Matemática cad 2

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Ensino 
Fundamental
2
caderno
ano
9
MATEMÁTICA
PROFESSOR
O sistema de ensino SER está preocupado com a preservação das paisagens brasileiras e do 
patrimônio cultural nacional. Por isso, ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental, você 
conhecerá pontos importantes de todas as regiões brasileiras, retratados nas capas do material 
didático. Acompanhe-nos nessa viagem!
O Marco Zero, na praça Rio Branco, é um dos pontos mais importantes de Recife. É conhecido 
como o ponto inicial da capital pernambucana, fundada em 1537.
Do local, é possível observar diversos edifícios históricos, como o da Bolsa de Valores e o da 
Associação Comercial de Pernambuco.
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www.ser.com.br 0800 772 0028
PROFESSOR
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Função e Geometria
 Ponto de partida, 3
Capítulo 1 • Explorando a ideia de função, 4
1. Introdução, 4
2. Coordenadas cartesianas, 6
3. Explorando intuitivamente a noção de função, 8
4. Função afim, 27
5. Função quadrática, 44
Capítulo 2 • Proporcionalidade em Geometria, 78
1. Introdução, 78
2. Retomando as ideias de razão e de proporção, 79
3. Razão entre segmentos de reta e segmentos de reta 
proporcionais, 82
4. Feixe de retas paralelas e o teorema de Tales, 96
5. Outras situações que envolvem
proporcionalidade em Geometria, 104
Capítulo 3 • Semelhança, 114
1. Introdução, 114
2. Figuras semelhantes, 115
3. Transformações geométricas, 149
4. Outras situações que envolvem semelhança, 166
 Ponto de chegada, 174
Matemática
Luiz Roberto Dante
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Kingda Ka (Nova Jérsei - EUA), 
até 2015 era a montanha-russa mais alta 
do mundo, com 139 metros (a altura de 
um prédio de 40 andares), e a segunda 
mais rápida, chegando a uma velocidade 
de 206 km/h. Foto de 2015.
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 Ponto de partida
Sob a orientação do professor, converse com seus colegas e 
responda às seguintes questões:
1. Com R$ 160,00, Alice comprou 4 ingressos para um parque de 
diversões. Quanto ela pagaria por 9 ingressos? (O preço do 
ingresso é único.) 
2. Considerando o preço do ingresso obtido na questão anterior, 
escreva uma equação que permita calcular a quantia total que x 
pessoas pagarão pelos ingressos. 
MÓDULO
Função e 
Geometria
A montanha-russa, uma das atrações mais populares dos 
parques de diversão, destaca-se por seu tamanho e pelas 
emoções que provoca, divertindo alguns e aterrorizando outros.
Projetada para dar a sensação de desafio à lei da gravidade, 
materializa-se nas formas curvas, nas íngremes quedas e 
elevações, nas grandes alturas e em altas velocidades. 
As inclinações dependem da forma geométrica de suas curvas, 
que podem ser, por exemplo, a de um arco de parábola.
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1
 Capítulo
Explorando 
a ideia de 
função
1 Introdução
Muitas vezes, em situações do cotidiano, identificamos os assuntos que estuda-
mos em Matemática.
Assim aconteceu com Gabriela. Certo dia, ela e sua mãe foram ao supermercado 
comprar algumas caixas de suco. Na hora de pagar, enquanto a atendente registrava 
o preço de cada caixa de suco, Gabriela ficou observando os números que apareciam 
na tela do computador.
De repente, teve um estalo. Toda a aula de Matemática daquele dia passou por 
sua cabeça. Ali estava uma situação envolvendo a ideia de função.Mãe e filha fazendo compras 
em uma mercearia.
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4 Função e Geometria
 Objetivos:
• Entender a ideia de função e 
suas representações. 
• Desenvolver o estudo formal 
da função afim e da função 
quadrática.
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Gabriela foi associando os números e mentalmente montou esta tabela:
Relação entre o número de caixas de suco e o preço a pagar
Número de caixas de suco Preço a pagar (em R$)
1 2,80
2 5,60
: :
5 14,00
: :
10 28,00
: :
15 42,00
: :
20 56,00
O que podemos observar nesta tabela?
Que o preço a pagar é dado em função da quantidade de caixas de suco 
adquiridas, ou seja, o preço a pagar depende de quantas caixas foram compradas.
1 244 344 1 2444444 3444444
Preço a pagar número de caixas compradas
P x
5 ? 2,80
Indicamos assim: P 5 2,80 ? x
Os dados da tabela de Gabriela também podem ser representados por um gráfico.
Relação entre o número de caixas de suco e o preço a pagar
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
5 Número de caixas de suco
Preço a pagar (em R$)
10 15 20 25 30 35 40
 
A correspondência entre a quantidade de caixas de suco adquiridas e o preço a 
pagar é um exemplo de função: o preço a pagar varia de acordo com a quantidade de 
caixas de suco que foram compradas. Para cada quantidade de caixas, há um e só um 
preço determinado a pagar.
A fórmula P 5 2,80 ? x é a lei da função.
Neste capítulo, você estudará a ideia de função, uma das mais importantes da 
Matemática, e associará essa ideia a tabelas, fórmulas e gráficos.
P
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Ressalte que esse gráfico é formado por 
pontos isolados dados pelos pares ordenados 
obtidos na tabela. Não podemos ligá-los por 
uma linha reta, pois as quantidades de caixas 
de suco são números naturais.
Função e Geometria 5
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2 Coordenadas cartesianas 
Para localizar pontos em um plano, usamos o referencial cartesiano, criado pelo 
matemático e filósofo francês René Descartes (1596-1650). O nome Descartes, em 
latim, era Cartesius. Daí o nome cartesiano.
A notação (a, b) é usada para indicar o par ordenado de números reais a e b, no 
qual o número a é a primeira coordenada, e o número b é a segunda coordenada. 
Observe que os pares ordenados (3, 4) e (4, 3) são diferentes, pois a primeira coor-
denada de (3, 4) é 3, enquanto a primeira coordenada de (4, 3) é 4.
Sistema de eixos ortogonais
Um sistema de eixos ortogonais é constituído por dois eixos perpendiculares, Ox 
e Oy, que têm a mesma origem O.
Damos o nome de plano cartesiano a um plano munido de um sistema de eixos 
ortogonais.
Os eixos ortogonais Ox e Oy dividem o plano cartesiano em quatro regiões cha-
madas quadrantes, na ordem colocada no gráfico ao lado.
Usamos esse sistema para localizar pontos no plano. Dado um ponto P desse 
plano, dizemos que os números a e b são as coordenadas cartesianas do ponto P, em 
que a é a abscissa e b é a ordenada.
Observe que cada par ordenado de números reais corresponde a um ponto 
do plano cartesiano e, reciprocamente, a cada ponto do plano corresponde um 
par ordenado de números reais. Essa correspond•ncia biun’voca entre pares de 
números reais e pontos do plano permite escrever conceitos e propriedades 
geométricas em uma linguagem algébrica e, reciprocamente, interpretar geome-
tricamente relações entre números reais.
Por exemplo, vamos localizar em um plano cartesiano os pontos A(4, 1); B(1, 4); 
C(22, 23); D(2, 22); E(21, 0); F(0, 3); O(0, 0).
Ponto A(4, 1) → ponto A de coordenadas cartesianas 4 e 1
a abscissa é 4
a ordenada é 1



Ponto B(1, 4) → ponto B de coordenadas cartesianas 1 e 4
a abscissa é 1
a ordenada é 4



E
C
D
A
B
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1
0
1
2
3 F
4
2 3 424 23 22 21
x
y
23
22
21
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P
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s
, 
F
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c
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RenŽ Descartes.
O
x
y
(origem)
(eixo vertical ou
eixo das ordenadas)
(eixo horizontal ou
eixo das abscissas)
O
x
y
4o quadrante3o quadrante
1o quadrante2o quadrante
a (x, O)
(O, y)
P(a, b)b
Fun•‹o e Geometria6
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Exercícios 
 1. D• as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado com letra no plano cartesiano abaixo.
D
A
B
1
0
1
3
4
324 23 22 21x
y
22
21
2
23
2
C
E
F
4
24
 2. Assinale, em um plano cartesiano, os seguintes pontos:
 a ) A(21, 3); 
 b ) D(4, 0); 
 c ) B(0, 22); 
 d ) E(3, 21); 
 e ) C 3
2
, 4( );
 f ) F 1
2
, 22( ).
 3. Um ponto P tem coordenadas (2x 2 6, 7) e pertence ao eixo das ordenadas. Determine x.
 4. Os pares ordenados (2x, y) e (3y 2 9, 8 2 x) são iguais. Determine x e y.
A(3, 3); B(23, 2); C(2, 0); D(22, 24); E(4, 23); F(0, 22).
 
1
0
1
3
4
323 22 21 x
y
22
21
2
23
2
4 5
C
E
D
F
B
A
1
2
3
2
x 5 3
2x 2 6 5 0
2 3 9
8
5 2
5 2
x y
y x{
x 5 3 e y 5 5
 Para construir:
 Exerc’cios 1 a 4 (abaixo)
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3 Explorando intuitivamente 
a no•‹o de fun•‹o
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar 
de destaque em vários de seus tópicos, bem como em outras áreas do conhecimento. 
É muito comum e conveniente expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais etc., 
por meio de funções.
A ideia de função está presente quando relacionamos duas grandezas vari‡veis. 
Vejamos alguns exemplos.
1o) Nœmero de litros de gasolina e pre•o a pagar
 Considere a tabela abaixo, que relaciona o número de litros de gasolina comprados 
e o preço a pagar por eles (em janeiro de 2015).
 Observe que o pre•o a pagar Ž dado em fun•‹o do nœmero de litros comprados, ou 
seja, o preço a pagar depende do número de litros comprados.
Nœmero de litros Pre•o a pagar (R$)
1 2,90
2 5,80
3 8,70
4 11,60
: :
40 116,00
x 2,90x
 Preço (p) a pagar 5 2,90 vezes o número de litros comprados, 
 ou seja,
 p 5 2,90x → lei da fun•‹o ou f—rmula matem‡tica da fun•‹o ou 
regra da fun•‹o.
2o) Medida do comprimento do lado do quadrado e per’metro
 Veja agora a tabela que relaciona as grandezas medida do comprimento do lado (,) 
de um quadrado e seu perímetro (P).
Medida do lado (,) Per’metro (P)
1 4
2 8
2,5 10
3 12
: :
, 4,
Rela•‹o entre o nœmero de litros 
de gasolina e o pre•o a pagar
,
,
Rela•‹o entre a medida do lado de um quadrado 
e seu per’metro
A
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Detalhe de bomba de combust’vel.
Fun•‹o e Geometria8
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 Quando variamos a medida do lado de um quadrado, seu perímetro também varia. 
Dizemos que o perímetro de um quadrado é dado em fun•‹o da medida de seu lado, 
isto é, o perímetro depende da medida do lado.
 
