24_potencial_eletrico

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Potencial Elétrico
Cap. 24
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24-1 Potencial Elétrico
O potencial elétrico V em um ponto P devido ao campo 
elétrico produzido por um objeto carregado é dado por
onde W∞ é o trabalho que seria realizado pelo campo 
elétrico sobre uma carga de prova positiva q0 se a carga 
fosse transportada de uma distância infinita até o ponto P, 
e U é a energia potencial elétrica que seria armazenada no 
sistema carga-objeto.
(a) Uma carga de prova foi deslocada do 
infinito até o ponto P, na presença do 
campo elétrico criado pela barra. 
(b) Definimos um potencial elétrico V no 
ponto P com base na energia potencial 
da configuração mostrada em (a). 
Se uma partícula de carga q é colocada em 
um ponto no qual o potencial elétrico de um 
objeto carregado é V, a energia
potencial elétrica U do sistema partícula-
objeto é dada por
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A barra cria um 
potencial elétrico 
que determina a 
energia potencial. 
Carga de prova 
q0 no ponto P
Objeto 
carregado
Potencial elétrico 
V no ponto P
24-1 Potencial Elétrico
Variação no Potencial Elétrico. Se uma partícula atravessa uma região onde 
existe uma diferença de potencial ΔV, a variação da energia potencial elétrica é
dada por
Trabalho pelo Campo. O trabalho realizado pela força elétrica ao mover a 
partícula de i até f:
Conservação de Energia. Se uma partícula carregada se move através de 
uma variação ΔV no potencial elétrico sem ser submetida a nenhuma outra 
força além da força elétrica, aplicando a conservação da energia mecânica, isto 
provoca uma alteração na energia cinética de
Trabalho por uma Força Externa. Se uma partícula carregada se move na 
presença da força elétrica e de outra força qualquer, o trabalho é
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24-2 Superfícies Equipotenciais e o Campo Elétrico
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma 
superfície equipotencial, que pode ser uma superfície imaginária ou uma 
superfície real. 
A Figura mostra uma família de 
superfícies equipotenciais associada 
ao campo elétrico produzido por uma 
distribuição de cargas. trabalho 
realizado pelo campo elétrico sobre 
uma partícula carregada quando a 
partícula se desloca de uma 
extremidade a outra das trajetórias I
e II é zero, já que essas trajetórias 
começam e terminam na mesma 
superfície equipotencial.
O trabalho realizado quando a partícula se desloca de uma extremidade a outra das 
trajetórias III e IV não é zero, mas tem o mesmo valor para as duas trajetórias, pois 
os potenciais inicial e final são os mesmos para as duas trajetórias, ou seja, as 
trajetórias III e IV ligam o mesmo par de superfícies equipotenciais.
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Trabalhos realizados ao 
longo de trajetórias que 
começam e terminam nas 
mesmas superfícies 
equipotenciais são iguais
Trabalho realizado ao longo 
de uma trajetória que se 
mantém em uma superfície 
equipotencial é nulo
Trabalho realizado ao longo de uma 
trajetória que começa e termina em uma 
mesma superfície equipotencial é nulo
24-2 Superfícies Equipotenciais e o Campo Elétrico
A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f 
é
Onde a integral é tomada sobre qualquer caminho 
conectando os pontos. Se a integração é difícil ao 
longo de uma trajetória em particular, podemos 
escolher uma diferente e mais fácil.
Se escolhermos Vi = 0, teremos, para o potencial num 
determinado ponto,
Em um campo uniforme de módulo E, a variação de 
potencial de uma superfície com potencial maior para 
uma de potencial menor, separadas por Δx, é
Uma carga de prova q0 se 
desloca do ponto i para o 
ponto f ao longo da trajetória 
indicada, na presença de um 
campo elétrico não uniforme. 
Durante um deslocamento ds, 
uma força eletrostática q0 E
age sobre a carga de prova. A 
força aponta na direção da 
linha de campo que passa 
pela carga de prova.
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Trajetória Linha de campo
Para determinar o 
potencial da partícula 
carregada, deslocamos 
esta carga de prova até 
o infinito
24-3 Potencial devido a uma partícula carregada
Sabemos que a diferença de potencial 
elétrico entre dois pontos i e f é
Para uma trajetória radial
O módulo do campo 
elétrico no ponto da 
carga teste 
Fazendo Vf =0 (no ∞) 
e Vi =V (em R)
Resolvendo para V 
e trocando R por r, 
obtemos
Nesta figura a partícula de 
carga positiva q produz um 
campo elétrico E e um 
potencial elétrico V no ponto 
P. Calculamos o potencial 
deslocando uma carga de 
prova q0 do ponto P até o 
infinito. A figura mostra a 
carga de prova a uma 
distância r da carga pontual, 
durante um deslocamento 
elementar ds. 
Como o potencial elétrico V devido a uma partícula 
com carga q a uma distância radial r da partícula.
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24-3 Potencial devido a uma partícula carregada
O potencial devido a uma coleção de partículas carregadas é
Então, o potencial é a soma algébrica dos potenciais individuais, sem 
considerar as direções.
Potencial devido a um grupo de Partículas Carregadas
Answer: Same net potential (a)=(b)=(c)
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Uma partícula de carga positiva produz um potencial elétrico positivo; uma 
partícula de carga negativa produz um potencial elétrico negativo.
24-4 Potencial devido a um Dipolo Elétrico
(a) O ponto P está a uma distância r do ponto 
central O de um dipolo. A reta OP faz um 
ângulo θ com o eixo do dipolo. 
(b) Se o ponto P está a uma grande distância 
do dipolo, as retas de comprimentos r(+) e 
r(-) são aproximadamente paralelas à reta 
de comprimento r e a reta tracejada é 
aproximadamente perpendicular à reta de 
comprimento r(-).
O potencial resultante em P é dado por
Podemos aproximar as duas linhas até P como 
sendo paralelas e sua diferença de comprimento 
como um cateto de um triângulo retângulo com 
hipotenusa d (Fig. (b)). Esta diferença é tão 
pequena que o produto dos comprimentos é 
aproximadamente r 2.
Podemos aproximar V como
onde θ é medido a partir do eixo do dipolo 
como mostrado em (a). E uma vez que 
p=qd :
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24-5 Potencial devido a uma Distribuição Contínua de Carga
No caso de uma distribuição contínua de carga (em um objeto macroscópico), o potencial 
pode ser calculado 
(1) dividindo a distribuição em elementos de carga dq que podem ser tratados como 
partículas e
(2) somando o potencial produzido pelos elementos calculando uma integral para toda a 
distribuição:
Agora examinaremos duas distribuições contínuas de cargas, uma linha de carga e um 
disco carregado.
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24-5 Potencial devido a uma Distribuição Contínua de Carga
Linha de Carga
A fig. (a) mostra uma barra fina 
condutora de comprimento L. 
Como mostrado na fig. (b) o 
elemento da barra tem um 
diferencial de carga de 
Este elemento produz um potencial 
elétrico dV num ponto P (fig. (c)) 
dado por
Agora encontramos o potencial total V produzido pela barra no ponto P integrando 
dV ao longo do comprimento da barra, de x = 0 até x = L (Figs. (d) e (e))
Simplificando,
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Esta barra carregada 
obviamente não é 
uma partícula.
Mas podemos tratar 
este elemento como 
uma partícula.
Esta é a forma de 
calcular a distância 
r ao ponto P.
Precisamos somar os 
potenciais produzidos 
por todos os elementos.
Este é o elemento 
mais a esquerda.
Este é o elemento 
mais a direita.
24-5 Potencial devido a uma Distribuição Contínua de Carga
Disco Carregado
Na figura, considere um elemento diferencial 
consistindo de um anel de raio R’ e largura radial dR’. A 
carga tem módulo
na qual (2πR’)(dR’) é a superfície do anel. A 
contribuição do anel para o potencial elétrico em P é
Encontramos o potencial total em P integrando as 
contribuições de todos osanéis desde R’=0 até R’=R: Um disco de plástico de raio R, 
carregado em sua superfície com 
uma densidade superficial de 
carga σ. Desejamos encontrar o 
potencial V num ponto P no eixo 
central do disco.Note que a variável da segunda integral é R’ e não z
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Cada elemento de 
carga no anel contribui 
para o potencial em P
24-6 Calculando o Campo a partir do Potencial
Suponha que uma carga de prova positiva q0 sofra 
um deslocamento ds de uma superfície
equipotencial para a superfície vizinha. o trabalho 
realizado pelo campo elétrico sobre a carga de 
prova durante o deslocamento é – q0dV. Por outro 
lado o mesmo trabalho também pode ser escrito 
como o produto escalar(q0E)ds. Igualando as 
duas expressões para o trabalho, obtemos
ou,
Como E cosθ é a componente de E na direção de 
ds, obtemos,
Uma carga de prova positiva q0 sofre 
um deslocamento ds de uma 
superfície equipotencial para a 
superfície vizinha. (A distância entre 
as superfícies foi exagerada na 
figura.) O deslocamento ds faz um 
ângulo θ com o campo elétrico E.
