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Introdução à Mecânica dos Fluidos 8ª ed 
Cap 8.6 - Considerações de energia no escoamento em tubos 
 
8.79) Medidas foram feitas para a configuração de 
escoamento mostrada na Fig. 8.12. Na entrada, seção , a 
pressão é 70 kPa (manométrica), a velocidade média é 1,75 
m/s e a elevação é 2,25 m. Na saída, seção , a pressão, a 
velocidade média e a elevação são, respectivamente, 45 
kPa (manométrica), 3,5 m/s e 3 m, respectivamente. 
Calcule a perda de carga em metros. Converta para unidades de energia por unidade de massa. 
Dado: dados sobre fluxo através do cotovelo 
Encontrar: perda de cabeça 
Equação básica 
 
(
𝑃1
ρg
+ α ∗
𝑉12
2𝑔
+ 𝑧1) − (
𝑃2
ρg
+ α ∗
𝑉22
2𝑔
+ 𝑧2) = 
ℎ𝑙𝑡
𝑔
= 𝐻𝑙𝑡 
 
 
Suposições: 1) Fluxo constante 2) Fluxo incompressível 3) α em 1 e 2 é aproximadamente 1 
Então 
𝐻𝑙𝑡 = 
𝑃1 − 𝑃2
ρg
+ 
𝑉12 − 𝑉2²
2𝑔
+ 𝑧1 − 𝑧2 
 
𝐻𝑙𝑡 = (70 − 45) ∗ 103
𝑁
𝑚2
∗ 
𝑚3
1000 kg
∗ 
𝑠2
9,81 𝑚
+
1
2
∗ (1,752 − 3,52) (
𝑚
𝑠
)
2
∗
𝑠2
9,81 𝑚
+ (2,25 − 3) 
 
𝐻𝑙𝑡 = 1,33 𝑚 
 
 
Em termos de energia / massa 
ℎ𝑙𝑡 = 𝑔𝐻𝑙𝑡 ℎ𝑙𝑡 = 9,81 
𝑚
𝑠²
∗ 1,33 𝑚 ∗
𝑁 𝑠²
𝑘𝑔 𝑚
 ℎ𝑙𝑡 = 13 
𝑁 𝑚
𝑘𝑔
 
 
 
 
8.80) Água escoa em um tubo horizontal de área transversal constante; diâmetro do tubo é 75 mm 
e a velocidade média do escoamento é 5 m/s. Na entrada do tubo, a pressão manométrica é 275 
kPa e a saída é à pressão atmosférica. Determine a perda de carga no tubo. Se o tubo estiver 
alinhado agora de modo que a saída fique 15 m acima da entrada, qual será a pressão na entrada 
necessária para manter a mesma vazão? se o tubo estiver alinhado agora de modo que a saída 
fique 15 m abaixo da entrada, qual será a pressão na entrada necessária para manter a mesma 
vazão? Finalmente, quão mais baixa deve estar a saída do tubo em relação à entrada para que a 
mesma vazão seja mantida, se ambas as extremidades estão à pressão atmosférica (isto é, campo 
gravitacional)? 
Dado: Dados sobre fluxo em um tubo 
Encontrar: Perda de cabeça para tubo horizontal; pressão de entrada para diferentes alinhamentos; 
inclinação para alimentação por gravidade 
Solução: A equação básica entre a entrada (1) e a saída (2) é 
(
𝑃1
ρ
+ α1 ∗
𝑉12
2
+ 𝑔 ∗ 𝑧1) − (
𝑃2
ρ
+ α2 ∗
𝑉22
2
+ 𝑔 ∗ 𝑧2) = ℎ𝑙𝑡 
 
Dados: 𝐷 = 75 𝑚𝑚 𝑉 = 5 
𝑚
𝑠
 ρ = 999 
𝑘𝑔
𝑚³
 µ = 0,001 
𝑁 𝑠
𝑚²
 
 
Dados de tubos horizontais: 𝑃1 = 275 𝑘𝑃𝑎 𝑃2 = 0 𝑘𝑃𝑎 z1 = 𝑧2 𝑉1 = 𝑉2 
 
A equação torna-se: ℎ𝑙𝑡 = 
𝑃1−𝑃2
𝜌
 ℎ𝑙𝑡 = 275 
𝐽
kg
 
 
Para um tubo inclinado com o mesmo caudal, a perda de carga será a mesma que acima; Além disso, 
temos os seguintes novos dados. 
A equação torna-se: 
𝑧1 = 0 𝑚 𝑧2 = 15 𝑚 𝑃1 = 𝑃2 + 𝜌𝑔 (𝑧2 − 𝑧1) + 𝜌ℎ𝑙𝑡 𝑃1 = 422 𝑘𝑃𝑎 
 
Para um tubo em declínio com a mesma vazão, a perda de carga será a mesma que acima; Além 
disso, temos os seguintes novos dados. 
A equação torna-se: 
𝑧1 = 0 𝑚 𝑧2 = −15 𝑚 𝑃1 = 𝑃2 + 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ (𝑧2 − 𝑧1) + 𝜌 ∗ ℎ𝑙𝑡 𝑃1 = 128 𝑘𝑃𝑎 
 
Para uma alimentação por gravidade com a mesma taxa de fluxo, a perda de carga será a mesma que 
acima; Além disso, temos os seguintes novos dados 
A equação torna-se: 𝑃1 = 0 𝑘𝑃𝑎 𝑧2 = 𝑧1 −
ℎ𝑡𝑙
𝑔
 𝑧2 = −28,1 𝑚 
 
8.81) Para a configuração de escoamento da Fig. 8.12, é 
sabido que a perda de carga é 1 m. Da entrada para a saída, 
a queda de pressão é 50 kPa, a velocidade dobra da 
entrada para a saída, e o aumento de elevação é de 2 m. 
Calcule a velocidade de entrada da água. 
 
Dado: dados sobre fluxo através do cotovelo 
Localizar: velocidade de entrada 
Solução: 
Equação básica : 
(
𝑃1
ρg
+ α ∗
𝑉12
2𝑔
+ 𝑧1) − (
𝑃2
ρg
+ α ∗
𝑉22
2𝑔
+ 𝑧2) = 
ℎ𝑙𝑡
𝑔
= 𝐻𝑙𝑡 
 
Suposições: 
1) Fluxo constante 2) Fluxo incompressível 3) α em 1 e 2 é aproximadamente 1 
Então 
𝑉22 − 𝑉12 = (2𝑉1)2 − 𝑉12 = 3 𝑉1² 
 
=
2(𝑃1 − 𝑃2)
ρ
+ 2𝑔 (𝑧1 − 𝑧2) − 2𝑔𝐻𝑙𝑡 
 
𝑉1 = √
2
3
∗ [
𝑃1 − 𝑃2
ρ
+ 𝑔 ∗ (𝑧1 − 𝑧2) − 𝑔𝐻𝑙𝑡] 
 
𝑉1 = √
2
3
∗ [50 ∗ 103
𝑁
𝑚2
∗ 
𝑚3
1000 𝑘𝑔
∗ 
𝑘𝑔 𝑚
𝑠2𝑁
+
9,81 𝑚
𝑠2
∗ (−2)𝑚 − 9,81
𝑚
𝑠2
∗ 1𝑚] 
 
𝑉1 = 370 
𝑚
𝑠
 
 
 
 
 
8.85) Água escoa de um tubo horizontal para dentro de um grande 
tanque. O tubo está localizado a 2,5 m abaixo da superfície livre da água 
no tanque. A perda de carga é 2 kJ/kg. Calcule a velocidade média do 
escoamento no tubo. 
Solução: Aplicar definição de perda de cabeça 
(
𝑃1
ρ
+ α1 ∗
𝑉12
2
+ 𝑔 ∗ 𝑧1) − (
𝑃2
ρ
+ α2 ∗
𝑉22
2
+ 𝑔 ∗ 𝑧2) = ℎ𝑙𝑡 
 
na superfície livre V2 = 0, P2 = Patm 
 
na descarga do tubo P1 = ρgd, z1 = 0. Assumindo que d1 ≠ 1 
 
Então 
gd +
V1²
2
− 𝑔𝑑 = ℎ𝑙𝑡 
V1² = 2hlt = 2 ∗ 2 
N m
𝑘𝑔
 ∗ 
Kg m
𝑁 𝑠²
 = 4
m²
𝑠²
 
