Lista 03 de Geometria (Álgebra Linear)

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Ciências e Tecnologias Agroalimentar - CCTA
Unidade Acadêmica de Ciências e Tecnologia Ambiental - UACTA
Disciplina: Geometria Anaĺıtica e Álgebra Vetorial
Professor: Paulo Pamplona
Lista de Exerćıcios 03: Álgebra Linear
Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes
01) Representar explicitamente a matriz quadrada de ordem 3, cujo elemento genérico é dado.
a) aij =
{
−2i, se i 6= j
3j, se i = j
b) aij =

2, se i < j
−1, se i = j
3, se i > j
c) aij =
{
2i− 3j, se i ≥ j
2j − 3i, se i < j
.
02) Dadas as matrizes A =
[
1 −3
2 4
]
, B =
[
3 −2
2 −3
]
e C =
[
2 0
1 5
]
, determinar a matriz X tal que
X − 2A = B − 3C.
03) Dada a matriz A =
[
2 −3
1 −4
]
, determine a matriz X tal que 2(X + A) = 3X − 4A.
04) Dadas as matrizes A e B abaixo, determinar AB e BA, se posśıvel
a) A =

1 0
−2 3
5 4
0 1
 e B =
[
1 6 1
3 8 −2
]
b) A =

1 −1 1
−3 2 −1
−2 2 −1
 e B =

1 2 3
2 4 6
1 2 3
.
05) Dadas as matrizes A =
[
1 2
−1 3
]
e B =
[
1 −1
1 0
]
, use o fato que A2 = A.A para determinar
(A + B)2 e A2 + 2(AB) + B2. Note que (A + B)2 6= A2 + 2(AB) + B2.
06) Determinar os valores de a, b, c e d que satisfazem a equação[
a b
c d
]
.
[
2 3
3 4
]
=
[
1 0
0 1
]
.
07) Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas. Depois determine o número de linhas
(m) e o número de colunas (n) da matriz dos coeficientes, o posto da matriz dos coeficientes (Pc), o
posto da matriz ampliada (Pa), e se o sistema for posśıvel, determinar seu grau de liberdade.
a)

1 −2 3 −1
2 −1 2 3
3 1 2 3
 b)

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1
 c)

0 1 3 −2
2 1 −4 3
2 3 2 −1
 d)

2 −1 3
1 4 2
1 −5 1
4 16 8
.
08) Determine o valor de k de modo que o sistema abaixo admita solução
−4x + 3y = 2
5x− 4y = 0
2x− y = k.
2
09) Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando
seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for posśıvel, o grau de liberdade.
a)

x + 3y + z = 0
2x + 6y + 2z = 0
−x− 3y − z = 0
b)

3x + 5y = 1
2x + z = 3
5x + y − z = 0
c)

2x− y + 3z = 11
4x− 3y + 2z = 0
x + y + z = 6
3x + y + z = 4.
d)

3x + 2y − 4z = 1
x− y + z = 3
x− y − 3z = −3
3x + 3y − 5z = 0
−x + y + z = 1.
10) Calcule o determinante de cada matriz abaixo:
a)
[
3 5
−2 −3
]
e)

1 3 2
4 1 −2
2 1 3

b)
[
5 −2
−8 4
]
f)

2 −1 2
1 3 2
5 1 6

c)

3 1 2
2 4 5
2 4 5

g)

2 0 0 1
0 1 0 0
1 6 2 0
1 1 −2 3

d)

4 3 0
3 1 2
5 −1 −4

h)

2 1 2 1
3 0 1 1
−1 2 −2 1
−3 2 3 1
.
11) Determine os valores de x para os quais det
[
x− 2 3
4 x− 3
]
= 0.
12) Determine a matriz adjunta das seguintes matrizes:
a)
[
2 3
1 4
]
b)

1 4 3
−1 −2 0
2 2 3
 c)

3 1 2
2 4 5
2 4 5
 d)

2 1 0 0
1 0 −1 1
0 1 1 1
−1 0 0 3
.
13) Determine a matriz inversa das seguintes matrizes:
a)
[
2 3
1 4
]
b)

√
2
2
−
√
2
2
√
2
√
2
 c)

1 4 3
−1 −2 0
2 2 3
 d)

2 1 0 0
1 0 −1 1
0 1 1 1
−1 0 0 3
 e)

2 5 7 −3
√
5
1
2
−4 6
−5 2 −2 0
3
2
0 −1
√
2
.
14) Use a regra de Cramer ou escalonamento para determinar soluções dos sistemas abaixo:
a)
{
x− 2y = 5
3x + y = 1
b)

x + 2y − z = 1
2x− y + z = 3
−x + 2y + 3z = 7
c)

2x + y + 3z = 1
4x + 3y + 5z = 1
6x + 5y + 5z = −3
d)

−y − w + z = 0
x + y + w + z = 6
2x + 4y + w − 2z = −1
3x + y − 2w + 2z = 3.
Espaços Vetoriais, Transformações Lineares, Autovalores e Autovetores
15) Verifique se o conjunto A é subespaço de V em cada caso abaixo:
a) A = {(x, 0); x ∈ R}; V = R2
b) A = {(x, y) ∈ R2; x + y = 1}; V = R2
c) A = {(x, y, z) ∈ R3; z = x + y}; V = R3
d) A = {(x, y, z) ∈ R3 ∈ R3; 2x + 3y − 6z = 12}; V = R3
e) A = {(x, y, z, w) ∈ R4; x + y = 0, z − w = 0}; V = R4
f) A = {(x, y, z, w) ∈ R4; 2x + y − w = 0, z = 0}; V = R4.
16) Escreva o vetor w como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 em cada caso abaixo:
a) w = (1,−4) e v1 = (1, 1); v2 = (−1, 1); v3 = (3, 0)
b) w = (−4, 1) e v1 = (1, 2); v2 = (−2, 3); v3 = (5, 4)
c) w = (9,−6,−13) e v1 = (2, 1,−5); v2 = (−1, 3, 0); v3 = (2,−6, 4).
3
17) Determine as coordenadas do vetor w em relação a base β em cada caso abaixo:
a) w = (1, 0, 0) e β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)} b) w = (3,−2, 1) e β = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}.
18) Verificar se β é uma base de V em cada caso abaixo:
a) β = {(1, 1), (0, 1)}, V = R2
b) β = {(1, 1), (−1,−1)}, V = R2
c) β = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}, V = R3
d) β =
{[
1 0
0 1
]
,
[
0 2
0 0
]
,
[
0 0
3 0
]
,
[
1 0
0 1
]}
, V = M2x2(R)
19) Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)}, β2 = {(2, 0), (0, 2)} e β3 = {(
√
3, 1), (
√
3,−1)}
bases ordenadas de R2. Determine:
a) As matrizes de mudança de base [I]β1β , [I]
β
β1
, [I]ββ2 e [I]
β
β3
;
b) As coordenadas do vetor v = (3,−2) em relação às bases β, β1, β2 e β3.
20) Se [I]βα =

1 1 0
0 −1 1
1 0 −1
, determine: a) [v]α, onde [v]β =

−1
2
3
 b) [v]β , onde [v]α =

−1
2
3
.
21) Verifique se as funções são transformações lineares em cada caso abaixo:
a) T : R3 → R2, onde T (x, y, z) = (x + y, y + z)
b) T : R2 → R, onde T (x, y) = x2 + y2
c) T : R2 → R2, onde T (x, y) = (x + y, x− y)
d) T : R2 → R, onde T (x, y) = xy
e) T : R → R, onde T (x) = |x|
f) T : M2 → R, onde T
(
a b
c d
)
= det
(
a b
c d
)
.
22) Ache a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (1, 0, 0) = (2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) e
T (0, 0, 1) = (0,−1). Encontre v ∈ R3 tal que T (v) = (3, 2).
23) Ache a transformação linear em cada caso abaixo:
a) T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 1, 0), T (−1, 2) = (0,−7,−3)
b) T : R3 → R2 tal que T (3, 2, 1) = (1, 1), T (0, 1, 0) = (0,−2) e T (0, 0, 1) = (0, 1)
c) T : R2 → R2 tal que T (1, 0) = (2, 3) e T (0, 1) = (1, 2).
24) Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2 e R3, respectivamente.
a) Determine T se [T ]αβ =

1 0
1 1
0 −1
 b) Se S(x, y) = (2y, x− y, x), ache [S]αβ .
25) Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes:
a)
[
1 2
0 −1
]
b)
[
1 1
1 1
]
c)

1 2 3
0 1 2
0 0 1
 d)

1 0 2
−1 0 1
1 1 2
 .
26) Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
a) T : R2 → R2, onde T (x, y) = (2y, x)
b) T : R2 → R2, onde T (x, y) = (x + y, 2x + y)
c) T : R3 → R3, onde T (x, y, z) = (x + y, x− y + 2z, 2x + y − z)
d) T : R4 → R4, onde T (x, y, z, w) = (x, x + y, x + y + z, x + y + z + w).
27) Ache a transformação linear T : R2 → R2 que possui autovalores -2 e 3 associados aos autovetores
(3y, y) e (−2y, y), respectivamente.
4
Respostas da lista 03
01) a)

3 −2 −2
−4 6 −4
−6 −6 9
 b)

−1 2 2
3 −1 2
3 3 −1
 c)

