Relatório ondas estacionárias em cordas e tubos

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Relatório ERE 1 
Ondas estacionárias em cordas e 
tubos 
 
 
 
 
Aluno: 
Arthur Andrade de Pádua Carvalho – 201810674 - 
22B 
Lavras – MG 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introdução 
 
As ondas estacionárias se caracterizam por ser um padrão de onda de vibração 
estacionária, que se mantém no mesmo lugar, que é formada através da 
sobreposição de duas ondas que estão em sentidos opostos uma da outra em um 
mesmo espaço definido, neste caso, em corda e tubo fechado e semiaberto. Ondas 
estacionárias possui diferentes pontos fixos no espaço com valor zero, os chamados 
nodos, importantes para os cálculos. Em contrapartida, existem os antinodos, que 
são os pontos de máxima e mínimo de uma onda. [1] 
Estas ondas são resultadas da soma de duas ondas que contém a mesma 
frequência, amplitude, comprimento de onda, que viajam em mesma direção, com o 
porém de sentidos oposto. [2] 
 
2. Métodos 
2.1 - Modelo teórico 
 
Pelo exemplo inicial de uma onda propagando através de uma corda, para se obter 
a velocidade de propagação, é usada a seguinte fórmula, onde T representa a 
tensão que a corda é submetida e µ representa a densidade linear de massa, 
característica da corda esticada. (1) 
 
 √
 
 
 
 
Para se calcular a frequência da mesma onda, é utilizada a fórmula abaixo, onde o 
n representa o número de nodos, L representa o tamanho da corda e v representa a 
velocidade de propagação da onda. (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como anteriormente fora exposta a fórmula para encontrar a velocidade de 
propagação da onda (1), a mesma pode ser utilizada na equação de frequência (2). 
(3) 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
Agora com a propagação das ondas em um tubo, as condições podem ser 
diferentes. Em um tubo aberto, a fórmula utilizada para a obtenção da frequência de 
uma onda com n nodos, é a equação (2). Já em um tubo com uma extremidade 
aberta e a outra fechada, utiliza-se a fórmula descrita abaixo. (4) 
 
 
 
 
 
 
2.2 – Métodos experimentais 
 
Para a realização do experimento, foram utilizados os sites phy.hk e ophysic.com 
para a simulação dos experimentos de ondas estacionárias em cordas e em tubos 
respectivamente. 
Para o experimento das ondas estacionárias em uma corda, alterava-se a 
frequência que a onda propagava pelo meio, com a finalidade de alterar os nodos 
(n), indo de 1 até 7, fazendo o registro da frequência obtida em cada n, para, após a 
obtenção de todos os dados, realizar as contas para obtenção da velocidade de 
propagação da onda no meio, em uma corda de tamanho 18cm. 
 
 
 
 
 
Imagem 1: representação do experimento de ondas estacionárias em uma corda 
 
Na segunda parte do experimento, foram realizadas 2 simulações em tubos, 
inicialmente com o tubo aberto nas extremidades, e, posteriormente, com uma de 
suas extremidades aberta e a outra fechada. 
Na primeira parte, com ambas extremidades abertas, inicia-se com 10 nodos(n), 
comprimento de onda(λ) igual a 1, e o tamanho da corda(L), em função de λ, 
equivalente a 5 λ. 
 
 
Imagem 2: representação inicial do experimento de ondas estacionárias em um tubo de 
extremidades abertas 
 
 
 
 
 
 
A partir destas condições iniciais, alterava-se o valor do comprimento de onda (λ) 
para a redução de nodos(n), indo de 10, inicialmente, até o valor 2, anotando 
sempre o novo valor de λ para a determinada quantidade de nodos e o tamanho L, 
sempre em função de λ. 
Após já ter os resultados da simulação em mãos, utilizando o valor da velocidade do 
ar, calculou-se a frequência para cada nodo, com sua devida incerteza. Em seguida, 
alterou-se a medida L do tubo ao qual as ondas estavam percorrendo, com a 
finalidade de compreender se são mantidos os modos normais de vibração. 
Com o tamanho inicialmente fixo em 5m e a onda estacionária com n=3, alterou-se 
o tamanho do tubo para a obtenção de n=2 e n=1, mantendo o mesmo λ. 
Tendo todos os dados anteriores em mãos, uma das extremidades do tubo fora 
fechada para a realização de outra simulação. A partir dos resultados obtidos, 
conclusões foram feitas e discorridas. 
 
3. Discussões e Resultados 
A. 
Na realização do experimento da onda estacionária viajando por uma corta, obteve-
se a frequência em cada quantidade de nodos específica, de n=1 até n=7. Os 
resultados estão representados na tabela a seguir. 
 
Nodos(n) Frequência(Hz) 
1 25 
2 50 
3 75 
4 100 
5 125 
6 150 
7 175 
Tabela representando os valores obtidos no experimento de uma onda estacionária em uma corda. 
 
 
 
 
 
 
 
Foi pedido que considerasse o erro presente na medida em L da corda, e por ser 
uma régua analógica, usa-se como incerteza a menor medida dividida por 2. 
 
 
 
 
 
 
Através dos dados obtidos anteriormente, foi feito um gráfico de nodos(n) em função 
da frequência de onda, caracterizando uma função y=25x. 
 
 
Gráfico com os dados obtidos através do experimento de uma onda estacionária viajando por uma 
corda. 
 
 
Com os resultados em mãos, foi possível obter a velocidade de propagação da 
onda. Para realizar o cálculo através do gráfico, percebe-se que a expressão (v/2L) 
é o coeficiente angular da reta, então basta calcular o coeficiente angular e igualar à 
expressão. 
 
 
 ∑ ∑ ∑ 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 (∑ 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obter o erro de tal medida, calculou-se o erro do coeficiente angular da reta 
através da seguinte fórmula. 
 √
 
 ∑ 
 
 (∑ 
 
 )
 
 
 
 
Com o resultado obtido acima, conclui-se que a velocidade de propagação da onda 
através da corda é: . 
Em resposta ao item 5 da parte experimental A, se colocássemos na haste fixa da 
direta da simulação uma polia e pendurássemos uma massa de (4 ± 1) g, as 
frequências obtidas não seriam as mesmas, pois o peso do bloco aumentaria a 
tração da corda, causando uma alteração na velocidade de propagação da onda, e, 
consequentemente na frequência da onda. Tal análise foi feita a partir da fórmula (3) 
dos métodos teóricos. 
Em resposta ao item 6 para obtenção da densidade linear de massa (µ) no caso da 
situação do item 5 ser real, foram realizadas as seguintes conta: 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B. 
Na segunda parte do experimento, foi analisada a situação de uma onda 
estacionária viajando através de, inicialmente, um tubo aberto em suas 
extremidades, e, posteriormente, com uma de suas extremidades aberta e a outra 
fechada. 
 
 
 
 
Com o tubo aberto, foi requerido que, de n=10 até n=2, fossem alterados os valores 
de comprimento de onda λ, recolher os resultados e o valor de L em função de λ. Os 
resultados estão disponíveis na tabela a seguir. 
 
Nodos Comprimento de onda (λ) Tamanho do tubo (L(λ)) 
10 1 5.λ 
9 1,1 4,5.λ 
8 1,25 4.λ 
7 1,43 3,5.λ 
6 1,66 3.λ 
5 2 2,5.λ 
4 2,5 2.λ 
3 3,34 1,5.λ 
2 1 λ 
Tabela representando os valores obtidos no experimento de uma onda estacionária viajando por um 
tubo com as extremidades abertas. 
 
Após ter estes dados coletados, foi calculada a frequência de onda em cada um dos 
casos, de n=10 até n=2, utilizando a fórmula (2) do modelo teórico com v=341m/s, a 
velocidade do som no ar. Os resultados obtidos foram os seguintes. 
 
Nodos (n) Frequência (Hz) 
10 341 
9 306,900 
8 272,800 
7 238,700 
6 204,600 
5 170,500 
4 136,400 
3 102,100 
2 68,200 
Tabela representando os valores calculados de frequência no experimento de uma onda estacionária 
viajando por um tubo com as extremidades abertas. 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtenção do valor do erro, novamente foi utilizada a propagação de erro. O 
errode medida do tamanho do tubo é, por ser uma medida digital, o menor valor de 
medida possível. 
 
 
 
Com este resultado, foi feita a propagação de erro para encontrar o erro na medida 
da frequência. 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
A fórmula em negrito acima é utilizada para cada n do experimento para encontrar 
seu respectivo erro. Os resultados estão representados na tabela abaixo. 
 
Nodos (n) (Hz) 
10 0,682 
9 0,614 
8 0,546 
7 0,477 
6 0,409 
5 0,341 
4 0,273 
3 0,205 
2 0,136 
Tabela representando os valores calculados da propagação de erro da frequência no experimento de 
uma onda estacionária viajando por um tubo com as extremidades abertas. 
 
Em resposta ao item 7, se variarmos o tamanho do tubo (diminuirmos L) para 
determinado comprimento, não são mantidos os modos normais de vibração, pois 
quando L diminui, n também diminui, porque as ondas mantêm suas características, 
o que diminui é o espaço para ela percorrer, consequentemente, diminuindo o n. 
 
 
 
 
Após, inicialmente, colocar fixo n=3 e L=5, foi requisitado que alterasse o L a fim de 
obter n=2 e n=1. Os resultados estão representados abaixo. 
 
Nodos (n) L(λ) 
2 1.λ 3,34 
1 0,5.λ 3,34 
Tabela representando L para os nodos=2 e 1 com λ fixo em 3,34 
 
Nota-se que, indiferentemente das alterações no tamanho, comprimento de onda se 
mantém a mesma por ser uma característica da onda que independe de seu meio, 
já a quantidade de nodos estão diretamente ligada com o comprimento do meio em 
que a onda em questão está propagando. 
Retornando à situação inicial onde λ equivale a 1m e L=5.λ, porém com o tubo 
fechado em uma de suas extremidades, percebe-se que, no tubo inferior, as ondas 
acabam se anulando, e por este fato, qualquer som ou ruído seria imperceptível no 
tubo 
Voltando à imagem 2 b) do REO para este experimento, foram reproduzidos os 3 
exemplos da imagem. A conclusão obtida é que todas as 3 imagens têm seus 
modos de vibração permitidas. 
Na parte final do item 9, foi requerido o valor de λ para n=9 em um tubo semiaberto. 
Com L=5, encontrou-se λ=1,1m, e o resultado no tubo de baixo, novamente, é a 
anulação das ondas, e como já foi discutido anteriormente, quando as ondas se 
anulam, não é possível ouvir nenhum som ou ruído deste meio. 
 
4. Conclusão 
Através destes experimentos de simulação, ficou mais evidente como é o 
funcionamento de uma onda estacionária, seja em uma corda ou em um tubo, 
sendo ele com as extremidades abertas ou semiabertas. Os resultados obtidos 
foram satisfatórios e acordam com a teoria, evidenciando na prática o 
funcionamento de ondas estacionárias. 
 
5. Referências 
[1] SILVA, Domiciano Correa Marques da. "Ondas Estacionárias"; Brasil Escola. Disponível em: 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/ondas-estacionarias.htm. Acesso em 11 de junho de 2020 
[2] Tipler, Paul Allan (2006). Física para Cientistas e Engenheiros. mecânica, oscilações e ondas, 
termodinâmica. 1 5 ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Cientíciso Editora S.A