V1 = 2 
𝑚
𝑠
 
 
8.88) Água escoa a 10 L/min através de um tubo horizontal de diâmetro 15 mm. A queda de pressão 
ao longo de 20 m de tubo é 85 kPa. Calcule a perda de carga. 
R: Dado: dados sobre o fluxo através de um tubo 
Encontrar: perda de cabeça 
Solução: 
Equação básica 
(
𝑃1
ρg
+ α ∗
𝑉12
2𝑔
+ 𝑧1) − (
𝑃2
ρg
+ α ∗
𝑉22
2𝑔
+ 𝑧2) = 
ℎ𝑙𝑡
𝑔
= 𝐻𝑙𝑡 
 
Suposições: 1) Fluxo constante 2) Fluxo incompressível 3) α em 1 e 2 é aproximadamente 1 
Dados fornecidos 
𝑄 = 10 
𝐿
𝑚𝑖𝑛
 𝐷 = 15 𝑚𝑚 ∆𝑝 = 85 𝑘𝑃𝑎 ρ = 999 
𝑘𝑔
𝑚³
 
 
A equação básica reduz a 
ℎ𝑙𝑡 = 
∆𝑝
ρ
 ℎ𝑙𝑡 = 85,1 
𝑚²
𝑠²
 𝐻𝑙𝑡 =
ℎ𝑙𝑡
𝑔
 Hlt = 8,68 𝑚 
 
 
 
 
8.91) Um tubo liso horizontal, de 75 mm de diâmetro, transporta água (65°C). Quando a vazão é 
0,075 kg/s, a queda de pressão medida é 7,5 Pa por 100 m de tubo. Com base nestas medidas, qual 
é o fator de atrito? Qual é o número de Reynolds? Este número de Reynolds normalmente indica 
escoamento turbulento ou laminar? Afinal, o escoamento é realmente turbulento ou laminar? 
 
R: Dado: Dados sobre fluxo em um tubo 
Encontrar: fator de atrito; Número de Reynolds; se o fluxo for laminar ou turbulento 
Solução: Dados 
𝐷 = 75 𝑚𝑚 
∆𝑝
𝐿
= 0,075 
𝑃𝑎
𝑚
 𝑚𝑡𝑎𝑥𝑎 = 0,075 
𝑘𝑔
𝑠
 
ρ = 1000 
𝑘𝑔
𝑚³
 µ = 4 ∗ 10−4 
𝑁 𝑠
𝑚²
 
 
As equações governantes entre a entrada (1) e a saída (2) são 
(
𝑃1
ρ
+ α1 ∗
𝑉12
2
+ 𝑔 ∗ 𝑧1) − (
𝑃2
ρ
+ α2 ∗
𝑉22
2
+ 𝑔 ∗ 𝑧2) = ℎ𝑙 
ℎ𝑙 = f 
𝐿
𝐷
∗ 
𝑉²
2
 
 
Para um tubo de área constante V1 = 𝑉2 = 𝑉 
 
As equações 8.29 e 8.34 tornam-se f =
2𝐷
𝐿𝑉²
∗
(𝑃1−𝑃2)
ρ
= 
2𝐷
ρ𝑉²
∗
∆𝑃
𝐿
 
 
Para a velocidade v =
𝑚𝑡𝑎𝑥𝑎
ρ 
𝜋
4
 𝐷²
 f = 0,017 𝑚
𝑠
 
 
Consequentemente f =
2𝐷
𝛒𝑉²
∗
∆𝑃
L
 f = 0,039 
 
O número de Reynolds é Re =
ρ𝑉𝐷
µ
 Re = 3183 
 
Este número de Reynolds indica que o fluxo é turbulento. 
 
8.97) Água escoa a 25 L/s através de uma constrição suave, em que o diâmetro do tubo é reduzido 
de 75 mm para 37,5 mm, segundo um ângulo de 150°. Se a pressão antes da constrição for 500 kPa, 
estime a pressão depois da constrição. Refaça o problema se o ângulo da constrição for 180° (uma 
constrição brusca). 
Dado: Flua através de contração gradual 
Encontrar: Pressão após contração; comparar com contração súbita 
Solução: Eq. Básicas (
𝑃1
ρ
+ α1 ∗
𝑉12
2
+ 𝑔 ∗ 𝑧1) − (
𝑃2
ρ
+ α2 ∗
𝑉22
2
+ 𝑔 ∗ 𝑧2) = ℎ𝑙𝑚 
ℎ𝑙𝑚 = K 
𝑉22
2
 𝑄 = V ∗ A 
 
Suposições: 1) Fluxo constante 2) Fluxo incompressível 3) α em 1 e 2 é aproximadamente 1 4) 
Horizontal 
𝑄 = 25 
𝐿
𝑠
 𝑄 = 0,025
𝑚³
𝑠
 𝐷1 = 75 mm 𝐷2 = 37,5 mm 
𝑃1 = 500 kPa ρ = 999 
kg
𝑚³
 
 
Para um ângulo incluso de 150° e uma relação de área 
encontramos na Tabela 8.3 
 
Assim a equação de energia se torna 
 
com 
 
Repetindo a análise acima para um ângulo de 180o (contração súbita) 
 
Fundamentos da Termodinâmica Clássica 4ª ed 
Cap. 4 – Trabalho e Calor 
 
4.1) Um cilindro equipado com um pistão sem atrito contém 5 kg de refrigerante R-134a a 1000 
kPa, 140°C. A configuração é resfriada a pressão constante até o R-134a apresente um título igualá 25%. Calcule o trabalho realizado no processo. 
Solução: 
Trabalho de limite de processo de pressão constante. Propriedades de estado da Tabela B.5.2 
Estado 1: v = 0,03150 m3 / kg, 
Estado 2: v = 0,000871 + 0,25 × 0,01956 = 0,00576 m3 / kg 
Interpolados para estarem em 1000 kPa, os números a 1017 kPa poderiam ter 
foi usado, caso em que: v = 0,00566 
1W2 = ∫P dv = P (V2 – V1) = Mp (v2 – v1) = 5 x 1000 (0.00576 – 0.03150) 
1W2 = -128.7 kJ 
 
 
 
4.7) O refrigerante R-22 está contido em um pistão / cilindro como mostrado na Fig. P4.7, onde o 
volume é 11 L quando o pistão bate nas paradas. O estado inicial é de -30 ° C, 150 kPa com um 
volume de 10 L. Este sistema é levado para dentro de casa e aquece até 15 ° C. 
a) O pistão está parado no estado final? 
b) Encontre o trabalho realizado pelo R-22 durante este processo. 
Solução: 
Inicialmente, o pistão flutua, V < V0, de modo que o 
pistão se move a Patm constante = P1 até 
atinge as paradas ou 15 ° C, o que for 
primeiro. 
 
a) Da Tabela B.4.2: 
v1 = 0,1487 
m = V/v = 0.010 / 0.1487 
m = 0.06725 kg 
Verifique a temperatura no estado 1a: P1a = 150 kPa, v = V0 / m. 
v2 = V / m = 0,011 / 0,06725 
v2 = 0,16357 m³ / kg T1a = -9 ° C e T2 = 15 ° C 
Desde T2 > T1a então segue que P2 > P1 e o pistão é novamente parado. 
 
b) Trabalho realizado em const Patm = P1. 
1W2 = ∫ Patm dV = Patm (V2 - V1) 
1W2 = 150(0.011 - 0.010) 
1W2 = 0.15 kJ 
 
 
4.11) Um gás inicialmente a 1 MPa, 500 ° C está contido em um arranjo de pistão e cilindro com 
um volume inicial de 0,1 m³. O gás é então lentamente expandido de acordo com a relação PV = 
cte até atingir uma pressão final de 100 kPa. Determinar o trabalho para este processo. 
Solução: 
Conhecendo o processo e os estados 1 e 2 podemos encontrar a relação entre a pressão e o volume 
para que a integral de trabalho possa ser executada. 
Processo: PV = C ⇒ V2 = P1V1 / P2 = 1000 × 0.1 / 100 = 1 m³ 
1W2 = ∫ P dV = ∫ CV-1 dV 
1W2 = C ln (V2 / V1) 
1W2 = P1V1 ln (V2 / V1) 
1W2 = 1000 × 0,1 ln (1 / 0,1) 
1W2 = 230,3 kJ 
 
 
 
4.15) O espaço de gás acima da água em um tanque de armazenamento fechado contém nitrogênio 
a 25 ° C, 100 kPa. O volume total do tanque é de 4 m3 e há 500 kg de água a 25 ° C. A 500 kg 
adicionais de água são agora forçados a entrar no tanque. Assumindo constante temperatura 
durante todo, encontrar a pressão final do nitrogênio eo trabalho feito sobre o nitrogênio neste 
processo. 
Solução: 
A água é líquida e no processo a pressão sobe então a água fica líquida. Incompressível para que o 
volume específico não muda. O nitrogênio é um gás ideal e, portanto, altamente compressível. 
Estado 1: VH2O|1 = 500 × 0,001003 = 0,5015 m³ 
VN2|1 = 4,0 - 0,5015 = 3,4985 m³ 
 
Estado 2: VN2|2 = 4,0 - 2 × 0,5015 = 2,997 m³ 
Gás Ideal 
 P N2|2 = 100 × 3,4985 / 2,997 = 116,7 kPa 
T = const 
A temperatura constante dá P = mRT / V, ou seja, pressão inversa em V 
1W2 por N2 = ∫ 
2
1
PN2 dVN2 = P1V1 ln (V2 / V1) = 100 × 3,4985 × ln (2,997/ 3,4985) 
1W2 por N2 = -54,1 kJ 
 
4.21) Um cilindro com um volume inicial de 3 m³ contém 0,1 kg de água a 40 ° C. A água é então 
comprimida em um processo isotérmico de quase-equilíbrio até que tenha um título de 50%. 
Calcule o trabalho realizado no processo. Assumir o vapor de água é um gás ideal. 
Solução: 
v1 = V1 / m = 3 / 0,1 = 30 m³ / kg (> vG) 
Tbl B.1.1 => PG = 7.384 kPa muito baixo, então H2O ~ gás ideal de 1-2 
P1 = PG (vG / v1) 
P1 = 7,384 × 19,52 / 30 
P1 = 4,8 kPa 
V2 = mv2 = 0,1 × 19,52 
V2 = 1,952 m3 
 
T = C: 
1W2 = ∫ 
2
1
 PdV = P1V1ln (V2 / V1) = 4,8 × 3,0 × ln (1,952 / 3) 
1W2 = -6,19 kJ 
v3 = 0,001008 + 0,5 × 19,519 = 9,7605 V3 = mv3 = 0,976 m³ 
P = C = Pg: 
2W3 = ∫ 
3
2
 PdV = Pg (V3-V2) = 7,384 (0,976 - 1,952) 
2W3 = -7,21 kJ 
 
Trabalho total: 
1W3 = -6,19 - 7,21 
1W3 = -13,4 kJ 
 
 
Cap. 5 - Primeira Lei da Termodinâmica 
 
5.9) A água em um tanque rígido fechado de 150 L está a 100°C e título de 90%. O tanque é então 
resfriado a -10°C. Calcule a transferência de calor durante o processo. 
Solução: 
m2 = m1 ; m (u2 - u1) = 1T2 - 1W2 
Processo: 
V = constante, v2 = v1, 1W2 = 0 
Estado 1: 
v1 = 0,001044 + 0,9 x 1,6719 = 1,5057 m³ / kg 
u1 = 418,94 + 0,9 x 2087,6 = 2297,8 kJ / kg 
Estado 2: 
T2, v2 = v1 ⇒ mix de sat. sólido + vap. Tabela B.1.5 
v2 = 1,5057 = 0,0010891 + X2 x 466,7 X2 = 0,003224 
u2 = -354,09 + 0,003224 x 2715,5 = -345,34 kJ / kg 
m = V / v1 = 0,15 / 1,5057 = 0,09962 kg 
1T2 = m (u2 - u1) = 0,09962 (-345,34 - 2297,8) 
1T2 = -263,3 kJ 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.11) Um cilindro rígido, com volume de 0,1 L, contém água no ponto crítico. Determine qual é a 
transferência de calor necessária para que a temperatura do conjunto água-cilindro atinja 20°C. 
Solução: 
m2 = m1 = m; m (u2 - u1) = 1Q2 - 1W2 
Processo: 
volume constante ⇒ v2 = v1 
 
Propriedades da Tabela B.1.1 
Estado 1: 
v1 = vc = 0,003155 
u1 = 2029,6 
m = V / v1 = 0,0317 kg 
Estado 2: 
T2, v2 = v1 = 0,001002 + X2 x 57,79 
 X2 = 3,7x10-5 
u2 = 83,95 + X2 x 2319 = 84,04 
Volume constante => 1W2 = 0 
1T2 = m (u2 - u1) = 0,0317 (84,04 - 2029,6) 
1T2 = -61,7 kJ