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Duas superfícies 
equipotenciais
A cada par de partículas 
está associada uma 
energia.
A energia potencial elétrica de um sistema de 
partículas carregadas é igual ao trabalho necessário 
para montar o sistema, começando com as partículas 
separadas por uma distância infinita. No caso de 
duas partículas separadas por uma distância r,
Duas cargas mantidas a 
uma distância fixa r.
24-7 Energia Potencial Elétrica de um Sistema de 
Partículas Carregadas
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A energia potencial total de um sistema de partículas é a soma das 
energias potenciais de todos os pares de partículas do sistema.
Três cargas estão fixas nos 
vértices de um triângulo 
equilátero. Qual é o potencial 
elétrico do sistema?
24-7 Energia Potencial Elétrica de um Sistema de 
Partículas Carregadas
24-7 Energia Potencial Elétrica de um Sistema de 
Partículas Carregadas
24-8 Potencial de um Condutor Carregado Isolado
(a) Um gráfico de V(r)
ambos interior e 
exterior de uma casca 
esférica carregada de 
raio 1,0 m.
(a) Gráfico de E(r) para a 
mesma casca. 
É recomendável se proteger numa cavidade 
dentro de uma casca condutora, onde o campo 
elétrico é com certeza igual a zero. Um carro (a 
menos que seja um conversível ou feito com 
corpo de plástico) é quase ideal 
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Uma carga em excesso colocada em um condutor se distribui na superfície do condutor de 
tal forma que o potencial é o mesmo em todos os pontos do condutor (tanto na superfície 
como no interior). Isto acontece, mesmo que o condutor tenha uma cavidade interna e 
mesmo que a cavidade interna contenha uma carga elétrica.
24 Sumário
Potencial Elétrico
• O potencial elétrico V no ponto P no 
campo elétrico de um objeto carregado:
Energia Potencial Elétrica
• A energia potencial elétrica U do 
sistema partícula-objeto:
• Se a partícula se desloca através de 
um potencial ΔV:
Eq. 24-2
Eq. 24-3
Eq. 24-4
Energia Mecânica
• Aplicando conservação de energia 
mecânica obtemos a variação da
energia cinética:
• No caso de uma força externa 
aplicada numa partícula
• Num caso especial quando ΔK=0:
Eq. 24-9
Eq. 24-11
Eq. 24-12
Encontrando V a partir de E
• A diferença de potencial elétrica 
entre dois pontos i e f é:
Eq. 24-18
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24 Sumário
Potencial devido a uma 
Partícula Carregada
• Devido a uma única partícula
carregada numa distância r:
• Devido a um conjunto de partículas 
carregadas 
Eq. 24-26
Eq. 24-27
Eq. 24-30
Potencial devido a uma Distrib. 
Contínua de Carga
• Para uma distribuição contícua de 
carga:
Eq. 24-32
Eq. 24-40
Eq. 24-46
Potencial devido a um Dipolo 
Elétrico
• O potencial elétrico de um dipolo é
Energia Potencial Elétrica de um 
Sistema de Partículas Carregadas 
• Para duas partículas separadas por r:
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Calculando E a partir de V
• A componente de E em qualquer 
direção é:
24 Exercícios
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Halliday 10ª. Edição
Cap. 24:
Problemas 3; 4; 9; 16; 21; 23; 31; 34; 47; 66
24 Problema 24-3
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Suponha que, em um relâmpago, a diferença de potencial entre uma nuvem e 
a terra é 1,0 × 109 V e a carga transferida pelo relâmpago é 30 C. (a) Qual é a 
variação da energia da carga transferida? (b) Se toda a energia liberada pelo 
relâmpago pudesse ser usada para acelerar um carro de 1000 kg, qual seria a
velocidade final do carro?
24 Problema 24-4
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Duas placas paralelas condutoras, de grande extensão, estão separadas por 
uma distância de 12 cm e possuem densidades superficiais de cargas de 
mesmo valor absoluto e sinais opostos nas faces internas. Uma força 
eletrostática de 3,9 × 10−15 N age sobre um elétron colocado na região entre as 
duas placas. (Despreze o efeito de borda.) (a) Determine o campo elétrico na 
posição do elétron. (b) Determine a diferença de potencial entre as placas.
24 Problema 24-9
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Uma placa isolante infinita possui uma densidade superficial de carga σ = 
+5,80 pC/m2. (a) Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico produzido 
pela placa se uma partícula de carga q = +1,60 × 10−19 C é deslocada da 
superfície da placa para um ponto P situado a uma distância d = 3,56 cm da 
superfície da placa? (b) Se o potencial elétrico V é definido como zero na 
superfície da placa, qual é o valor de V no ponto P?
24 Problema 24-16
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A Figura mostra um arranjo retangular de partículas carregadas mantidas fixas 
no lugar, com a = 39,0 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1
= 3,40 pC e q2 = 6,00 pC. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no 
centro do retângulo? (Sugestão: Examinando o problema com atenção, é 
possível reduzir consideravelmente os cálculos.)
24 Problema 24-21
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A molécula de amoníaco (NH3) possui um dipolo elétrico permanente de 1,47 
D, em que 1 D = 1debye = 3,34 × 10−30 C · m. Calcule o potencial elétrico 
produzido por uma molécula de amoníaco em um ponto do eixo do dipolo a 
uma distância de 52,0 nm. (Considere V = 0 no infinito.)
24 Problema 24-23
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(a) A Fig. (a) mostra uma barra isolante, de comprimento L = 6,00 cm e 
densidade linear de carga positiva uniforme λ = +3,68 pC/m. Considere V = 0 
no infinito. Qual é o valor de V no ponto P situado a uma distância d = 8,00 cm 
acima do ponto médio da barra? (b) A Fig. (b) mostra uma barra igual à do item 
(a), exceto pelo fato de que a metade da direita está carregada negativamente; 
o valor absoluto da densidade linear de carga continua sendo 3,68 pC/m em 
toda a barra. Com V = 0 no infinito, qual é o valor de V no ponto P?
24 Problema 24-31
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Um disco de plástico, de raio R = 64,0 cm, é carregado na face superior com 
uma densidade superficial de cargas uniforme = 7,73 fC/m2; em seguida, três 
quadrantes do disco são removidos. A Figura mostra o quadrante 
remanescente. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial produzido pelo 
quadrante remanescente no ponto P, que está no eixo central do disco original 
a uma distância D = 25,9 cm do centro do disco?
24 Problema 24-34
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Duas placas metálicas paralelas, de grande extensão, são mantidas a uma 
distância de 1,5 cm e possuem cargas de mesmo valor absoluto e sinais 
opostos nas superfícies internas. Considere o potencial da placa negativa 
como zero. Se o potencial a meio caminho entre as placas é +5,0 V, qual é o 
campo elétrico na regiãoentre as placas?
24 Problema 24-47
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Qual é a velocidade de escape de um elétron inicialmente em repouso na 
superfície de uma esfera com 1,0 cm de raio e uma carga uniformemente 
distribuída de 1,6 × 10−15 C? Em outras palavras, que velocidade inicial um 
elétron deve ter para chegar a uma distância infinita da esfera com energia 
cinética zero?
24 Problema 24-66
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Duas cascas condutoras concêntricas têm raios R1 = 0,500 m e R2 = 1,00 m, 
cargas uniformes q1 = +2,00 μC e q2 = +1,00 μC e espessura insignificante. 
Determine o módulo do campo elétrico E a uma distância do centro de 
curvatura das cascas (a) r = 4,00, (b) r = 0,700 m e (c) r = 0,200 m. Com V = 0 
no infinito, determine V para (d) r = 4,00 m, (e) r = 1,00 m, (f) r = 0,700 m, (g) r 
= 0,500 m, (h) r = 0,200 m, e (i) r = 0. (j) Plote E(r) e V(r).