HIDROLOGIA ESTATÍSTICA3-graduação2019-2

Prévia do material em texto

CARLOS ROGÉRIO DE MELLO
HIDROLOGIA I – GRS 103
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
◼ Análise da disponibilidade de água para projetos de maneira geral:
 Vazões mínimas;
 Vazão média de longo termo;
◼ Análise do comportamento hidro-climático de uma bacia 
hidrográfica:
 Mudanças no uso do solo;
 Mudanças climáticas;
◼ Dimensionamento de obras hidráulicas (vazão máxima)
 Barragens;
 Bueiros;
 Terraços;
 Pontes;
 Drenagem; 
◼ Histórico das condições hidrológicas e climáticas;
◼ Frequência de ocorrência das grandezas hidrológicas;
◼ Modelagem da frequência: modelos probabilísticos;
◼ Incerteza: estimativa de valores associados a um nível de
probabilidade;
◼ Variável contínua x Variável discreta;
◼ Para a hidrologia: maior parte das aplicações considera “variável
contínua”: Prob (X>xi) ou Prob (X<xi);
◼ Principais séries históricas em hidrologia:
 Precipitação total anual;
 Precipitação mensal, quinzenal, decendial;
 Precipitação máxima diária anual;
 Série de vazões:
◼ Máxima diária anual;
◼ Mínima diária anual;
◼ Mínima em 7 dias consecutivos;
◼ Curva de permanência de vazões
◼ Dados diários de precipitação e vazão: dados básicos;
◼ Vazões máximas diárias anuais: selecionar o maior valor de cada
ano (isto também é válido para vazões mínimas diárias anuais):
 Se tivermos 20 anos, esta série terá 20 dados;
◼ Série histórica de precipitações mensais, quinzenais e decendiais:
aplicação ao estudo de chuva provável e manejo de irrigação;
 É possível criar 12 séries históricas mensais somando-se os valores
diários de precipitação dentro de um determinado mês, num ano
específico;
◼ Precipitação quinzenal: 24 séries históricas possíveis; trabalha-se
buscando-se responder qual a precipitação esperada (mínima
provável) para, por exemplo, 1 quinzena de março; 2 quinzena de
setembro; etc…
◼ Precipitação decendial: 36 séries históricas possíveis;
◼ Precipitação máxima diária anual: série histórica constituída por
dados de precipitação máxima diária anual;
◼ Precipitação máxima associada a uma duração: p.e.: série histórica
de precipitação máxima associada a 30 minutos de duração.
Estudo de chuvas intensas
Exemplo de uma série histórica: série histórica do mês de outubro
para Lavras
Média = 121,6 mm
Desvio = 62,0 mm
Ano Outubro
1915 168,8
1916 106,2
1917 155,7
1918 257,7
1919 100,3
1920 65,9
1921 165,3
1922 191,8
1923 225,3
1924 69,6
1925 135,9
1926 170,2
1927 88,8
1928 127,1
1929 48,4
1930 146,0
1931 173,6
1932 186,1
1933 94,1
1934 147,7
1935 155,6
1936 101,4
1937 259,5
1938 268,1
1939 107,8
1940 107,2
1941 91,4
1942 159,1
1943 10,0
1944 111,7
1945 149,8
1946 350,4
1947 122,9
1948 61,7
1949 97,7
1950 201,6
1951 85,5
1952 87,9
1953 59,3
1954 53,8
1955 192,0
1956 64,7
1957 62,9
1958 172,4
1959 102,7
1960 93,9
1961 47,4
1962 245,6
1963 133,5
1964 181,6
1965 154,9
1966 192,3
1967 141,4
1968 94,6
1969 116,5
1970 144,4
1971 130,6
1972 180,8
1973 157,6
1974 15,2
1975 101,0
1976 105,0
1977 49,0
1978 33,0
1979 135,3
1980 60,6
1981 220,0
1982 179,2
1983 184,4
1984 66,5
1985 76,0
1986 34,0
1987 57,4
1988 175,6
1989 59,4
1990 91,4
1991 190,2
1992 122,6
1993 47,8
1994 146,4
1995 115,6
1996 90,5
1997 164,1
1998 200,7
1999 37,1
2000 25,2
2001 108,4
2002 63,6
2003 64,9
2004 124,6
2005 102,5
2006 107,5
2007 130,1
2008 106,7
2009 124,8
2010 143,5
2011 132,4
2012 46,9
2013 85,6
2014 59,7
2015 22,7
4. Análise Exploratória de dados
a) Comportamento temporal da série
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
250,0
300,0
350,0
400,0
1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020
P
re
c
ip
it
a
ç
ã
o
 O