Para cada valor da medida do lado corresponde um œnico valor para o perímetro.
 A f—rmula que fornece o perímetro P em função da medida do lado , de um qua-
drado é dada por: P 5 4,
 Essa fórmula também é conhecida como lei da fun•‹o.
 No exemplo dado, temos duas grandezas vari‡veis: o perímetro P e a medida do 
lado do quadrado ,.
 Como depende da medida do lado, o perímetro P é a vari‡vel dependente; a medida 
do lado, como é de livre escolha dentre os números reais positivos, é chamada 
vari‡vel independente.
3o) A m‡quina de dobrar
 Observe abaixo o desenho de uma máquina imaginária de dobrar números.
MçQUINA
DE DOBRAR
MçQUINA
DE DOBRAR
Entrada
Saída
1... 2... 3... 3,5... 4,3... 5... x
2... 4... 6... 7... 8,6... 10... 2x
 Veja que os números que saem são dados em fun•‹o dos números que entram na 
máquina, ou seja, os números que saem dependem dos números que entram. As-
sim, a vari‡vel dependente é o número de saída, e a vari‡vel independente é o 
número de entrada.
 Neste caso, temos:
 número de saída (n) é igual a duas vezes o número de entrada (x), ou seja,
 n 5 2x → regra da fun•‹o ou lei da fun•‹o ou, ainda, f—rmula matem‡tica da fun•‹o.
4o) Em uma rodovia, um carro mantém velocidade constante de 90 km/h. Veja a ta-
bela que relaciona o tempo t (em horas) e a distância d (em quilômetros):
Tempo (h) 0,5 1 1,5 2 3 4 t
Distância (km) 45 90 135 180 270 360 90t
 Observe que a dist‰ncia percorrida Ž dada em fun•‹o do tempo, isto é, a dist‰ncia 
percorrida depende do intervalo de tempo. Cada intervalo de tempo considerado 
corresponde a um único valor para a distância percorrida. Dizemos, então, que a 
distância é função do tempo e escrevemos:
distância 5 90 ? tempo
d 5 90t
variável independente
variável dependente
Relação entre o tempo e a distância percorrida por um carro
Tanto a tabela como a 
fórmula mostram como 
o perímetro varia em função 
da medida do comprimento 
do lado.
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Oficina de Matem‡tica
Palitos, regularidades e fun•›es
Em equipe, utilizem palitos de f—sforo usados, canetas ou l‡pis.
Fa•am constru•›es como as representadas abaixo:
Contem o nœmero de tri‰ngulos e o nœmero de palitos em cada constru•‹o. Em seguida, completem o diagrama abaixo.
Número de triângulos Número de palitos
1 3
2 5
3 7
4 9
Antes de fazer a pr—xima constru•‹o, respondam: quantos palitos ser‹o necess‡rios para a constru•‹o com cinco 
tri‰ngulos? 
11 palitos.
Agora, fa•am a constru•‹o com cinco tri‰ngulos e verifiquem a resposta que voc•s deram.
Observem o padr‹o (ou seja, a regularidade) e escrevam a lei que associa o nœmero de palitos (P) em fun•‹o do nœ-
mero de tri‰ngulos (t) constru’dos. 
Usem a lei que voc•s escreveram para encontrar o nœmero de palitos necess‡rios para construir:
• 10 tri‰ngulos; 
21 palitos (2 ? 10 1 1).
• 15 tri‰ngulos; 
31 palitos (2 ? 15 1 1).
• 25 tri‰ngulos. 
51 palitos (2 ? 25 1 1).
P 5 2t 1 1
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 Para aprimorar:
 Oficina de Matem‡tica (abaixo)
Função e Geometria10
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Exerc’cios 
 5. Qual é a variável dependente e qual é a variável independente no exemplo da função das páginas de introdução do capítulo (p. 4 e 5)?
Variável dependente: preço a pagar; variável independente: número de caixas de suco.
 6. Rosângela estava brincando de inventar “máquinas matemáticas”. Ela inventou uma 
máquina programada para dobrar o nœmero de entrada e subtrair uma unidade do re-
sultado. Por exemplo, se entrar o número 8, sairá o número 15 (2 ? 8 2 1). Se entrar o 20, 
sairá o 39. Note que o número de saída é obtido em fun•‹o do número de entrada, isto é, 
o número que sai depende do número que entra. Note também que, para cada número 
real de entrada, sai um único número real.
Esta tabela indica alguns números reais de entrada e de saída da máquina inventada por 
Rosângela.
Nœmero de entrada Nœmero de sa’da
–1 –3
0 –1
1 1
2 3
3 5
4 7
5 9
6 11
1
2
0
2
1
2
22
1,5 2
 a ) Complete a tabela com os números que faltam. 
 b ) Se x representa a variável nœmero de entrada, e y representa a variável nœmero de sa’da, qual é a f—rmula ou lei da fun•‹o 
que fornece y em função de x? 
y 5 2x 2 1.
 c ) Nesse caso, qual é a variável dependente?
O número de saída: y.
 d ) Se o número de entrada for 10, qual será o número de saída? 
 e ) Se o número de saída for 29, qual será o número de entrada? 
 f ) O número de saída varia de forma diretamente proporcional ao número de entrada? 
Não, pois, dobrando um número de entrada, não dobra o número de saída. Por exemplo: 3 → 5 e 6 → 11.
Nœmeros de entrada e de sa’da da m‡quina de Ros‰ngela
y 5 2 ? 10 2 1 5 19
29 5 2x 2 1 ⇒ x 5 15
Esta máquina 
processa qualquer valor 
do conjunto dos 
números reais.
 Para construir:
 Exercícios 5 a 11 (p.11 a 15)
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Fun•‹o e Geometria 11
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 g ) Use os dados da tabela e construa o gráfico correspondente a essa situação.
 7. Desenhe uma máquina que transforme um número x de entrada em um número y de saída, tal que y 5 4x 2 3 (x → y 5 4x 2 3). 
Depois, responda às questões.
 a ) A cada x corresponde um único y?
Sim.
 b ) Qual é a lei dessa função?
y 5 4x 2 3.
 c ) Qual é o valorde y para x 5 7?
 d ) Qual deve ser o número de entrada para que o número de saída seja 77?
 8. Em uma rodovia, um carro mantém velocidade constante de 100 km/h. Faça o que se pede. 
 a ) Complete esta tabela, que relaciona o tempo t (em horas) e a distância d (em quilômetros) percorrida nesse tempo. 
Tempo (t) (em horas) 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Distância (d) (em quilômetros) 50 100 150 200 250 300
 b ) Que grandeza foi calculada em função da outra?
A distância percorrida (d) em função do tempo (t), pois a distância depende do tempo.
 c ) A cada instante de tempo corresponde uma única distância percorrida?
Sim, pois, em meia hora, são percorridos 50 km; em 1 hora, são percorridos 100 km; etc.
 d ) Qual é a variável dependente?
A distância percorrida, pois depende do tempo.
 e ) Escreva a lei dessa função ou a equação que fornece d em função de t.
d 5 100t.
4x 2 3
Entrada
x
y
Sada
Multiplicar por 4
e subtrair 3
y 5 4 ? 7 2 3 5 25
77 5 4x 2 3 ⇒ x 5 20
Relação entre o tempo e a distância percorrida por um carro
1
0
1
21
21
22
23
2
3
5
7
9
11
2 3 4 5
Nœmero de 
entrada
Nœmero de sa’da
Nœmeros de entrada e de sa’da 
da m‡quina de Ros‰ngela
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Função e Geometria12
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 9. Gustavo Ž representante comercial. Ele recebe mensalmente um sal‡rio composto de duas partes: uma fixa, no valor de 
R$ 1 200,00, e uma vari‡vel, que corresponde a uma comiss‹o de 7% (0,07) sobre o total de vendas que ele faz durante o m•s.
Considere S o sal‡rio mensal e x o total das vendas do m•s. Responda:
 a ) Qual Ž a vari‡vel dependente?
S (sal‡rio), pois depende de x (total de vendas do m•s).
 b ) Qual Ž a lei da funç‹o ou a equaç‹o que associa S a x? 
 c ) Se o total de vendas no m•s de setembro foi de R$ 10 000,00, quanto Gustavo recebeu nesse m•s? 
 d ) O sal‡rio de Gustavo varia de forma diretamente proporcional ao total de vendas que ele faz durante o m•s?
N‹o, pois, dobrando o valor de x, o valor de S n‹o dobra. Por exemplo, se x 5 10 000, S 5 1 900; se x 5 20 000, S 5 2 600 (e n‹o 3 800).
 
 10. A tabela abaixo relaciona a medida do comprimento do lado (x) de uma regi‹o quadrada com sua ‡rea (A). 
Relação entre a medida do lado e a área de um quadrado
Lado (cm) 1 2 3 4
çrea (cm2) 1 4 9 16
A x
x
 a ) Examine essa tabela e complete -a.
 b ) Observe os dados da tabela, descubra o padr‹o e escreva a equaç‹o que fornece a ‡rea A em funç‹o da medida x. 
 c ) A ‡rea de uma regi‹o quadrada varia de forma diretamente proporcional ˆ medida de seu lado? Explique sua resposta.
N‹o, porque, por exemplo, duplicando a medida do lado, a ‡rea n‹o fica duplicada.
S 5 1 200 1 0,07x ou S 5 0,07x 1 1 200
S 5 1 200 1 0,07 ? 10 000 5 1 200 1 700 5 1 900
A 5 x2 (x ? x)
Função e Geometria 13
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 d ) Usando dados da tabela, construa um gráfico.
 e ) Se atribuirmos a x qualquer valor real positivo (pois x é a medida do lado da região quadrada), como será o gráfico dessa 
função? 
O gráfico é constituído pelos quatro pontos assinalados no plano.
Relação entre a medida do lado e a área de um quadrado
1
1
4
9
16
2 3 4
Área
Lado
1
1
4
9
16
2 3 4
Lado
çrea
O gráfico será uma curva contínua.
Relação entre a medida do lado e a área de um quadrado
Função e Geometria14
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 11. Um fabricante vende parafusos por R$ 0,80 cada um. O custo total de um lote de parafusos é formado por uma taxa fixa de 
R$ 40,00 mais o custo de produção de R$ 0,30 por parafuso.
 a ) Que sentença fornece o custo total y de um lote em relação ao número x de parafusos?
 b ) Qual é o custo da produção de um lote de 1 000 parafusos?
 c ) Quanto o comerciante arrecada na venda de um lote de 1 000 parafusos?
 d ) Qual é o número de parafusos de um lote para que, na venda, o fabricante não tenha lucro nem prejuízo?
 e ) Se vender um lote de 200 parafusos, o comerciante terá lucro ou prejuízo? De quanto?
y 5 40 1 0,3x
R$ 340,00
40 1 0,3 ? 1 000
R$ 800,00 
1 000 ? 0,8
80 parafusos 
0,8x 5 40 1 0,3x ⇒ x 5 80
Lucro; R$ 60,00 
40 1 0,30 ? 200 5 100; 200 ? 0,8 5 160; 160 2 100 5 60
A no•‹o de fun•‹o por meio de conjuntos
Vamos, agora, estudar essa mesma noção de função usando a nomenclatura de 
conjuntos. Considere os exemplos a seguir.
 a ) Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão alguns 
números inteiros e em B estão outros. Devemos associar cada elemento de A a 
seu triplo em B.
 
