01_Princípios Básicos do Sistema de Potência

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Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
Introdução a Proteção de Sistemas Elétricos
P3
1
Copyright © SEL 2006
Introdução a Proteção de
Sistemas Elétricos
Princípios Básicos
do Sistema de Potência
(Visão Geral)
O objetivo desta seção inicial é o de fornecer uma revisão dos principais 
conceitos dos sistemas de potência, principalmente aqueles mais 
freqüentemente usados na área de proteção de sistemas de potência.
É difícil a tentativa de estudar todos os aspectos dos sistemas de potência 
em um curto período de tempo. Esta seção serve não somente como uma 
visão geral simplificada mas também como uma introdução às convenções 
usadas durante o curso.
Os conceitos aqui apresentados podem também ser encontrados em 
qualquer livro texto sobre análise de circuitos ac ou análise de sistemas de 
potência.
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Princípios Básicos do Sistema de Potência
Objetivos
Explicar os conceitos fasoriais e sua 
importância nos sistemas de potência
Discutir as relações entre as tensões, 
correntes e potência nos circuitos elétricos 
trifásicos
Analisar os componentes do sistema de 
potência e as grandezas em PU
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Função Senoidal
2π =
período
mY
( )ty
ϕ−
tω
t
ω
ϕ−π2
ω
ϕ−
ϕ−π2
mY−
( ) ( )ϕω += tYty m cos
A corrente e a tensão dos sistemas elétricos de corrente alternada, para a 
condição de regime, são normalmente representadas por funções senoidais
perfeitas. A figura mostra um exemplo de um sinal senoidal (ou função) 
denominada y(t) que pode ser uma tensão ou uma corrente. O sinal é
periódico com um período de T segundos. A freqüência do sinal f, em 
Hertz, é o inverso do período: f = 1/T
A expressão analítica da função senoidal do período T é a seguinte:
( ) ( )
olocalizaçã da dependendo Hz, 60ou 50f
f2
fase de Ângulo:
radianos em (angular) Frequência:
Pico de Amplitude:Y
tcosYty
m
m
=
π=ω
ϕ
ω
ϕ+ω=
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Número Complexo
Eixo Real
Eixo Imaginário
Y
r
ϕ
)YIm(b
)YRe(a
jbaY
=
=
+=
a
b
A análise de sistemas lineares ac, usando a representação no tempo de 
tensões e correntes, pode resultar em computações tediosas, complicadas e 
demoradas. Para as condições do estado de regime, a complicação é
reduzida com o uso de números complexos. Um número complexo é
composto por dois números reais. Um dos números reais é a parte “real” e o 
outro número real é a parte “imaginária”. A parte real do número complexo 
Y mostrado na figura é “a” e a parte imaginária é “b”. A parte imaginária é
sempre multiplicada por j, que é igual a √-1.
Um número complexo pode ser representado graficamente conforme 
mostrado na figura. Dois eixos são usados para representar as partes real e 
imaginária do número. O número pode ser representado como um vetor 
com dois componentes. As três expressões a seguir podem ser usadas para 
representar um número complexo:
ϕ=
ϕ=
+=
ϕ+ϕ=
ϕ∠=
+=
senYb
cosYa
:são imaginária e real partes as e,baY
é Y de magnitude a que vezUma
ângulo) e magnitude usando retangular (Forma senjYcosYY
polares) scoordenada de (FormaYY
es)retangular scoordenada de (FormajbaY
22
r
r
r
r
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Representação Fasorial
( ) [ ]tj
jjm
eYRe2ty
:Então
Yee
2
YY
:comoYFasor o Defina
ω
ϕϕ
=
==
r
r
r
Um fasor é um número complexo usado para representar uma tensão ou 
corrente ac. A relação entre o fasor e o sinal original é dada pelo seguinte 
desenvolvimento analítico:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
( )
1j 
jsenθcosθe
ee
2
YRe2y(t)
eeYReeYRey(t)
ωtsenjYωtcosYRety
ωtcos
2
Y2ωtcosYty
jθ
ωtjjm
ωtjj
m
ωtj
m
mm
m
m
−=
+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
==
ϕ++ϕ+=
ϕ+=ϕ+=
ϕ
ϕϕ+
 :Nota
Euler de Identidade (*)
:(*) Euler de identidade a Usando
:é tempo, do função em original, sinal O
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Representação Fasorial
( )ty de rms Valor :
2
YY Onde
senjYcosYY
YYeY
m
j
=
ϕ+ϕ=
ϕ∠== ϕ
r
r
Observe que a magnitude do fasor Y é o valor rms do sinal senoidal original 
y(t). Observe também que as partes real e imaginária do fasor, assim como a 
magnitude e o ângulo do fasor são CONSTANTES. Em outras palavras, 
com esta representação, a variável t (tempo) não aparece nos cálculos.
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Nota
( )
ϕ+θ=∠
∠
== ϕ+θϕ+θ
 A 
:Portanto
A"Fasor do Ângulo" Significa A
/AAeA )(j
r
r
r
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Representação Fasorial
Eixo Real
Eixo Imaginário
ϕ∠= YY
r
ϕsenY
ϕcosY
ϕ
Como qualquer número complexo, o fasor pode ser representado 
graficamente no plano complexo.
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Operações Fasoriais
2*
)(/*
)(/
:çãoMultiplica
/
/
:Fornecidas
AAA
ABBA
ABBA
BB
AA
=
−=
+=
=
=
rr
rr
rr
r
r
βα
βα
β
α
As operações fasoriais são as mesmas que as dos números complexos. A 
multiplicação dos fasores é mais fácil se eles estiverem na forma polar.
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Operações Fasoriais
n
j
nn
jnnnjn
j
eA
eAAeA
B
Ae
B
A
B
A
α
αα
βα βα
⋅=
==
−== −
A 
)()( :çãoExponencia
)(/ :Divisão )(
Outras operações de números complexos, como divisão e exponenciação, 
são relativamente simples de serem executadas. Isto não seria tão simples se 
a representação dos sinais no tempo estivesse sendo usada.
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Representação dos Circuitos Lineares AC 
Usando Fasores e Impedâncias
V
I
I
V Z
( )
REATÂNCIAX
ARESISTÊNCIR
jZZjXRZ
Z
I
V
I
V
I
VZ IV
I
V
=
=
+=+=
∠=−=
∠
∠
==
ϕϕ
ϕθθ
θ
θ
sencos
/r
r
r
ϕ
IMPEDÂNCIA
Os elementos lineares dos circuitos ac passivos são representados por suas 
impedâncias. A impedância de um determinado elemento do circuito é definida 
como o número complexo resultante da divisão do fasor da tensão aplicada 
pelo fasor da corrente resultante. Como em qualquer número complexo, a 
impedância tem uma parte real e uma imaginária. A parte real é denominada 
RESISTÊNCIA (R) e a parte imaginária é denominada REATÂNCIA (X).
Os exemplos das impedâncias são:
Z = 2 + j6 Ohms 
Z = 2 - j30 Ohms
Z = j10 Ohms (reatância pura)
Z = 2,5 Ohms (resistência pura)
Z = 0,231 + j0,685 pu (usando a impedância base fornecida)
Z = 23,1 + j68,5 % (pu vezes 100)
O inverso da impedância é denominado ADMITÂNCIA e é representado por 
Y. Para algumas aplicações nos sistemas de potência, a admitância é usada ao 
invés da impedância para representar os elementos passivos. A admitância
também tem partes real e imaginária. A parte real é denominada 
CONDUTÂNCIA (G) e a parte imaginária é denominada SUSCEPTÂNCIA 
(B). Em outras palavras:
jBG
jXR
1
Z
1Y +=
+
== r
r
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Impedâncias dos Elementos de 
Circuitos Passivos
I
+ V -
Resistor
R I
+ V -
L
I
+ V -
C
Indutor Capacitor
V
I
I I
V
V
ϕ = 0° ϕ = 90° ϕ = - 90°
Mesmo considerando que os elementos puros não existem, é comum 
modelar alguns elementos como resistores, indutores e capacitores puros. 
Os diagramas fasoriais desses três elementos estão mostrados na figura.
As expressões a seguir são usadas para calcular as impedâncias dos três 
principais componentes dos circuitos lineares ac :
cc
LL
jX
C
1jZ,IjXI
C
1jV:CapacitorjXLjZ,IjXILjV:Indutor
R
I
VZ,IRV:sistorRe
−=
ω
−=−=
ω
−=
=ω==ω=
===
rrr
rrrr
r
r
rrr
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I
V
VL VCVR
R L C
VR
I
VC
VR
VL
VC
V
ϕ
Diagrama Fasorial do Circuito Série RLC
As equações a seguir servem para calcular a impedância série total do 
circuito série R-L-C :
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
−ω=−=
C
1LjXXjX
CL
C
1jLjRjXjXRZ
CL ω
−ω+=−+=
jXR
I
VZ +==
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Diagrama Fasorial do Circuito Paralelo RLC
V
IR
I
ICIL
IC
I
R L CIR IL IC
IR
V
ϕ
O circuito paralelo R-L-C é o dual do circuito série R-L-C. Neste caso, é
mais conveniente o uso de admitâncias.
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Representação das Impedâncias no 
Plano Complexo
R
X
Z
R
X
r
-r
r-r
Área
rZ ≤||
r
22 || XRZZ
jXRZ
+==
+=
r
r
Como qualquer número complexo, a impedância pode ser representada no 
plano complexo. No campo de proteção de sistemas de potência, o plano 
complexo usado para representar as impedâncias é chamado de plano R-X. 
O diagrama resultante é, algumas vezes, denominado diagrama R-X.
O diagrama R-X é usado para estudar e analisar não apenas uma 
impedância simples (que é, na verdade, um simples ponto no plano 
complexo), mas também um conjunto de impedâncias ou uma variação das 
impedâncias. Por exemplo, a área dentro do círculo de raio r e com o centro 
na origem é representada por:
rZ ≤||
r
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Potência Instantânea
)2sen()sen()2cos()cos()cos(
)2cos()cos(
)cos()cos(2
)cos(2
)cos(2
tVItVIVIp
tVIVIp
ttVIivp
tIi
tVv
ωϕωϕϕ
ϕωϕ
ϕωω
ϕω
ω
++=
−+=
−=⋅=
−⋅⋅=
⋅⋅= Z
i
v
O circuito monofásico ac da figura permite que seja efetuada uma revisão do conceito de 
potência instantânea para condições de regime. Observe que, para este caso em 
particular, é considerado que a corrente está atrasada da tensão por um ângulo de ϕ
graus. Observe também que a magnitude de cada sinal é apresentada como o valor rms
vezes a raiz quadrada de dois.
A potência instantânea é obtida pela multiplicação direta de duas funções senoidais
representando a tensão e a corrente. O resultado é uma função com três termos:
1) O primeiro termo é constante (não depende de t), e é igual a V·I·cos(ϕ)
2) O segundo termo é uma senóide perfeita, porém a uma freqüência igual a 2ω. 
A magnitude deste termo é proporcional ao coseno do ângulo ϕ.
3) O terceiro termo é uma senóide perfeita também a uma freqüência igual a 2ω. 
A magnitude deste termo é proporcional ao seno do ângulo ϕ.
Observe que, se a impedância do circuito fosse um resistor ideal, a corrente e a tensão 
estariam em fase. Em outras palavras, o ângulo ϕ seria zero. Observe também que a 
expressão matemática da potência instantânea pode ser reescrita como:
)2sen(sen))2cos(1(cos
)2sen(sen)2cos(coscos
tVItVIp
tVItVIVIp
ωϕωϕ
ωϕωϕϕ
++=
++=
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Potência Instantânea
( )ϕϕ −+= tωVIVIp 2coscos
p = vi
iv
P
)cos( 1
0
ϕVIdtp
T
P
T
Média ∫ =⋅=
O slide mostra como a expressão matemática da potência instantânea pode 
ser manipulada para tornar sua forma mais evidente. A expressão final tem 
um termo constante (V·I·cos(ϕ)) e um termo senoidal com freqüência dupla. 
A potência instantânea está mostrada na figura como uma função offset
senoidal com um offset igual ao termo constante V·I·cos(ϕ), que é mostrado 
através da linha tracejada na figura. Intuitivamente, pode ser observado que 
o offset constante é a potência média fornecida para a impedância. 
A figura também mostra os sinais de tensão e corrente.
O valor médio pode ser encontrado através da integração da expressão e o 
resultado é, conforme esperado, V·I·cos(ϕ).
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Potência Média dos Elementos
I
+ V -
Resistor
R I
+ V -
L
I
+ V -
C
Indutor Capacitor
ϕ = 0° ϕ = 90° ϕ = -90°
tVIVIp ω2cos+= tVIp ω2sen= tVIp ω2sen−=
Média = VI
= I 2 R
Média = 0 Média = 0
A potência média fornecida aos indutores e capacitores puros é zero. 
Considera-se que os resistores sejam os únicos elementos que consomem 
potência ativa.
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Potência Complexa 
Ativa e Reativa
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
→→→→→
IVReIVReP **
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
→→→→
IVImIVImQ **
jQPIVS * +==
rrr
I
V
Z
Potência complexa é definida como o produto do fasor de tensão pelo 
conjugado complexo do fasor de corrente. A unidade de medida da potência 
complexa é volt-ampere, ou VA.
A potência média é também conhecida como potência ativa, pois ela é a 
parte da potência instantânea que realmente gera trabalho, ou calor. A 
unidade de medida da potência ativa é watts. Uma outra forma de 
determinar a potência ativa consiste em considerar a parte real da 
multiplicação dos fasores de tensão e corrente.
A parte imaginária da potência complexa, Q, é conhecida como potência 
reativa. A unidade de medida da potência reativa é Volt-Ampere-Reativo, 
ou VAR.
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Potência Complexa 
Ativa e Reativa
ϕ=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡= ∗
→→
cosVIIVReP
ϕsenIm VIIVQ =⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡= ∗
→→
I
V
Z
ϕϕ sencos jZZjXRZ +=+=
r
ϕ∠=+== VIjQPIVS *
rr
Se ϕ for o ângulo da impedância, e portanto, o ângulo com que a corrente 
está atrasada da tensão, então a potência ativa e a reativa podem ser 
calculadas como funções de ϕ.
Observe que, de acordo com a convenção, a potência reativa de um indutor 
é positiva e a potência reativa de um capacitor é negativa.
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Potência Complexa 
Potência Aparente e Fator de Potência
I
V ZPotência) de(Fator cosS
PFP
Aparente) (PotênciaZIQPSVIS
Complexa) (PotênciaIVjQPSeS
222
*j
ϕ==
=+===
=+== ϕ
r
rrr
Também por definição, a magnitude da potência complexa (o produto das 
magnitudes de tensão e corrente, S = VI) é denominada potência aparente.
A relação da potência ativa pela potência aparente é definida como fator de 
potência. Matematicamente, o fator de potência é o coseno do ângulo ϕ, ou 
f.p. = cos(ϕ).
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Triângulo de Potência
P
S
Q
ϕ
A potência complexa pode ser representada graficamente no plano 
complexo. A parte real é a potência ativa e a parte imaginária é a potência 
reativa. Isto é conhecido como triângulo de potência.
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Sistemas Trifásicos Equilibrados
Para um sistema trifásico equilibrado, as tensões 
senoidais têm a mesma amplitude e estão 
defasadas de 120°.
VA
VB
VC
VA
VC
VB
SEQÜÊNCIA A-B-C SEQÜÊNCIA A-C-B
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Cargas Conectadas em Y
oo 1201200 ∠=−∠=°∠=
→→→
PCNPBNPAN VVVVVV
EBnECn
EAn
n
ZG
ZG
VCn ZG VBn
Ib
Vbn
Zp
n
Zp
Vcn
Zp
Van
Ia
ZLVAn
ZL
Ic
ZL
A figura mostra o diagrama do circuito de um sistema trifásico simples. Se a 
fonte de tensão trifásica ideal for perfeitamente equilibrada e todas as 
impedâncias de cada fase do sistema forem iguais, então todas as tensões e 
correntes do sistema estarão perfeitamente equilibradas.
Uma carga conectada em estrela, consistindo de impedâncias passivas, é
mostrada com o objetivo de efetuarmos uma revisão e análise das equações.
Cada impedância da carga recebe uma tensão linha-neutro.
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Cargas Conectadas em Y
o30V3VVV PBNANAB ∠⋅=−=
→→→
o90V3VVV PCNBNBC −∠⋅=−=
→→→
o150V3VVV PANCNCA ∠⋅=−=
→→→
o30V3V PLL ∠⋅=
→→
30 °
VCNVCA VAB
VAN
VBC
VBN
Cada uma das impedâncias de uma carga é denominada impedância de fase. 
A magnitude da tensão aplicada a cada impedância é a tensão linha-neutro, 
ou a tensão de fase (VP). 
A relação entre as tensões linha-linha e as tensões linha-neutro pode ser 
obtida analiticamente ou graficamente. Existe um fator igual à raiz quadrada 
de três entre a tensão de fase e a tensão linha-linha.
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Cargas Conectadas em Y
ϕ−== →
→
→
/
P
P
AN
A I
Z
VI
)120(/ ϕ−−== →
→
→ o
P
P
BN
B I
Z
VI
)120(/ ϕ−== →
→
→ o
P
P
CN
C I
Z
VI
PL II
→→
=
A magnitude da corrente passante através de cada uma das impedâncias é a 
corrente da linha (IL). Para uma carga conectada em Y, a corrente na linha e 
as correntes de fase são iguais.
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Cargas Conectadas em Δ
PLL VV
→→
=
Ica
Iab
Zp
Ibc
Iaa
Ibb
Icc
Zp
Zp
Para uma carga conectada em delta, a tensão na carga é igual à tensão linha-
linha.
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Cargas Conectadas em Δ
oo 120II,120II,0II PCAPBCPAB ∠=−∠=°∠=
→→→
o150I3III PABBCB −∠⋅=−=
→→→
o90I3III PBCCAC ∠⋅=−=
→→→
o30I3I PL −∠⋅=
→→
30 °
IC
ICA
IAB
IAIBCIB
o30I3III PCAABA −∠⋅=−=
→→→
Para cargas conectadas em delta, existe um fator igual à raiz quadrada de 
três entre as correntes da fase e da linha.
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Conclusão para Cargas Passivas
LPLP
II,3VV ==
3II,VV
LPLP
==
Cargas Conectadas em Y
Cargas Conectadas em Δ
Esta é a conclusão.
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Potência nos Sistemas
Trifásicos Equilibrados
ϕ=ϕ= cosIV3cosIV3P
LLPP
ϕϕ sen3sen3
LLPP
IVIVQ ==
22 QPIV3IV3S
LLPP
+===
QjPeSS j +== ϕ
→
ϕ== cosS/PFP
A potência trifásica é obtida através da soma da potência de cada fase. O 
resultado é que a potência trifásica de um sistema trifásico equilibrado é três 
vezes a potência de uma das fases. Quando as tensões linha-linha e as 
correntes da linha forem usadas, o fator torna-se a raiz quadrada de três.
Lembre-se que para cargas conectadas em estrela, VP = VL/ √3 e IP = IL. 
Quando a substituição é efetuada, a equação tem 3 dividido por √3, 
resultando em √3 vezes a tensão de linha e a corrente de linha.
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Conclusão sobre os Sistemas de 
Potência Equilibrados
EBnECn
EAn
n
ZG
ZG
VCn ZG
VBn
Ib
Vbn
Zp
n
Zp
Vcn
Zp
Van
Ia
ZLVAn
ZL
Ic
ZL
Se o sistema for perfeitamente equilibrado, 
somente é necessário analisar uma fase. As outras 
fases terão a mesma magnitude com defasagem
de 120°. 
Ean
ZG Zp
ZL
Ia
+
-
Uma característica importante da análise de sistemas de potência trifásicos é
que não é necessário efetuar a análise de cada fase se o sistema for 
perfeitamente equilibrado. Para um sistema equilibrado, somente uma fase 
precisa ser analisada. O comportamento das outras fases é similar. A única 
diferença é que as correntes e tensões estão defasadas de 120° em relação à
fase analisada.
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Representação Unifilar dos 
Sistemas de Potência
EBnECn
EAn
n
ZG
ZG
VCn ZG VBn
Ib
Vbn
Zp
n
Zp
Vcn
Zp
Van
Ia
ZLVAn
ZL
Ic
ZL
Representação
do Sistema
Representação
Unifilar
A representação unifilar economiza um espaço considerável. Isto se torna 
mais evidente para sistemas de potência de grande porte.
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Alguns Componentes do Sistema de Potência
Símbolos do Unifilar
Gerador
Transformador
Linha de Transmissão
Carga Geral Impedância Shunt
Estes são os símbolos usados nos diagramas unifilares para os elementos 
mais comuns do sistema de potência. Outros elementos são bancos de 
capacitores, reatores, defasadores, motores, controles eletrônicos de 
potência, disjuntores, etc.
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Exemplo do Sistema de Potência 
Diagrama Unifilar
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No Pátio da Subestação
“Barra”
Chave
Disjuntor
Transformador
de Corrente
Transformador
de Tensão
Chave
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Acoplamento Mútuo
Um Conceito Importante
Acoplamento
Magnético
Tensões
Induzidas
I1 I2 I1 I2
Zm I2 Zm I1
O acoplamento magnético entre dois circuitos energizados é chamado 
acoplamento mútuo. A corrente de um dos circuitos induz uma tensão no 
outro circuito e vice-versa.
O acoplamento mútuo está presente em todos os componentes do sistema de 
potência trifásico. Isto torna o estudo, a análise e a computação mais 
complicados.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
Introdução a Proteção de Sistemas Elétricos
P3
37
Componentes do Sistema de Potência 
Gerador de Potência
ZSIa
Ib
Ic
g
n
Barra
Estator
ZS
ZS
Zm
Zm
Zm
Ze
Va
+
-
Vb
+
-
Vc
+
-
Vr
Ir
Ires
Circuito do Rotor (Campo)
Ia
Ib
Ic
Dispositivo p/
Aterramento
do Neutro
O gerador síncrono é uma máquina complexa. Os enrolamentos do rotor 
injetam corrente contínua, mas os enrolamentos estão em movimento. Este 
movimento dos enrolamentos é que gera as tensões ac induzidas nos 
circuitos do estator. Os enrolamentos do estator e os enrolamentos do rotor 
são acoplados magneticamente e as indutâncias mútuas equivalentes são 
variáveis pois a máquina está em movimento. O modelo matemático de um 
gerador síncrono típico consiste de pelo menos 10 equações diferenciais, 
incluindo o controle. Existem modelos simplificados usados nos cálculos 
práticos que fornecem precisão suficiente para muitas aplicações.
O neutro do gerador pode ser aterrado através de diferentes métodos. No 
modelo mostrado na figura, a impedância de aterramento pode ter 
características diferentes dependendo do método usado.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
Introdução a Proteção de Sistemas Elétricos
P3
38
Modelo Simplificado do Gerador
ZS
+Ea
+Eb
+Ec
Ia
Ib
Ic
g
n
-
-
-
Barra
ZS
ZS
Zm
Zm
Zm
Ze
Va
+
-
Vb
+
-
Vc
+
-
gnccSbmamc
gnbcmbSamb
gnacmbmaSa
VVIZIZIZE
VVIZIZIZE
VVIZIZIZE
++++=
++++=
++++=
O método mais comum e simples para representar um gerador operando em 
condição de regime é através de uma fonte trifásica ideal com impedâncias 
série acopladas simetricamente. As fontes internas de ac representam as 
tensões induzidas, que é o efeito do rotor. A equação considera a 
impedância própria, Zs, de cada enrolamento do estator e as impedâncias 
mútuas, Zm, iguais para todos os casos (simetria perfeita). Quando o 
sistema estiver operando sob condições perfeitamente equilibradas, a 
corrente terra-neutro e a tensão Vgn são iguais a zero.
Embora simples e impreciso, o modelo descrito é útil para estudos práticos e 
é especialmente de grande utilidade para criar “geradores trifásicos 
equivalentes” para representar os elementos do sistema de potência “atrás”
de uma determinada barra. Esta é a versão trifásica do equivalente de 
Thevenin.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
Introdução a Proteção de Sistemas Elétricos
P3
39
Componentes do Sistema de Potência 
Cabos e Linhas de Transmissão de Energia
(Fora de Escala)
Os cabos e as linhas de transmissãoaéreas estão entre os elementos mais 
importantes do sistema de potência. Eles transportam e distribuem energia 
ao longo de extensas regiões geográficas. Existe uma grande variedade de 
configurações de linha (arranjo dos condutores, projeto das torres, etc.).
Entretanto, as linhas podem ser modeladas com um nível aceitável de 
precisão através de modelos relativamente simples.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
Introdução a Proteção de Sistemas Elétricos
P3
40
Acoplamento Magnético
a b c
Acoplamento 
Magnético
Cabos e linha longas possuem acoplamento mútuo entre suas próprias fases 
e entre outros cabos e linhas adjacentes. Isto torna a análise dos sistemas de 
potência trifásicos uma tarefa complicada, particularmente para condições 
desequilibradas. Algumas técnicas especiais tais como o método das 
componentes simétricas são usadas para abordar esta complicação.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
Introdução a Proteção de Sistemas Elétricos
P3
41
Modelo do Circuito de uma
Linha de Transmissão
Ia
Ib
Ic
a
b
c
Acoplamento 
Magnético
Um dos modelos mais simples de linhas de transmissão consiste do circuito 
mostrado na figura. Ambas a capacitância shunt e a impedância série 
indutiva estão, na verdade, distribuídas ao longo de toda a linha. Estes 
parâmetros são concentrados neste modelo para simplificar o estudo do 
sistema em condições de regime.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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42
Modelo do Circuito de uma Linha de 
Transmissão sem Considerar as Capacitâncias
Ia
Ib
Ic
a
b
c
Acoplamento 
Magnético
aV bV cV aV ′ bV ′ cV ′
Quando estivermos estudando curtos-circuitos no sistema de potência 
através de fasores, o efeito da capacitância da linha pode ser ignorado, 
resultando em um modelo da linha que é até mais simples. Observe a 
representação do acoplamento mútuo.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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P3
43
Equações da Linha sem Considerar o 
Acoplamento Mútuo entre Fases
ccSc
bbSb
aaSa
VIZV
VIZV
VIZV
′+=
′+=
′+=
Ib
Ic
a
b
c
aV bV cV aV ′ bV ′ cV ′
Se o efeito da mútua for desprezado, o modelo da linha é muito impreciso. 
Algumas vezes, esse modelo é usado para linhas extremamente curtas.
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44
Equações da Linha Considerando o 
Acoplamento Mútuo entre Fases
ccSbcbacac
bcbcbSabab
acacbabaSa
VIZIZIZV
VIZIZIZV
VIZIZIZV
′+++=
′+++=
′+++=
Ia
Ib
Ic
a
b
c
Acoplamento Magnético
aV bV cV aV ′ bV ′ cV ′
As equações da linha para o estado em regime, desprezando a capacitância e 
considerando o acoplamento mútuo, são as que estão mostradas na figura. 
Neste caso, o efeito do cabo de aterramento não é mostrado. Esse efeito 
pode ser facilmente considerado através da adição de uma equação de 
acoplamento similar para cada cabo de aterramento da linha. 
As equações apresentadas no slide consideram que, em linha reais, as 
impedâncias próprias (Zs) são similares para todas as fases, porém as 
impedâncias mútuas não são todas iguais. Existe alguma simetria. Por 
exemplo, Zac=Zca, Zbc=Zcb, etc. Essas equações são conhecidas como as 
equações de uma linha não transposta. 
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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45
Equações da Linha para uma Linha 
Simétrica (Transposta)
ccSbmamc
bcmbSamb
acmbmaSa
VIZIZIZV
VIZIZIZV
VIZIZIZV
′+++=
′+++=
′+++=
Ia
Ib
Ic
a
b
c
Acoplamento Magnético
aV bV cV aV ′ bV ′ cV ′
Se a linha for considerada perfeitamente simétrica, as impedâncias mútuas 
são todas iguais. Este modelo é conhecido como modelo de linha transposta 
e é bastante usado pois a imprecisão do modelo é evidente somente para 
aplicações muito específicas.
A impedância própria tem duas partes, resistência e reatância. A resistência 
depende do condutor usado (seção transversal, material, etc.). A reatância 
depende do tipo do condutor e da posição geométrica dos condutores. A 
impedância mútua é puramente reativa e depende quase que exclusivamente 
da característica e do arranjo do condutor. As características do solo e os 
cabos de aterramento também têm uma influência considerável nas 
impedâncias da linha.
Exemplos de impedâncias de linha para uma linha de 13 kV, com condutor 
ACSR 4/0:
Zs = 0,3272 + j1,07 Ohm/km = 0,524 + j1,721 Ohm/milha
Zm = j0,636 Ohm/km = j1,018 Ohm/milha
Estes valores foram obtidos considerando que a linha é perfeitamente 
simétrica.
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46
Componentes do Sistema de Potência 
Transformador
Monofásico
Trifásico
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47
Transformador Monofásico
Transformador “Real”: N1I1 = N2I2+ ERRO
N1 N2
I1 I2
φ
φ
ZL
V1
A figura mostra a representação mais comum de um transformador 
monofásico. O fluxo confinado no núcleo de ferro produz o acoplamento 
entre os dois enrolamentos. O fluxo de dispersão, associado à resistência 
dos enrolamentos e à não linearidade do núcleo, produz um erro que é
desprezível em muitas aplicações. 
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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P3
48
Símbolo do Transformador Monofásico
N1 N2
I1
V2
+
-
V1
+
-
I2
2
1
2
1
N
N
V
VTR
N
N ≈=
Relação do Transformador:
A relação do transformador é a relação entre as tensões nominais dos dois 
terminais do transformador.
Em um transformador que tenha sido bem projetado, a relação entre as 
tensões nominais é muito próxima da relação de espiras.
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49
Transformador Monofásico Ideal
N1 N2
I1
V2
+
-
V1
+
-
I2
221121
2211
2
1
2
1
IVIVSS
ININ
N
N
V
V
===
=
=
Relações perfeitas somente podem ser aplicadas no transformador definido 
como ideal. Embora este equipamento não exista na realidade, o modelo é
usado como um auxiliar de modelos mais complexos dos sistemas de
potência.
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50
Impedância Refletida
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
Z
N
N
N
N
I
V
N
NI
N
NV
I
VZ
I
VZ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
===
=
N1 N2
I1
V2
+
-
V1
+
-
I2
Z2
I1
V1
+
-
(N1/N2)2 Z2
A relação ideal descrita no slide anterior leva ao fato de que uma 
impedância conectada a um lado do transformador ideal é “refletida” no 
outro lado como a mesma impedância vezes o quadrado da relação de 
espiras do transformador.
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51
Transformador Monofásico 
Circuito Equivalente
I2
N1 N2
IE
Rs jXs
Não-
Linear
Ideal
Rp jXp
I1
V1 V2
+
-
+
-
Normalmente
Não Considerado
A figura mostra o modelo mais popular de um transformador monofásico.
O circuito equivalente de um transformador monofásico inclui os seguintes 
elementos:
• Um transformador ideal, para representar o efeito do fluxo 
principal.
• Reatâncias de dispersão, para representar o fluxo de dispersão no 
transformador e outros efeitos.
• As resistências série, para representar as perdas ôhmicas no 
enrolamento.
• A magnetização shunt, uma impedância não-linear, é usada para 
representar o comportamento do circuito magnético (núcleo de 
ferro). Este ramal normalmente não é considerado, especialmente 
nos estudos de curto-circuito.
Existem modelos mais precisos, porém este propicia precisão suficiente 
para a maioria das aplicações práticas.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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52
Transformador Monofásico
Circuito Equivalente Simplificado
Rs jXs
Ideal
Rp jXp
2
1
2
1
N
N
V
V
x
x =
I2
N1 N2I1
V1 V2
+
-
+
-
V1x
+
-
V2x
+
-
Este slide mostra o circuito equivalente após ter sido desprezado o ramal de 
magnetização. Observe que para as duas tensões internas (e imaginárias V1x
e V2y), a relação do transformador ideal ainda permanece. Portanto, as 
impedâncias dos enrolamentos podem ser refletidas em um lado ou no 
outro, dependendo da aplicação específica.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
Introdução a Proteção de Sistemas Elétricos
P3
53
Representação Por Unidade (PU)
Grandeza em PU 
Grandeza Real & Valor Base
Valor escalar ou complexo de 
potência, tensão, corrente ou 
impedância
Grandeza em Porcento
Grandeza em PU x 100
Grandeza da BaseValor 
Real Grandeza
=
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54
Seleção dos Valores Base para o 
Sistema Monofásico
bV
bS
Escolha a Tensão Base:
Escolha a Potência Base: 
Os Valores Base de Corrente e Impedância 
são Derivados dos Valores Escolhidos:
b
b
b
b
b
b
b
b S
V
I
VZ
V
SI
2
; ===
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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55
Efeito dos Cálculos em PU no
Circuito Equivalente do Transformador
Etapa 1: Escolha a
Tensão Base – Vb1 e a 
Potência Base – Sb
Rs jXs
Ideal
Rp jXp
V2
I2I1
V1
+
-
+
-
V1x
+
-
V2x
+
-
2
1
2
1
N
N
V
V
x
x =
Etapa 2: Escolha a 
Tensão Base
Vb2 = (N2/N1)Vb1
Quando usarmos valores em Por Unidade (PU), o valor base de potência 
tem de permanecer constante. Portanto, a potência base é selecionada uma 
vez e então é usada para todos os demais cálculos.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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56
Efeito dos Cálculos em PU no
Circuito Equivalente do Transformador
I2(pu)
Rs(pu) jXs(pu)Rp(pu) jXp(pu)
V1(pu) V2(pu)
+
-
+
-
V1x(pu)
+
-
V2x(pu)
+
-
I1(pu)
desaparece idealmador transforO1
)(
)(
;)(;)(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
222111
⇒=
⇒==
==
puV
puV
N
N
V
Ve
N
N
V
V
VVpuVVVpuV
x
x
b
b
x
x
bxxbxx
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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57
Efeito dos Cálculos em PU no
Circuito Equivalente do Transformador
I2(pu)
Rs(pu) jXs(pu)Rp(pu) jXp(pu)
V1(pu) V2(pu)
+
-
+
-
V1x(pu)=V2x(pu)
+
-
I1(pu)
I(pu)
V1(pu) V2(pu)
+
-
+
-
ttt jXRZ +=
Conclusão: Se os cálculos forem efetuados usando valores em pu, uma 
escolha apropriada da base faz com que o transformador “desapareça”. Esta 
é a principal vantagem do método pu.
Normalmente, a impedância dos transformadores de potência vem indicada 
nos dados de placa do transformador e é fornecida como um valor 
porcentual (Z (pu) x 100) da impedância nominal base do transformador.
Conforme pode ser visto a partir do circuito equivalente em pu, a 
impedância de um transformador pode ser medida efetuando-se um teste de 
curto-circuito no mesmo. Isto é devido ao seguinte:
Zt = V1(Por Unidade)/I1(Por Unidade) com V2 = 0 (curto-circuito)
Este é o motivo pelo qual a impedância do transformador é normalmente 
referida como a impedância de curto-circuito.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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58
Exemplo
Transformador Monofásico da Distribuição
TR = 7200/120 V/V
SN = 100 kVA
Zt = 3%
O fabricante fornece a impedância série do 
transformador em porcento (100 x Z pu) 
usando o valor nominal do transformador de 
acordo com a potência base.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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P3
59
Circuito Equivalente em PU
I(pu)
V1(pu) V2(pu)
+
-
+
-
tt jXZ =
I(pu)
V1(pu) V2(pu)
+
-
+
-
pujZt 03,0=
Este é o circuito equivalente para o transformador do slide anterior.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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60
Bancos Trifásicos
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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61
Transformador Y-Y
N1 N2 Ia
Ib
Ic
Ia(N2/N1)
Ib(N2/N1)
Ic(N2/N1)
a
b
c
2
1
2
1
N
N
KV
KVTR ≈=
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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62
Transformador Δ-Y
N1 N2 Ia
Ib
Ic
(Ia-Ib)(N2/N1)
(Ib-Ic)(N2/N1)
(Ic-Ia)(N2/N1)
a
b
c
2
1
2
1
3N
N
KV
KVTR ≈=
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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63
Vantagens do Sistema em PU
Dá uma Idéia Clara dos Valores 
Relativos de Grandezas Similares
A Impedância em PU dos Equipamentos 
Baseada no Valor Nominal Tem os 
Valores Dentro de uma Faixa Estreita
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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64
Vantagens do Sistema em PU
Os Valores em PU do Transformador 
São os Mesmos Independentemente da 
Conexão ou da Referência ao Lado 
Primário ou Secundário do 
Transformador
O Sistema PU é Ideal para Simulação e 
Análise do Sistema de Potência em 
Computador
Nota: O defasamento é considerado na representação em pu. Isto será
mostrado numa análise posterior. As magnitudes, entretanto, são as 
mesmas em pu.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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65
Valores Base Trifásicos
Normalmente, Selecione
Sbase (Valor Trifásico)
Vbase (Valor Fase-Fase)
base
base
base
base
base
base kV3
kVA
I
V3
SI ==
( )
base
2
base
base
base
base S
V
I
3VZ ==
( ) ( )
base
2
base
base
2
base
base MVA
kV
kVA
kV1000Z ==
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66
Mudança de Base
( )2antiga
base
antiga
base
antiga
base
antiga
pu
V
SZZ
ZZ ==
( )2nova
base
nova
base
nova
base
nova
pu
V
SZZ
ZZ ==
2
nova
base
antiga
base
antiga
base
nova
baseantiga
pu
nova
pu V
V
S
SZZ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
Freqüentemente, é necessário converter uma impedância para uma base 
diferente. Por exemplo, se a impedância do transformador for dada na base 
20 MVA, pode ser necessário efetuar a conversão para a base 100 MVA, 
com o objetivo de compatibilizar com a base do modelo do sistema. Se a 
tensão base não estiver sendo alterada, a porção da equação se torna igual a 
1 e pode ser ignorada.
Seção 1 - Princípios Básicos do Sistema de Potência
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67
Exemplo
Gerador Transformador
Encontre a Reatância Equivalente 
para uma Base de 115 kV, 100 MVA 
Gerador: 50 MVA, 13,2 kV, XG = 15%
Transformador: 50 MVA, 13,8/115 kV, 
XT = 8%
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68
Exemplo
puXXX
puX
puX
TG
T
G
4345,0
16,0
50
10008,0
2745,0
8,13
2,13
50
10015,0
2
=+=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
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69
Exemplo do Fluxo de Potência Através 
de uma Linha de Transmissão de 69kV
V1 V2
jQPS
I
+= LLL
jQPS +=
Tensão Enviada (Fase-Neutro)
e Potência Trifásica :
Tensão na Carga (Fase-Neutro)
e Potência Trifásica:
),(4560;06,372 MVARMWjSkVV L +=°∠=
),(26,5865,62;05,689,421 MVARMWjSkVV +=°∠=
12,5 milhas
Este é um exemplo da operação de uma linha de transmissão de energia no 
estado de regime. As tensões são tensões fase-neutro e as potências são 
trifásicas. É mais comum a apresentação das tensões em volts linha-linha 
(para carga normal) ou em pu (ou porcento) de uma determinada base.
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70
Exemplo do Fluxo de Potência Através de 
uma Linha de Transmissão de 69kV em PU
jQPS
I
+= LLL
jQPS +=
pujSpuV L 45,060,0;09438,02 +=°∠=
pujSpuV 583,0627,0;05,6077,11 +=°∠=
V1 V2Base:
69 kV
100 MVA
12,5 milhas
Tensão Enviada (Fase-Neutro)
e Potência Trifásica:
Tensão na Carga (Fase-Neutro)
e Potência Trifásica: