jogos matematicos unidade 2

Prévia do material em texto

- -1
JOGOS MATEMÁTICOS
CAPÍTULO 2 - O QUE SÃO E PARA QUE 
SERVEM AS FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 2º 
GRAU?
Thuysa Schlichting de Souza
- -2
Introdução
As funções podem ser consideradas ferramentas que auxiliam na identificação e na descrição de inúmeras
situações do mundo real em termos matemáticos. Seja por meio de uma expressão algébrica, uma tabela de
valores ou um gráfico, as funções descrevem relações entre elementos de dois conjuntos, de modo que cada
elemento do primeiro conjunto seja associado a um único elemento do segundo. Além disso, existem tipos
diferentes de funções, e, para estudá-las de maneira mais aprofundada, costuma-se separá-las de acordo com
suas características principais.
Neste capítulo, vamos tratar especificamente das funções polinomiais de 2º grau, também conhecidas como
funções quadráticas. O conteúdo será apresentado a partir da relação de seus conceitos com os jogos da Trilha e
Dorminhoco Matemático, os quais são inspirados nos jogos propostos por Borba (2008). Ambos abordam a
função polinomial do 2º grau, suas propriedades e a interpretação de gráficos. O primeiro trata da identificação
de coeficientes da função e da determinação de alguns pontos e de suas raízes; o segundo, por sua vez, busca
relacionar diferentes representações de uma função polinomial do 2º grau, bem como enfatizar os pontos
relevantes de seu gráfico.
Com isso, esperamos que você possa responder questões como “O que caracteriza uma função polinomial do 2º
grau?”, “Para que servem essas funções?” e “Em que e como é possível usá-las em situações da vida real?”.
Ao longo do capítulo, veremos como identificar essa função por meio da lei de formação ou da representação
gráfica, bem como analisaremos situações e problemas práticos que envolvem a ideia de função polinomial do 2º
grau. Dessa forma, será mais fácil construir um gráfico a partir da identificação de alguns pontos notáveis. Além
disso, será enfatizado o cálculo do vértice de parábolas e seu significado em problemas de máximos e mínimos,
principalmente em aplicações na economia.
Vamos estudar!
2.1 O jogo Trilha das Funções e a função polinomial do 2º 
grau ou função quadrática
Você se lembra de que podemos comparar uma função à uma máquina que recebe números como entradas,
processando-os de acordo com a regra (lei de formação) que a define e produzindo uma única saída para cada
entrada? O conjunto formado pelos números de entrada é denominado , enquanto que o conjunto dosdomínio
números de saída é chamado de . Essas máquinas, inclusive, podem ser separadas emimagem da função
categorias, segundo o tipo de regra que as caracterizam.
A categorização das funções permite uma melhor identificação de suas características e a visualização de
padrões, o que facilita o trabalho de análise de uma função. Aqui, estudaremos com mais detalhes aquelas que
são da forma , com coeficientes reais e . Essas funções são reconhecidas como funções
 ou, ainda, .polinomiais do 2º grau funções quadráticas
O jogo Trilha das Funções pode ser de grande ajuda no reconhecimento das funções quadráticas por meio das
leis de formação, determinando os zeros (ou raízes) das funções. No entanto, fica a pergunta: como isso é feito?
Você já deve ter jogado ou visto alguém jogar Trilha em algum momento da sua vida. O jogo faz uso de um
tabuleiro, que contém o caminho a ser percorrido pelos jogadores; peões, que representam cada participante;
um dado, que indica o número de casas que o peão deve andar; e cartas com questões relativas ao assunto de
funções quadráticas para serem respondidas. Podemos melhor visualizar esse esquema com a figura a seguir.
- -3
Figura 1 - Tabuleiro do jogo Trilha das Funções.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
O jogo Trilha das Funções é bastante flexível quanto ao número de jogadores que podem participar da partida.
Serão necessárias, no mínimo, duas pessoas para serem oponentes e um juiz que avaliará as respostas dadas
pelos jogadores. Deve-se, então, definir quem vai iniciar o jogo, e o participante lançará o dado para saber
quantas casas seu peão será deslocado. As cores das casas têm os seguintes significados:
• Casas vermelhas: fique uma rodada sem jogar;
• Casas amarelas e cinzas: retire uma carta azul e responda quais são os coeficientes e as raízes da função 
indicada. A carta só será devolvida para a pilha de onde foi retirada no caso de a resposta estar incorreta. 
Do contrário, o jogador deve mantê-la consigo;
•
•
- -4
Figura 2 - Leis de formação de funções quadráticas do jogo Trilha das Funções.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
• Casas azuis e verdes: retire uma carta laranja e dê um exemplo de função quadrática que atenda à 
condição descrita. Depois, devolva a carta para o final da pilha de onde a retirou.
Figura 3 - Condições para a construção de funções quadráticas no jogo Trilha das Funções.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
•
- -5
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Caso o jogador não responda à questão ou não dê a resposta correta, terá que retornar o peão para a casa na qual
estava posicionado anteriormente. Por exemplo, um peão situado na casa 3 será movimentado para a casa 7.
Porém, se o jogador retira uma carta e não consegue dar um exemplo para a condição dada, deverá retornar para
a casa 3, mas, se ele tiver respondido corretamente, permanecerá na casa 7. O próximo jogador, então, continua o
jogo lançando o dado e procedendo da mesma forma. O vencedor será aquele que alcançar a chegada primeiro.
Contudo, antes de iniciar o jogo, é importante considerar que o domínio de todas as funções dadas nas cartas
azuis é o conjunto dos reais. O zero ou a raiz de uma função é um número pertencente ao seu domínio, que
 satisfaz a condição . É válido recordar, também, que uma função é dita completa quando todos os seus
coeficientes são números reais não nulos. No caso de, pelo menos, um coeficiente assumir o valor zero, a função é
chamada de .incompleta
Após jogar algumas rodadas seguindo as regras descritas, é possível refletir sobre as seguintes questões:
• Com relação aos coeficientes, quais são os tipos de funções quadráticas que podemos encontrar no jogo?
• Como é a lei de formação de uma função quadrática quando suas duas raízes são iguais à zero? E quando 
suas raízes são iguais, mas diferentes de zero?
• Se uma função quadrática apresenta duas raízes reais distintas, existe alguma característica especial que 
pode ser verificada manipulando seus coeficientes?
• Quais são as características de uma função quadrática que não apresenta raízes reais?
Essas questões serão aprofundadas na sequência para que possamos compreender as relações entre os
coeficientes e os tipos de raízes de uma função quadrática.
2.1.1 Os coeficientes da função quadrática
Observe as funções indicadas nas cartas azuis usadas no jogo Trilha das Funções. Todas são funções polinomiais
de 2º grau (ou quadráticas), pois atendem à condição , em que os coeficientes , e são
números reais e . Assim, analisando os coeficientes de cada função quadrática separadamente, podemos
chegar à tabela a seguir.
•
•
•
•
- -6
- -7
- -8
Tabela 1 - Reconhecimento dos coeficientes das funções quadráticas.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Em uma função quadrática, o único coeficiente que não deve ser nulo é o , os demais podem assumir o valor
zero sem descaracterizar a função.
Portanto, existem três tipos de funções quadráticas da forma incompleta:
• Quando , a função se dá por . Algumas vezes, também é possível encontrá-la escrita 
como ;
• Quando , a função é da forma ;
• E, por fim, se e , então .
Os coeficientes da função quadrática não possuem uma designação especial, por isso, convencionou-se chamar , 
 e de coeficiente de , coeficiente de e termo independente, respectivamente. Saber identificá-los
corretamente é fundamental, pois os coeficientesajudam a encontrarmos as raízes da função quadrática e
determinam o seu comportamento.
2.1.2 As raízes de uma função quadrática
Você já sabe que as raízes da função quadrática são os valores do domínio para os quais vale 
a condição . Dito de outra forma, são os valores que satisfazem a equação de 2º grau .
Observe que a função quadrática é diferente da equação do 2º grau. Algumas vezes, esses conceitos são
confundidos, utilizando-se a expressão “função do 2º grau”, que não está correta, uma vez que não existe
definição para o grau de uma função. Portanto, é necessário resolver uma equação do 2º grau para que seja
possível identificar as raízes de uma função quadrática.
Mas como se resolve uma equação desse tipo?
Para isso, você pode substituir por valores aleatórios, até encontrar os números que satisfazem à igualdade.
Porém, nem sempre será fácil achar seu valor exato, e essa tarefa pode se tornar bastante trabalhosa e
demorada. Uma forma mais eficiente é utilizar um algoritmo que permite achar as raízes da função quadrática, o
qual é conhecido como fórmula de Bhaskara: .
O símbolo , utilizado na fórmula de Bhaskara, significa que existem duas expressões para se calcular o valor de 
•
•
•
VOCÊ O CONHECE?
Bhaskara (1114-1885), astrônomo e matemático indiano, nasceu em uma família de astrólogos
e seguiu a tradição, dedicando-se, principalmente, à matemática. Cedo ele liderou o
observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas astronômicas e matemáticas da Índia.
Bhaskara escreveu alguns livros durante sua vida, porém muitos se perderam. O mais famoso é
o “Lilavati”, que trata questões sobre Aritmética e Geometria Plana. Destaca-se entre os
resultados obtidos por Bhaskara a famosa “fórmula” para a resolução de equações do 2º grau
(ARAGÃO, 2009).
- -9
O símbolo , utilizado na fórmula de Bhaskara, significa que existem duas expressões para se calcular o valor de 
: uma com o sinal , antes da raiz quadrada; e a outra com o sinal . Sendo assim, a fórmula implica que uma
equação do 2º grau tem duas soluções, e, consequentemente, uma função quadrática tem, no máximo, duas
raízes.
Para entender melhor como calcular as raízes de algumas funções quadráticas dadas no jogo Trilha das Funções,
vamos observar suas resoluções:
Pela fórmula de Bhaskara, e . Portanto, a função
quadrática possui duas raízes reais distintas.
Pela fórmula de Bhaskara, . Sendo assim, a função
quadrática possui duas raízes reais do mesmo valor.
Pela fórmula de Bhaskara, e . Verifica-se, então, que a
função quadrática possui duas raízes reais distintas.
Pela fórmula de Bhaskara, . Portanto, a função quadrática 
tem duas raízes reais de mesmo valor e iguais a zero.
Pela fórmula de Bhaskara, . Ou seja, não existem números reais que
satisfaçam a equação e, portanto, a função quadrática não tem raízes reais.
Note que a quantidade de raízes reais de uma função quadrática está relacionada ao valor obtido para o
radicando , também conhecido como da função. Assim, temos que:discriminante 
• quando (positivo), existem duas raízes reais e distintas;
• quando , existe uma única raiz real (ou uma raiz dupla);
VOCÊ SABIA?
Existe um conjunto que é mais abrangente do que o conjunto dos reais: trata-se dos
complexos. Um número complexo é da forma , em que os coeficiente e são números reais e
representa o número imaginário . Para os antigos matemáticos, essa descrição parecia ridícula,
pois o quadrado de qualquer número sempre é positivo. Assim, precisaram de um longo tempo
para considerar que os números são invenções artificiais criadas pelo Homem, as quais podem
captar aspectos da natureza, mesmo não sendo parte dela. Hoje, os números complexos são
amplamente usados em física e engenharia (STEWART, 2014).
•
•
- -10
• quando , existe uma única raiz real (ou uma raiz dupla);
• quando (negativo), não existem raízes reais para a função.
Utilizando a fórmula de Bhaskara, é possível calcular todas as raízes das funções dadas no jogo Trilha das
Funções. Observe mais atentamente a forma de cada função quadrática, seus respectivos coeficientes e os tipos
de raízes em cada caso com a tabela a seguir.
Tabela 2 - Raízes das funções quadráticas do jogo Trilha das Funções.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Além da relação entre as raízes e o discriminante de uma função quadrática, é possível verificar outros
resultados que associam seus coeficientes e suas raízes. Essas relações podem ser elencadas separadamente em
casos, de acordo com o tipo de lei de formação da função quadrática.
O primeiro caso seria o , que sempre terá uma raiz dupla igual a zero, independentemente do valor do
coeficiente . Isso porque .
O segundo caso, , sempre terá duas raízes reais distintas. Lembre-se de que a função pode ser
escrita como , pois o é fator comum de seus dois termos. Sendo assim, . Agora,
tem-se uma multiplicação de por . Precisamos, então, pensar em algumas questões: em que situação
uma multiplicação pode resultar em zero? Qual é o número que multiplicado por outro é igual a zero? A resposta
•
•
- -11
uma multiplicação pode resultar em zero? Qual é o número que multiplicado por outro é igual a zero? A resposta
é o próprio zero. Por isso, um dos termos da multiplicação é zero, ou seja, ou . Dessa forma, as
duas soluções possíveis serão e .
O terceiro e último caso seria , que não tem raiz real ou possui duas raízes distintas. Observe que 
. Então, se , o radicando será negativo e a função não terá raiz real. Contudo, se
, tem-se que . Ou seja, as raízes têm o mesmo valor absoluto (módulo), porém os sinais são
opostos.
Depois de analisar essas considerações, podemos jogar novamente a Trilha das Funções, colocando em prática as
relações discutidas. Assim, será mais fácil e natural a construção das funções quadráticas de acordo com as
condições dadas nas cartas laranjas. Perceba, ainda, que a compreensão da equação do 2º grau não está
simplesmente na aplicação da fórmula de Bhaskara, pois o processo de resolução da equação é apenas uma
consequência do princípio da igualdade.
A seguir, poderemos perceber, por meio de exemplos resolvidos, os tipos de problemas que exigem a
mobilização da ideia de raízes de uma função quadrática para auxiliar na sua resolução.
2.2 Atividades envolvendo funções quadráticas e suas 
raízes
As funções quadráticas podem ser empregadas em contextos diversos. Por exemplo, podemos usá-las em
estudos de alguns movimentos na Física, na análise de situações econômicas com receita e lucro com preços
variáveis, ou, até mesmo, em problemas de geometria. As situações que utilizam uma função quadrática ou uma
equação do 2º grau estão entre as mais antigas já encontradas, e as discussões sobre a forma de como resolvê-las
geraram avanços para a Matemática.
Neste tópico, iremos analisar com mais cuidado algumas dessas aplicações da função quadrática por meio de
exemplos resolvidos. Assim, será possível verificar como os conceitos estudados até aqui podem ser utilizados
na resolução de problemas práticos. Além disso, serão ressaltados os exemplos que exigem a aplicação do
conhecimento de raízes da função quadrática.
2.2.1 Problema 1: objeto em queda livre
Um problema da Física que pode ser descrito usando a ideia de função quadrática é um objeto em queda livre.
Sabe-se que a altura , acima do solo, de um objeto lançado em queda livre, sob ação exclusiva da força
gravitacional, é dada pela função , em que é a altura inicial em metros, é a velocidade inicial
em metros por segundo e é a aceleração gravitacional, que vale aproximadamente 9,8 m/s².
- -12
Agora, suponha que você decida soltar um melão a partir do repouso da primeira plataforma de observação da
Torre Eiffel. A altura da qual o melão é solto está a 58,8 metros acima do solo. Pense nas questões: como será a
lei de formação da função nesse caso? E seu domínio?A função terá raízes reais? O que elas
representam? (BAUER, WESTFALL; DIAS, 2012).
Observe que a altura inicial do melão é de 58,8 metros, e que a sua velocidade inicial é nula, pois o melão sai
do repouso. Portanto, substituindo esses valores na expressão , tem-se que .
Como a altura está variando de acordo com o tempo e não faz sentido considerar um tempo negativo, o domínio
da função será o conjunto dos números reais positivos, ou seja, .
Para encontrar as raízes de , basta resolvermos a equação do 2º grau: 
. Como o tempo não pode ser negativo, a raiz da função será apenas 
. Isso significa que o melão atingirá o chão (altura zero) após, aproximadamente, 3,5 segundos do
momento em que foi solto da plataforma.
Esse exemplo da área da Física nos permite perceber que, em situações reais, o domínio da função precisa ser
adequado às condições da natureza da variável em questão. Nesse sentido, apesar da função quadrática que
modela o problema apresentar duas raízes reais, nem sempre elas poderão ser consideradas como solução do
problema. A seguir, veja outras situações no exemplo da área econômica.
2.2.2 Problema 2: demanda e lucro
O segundo problema apresenta uma situação econômica para ser resolvida. Em alguns casos, o preço de um
produto é constate e a função receita é dada por uma função polinomial do 1º grau. Porém, veremos, aqui, que é
possível obter a função receita na forma de uma função polinomial do 2º grau quando o preço do produto pode
ser modificado. Para facilitar a análise da questão, primeiramente, vamos explicar alguns conceitos
fundamentais do problema. Segundo Lapa (2012, p. 99), “[...] a demanda (ou procura) de um produto é a
quantidade desse produto que os consumidores pretendem comprar em um intervalo de tempo (que pode ser
um mês, um ano etc.)”. Dessa forma, indicando por o preço por unidade do produto, é possível expressá-lo
como uma função da quantidade demandada. Esse valor é muito importante, pois a receita total R de uma
empresa é calculada de acordo com a quantia recebida pela venda da quantidade total do produto.
Assim, considerando esses conceitos, suponha que as pesquisas de mercado de um determinado produto
mostrem que sua função de demanda é dada pela expressão . Sabendo, ainda, que o custo
total da empresa que produz e vende esse produto é dado por , precisamos determinar a
VOCÊ O CONHECE?
Galileu Galilei(1564-1642), matemático e astrônomo italiano, descobriu regularidades
matemáticas no movimento dos corpos em queda. Por volta de 1589, realizou experiências
com corpos rolando por um plano inclinado e evidenciou a importância de experimentos
controlados no estudo dos fenômenos naturais. Durante os últimos anos de sua vida se
dedicou a escrever “Discursos e Demonstrações Matemáticas Sobre Duas Novas Ciências”,
explicando seu trabalho com o movimento de corpos em planos inclinados. Junto com as leis
do movimento planetário de Kepler, Galileu criou a existência de uma nova matéria: a 
, ou seja, estudo matemático dos corpos em movimento (STEWART, 2014).mecânica
- -13
total da empresa que produz e vende esse produto é dado por , precisamos determinar a
função da receita total e a função do lucro total da empresa. Em seguida, devemos calcular a receita quando a
empresa não obtém nenhum lucro (LAPA, 2012).
Temos, então, que:
• Função da receita total: sendo , a receita será calculada pela função 
, e, portanto, .
• Função do lucro total: como , temos que , e, 
portanto, .
Quando uma empresa não obtém lucro, quer dizer que seu lucro é igual a zero, ou seja, . Portanto, 
. P e l a f ó r m u l a d e B h a s k a r a , 
 e . Essas, então, são as
quantidades de produto vendidas que levam a empresa a ter um lucro zero.
Nesse caso, a receita é dada por:
• , isto é, R$ 5.363,60.
• , isto é, R$ 21.698,20.
Sendo assim, em um cenário de lucro zero, as receitas, com a venda dos produtos, serão ou de R$ 5.363,60 ou de
R$ 21.698,20.
Agora, observe um problema prático que também mobiliza o conceito de função quadrática e suas propriedades
nas etapas de resolução.
2.2.3 Problema 3: cercando uma área
Para entendermos a função em cálculos envolvendo áreas, vamos analisar um exemplo dado por Tan (2007):
imagine que o proprietário de uma fazenda possui 6.000 metros de arame, com os quais deseja cercar um pasto
retangular localizado em um trecho reto à margem de um rio. Portanto, não será necessário cercar um dos lados,
já que será a própria margem.
Vamos, então, separar os elementos e dar o primeiro passo:
• chame de a largura do retângulo;
• chame de o comprimento do retângulo;
• encontre uma função na variável que expresse a área do pasto se o proprietário usar todo o arame.
Note que a área do pasto retangular é calculada pela multiplicação dos seus lados, ou seja, . Já o
comprimento total da cerca (perímetro) é dado pela soma de todos os lados, isto é, . Como
todo o arame será usado para cercar o pasto, temos, portanto, a igualdade . Reescrevendo a
expressão de modo que fique isolado, tem-se que .
Agora, é possível substituir o valor de na expressão da área A, em que obtemos .
Veja que a área está sendo expressada em função da largura do pasto, por isso a função solicitada no
enunciado do problema é .
Finalmente, observe que e devem ser números positivos, pois representam a largura e o comprimento do
retângulo, respectivamente. Assim, em termos matemáticos, e . Essa última desigualdade é equivalente
a , ou seja, . Logo, o domínio da função será o conjunto .
É importante perceber, ainda, que se considerarmos a função somente do ponto de vista
matemático, sem ponderar o contexto do problema, o domínio seria todo o conjunto dos números reais. Porém,
por razões físicas, verificamos que seu domínio deve ser restrito ao intervalo , quando o cenário da
questão passa a ser considerado.
Na sequência, perceba que podemos mobilizar os conceitos e as propriedades de funções quadráticas para a
análise de problemas da própria Matemática.
•
•
•
•
•
•
•
- -14
2.2.4 Problema 4: descobrindo a lei de formação
Considere o gráfico de uma função quadrática dada pela lei de formação . O valor do coeficiente 
já está determinado como o valor 1. O problema, aqui, é descobrir quais são os demais coeficientes da função
utilizando as informações disponibilizadas em seu gráfico. Note que precisamos conhecer algumas propriedades
e conceitos relativos à função quadrática para conseguirmos solucionar um problema que é estritamente
matemático.
- -15
Figura 4 - Gráfico de uma função quadrática.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Sabendo que as raízes dessa função são e , vamos obter os valores dos coeficientes b e c. Mas, para
isso, precisamos lembrar que as raízes da função quadrática são os valores de para os quais a função é igual a
zero. O problema, inclusive, já fornece as raízes da função, portanto, sabe-se que e .
Da primeira igualdade, obtém-se a expressão . Já a segunda igualdade fornece a
- -16
Da primeira igualdade, obtém-se a expressão . Já a segunda igualdade fornece a
expressão . Assim, as duas expressões formam o sistema de equações:
Para resolver o sistema, precisamos isolar o na primeira expressão, o que resultará na igualdade .
Agora, basta substituí-la por na segunda expressão, do seguinte modo: . Dessa
 forma, chega-se à conclusão de que e , enquanto que a função quadrática é da forma 
 .
Temos, ainda, que a função quadrática corta o eixo das abscissas nos pontos e 
. Veja, então, que a função cruza o eixo das ordenadas em um ponto C de coordenadas . Esse
ponto é comumente conhecido como .intercepto da função
Outra forma — mais simples — de resolver o problema é perceber que o da funçãotermo independente
quadrática será sempre o valor de do par ordenado , que corta o eixo das ordenadas, pois .
Repare que as raízes das funções quadráticasoferecem informações importantes para a construção gráfica da
função, mas não são suficientes para permitir esboçá-la de forma mais precisa. Com isso, outros elementos se
tornam necessários para essa construção, como o conhecimento dos pontos de máximos e de mínimos da função
e o valor do ponto que intercepta o eixo das ordenadas, os quais serão estudados detalhadamente a seguir.
2.3 Jogo Dorminhoco Matemático e o gráfico da função 
quadrática
O jogo Dorminhoco Matemático é uma opção bastante interessante que permite a relação de informações
obtidas por meio da lei de formação das funções quadráticas, como os coeficientes e o discriminante, com sua
forma gráfica. Além disso, com o jogo, é possível exercitar as habilidades de leitura e interpretação de gráficos,
possibilitando o levantamento de hipóteses. O recurso utilizado nesse jogo são as cartas da figura a seguir.
VOCÊ QUER LER?
O artigo “Funções e gráficos num problema de freagem”, escrito por Geraldo Ávila, apresenta
um exemplo concreto e simples de uma função quadrática, de modo que são desenvolvidos os
conceitos de variável e funções como variabilidade das grandezas envolvidas. As conclusões do
artigo são bastante interessantes para complementar nossos estudos. Você pode acessar o
texto no : <link http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/modulo_IV/pdf
>./funcoes_graficos.pdf
- -17
Figura 5 - Cartas do jogo Dorminhoco Matemático separadas em “famílias”.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
As cartas devem ser distribuídas aleatoriamente para os jogadores da seguinte forma: aquele que iniciar o jogo
recebe quatro cartas, enquanto que os demais receberão apenas três. As cartas são classificadas nas categorias:
função, zero da função e gráfico, e mais uma carta chamada “Dorminhoco”. Esta é o ônus do jogo, sendo que
quem recebê-la deve ficar uma rodada sem passá-la para frente. A saber: o gráfico dessa carta corresponde à
função .
- -18
Figura 6 - Carta Dorminhoco do jogo Dorminhoco Matemático.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
O objetivo do jogo é formar famílias de três cartas. Cada família é constituída por uma carta de cada categoria
mencionada anteriormente, de modo que o gráfico da função quadrática deve corresponder à sua lei de
formação e às suas raízes. Lembrando que, como os domínios não foram definidos, deve-se considerá-los como
sendo o conjunto .
A dinâmica do jogo é bastante simples: o primeiro jogador escolhe uma de suas cartas que não o interessa para
passar a pessoa à sua esquerda. O próximo jogador procede da mesma maneira — e assim por diante —, até que
alguém forme uma família de três cartas. Quando formada, o jogador deve baixar suas cartas discretamente e os
demais devem agir do mesmo modo. O último a baixar suas cartas será o “Dorminhoco” do jogo.
Ao jogar algumas vezes, é possível anotar as hipóteses para conferi-las com as análises que serão realizadas na
sequência. Note como é o ponto que corta o eixo das ordenadas e o que acontece com o gráfico de uma função
quadrática sem raízes reais.
A seguir, vamos entender o gráfico de uma função quadrática.
- -19
2.3.1 O gráfico de uma função quadrática
Podemos perceber que os gráficos das funções quadráticas do jogo Dorminhoco Matemático são diferentes com
relação aos pontos que interceptam os eixos das abscissas e das ordenadas, mas são representados por curvas
bastante similares. Isso acontece porque o gráfico de uma função quadrática sempre será uma .parábola
Observe que, apesar de se tratar da mesma curva, existem diferenças entra elas: algumas são mais “fechadas” e
outras mais “abertas”; algumas apresentam a concavidade para cima e outras a concavidade para baixo; umas
estão deslocadas mais para a esquerda e outras estão mais à direita do eixo das ordenadas. Esses aspectos são
determinados pelos coeficientes das funções quadráticas.
Para interpretarmos geograficamente o termo independente , podemos pegar como exemplo o problema 4 do
tópico anterior, em que constatamos que os dois primeiros termos da função quadrática se
anulam em , e, portanto, o termo independente corresponde ao valor da função avaliado na origem. Isto é, o
gráfico de uma função quadrática corta o eixo das ordenadas no ponto .
Veja a identificação desse ponto para cada função dada no jogo:
• ; , e, portanto, corta o eixo das ordenadas em ;
• ; , e, portanto, corta o eixo das ordenadas em ;
• ; , e, portanto, corta o eixo das ordenadas em ;
• ; , e, portanto, corta o eixo das ordenadas no em ;
• ; , e, portanto, corta o eixo das ordenadas em .
Agora, observe os valores do coeficiente de cada função quadrática do jogo Dorminhoco. Em todas as funções
das famílias do jogo o coeficiente é um número positivo. Já na função da carta Dorminhoco, o sinal do
coeficiente é negativo. O que você diria, então, sobre a influência desse coeficiente no comportamento de uma
função quadrática?
O sinal de determina a do gráfico da função. Além disso, seu valor absoluto (módulo)concavidade
proporciona uma interessante informação: quanto maior o módulo, mais fechada será a parábola. É possível
afirmar, ainda, que quando , a parábola tem concavidade voltada para cima e o gráfico da função quadrática
terá um ponto de mínimo, que chamaremos de V. Quando , por outro lado, a parábola tem concavidade
voltada para baixo e, consequentemente, terá um ponto de máximo V.
Veja que, até o momento, foram analisadas de forma mais aprofundada as interpretações geométricas dos
VOCÊ SABIA?
Define-se uma parábola como “[...] o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a um
ponto fixo F (denominado foco) e a uma reta fixa (chamada diretriz) são iguais” (STEWART,
2013, p. 606). O vértice é o ponto na metade do caminho entre o foco e a diretriz da parábola.
O eixo da parábola, por sua vez, é a reta que passa pelo foco, sendo perpendicular à diretriz.
Aliás, foi Galileu quem mostrou, no século XVI, que a trajetória de um projétil atirado no ar com
certo ângulo em relação ao solo é uma parábola. Desde então, os formatos parabólicos têm
sido usados para desenhar faróis de carro, telescópios e pontes suspensas (STEWART, 2013).
•
•
•
•
•
- -20
Veja que, até o momento, foram analisadas de forma mais aprofundada as interpretações geométricas dos
coeficientes e em uma função quadrática. Agora, serão examinados os pontos de máximos e mínimos de uma
função quadrática para que, juntamente com as informações já obtidas anteriormente, seja possível visualizar,
de modo mais preciso, sua representação gráfica.
Voltemos novamente aos gráficos das funções quadráticas das cartas do jogo Dorminhoco Matemático. Observe
que os pontos de máximo ou mínimo das funções ocorrem quando o correspondente valor de , que
denotaremos de , encontra-se no ponto médio de suas raízes e , ou seja, . Mas, pela fórmula de
Bhaskara, e . Substituindo esses valores na igualdade anterior, obtém-se 
. Portanto, é possível determinar o valor em função dos coeficientes da função quadrática.
Substituindo na função, obtém-se , que representa o valor de máximo ou mínimo da função,
conforme o sinal do coeficiente a seja negativo ou positivo, respectivamente. Sendo assim, o ponto de máximo
 da função quadrática é dado pelo par ordenado , sendo chamado de ou mínimo vértice da
.parábola
Veja os vértices de cada função quadrática indicada no jogo e confira os pontos nos respectivos gráficos:
• ; ;
• ; ;
• ; ;
• ; .
• ; .
Essas informações sobre o gráfico de uma função quadrática fornecem orientações quanto à sua imagem. Temos,
por exemplo, que a reta vertical que passa pelo vértice é o da parábola. Note que, quando , eixo de simetria
 é o valor mínimo da função e, portanto, todos os demais valores assumidos pela função (as imagens) são
maiores do que . Isto é, . Da mesma forma, quando , é o valor máximo da
função e .
Agora já sabemos que o gráficode uma função quadrática será sempre representado por uma parábola, cujos
pontos que cruzam o eixo das abcissas são indicados pelas raízes da função. Também entendemos, com isso, que
o vértice da parábola representa o ponto de máximo ou de mínimo da função, o que restringe seu conjunto
imagem. Com essas informações, podemos realizar a análise do sinal de uma função quadrática, como será
mostrado a seguir.
2.3.2 O sinal de uma função quadrática
Estudar o sinal de uma função quadrática significa determinar os valores do domínio para os quais a função
assume valor positivo , negativo ou nulo .
A seguir, vamos explicar melhor como analisar os sinais das funções do jogo:
• : você já sabe que a parábola que representa esta função tem a concavidade voltada para cima 
e que não existem raízes reais. Portanto, os valores do conjunto imagem da função será sempre positivo. 
Em termos matemáticos, .
• : aqui, a parábola que representa esta função tem a concavidade voltada para cima e suas 
raízes são e . Portanto, ou ; e .
• : a parábola que representa esta função tem a concavidade voltada para cima e suas raízes 
•
•
•
•
•
•
•
•
- -21
• : a parábola que representa esta função tem a concavidade voltada para cima e suas raízes 
são . Portanto, . Lê-se, então, que a imagem sempre será positiva para todos os valores 
do domínio, exceto para .
• : neste caso, a parábola que representa a função tem a concavidade voltada para cima e suas 
raízes são e . Portanto, ou ; e .
• : a parábola que representa esta função tem a concavidade voltada para cima e suas raízes são 
. Portanto, . Isto é, as imagens serão sempre positivas, exceto em , pois, nesse 
ponto, a imagem é zero.
Agora, analisaremos especificamente a função da carta Dorminhoco, que é dada pela lei de formação .
Nela, como o coeficiente é negativo, a saber , a parábola que representa a função tem a concavidade voltada
para baixo. Sabe-se, ainda, que suas raízes são . Portanto, . Dessa forma, não existem valores 
no domínio da função com imagem positiva.
Figura 7 - Análise dos sinais da função quadrática.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Assim, de forma resumida, podemos dizer que é possível construir o gráfico de uma função quadrática sem
•
•
•
- -22
Assim, de forma resumida, podemos dizer que é possível construir o gráfico de uma função quadrática sem
montar uma tabela de pares ordenados . Para isso, é necessário seguir cinco etapas:
1. O valor do coeficiente define a concavidade da parábola. Se , a concavidade da parábola é voltada para
cima. Se , a concavidade da parábola é voltada para baixo;
2. As raízes da função definem os pontos em que a parábola cruza o eixo das abscissas. Portanto, se e são as
raízes, os pontos de intersecção serão e ;
3. O vértice da parábola indica onde será o ponto de mínimo (se ) ou de máximo (se );
4. O par ordenado representa o ponto em que a parábola corta o eixo das ordenadas;
5. A reta que passa pelo vértice e é paralela ao eixo das ordenadas é o eixo de simetria da parábola, que
representa o gráfico da função quadrática.
Agora que você já estudou de forma detalhada as características de uma função quadrática e como identificar
seus pontos notáveis no gráfico, está pronto para resolver problemas mais elaborados que envolvem o conceito
de função quadrática e sua interpretação gráfica. Vamos fazer isso a partir de agora.
2.4 Atividades contextualizadas e aplicações das funções 
polinomiais do 1º e 2º graus
Existem diversos problemas que podem ser formulados em termos de funções quadráticas. Aqueles que utilizam
a ideia de maximização e de minimização são aplicados em vários contextos, principalmente em situações da
área da Física e da Economia.
Os exemplos e aplicações a seguir dependem da análise e da interpretação de gráficos de funções quadráticas
para a sua resolução.
2.4.1 Problema 1: lançamento vertical
Imagine que uma bola é lançada verticalmente para cima, partindo do solo, com uma velocidade de 24,6 m/s².
Expresse a altura , em metros, em função do tempo , em segundos, decorrido após o lançamento do objeto. Em
seguida, determine a altura máxima atingida pela bola.
VOCÊ SABIA?
Já que aprendemos que o gráfico de uma função do 2º grau será sempre representado por uma
parábola, cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo das ordenas, precisamos entender, porém,
que nem toda parábola é expressa por uma função quadrática. Se você tem interesse em
compreender melhor sobre esse assunto, aprender mais sobre as parábolas e suas aplicações
em situações da vida real, o artigo “Por que as antenas são parabólicas?”, de Eduardo Wagner,
é uma ótima escolha. Você pode ler o texto na íntegra em:
<http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo4/complementos
>./antenas_parabolas1.pdf
- -23
Para a resolução do problema, é preciso lembrar que a altura será dada por uma função: , em
que é a altura inicial em metros, é a velocidade inicial em metros por segundo e é a aceleração
gravitacional, que vale aproximadamente 9,8 m/s². Assim, como a bola é lançada do chão, tem-se que . Além
disso, a velocidade inicial será . Substituindo os valores na expressão , obtém-se que 
.
Observe, ainda, que os coeficiente são , e . Como , o gráfico da função tem a
concavidade voltada para baixo, e, portanto, existe uma altura máxima que a bola alcançará. Para determiná-la,
basta encontrarmos os valores do vértice da função . Com isso, substituindo os coeficientes, tem-
se que . Dessa forma, a bola atingirá o ponto mais alto de 61,5 metros após três segundos decorridos
do seu lançamento.
Podemos perceber, então, que a ideia de máximo de uma função quadrática pode ser aplicada na análise de
situações da área da Física. Na sequência, observe um problema de maximização aplicado para uma situação
econômica.
2.4.2 Problema 2: receita e lucros máximos
Para calcular receitas e lucros máximos, vamos analisar um exemplo dado por Lapa (2012): uma empresa
produz e vende uma quantidade de um produto. Suponha, então, que a função demanda desse produto seja 
, e que o custo total seja dado pela função . Determine, agora, a quantidade do
produto que proporciona a máxima receita e o valor dessa máxima receita, bem como a quantidade do produto
que proporciona o máximo lucro e o valor desse lucro máximo.
A receita total será dada por . Os coeficientes da função são , e 
. Assim, como , o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo, e, portanto, existe uma
receita que será máxima. As raízes da função são os valores para .
Resolvendo a equação do 2º grau, obtém-se os valores e .
Sabe-se que o vértice da função fornecerá a receita máxima. Portanto, substituindo os valores dos
coeficientes, tem-se que . Sendo assim, a será obtida quando a demanda for de 400máxima receita
unidades do produto.
- -24
Figura 8 - Gráfico da função receita.
Fonte: LAPA, 2012, p. 131.
Observe que essa função só é definida no intervalo , pois valores de negativos não teriam significado
( é a quantidade produzida) e valores de maiores do que 800 geram uma receita negativa, e isso também não
tem significado.
Da mesma forma, o lucro também é uma função quadrática. A função lucro é definida para , sendo que sua
expressão é .
Procedendo a análise da função do mesmo modo realizado para a função receita, é possível saber que o gráfico
da função lucro tem a concavidade voltada para baixo e que as raízes da função são os valores e .
Sabe-se, ainda, que o vértice da função fornecerá o lucro máxima. Portanto, substituindo os valores
dos coeficientes, tem-se que . Sendo assim, a de R$ 1.200,00 ocorre quando .máximo lucro
- -25
Figura 9 - Gráfico da função lucro.
Fonte: LAPA, 2012, p. 131.
Por meio do gráfico, podemos identificar que só não há prejuízo para valores, tais que . Note, além
disso,que quando a empresa consegue obter a de R$ 4.800,00, são produzidas e vendidas 400receita máxima
unidades. Assim, seu lucro é dado por . Isso quer dizer que a receita
máxima gera um lucro de R$ 1.125,00, que não corresponde ao lucro máximo.
Este problema é um exemplo de aplicação da ideia de máximo de uma função quadrática, em situações de
maximização econômica. Agora, veja um problema de maximização aplicado para uma situação geométrica.
VOCÊ QUER VER?
No vídeo , dois personagens estão preocupados com a quantia arrecadada emRoda de samba
um evento que foi promovido objetivando levantar fundos para uma comunidade. É verificado,
então, que a arrecadação pode ser calculada em função do preço do convite e modelada como
uma função quadrática. No vídeo, discute-se como obter as coordenadas do ponto de máximo
dessa função, utilizando as propriedades de simetria do gráfico da função quadrática. Para
assisti-lo, acesse: < >.https://www.youtube.com/watch?v=DXPHL7IU-hk
- -26
2.4.3 Problema 3: cercando uma área máxima
Para compreendermos a maximização em uma situação geométrica, vamos estudar um exemplo de Tan (2007):
Dona Luzia deseja cercar uma área retangular do seu quintal, onde fará um jardim. Ela tem 80 metros de
material disponíveis para construir esse cercado. Denotando por a largura do jardim, precisamos encontrar
uma função na variável que forneça sua área total. Quais são as dimensões do cercado de maior área que
Dona Luzia pode construir?
Figura 10 - Dimensões do jardim retangular.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Vamos denotar de e as dimensões do jardim retangular de Dona Luzia, e de a sua área. Observe que
a quantidade de material disponível é 18 metros, portanto, a soma de todos os lados (perímetro) do cercado será
exatamente esse valor, isto é, . Então, e . Substituindo na expressão da área,
obtém-se . Sendo assim, a função quadrática expressa a área do jardim retangular
de perímetro 80 metros em função da sua largura.
Dona Luzia ainda deseja construir um jardim de área máxima, ou seja, ela procura o valor máximo de um
retângulo de perímetro 80 metros. Assim, é necessário calcular o valor máximo da função quadrática 
. O gráfico de A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois o valor do coeficiente 
. Lembre-se que existe um valor máximo da função que é dado pela ordenada do vértice da parábola.
Calculado a abscissa do vértice, temos . Esse valor é a largura do jardim que tem área
máxima. Fazendo , encontra-se a outra dimensão, . Portanto, o jardim retangular de perímetro
80 metros que possui a maior área é o quadrado de lado 20 metros.
Por fim, veja um último exemplo que utiliza a ideia de maximização de função quadrática na sua resolução: trata-
se de um caso de tomada de decisão, no qual o proprietário de um restaurante consegue avaliar e determinar um
novo valor para o quilo da comida vendida no seu estabelecimento utilizando a maximização de uma função
receita.
- -27
Com isso, podemos verificar a importância do estudo das funções polinomiais do 2° grau para a resolução de
problemas e situações práticas. Dessa forma, é válido observar situações que exigem o estudo detalhado do
problema, por meio da análise da lei de formação e da interpretação gráfica de funções quadráticas, para que
sejam realizadas tomadas de decisões importantes. Os problemas de otimização, de máximos e mínimos,
destacam-se como aplicações da função quadrática e podem ser usados em diversas áreas do conhecimento,
como na Física e na Economia.
Síntese
Neste segundo capítulo, você teve a oportunidade de estudar as funções polinomiais do 2° grau (ou funções
quadráticas) e suas propriedades de forma mais detalhada. Assim, você pode observar que essas funções
auxiliam na resolução de alguns problemas de maximização e de minimização, e que seus gráficos podem ser
utilizados na visualização de características importantes desses problemas.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• reconhecer a lei de formação de uma função polinomial do 2° grau;
• encontrar as raízes de uma função polinomial do 2° grau;
• resolver equações do 2° grau utilizando diferentes métodos;
• construir e analisar os gráficos de funções polinomiais do 2° grau;
• identificar os principais elementos da parábola;
• resolver problemas de máximos e mínimos de função polinomial do 2° grau.
CASO
Juliano é proprietário de um restaurante “a quilo”. Ele verificou que vende 100 kg de comida
por dia, sendo que o preço do quilo é de R$15,00. Com o intuito de expandir seu negócio,
Juliano realizou uma pesquisa de opinião com seus clientes, a qual revelou que o restaurante
vende 5 kg de comida a menos para cada real de aumento no preço do quilo. Utilizando essas
informações, o proprietário do estabelecimento precisa avaliar quanto deve ser o novo preço
do quilo em seu restaurante para que sua receita seja a maior possível.
Antes de qualquer coisa, Juliano sistematizou todas as informações coletadas: chamou de a
quantia acrescida ao valor de R$15,00 e de o preço do quilo da comida. Como o valor —
referente à quantidade em quilos de comida vendida por dia — é obtido em função do valor
acrescido, percebeu a relação . Por fim, observou que a receita diária do seu restaurante levará
em conta os valores e , de modo que .
Juliano percebeu, então, que a função receita de seu restaurante é uma função quadrática e
que, portanto, a receita máxima corresponderá aos valores de máximo da função receita, os
quais são obtidos pelo cálculo do vértice da parábola que representa a função.
Realizando os cálculos para os pontos do vértice, Juliano ainda obteve e . E, com isso,
finalmente pôde concluir que a receita diária do restaurante será de R$1.531,25 a maior
possível, quando o preço do quilo for R$17,50 .
•
•
•
•
•
•
- -28
Bibliografia
ARAGÃO, M. J. . Rio de Janeiro: Interciência, 2009.História da Matemática 
ÁVILLA, G. . Funções e gráficos num problema de freagem Rio Grande do Sul: UFRGS, s./d. Disponível em: <
>. Acessohttp://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/modulo_IV/pdf/funcoes_graficos.pdf
em: 25/04/2018.
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. : Mecânica. Porto Alegre: AMGH, 2012.Física para Universitários
BORBA, F. M. de. . 2008. Dissertação (Mestrado em Ensino deJogos matemáticos para o ensino de função
Ciências e Matemática) – Universidade Luterana do Brasil, Canoas, 2008. Disponível em: <http://www.ppgecim.
>. Acesso em: 19/04/2018.ulbra.br/teses/index.php/ppgecim/article/viewFile/95/89
LAPA, N. . São Paulo: Saraiva, 2012.Matemática aplicada
M3 MATEMÁTICA MULTIMÍDIA. . 18 mar. 2012. Disponível em: <Roda de Samba https://www.youtube.com
>. Acesso em: 25/04/2018./watch?v=DXPHL7IU-hk
STEWART, I. : Uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos. Rio deEm busca do infinito
Janeiro: Zahar, 2014.
STEWART, J. . São Paulo: Cengage Learning, 2013. Vol. 1.Cálculo
TAN, S. T. . Matemática Aplicada a Administração e Economia 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2007.
WAGNER, E. . Rio Grande do Sul: UFRGS, s./d. Disponível em: <Por que as antenas são parabólicas?
>. Acesso em:http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo4/complementos/antenas_parabolas1.pdf
25/04/2018.
	Introdução
	2.1 O jogo Trilha das Funções e a função polinomial do 2º grau ou função quadrática
	2.1.1 Os coeficientes da função quadrática
	2.1.2 As raízes de uma função quadrática
	2.2 Atividades envolvendo funções quadráticas e suas raízes
	2.2.1 Problema 1: objeto em queda livre
	2.2.2 Problema 2: demanda e lucro
	2.2.3 Problema 3: cercando uma área
	2.2.4 Problema 4: descobrindo a lei de formação
	2.3 Jogo Dorminhoco Matemático e o gráfico da função quadrática
	2.3.1 O gráfico de uma função quadrática
	2.3.2 O sinal de uma função quadrática
	2.4 Atividades contextualizadas e aplicações das funções polinomiais do 1º e 2º graus
	2.4.1 Problema1: lançamento vertical
	2.4.2 Problema 2: receita e lucros máximos
	2.4.3 Problema 3: cercando uma área máxima
	Síntese
	Bibliografia