u
tu
b
ro
 (
m
m
)
Tempo
b) Divisão em classes:
nk =
( )nlog5k 10=
Até 100 dados
+ de 100 dados
- Amplitude dos dados: A = M – m
- Amplitude de classe:
- Limite inferior da 1a classe:
- Limite superior da 1a classe: 
1k
xA
Ac
−
+
=
2
Ac
mLI 1classe −=
AcLILS 1classe1classe +=
4
21
18
22
19
10
3 3
0
1
0
5
10
15
20
25
-8.9 - 28.9 28.9 - 66.8 66.8 -
104.6
104.6 -
142.4
142.4 -
180.3
180.3 -
218.1
218.1 -
255.9
255.9 -
293.8
293.8 -
331.6
331.6 -
369.4
N
Ú
M
E
R
O
 D
E
 D
A
D
O
S
 D
A
 C
L
A
S
S
E
CLASSES
c) Análise de uma distribuição de frequência por classes:
estatísticas básicas
- Média: 
- Mediana (P50%):
- P25%:
- P75%:
- Gráfico “Box-Plot”
P50%
P75%
P25%
LI = P25% - 1,5*(P75%-P25%)
LS = P75% + 1,5*(P75%-P25%)
Medidas de dispersão:
- Desvio padrão (variância);
- Coeficiente de variação;
- Diagrama “box-plot”
5. Frequência empírica em séries contínuas
 Posição da observação na série em uma dada ordem (crescente;
decrescente);
 Posicionar a série histórica em ordem crescente ou decrescente:
Frequência de excedência [F(X>xi)] ou não excedência [F(X<xi)];
 Calcular a frequência com base em formulações específicas:
 Fobs = i/(N+1) i = posição do valor dentro da série;
N = tamanho da série histórica
Determinação da frequência empírica
P ord. Ordem Freq.
10,0 1 0,0098
15,2 2 0,0196
22,7 3 0,0294
25,2 4 0,0392
33,0 5 0,0490
34,0 6 0,0588
37,1 7 0,0686
46,9 8 0,0784
47,4 9 0,0882
47,8 10 0,0980
48,4 11 0,1078
49,0 12 0,1176
53,8 13 0,1275
57,4 14 0,1373
59,3 15 0,1471
59,4 16 0,1569
59,7 17 0,1667
60,6 18 0,1765
61,7 19 0,1863
62,9 20 0,1961
63,6 21 0,2059
64,7 22 0,2157
64,9 23 0,2255
65,9 24 0,2353
66,5 25 0,2451
69,6 26 0,2549
76,0 27 0,2647
85,5 28 0,2745
85,6 29 0,2843
87,9 30 0,2941
88,8 31 0,3039
90,5 32 0,3137
91,4 33 0,3235
91,4 34 0,3333
93,9 35 0,3431
94,1 36 0,3529
94,6 37 0,3627
97,7 38 0,3725
100,3 39 0,3824
101,0 40 0,3922
101,4 41 0,4020
102,5 42 0,4118
102,7 43 0,4216
105,0 44 0,4314
106,2 45 0,4412
106,7 46 0,4510
107,2 47 0,4608
107,5 48 0,4706
107,8 49 0,4804
108,4 50 0,4902
111,7 51 0,5000
115,6 52 0,5098
116,5 53 0,5196
122,6 54 0,5294
122,9 55 0,5392
124,6 56 0,5490
124,8 57 0,5588
127,1 58 0,5686
130,1 59 0,5784
130,6 60 0,5882
132,4 61 0,5980
133,5 62 0,6078
135,3 63 0,6176
135,9 64 0,6275
141,4 65 0,6373
143,5 66 0,6471
144,4 67 0,6569
146,0 68 0,6667
146,4 69 0,6765
147,7 70 0,6863
149,8 71 0,6961
154,9 72 0,7059
155,6 73 0,7157
155,7 74 0,7255
157,6 75 0,7353
159,1 76 0,7451
164,1 77 0,7549
165,3 78 0,7647
168,8 79 0,7745
170,2 80 0,7843
172,4 81 0,7941
173,6 82 0,8039
175,6 83 0,8137
179,2 84 0,8235
180,8 85 0,8333
181,6 86 0,8431
184,4 87 0,8529
186,1 88 0,8627
190,2 89 0,8725
191,8 90 0,8824
192,0 91 0,8922
192,3 92 0,9020
200,7 93 0,9118
201,6 94 0,9216
220,0 95 0,9314
225,3 96 0,9412
245,6 97 0,9510
257,7 98 0,9608
259,5 99 0,9706
268,1 100 0,9804
350,4 101 0,9902
Plotagem da frequência acumulada
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0 300,0 350,0 400,0
F
re
q
u
ê
n
c
ia
Precipitação Outubro (mm)
 Ajuste de uma distribuição de probabilidades:
parâmetros
 Média: posição;
 Desvio: escala;
 Assimetria: forma;
 FDP x FCP;
 Estimativa da variável associada a uma probabilidade ou
recorrência;
(Fonte: Naghettini & Pinto (2008))
7. Conceito de Tempo de Retorno (Quantil)
 Conceito geral: tempo médio em anos para que um
dado evento hidrológico seja igualado ou superado
pelo menos uma vez;
 Conceito probabilístico:
 TR = 1/(F) ~ 1/(P);
 Sua aplicação está associada aos objetivos do
projeto;
σ σ
Aplicação: para estudos
associados à precipitação
anual, como balanço hídrico,
Caracterização climática, etc
µ
z0
( )
( ) 2
e
2
1
xfFDP
x
5,0 






−
−


==
( ) ( )
( )
dx
2
e
2
1
xxobPrxFFCP
x
5,0x
i







−
−
−


===
s
xx
z








−
=
−
( ) ( ) 

==
−
−
z
z5,0 dz
2
e
2
1
zZobPrzF
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.00 0.5 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.10 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.20 0.57930.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.30 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.40 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.50 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.60 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.70 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.80 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.90 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1.00 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.10 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.20 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.30 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.40 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.50 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1.60 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1.80 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1.90 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2.00 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.10 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2.20 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2.40 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
2.50 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952
2.60 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964
2.70 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974
2.80 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981
2.90 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986
3.00 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990
3.10 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993
3.20 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995
3.30 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997
3.40 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998
a) Qual a probabilidade de ocorrer um mês de outubro com precipitação
inferior a 40 mm em Lavras? Admite-se que a DN é adequada para esta
série histórica.
b) Qual a probabilidade de ocorrer um mês de outubro com precipitação
superior a 280 mm?
c) Quais os valores da precipitação mensal esperada anual associada ao
Tempo de Retorno de 200 anos?
d) Qual a probabilidade da precipitação do mês de outubro ocorrer entre
85 e 150 mm?
1. Aplicações/situações:
A. Precipitações máximas diárias anuais ou associadas a uma
duração específica (10; 20; 30; 60 minutos, etc): chuvas intensas;
B. Precipitação provável;
C. Vazões máximas e mínimas diárias anuais;
D. Vazões de referência para outorga (Q7);
2. Principais distribuições:
A. Gumbel (para máximos e mínimos);
B. Log-normal 2 Parâmetros;
( ) 2
n
n
e
2x
1
FDP
xLn
5,0
n









−
−


=
( )( )
n
xLn
n
1i
n

= =
nTRkn
TR ex
+
=










+
=
−
−
2
2
4
n
sx
x
 Ln
2
1










+
=
−
−
2
2
2
n
x
sx
 Ln
Estimativa com base 
em dados transformados
Estimativa com base 
em dados sem transformação
Transformação dos dados da série histórica de outubro para logaritmo:
µ = 4,645
σ = 0,617
.
.
P ord. ln P
10,0 2,3026
15,2 2,7213
22,7 3,1224
25,2 3,2268
33,0 3,4965
34,0 3,5264
37,1 3,6136
46,9 3,8480
47,4 3,8586
47,8 3,8670
48,4 3,8795
49,0 3,8918
201,6 5,3063
220,0 5,3936
225,3 5,4174
245,6 5,5037
257,7 5,5518
259,5 5,5588
268,1 5,5914
350,4 5,8591
a) Qual a probabilidade de ocorrer um mês de outubro com precipitação inferior a
40 mm em Lavras? Admite-se que a Log-Normal 2P é adequada para esta série
histórica.
b) Qual a probabilidade de ocorrer um mês de novembro com precipitação
superior a 280 mm?
c) Quais os valores da precipitação mensal esperada anual associada ao Tempo
de Retorno de 200 anos?
d) Qual a probabilidade da precipitação do mês de janeiro ocorrer entre 85 e 150
mm?
e) Qual a precipitação provável associada a probabilidade de excedência de
75%?
f) Calcule a precipitação provável associada à probabilidade de excedência
de 90%.
( ) ( )






−−− −−
=
x
eFDP
ex
( )
( )−−−−=
xe
i e1xxP
Parâmetros: µ e α
s
2826,1^
= s45,0x
^
−=
−
Média = 102,8 mm
Desvio = 33,1 mm
ANO Pmax
1941 84,2
1942 94,6
1943 87,4
1944 135,4
1945 246,2
1946 105,6
1947 121,4
1948 90,4
1949 70
1950 90,3
1951 50,2
1952 84,4
1953 100,2
1954 83,5
1955 49,5
1956 74,1
1957 126
1958 91
1959 88,3
1960 126
1961 105,2
1962 70,3
1963 100
1964 90
1965 69,2
1966 170
1967 164
1968 110,4
1969 120
1970 50
1971 72
1972 93
1973 87,6
1974 136
1975 86,2
1976 76,8
1977 99,4
1978 117
1979 134
1980 134
1981 90,2
1982 113,6
1983 108,6
1984 55,4
1985 97
1986 128,6
1987 85
1988 80
1989 126,2
1990 68
1991 88
1992 97,6
1993 89,2
1994 124
1995 67,9
1996 105,5
1997 128,8
1998 113,9
1999 130,8
2000 205
2001 101,1
2002 82
2003 75,3
2004 130,7
2005 109,5
2006 94,2
2007 73
2008 110,6
2009 107,3
2010 76,1
2011 117,5
2012 67
2013 84,8
2014 145
2015 94,1
2016 157,8
Aplicando a FDP da distribuição Gumbel
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0 50 100 150 200 250 300
Pmáxima diária (mm)
F
D
P
1. Qual o TR para uma precipitação máxima diária anual superior a
250 mm?
2. Para um projeto de uma barragem nesta localidade, calcule a
precipitação máxima diária anual associada a um TR de 1000
anos.
3. Qual o valor da precipitação máxima diária anual para a localidade
acima, considerando uma probabilidade de não-excedência de
0,958?
( ) ( ) −−−=
xexeFDP
( )
( )−−−=
xe
i e1xxP
Parâmetros: µ e α
s
2826,1^
= s45,0x
^
+=
−
Série Histórica de Vazões Mínimas com 7 dias de duração
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
F
re
q
u
e
n
c
ia
 d
e
 n
ã
o
 e
x
c
e
d
ê
n
c
ia
Vazão mínima em 7 dias consecutivos
F obs
Gumbel
log-normal
Vazões mínimas em 7 dias consecutivos para o rio Grande em MD
Média = 19,74 m3/s
Desvio = 5,28 m3/s
Para dados transformados:
Média = 2,9620
Desvio = 0,266
1. Qual o TR para uma vazão mínima de 7 dias inferior a 7 m3/s?
2. Para um processo de outorga, calcule a vazão Q7,10 para esta
bacia hidrográfica.
3. Qual o valor da vazão mínima de 7 dias considerando uma
probabilidade de excedência de 0,95?
4. Calcule a vazão e Q7,20
10. TESTES PARAMÉTRICOS DE ADEQUAÇÃO DE 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
◼ Kolmogorov-Smirnov: teste mais aplicado
◼ Qui-Quadrado: permite comparar distribuições
◼ Filliben;
◼ Anderson-Darling;
Testes mais rigorosos
Ideal para distribuições assintóticas
10.1 Teste de Kolmogorov-Smirnov
◼ Características:
 Teste geralmente aplicado para identificar se há normalidade 
nos dados;
 Muito aplicado à hidrologia, independentemente da distribuição;
 Teste basicamente qualitativo: sua conclusão é apenas se a 
distribuição de probabilidades é adequada ou não;
 Sua estatística não permite comparar distribuições e sim apenas 
se cada uma delas é adequada ou não;
◼ Procedimento:
( ) ;NTabelacalculado FF
estimadaobservadacalculado
FFF −= (Calculado para cada uma
das observações da série histórica)
( ) ;NTabelacalculado FAF Maximo eS
Hipótese Ho do teste é aceita, 
Ou seja, a distribuição é adequada
1. Kolmogorov-Smirnov – Tabela
( )

n, tabelaáximocalculadom
F F
Tamanho 
da Amostra 
(N)
Nível de Significância
0,20 0,15 0,10 0,05 0,011 0,900 0,925 0,950 0,975 0,995
2 0,684 0,726 0,776 0,842 0,929
3 0,565 0,597 0,642 0,708 0,829
4 0,494 0,525 0,564 0,624 0,734
5 0,446 0,474 0,510 0,563 0,669
6 0,410 0,436 0,470 0,521 0,618
7 0,381 0,405 0,438 0,486 0,577
8 0,358 0,381 0,411 0,457 0,543
9 0,339 0,360 0,388 0,432 0,514
10 0,322 0,342 0,368 0,409 0,486
15 0,268 0,283 0,304 0,338 0,404
20 0,231 0,246 0,264 0,294 0,352
25 0,210 0,220 0,240 0,264 0,320
30 0,190 0,200 0,220 0,242 0,290
40 - - - 0,210 0,250
50 - - - 0,190 0,230
60 - - - 0,170 0,210
70 - - - 0,160 0,190
80 - - - 0,150 0,180
90 - - - 0,140 -
100 - - - 0,140 -
Exemplo de Aplicação: ajuste a distribuição normal aos dados abaixo e 
verifique sua adequação
Ano P anual (mm)
1988 1809
1989 1303
1990 1777
1991 1902
1992 1852
1993 1917
1994 1428
1995 1411
1996 1999
1997 1941
1998 1474
1999 1620
2000 1580
Ano P anual Ordem P ordenada Fobservada z Festim. Delta F
1988 1809 1 1303 0,0714 -1,66 0,0484 0,0231
1989 1303 2 1411
1990 1777 3 1428 -1,13 0,1295
1991 1902 4 1474 0,2857
1992 1852 5 1580 0,3571 -0,48 0,3148
1993 1917 6 1620
1994 1428 7 1777 0,36 0,6391
1995 1411 8 1809 0,5714
1996 1999 9 1852 0,6429 0,68 0,7503
1997 1941 10 1902
1998 1474 11 1917 0,7857 0,95 0,8294
1999 1620 12 1941
2000 1580 13 1999 0,9286 1,30 0,9033
Máximo
Média 1693,31
Desvio 235
◼ Análise:
139,0AF Maximo
calculado
=
( ) 338,0F ;NTabela = 
( )05,0;13Tabelacalculado FAF Maximo 
Conclusão: A distribuição Normal é adequada para a série histórica apresentada
10.2 Teste Qui-quadrado
◼ Divisão em classes;
◼ Agrupamento de classes com menos de 3 valores;
◼ Cálculo da frequência observada em cada classe;
◼ Cálculo da frequência estimada em cada classe;
◼ Cálculo do Qui-quadrado;
◼ Qui-quadrado tabela (GL; nível de significância);
◼ Conclusão do teste;
( )

−
=
=
n
1i teoricoi
2
teoricoiobsi
calculado
2
f
ff
Graus de 
Liberdade (v)
Nível de Significância
0,995 0,975 0,950 0,900 0,750 0,500 0,100 0,050 0,010 0,005
1 0,000039 0,000982 0,003932 0,015791 0,101532 0,455 2,706 3,841 6,635 7,879
2 0,010025 0,050636 0,102587 0,210721 0,575364 1,386 4,605 5,991 9,210 10,597
3 0,071721 0,215793 0,351843 0,584369 1,213 2,366 6,251 7,815 11,345 12,838
4 0,206989 0,484418 0,710723 1,064 1,923 3,357 7,779 9,488 13,277 14,860
5 0,411742 0,831212 1,145 1,610 2,675 4,351 9,236 11,070 15,086 16,750
6 0,675727 1,237 1,635 2,204 3,455 5,348 10,645 12,592 16,812 18,548
7 0,989256 1,690 2,167 2,833 4,255 6,346 12,017 14,067 18,475 20,278
8 1,344 2,180 2,733 3,490 5,071 7,344 13,362 15,507 20,090 21,955
9 1,735 2,700 3,325 4,168 5,899 8,343 14,684 16,919 21,666 23,589
10 2,156 3,247 3,940 4,865 6,737 9,342 15,987 18,307 23,209 25,188
15 4,601 6,262 7,261 8,547 11,037 14,339 22,307 24,996 30,578 32,801
20 7,434 9,591 10,851 12,443 15,452 19,337 28,412 31,410 37,566 39,997
25 10,520 13,120 14,611 16,473 19,939 24,337 34,382 37,652 44,314 46,928
30 13,787 16,791 18,493 20,599 24,478 29,336 40,256 43,773 50,892 53,672
40 20,707 24,433 26,509 29,051 33,660 39,335 51,805 55,758 63,691 66,766
50 27,991 32,357 34,764 37,689 42,942 49,335 63,167 67,505 76,154 79,490
60 35,534 40,482 43,188 46,459 52,294 59,335 74,397 79,082 88,379 91,952
120 83,852 91,573 95,705 100,624 109,220 119,334 140,233 146,567 158,950 163,648
240 187,324 198,984 205,135 212,386 224,882 239,334 268,471 277,138 293,888 300,182
480 403,949 421,189 430,198 440,745 458,754 479,334 520,11 532,075 555,006 563,561
 850,891 876,028 889,081 904,291 930,093 959,333 1016,566 1033,193 1064,867 1076,621
Ano P anual Ordem P ordenada
1988 1809 1 1303
1989 1303 2 1411
1990 1777 3 1428
1991 1902 4 1474
1992 1852 5 1580
1993 1917 6 1620
1994 1428 7 1777
1995 1411 8 1809
1996 1999 9 1852
1997 1941 10 1902
1998 1474 11 1917
1999 1620 12 1941
2000 1580 13 1999
Classes Fobs Fteórica
1129 - 1477 4
1477 – 1825 4
1825 - 2173 5
• Em determinada localidade, a probabilidade de uma precipitação anual entre 1300
e 2100 mm é de 0,673. Sabendo-se que o tempo de retorno para uma precipitação
de 2100 mm é 55 anos e que a distribuição normal é adequada, calcule a média e
o desvio padrão dessa série.
• Sabendo-se que a precipitação máxima diária de determinada localidade
apresenta média de 85 mm com desvio padrão de 34 mm, e que a distribuição
Gumbel é adequada, pede-se: a) Calcule o tempo de retorno para uma
precipitação máxima diária anual de 140 mm; b) Qual a probabilidade deste
evento ocorrer nos próximos 10 anos?
• As vazões mínimas de 7 dias consecutivos (Q7) de um rio apresentam média 
igual a 12,2 m³/s. Sabendo-se que a vazão com tempo de retorno de 10 anos é 
igual a 7,4 m³/s e que a distribuição de Gumbel para mínimos é adequada, 
calcule: 
a) O desvio padrão da série histórica. 
b) O valor de Q7 para um tempo de retorno de 20 anos. 
c) O valor da Q7,10 calculado pela distribuição log-normal 2P. 
11. Exercícios
Para uma série histórica de precipitação máxima diária anual com 68 anos, 
obteve-se uma média de 79,93 mm e desvio padrão de 22,76 mm. A série 
histórica possibilitou a estruturação da distribuição de classes e respectiva 
frequência observada abaixo. Aplique o teste de Qui-Quadrado e avalie se 
distribuição de Gumbel é adequada
Classes Fobs 
[38,3 – 54,1[ 5 
[54,1 – 70[ 21
[70 – 85,9[ 19 
[85,9 - 101,8[ 14 
[101,8 - 117,7[ 4 
[117,7 - 133,6[ 2 
[133,6 – 149,5[ 2 
[149,5 – 165,3[ 1 
Para a cidade de Aimorés, Zona da Mata Mineira, estimou-se os parâmetros da Distribuição
Gumbel, ajustada às frequências de uma série histórica de precipitação máxima diária anual,
como sendo iguais a α = 0,0804 e µ = 74,72. Com base nisto, determine:
a. A precipitação máxima diária anual vinculada a um tempo de retorno de 100 anos
com base na distribuição Gumbel;
b. A precipitação máxima diária anual vinculada a um tempo de retorno de 100 anos
com base na distribuição log-normal 2P;
c. Calcule a probabilidade dos eventos estimados acima ocorrerem nos próximos 30
anos.