22?
21?
0?
1?
2?
?
28
?
26
?
24
?
23
?
0
?
3
?
6
?
7
A B 
x [ A y [ B
22 26
21 23
0 0
1 3
2 6
 Note que:
 • todos os elementos de A têm correspondente em B;
 • cada elemento de A corresponde a um único elemento de B.
Neste caso, temos uma fun•‹o de A em B, expressa pela fórmula y 5 3x.
 b ) Dados A 5 {0, 4} e B 5 {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinte forma: cada ele-
mento de A é menor do que um elemento de B.
0?
4?
?2
?3
?5
A B
Neste caso, n‹o temos uma fun•‹o de A 
em B, pois ao elemento 0 de A correspon-
dem três elementos de B (2, 3 e 5, pois 
0 , 2, 0 , 3 e 0 , 5), e não apenas um 
único elemento de B.
Fun•‹o e Geometria 15
M
A
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M
Á
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A
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 c ) Dados A 5 h24, 22, 0, 2, 4j e B 5 h0, 2, 4, 6, 8j, associamos os elementos de A aos 
elementos de igual valor em B:
24?
22?
0?
2?
4?
?0
?2
?4
?6
?8
A B
Observe que há elementos em A (os nú-
meros 24 e 22) que não têm correspon-
dente em B. Neste caso, n‹o temos uma 
fun•‹o de A em B.
 d ) Dados A 5 h22, 21, 0, 1, 2j e B 5 h0, 1, 4, 8, 16j e a correspondência entre A e B dada 
pela fórmula y 5 x4, com x [ A e y [ B, temos:
22?
21?
0?
1?
2?
?0
?1
?4
?8
?16
A B
(22)4 5 16
(21)4 5 1
04 5 0
14 5 1
24 5 16 
 Note que:
 • todos os elementos de A têm correspondente em B;
 • cada elemento de A corresponde a um único elemento de B.
 Assim, a correspondência expressa pela fórmula y 5 x4 Ž uma fun•‹o de A em B.
Defini•‹o e nota•‹o
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que 
indica como associar cada elemento x [ A a um único elemento y [ B.
Usamos a seguinte notação:
f: A → B ou A 
f
 → B (lê-se: f Ž uma fun•‹o de A em B)
A função f transforma x de A em y de B.
Escrevemos isso assim:
y 5 f(x) (lê-se y é igual a f de x)
A B
?
y
f
?
x
No item a da página anterior, escrevemos y 5 3x ou f(x) 5 3x e, no item d, es-
crevemos y 5 x4 ou f(x) 5 x4.
Fun•‹o e Geometria16
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Exerc’cios 
 12. Quais dos seguintes conjuntos representam uma fun•‹o de A em B?
a) X 
2?
3?
4?
5?
?0
?1
?2
?3
?4
A B
b) X 
?1
?0
A B
21?
0?
1?
c) 
?0
?1
?2
A B
0?
1?
2?
3?
d) X 
?1 
?0
?2
A B
2?
5?
10?
20?
e) 
A B
0?
4?
9?
?0
?22
?2
?23
?3
f) X 
A B
1?
3?
4?
?2
?6
?8
 13. Dados A 5 {22, 21, 0, 1, 2}, B 5 {21, 0, 1, 3, 4} e a correspond•ncia entre A e B dada por y 5 x2, com 
x [ A e y [ B, fa•a a representa•‹o desses conjuntos e diga se f Ž uma fun•‹o de A em B.
 Para construir:
 Exerc’cios 12 e 13 (abaixo)
ƒ fun•‹o.
22
21
0
1
2
21
0
1
3
4
A B
Domínio, contradomínio 
e conjunto imagem de uma função
Dada uma fun•‹o f de A em B, o conjunto A chama-se domínio (D) da função, e 
o conjunto B chama-se contradomínio (CD) da função. Para cada x [ A, o elemento 
y [ B chama-se imagem de x pela função f ou o valor assumido pela função f para 
x [ A, e o representamos por f (x). Assim, y 5 f(x).
O conjunto de todos os y assim obtidos Ž chamado conjunto imagem da função 
f e Ž indicado por Im(f).
Exemplos:
 a ) Dados os conjuntos A 5 h0, 1, 2, 3j e B 5 h0, 1, 2, 3, 4, 5, 6j, vamos considerar a fun-
•‹o f: A → B que transforma x [ A em 2x [ B.
A B
0?
1?
2?
3?
?0
?2
?4
?6
?1
?3
?5
Im(f)
Dizemos que f: A → B Ž definida por 
f(x) 5 2x oupor y 5 2x. A indica•‹o 
x f → 2x significa que x Ž transformado 
pela fun•‹o f em 2x.
A B
?
y
f
?
x
Função e Geometria 17
M
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Exercícios 
 14. Considere a fun•‹o A 
f
 → B dada pelo diagrama e determine:
 a ) D(f); h3, 4, 5, 6j
 b ) Im(f); h1, 3, 7j
 c ) f(4); f(4) 5 1 
 d ) y, quando x 5 5; y 5 7
 e ) x, quando y 5 3; x 5 6
 f ) x, quando f(x) 5 1; x 5 3 ou x 5 4
 g ) f(x), quando x 5 6; f(x) 5 3
 h ) y, quando x 5 3; y 5 1
 i ) x, quando y 5 7. x 5 5
 Para construir:
 Exerc’cios 14 e 15 (p. 18 e 19)
A B
3?
4?
5?
6?
?1
?3
?5
?7
 Veja que para caracterizar uma fun•‹o Ž necess‡rio conhecer seus tr•s compo-
nentes: o dom’nio (A), o contradom’nio (B) e uma regra que associa cada elemento 
de A a um œnico elemento y 5 f(x) de B. Neste exemplo, o dom’nio Ž A 5 h0, 1, 2, 3j, 
o contradom’nio Ž B 5 h0, 1, 2, 3, 4, 5, 6j, a regra Ž dada por y 5 2x e o conjunto 
imagem Ž dado por Im(f) 5 h0, 2, 4, 6j.
 Observa•‹o: Em toda fun•‹o f de A em B, o conjunto Im(f) est‡ contido em B.
 b ) Vamos considerar a fun•‹o f: N → N definida por f(x) 5 x 1 1.
 Neste caso, a fun•‹o f transforma todo nœmero natural x em outro nœmero natural 
y que Ž sucessor de x, indicado por x 1 1:
N*
NN
?
y
f
?
x
• a imagem de x 5 0 Ž f(0) 5 0 1 1 5 1;
• a imagem de x 5 1 Ž f(1) 5 1 1 1 5 2;
• a imagem de x 5 2 Ž f(2) 5 2 1 1 5 3, 
e assim por diante.
 Portanto, o dom’nio Ž N (D 5 N), o contradom’nio Ž N (CD 5 N), a regra Ž y 5 x 1 1 
e o conjunto imagem Ž N* 5 N 2 h0j, isto Ž, Im(f) 5 N*.
 c ) Dada uma fun•‹o f de A em B, representada a seguir, vamos determinar:
A B
2?
3?
5?
?0
?2
?4
?6
?8
?10
• o dom’nio de f → D(f) 5 h2, 3, 5j ou D(f) 5 A;
• o contradom’nio de f → CD(f) 5 h0, 2, 4, 6, 8, 10j 
ou CD(f) 5 B;
• a imagem de f → Im(f) 5 h4, 6, 10j;
• f(3) 5 6;
• f(5) 5 10;
• x para f(x) 5 4 → x 5 2.
Função e Geometria18
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 15. Considere A 
g
 → B a fun•‹o para a qual A 5 h1, 3, 4j, B 5 h3, 9, 12j e g(x) Ž o triplo de x, para todo x [ A.
 a ) Construa a representa•‹o dessa fun•‹o.
 b ) Determine D(g), CD(g) e Im(g).
 c ) Determine g(3).
 d ) Determine x para o qual g(x) 5 12.
A B
1
3
4
3
9
12
?
?
?
?
?
?
D(g) 5 h1, 3, 4j; CD(g) 5 h3, 9, 12j; 
Im(g) 5 h3, 9, 12j
g(3) 5 9
x 5 4
Leitura
ÒSer‡ poss’vel tra•ar uma figura ou gr‡fico mostrando a maneira pela qual as 
coisas variam?Ó
Essa foi a dœvida que ocorreu ao fil—sofo e matem‡tico franc•s Nicole Oresme 
(1323-1382). Para esclarec•-la, ele construiu aquilo que talvez tenha sido a primeira 
manifesta•‹o da atual representa•‹o gr‡fica de uma fun•‹o.
Ele tra•ou um gr‡fico relacionando valores de velocidade de um corpo que se move 
com acelera•‹o constante com os tempos decorridos, e percebeu que esse gr‡fico é uma 
reta. Porém, como os instrumentos de an‡lise eram inadequados e faltavam aos mate-
m‡ticos da época técnicas algébricas e geométricas, o estudo das fun•›es n‹o avan•ou 
muito nesse per’odo.
Coube a Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), matem‡tico alem‹o, o pri-
meiro uso da palavra função com sentido quase igual ao que ela tem atualmente. 
Nessa mesma época, o matem‡tico franc•s Jean Bernoulli (1667-1748) criou algumas nota•›es para representar uma 
fun•‹o de x. Foi, porém, com o matem‡tico su’•o Leonhard Euler (1707-1783) que a ideia de fun•‹o se tornou fundamental 
no estudo dos processos infinitos, em um campo da Matem‡tica conhecido como An‡lise matem‡tica, consolidando a 
forma de nota•‹o de fun•‹o.
A teoria das fun•›es de uma vari‡vel real foi desenvolvida por Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Hoje, fun•‹o é uma 
das ideias essenciais em Matem‡tica e nas ci•ncias em geral.
 1. Considere o pensamento do fil—sofo e matem‡tico franc•s Nicole Oresme e imagine aplica•›es da ideia de fun•‹o no seu 
dia a dia.
Resposta pessoal. Oriente os alunos a pensar em situa•›es que n‹o apareceram no cap’tulo.
 2. Reœna-se com seus colegas e, juntos, construam uma linha do tempo com os principais fatos relacionados ˆ hist—ria da 
fun•‹o. Pesquisem imagens dos principais matem‡ticos citados e elaborem um cartaz. Resposta pessoal.
Um pouco da história da função
Reproduç‹o de pintura com Nicole 
Oresme em sua mesa.
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s
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e
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m
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rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 Para aprimorar:
 Leitura (abaixo)
Funç‹o e Geometria 19
M
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Gr‡ficos de fun•›es
O gr‡fico de uma fun•‹o ajuda a analisar a varia•‹o das grandezas, uma depen-
dendo da outra. Examine as situa•›es seguintes.
Exercícios 
 16. O gr‡fico abaixo mostra a popula•‹o brasileira, de 10 em 10 anos, de 1940 a 2010, variando com o tempo (em anos).
Analisando o gr‡fico, notamos o aumento da popula•‹o brasileira 
em fun•‹o do tempo (dado em anos). Com rela•‹o a esses dados, 
responda:
 a ) Qual era a popula•‹o aproximada no Brasil em 1970? 
95 milh›es de habitantes.
 b ) Em quanto aumentou a popula•‹o brasileira de 1970 a 2010, 
aproximadamente? 
95 milh›es de habitantes (190 2 95).
 17. O gr‡fico abaixo mostra como as grandezas volume e tempo variam, uma dependendo da outra, em um tanque de ‡gua que 
estava cheio e foi se esvaziando. Vemos que o volume de ‡gua foi diminuindo em fun•‹o do tempo; quanto maior o tempo (de 
0 a 35 minutos), menor o volume de ‡gua no reservat—rio (de 600 a 0 litros).
Responda:
 a ) Qual Ž o volume total desse tanque? 
600 L.
 b ) Ap—s 20 minutos de esvaziamento, quantos litros de ‡gua ainda havia no tanque? 
100 L.
 c ) O tempo e o volume variam de forma proporcional? 
N‹o, nem direta nem inversamente proporcional. Por exemplo: depois de 5 min, havia 300 L; depois de 10 min, havia 200 L (que n‹o Ž o dobro nem a
metade de 300). 
Popula•‹o nos censos demogr‡ficos (1940-2010)
Milh›es de habitantes
1940 1950 1960
10
30
50
70
90
110
130
150
170
190
200
1970 1980 1990 2000 2010
Ano
Fonte: Censo 2010 Ð IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estat’stica). Dispon’vel 
em: <www.censo2010.ibge.gov.br/sinopse/index.php?dados=4&uf=00>. 
Acesso em: 12 maio 2015.
Varia•‹o entre as grandezas volume e tempo 
em um tanque de ‡gua que estava cheio
5 10
100
200
300
400
500
600
15 20 25 30 35
Tempo
(em min)
Volume
(em L)
 Para construir:
 Exerc’cios 16 e 17 (abaixo)
Fun•‹o e Geometria20
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Construção de gráficos de funções
Quais são os dados necess‡rios e como devemos proceder para construir o 
gr‡fico de uma função? Pense e depois confira.
1o) Construir uma tabela com valores x escolhidos convenientemente e seus 
respectivos correspondentes y.
2o) A cada par ordenado (x, y) da tabela, associar um ponto do plano deter-
minado pelos eixos x e y.
3o) Marcar um nœmero suficiente de pontos atŽ que seja possível esboçar o 
gr‡fico da função.
Examine estes dois exemplos.
 a ) Vamos construir o gr‡fico da função dada pela equação y 5 2x 1 1, com x real.
Como x varia no conjunto dos nœmeros reais, es-
colhemos alguns valores arbitr‡rios para x e ob-
temos os valores reais correspondentes para y.
O gr‡fico Ž o conjunto de todos os pontos corres-
pondentes aos pares ordenados (x, y), com x e y 
reais e y 5 2x 1 1, o que nos fornece a reta da 
figura abaixo.
21
21
0
1
22
23
3
5
1 2
x
y
y 5 2x 1 1
Gráfico da função y 5 2x 1 1
Na constru•‹o dos 
gr‡ficos, vamos considerar a 
vari‡vel x assumindo todos os 
valores reais poss’veis.
Neste caso, podemos ligar os 
pontos por uma 
linha cont’nua.
x y 5 2x 1 1 (x, y)
22 23 (22, 23)
21 21 (21, 21)
0 1 (0, 1)
1 3 (1, 3)
2 5 (2, 5)
Função e Geometria 21
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 b ) Vamos agora construir o gr‡fico da fun•‹o dada pela f—rmula y 5 x2 2 4, com 
x real.
 Quanto mais valoresescolhermos para x, mais clara Ž a ideia que teremos de 
como ficar‡ o gr‡fico.
 Vamos escolher alguns valores para x e montar uma tabela. Em seguida, coloca-
mos os pontos correspondentes aos pares ordenados (x, y) no plano determina-
do pelo sistema de eixos. Assim:
x y 5 x2 2 4
23 5
22 0
21 23
0 24
1 23
2 0
3 5
Neste exemplo, o eixo y Ž o eixo de simetria da par‡bola.
21
21
0
2223
23
24
5
1 2 3
x
y y 5 x2 2 4
Exerc’cio 
 18. Construa o gr‡fico de cada uma das fun•›es dadas pelas f—rmulas, para todo x real.
 a ) y 5 2x 1 2 b ) y 5 2x2 c ) y 5 3x d ) y 5 x3
Gr‡fico da fun•‹o dada pela 
f—rmula y 5 x2 2 4
A figura obtida 
neste exemplo Ž chamada de 
par‡bola. Ainda neste cap’tulo 
voc• ter‡ mais informa•›es 
sobre ela.
Como saber que Ž uma 
curva, e n‹o um segmento de 
reta que liga esses pontos?
Os matem‡ticos j‡ provaram que, quando 
temos y igual a um polin™mio do 2o grau, 
da forma ax2 1 bx 1 c, com a ? 0, 
o gr‡fico Ž uma curva chamada par‡bola.
 Para construir:
 Exerc’cio 18 (abaixo)
x y 5 2x 1 2
22 4
21 3
0 2
1 1
2 0
4
y
x
y 5 2x 1 2
5
3
2
1
1
0
2 3 4
21
212223
22
23
24
25
x y 5 2x2
22 24
21 21
0 0
1 21
2 24
y
x
10 2 3 4
21
21222324
22
23
24
25
26
27
28
29
y 5 2x2
x y 5 3x
22
1
9
21
1
3
0 1
1 3
2 9
10
1
2
x
21
3
9
y
22 1
9
1
3
2
y 5 3x
x y 5 x3
22 28
21 21
0 0
1 1
2 8
1
0
2
x
y
y 5 x3
21
21
1
22
8
28
Fun•‹o e Geometria22
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Reconhecendo se um gr‡fico 
Ž de uma fun•‹o
Como posso reconhecer 
se um gr‡fico Ž ou não 
de uma função?
J‡ estudamos que, para existir uma função, Ž 
necess‡rio que, para qualquer x de um conjunto de 
valores, corresponda um œnico y, de outro ou do 
mesmo conjunto de valores.
Geometricamente, se esses dois conjuntos de valores s‹o os dos nœmeros reais, 
significa que qualquer reta perpendicular ao eixo x deve intersectar o gr‡fico sempre 
em um œnico ponto. Assim, se a reta n‹o intersectar o gr‡fico ou intersectar em mais 
de um ponto, esse gr‡fico n‹o Ž gr‡fico de uma fun•‹o.
Examine estes gr‡ficos para que esse conceito fique mais claro.
0
x
y
O gr‡fico ao lado Ž de uma fun•‹o, pois 
qualquer reta perpendicular ao eixo x intersec-
ta o gr‡fico em um œnico ponto.
Para todo x real, existe um œnico y.
0
x
y
Este gr‡fico n‹o Ž de uma fun•‹o, pois 
existem retas perpendiculares ao eixo x inter-
sectando o gr‡fico em mais de um ponto. Ou 
seja, h‡ valores de x com mais de um corres-
pondente.
0
x
y
1 2 3 4 5
Considerando x um nœmero real qualquer, 
este gr‡fico n‹o define uma fun•‹o, pois, para 
x 5 5, por exemplo, n‹o existe y correspon-
dente.
Mas, considerando x real de 1 a 4, este 
gr‡fico indica uma fun•‹o, pois, para todo 
x real do intervalo 1 < x < 4, existe sempre 
um œnico y. 
Fun•‹o e Geometria 23
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Exercícios 
 19. Para x e y nœmeros reais, escreva sim se o gr‡fico for de uma fun•‹o e n‹o em caso contr‡rio. Justifique sua resposta nos casos 
em que n‹o for fun•‹o.
 a ) 
x
y
 b ) 
x
y
 c ) 
x
y
d ) 
x
y
e ) 
x
y
f ) 
x
y
 g ) 
x
y
 h ) 
x
y
 i ) 
x
y
Sim.
Sim.
Sim.
Sim.
N‹o.
Para o x assinalado, h‡ dois valores para 
y ou existem retas perpendiculares ao 
eixo x intersectando -o em mais de um 
ponto.
N‹o.
Para um valor de x, h‡ todos 
os valores reais para y.
Sim.
Sim.
 Para construir:
 Exerc’cios 19 a 21 (p. 24 e 25)
Para o x assinalado, h‡ dois valores para 
y ou existem retas perpendiculares ao 
eixo x intersectando -o em mais de um 
ponto.
N‹o.
Fun•‹o e Geometria24
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 20. Desenhe dois sistemas de eixos cartesianos. Em um deles, fa•a um gr‡fico de uma fun•‹o e, no outro, um que n‹o seja gr‡fico 
de uma fun•‹o. 
 21. Observe o gr‡fico abaixo e responda.
Resposta pessoal.
1
0
1
2122
21
22
2
2
3
x
y a ) Considerando x um nœmero real qualquer, esse gr‡fico indica uma fun•‹o? Por qu•? 
N‹o, porque existem valores reais de x sem correspondente y (x 5 3, por exemplo).
 b ) Para quais valores de x esse gr‡fico indica uma fun•‹o? 
x [ R, 21 < x < 2
 c ) Qual deve ser o valor de x para que se tenha y 5 0? 
 d ) Qual Ž o valor de y quando x 5 0? 
x 5 1 ou x 5 21
y 5 2
Resolução de problemas que 
envolvem o conceito de função
Agora, voc• vai aplicar o que estudou atŽ aqui em mais algumas situa•›es.
Exerc’cios 
 22. A grandeza f’sica densidade (d) de um material Ž definida como o quociente entre a massa (m) e o volume (V) desse material 
)( .d mV5 Disso conclui -se que a massa e o volume est‹o relacionados por meio da f—rmula m 5 dV. Observe a tabela que re-
laciona m com V de determinado material.
Rela•‹o entre volume e massa
V (cm3) 10 30 60 90 25
m (g) 80 240 480 720 200
 a ) Qual Ž a densidade desse material? 
 b ) Complete a tabela com os valores que faltam.
8 g/cm3 80
10( )
 Para construir:
 Exerc’cios 22 a 25 (p. 25 a 27)
Fun•‹o e Geometria 25
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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100
200
240
320
480
720
80
3025 40
V (cm3)
m (g)
Rela•‹o entre volume e massa
90806050 70
 c ) Represente graficamente m em função de V.
 d ) No gráfico, é possível ligar os pontos? Por qu•? 
ƒ possível traçar uma semirreta, pois as grandezas volume e massa podem assumir qualquer valor real não negativo, já que volume e massa são
grandezas contínuas.
 23. Tomando decis›es
Leonor vai escolher um plano de aulas de violão entre duas opç›es: A e B.
O plano A cobra R$ 100,00 de inscrição e R$ 50,00 por aula em certo período.
O plano B cobra R$ 180,00 de inscrição e R$ 40,00 por aula no mesmo período.
O gasto total de cada plano é dado em função do nœmero x de aulas.
 a ) Escreva a f—rmula da função correspondente a cada plano considerando x um nœmero natural. 
 b ) Determine em que condiç›es:
¥ o plano A é mais econ™mico; • o plano B é mais econ™mico; • os dois planos são equivalentes. 
 24. Um rapaz desafiou seu pai para uma corrida de 100 m. O pai permitiu que o filho 
começasse a corrida 30 m ˆ sua frente. Um gráfico simplificado do desenvolvi-
mento dessa corrida é dado ao lado.
 a ) Pelo gráfico, como é possível dizer quem ganhou a corrida e qual foi a dife-
rença de tempo? 
O pai ganhou a corrida, pois ele chegou aos 100 m em 14 s e o filho chegou em 17 s;
a diferença de tempo foi de 3 s.
 b ) A que dist‰ncia do início o pai alcançou seu filho? 
Cerca de 70 m.
 c ) Em que momento depois do início da corrida ocorreu a ultrapassagem? 
Ap—s 10 s.
A: y 5 50x 1 100; B: y 5 40x 1 180
Para x , 8 Para x . 8
40x 1 180 , 50x 1 100 ⇒ x . 8; 
Para x 5 8
50x 1 100 5 40x 1 100 ⇒ x 5 8. 50x 1 100 , 40x 1 180 ⇒ x , 8; 
0
60
20
80
40
100
5 10 15
Tempo (s)
Dist‰ncia (m)
Desenvolvimento da corrida entre 
pai e filho
Fun•‹o e Geometria26
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 25. Observe a sequ•ncia abaixo e depois determine o que se pede.
 a ) A f—rmula que indica o nœmero P de palitos em fun•‹o do nœmero x de quadrados formados, com x pertencente ao conjunto 
dos nœmeros naturais diferentes de zero. 
Aten•‹o: neste caso, x pertence ao conjunto dos nœmeros naturais. P 5 3x 1 1
 b ) Quantos palitos s‹o necess‡rios para formar 9 quadrados? 
28 palitos (3 ? 9 1 1).
 c ) Quantos quadrados s‹o formados com 16 palitos? 
5 quadrados (16 5 3x 1 1 ⇒ 3x 5 15 ⇒ x 5 5).
 d ) A f—rmula que indica x em fun•‹o de P. 
 
