1a LISTA DE EXERCÃ_CIOS DE PO I

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1a LISTA DE EXERCÍCIOS DE PO I 
Entregar no data do 1o exame 
Pontuação Máxima da Lista = Max(Min(10 – Max(N1), 2),1) 
 
Prof. Roger Rocha 
 
 
 
1) Dados os problemas abaixo: 
 
1 2 3 3
1 2 3
1 2
1 2 3
max 7 2 5
. .
2 5 20
0
, ,
I x x x x
s a
x x x
x x
x x x  
  
  
 
  
1 3 3
1 2 3
1 2
1 2 3
min 7 2 5
. .
2 5 20
0
, ,
II x x x
s a
x x x
x x
x x Z x  
  
  
 
  
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
max 7 2 5
. .
2 5 20
10,5 21 11,3 99,5
3 0
, ,
III x x x
s a
x x x
x x x
x x x
x x x  
  
  
  
  
  
 
 
Qual das opções descreve corretamente a classe de cada um deles: 
a) PL, PNL, PLIM 
b) PI, PNL, PLIM 
c) PL, PL, PLIM 
d) PNL, PL, PL 
e) PNL, PLIM, PL 
 
Onde: 
PL – Problema de Programação Linear 
PNL – Problema de Programação Não linear 
PI – Problema de Programação Inteira 
PLIM – Problema de Programação Linear Inteira Mista 
 
 
2) Uma empresa produz dois produtos X e Y utilizando três equipamentos distintos um 
torno (T), uma prensa (P) e uma furadeira (F). Cada máquina conta com 180, 240 e 600 
horas disponíveis, respectivamente, sendo que cada produto é obrigado a passar por todas 
elas. O produto X passa três horas em T, duas horas em P e seis horas em F. O produto Y 
passa duas horas em T, quatro em P e cinco em F. Sabendo que X é vendido por $ 60,00, Y 
por $80,00 e que o custo de X é $39,00 e o de V é $60,00. Formule o modelo de PL que 
maximize o lucro dessa empresa. Lembre-se: Defina as variáveis, monte as restrições e 
função objetivo e após apresente o modelo completo. 
 
 
 
 
 
3) Considere uma planta de manufatura capaz de produzir dois produtos P e Q, cujo lucro 
por unidade seja $6,00 e $8,00, respectivamente. O processo produtivo envolve duas 
operações, corte e furação. Para a operação de corte há 2 máquinas disponíveis e para a 
operação de furação há 3 máquinas em disponibilidade. Considerando que cada máquina 
opera 200 horas/mês e que para produzir uma unidade do produto P sejam necessárias 8 
horas de corte e 4 horas de furação e para a produção de uma unidade do produto Q sejam 
consumidas 4 horas de corte e 10 horas de furação. Pede-se: 
- Desenvolva um modelo matemático que permita a determinação do mix de produtos que 
maximize o lucro total durante um mês (função objetivo e restrições). 
 
 
4) Suponha que um agricultor queira adubar sua plantação e disponha de dois tipos de 
adubo. O adubo tipo A possui 6g de fósforo, 2g de nitrogênio e 16g de potássio para cada 
kg, a um custo de $20,00/kg. O adubo B possui 4g de fósforo, 6g de nitrogênio e 4g de 
potássio para cada kg, a um custo de $16,00/kg. Sabe-se que é necessário 1 kg de adubo 
para fertilizar 10 m2 de terra e que o solo em que estão as suas plantações necessita de pelo 
menos 6g de fósforo, 3g de nitrogênio e 8g de potássio a cada 10 m2 de terra. Desenvolva 
um modelo matemático para solucionar este problema. 
a) Variáveis de decisão. 
b) Função objetivo. 
c) Restrições. 
d) Modelo completo 
 
 
5) Uma planta industrial fabrica garrafas plásticas com ou sem rótulo. As garrafas com 
rótulo são vendidas a $10,50 o lote, enquanto que as garrafas sem rótulo têm um único 
preço de venda de $8,00 por lote. Para produzir um lote de garrafas com rótulo são 
consumidos 5kg de plástico a $1,00/kg, 0,5 m2 de papel a $2,00/m2 e 1 frasco de tinta a 
$1,00/frasco. Para produzir um lote de garrafas sem rótulo são consumidos 4kg de plástico a 
$1,00/kg. A fabricação de um lote de garrafas com rótulo exige 15 minutos da máquina de 
sopro, 10 minutos na operação de serigrafia, 5 minutos no recorte e 7 minutos de colagem. 
A produção de um lote de garrafas sem rótulo necessita de 20 minutos na máquina de sopro. 
A empresa opera num regime de 40 horas semanais e dispõe de 2 máquinas de sopro, 1 
máquina de serigrafia e 1 máquina para recorte e colagem (na mesma máquina). Sabendo-se 
que no almoxarifado existe um estoque de 1200kg de plástico, 200 m2 de papel e 180 
frascos de tinta e considerando-se que não haverá reposição antes de uma semana, 
determine o modelo que maximiza o lucro semanal da empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Consideremos o problema da metalurgia de alumínio, em que se deseja produzir 
2.000 Kg de uma liga de alumínio, a custo mínimo, através da mistura de diversas 
matérias-primas (minérios). Esta liga deve atender a requisitos de engenharia que 
especificam os máximos e mínimos de diversos elementos químicos que a compõe. Os 
custos das matérias-primas por kilograma são: 
 
Mat prima Mat1 Mat2 Mat3 Mat4 Mat5 Mat6 Mat7 
Custo 0,03 0,08 0,17 0,12 0,15 0,21 0,38 
 
A composição dos minérios e a participação mínima/máxima em kilograma de cada um 
dos elementos químicos nos 2.000 kg da liga são mostradas a seguir: 
 
Elemento Mat1 Mat2 Mat3 Mat4 Mat5 Al-puro Si-puro Mínimo Máximo 
Fe 0,15 0,04 0,02 0,04 0,02 0,01 0,03 0 60 
Cu 0,03 0,05 0,08 0,02 0,06 0,01 0 0 100 
Mn 0,02 0,04 0,01 0,02 0,02 0 0 0 40 
Mg 0,02 0,03 0 0 0,01 0 0 0 30 
Al 0,70 0,75 0,80 0,75 0,80 0,97 0 1500 - 
Si 0,02 0,06 0,08 0,12 0,02 0,01 0,97 250 300 
 
Na tabela anterior temos, por exemplo, que Mat1 contém 15% de Ferro, 3% de Cobre, 
etc. Temos, ainda, que a liga a ser obtida (2.000 kg) deve conter, no máximo, 60kg de 
Ferro, 100 kg de Cobre e que a quantidade de Silício deve estar entre 250 kg e 300 kg. 
Quanto à disponibilidade de matéria-prima, os dados estão indicados a seguir na linha 
“Disponibilidade Máxima”. A linha “Disponibilidade Mínima” refere-se a quantidade 
que se deseja forçar a entrar neste processo (por algum motivo, tal como liberação de 
espaço). 
Disp. Mín. 0 0 400 100 0 0 0 
Disp. Máx. 200 750 800 700 1500 Infinito Infinito 
 
Pergunta-se: Formule o problema de PL para minizar o custo de produção da referida 
liga. 
 
 
 
7) Uma oficina mecânica deseja alocar o tempo ocioso disponível em suas máquinas 
para a produção de 3 produtos. A tabela abaixo dá as informações sobre as necessidades 
de horas de máquina para produzir uma unidade de cada produto, assim como a 
disponibilidade das máquinas, o lucro dos produtos e a demanda máxima existente no 
mercado. Deseja-se determinar o esquema semanal de produção de lucro máximo. 
Tipo de máquina Produto A Produto B Produto C Tempo disponível 
(horas por semana) 
Torno 5 3 5 400 
Fresa 8 4 0 500 
Furadeira 2 5 3 300 
Lucro 20 15 18 
Demanda semanal 
Mínima 
40 50 20 
 
 
Pergunta-se: Formule o problema que programação para resolver o problema proposto. 
 
8) Resolver Graficamente. 
 
a) 
Max Z = 2x1 + x2 
sujeito a 
x1 + 4x2 <= 24 
x1 – 2x2 <= 14 
2x1 - x2 <= 8 
x1 - x2 <= 3 
x1 >= 0, x2 >= 0 
 
 
b) 
Max Z = 3x1 + 5x2 
sujeito a 
x1 + 5x2 <= 25 
2x1 – 3x2 <= 15 
2x1 - x2 <= 8 
x1 - x2 <= 3 
x1 >= 0, x2 >= 0 
 
c) 
Min Z = -x1 + 2x2 
sujeito a 
-x1 + x2 <= 1 
6x1 + 4x2 <= 24 
x1 >= 0 
x2 >= 2 
 
d) 
Min Z = 2x1 + x2 
sujeito a 
4x1 - 5x2 <= 40 
5x1 + 8x2 <= 40 
9x1 - 6x2 >= 0 
x1 >= 0 
x2 >= 2 
 
 
 
 
9) Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa. Os lucros são 
de $ 20.000,00 por alqueire de milho e de $10.000,00 por alqueire de alfafa. Suponha que 
suas limitações sejam: 
- Terra disponível igual a 8 alqueires; 
- Água disponível para irrigação igual a 80000 litros; 
- Cada alqueire de milho requererá 10000 litros de água para irrigação 
- Cada alqueire de alfafa requererá 20000 litros de água para irrigação. 
Sabendo-se que o fazendeiro deseja plantar no máximo 4 alqueires de milho 
a) Formule o problema como de programação linear; 
 
b) Resolva-o graficamente. 
 
 
10) Problema de Alocação de Recursos: Uma fábrica de computadores produz dois 
modelos de microcomputadores A e B.O modelo A fornece um lucro de R$ 180,00 e o 
modelo B de R$ 300,00. O modelo A requer, na sua produção, um gabinete pequeno e 
uma unidade de disco. O modelo B requer 1 gabinete grande e 2 unidades de disco. 
Existem no estoque 60 do gabinete pequeno, 50 do gabinete grande e 120 unidades de 
disco. 
a) Formule o problema como de programação linear; 
b) Resolva-o graficamente. 
 
 
11) Uma fábrica produz dois artigos A e B, que devem passar por duas máquinas 
diferentes M1 e M2. M1 tem 12 horas de capacidade diária disponível e M2 tem 5 horas. 
Cada unidade de produto A requer 2 horas em ambas as máquinas. Cada unidade de 
produto B requer 3 horas em M1 e 1 hora em M2. O lucro líquido de A é de R$ 60,00 
por unidade e o de B, R$ 70,00 por unidade. Determinar a quantidade a ser produzida de 
A e B a fim de se ter um lucro máximo (Resolva pelo método gráfico). 
 
12) Resolva pelo Método Simplex: 
 
a) Maximizar 20x1 + 30x2 
 S.a. x1 + x2 ≤ 4 
 -x1 + x2 ≤ 1 
 2x1 + 4x2 ≤ 10 
 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
 
 
b) Maximizar 2x1 + 5x2 
 S.a. x1 + 2x2 ≤ 16 
 2x1 + x2 ≤ 12 
 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
 
 
c) Maximizar 30x1 + 40x2 
 S.a. 3x1 + 4x2 ≤ 48 
 x1 + x2 ≤ 14 
 x1 ≤ 12 
 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
 
d) Maximizar 2x1 + x2 
 S.a. x1 - x2 ≤ 12 
 x1 ≤ 14 
 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
 
 
e) Maximizar x1 + 2x2 
 S.a. x1 + 3x2 ≤ 8 
 x1 + x2 ≤ 4 
 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
 
 
 13) Considere o seguinte problema de programação linear: 
 
Maximizar 7x1 + 3x2 
 S.a. x1 + 2x2 ≤ 6 
 x1 + x2 ≤ 4 
 5x1 + 3x2 ≤ 15 
 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
a. Resolva o problema graficamente. 
b. Resolva o problema pelo método simplex. 
c. Qual deve ser o valor mínimo do lucro da variável x2 para que ela faça parte da solução 
ótima? 
 
14) Encontre a solução dos problemas abaixo: 
 
a) Max Z = 2x1 + 6x2 + 4x3 + 6x4 
 s.a. 
 x1 + 4x2 + 3x3 + 4x4 <= 10 
 2x1 +x2 - x3 +2x4 <= 8 
 x1 >= 0, x2 >= 0, x3 >= 0, x4 >= 0 
 
 
b) Max Z = 4x1 + 3x2 + 2x3 + 7x4 
 s.a. 
 3x1 + 2x2 - x3 + x4 <= 15 
 x1 -x2 + 4x3 +5x4 <= 12 
 x1 >= 0, x2 >= 0, x3 >= 0, x4 >= 0