APOSTILA GAAL-C3

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1 
 
 
 
 
 
CÁLCULO 
VETORIAL 
 
INTRODUÇÃO 
 
A história da matemática raramente apresenta eventos altissonantes. As 
formulações inicialmente tênues e difusas percorrem um espinhoso trajeto até 
atingir a magnitude de seu desenvolvimento. 
O conceito de vetor surgiu na Mecânica com o engenheiro Simon Stevin - o 
"Arquimedes holandês". Em 1586 apresentou em sua Estática e Hidrostática, o 
problema da composição de forças e enunciou uma regra empírica para se achar a 
soma de 2 forças aplicadas num mesmo ponto. Tal regra, a conhecemos hoje, como 
regra do paralelogramo. 
Os vetores aparecem considerados como "linhas dirigidas" na obra Ensaio 
Sobre a Representação da Direção publicada em1797 por Gaspar Wessel, 
matemático dinamarquês. 
A sistematização da teoria vetorial ocorreu no século XIX com os trabalhos 
do irlandês William Hamilton (notavelmente precoce: aos 5 anos lia grego, latim e 
hebraico), do alemão Hermann Grassmann e do físico norte-americano Josiah 
Gibbs. 
 
 
3.1 – REVISANDO 
 
 
RETA ORIENTADA - EIXO: 
 
Uma reta r é orientada quando fixamos nela um sentido de percurso, 
considerado positivo e indicado por uma seta. 
 
r 
Capítulo 
33 
 
2 
 
 
SEGMENTO ORIENTADO: 
 
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o 
primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. 
A AB B 
AB x 
 
 
A BA B 
BA x 
 
 
SEGMENTOS OPOSTOS: 
 
Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de 
AB . 
A B 
AB 
 
A B 
BA 
 
 
DIREÇÃO E SENTIDO: 
 
Dados dois segmentos orientados AB e CD , como os mostrados abaixo, 
dizemos que eles têm a mesma direção quando os segmentos AB e CD são 
paralelos ou coincidentes. 
A B 
AB 
 
D C 
CD 
 
Com relação ao seu sentido, dizemos que dois segmentos possuem o 
mesmo sentido quando, além de terem a mesma direção possuem a mesma 
orientação. Quando a orientação é oposta, dizemos que os segmentos são opostos. 
3 
 
 
SEGMENTO EQUIPOLANTES: 
 
Dizemos que dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes 
quando eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. 
A B 
AB 
C D 
CD 
 
 
 
3.2 – VETORES 
 
 
Existem grandezas físicas que ficam completamente especifcadas por um 
único número (e a unidade correspondente) chamadas escalares. Exemplos 
familiares de escalares são densidade, volume e temperatura. Matematicamente, 
escalares são tratados como números reais comuns. Eles obedecem a todas as regras 
algébricas regulares de adição, subtração, multiplicação, divisão e assim por diante. 
No entanto, outras precisam mais do que isso. Tais grandezas necessitam 
uma direção, um sentido e uma intensidade (módulo). Estas grandezas são 
chamadas vetores. Assim, usamos vetores quando queremos trabalhar com 
grandezas que possuem módulo e orientação, como: força, velocidade e 
deslocamento. Também podemos associar ao conceito de vetor as soluções de 
sistemas lineares ou de equações diferenciais, por exemplo. 
 
VETOR: 
 
Considere o segmento orientado AB na figura abaixo. 
B 
A 
Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos 
bastante definidos: 
• comprimento (denominado módulo ou norma) 
• direção ( AB ) 
• sentido (de A para B ) 
v 
4 
 
 
Assim, chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos 
orientados equipolentes a AB , ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos 
orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo 
sentido de AB . 
 
ETIMOLOGIA: 
Provém do verbo latino vehere: transportar, levar. Vetor é o particípio 
passado de vehere, significando transportado, levado. Apesar de primitiva e até 
bizarra, a palavra vetor é pertinente: o ponto A é "transportado" até B . 
 
