ) Segundo o modelo simplificado de 
Bohr, o elétron do átomo de hidrogênio exe-
cuta um movimento circular uniforme, de 
raio igual a 5,0 × 10–11 m, em torno do pró-
ton, com período igual a 2 × 10–15 s.
Com o mesmo valor da velocidade orbital no 
átomo, a distância, em quilômetros, que esse 
elétron percorreria no espaço livre, em linha 
reta, durante 10 minutos, seria da ordem de: 
a) 102 
b) 103 
c) 104 
d) 105 
 2. (UERJ) Um feixe de raios paralelos de luz é 
interrompido pelo movimento das três pás 
de um ventilador. Essa interrupção gera uma 
série de pulsos luminosos. 
Admita que as pás e as aberturas entre elas 
tenham a forma de trapézios circulares demesma área, como ilustrados a seguir.
Se as pás executam 3 voltas completas por 
segundo, o intervalo de tempo entre o início 
e o fim de cada pulso de luz é igual, em se-
gundos, ao inverso de: 
a) 3. 
b) 6. 
c) 12. 
d) 18. 
E.O. UERJ 
EXAME DISCURSIVO
 1. (UERJ) Uma pequena pedra amarrada a uma 
das extremidades de um fio inextensível de 1 
m de comprimento, preso a um galho de ár-
vore pela outra extremidade, oscila sob ação 
do vento entre dois pontos equidistantes e 
próximos à vertical. Durante 10 s, observou-
-se que a pedra foi de um extremo ao outro, 
retornando ao ponto de partida, 20 vezes.
Calcule a frequência de oscilação desse pên-
dulo. 
28 
 2. (UERJ) Dois móveis, A e B, percorrem uma 
pista circular em movimento uniforme. Os 
dois móveis partiram do mesmo ponto e no 
mesmo sentido com as velocidades de 1,5 rad/s 
e 3,0 rad/s, respectivamente; o móvel B, po-
rém, partiu 4 segundos após o A.
Calcule o intervalo de tempo decorrido, após 
a partida de A, no qual o móvel B alcançou o 
móvel A pela primeira vez. 
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
 1. (Fuvest)
Posição I
Posição II
60º
Pólo Sul
Celeste
Sul
Uma regra prática para orientação no hemis-
fério Sul, em uma noite estrelada, consiste 
em identificar a constelação do Cruzeiro do 
Sul e prolongar três vezes e meia o braço 
maior da cruz, obtendo-se assim o chama-
do Polo Sul Celeste, que indica a direção Sul. 
Suponha que, em determinada hora da noi-
te, a constelação seja observada na Posição 
I. Nessa mesma noite, a constelação foi/será 
observada na Posição II, cerca de:
a) duas horas antes. 
b) duas horas depois. 
c) quatro horas antes. 
d) quatro horas depois. 
e) seis horas depois. 
 2. (Unesp) Dois atletas estão correndo numa 
pista de atletismo com velocidades constan-
tes, mas diferentes. O primeiro atleta loco-
move-se com velocidade v e percorre a faixa 
mais interna da pista, que na parte circular 
tem raio R. O segundo atleta percorre a faixa 
mais externa, que tem raio 3R ___ 
2
 . Num mesmo 
instante, os dois atletas entram no trecho 
circular da pista, completando-o depois de 
algum tempo. Se ambos deixam este trecho 
simultaneamente, podemos afirmar que a 
velocidade do segundo atleta é:
a) 3v.
b) 3v ___ 
2
 .
c) v.
d) 2v ___ 
3
 .
e) v __ 
3
 .
 3. (Unicamp) As máquinas cortadeiras e colhei-
tadeiras de cana-de-açúcar podem substituir 
dezenas de trabalhadores rurais, o que pode 
alterar de forma significativa a relação de 
trabalho nas lavouras de cana-de-açúcar. A 
pá cortadeira da máquina ilustrada na figura 
abaixo gira em movimento circular uniforme 
a uma frequência de 300 rpm. A velocidade 
de um ponto extremo P da pá vale:
(Considere p ≅ 3)
a) 9 m/s. 
b) 15 m/s. 
c) 18 m/s. 
d) 60 m/s. 
 4. (Unicamp) Anemômetros são instrumentos 
usados para medir a velocidade do vento. A 
sua construção mais conhecida é a proposta 
por Robinson em 1846, que consiste em um 
rotor com quatro conchas hemisféricas pre-
sas por hastes, conforme figura abaixo. Em 
um anemômetro de Robinson ideal, a veloci-
dade do vento é dada pela velocidade linear 
das conchas. Um anemômetro em que a dis-
tância entre as conchas e o centro de rotação 
é r = 25 cm, em um dia cuja velocidade do 
vento é v = 18 km/h, teria uma frequência 
de rotação de:
Se necessário, considere π ≈ 3. 
a) 3 rpm. 
b) 200 rpm. 
c) 720 rpm. 
d) 1200 rpm. 
29
 5. (Unicamp) Considere um computador que 
armazena informações em um disco rígido 
que gira a uma frequência de 120 Hz. Cada 
unidade de informação ocupa um compri-
mento físico de 0,2 μm na direção do movi-
mento de rotação do disco. Quantas informa-
ções magnéticas passam, por segundo, pela 
cabeça de leitura, se ela estiver posicionada 
a 3 cm do centro de seu eixo, como mostra o 
esquema simplificado apresentado abaixo?
(Considere π ≈ 3.)
 
a) 1,62 × 106. 
b) 1,8 × 106. 
c) 64,8 × 108. 
d) 1,08 × 108. 
 6. (Fuvest) Um disco de raio r gira com ve-
locidade angular w constante. Na borda do 
disco, está presa uma placa fina de material 
facilmente perfurável. Um projétil é dispa-
rado com velocidade 
 __
 
›
 v em direção ao eixo 
do disco, conforme mostra a figura, e fura a 
placa no ponto A. Enquanto o projétil prosse-
gue sua trajetória sobre o disco, a placa gira 
meia circunferência, de forma que o projétil 
atravessa mais uma vez o mesmo orifício que 
havia perfurado. Considere a velocidade do 
projétil constante e sua trajetória retilínea. 
O módulo da velocidade 
 __
 
›
 v do projétil é: 
a) wr ___ π . 
b) 2wr ____ π . 
c) wr ___ 
2π
 . 
d) wr. 
e) πw ___ r . 
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
 1. (Unicamp) Várias Leis da Física são facil-
mente verificadas em brinquedos encontra-
dos em parques de diversões. Suponha que 
em certo parque de diversões uma criança 
está brincando em uma roda gigante e outra 
em um carrossel.
a) A roda gigante de raio R = 20 m gira com 
velocidade angular constante e executa uma 
volta completa em T = 240 s. No gráfico a) 
abaixo, marque claramente com um ponto 
a altura h da criança em relação à base da 
roda gigante nos instantes t = 60 s, t = 120 s, 
t = 180 s e t = 240 s, e, em seguida, esboce 
o comportamento de h em função do tempo. 
Considere que, para t = 0, a criança se en-
contra na base da roda gigante, onde h = 0.
b) No carrossel, a criança se mantém a uma dis-
tância r = 4 m do centro do carrossel e gira 
com velocidade angular constante v
0
. Base-
ado em sua experiência cotidiana, estime o 
valor de v
0
 para o carrossel e, a partir dele, 
calcule o módulo da aceleração centrípeta a
c
 
da criança nos instantes t = 10 s, t = 20 s, 
t = 30 s e t = 40 s. Em seguida, esboce o 
comportamento de a
c
 em função do tempo 
no gráfico b) abaixo, marcando claramente 
com um ponto os valores de a
c
 para cada um 
dos instantes acima. Considere que, para t = 0, 
o carrossel já se encontra em movimento.
 2. (Unicamp) A evolução da sociedade tem au-
mentado a demanda por energia limpa e reno-
vável. Tipicamente, uma roda d’água de moi-
nho produz cerca de 40 kWh (ou 1,4 × 108 J) 
diários. Por outro lado, usinas nucleares for-
necem em torno de 20% da eletricidade do 
mundo e funcionam através de processos con-
trolados de fissão nuclear em cadeia.
Um sitiante pretende instalar em sua pro-
priedade uma roda d’água e a ela acoplar 
um gerador elétrico. A partir do fluxo de 
água disponível e do tipo de roda d’água, 
ele avalia que a velocidade linear de um 
ponto da borda externa da roda deve ser 
v = 2,4 m/s. Além disso, para que o gera-
dor funcione adequadamente, a frequência 
de rotação da roda d’água deve ser igual a 
0,20 Hz. Qual é o raio da roda d’água a ser 
instalada? Use p = 3.
30 
 3. (Unesp) Pesquisadores têm observado que a 
capacidade de fertilização dos espermatozoi-
des é reduzida quando estas células reprodu-
toras são submetidas a situações de intenso 
campo gravitacional, que podem ser simu-
ladas usando centrífugas. Em geral, uma 
centrífuga faz girar diversos tubos de ensaio 
ao mesmo tempo; a figura representa uma 
centrífuga em alta rotação, vista de cima, 
com quatro tubos de ensaio praticamente no 
plano horizontal. 
9,0cm
As amostras são acomodadas no fundo de 
cada um dos tubos de ensaio e a distância do 
eixo da centrífuga até os extremos dos tubos 
em rotação é 9,0 cm. Considerando g = 10 m/
s2, calcule a velocidade angular da centrífuga 
para gerar o efeito de uma aceleração gravi-
tacional de 8,1 g. 
 4. (Unesp) Satélites de órbita polar giram 
numa órbita que passa sobre os polos terres-
tres e que permanece sempre em um plano 
fixo em relação às estrelas. Pesquisadores de 
estações oceanográficas, preocupados com os 
efeitos do aquecimento global, utilizam sa-
télites desse tipo para detectar regularmente 
pequenas variações de temperatura e medir 
o espectro da radiação térmica de diferen-
tes regiões do planeta. Considereo satélite a 
5298 km acima da superfície da Terra, des-
locando-se com velocidade de 5 849 m/s em 
uma órbita circular. Estime quantas passa-
gens o satélite fará pela linha do equador em 
cada período de 24 horas.
Utilize a aproximação p = 3,0 e suponha a 
Terra esférica, com raio de 6400 km. 
 5. (Unifesp 2017) Um avião, logo após a ater-
rissagem, está em movimento retilíneo so-
bre a pista horizontal, com sua hélice giran-
do com uma frequência constante de 4 Hz.
Considere que em um determinado interva-
lo de tempo a velocidade escalar desse avião 
em relação ao solo é constante e igual a 2 
m/s, que cada pá da hélice tem 1 m de com-
primento e que π = 3. Calcule:
a) a distância, em metros, percorrida pelo avião 
enquanto sua hélice dá 12 voltas completas.
b) o módulo da velocidade vetorial instantâ-
nea, em m/s de um ponto da extremidade 
de uma das pás da hélice do avião, em rela-
ção ao solo, em determinado instante desse 
intervalo. 
 6. (Unicamp) 
O quadro (a), acima, refere-se à imagem de 
televisão de um carro parado, em que pode-
mos distinguir claramente a marca do pneu 
("PNU"). Quando o carro está em movimen-
to, a imagem da marca aparece como um 
borrão em volta de toda a roda, como ilus-
trado em (b).
A marca do pneu volta a ser nítida, mesmo 
com o carro em movimento, quando este 
atinge uma determinada velocidade. Essa 
ilusão de movimento na imagem gravada é 
devido à frequência de gravação de 30 qua-
dros por segundo (30 Hz). Considerando que 
o diâmetro do pneu é igual a 0,6 m e π = 3,0, 
responda:
a) Quantas voltas o pneu completa em um se-
gundo, quando a marca filmada pela câmara 
aparece parada na imagem, mesmo estando 
o carro em movimento?
b) Qual a menor frequência angular w do pneu 
em movimento, quando a marca aparece pa-
rada?
c) Qual a menor velocidade linear (em m/s) 
que o carro pode ter na figura (c)? 
31
GABARITO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. E 3. C 4. E 5. B
6. D 7. C 8. A 9. A 10. C
E.O. Fixação
1. D 2. A 3. D 4. C 5. C
6. C 7. A 8. C 9. C 10. C
E.O. Complementar
1. B 2. C 3. D 4. A 5. B
E.O. Dissertativo
 1. v – v
mín
 = 2Rv _____ 
u
 – Rv ___ p .
v – v
mín
 = vR ___ 
pu
 (2p – u).
 2. 
a) v = 108 km/h.
b) DS
T
 = 54 m.
 3. 32 000 000 voltas.
 4. f ≈ 4 Hz.
 5. 30 rpm.
 6. 72 s.
 7. 18 rotações por segundo. 
 8. 65 cm/s. 
 9. 30 voltas.
 10. A primeira partícula efetua 1/3 rpm o que 
corresponde a 15 voltas por hora, enquanto 
que a segunda faz 20 voltas por hora.
Do ponto de vista de uma das partículas a 
outra executa 35 voltas por hora. Assim elas 
se encontram 35 vezes em uma hora. 
E.O. UERJ
Exame de Qualificação
1. D 2. D
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
 1. f = 2 Hz.
 2. t = 8 s.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. B 3. C 4. B 5. D
6. B
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
a) Dados: R = 20 m; T = 240 s.
A Fig. 1 mostra a roda gigante e as posi-
ções da criança em cada um dos instantes 
citados.
No gráfico a) estão assinalados esses pontos.
Para traçar a curva do gráfico a), vamos 
encontrar a função que fornece a altura 
em função do tempo [h = f(t)].
Novamente na Fig.1 notamos que:
h = R – R cos ⇒ h = R(1 – cosu) ⇒ 
h = 20(1 – cosu) (I).
Mas:
u = vt ⇒ u = 2p ___ 
T
 t ⇒ u = 2p ____ 
240
 t ⇒
⇒ u = p _____ 
120t
 (II).
Substituindo (II) em (I):
h = 20 ( 1 – cos p ____ 120 t ) .
A partir dessa função, obtemos a tabela 
abaixo para a construção do gráfico. A 
curva tem forma senoidal.
t(s) h(m)
0 0,0
30 5,9
60 20
90 34,1
120 40
150 34,1
180 20
210 5,9
240 0
32 
b) Dados: R = 4 m; p = 3.
Estimando um período de 20 s para o mo-
vimento do carrossel, temos:
v
0
 = 2p ___ 
T
 = 
2(3)
 _____ 
20
 ⇒ v
0
 = 0,3 rad/s.
Como se trata de movimento circular uni-
forme, a aceleração centrípeta tem módu-
lo constante. Calculando-o:
a
c
 = v 2 0 R = (0, 3)
2 4 ⇒ ac = 0,36 m/s2 
(constante). Assim, o gráfico é um seg-
mento de reta horizontal.
 2. r = 
2,4
 ___ 
1,2
 = 2 m
 3. 30 rad/s
 4. 14 passagens efetivas. 
 5. 
a) ∆S = v
av
 · ∆t = 2 × 3 = 6 m
b) v = √
________
 242 + 22 ≅ √
____
 242 = 24 m/s
 6. 
a) 30 voltas ou 60 voltas ou 90 voltas, ou 
seja, 30 · n voltas, com n natural não 
nulo.
b) 180 rad/s
c) 54 m/s 
Aulas
21 e 22
Transmissão de movimento circular
Competências 1, 2, 5 e 6
Habilidades 1, 6, 17 e 20
©
 T
ho
m
as
LE
NN
E/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Competência 1 – Compreender as ciências naturais e as tecnologias a elas associadas como construções humanas, percebendo seus papéis nos 
processos de produção e no desenvolvimento econômico e social da humanidade.
H1 Reconhecer características ou propriedades de fenômenos ondulatórios ou oscilatórios, relacionando-os a seus usos em diferentes contextos.
H2 Associar a solução de problemas de comunicação, transporte, saúde ou outro, com o correspondente desenvolvimento científico e tecnológico. 
H3 Confrontar interpretações científicas com interpretações baseadas no senso comum, ao longo do tempo ou em diferentes culturas.
H4
Avaliar propostas de intervenção no ambiente, considerando a qualidade da vida humana ou medidas de conservação, recuperação ou utilização sustentável 
da biodiversidade.
Competência 2 – Identificar a presença e aplicar as tecnologias associadas às ciências naturais em diferentes contextos.
H5 Dimensionar circuitos ou dispositivos elétricos de uso cotidiano.
H6 Relacionar informações para compreender manuais de instalação ou utilização de aparelhos, ou sistemas tecnológicos de uso comum.
H7
Selecionar testes de controle, parâmetros ou critérios para a comparação de materiais e produtos, tendo em vista a defesa do consumidor, a saúde do 
trabalhador ou a qualidade de vida.
Competência 3 – Associar intervenções que resultam em degradação ou conservação ambiental a processos produtivos e sociais e a instrumen-
tos ou ações científico-tecnológicos.
H8
Identificar etapas em processos de obtenção, transformação, utilização ou reciclagem de recursos naturais, energéticos ou matérias-primas, considerando 
processos biológicos, químicos ou físicos neles envolvidos.
H9
Compreender a importância dos ciclos biogeoquímicos ou do fluxo energia para a vida, ou da ação de agentes ou fenômenos que podem causar alterações 
nesses processos.
H10 Analisar perturbações ambientais, identificando fontes, transporte e(ou) destino dos poluentes ou prevendo efeitos em sistemas naturais, produtivos ou sociais.
H11
Reconhecer benefícios, limitações e aspectos éticos da biotecnologia, considerando estruturas e processos biológicos envolvidos em produtos biotecnoló-
gicos.
H12 Avaliar impactos em ambientes naturais decorrentes de atividades sociais ou econômicas, considerando interesses contraditórios.
Competência 4 – Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando 
conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais.
H13 Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos.
H14
Identificar padrões em fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, 
entre outros.
H15 Interpretar modelos e experimentos para explicar fenômenos ou processos biológicos em qualquer nível de organização dos sistemas biológicos.
H16 Compreender o papel da evolução na produção de padrões, processos biológicos ou na organização taxonômica dos seres vivos.
Competência 5 – Entender métodos e procedimentos próprios das ciências naturais e aplicá-los em diferentes contextos.
H17
Relacionar informações apresentadas em diferentes formas de linguagem e representação usadas nas ciências físicas, químicas ou biológicas, como texto 
discursivo, gráficos, tabelas, relações matemáticas ou linguagem simbólica.
H18 Relacionar propriedades físicas, químicas ou biológicas de produtos,sistemas ou procedimentos tecnológicos às finalidades a que se destinam.
H19
Avaliar métodos, processos ou procedimentos das ciências naturais que contribuam para diagnosticar ou solucionar problemas de ordem social, econômica 
ou ambiental.
Competência 6 – Apropriar-se de conhecimentos da física para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científico-
-tecnológicas.
H20 Caracterizar causas ou efeitos dos movimentos de partículas, substâncias, objetos ou corpos celestes.
H21 Utilizar leis físicas e (ou) químicas para interpretar processos naturais ou tecnológicos inseridos no contexto da termodinâmica e(ou) do eletromagnetismo.
H22
Compreender fenômenos decorrentes da interação entre a radiação e a matéria em suas manifestações em processos naturais ou tecnológicos, ou em suas 
implicações biológicas, sociais, econômicas ou ambientais.
H23
Avaliar possibilidades de geração, uso ou transformação de energia em ambientes específicos, considerando implicações éticas, ambientais, sociais e/ou 
econômicas.
Competência 7 – Apropriar-se de conhecimentos da química para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científico-
-tecnológicas.
H24 Utilizar códigos e nomenclatura da química para caracterizar materiais, substâncias ou transformações químicas
H25
Caracterizar materiais ou substâncias, identificando etapas, rendimentos ou implicações biológicas, sociais, econômicas ou ambientais de sua obtenção ou 
produção.
H26
Avaliar implicações sociais, ambientais e/ou econômicas na produção ou no consumo de recursos energéticos ou minerais, identificando transformações 
químicas ou de energia envolvidas nesses processos.
H27 Avaliar propostas de intervenção no meio ambiente aplicando conhecimentos químicos, observando riscos ou benefícios.
Competência 8 – Apropriar-se de conhecimentos da biologia para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científico 
tecnológicas.
H28
Associar características adaptativas dos organismos com seu modo de vida ou com seus limites de distribuição em diferentes ambientes, em especial em 
ambientes brasileiros.
H29
Interpretar experimentos ou técnicas que utilizam seres vivos, analisando implicações para o ambiente, a saúde, a produção de alimentos, matérias primas 
ou produtos industriais.
H30
Avaliar propostas de alcance individual ou coletivo, identificando aquelas que visam à preservação e a implementação da saúde individual, coletiva ou do 
ambiente.
35
TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Os motores, em geral, possuem uma frequência de rotação fixa. No entanto, diversos sistemas girantes acionados 
por esses motores precisam de frequências de rotação diferentes daquela do motor. Assim, para modificar as fre-
quências de rotação são utilizadas diversas polias, conectadas por correias ou engrenagens.
Por meio de uma ligação com uma correia, ou através do contato direto, o movimento circular de uma polia 
ou engrenagem pode ser transmitido para outra.
Contato entre rodas ou engrenagens. Neste caso há inversão do sentido do movimento.
Ligação por correia. Polias e correia movimentam-se no mesmo sentido.
Para os dois tipos de ligações, se não houver escorregamento das polias ou engrenagens, a velocidade 
escalar de qualquer um dos pontos externos (periféricos) é igual, e igual à velocidade escalar da correia, isto é:
v
A
 = v
B
36
Então, a partir da relação entre as velocidades linear e angular (v = vR) e a relação entre a velocidade 
angular e frequência (v = 2pf), podemos escrever:
v
A
 = v
B
 ⇒
v
A
R
A
 = v
B
R
B
 ⇒
2pf
A
R
A
 = 2pf
B
R
B
 ⇒
f
A
R
A
 = f
B
R
B
Essa relação mostra que a frequência e o raio são inversamente proporcionais. Assim, a roda de maior raio, 
em um sistema acoplado, tem frequência menor.
Teoria na prática
1. Duas polias são ligadas por uma corrente. A menor, tem raio de 10 cm e a maior tem raio de 15 cm e gira 
com frequência de 30 rpm. 
a) Qual é a frequência da polia menor?
b) Qual é a velocidade linear da polia maior? E da polia menor?
Resolução:
a) Pela fórmula da relação entre raio e frequência apresentada, temos:
R
A
 · f
A
 = R
B
 · f
B
 ⇒
10 · f
A
 = 15 · 30 ⇒
f
A
 = 45 rpm
b) Ambas as polias estão conectadas por uma corrente, portanto, ambas possuem a mesma velocidade 
linear (igual a velocidade da corrente), e então, a velocidade pode ser calculada usando qualquer uma 
das polias. Assim, usando os dados da polia menor e lembrando de converter a frequência para o S.I., 
temos que:
v
A
 = 2p · f
A
 · R
A
 ⇒
v
A
 = 2p · 0,75 Hz · 0,10 m ⇒
v
A
 = 0,15p m/s
e
v
B
 = 0,15p m/s
No entanto, se as polias, ou engrenagens, estiverem conectadas pelo mesmo eixo (polias coaxiais), ou seja, 
giram fixadas em um mesmo eixo, a velocidade angular w será igual.
Polias coaxiais.
w
A
 = w
B
37
Dessa forma, a relação entre as frequências de rotação é:
w
A
 = w
B
 ⇒
 2p ___ 
T
A
 = 2p ___ 
T
B
 ⇒ 1 __ 
T
A
 = 1 __ 
T
B
 ⇒
f
A
 = f
B
2. Duas polias são conectadas por um mesmo eixo. Uma das polias tem raio de 10 cm, e a outra tem raio de 
15 cm e gira com frequência de 30 rpm.
a) Qual é a frequência da polia menor?
b) Qual é a velocidade linear da polia maior? E da polia menor?
Resolução:
a) Ambas as polias estão conectadas por um mesmo eixo e portanto, ambas possuem a mesma velocidade 
angular e também a mesma frequência. Assim, polia menor tem velocidade angular de 30 rpm.
b) Para a polia menor temos que:
v
A
 = 2p · f
A
 · R
A
 ⇒
v
A
 = 2p · 0,5 Hz · 0,10 m ⇒
V
A
 = 0,1p m/s
Para a polia maior:
v
B
 = 2p · f
B
 · R
B
 ⇒
v
B
 = 2p · 0,5 Hz · 0,15 m ⇒
v
B
 = 0,15p m/s
3. A figura abaixo mostra um sistema de polias. Os raios das polias estão relacionados de modo que 
Rw = Ry = Rz = 1 __ 
2
 R
x
, e a polia W gira com frequência de 2 Hz. Qual é a frequência de rotação da polia Z?
Resolução:
Da figura, temos:
 v
w
 = v
x
 ⇒ v
w
 R
w
 = v
x
R
x
 v
x
 = v
y
 (polias com o mesmo eixo)
 2pf
w
R
w
 = 2pf
x
R
x
 2pf
x
 = 2pf
y
 2 · 1 __ 
2
 R
x
 = f
x
R
x
 f
x
 = f
y
 f
x
 = 1 Hz se f
x
 = 1 Hz ⇒ f
y
 = 1 Hz
38
Como v
y
 = v
z
 e R
y
 = R
z
, temos:
v
y
R
y
 = v
z
R
z
2pf
y
R
y
 = 2pf
z
R
z
f
y
 = f
z
 = 1 Hz
Portanto, a frequência da polia Z é f
z
 = 1 Hz.
4. (Unesp 2016) Um pequeno motor a pilha é utilizado para movimentar um carrinho de brinquedo. Um sis-
tema de engrenagens transforma a velocidade de rotação desse motor na velocidade de rotação adequada 
às rodas do carrinho. Esse sistema é formado por quatro engrenagens, A,B, C e D, sendo que A está presa 
ao eixo do motor, B e C estão presas a um segundo eixo e a um terceiro eixo, no qual também estão presas 
duas das quatro rodas do carrinho.
Nessas condições, quando o motor girar com frequência f
M
 as duas rodas do carrinho girarão com frequência 
f
R
. Sabendo que as engrenagens A e C possuem 8 dentes, que as engrenagens B e D possuem 24 dentes, 
que não há escorregamento entre elas e que f
M
 = 13,5 Hz, é correto afirmar que f
R
 em Hz é igual a 
a) 1,5.
b) 3,0.
c) 2,0.
d) 1,0.
e) 2,5.
Resolução:
Os raios das engrenagens (R) e os números de dentes (n) são diretamente proporcionais.
Assim:
 
R
A __ 
R
B
 = 
R
C __ 
R
D
 = 
n
A ___ n
B
 = 
8 ___ 
24
 = 1 __ 
3
 
A e B estão acopladas tangencialmente:
v
A 
= v
B
 ⇒ 2 πf
A
R
A
 = 2 πf
B
R
B
 ⇒ f
A
R
A 
= f
B
R
B
Mas: f
A
 = f
M
 ⇒ f
M
R
A
= f
B
R
B
 ⇒ F
B
 = f
M
 
R
A __ 
R
B
 
 
= f
M
 1 __ 
3
 ⇒ f
B
 = 
f
M __ 
3
 
B e C estão acopladas coaxialmente:
f
C
 = f
B
 = 
f
M __ 
3
 
C e D estão acopladas tangencialmente:
v
C
 = v
D 
⇒ 2πf
C
R
C
 = 2πf
D
R
D
 ⇒ f
C
R
C
 = f
D
R
D
39
 Mas: f
D
 = f
R
 ⇒ f
C
R
C 
= f
R
R
D
 ⇒ F
R
 = f
C
 
R
C __ 
R
D
 
 
= f
R
 = 
f
M __ 
3
 1 __ 
3
 ⇒ f
R
 = 
f
M __ 
9
 ⇒ 
f
R
 = 
13,5
 ____ 
9
 ⇒ f
R
 = 1,5 Hz
AlternativaA
5. (UECE) Em uma obra de construção civil, uma carga de tijolos é elevada com uso de uma corda que passa 
com velocidade constante de 13,5 m/s e sem deslizar por duas polias de raios 27 cm e 54 cm. A razão entre 
a velocidade angular da polia grande e da polia menor é: 
a) 3.
b) 2.
c) 2/3.
d) 1/2.
Resolução:
A velocidade linear é a mesma para as duas polias.
v
G
 = v
M
 ⇒ w
G
R
G
 = w
M
R
M
 ⇒ 
w
G ___ w
M 
 = 
R
M __ 
R
G
 = 27 ___ 
54
 ⇒ 
w
G ___ w
M
 
 
= 1 __ 
2
 
Altenativa D
INTERATIVIDADE
ASSISTIR
Vídeo Transmissão de Movimento Circular - Questão ENEM 2013
40
Fonte: Youtube
Sites Mecatrônica robótica, Mecânica
www.newtoncbraga.com.br/index.php/110-mecatronica/robotica/12092-polias-e-
engrenagens-mec189
osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2013/06/cursos-do-blog-mecanica_24.html
pt.wikihow.com/Mudar-a-Marcha-de-uma-Bicicleta
ACESSAR
Vídeo Incríveis sistemas de engrenagens
Fonte: Youtube
Vídeo
Fonte: Youtube
Engrenagem, correia e eixo (Vídeo 8.4 - Volume 1)
41
APLICAÇÃO NO COTIDIANO
INTERDISCIPLINARIDADE
A aplicação mais importante de transmissão de movimento no nosso cotidiano está nas engrenagens e polias 
presente nos sistemas mecânicos ao nosso redor, desde um simples relógio até motores e rotores, presentes em 
automóveis. As engrenagens operam aos pares, os dentes de uma se intercalando com os espaços entre os dentes 
de outra. Caso o arranjo dos dentes não seja circular, aparecerá uma variação entre as velocidades das engrena-
gens. A maioria das engrenagens é de forma circular, e isso que permite o funcionamento preciso dos mecanismos 
que usamos no nosso dia-a-dia.
Parte importante de qualquer mecanismo que transfira movimento circular, a roda é uma das maiores invenções 
da humanidade. A região de Ur, na Mesopotâmia, em 3500 a.C., é o local no tempo-espaço mais aceito como a 
primeira representação de uma roda, que aparece como um artefato feito de madeira numa carroça. É aceito, base-
ado em artefatos encontrados por arqueólogos, que os chineses teriam começado a usá-la em torno de 2000 a.C. 
Muitos séculos depois, já na Idade Moderna, inovações no uso de materiais fizeram a invenção da roda adquirir 
novas funções e ganhar eficiência, se tornando um transporte mais fácil e rápido, contribuindo para transformar 
as primeiras aglomerações humanas em cidades maiores, além de transformar as formas de geração de energia.
42
E.O. APRENDIZAGEM
 1. (UFRGS) A figura apresenta esquematica-
mente o sistema de transmissão de uma bi-
cicleta convencional.
Na bicicleta, a coroa A conecta-se à catraca B 
através da correia P. Por sua vez, B é ligada 
à roda traseira R, girando com ela quando o 
ciclista está pedalando.
Nesta situação, supondo que a bicicleta se 
move sem deslizar, as magnitudes das velo-
cidades angulares, wA, wB e wR, são tais que: 
a) wA < wB = wR. 
b) wA = wB < wR. 
c) wA = wB = wR. 
d) wA < wB < wR. 
e) wA > wB = wR. 
 2. (UESPI) A engrenagem da figura a seguir é 
parte do motor de um automóvel. Os discos 
1 e 2, de diâmetros 40 cm e 60 cm, respec-
tivamente, são conectados por uma correia 
inextensível e giram em movimento circu-
lar uniforme. Se a correia não desliza sobre 
os discos, a razão w1/w2 entre as velocidades 
angulares dos discos vale:
a) 1/3.
b) 2/3.
c) 1.
d) 3/2.
e) 3.
 3. (UFPR) Um ciclista movimenta-se com sua bici-
cleta em linha reta a uma velocidade constante 
de 18 km/h. O pneu, devidamente montado na 
roda, possui diâmetro igual a 70 cm. No centro 
da roda traseira, presa ao eixo, há uma roda 
dentada de diâmetro 7,0 cm. Junto ao pedal 
e preso ao seu eixo há outra roda dentada de 
diâmetro 20 cm. As duas rodas dentadas estão 
unidas por uma corrente, conforme mostra a 
figura. Não há deslizamento entre a corrente 
e as rodas dentadas. Supondo que o ciclista 
imprima aos pedais um movimento circular 
uniforme, assinale a alternativa correta para o 
número de voltas por minuto que ele impõe aos 
pedais durante esse movimento. Nesta ques-
tão, considere π = 3.
a) 0,25 rpm.
b) 2,50 rpm.
c) 5,00 rpm.
d) 25,0 rpm.
e) 50,0 rpm.
 4. (UFPB) Em uma bicicleta, a transmissão do 
movimento das pedaladas se faz através de 
uma corrente, acoplando um disco dentado 
dianteiro (coroa) a um disco dentado tra-
seiro (catraca), sem que haja deslizamento 
entre a corrente e os discos. A catraca, por 
sua vez, é acoplada à roda traseira de modo 
que as velocidades angulares da catraca e da 
roda sejam as mesmas (ver a seguir figura 
representativa de uma bicicleta).
Em uma corrida de bicicleta, o ciclista des-
loca-se com velocidade escalar constante, 
mantendo um ritmo estável de pedaladas, 
capaz de imprimir no disco dianteiro uma 
velocidade angular de 4 rad/s, para uma con-
figuração em que o raio da coroa é 4R, o raio 
da catraca é R e o raio da roda é 0,5 m. Com 
base no exposto, conclui-se que a velocidade 
escalar do ciclista é:
a) 2 m/s.
b) 4 m/s.
c) 8 m/s.
d) 12 m/s.
e) 16 m/s.
 5. Duas engrenagens estão associadas de forma 
que os dentes de uma encaixem-se na outra. 
Sabe-se que a frequência de uma delas é de 
80 Hz, bem como o seu diâmetro de 0,20 m. 
Se a outra engrenagem possui um raio de 
0,20 m qual deve ser sua frequência?
43
a) 80 Hz.
b) 40 Hz.
c) 160 Hz.
d) 20 Hz.
e) 1 Hz.
 6. (CFTSC) Na figura abaixo, temos duas polias 
de raios R1 e R2, que giram no sentido horá-
rio, acopladas a uma correia que não desliza 
sobre as polias.
Com base no enunciado acima e na ilustra-
ção, é correto afirmar que: 
a) a velocidade angular da polia 1 é numerica-
mente igual à velocidade angular da polia 2.
b) a frequência da polia 1 é numericamente 
igual à frequência da polia 2.
c) o módulo da velocidade na borda da polia 1 
é numericamente igual ao módulo da veloci-
dade na borda da polia 2.
d) o período da polia 1 é numericamente igual 
ao período da polia 2.
e) a velocidade da correia é diferente da veloci-
dade da polia 1.
 7. A figura abaixo ilustra duas catracas fixas, cujos 
dentes têm o mesmo passo, da roda traseira de 
uma bicicleta de marchas que se desloca com 
velocidade constante, pela ação do ciclista.
Os dentes P e Q estão sempre alinhados e 
localizados a distâncias RP e RQ (RP > RQ) em 
relação ao eixo central. Qual é a razão entre a 
velocidade angular no ponto P e no ponto Q ?
a) 0,50.
b) 2.
c) 1.
d) 10.
e) indeterminado.
 8. (PUC-RS) O acoplamento de engrenagens por 
correia C, como o que é encontrado nas bi-
cicletas, pode ser esquematicamente repre-
sentado por:
Considerando-se que a correia em movimen-
to não deslize em relação às rodas A e B, en-
quanto elas giram, é correto afirmar que: 
a) a velocidade angular das duas rodas é a mesma.
b) o módulo da aceleração centrípeta dos pon-
tos periféricos de ambas as rodas tem o 
mesmo valor.
c) a frequência do movimento de cada polia é 
inversamente proporcional ao seu raio.
d) as duas rodas executam o mesmo número de 
voltas no mesmo intervalo de tempo.
 9. (FGV) Uma grande manivela, quatro engre-
nagens pequenas de 10 dentes e outra de 24 
dentes, tudo associado a três cilindros de 8 
cm de diâmetro, constituem este pequeno 
moedor manual de cana.
Direção do giro
 da manivela
Acoplamento das engrenagens
 (lado da alavanca)
Ao produzir caldo de cana, uma pessoa gira 
a manivela fazendo-a completar uma volta a 
cada meio minuto.
Supondo que a vara de cana colocada entre os 
cilindros seja esmagada sem escorregamen-
to, a velocidade escalar com que a máquina 
puxa a cana para seu interior, em cm/s, é, 
aproximadamente,
Dado: Se necessário use π = 3.
a) 0,20. 
b) 0,35. 
c) 0,70.
d) 1,25. 
e) 1,50.
 10. (EEAR) Duas polias estão acopladas por uma 
correia que não desliza. Sabendo-se que o 
raio da polia menor é de 20 cm e sua frequ-
ência de rotação f1 é de 3.600 rpm, qual é a 
frequência de rotação f2 da polia maior, em 
rpm, cujo raio vale 50 cm? 
a) 9.000. 
b) 7.200. 
c) 1.440. 
d) 720. 
44
E.O. FIXAÇÃO
 1. (FGV) Sobre o teto da cabine do elevador, um 
engenhoso