FE1 - 3º RELATÓRIO (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE FÍSICA EXPERIMENTAL I
GRUPO: BRENO ALVES DE SOUSA GOMES - 11509141
IGOR BEZERRA VIEIRA - 11501893
JOÃO LUIZ FRANCA RIBEIRO - 11509142
ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS
12/05/2017
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JOÃO PESSOA
ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS
1 OBJETIVOS
Este relatório pretende investigar a propagação das ondas estacionárias em uma corda,
objetivando obter a densidade linear de duas maneiras distintas: uma através da massa e
comprimento, e segunda a partir das oscilações investigadas.
2 INTRODUÇÃO
Este estudo em laboratório visa entender a ocorrência de ondas estacionárias em uma
corda. Uma série de questionamentos será levantada a fim de se gerar uma discussão acerca
desse tema.
Todos os conceitos envolvidos em tais problemas serão apresentados mais a frente. Da
mesma maneira, o procedimento experimental será devidamente descrito, assim como os dados
e resultados serão apresentados em quadros. Logo após, será levantada uma comparação entre
os resultados encontrados de onde serão retiradas as conclusões.
3 INTRODUÇÃO TEÓRICA
Onda estacionária é obtida a partir da interferência de duas ondas iguais (mesma
amplitude, frequência, velocidade e mesmo comprimento de onda) que se propagam no mesmo
meio em sentidos contrários. Nesse caso, ter-se-á uma corda como meio, sendo as duas
extremidades fixas. Assim, as ondas estacionárias irão corresponder aos modos normais de
vibração da corda.
Cada modo será diferenciado pelo número de ventres (interferência construtiva) n (n =
1, 2, 3 ...). Para uma corda de comprimento L, o comprimento de onda de um modo n será dado
por:
Já para se obter a velocidade de uma onda, pode-se usar a equação:
Para uma corda de densidade linear μ sujeita uma tensão T, a velocidade de propagação
dessa onda poderá ser calculado usando:
3
Lembrando que μ = m/L.
Substituindo a penúltima equação nesta última, aparecerá:
Para efetuar os cálculos de média e de variância serão usadas as respectivas
fórmulas: e , sendo o desvio padrão . Já𝑋 = 1𝑛
𝑖=1
𝑛
∑ 𝑋𝑖 𝑆2 = 1𝑛−1 ∑ 𝑋𝑖
2𝑓𝑖 −
∑𝑋𝑖.𝑓𝑖( )2
𝑛
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
𝑆 = 𝑆²
o desvio padrão médio será e, por fim, o erro final será dado por , sendo𝐸 = 𝑆
𝑛
∆𝑥 = 𝐸² + σ²
o erro associado ao instrumento.σ
Para encontrar os coeficientes de reta necessários a uma linearização e seus respectivos
erros através do método dos mínimos quadrados utilizam-se as seguintes fórmulas:
f(x) = x + b
4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
4.1 MATERIAIS UTILIZADOS
Gerador de ondas, dois cordões, quatro massas, roldana, balança e uma fita
métrica.
4.2 CARACTERÍSTICAS DOS MATERIAIS
Resolução: menor medida significativa que um instrumento pode aferir.
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Desvio: parâmetro associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão
dos valores e que é atribuído a um instrumento.
QUADRO 1 - CARACTERÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS
Instrumento Resolução Desvio Unidade
Fita Métrica 0,1 cm 0,05 cm cm (centímetros)
Balança 0,01 g 0,01 g g (gramas)
4.3 DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
Inicialmente, mediu-se o valor do comprimento do cordão e sua massa. Logo após, foi
amarrado uma extremidade do cordão no orifício presente na haste do oscilador, passou o
cordão por uma roldana fixada na extremidade da mesa e utilizou a outra extremidade para
amarra-lo em uma bandeja onde as massas eram encaixadas.
Com o cordão preso ao gerador, o aparelho foi ligado e teve sua posição alterada com a
finalidade de se obter ondas estacionárias com um, dois e três ventres (1º, 2º e 3° modo de
vibração). Durante esse processo, o comprimento de cada modo de vibração foi aferido.
Para dar continuidade ao experimento, variou-se a tensão na corda adicionando massas
de cinquenta em cinquenta gramas até duzentos gramas, e medindo o comprimento dos três
primeiros modos de vibração, de acordo com cada nova massa.
Por fim, foram repetidos todos os procedimentos citados anteriormente com o outro
cordão.
4.4 QUADROS DE DADOS RECOLHIDOS EM LABORATÓRIO
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5 RESULTADOS
Primeiramente, é preciso calcular a densidade linear a partir da massa da corda e de seu
comprimento a fim de se obter uma comparação. Sabe-se que para a corda azul (cordão 1),
µ = 𝑚𝐿
µ = 1,15200,00
g/cmµ = 5, 75𝑥10−3
Propagando-se o erro, temos:
∆µ = ∂µ∂𝐿
|| || ∆𝐿| | +
∂µ
∂𝑀
|| |||∆𝑀|
∆µ = 𝑀𝐿²
|| || ∆𝐿| | +
1
𝐿
|| |||∆𝑀|
g/cm∆µ = 5, 10𝑥10−5
Logo, g/cmµ = (5, 75𝑥10−3±5, 10𝑥10−5)
Já para a corda vermelha (cordão 2), tem-se:
µ = 0,74218,00
g/cmµ = 3, 39𝑥10−3
Propagando o erro, acha-se:
g/cm∆µ = 4, 66𝑥10−5
Logo, g/cm.µ = (3, 39𝑥10−3±4, 66𝑥10−5)
5.1 GRÁFICO 1
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O gráfico 1 se encontra anexado a este relatório e foi plotado em papel dilog. Ele se
refere ao cordão 1 através dos seguintes valores já propagado os erros:
Sabendo que λ = kTb onde, k e b são constantes e, comparando-a com a equação
reduzida da reta f(x) = B + ax aplicamos a função inversa da função potencial, que é a função
logarítmica na base 10, como segue:
log [λ] = log [kTb] = log [k] + log[Tb] = log [k] + b.log[T]
log [λ] = f(x); b = a; log[T]= x; log [k] = B
Para se encontrar os valores de b que é o valor de a da equação da reta, será utilizado o
método dos mínimos quadrados, segundo as fórmulas . Segue as
etapas do cálculo:
Assim, o = b = 0,32.𝑎
Pelo método dos mínimos sabe-se que . Esse cálculo será
realizado a partir de observações do gráfico. Lembrando que os coeficientes angulares máximos
e mínimos são calculados a partir da reta média e seus limites de erro para mais ou para menos
encontrados na linearização. Assim,
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= 1,72 x 10−4
Por sua vez, para obter os valores de log[K] que é o B da equação da reta será usada
equação . Foram calculados quatro K’s, um para cada par ordenado ( Segue os 𝐾 = λ
𝑇𝑏
𝑇, λ).
valores:
Pela equação , percebe-se, ao comparar-se com a função λ = kTb, que:
µ = 1𝑓²𝐾²
△µ = | ∂µ∂𝐾 |△𝐾
∆µ = △𝐾𝑓²𝐾³
Dessa maneira, serão calculados quatro valores para μ, um para cada K, e em seguida
será obtida a média com a respectiva propagação de erro. Segue os valores:
5.2 DISCUSSÃO CORDÃO 1
Percebe-se que há uma diferença de ordem entre as densidades lineares calculadas10−1
para o cordão 1. Isso pode ser relacionado a erros no levantamento dos dados. Em relação ao b,
este deveria ter ficado perto de 0,5, pois, pela equação , para , b seria ½. Nesse𝑇𝑏
caso, o valor de b também não ficou tão próximo quanto se esperava.
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5.3 GRÁFICO 2
O gráfico 2 se encontra anexado a este relatório e foi plotado em papel dilog. Ele se
refere ao cordão 2 através dos seguintes valores já propagado os erros:
A linearização foi realizada da mesma forma do Gráfico 1. Da mesma maneira, utilizou-se o
método dos mínimos quadrados para o cálculo do coeficiente angular. As etapas desse cálculo
seguem abaixo:
Assim, encontrou-se = b = 0,57.𝑎
Pelo método dos mínimos sabe-se que . Então,
= 2,43x .10−3
Fez-se o mesmo procedimento do cordão 1 para encontrar os valores de K de . Seguemµ
os valores:
5.4 DISCUSSÃO CORDÃO 2
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Percebe-se que há uma diferença também de ordem entre as densidades lineares10−1
calculadas para o cordão 2. Da mesma forma, isso pode ter sido causado por erros de
levantamento de dados. Em relação ao b, este deveria ter ficado perto de 0,5, pois, pela equação
, para , b seria ½. Nesse caso, o valor de b aproximou-se, ficando em b = 0,57.𝑇𝑏
6 RESPOSTAS DOS QUESTIONAMENTOS
1 - Existe um nodo na corda na posição do gerador? Explique.
Na posição do gerador, não existe nodo na corda, pois um nodo constitui um ponto
estático onde há interferência totalmente destrutiva (ocorre em pontos fixos ou devido à
sobreposição de ondas em fases opostas). Sendo assim, não há nodo no gerador visto que esse
aparelho vibra em MHS para dar origem à onda assim como não há interferência destrutiva
nesse ponto. Entretanto, visualmente, esse ponto assemelha-se a um nodo já que sua amplitude
de oscilação é mínima. Nos cálculos, considera-se como sendo esse ponto um nodo.
2 - Encostando lateralmenteuma régua na corda que vibra em ressonância, o que acontece
ao tocarmos um nodo ou um ventre? Explique.
Encostando a régua nos nodos nada foi observado, pois neste não há passagem de
energia. Entretanto, ao encostar nos ventres havia um amortecimento da oscilação (perda de
energia) já que nesse ponto existe trânsito de energia.
3 - O que ocorre com a amplitude da onda estacionária quando a tensão T permanecer
constante e o número de meios comprimentos de onda forem aumentando ao afastarmos
cada vez mais o gerador da roldana? Explique.
Ao manter-se constante a tensão na corda, a velocidade também irá permanecer
constante ( ). Sendo a frequência, nesse caso, outra grandeza constante (𝑣 = 𝑇µ = 𝑐𝑡𝑒
, o aumento de n compensa o aumento de L), a única maneira de fazer aumentar𝑓 = 𝑛𝑣2𝐿 = 𝑐𝑡𝑒
o comprimento de onda será diminuindo a amplitude de oscilação dessa onda estacionária, pois
pela função de onda estacionária , para um aumento de , k irá𝑌 = 2𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥( )𝑐𝑜𝑠 (ω𝑡) λ
diminuir e, assim, a amplitude diminui.
4 – Mantendo-se fixo o número de meios comprimentos de onda em uma dada corda e
aumentando-se a tensão, o que ocorre com a amplitude da onda? Explique.
Ao manter-se constante o comprimento de onda e também o comprimento da corda e
aumentar-se a velocidade (pois , ou seja, aumentando T, aumenta-se v), a frequência𝑣 = 𝑇µ
irá aumentar ( para n e L constantes). Assim, como para ondas estacionárias de𝑓𝑛 = 𝑛𝑣2𝐿
sentidos opostos a função de onda é , para o comprimento de onda𝑌 = 2𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥( )𝑐𝑜𝑠 (ω𝑡)
constante (k = cte) e frequência aumentando (𝜔 aumentando), tem-se q a amplitude diminui
uma vez que diminui.𝑐𝑜𝑠 (ω𝑡)
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5 - Se o sistema estiver em ressonância com a corda vibrando com um único ventre, ele
ainda estará em ressonância se a tensão for aumentada por um fator quatro? Tente
realizar essa experiência, tire suas conclusões e explique.
Como se sabe, e para n = 1, . Da mesma forma, , para n = 1,𝑓𝑛 = 𝑛𝑣2𝐿 𝑓 =
𝑣
2𝐿 λ𝑛 =
2𝐿
𝑛
. Pela equação , tem-se e então , . Para ,λ = 2𝐿 λ = 1𝑓
𝑇
µ 2𝐿 =
1
𝑓
𝑇
µ 𝑓 =
𝑣
2𝐿 λ =
1
𝑓
4𝑇
µ
temos . Assim, a frequência final será duas vezes a inicial. Isso permite concluir que só𝑓 = 𝑣𝐿
haveria ressonância no segundo modo de vibração. Para o primeiro modo, não haverá
ressonância.
6 CONCLUSÃO
Nesse relatório foi estudado o comportamento de ondas estacionárias em um
cordão a partir da variação das quantidades de modos de vibração e de tensões aplicadas
a esses cordões.
Foi possível fazer comparações dos valores das densidades lineares calculadas
pela expressão própria da densidade e a densidade obtida pelos dos gráficos gerados a
partir dos dados coletados em laboratório acerca das ondas. Nessa comparação,
percebeu-se que houve algumas diferenças entre os valores encontrados como já
mencionado.
Por fim, é importante destacar a importância do laboratório no que se refere a analise de
grandezas físicas. A união da prática e da teoria é fundamental.
7 BIBLIOGRAFIA
C. R. A. Lima.“Teoria de Erros Medidas e Gráficos”, Dep.de Física, ICE, UFJF. (2010).
M. J. V. Bell. “ Roteiros – Laboratório de Física I” , Dep. De Física, ICE, UFJF. (2002).
M. H. TABACNIKS. “Conceitos Básicos Da Teoria De Erros”, Instituto de Física da USP,
São Paulo. (2003).
ITA (Instituto Tecnológico de Aeronáutica); INTRODUÇÃO A TEORIA DE ERROS, 2006.
Disponível em:<http://www.fis.ita.br/labfis13/matdidatico/teoria/erros/material/intro_teoria
_erros/pdf >. Acessado em: 04 maio 2017.
HALLIDAY, RESNICK, WALKER; Fundamentos da Física, Vol. 2, 8ª Edição, LTC, 2009.
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