29_campos_magneticos_produzidos_por_correntes

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Campos Magnéticos
produzidos por Correntes 
Cap. 29
Copyright © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
O módulo do campo dB produzido no ponto P a uma 
distância r por um elemento de corrente i ds é dado 
por
onde θ é o ângulo entre as direções de ds e ȓ, um 
vetor unitário que aponta de ds para P. O símbolo μ0 é 
uma constante, chamada de constante de 
permeabilidade, cujo valor é definida por ter o valor 
exato
29-1 Campo Magnético produzido por uma Corrente
A direção de dB, mostrada como sendo para dentro da página na figura, é aquele 
do produto vetorial ds×ȓ. Podemos escrever a equação contendo dB na forma 
vetorial como
Esta equação vetorial e sua forma escalar são conhecidas como a 
Lei de Biot e Savart.
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29-1 Campo Magnético produzido por uma Corrente
Para um fio longo e reto 
carregando uma corrente i, a lei 
de Biot–Savart fornece, para o 
módulo do campo magnético a 
uma distância perpendicular R do 
fio,
O módulo do campo magnético no centro de um arco 
circular, de raio R e ângulo central ϕ (em radianos), 
carregando uma corrente i, é
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Regra da mão direita: Segure o fio na mão direita, com o polegar estendido 
apontando no sentido da corrente. Os outros dedos mostram a orientação das 
linhas de campo magnético produzidas pela corrente no fio.
As linhas de campo 
magnético produzidas 
por uma corrente em um 
fio retilíneo longo são 
círculos concêntricos em 
torno do fio. Na figura, o 
sentido da corrente é 
para dentro do papel, 
como indica o símbolo ×.
29-2 Forças Entre Duas Correntes Paralelas
Fios paralelos carregando correntes no mesmo 
sentido atraem um ao outro, já fios paralelos 
carregando correntes em sentidos opostos se 
repelem mutuamente. O módulo da força num 
comprimento L de cada fio é
onde d é a separação dos fios, e ia e ib são as 
correntes nos fios.
O procedimento para encontrar a força num fio 
transportando corrente é este:
Similarmente, se as duas correntes fossem anti-
paralelas, poderíamos mostrar que os dois fios iriam 
se repelir. 
Two parallel wires carrying cur-
rents in the same direction 
attract each other. 
A rail gun, as a current i is set 
up in it. The current rapidly 
causes the conducting fuse to 
vaporize.
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Para determinar a força exercida sobre um fio percorrido por corrente por outro fio 
percorrido por corrente, determine primeiro o campo produzido pelo segundo fio na posição 
do primeiro; em seguida, determine a força exercida pelo campo sobre o primeiro fio.
A lei de Ampere diz que
A integral de caminho nesta equação é calculada em 
uma trajetória denominada de Amperiana. A corrente 
i ao lado direito é a corrente encerrada na trajetória.
29-3 Lei de Ampère
Lei de Ampere aplicada a uma 
Amperiana arbitrária que engloba 
dois fios longos retilíneos mas 
exclui um terceiro fio. Note os
sentidos das correntes.
Uma regra da mão direita 
para a lei de Ampere para 
determinar os sinais das
correntes englobadas 
pela Amperiana. 
Campos Magnéticos de um fio longo 
e retilíneo percorrido por corrente:
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Apoie a palma da mão direita na amperiana, com os dedos apontando no sentido 
da integração. Uma corrente no sentido do polegar estendido recebe sinal 
positivo; uma corrente no sentido oposto recebe sinal negativo.
29-4 Solenoides e Toroides
Campo Magnético de um Solenoide
Figura (a) é um solenoide transportando uma 
corrente i. Figura (b) mostra uma seção 
através de uma porção de um solenoide 
“esticado”. O campo magnético do solenoide é 
um vetor soma dos campos produzidos pelas 
voltas individuais (enrolamentos) que 
constituem o solenoide. Para pontos muito 
próximos de uma volta, o fio se comporta 
quase como um fio longo e reto, e as linhas de 
B por lá são quase círculos concêntricos. 
Figura (b) sugere que o campo tende a se 
cancelar entre voltas adjacentes. Sugere 
também que em pontos dentro do solenoide e 
relativamente distante dos fios, B é 
aproximadamente paralelo ao eixo central do 
solenoide. 
(a)
(b)
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Vamos aplicar a lei de Ampere,
Para um solenoide ideal (Fig. (a)), onde B é uniforme 
dentro do solenoide e zero fora dele, usando a 
Amperiana retangular abcda. Escrevemos como 
a soma de 4 integrais, uma para cada segmento:
29-4 Solenoides e Toroides
Campo Magnético de um Solenoide
(a)
A primeira integral à direita da equação é Bh, onde B é o módulo do campo 
uniforme B dentro do solenoide e h é o comprimento (arbitrario) do segmento de a 
até b. A segunda e quarta integrais são zero porque para cada elemento ds destes 
segmentos, B ou é perpendicular à ds ou é zero, e então o produto Bds é zero. A 
terceira integral, que é tomada ao longo do segmento que fica fora do solenoide, é 
zero porque B=0 em todos os pontos externos. Então, para toda a trajetória 
retangular tem valor Bh.
Dentro de um soleoide longo transportando uma corrente i, nos pontos distantes 
das bordas, o módulo B do campo magnético é
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29-4 Solenoides e Toroides
Campo Magnético de um Toroide
Figura (a) mostra um toroide, que descrevemos como um 
solenoide (oco) que foi curvado até que suas bordas se 
encontrassem, formando uma espécie de bracelete oco. 
Que campo magnético B é formado dentro do toroide 
(dentro do espaço oco do bracelete)? Podemos descobrir a 
partir da lei de Ampere e da simetria do bracelete. A partir da 
simetria, vemos que as linhas de B formam círculos 
concêntricos dentro do toroide, direcionadas como mostrado 
na Fig. (b). Escolhemos um círculo concêntrico de raio r 
como uma Amperiana e a percorremos no sentido horário. A 
lei de Ampere nos diz que
onde i é a corrente nas voltas do toroide (e é positiva para 
aquelas voltas englobadas pela Amperiana) e N é o total de 
voltas. Isto nos dá
Em contraste com o solenoide, B não é constante ao longo da seção de um 
toroide. © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
29-5 A Bobina Plana como um Dipolo Magnético
O campo magnético produzido por uma espira 
transportando corrente, que é um dipolo 
magnético, num ponto P localizado a uma 
distância z ao longo do eixo central é paralelo ao 
eixo e é dado por
Aqui μ é o momento de dipolo da espira. Esta 
equação se aplica somente quando z é muito 
maior que as dimensões da espira.
Temos dois jeitos de enxergar uma espira transportadora de corrente como 
um dipolo magnético: 
(1) Experimenta um torque quando colocada em um campo magnético externo. 
(2) Gera seu próprio campo magnético intrínseco, dado, para pontos distantes 
ao longo de seu eixo pela equação acima. A figura mostra o campo 
magnético de uma espira; um lado da espira se comporta como polo norte 
(na direção de μ) © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
29 Sumário
A Lei de Biot-Savart
• O campo magnético formado por 
um condutor de corrente pode ser 
calculado pela lei de Biot–Savart.
• A grandeza μ0, chamada de 
permeabilidade, tem o valor
Eq. 29-3
Campo Mag. de um Arco Circular
• O módulo do campo magnético no 
centro de um arco de circunferência,
Eq. 29-9
Lei de Ampere
• A Lei de Ampere diz que,
Eq. 29-14
Eq. 29-13Campo Magnético de um Fio 
Longo, Retilíneo
• Para um fio reto e longo percorrido 
por uma corrente i, a Lei de Biot–
Savart diz que,
Eq. 29-4
Força Entre Correntes 
Paralelas 
• O módulo da força num trecho L de 
ambos os fios é
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29 Sumário
Campos Magnéticos de um 
Solenoide e um Toroide
• No interior de um solenoide 
percorrido por uma corrente i, em 
pontos não muito próximos das 
extremidades, o módulo de B é
• Em um ponto no interior de um 
toroide, o módulo de B éEq. 29-23
Campo de um Dipolo Magnético
O campo magnético produzido por 
uma bobina plana, que se comporta 
como um dipolo magnético em um 
ponto P localizado a uma distância z 
do centro da bobina, é paralelo ao eixo 
central, é dado por
Eq. 29-9
Eq. 29-24
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29 Exercícios
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Halliday 10ª. Edição
Cap. 29:
Problemas 1; 4; 11; 16; 21; 29; 35; 44; 51; 57 
29 Problema 29-1
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Um topógrafo está usando uma bússola magnética 6,1 m abaixo de uma 
linha de transmissão que conduz uma corrente constante de 100 A. (a) 
Qual é o campo magnético produzido pela linha de transmissão na 
posição da bússola? (b) Esse campo tem uma influência significativa na 
leitura da bússola? A componente horizontal do campo magnético da 
Terra no local é 20 μT.
29 Problema 29-4
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Um condutor retilíneo percorrido por uma corrente i = 5,0 A se divide em 
dois arcos semicirculares, como mostra a Fig. 29-36. Qual é o campo 
magnético no centro C da espira circular resultante?
29 Problema 29-11
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Na Fig. 29-42, dois fios retilíneos, longos, são perpendiculares ao plano 
do papel e estão separados por uma distância d1 = 0,75 cm. O fio 1 
conduz uma corrente de 6,5 A para dentro do papel. Determine (a) o 
módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no 
fio 2 para que o campo magnético seja zero no ponto P, situado a uma 
distância d2 = 1,50 cm do fio 2.
29 Problema 29-16
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Na Fig. 29-46, duas espiras circulares, concêntricas, que conduzem 
correntes no mesmo sentido, estão no mesmo plano. A espira 1 tem 1,50 
cm de raio e conduz uma corrente de 4,00 mA. A espira 2 tem 2,50 cm 
de raio e conduz uma corrente de 6,00 mA. O campo magnético B no 
centro comum das duas espiras é medido enquanto se faz girar a espira 
2 em torno de um diâmetro. Qual deve ser o ângulo de rotação da espira 
2 para que o módulo do campo B seja 100 nT?
29 Problema 29-21
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A Fig. 29-49 mostra, em seção reta, dois fios retilíneos muito longos, 
ambos percorridos por uma corrente de 4,00 A orientada para fora do 
papel. A distância entre os fios é d1 = 6,00 m e a distância entre o ponto 
P, equidistante dos dois fios, e o ponto médio do segmento de reta que 
liga os dois fios é d2 = 4,00 m. Determine o módulo do campo magnético 
total produzido no ponto P pelos dois fios.
29 Problema 29-29
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Na Fig. 29-57, quatro fios longos, retilíneos, são perpendiculares ao 
papel, e suas seções retas formam um quadrado de lado a = 20 cm. As 
correntes são para fora do papel nos fios 1 e 4 e para dentro do papel 
nos fios 2 e 3, e todos os fios conduzem uma corrente de 20 A. Na 
notação dos vetores unitários, qual é o campo magnético no centro do 
quadrado?
29 Problema 29-35
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A Fig. 29-63 mostra o fio 1 em seção reta; o fio é longo e retilíneo, 
conduz uma corrente de 4,00 mA para fora do papel e está a uma 
distância d1 = 2,40 cm de uma superfície. O fio 2, que é paralelo ao
fio 1 e também longo, está na superfície a uma distância horizontal d2 = 
5,00 cm do fio 1 e conduz uma corrente de 6,80 mA para dentro do 
papel. Qual é a componente x da força magnética por unidade de
comprimento que age sobre o fio 2?
29 Problema 29-44
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A Fig. 29-68 mostra duas curvas fechadas envolvendo duas espiras que 
conduzem correntes i1 = 5,0 A e i2 = 3,0 A. Determine o valor da integral 
(a) para a curva 1 e (b) para a curva 2.
29 Problema 29-51
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Um solenoide de 200 espiras com 25 cm de comprimento e 10 cm de 
diâmetro conduz uma corrente de 0,29 A. Calcule o módulo do campo 
magnético no interior do solenoide.
29 Problema 29-57
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Um estudante fabrica um pequeno eletroímã enrolando 300 espiras de 
fio em um cilindro de madeira com um diâmetro d = 5,0 cm. A bobina é 
ligada a uma bateria que produz uma corrente de 4,0 A no fio. (a) Qual é 
o módulo do momento dipolar magnético do eletroímã? (b) A que 
distância axial z >> d o campo magnético do eletroímã tem um módulo 
de 5,0 μT (aproximadamente um décimo do campo magnético da Terra)?