−1 −4 −7
1 −2 −5
3 0 −3
 02) X =
−1 −8
3 −10
 03) X =
12 −18
6 −24

04) a) AB =

1 6 1
7 12 −8
17 62 −3
3 8 −2
 BA não é posśıvel b) AB =

0 0 0
0 0 0
0 0 0
 BA =

−11 6 −1
−22 12 −2
−11 6 −1

05)
4 5
0 9
 e
5 5
1 8
 06) a = −4, b = 3, c = 3 e d = −2
07) a)

1 0 0 −4
0 1 0 −3
0 0 1 −1
 m = n = pa = pc = 3 e gL = 0 b)

1 0 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0
 m = 4, n = pa = pc = 2 e gL = 0
c)

1 0 −
7
2
5
2
0 1 3 −2
0 0 0 0
 m = n = 3, pa = pc = 2 e gL = 1 d)

1 0
14
9
0 1
1
9
0 0 0
0 0 0

m = 4, n = pa = pc = 2 e gL = 0
08) k = −6 09) a) m = n = 3, pa = pc = 1, gL = 2 e x = −3y − z b) m = n = pa = pc = 3, gL = 0 e
x =
7
16
, y = −
1
16
, z =
17
8
c) m = n = pa = pc = 3, gL = 2 e x = −1, y = 2, z = 5 d) m = n = 3, pa = 3, pc = 4. Não
existe solução 10) a) 1 b) 4 c) 0 d) 58 e) − 39 f) 0 g) 8 h) 20 11) x = 6 ou x = −112) a)
 4 −3
−1 2
 b)

−6 −6 6
3 −3 −3
2 6 2
 c)

0 3 −3
0 11 −11
0 −10 −10

13) a)

4
5
−
3
5
−
1
5
2
5
 b)

√
2
5
√
2
5
−
2
√
2
5
√
2
10
 c)

−
1
2
−
1
2
1
2
1
4
−
1
4
−
1
4
1
6
1
2
1
6
 d)

3 – 3 – 3 2
– 5 6 2 – 4
4 – 5 – 4 3
1 – 1 – 1 1

14) a) x = 1 e y = − 2 b) x = 1, y = 1 e z = 2 c) x = − 3, y = 1 e z = 2 d) x = 2, y = − 1, w = 3 e z = 2
15) a) Sim b) Não c) Sim d) Não e) Sim f) Sim
16) a) a2 e a3 arbitrários, a1 = − 32 (a3 + 1) b) a1 e a3 arbitrários, a2 =
6a3+9
7
c) a1 = 3, a2 = −2 e a3 = 12
17) a) a1 =
1
3
, a2 = − 13 e a3 =
1
3
b) a1 = 5, a2 = −3 e a3 = 1
18) a) Sim b) Não c) Sim d) Não
19) a) [I]β1β =
−1 1
1 1
, [I]ββ1 =
−
1
2
1
2
1
2
1
2
, [I]ββ2 =

1
2
0
0
1
2
, [I]ββ3 =

√
3
6
1
2√
3
6
−
1
2

b) [v]β =
 3
−2
, [v]β1 =
−
5
2
1
2
, [v]β2 =
 32
−1
, [v]β3 =

√
3− 2
2√
3 + 2
2
 20) a) [v]α =

1
1
−4
 b) [v]β =

2
−3
−1

21) a) Sim b) Não c) Sim d) Não e) Não f) Não 22) T (x, y, z) = (2x + y, y − z) e v = (x, 3− 2x, 1− 2x)
23) a) T (x, y) = (2x + y, 3x− 2y, x− y) b) T (x, y, z) = (
x
3
,
4x
3
− 2y + z) c) T (x, y) = (2x + y, 3x + 2y)
24) a) T (x, y) = (x−y
2
, x−y
2
, 2x + y) b) [S]αβ =

−
11
3
20
3
−
4
3
10
3
5
3
−
8
3

25) a) λ1 = 1, λ2 = −1, v1 = (x, 0), v2 = (x, x) b) λ1 = 0, λ2 = 2, v1 = (x,−x), v2 = (x, x) c) λ = 1 e v = (x, 0, 0)
d) λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 3, v1 = (−y, y, 0), v2 = (x, 2x,−x), v3 = (x, 0, x)
26) a) λ1 =
√
2, λ2 = −
√
2, v1 = (x,
√
2
2
x), v2 = (x,−
√
2
2
x) b) λ1 = 1 +
√
2, λ2 = 1−
√
2, v1 = (x,
√
2x), v2 = (x,−
√
2x)
c) λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = 2, v1 = (x,−2x,−
x
2
), v2 = (x,−3x, x), v3 = (x, x, x) d) λ = 1, v = (0, 0, 0, w)
27) T (x, y) = (−6y,−x + y).