VETORES NO PLANO: 
Desenhando um vetor no plano cartesiano, ele deve apresentar uma origem 
e uma extremidade. Dados dois pontos P e Q quaisquer no plano, podemos 
considerar o segmento de reta orientado PQ , com ponto inicial P e final Q . 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 
Note que, embora como conjunto de pontos os segmentos PQ e PQ sejam 
iguais, como segmentos orientados eles são distintos. Dizemos que eles são 
segmentos opostos. Dois segmentos orientados são equivalentes se tiverem mesmos 
comprimento, direção e sentido. Por exemplo, na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 
os únicos segmentos com orientação equivalentes são PQ e RS . 
y 
Q 
P 
o 
y 
S 
Q N V 
R M 
P U 
o 
5 
 
 
y 
Q 
P A PQ 
o x 
Para qualquer segmento orientado no plano existe outro equivalente a este 
cujo ponto inicial é a origem. 
 
 
 
 
 
 
 
é equivalente a OA 
 
 
 
 
 
Os segmentos orientados cuja origem é o ponto (0, 0) são chamados de 
vetores no plano, e são muito mais fáceis de trabalhar. Vamos passar a considerar 
agora, somente os segmentos orientados com ponto inicial na origem. Para 
representá-lo, basta indicar o par ordenado que corresponda à sua extremidade. 
Assim, para cada ponto do plano P (a, b), está associado um único vetor v = OP . 
 
Para representar um vetor 
 
 
v = OP com ponto inicial na origem, usa-se a 
notação de coordenadas v = (a, b), mas também existe a notação de matriz coluna 
a 
b 
 
e matriz linha v = a b. 
  
 
OBS.: a definição serve para vetores no espaço, caso em que a origem dos vetores é 
o ponto (0, 0, 0), e assim por diante. 
 
 
Exemplo: v 
 
= (1, 
 
4, 5) 
 
 
 
y 
x 
 
 
Com essas notações, a soma de vetores e a multiplicação do vetor por um 
escalar são operações que ficam bem mais simples. 
z 
4 
P 
v 5 
1 
v = 
6 
 
 
 
 
PRATICANDO: 
1. Traçar 4 vetores equivalentes a v = (2, 2). 
 
 
MODULO DE UM VETOR: 
O módulo ou norma (comprimento) do vetor 
não negativo, definido por: 
v = 
 
v = (a, b) 
 
 
é um número real 
 
Ex.: Considere o vetor 
 
v = 
v = (1, 
= 
3), calcule seu módulo: 
= 
 
 
 
PRATICANDO: 
 
2. Determine o módulo do vetor: 
a) v = (4, 2) 
b) v = (5, 3) 
c) v = (3, 4) 
 
 
d) v = AB , tal que A = (1, 4) B = (3, − 2) 
e) v = CD , tal que C = (− 6, 5) B = (2, −1) 
f) v = (1, 5, 2) 
g) v = (4, − 5, 3) 
Respostas............................................................................................................................................. 
2. a) 2 5 b) 34 c) 5 d) 2 10 e) 10 f) 30 g) 5 2 
 
 
 
VETORES IGUAIS: 
Dois vetores AB e CD são iguais se e somente se, tiverem a mesma 
direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (equipolentes). 
Vetor Origem Extremidade 
v (0, 0) (2, 2) 
t 
r 
s 
u 
 
a2 + b2 
a2 + b2 12 + 32 10 
7 
 
 
u1 
u2 
VETOR NULO: 
O vetor nulo ou vetor zero é o vetor representado por um segmento nulo. 
Indica-se o vetor nulo por 0 , ou (0, 0). 
 
 
VETORES OPOSTOS: 
 
 
 
ou por 
Dado um vetor 
 
− v . 
 
 
v = AB , o vetor BA é oposto a AB e se indica por 
 
 
− AB 
 
 
 
 
 
VETOR UNITÁRIO: 
 
Um vetor v é unitário se 
 
 
v = 1. 
 
 
 
Então: v = 1 
 
 
 
VERSOR: 
 
O versor de um vetor v não nulo é o vetor unitário que tem a mesma 
direção e o mesmo sentido de v . 
v 
 
 
 
 
 
 
 
Os vetores u1 e u2 da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 
 
 
1. No entanto, apenas u1 
 
este é o versor de v . 
tem a mesma direção e o mesmo sentido de v . Portanto, 
v 
− v 
v 
1 
8 
 
 
 
 
u v 
w 
 
u v 
w 
VETORES COLINEARES: 
 
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras 
 
palavras u e v são colineares se pertencerem a uma mesma reta ou a retas 
paralelas. 
A B C D A B 
u v u 
C D 
v 
 
VETORES COPLANARES: 
 
Os vetores u , v e w são coplanares se tiverem imagens geométricas 
paralelas ao mesmo plano. Cumpre enfatizar: dois vetores são sempre coplanares, 
enquanto que três vetores podem ou não ser coplanares. 
 
 
 
 
 
u , v e w são coplanares. u , v e w não são coplanares. 
 
 
 
 
 
3.3 –OPERAÇÕES COM VETORES 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR ESCALAR: 
 
Multiplicar um vetor v  0 por um número k  0 é considerar um novo 
vetor w = kv , que possui a mesma orientação de v e tem como comprimento k 
 
 
vezes o comprimento de v . Se 
k v . 
k  0 o vetor w = kv é igual ao oposto do vetor 
9 
 
 
• k  0 
 
Os vetores v e 
 
 
 
1 
v
 
2 
 
 
 
kv são equiversos. 
 
v (dado) 
 
3v 
 
 
• k  0 
 
Os vetores v e 
 
 
 
kv são contraversos. 
 
v (dado) 
 
− 2v 
 
 
Observe que a multiplicação de um número por um vetor corresponde à 
multiplicação da matriz-linha (ou coluna) por esse número. Assim, se 
temos: 
v = (a, b), 
w = kv = k(a, b) = (ka, kb) 
Ex.: Se v
 
= (1, 2), calcule w
 
= 3v
 
e u
 
= −v
 
: 
w
 
= 3v
 
= 3(1, 2) = (3, 6) 
u
 
= −v
 
= −(1, 2) = (−1, − 2) 
 
 
 
PRATICANDO: 
3. Dado os vetores u = (6, 2) e v = (3, − 4), encontre o vetor w , tal que: 
 
 
a) s = 3u 
b) s = −5v 
c) s = 
1 
u 
2 
y 
6 
w = 3v 
 
2 
-1 
u
 
= −v


v 

1 3 x 
-1 
10 
 
 
F2 
F1 
 
3 
 
 
d) s = −2u 
e) s = − 
2 
v 
3 
f) s = −v 
Respostas............................................................................................................................................. 
3. a) (18, 6) b) (−15, 20) c) (3, 1) d) (−12, − 4) e) 

− 2, 
8 
 
  
f) (− 3, 4) 
 
 
 
 
 
ADIÇÃO DE VETORES: 
 
Consideremos dois vetores u e v e um ponto qualquer A . Quando se toma 
o ponto A , e a ele se soma o vetor u obtemos um segundo ponto, que aqui vamos 
chamar de B . Quando se soma ao ponto B o vetor v , encontramos um terceiro 
ponto, que chamaremos de C . Podemos dizer que existe um terceiro vetor w que 
ao ser somado ao ponto A encontramos o ponto C . 
Podemos dizer, então que o vetor 
 
w é soma do vetor u com o vetor v . 
B 
Podemos escrever então que: 
 
w = u + v 
C 
 
 
 
Supondo, agora, que temos duas forças F1 
 
 
e F2 
 
atuando no mesmo objeto. 
Podemos representar graficamente o resultado (soma) destas duas forças por uma 
única força R , usando a regra do paralelogramo: 
A força resultante é representada 
R pelo vetor diagonal do paralelogramo 
 
 
construído a partir dos vetores F1 e F2 . 
 
Denotada por R a força resultante da 
 
 
 
soma de F1 com 
 
 
F2 , temos: 
 
 
 
R = F1 + F2 
A 
u 
w 
v 
11 
 
 
y 
R 
b + d 
 
d 
F2 
b F1 
O c a a + c 
A 
u 
v 
k 
y 
y 
Se F1 = (a, b) e F2 = (c, d ) as coordenadas da força resultante são: 
 
R = (a + c, b + d ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: A diferença entre dois vetores u e v , pode ser entendida como a soma do 
primeiro com o oposto do segundo vetor. u − v = v + (− w) 
 
Quando se toma o ponto A e a ele se soma o vetor u , obtemos o ponto B . 
 
Quando se soma ao ponto A o vetor v , encontramos um terceiro ponto, que 
chamaremos de D . 
Observa-se, que existe um vetor 
k que somado ao vetor v fornece um 
vetor u . 
B Podemos, então, escrever: 
D 
 
v + k = u → k = u − v 
 
Assim, podemos dizer que o vetor k é a diferença entre o vetor u e o vetor v . 
 
Ex. 1: Dados os vetores u e v , conforme a figura, determine o vetor y tal que: 
 
v 
 
u 
 
 
a) y = u + v b) y = u − v 
 
12 
 
 
Ex. 2: Sendo v
 
= (1, 2) e w
 
= (3, 5), calcule v
 
+ w
 
: 
v
 
+ w
 
= (1, 2)+ (3, 5) 
v
 
+ w
 
= (1+ 3, 2 + 5) 
v
 
+ w
 
= (4, 7) 
 
PRATICANDO: 
 
4. Dados os vetores u , v e w , conforme a figura, determine o vetor k tal que: 
 
a) k = u + v 
b) k = u + w 
c) k = w + v 
d) k = u − v 
e) k = v − u 
f) k = w − u 
g) k = v − w 
 
5. Dados os vetores u , v , w e z , conforme a figura, determine o vetor k tal que: 
 
a) k = 3u + w 
b) k = u + 2v 
c) k = v + w + z 
d) k = u + w + v + z 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Dado os vetores u = (1, − 4) e v = (2, 0), encontre o vetor w , tal que: 
 
 
a) s = u + v 
b) s = v + u 
c) s = 
1 
v + 2u 
2 
d) s = u − v 
 
e) s = −3v + 2u 
Respostas............................................................................................................................................. 
6. a) (3, − 4) b) (3, − 4) c) (3, − 8) d) (−1, − 4) e) (− 4, − 8) 
 
u 
 
 
v 
 
 
w 
u 
v w 
z 
13 
 
 
 
 
3.4 – PROPRIEDADES DOS VETORES 
 
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO: 
• Comutativa: u
 
+ v
 
= v
 
+ u


• Associativa: (u
 
+ v

)+ w
 
= u
 
+ (v
 
+ w
 
) 
• Existência do elemento neutro: u
 
+ 0 = u


• Qualquer que seja o vetor v
 
, existe um só vetor − v

 tal que: v
 
+ (− v

) = 0 . 
 
 
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR: 
• Associativa: (v

) = ( )v


• Distributiva em relação à adição de escalares: ( +  )v
 
= v
 
+ v


• Distributiva em relação à adição de vetores: a(u + v)= au + av 
 
• Identidade: Iv = v 
	INTRODUÇÃO
	3.1 – REVISANDO
	RETA ORIENTADA - EIXO:
	SEGMENTO ORIENTADO:
	A AB B
	SEGMENTOS OPOSTOS:
	A B
	DIREÇÃO E SENTIDO:
	A B
	SEGMENTO EQUIPOLANTES:
	A B
	3.2 – VETORES
	VETOR:
	ETIMOLOGIA:
	VETORES NO PLANO:
	x
	x
	y
	MODULO DE UM VETOR:
	VETORES IGUAIS:
	VETOR NULO:
	VETORES OPOSTOS:
	 AB
	 AB
	VETOR UNITÁRIO:
	VERSOR:
	v
	VETORES COLINEARES:
	u v u
	v
	VETORES COPLANARES:
	3.3 – OPERAÇÕES COM VETORES
	MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR ESCALAR:
	u  v  1,
	ADIÇÃO DE VETORES:
	D
	v
	v  w  1 3, 2  5
	3.4 – PROPRIEDADES DOS VETORES
	PROPRIEDADES DA ADIÇÃO:
	PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR: