Lista 01 Exercícios I

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Lista de Exercícios I – Análise Estatística 
Probabilidade 
Prof. Frank Magalhães 
Sugestão de leitura: Capítulo 6 do livro Noções de Probabilidade e Estatística 
do Marcos Nascimento Magalhães e capítulo 9 do livro Probabilidade – 
Aplicações à Estatística do Paul L. Meyer. 
Questão 01: Demonstre as propriedades de esperança e variância matemática. 
Questão 02: Uma variável aleatória contínua 𝑋 tem função densidade de 
probabilidade dada por: 
𝑓𝑋(𝑥) = {
𝑘
2
𝑒−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0.
 
a. Calcule o valor de 𝑘; 
b. Determine a função de distribuição 𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
; 
c. Calcule 𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 4); 
d. 𝑃(𝑋 > 12|𝑋 > 4). 
Questão 03: Seja a variável aleatória contínua 𝑋 com função de densidade de 
probabilidade definida por: 
𝑓𝑋(𝑥) = {
1
8
(4 − 𝑥), 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 
0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 > 4.
 
a. Calcule 𝐸[𝑋], 𝑉𝑎𝑟[𝑋], 𝐸 [
𝑋−𝜇
𝜎
] e 𝑉𝑎𝑟 [
𝑋−𝜇
𝜎
]; 
b. Determine a função de distribuição 𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
; 
c. Calcular 𝑃 (𝜇 −
𝜎
2
≤ 𝑋 ≤ 𝜇 +
𝜎
2
), onde 𝜇 = 𝐸(𝑋) e 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑋). 
Questão 03: Seja a função: 
𝑓𝑋(𝑥) = {
2𝑒−2𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0.
 
a. Demonstre que 𝑓𝑋(𝑥) é função de densidade de probabilidade; 
b. Determine a função de distribuição 𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
; 
c. Calcule 𝑃(5 ≤ 𝑋 ≤ 10); 
d. 𝑃(𝑋 < 10|𝑋 > 5). 
Questão 04 (Ex. 5 seção 6.2 – Magalhães): Se 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(1), determine: 
a. 𝑃(0 < 𝑋 < 2); 
b. 𝑃(𝑋 < 2); 
c. 𝑃(1 < 𝑋 < 4); 
d. 𝑃(𝑋 > 3); 
e. 𝑃(𝑋 < 2|𝑋 > 1); 
f. 𝑃(𝑋 < 4|𝑋 > 2); 
Questão 05: Se 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(10), determine: 
a. 𝑃(𝑋 > 10|𝑋 > 6); 
b. 𝑃(𝑋 > 5|𝑋 < 10); 
c. 𝑃(𝑋 < 10|𝑋 < 5); 
d. 𝑃(𝑋 < 2|𝑋 > 1); 
Questão 06: Demonstre que se 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙( 𝛽) e 𝑠, 𝑡 > 0 então: 
𝑃(𝑋 > 𝑠 + 𝑡|𝑋 > 𝑠) = 𝑃(𝑋 > 𝑡). 
Esta é a propriedade de Falta de Memória da distribuição Exponencial. 
Questão 07 (Ex. 22 seção 6.3 – Magalhães): O tempo (em minutos) de utilização 
de um caixa eletrônico por clientes de um certo banco, foi modelado por uma 
variável 𝑇~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(3), determine: 
a. 𝑃(𝑇 < 1); 
b. 𝑃(𝑇 > 1|𝑇 ≤ 2); 
c. Um número 𝑎 tal que 𝑃(𝑇 ≤ 𝑎) = 0,4. 
d. Um número 𝑏 tal que 𝑃(𝑇 > 𝑏) = 0,6. 
Questão 8 (Ex. 23 seção 6.3 – Magalhães): O tempo necessário para eliminar o 
perigo de contaminação de certo pesticida, após sua aplicação em um pomar, é 
uma variável aleatória 𝑋~𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(2), em anos. O maior ou menor tempo 
depende de fatores como chuva, vento e umidade da região. Tendo em vista esse 
comportamento, as autoridades sanitárias recomendam que o contato direto ou 
indireto com as frutas pulverizadas seja evitado por algum tempo após a aplicação. 
Calcule a probabiliade de uma fruta desse pomar, escolhida ao acaso, não estar 
mais contaminada após 1 ano da pulverização. Qual é a nossa “segurança” se 
aguardamos 2 anos para consumir essas frutas? 
Questão 9 (Ex. 24 seção 6.3 – Magalhães): Um banco faz operações via Internet 
e, após um estudo sobre o serviço prestado, concluiu o seguinte modelo teórico 
para o tempo de conexão (em minutos): 
f(𝑥) =
1
4
𝑘𝑒−𝑥𝑘 4⁄ , 0 ≤ 𝑥 < ∞, 
com 𝑘 = 1, 2, dependendo do cliente ser pessoa física ou jurídica, respectivamente. 
Dentre os clientes que se utilizam da Internet, a porcentagem dos que são 
classificados como pessoa física é estimada em 20%. 
a. Sendo pessoa física, qual a probabilidade de mais 2 minutos de conexão? 
b. Sendo pessoa jurídica, qual a probabilidade de ficar conectado menos de 6 
minutos? 
c. Determine a probabilidade de um cliente ficar mais de 2 minutos conectado. 
d. Se um cliente fica mais de 5 minutos conectado, qual a probabilidade dele ser 
pessoa jurídica? 
 
Questões da ANPEC 
Nas questões NÃO NUMÉRICAS verifique, de acordo com a instrução de cada uma 
delas, se os itens são VERDADEIROS ou FALSOS. 
 
Questão 01 (2006 – Q.13): Seja X uma variável aleatória contínua com função 
densidade 
 



 
contrário. caso0
,30 se
6
1
)( xkxxfX 
Calcule P(1  X  2). Multiplique o resultado por 100 e desconsidere os valores 
após a vírgula. 
Questão 02 (2001 – Q.14): Seja X uma variável aleatória contínua, com função densidade 
de probabilidade dada por 31,
2
1
)(  Xxf . Determine o valor da mediana dessa 
distribuição. 
Questão 03 (2000 – Q.14): Seja uma função de densidade de probabilidade: 
 
 
 Calcule a probabilidade de (0  x  1). 
Questão 04 (1997 – Q.03): Qual deve ser o valor de k, de modo que seja uma 
função de densidade de probabilidade? 
f x
k
x
x
( )
.



 




2
1 6
0
 , se 2<
 , em caso contrario.
 
Questão 04 (1995 – Q.10): Uma certa liga é formada da fundição do chumbo com 
outro metal. A porcentagem do chumbo nesta liga - X - é uma variável aleatória 
com a seguinte função de densidade de probabilidade: 
f x
x x se x
para quaisquer outros valores de X
( )
( ),
,

  




3
5
10 100 0 100
0
5
 
Supondo que o lucro obtido na venda dessa liga, por unidade de peso, (L) seja dado 
pela função: L = 10 + 0,4X. Calcule o lucro esperado por unidade. 





 

xdevaloresoutrospara
xparacx
xf
0
20
)(
2
 
Questão 05 (1994 – Q.12): Suponha que X seja uma variável aleatória com valor 
esperado 10 e variância 25. Quanto deve ser a + b, a e b positivos, de forma que Y 
= a - bx tenha o valor esperado 0 e variância 625? 
 
Questão 06 (1991 – Q.13): O preço X de um produto é considerado uma variável 
aleatória com função densidade de probabilidade dada por: 
(x) = 
kx se x
para qualquer outro valor de x
3 1 3
0
 


;
 
onde k é uma constante positiva. Pode-se afirmar que: 
Ⓞ O preço médio deste produto é aproximadamente 2,42. 
① A probabilidade do preço ser menor que 1,5 e menor do que 70%. 
② A probabilidade do preço ser menor que 1,2 é maior do que 0,5%. 
③ O valor de k é 1/80. 
④ A variância do preço deste produto é 9,1.