Maximização de Lucros na Produção

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UFAC

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Pet-Economia Ufac-Acre

03/08/2020

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Microeconomia I

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ECONOMIA DA PRODUÇÃO
III
PRODUÇÃO COM UM FATOR VARIÁVEL:
MAXIMIZAÇÃO DE LUCROS
David L. Debertin: Agricultural Production Economics
Dr. Rubicleis G. Silva1
1PET Economia
Universidade Federal do Acre
19 de julho de 2020
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
PROGRAMA DO CURSO
INTRODUÇÃO
PRODUÇÃO COM UM FATOR-VARIÁVEL
MAXIMIZAÇÃO DE LUCROS: MODELO FATOR-PRODUTO
CUSTOS, RETORNOS E LUCROS PELA ÓTICA DO PRODUTO
MODELO FATOR-FATOR
MAXIMIZAÇÃO NO MODELO FATOR-FATOR
MAXIMIZAÇÃO SUJEITA A RESTRIÇÕES ORÇAMENTÁRIAS
ALGUMAS CARACTEŔISTICAS DA FUNÇÃO COBB-DOUGLAS
OUTRAS FUNÇÕES DE PRODUÇÃO
ELASTICIDADE DE SUBSTITUIÇÃO
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
PROGRAMA DA AULA
i Produto f́ısico total - PFT versus Valor total da produção (VTP)
ii Custo do fator de produção (CFP)
iii Valor do produto marginal (VPM) e custo marginal do fator (CMF)
iv Equações do VPM e do CMF
v Calculando o ńıvel exato do uso do fator que maximiza a produção ou o lucro
vi Condições gerais para maximização de lucros
vii Condições necessárias e suficientes de maximização
viii Os três estágios da função de produção neoclássica
ix Tópicos adicionais sobre estágios de produção
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Produto f́ısico total - PFT versus Valor total da produção (VTP)
O produto de um processo produtivo (y) também pode ser chamando alternativamente
por produto f́ısico total - PFT, sendo representados por:
PFT = y (1)
Ao multiplicarmos a expressão (1) por um preço constante p0, vamos ter:
p0PFT = p0y (2)
A expressão p0PFT é o valor total da produção VTP. Se o preço do produto for
constante vamos ter a seguinte representação:
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Produto f́ısico total - PFT versus Valor total da produção (VTP)
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Custo do fator de produção
Por simplificação, suponha que a produção utilize apenas um fator. Logo, teremos seu
custo dado por:
CFP = v0x (3)
Em que v0 é o preço do fator de produção, caso x seja trabalho, v0 é o salário.
O lucro π é dado por:
π = VTP − CFP (4)
Alternativamente, temos:
π = p0y − v0x (5)
A inclinação da função de lucro pode ser visualizada por:
∆π
∆x
=
∆VTP
∆x
− ∆CFP
∆x
(6)
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Valor do produto marginal e do custo marginal do fator
O valor do produto marginal(VPMa) é definido como o valor do incremento unitário do
produção resultante de uma unidade adicional de x quando vendemos a um preço
constante po .
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Valor do produto marginal e do custo marginal do fator
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Igualdade entre o VPMa e o CMaF
No ponto em que VPMa = CMaF corresponde ao de máximo ou ḿınimo do lucro da
firma. Estes pontos também são definidos por:
poPMa = VPMa = CMaF = v
o (7)
poPMa = v
o (8)
PMa =
vo
po
(9)
Podemos ilustrar alternativamente o resultado expresso em (9) da seguinte forma:
π = RT − CT (10)
π = poy − xvo (11)
Derivando o lucro em relação ao fator de produção x , vamos ter:
dπ
dx
= po
dy
dx
− vo (12)
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Igualdade entre o VPMa e o CMaF
Existem muitas maneiras de reorganizar a equaçãopoPMa = v
o a possibilidade é divida
os dois lados da equação pelo preço do produto po . Então, no ponto de lucro máximo,
o PMa deve ser igual a
vo
po , a razão de preço do fator e do produto. Outra possibilidade
é dividir ambos os lados da equação por produto f́ısico médio PMe ou
y
x . A condição
de maximização do lucro seria então dada por:
PMA
PME
=
vox
poy
(13)
Eu não vou esquecer
No ponto de maximização do lucro, a elasticidade da produção será exatamente igual à
razão entre o custo total do fator e a receita total do produtor.
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Igualdade entre o VPMa e o CMaF
Os dados contidos na Tabela 2.5 podem ser usados para determinar a quantidade de
fertilizante nitrogenado deve ser aplicado ao milho. Para fazer isso, os preços devem
ser atribúıdos tanto ao milho quanto ao fertilizante nitrogenado. Suponha que o preço
do milho seja $4,00 por bushel e que os custos de nitrogênio US$ 0,15 por libra. Esses
dados são apresentados na Tabela 3.1.
Vários comentários podem ser feitos com relação aos dados contidos na Tabela 3.1.
Primeiro, a um ńıvel de aplicação de nitrogênio de 180 libras por acre, o PMa de
nitrogênio é calculado para ser 0,0264. O número está muito próximo de zero e sugere
que o rendimento máximo está muito próximo a uma taxa de aplicação de 180 libras
por acre. O PMa é calculado pela primeira diferenciação a função do PFT .
y = 0, 75x + 0, 0042x2 − 0, 000023x3 (14)
PMa = 0, 75 + 0, 0084x + 0, 000069x
2 (15)
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Igualdade entre o VPMa e o CMaF
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Igualdade entre o VPMa e o CMaF
Importante
A diferença entre o ńıvel de nitrogênio necessário para maximizar os lucros versus o o
montante necessário para maximizar a produção e a receita total não parece ser muito
grande. E se nitrogênio estivesse livre, não haveria diferença alguma. À medida que o
preço do nitrogênio aumenta, a o ńıvel de nitrogênio necessário para maximizar os
lucros é reduzido. Por exemplo, se o nitrogênio vendido por US$ 1,00 por libra, a
última libra de nitrogênio aplicada precisaria produzir 0,25 alqueire de milho a US$
4,00 por bushel. Em geral, a distinção entre o ponto que representa o lucro máximo e
o ponto que representa a receita máxima se torna cada vez mais importante à medida
que aumento de preços.
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Calculando o ńıvel exato de maximização da produção e do lucro
1 Maximização Econômica: poPMa = v
o
2 Maximização Técnica: PMa = 0
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Calculando o ńıvel exato de maximização da produção e do lucro
Calculando o ńıvel de fator que maximiza a produção:
Condição de primeira ordem (CPO):
dy
dx
= 0 (16)
Condição de segunda ordem (CSO):
d2y
dx2
< 0 (17)
As condições de primeira e segunda ordem prevalecem para o máximo técnico e
econômico.
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Calculando o ńıvel exato de maximização da produção e do lucro
Calculando o ńıvel de fator que maximiza a produção:
Condição de primeira ordem (CPO):
PMa = 0, 75 + 0, 0084x − 0, 000069x2 = 0 (18)
x1 = −59.85 (19)
x2 = 181.59 (20)
Condição de segunda ordem (CSO), vamos testar para x1 = −59, 85 e x2 = 181, 59:
d2y
dx2
= 0, 0084 − 0, 000138(−59, 85) = 0, 016659 > 0 (21)
d2y
dx2
= 0, 0084 − 0, 000138(181, 59) = −0, 016 < 0 (22)
Logo, o valor de 181,59 libras de nitrogênio é a quantidade de fator que maximiza
nossa produção de milho.
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Calculando o ńıvel exato de maximização da produção e do lucro
Calculando o ńıvel de fator que maximiza o lucro lembrando que po = 4 e vo = 0, 15:
Condição de primeira ordem (CPO):
PMa = 0, 75 + 0, 0084x − 0, 000069x2 =
0, 15
4
(23)
x1 = −57, 58 (24)
x2 = 179, 32 (25)
Condição de segunda ordem (CSO), vamos testar para x1 = −57, 58 e x2 = 179, 32:
d2y
dx2
= 0, 0084 − 0, 000138(−57, 58) = 0, 016346 > 0 (26)
d2y
dx2
= 0, 0084 − 0, 000138(179, 32) = −0, 01635 < 0 (27)
Logo, o valor de 179,32 libras de nitrogênio é a quantidade de fator que maximiza o
lucro.
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Calculando o ńıvel exato de maximização da produção e do lucro
Resumo:
Especificação Máximo Técnico Máximo Econômico
CPO PMa = 0 PMa = v
o
po
CSO d(PMa) < 0 d(PMa) < 0
Detalhe: no livro os cálculos foram feitos a partir de: poPMa = v
o . Nesta nota de aula
utilizamos:PMa =
vo
po . As ráızes da equação não mudam. Contudo, a equação das
condiçõesde segunda ordem mudam, mas não mudam os sinais!
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Condições gerais para maximização de lucro
A seguir, estão um conjunto de regras para maximização de lucro. O VTP é dado por:
r = h(x) (28)
r = VTP (29)
O custo total dos fatores é dado por:
c = g(x) (30)
c = CTF (31)
O lucro é definido por:
π = r − c (32)
π = h(x) − g(x) (33)
π = VTP − CTF (34)
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Condições gerais para maximização de lucro
A condição de primeira ordem (CPO) de maximização do lucro é:
dπ/dx = h′(x) − g ′(x) = 0 (35)
dπ/dx = dr/dx − dc/dx = 0 (36)
dπ/dx = dVTP/dx − dCTF/dx = 0 (37)
dπ/dx = VTP − CTF = 0 (38)
VPM = CTF (39)
VPM
CTF
= 1 (40)
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Condições gerais para maximização de lucro
A condição de segunda ordem (CSO) de maximização do lucro é:
d2π/dx2 = h”(x) − g”(x) < 0 (41)
h”(x) < g”(x) (42)
d2VPT/dx2 = d2CTF/dx2 (43)
dVPT/dx < dCMaF/dx (44)
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO
Muito obrigado a todos
Dr. Rubicleis G. Silva ECONOMIA DA PRODUÇÃO