x 5
1
3
2P
 ou x 5 1
3
1
3
2P
4 Fun•‹o afim
Defini•‹o de fun•‹o afim
Um vendedor recebe mensalmente um sal‡rio composto de duas partes: uma 
parte fixa no valor de R$ 1 600,00 e uma parte vari‡vel, que corresponde a uma co-
miss‹o de 5% (0,05) sobre o total de vendas que ele faz durante o m•s.
Nessas condi•›es, podemos dizer que:
sal‡rio mensal 5 1 600 1 0,05 ? (total de vendas do m•s)
Assim, o sal‡rio mensal(s) desse vendedor Ž dado em fun•‹o do total de vendas 
(x) que ele faz durante o m•s, ou seja:
s(x) 5 1 600 1 0,05x ou s(x) 5 0,05x 1 1 600 ou y 5 0,05x 1 1 600
Esse Ž um exemplo cuja equa•‹o d‡ ideia de fun•‹o afim.
Fun•‹o afim Ž toda fun•‹o de R em R cuja lei de forma•‹o pode ser indicada por 
y 5 ax 1 b, com a e b reais.
Exemplos de equa•›es de fun•‹o afim:
 a ) y 5 2x 1 6 (a 5 21 e b 5 6) c ) y 5 )(2 17
2
7
1
7
; 2
7
e 1
7
x y x a b2 5 2 5 52
 b ) y 5 4x (a 5 4 e b 5 0) d ) y 5 22 (a 5 0 e b 5 22)
N‹o s‹o equa•›es de fun•›es afins:
¥ y 5 x
2 1 5, pois aparece um termo de 2o grau (termo com x2);
¥ y 5
1
3
,
x
 pois aparece a vari‡vel no denominador;
¥ y 5 2
x, pois aparece a vari‡vel no expoente.
A fun•‹o y 5 ax 1 b com a 5 0, mais 
conhecida como fun•‹o constante, est‡ 
sendo considerada um caso particular
de fun•‹o afim. Seu estudo mais detalhado 
ser‡ feito no Ensino MŽdio.
Atendimento em loja.
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1 quadrado
4 palitos
2 quadrados
7 palitos
3 quadrados
10 palitos
Il
u
s
tr
a
•
›
e
s
: 
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Fun•‹o e Geometria 27
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Exercícios 
 26. Quais igualdades indicam exemplos de equa•›es de fun•‹o afim?
 a ) X y 5 23x 1 5 c ) X y 5 x e ) y 5 x3 g ) X y 5 3 
 b ) y 5 9x2 1 4 d ) X y 5 7(x 2 2) f ) X y 5 x
3
 h ) X y 5
2 15
3
x2
 
 27. A produ•‹o de pe•as em uma indœstria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo vari‡vel de R$ 0,50 por unidade produzida. 
Considerando x o nœmero de unidades produzidas (neste caso, x Ž um nœmero natural):
 a ) registre a lei da fun•‹o que fornece o custo total y de x pe•as; 
y 5 8 1 0,50x
 b ) verifique se a lei dessa fun•‹o corresponde ˆ de uma fun•‹o afim; 
 c ) calcule o custo de 100 pe•as; 
 d ) determine o pre•o de venda das 100 pe•as se a empresa vende cada pe•a com um lucro de 40%; 
 e ) determine o nœmero m‡ximo de pe•as que podem ser fabricadas com R$ 95,20. 
 28. Em um reservat—rio com capacidade de 800 litros, havia 300 litros de ‡gua quando foi aberta uma torneira que despeja dentro 
dele 25 litros de ‡gua por minuto. A quantidade de ‡gua (y) no reservat—rio Ž dada em fun•‹o do nœmero (x) de minutos em que 
a torneira fica aberta. Considere x variando de 0 a 20 minutos.
 a ) Escreva a lei da fun•‹o que relaciona essas duas grandezas. 
y 5 25x 1 300
 b ) Quantos litros de ‡gua haver‡ no reservat—rio 5 minutos depois de a torneira ter sido aberta? 
(a 5 23; b 5 5) (a 5 1; b 5 0) (y 5 0x 1 3; a 5 0; b 5 3)
y 5 7x 2 14 (a 5 7; b 5 214)
1
3
; 05 5a b( ) 23 5;
2
3
; 55 2 5 52y x a b( )
Sim (y 5 0,5x 1 8; a 5 0,5 e b 5 8)
R$ 58,00 (8 1 0,5 ? 100)
R$ 81,20 (1,40 ? 58)
174 pe•as (8 1 0,50x < 95,20 ⇒ 0,5x < 87,20 ⇒ x < 174,4)
425 litros (para x 5 5, temos: y 5 25 ? 5 1 300 5 125 1 300 5 425)
 Para construir:
 Exerc’cios 26 a 28 (abaixo)
Fun•‹o e Geometria28
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_001_039.indd 28 1/20/16 11:27 AM
Gr‡fico de uma fun•‹o afim
Na página 21, voc• estudou a construção do gráfico da função dada por y 5 2x 1 1, 
para todo x real. Agora voc• sabe que esse gráfico corresponde ao de uma função afim. 
Veja mais dois exemplos de gráfico de função afim.
1
1
3
2122
21
23
26
6
2
x
y
y 5 3x
2
1
3
a) y 5 23x 1 4
x y
0 4
1 1
2 22
21 7
3 25
a 5 23 (negativo)
Ë medida que x cresce, 
y decresce, ou seja, Ž uma 
função decrescente.
1
0
1
21
22
25
7
2 3 x
y
y 5 23x 1 4
b) y 5 3x
x y
0 0
1 3
21 23
2 6
22 26
1
3
1
2
1
3 21
2
3
2
a 5 3 (positivo)
Ë medida que x 
cresce, y tambŽm 
cresce, ou seja, Ž 
uma função crescente.
Os matemáticos já provaram que:
O gr‡fico de uma fun•‹o afim Ž sempre uma reta n‹o perpendicular ao eixo x.
Como dois pontos determinam uma reta, basta encontrar apenas dois de seus 
pontos para tra•‡ -la.
Veja um exemplo:
Função afim: y 5 5x 2 6
x y
1 21
2 4
Observe que:
• o gráfico (a reta) ÒcortaÓ o eixo x no ponto 1 15
, 0 ,( ) pois, para:
y 5 0 → 5x 2 6 5 0 ⇒ x 5 6
5
1 1
5
5
• o gráfico ÒcortaÓ o eixo y no ponto (0, 26), pois, para:
x 5 0 → y 5 5 ? 0 2 6 5 0 2 6 5 26
1
1
4
21
24
2
x
y
y 5 5x 2 6
Fun•‹o e Geometria 29
M
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M
ç
T
IC
A
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ångulo de declive da reta de uma fun•‹o afim
O ‰ngulo correspondente a um giro no sentido anti -hor‡rio, partindo do eixo x 
atŽ a reta que corresponde ao gr‡fico de uma função afim, Ž chamado de ‰ngulo de 
declive da reta.
Nas figuras abaixo, esse ‰ngulo est‡ indicado por a. 
x
y
α
x
y
α
Quando a Ž positivo em y 5 ax 1 b, a Ž um ‰ngulo agudo e a função afim Ž crescente.
Quando a Ž negativo, a Ž um ‰ngulo obtuso e a função afim Ž decrescente.
Quando a 5 0, temos y 5 b, 
número real, e a reta que 
representa o gráfico da 
função, neste caso, é uma 
reta paralela ao eixo x que 
passa pelo ponto (0, b).
x
y
b
y 5 ax 1 b, a 5 0
Exerc’cios 
 29. Determine, para cada item, dois pares ordenados da função definida para x real, marque -os em um sistema de eixos cartesianos, 
trace a reta correspondente e, depois, determine os pontos nos quais a reta corta os eixos x e y. 
 a ) y 5 2x 1 3 b ) y 5
2 1
2
x2A reta cruza o eixo x no ponto (3, 0) e o eixo 
y, no ponto (0, 3).
A reta cruza o eixo x no ponto (0,5; 0) e o 
eixo y, no ponto (0; 20,5).
A equação do item b equivale a y 5 x 1
2
2 . O aluno pode tambŽm dar as respostas com os valores na forma de fração.
 Para construir:
 Exercícios 29 a 31 (p. 30 e 31)
Fun•‹o e Geometria30
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 30. Construa no quadriculado os gr‡ficos das fun•›es determinadas por:
 a ) y 5 x 1 2 b ) y 5 22x 
1
0
1
2
3
4
2
y 5 x 1 2
22 21
x
y
1
0
2
4
2
y 5 22x
22 21
x
y
22
24
 31. Para cada item, registre se o ‰ngulo de declividade da reta (gr‡fico da fun•‹o afim) Ž agudo ou obtuso.
 a ) y 5 2x 1 3 
 b ) y 5 23x 1 4 
 c ) y 5 2x 2 8 
 d ) y 5 x 2 6 
a Ž agudo (2 . 0).
a Ž obtuso (23 , 0).
a Ž obtuso (21 , 0).
a Ž agudo (1 . 0).
Um caso particular de fun•‹o afim: 
a fun•‹o linear
Uma fun•‹o, definida em R e com valores em R, com lei de forma•‹o do tipo 
y 5 ax, com a real e a Þ 0, Ž chamada de fun•‹o linear.
A fun•‹o linear Ž um caso particular da fun•‹o afim, pois y 5 ax equivale a
y 5 ax 1 b, com a ? 0 e b 5 0.
Veja, por exemplo, que y 5 3x indica uma fun•‹o afim que Ž fun•‹o linear. J‡ 
y 5 2x 1 5 indica uma fun•‹o afim, mas que n‹o Ž fun•‹o linear.
Função e Geometria 31
M
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Exerc’cios 
 32. Qual das igualdades indicam função linear, com x [ R?
 a ) X y 5 24x
 b ) y 5 x 2 4
 c ) X y 5 x3
5
 d ) y 5 x3
 e ) X y 5 2x
 f ) y 5 x2 1 3x 2 1
 g ) X y 5 3 ? x
 h ) X y 5 x3
 i ) X y 5 x
9
 33. Escreva a fórmula matemática que expresse a lei de cada função. Em cada uma, escreva se é ou não do tipo que define função 
afim e, nestas, identifique as que definem função linear.
 a ) Uma empresa que conserta refrigeradores cobra uma taxa fixa de R$ 50,00 de visita mais R$ 20,00 por hora de mão de obra. 
O preço y que se deve cobrar pelo conserto é dado em função do número x de horas de trabalho (mão de obra). 
 b ) A soma (S) das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo é dada em função do número de lados (n) desse 
polígono. 
 c ) Um triângulo tem base fixa de 6 cm e altura variável de x cm. A área y cm2 é dada em função de x. 
x
6 cm
 d ) A fórmula C 5 2pr permite -nos calcular o comprimento C de uma circunferência em função da medida r do raio. A medida r 
pode ser dada em função de C. 
r
 e ) Seu Bartolomeu produz bolos de festa a um custo de R$ 12,00 e vende -os a R$ 20,00 (cada bolo). O lucro L de seu Barto-
lomeu é dado em função do número x de bolos produzidos e vendidos. 
 f ) O volume V de um cubo é dado em função da medida x de sua aresta.
y 5 20x1 50; função afim, mas não indica função linear.
S 5 (n 2 2) ? 180° (S 5 180° ? n 2 360°); função afim, mas não indica função linear.
y 5 3x
6
2
5y
x( ) função afim e função linear.
r 5 
2
1
2
;
p
5
p
C
r C( ) função afim e função linear.
L 5 8x; função afim e função linear.
V 5 x3; não indica função afim.
No exercício 33 é analisado apenas o tipo da equação. Os possíveis valores de x estão em subconjuntos de R.
 Para construir:
 Exercícios 32 e 33 (abaixo)
Função e Geometria32
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Gr‡fico de uma fun•‹o linear
J‡ estudamos que toda fun•‹o afim, quando x assume qualquer valor real, possui 
como gr‡fico uma reta. Como a fun•‹o linear é um caso particular de fun•‹o afim, seu 
gr‡fico também é uma reta, mas com uma caracter’stica pr—pria: o ponto onde a reta 
corta os eixos.
Observe os exemplos de gr‡ficos de duas fun•›es lineares:
a) y 5 2x
x y
1 2
21 22
x
y y 5 2x
b) y 5 23x
x y
0 0
1 23
x
y
y 5 23x
O gr‡fico de uma fun•‹o linear dada por y 5 ax, com a Þ 0, Ž uma reta que passa 
pela origem (0, 0).
Fun•‹o identidade
A fun•‹o linear que faz corresponder a cada x (real) um y tal que y 5 x é chamada 
de fun•‹o identidade.
Pela fun•‹o identidade, cada nœmero real corresponde a ele pr—prio.
O gr‡fico da fun•‹o 
identidade Ž a bissetriz dos 
quadrantes ’mpares: 
1o e 3o.
C
a
s
a
 d
e
 T
ip
o
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
x
y
y 5 x
1o quadrante
2o quadrante
3o quadrante
4o quadrante
Fun•‹o e Geometria 33
M
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A
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Exerc’cios 
 34. Construa no quadriculado o gr‡fico de cada fun•‹o linear definida abaixo.
 a ) y 5 22x b ) y 5
2
x
 c ) y 5 x
 35. Atividade em dupla
Em y 5 ax 1 b, determinem os valores de a e b para o caso da fun•‹o identidade. 
Agora, analisem os gr‡ficos de fun•‹o linear constru’dos, construam mais alguns e 
justifiquem o fato de todas as retas correspondentes ˆs fun•›es lineares passarem pelo 
ponto (0, 0). 
Como a lei da fun•‹o identidade Ž y 5 x, ela pode ser escrita na forma y 5 ax 1 b com a 5 1 e b 5 0. Por isso,
ela Ž uma fun•‹o afim.
 36. Considere as tr•s fun•›es dadas pelas equa•›es, com x e y reais, e registre o que se pede.
¥ f1: dada por y 5 2x 1 1 ¥ f2: y 5 x
2 1 1 ¥ f3: y 5 2x
 a ) uma fun•‹o que n‹o Ž fun•‹o afim; 
f
2
 b ) uma fun•‹o afim que n‹o Ž fun•‹o linear; 
f
1
 c ) uma fun•‹o afim que Ž fun•‹o linear. 
f
3
 37. Determine a lei da fun•‹o linear cuja reta passa pelo ponto (4, 8). 
Porque em y 5 ax, para x 5 0, sempre temos y 5 a ? 0 5 0.
y 5 2x 8 4
8
4
2; da’: 25 5 5 5 5y ax a a y x( )⇒ ⇒
 Para construir:
 Exerc’cios 34 a 41 (p. 34 e 35)
A fun•‹o identidade 
y 5 x Ž um caso particular 
de fun•‹o afim. Convide um 
colega e justifique com ele 
essa afirma•‹o.
1
0
22
x
y
y 5 22x
20
1
x
y
x
2
y5
210
1
2
x
y y5x
Função e Geometria34
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 38. Identifique as funções definidas em R e com valores em R cujos gráficos são retas que passam pela origem:
 a ) X y 5 3x
 b ) y 5 2x 1 5
 c ) X y 5 8x
 d ) y 5 1
2
x 1 3
 e ) y 5 3
 f ) X y 5 2 2 ? x
 39. Escreva a fórmula correspondente a cada item e indique qual delas tem a característica de uma função linear (y 5 ax, com a Þ 0).
 a ) Comprimento da circunferência (y) em função da medida do raio (x).
 b ) Área do círculo (y) em função da medida do lado. 
y 5 px2; não: x está elevado ao quadrado.
 c ) Perímetro (y) de um triângulo equilátero em função da medida de um lado (x). 
y 5 3x; sim.
 d ) Medida do lado (y) de um hexágono regular inscrito em uma circunferência em função da medida do raio (x) dessa circunfe-
rência. 
 e ) Perímetro (y) de um retângulo de comprimento medindo 5 e largura medindo x. 
y 5 2x 1 10; não.
 40. Responda às questões abaixo sem construir gráficos. Considere x e y reais.
 a ) O ponto (5, 3) pertence ou não à reta correspondente à função afim de equação y 5 2x 2 5? 
Não (2 ? 5 2 5 5 10 2 5 5 5 Þ 3)
 b ) Se (22, m) pertence à reta de y 5 23x 1 4, qual é o valor de m? 
m 5 10 (23 ? (22) 1 4 5 10)
 c ) Em que ponto a reta da função y 5
2 1
3
x 2
 corta o eixo y? 
 d ) Qual é o ponto de encontro das retas correspondentes às funções dadas por y 5 2x 2 4 e y 5 3x? 
 e ) Em que ponto a reta da função afim y 5 23x 1 2 corta o eixo x? 
 f ) Qual é o valor de x para o qual a função afim dada por y 5 26x 1 4 se anula? 
 41. Determine a lei da função afim cuja reta corta os eixos x e y nos pontos (23, 0) e (0, 4).
y 5 2px; sim: y 5 2p
a
EF
 ? x
y 5 x; sim: y 5 1 ? x
a
0, 1
3
2 0 1
3
1
3
2
? 2
52( ) ( )
(24, 212) 
2 4
3
4 e 12
5 2
5
52 52
y x
y x
x y{( )⇒
2
3
, 0 3 2 0 2
3
2 1 5 5x x( ) ( )⇒
É o número 
2
3
 6 4 0
2
3
2 1 5 5x x( )⇒
y 5 4
3
41x
y 5 ax 1 b
3 0
0 4
4 e 4
3
4
3
4
2 1 5
1 5
5 5 5 1
a b
a b
b a y x




⇒ →
Lei da função: y 5 
4
3
x 1 4
Fun•‹o e Geometria 35
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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Função linear e proporcionalidade
Exerc’cio 
 42. Considere esta situa•‹o:
Um autom—vel faz um percurso com velocidade mŽdia de 80 km/h.
 a ) Escreva a f—rmula que indica o nœmero y de quil™metros percorridos em rela•‹o ao nœmero x de horas. 
y 5 80x
 b ) Construa uma tabela relacionando x e y para os seguintes valores: x 5 3; x 5 1
2
; x 5 3,5; x 5 0,25; x 5 2 1
2
.
 c ) Fa•a um gr‡fico para x real e x > 0.
Rela•‹o entre x (horas) e y (quil™metros)
x 3
1
2
3,5 0,25 2
1
2
y 240 40 280 20 200
120
1
x
0
1,5 2 2 3 3,5
160
80
40
20
0,25
240
y
280
200
21 1
2
1
2
Rela•‹o entre dist‰ncia e tempo
y 5 80x
Essa situa•‹o mostra -nos um exemplo de fun•‹o na qual os valores de x (tempo) 
e os correspondentes de y (dist‰ncia) s‹o diretamente proporcionais.
Isso quer dizer que, em uma velocidade 
constante, se eu dobro ou triplico o tempo 
de percurso, a distância percorrida também 
dobra ou triplica.
As funções do tipo y 5 ax, com a ? 0, x e y 
reais, apresentam proporcionalidade direta 
entre os valores de x e y, como no exercício 
acima, em que temos y 5 80x.
Essas funções recebem o nome de 
funções lineares, pois, considerando 
qualquer valor real para x, seus gráficos 
são retas que passam pela origem.
Entendi.
Se, em 1 h, a distância percorrida é de 80 km, 
em 2 h (dobro de 1 h), será de 160 km 
(dobro de 80 km) e assim por diante.
Por exemplo, o gr‡fico de y 5 80x, dando a x qualquer valor real n‹o negativo, 
pois indica o tempo em horas.
1
y 5 80x
80
240
3
x
y
Gráfico de y 5 80x
 Para construir:
 Exerc’cio 42 (abaixo)
Função e Geometria36
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_001_039.indd 36 1/20/16 11:27 AM
Exerc’cios 
 43. Em uma loja, certo tipo de tecido est‡ sendo vendido a R$ 8,00 o metro.
 a ) Escreva a equa•‹o que indica o pre•o y a pagar na compra de x metros de tecido, ou seja, y em fun•‹o de x, sendo x e y reais 
com x > 0.
y 5 8x
 b ) Construa uma tabela relacionando x e y para x 5 5; x 5 1
2
; x 5 3,5; x 5 1,25.
 c ) Fa•a o gr‡fico correspondente para x real e x > 0.
 44. Considere tr•s regi›es retangulares nas quais a base, constante, mede 
3 cm, e as alturas t•m, respectivamente, 1 cm, 2 cm e 3 cm.
 
1
3
‡rea 3 cm2
2
3
‡rea 6 cm2
3
3
‡rea 9 cm2
Construa um gr‡fico relacionando a ‡rea de uma regi‹o retangular de base 3 cm em fun•‹o da medida da altura e responda:
 a ) Trata -se de fun•‹o linear? Por qu•? 
Sim, porque a f—rmula A 5 3h (considerando h a altura da regi‹o retangular) Ž do tipo y 5 ax, com a ? 0 ou porque o gr‡fico, considerando x real
qualquer, seria uma reta que passa pela origem e Ž obl’qua ao eixo x.
 Para construir:
 Exerc’cios 43 a 47 (p. 37 a 39)
0
8
1
x
y
10
3
6
9
2 3
Altura (cm)
Área (cm2)
Relaç‹o entre a ‡rea de uma regi‹o retangular 
de base 3 cm em funç‹o da medida da altura
Chame a aten•‹o dos alunos 
para o fato de que eles podem 
ligar os pontos do gr‡ficoporque a altura pode ter como 
medida qualquer nœmero real 
positivo e que por isso o 
gr‡fico Ž uma semirreta.
x 5
1
2
3,5 1,25
y 40 4 28 10
Fun•‹o e Geometria 37
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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 b ) As grandezas medida da altura e área são diretamente proporcionais quando a base é constante? 
Sim, pois dobrando a medida da altura de 1 para 2, a área dobra de 3 para 6. Triplicando a medida da altura de 1 para 3, a área triplica de 3 para 9,
e assim por diante.
 45. (Unicamp-SP) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que 
depende da dist‰ncia percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quil™metro rodado custa R$ 0,86, calcule:
 a ) o preço de uma corrida de 11 km; 
 b ) a dist‰ncia percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida. 
 46. Observe o gráfico de uma função e responda ˆs quest›es propostas.
 a ) Essa função é linear? 
Sim.
 b ) Qual é o valor de m? 
 c ) Qual é o valor de n? 
 d ) Qual é a equação que define y em função de x? 
 e ) Qual desses pontos pertence ˆ reta dessa função: (21, 14) ou (14, 21)? 
 f ) Complete os pares ordenados para que seus pontos pertençam ˆ reta dessa função:
 (24, 26 ) (18, 27 ) (12 , 18) (28 , 212)
R$ 12,90 (3,44 1 11 ? 0,86)
21 km (21,50 5 3,44 1 0,86x ⇒ x 5 21)
n 0
26
m
6
104
x
y
m
m⇒
4
6
10 155 5
4
6 6
45
2
5 2
n
n⇒
x
y
y x y x y x⇒ ⇒ ⇒
4
6
4 6 6
4
3
2
5 5 5 5
(14, 21), pois 21 5
3
2
? 14.
Função e Geometria38
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_001_039.indd 38 1/20/16 11:27 AM
 47. Existe uma correspondência entre o volume de um recipiente (em metros cúbicos) e sua capacidade (em litros).
Complete a tabela com valores correspondentes.
Volume 
(m3)
5 3,8 0,5 7,2 20
Capacidade 
(L)
5 000 3 800 500 7 200 20 000
 a ) Escreva a lei que indica o valor da medida da capacidade C (em litros) em função do volume V (em metros cúbicos).
C 5 1 000V
 b ) Escreva V (em metros cúbicos) em função de C (em litros).
 c ) Os valores de V e C são proporcionais?
Sim (diretamente proporcionais).
 d ) Mostre com um exemplo que dobrando o valor de C o valor de V também dobra.
Correspond•ncia entre o volume e a capacidade de um recipiente
V 5 1 000
C
Resposta pessoal. 
Exemplo: Para C 5 5 000 L temos V 5 5 m3. 
Para C 5 10 000 L (dobro de 5 000 L) temos V 5 10 m3 (dobro de 5 m3).
Estudo do sinal da função afim
Um comerciante gastou R$ 300,00 na compra de um lote de maçãs. Como cada 
maçã será vendida a R$ 2,00 ele deseja saber quantas maçãs devem ser vendidas para 
que haja lucro final na venda.
Observe que o resultado final (receita menos despesa) é dado em função do 
número x de maçãs vendidas, e a lei da função é f(x) 5 2x 2 300.
¥ Vendendo 150 maçãs não haverá lucro nem prejuízo.
Para x 5 150, temos f(x) 5 0.
¥ Vendendo mais de 150 maçãs haverá lucro.
Para x . 150, temos f(x) . 0.
¥ Vendendo menos de 150 maçãs haverá prejuízo.
Para x , 0, temos f(x) , 0.
Em situações como essa, dizemos que foi feito o estudo do sinal da função, que con-
siste em determinar os valores de x do domínio para os quais f(x) 5 0, f(x) . 0 e f(x) , 0.
Zero da função afim
O valor de x para o qual a função f(x) 5 ax 1 b, a ? 0, se anula, ou seja, para o qual 
f(x) 5 0, denomina-se zero da função afim.
Para determinar o zero de uma função afim, basta resolver a equação ax 1 b 5 0.
f(x) 5 0 ⇒ ax 1 b 5 0 ⇒ ax 5 2b ⇒ x b
a
52
Exemplos:
 a ) O zero da função f(x) 5 2x 1 5 é 2 5
2
. 
b ) O zero de f(x) 5 2x 2 4 é 2.
c ) O zero da função y 5 x 2 8 é 8.
Fun•‹o e Geometria 39
M
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Interpretação geométrica
Geometricamente, o zero da função afim f(x) 5 ax 1 b, a ? 0 Ž a abscissa do 
ponto de intersec•‹o do gr‡fico da fun•‹o com o eixo x.
Por exemplo, dada a fun•‹o afim definida por f(x) 5 2x 2 5, temos:
2x 2 5 5 0 ⇒ 2x 5 5 ⇒ 5
2
x 5 (zero da fun•‹o)
x y
1 23
3 1
Logo, a reta dessa fun•‹o intercepta o eixo x no ponto 5
2
, 0 .( )
Para 5
2
x . , f(x) Ž positiva. Para 5
2
x , , f(x) Ž negativa.
O coeficiente b em y 5 ax 1 b
Consideremos a fun•‹o afim y 5 ax 1 b. Para x 5 0, temos y 5 b, ou seja, b Ž o 
valor da fun•‹o quando x 5 0.
Assim, o gr‡fico da fun•‹o y 5 ax 1 b contŽm o ponto de coordenadas (0, b). Ou 
seja, o gr‡fico de y 5 ax 1 b intersecta o eixo do y no ponto de ordenada b.
b
(0, b)
0
x
y
Portanto, na fun•‹o afim y 5 ax 1 b, temos:
¥ b Ž o valor da fun•‹o para x 5 0;
¥ o gr‡fico, que Ž uma reta, intersecta o eixo y no 
ponto de coordenadas (0, b).
Estudo do sinal da função 
pela análise do gráfico
Vejamos agora como fazer o estudo do sinal da fun•‹o analisando o gr‡fico.
¥ a . 0 (fun•‹o crescente)
(r, 0)
imagens
positivas
imagens
negativas
0
x
y Dispositivo pr‡tico:
r
1
2 x
x 5 r → f(x) 5 0
x . r → f(x) . 0
x , r → f(x) , 0
0
1
21
22
23
1
x
y
2 3
f(x) 5 2x 2 5
5
2
, 0
Função e Geometria40
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 40 1/20/16 11:39 AM
• a , 0 (função decrescente)
(r, 0)
imagens
positivas
imagens
negativas
0
x
y
Dispositivo prático:
r
1
2 x
x 5 r → f(x) 5 0
x . r → f(x) , 0
x , r → f(x) . 0
Exemplos:
 a ) Dada a função f: R → R tal que f(x) 5 24x 1 1:
 • cálculo do zero dessa função e significado geométrico:
24x 1 1 5 0 ⇒ 24x 5 21 ⇒ 4x 5 1 ⇒ 1
4
x5 (raiz de f)
Se 1
4
 é o zero de f, então o gráfico de f intersecta o eixo x em 1
4
, 0 .( ) 
 • construção do gráfico de f:
x y
0 1
1 23
 • estudo do sinal da função f:
f(x) 5 24x 1 1
a 5 24 , 0 (função decrescente)
x 5 1
4
 → f(x) 5 0
x . 1
4
 → f(x) , 0
x , 1
4
 → f(x) . 0
 b ) Vamos estudar o sinal da função f(x) 5 3x 2 1.
 Zero da função: 3x 2 1 5 0 ⇒ 3x 5 1 ⇒ 1
3
x5
 a 5 3 . 0 → f(x) é crescente
 f(x) 5 0 para 1
3
x5
 f(x) . 0 para 1
3
x.
 f(x) , 0 para 1
3
x,
 c ) Vamos calcular para quais valores de x a expressão 4 2 19x é positiva.
 219x 1 4 5 0 ⇒ 219x 5 24 ⇒ 4
19
x5 (zero da função)
 a 5 219 , 0 (função decrescente)
 4 2 19x . 0 quando 4
19
x, 
0
1
21
22
23
1 x
y
x
1
21
4
x
1
2 1
3
x
1
24
19
valores procurados
Fun•‹o e Geometria 41
M
A
T
E
M
Á
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IC
A
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Exerc’cios 
 48. Sem construir gr‡ficos, descubra os pontos em que as retas, gr‡ficos das funç›es abaixo, cortam os eixos x e y:
 a ) f(x) 5 x 2 5 b ) f(x) 5 2x 1 4 c ) f(x) 5 1 1 4x d ) ( ) 2 1
3
f x x5 2
 49. Estude a variação do sinal das seguintes funç›es afins:
 a ) f(x) 5 x 1 4 b ) f(x) 5 22x 1 1 c ) ( ) 1 1
2
f x x52 1 d ) f(x) 5 2 2 6x
 50. Para quais valores reais de x a função:
 a ) f(x) 5 1 2 x Ž positiva?
Para x , 1.
 b ) f(x) 5 3x 1 12 Ž negativa?
Para x , 24.
 51. Determine os valores reais de x para que as funç›es f(x) 5 22x 1 8 e g(x) 5 3x 2 6 sejam simultaneamente negativas.
 52. Qual Ž o zero da função afim cujo gr‡fico, que Ž uma reta, passa pelos pontos (2, 5) e (21, 6)?
 Para construir:
 Exerc’cios 48 a 52 (abaixo)
Eixo x: (5, 0); eixo y: (0, 25). Eixo x: (4, 0); eixo y: (0, 4). Eixo x: 2 1
4
,0 ;




 eixo y: (0, 1). Eixo x: (6, 0); eixo y: (0, 2).
f(x) 5 0 para x 5 24;
f(x) . 0 para x . 24;
f(x) , 0 para x , 24.
f(x) 5 0 para x 5 1
2
;
f(x) . 0 para x , 1
2
;
f(x) , 0 para x . 1
2
.
f(x) 5 0 para x 5 2;
f(x) . 0 para x . 2;
f(x) , 0 para x , 2.
f(x) 5 0 para x 5 1
3
;
f(x) . 0 para x , 1
3
;
f(x) , 0 para x . 1
3
.
Não existe valor real de x.
x 5 17
3
Fun•‹o e Geometria42
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 42 1/20/16 11:39 AM
Resolução de inequações do 1o grau
Anteriormente, estudamos como resolver inequações do 1o grau. Vamos rever 
esse conteúdo com alguns exemplos e exercícios.
Exemplos:
1o) 2x 2 5 . 0, em R
2 5 5
2
⇒x x. .
 S 5 {x [ R | 52 }x.
 Podemos também resolver essa inequação por meio do estudo do sinal da fun-
ção afim.
123
2 5 0
( )
x
f x
2 . , em R 2x 2 5 5 0 ⇒ 2x5 5 ⇒ 5
2
(zero)x5
x
1
2 5
2
5
2
x . → f(x) . 0 S x xR{ }| 525 .[
2o) Observe a seguinte inequação também resolvida de dois modos:
• 3 2 2x > x 2 12, em R
22x 2 x > 212 2 3 ⇒ 23x > 215 ⇒ 3x < 15 ⇒ x 15
3
< ⇒ x < 5
S 5 {x [ R | x < 5}
ou
• 3 2 2x > x 2 12 ⇒ 22x 2 x 1 3 1 12 > 0 ⇒ 1 24 343 15 0
( )
x
f x
2 1 >
23x 1 15 5 0 ⇒ 23x 5 215 ⇒ 3x 5 15 ⇒ x 5 5 (zero)
x
1
25
x < 5 → f(x) > 0
S 5 {x [ R | x < 5}
Exercício 
 53. Resolva em R as seguintes inequações usando o processo que julgar mais conveniente:
 a ) 3x 2 4 > 0
 b ) 8 2 2x , 0
 c ) 3 2 4x . x 2 7
d ) x
x
4
3( 1)
10
12
2
<
 Para construir:
 Exercício 53 (abaixo)
|
4
3
ù[ { }S x x5
S 5 {x [ R | x . 4}
S 5 {x [ R | x , 2}
S 5 {x [ R | x > 214}
Função e Geometria 43
M
A
T
E
M
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5 Função quadrática
Os diretores de um centro esportivo desejam cercar com tela o espa•o em volta 
de uma quadra de basquete retangular. Tendo recebido 200 metros de tela, os direto-
res desejam saber quais devem ser as dimens›es do terreno a cercar com tela para 
que a ‡rea seja a maior poss’vel.
Podemos ilustrar o problema com o ret‰ngulo ABCD, com dimens›es x por 100 2 x, 
pois o per’metro Ž de 200 m.
Observe que a ‡rea do terreno a cercar Ž dada em fun•‹o da medida x, ou seja:
f(x) 5 (100 2 x)x 5 100x 2 x2 ou f(x) 5 2x2 1 100x → lei da fun•‹o
Este Ž um caso particular de função quadrática.
Definição de função quadrática
Função quadrática Ž toda fun•‹o de R em R cuja lei de forma•‹o pode ser indica-
da por y 5 ax2 1 bx 1 c, com a, b e c reais e a Þ 0.
Exemplos de equa•›es de fun•›es quadr‡ticas com x e y reais:
 a ) y 5 3x2 2 2x 1 5 (a 5 3, b 5 22 e c 5 5)
 b ) y 5 2x2 1 5x 1 6 (a 5 21, b 5 5 e c 5 6)
 c ) y 5 2x2 1 9 (a 5 21, b 5 0 e c 5 9)
 d ) y 5 26x2 (a 5 26, b 5 0 e c 5 0)
 e ) y 5 24x2 2 3x (a 5 24, b 5 23 e c 5 0)
 f ) y 5 x2 (a 5 1, b 5 0 e c 5 0)
Não s‹o equa•›es de fun•›es quadr‡ticas:
¥ y 5 2x, pois n‹o aparece um termo de 2o grau (termo com x2);
¥ y 5
1
3
,
2x
 pois aparece a vari‡vel no denominador;
¥ y 5 2x, pois aparece a vari‡vel no expoente;
¥ y 5 x3 1 2x2 1 x 1 1, pois aparece termo com grau maior do que 2 (3o grau).
Realidade.
A 100 2 x
100 2 x
xx
B
D C
Modelo matemático.
L
.W
a
tc
h
a
ra
p
o
l/
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/
G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Exerc’cios 
 54. Quais senten•as abaixo indicam fun•›es quadr‡ticas que associam a cada x [ R um œnico y [ R (para x e y nœmeros reais)?
 a ) X y 5 x2 2 6x 1 10
 b ) X y 5 4x2
 c ) y 5 5x 2 7
 d ) X y 5 x(3x 2 2) 
 e ) y 5 x3 1 4x2 2 x
 f ) X y 5 (5x 2 6)(x 1 4) 
 g ) X y 5 5 2 x2 
 h ) X y 5
4
2x x1
2 1 
 i ) X y 5 9(x2 2 5x) 1 x 2 3 (y 5 3x2 2 2x)
(y 5 5x2 1 14x 2 24)
(y 5 2x2 1 5)
y 5
1
4
x2 1
1
4
x 2 1
(y 5 9x2 2 44x 2 3)
 Para construir:
 Exerc’cios 54 e 55 (p. 44 e 45)
Função e Geometria44
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 44 1/20/16 11:39 AM
Valor de uma fun•‹o quadr‡tica 
em um ponto
Dada a função quadrática y 5 ax2 1 bx 1 c, dois problemas são importantes:
¥ conhecido um valor de x, determinar o valor de y;
¥ conhecido um valor de y, determinar o valor de x.
Acompanhe os exemplos que mostram como podemos resolver esses problemas.
 a ) Considere a função quadrática dada por y 5 x2 2 5x 1 6.
¥ Vamos calcular o valor de y para x 5 2.
Para achar y quando x 5 2, substituímos o valor de x por 2 na lei da função e 
efetuamos os cálculos:
y 5 22 2 5 ? 2 1 6 5 4 2 10 1 6 5 0
Ent‹o, para x 5 2, 
temos y 5 0.
 55. O número de diagonais (d) de um polígono convexo é dado em função do número de lados (n) desse polígono para d e n núme-
ros naturais com n > 3.
 a ) Qual é a equação matemática que indica essa relação? 
 b ) Essa equação indica função quadrática para x e y reais? Justifique. 
 c ) Calcule o número de diagonais em um decágono convexo. 
 d ) Calcule o número de lados de um polígono convexo que tem 77 diagonais. 
d 5
( 3)
2
2n n
Sim, pois d 5
( 3)
2
2n n
 corresponde a d 5 1
2
3
2
2
2n n 
1
2
, 3
2
e 0 .5 52 5a b c( )
35 diagonais 
10 7
2
?



14 lados.
( 3)
2
77 3 154 0 14 e 11 (não serve)2
n n
n n n n
2
5 2 2 5 9 5 0 52⇒ ⇒




Função e Geometria 45
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 45 1/20/16 11:39 AM
¥ Dado y 5 0, vamos calcular o valor de x correspondente.
Neste caso, substitu’mos o valor de y por zero na lei da fun•‹o:
0 5 x2 2 5x 1 6 ou x2 2 5x 1 6 5 0
Note que obtivemos uma equa•‹o do 2o grau, que voc• j‡ estudou. Resolvendo 
essa equa•‹o, encontramos os valores de x procurados: x9 5 3 e x0 5 2.
 
Entendi! 
Para y 5 0, temos x 5 3 
ou x 5 2.
 b ) Dada a fun•‹o quadr‡tica y 5 x2 2 7x 1 12, vamos determinar:
¥ y para x 5
1
2
;
y 5 1
2
2
( ) 2 7 ? 12 1 12 5
1
4
7
2
2 1 12 5 0,25 2 3,5 1 12 5 8,75
¥ x para y 5 2, se existir.
x2 2 7x 1 12 5 2 ⇒ x2 2 7x 1 10 5 0 ⇒ x9 5 5 e x0 5 2
Existem dois valores para x: 5 e 2.
Zeros de uma fun•‹o quadr‡tica
Damos o nome de zeros de uma fun•‹o dada por y 5 ax2 1 bx 1 c (a ? 0) 
os valores reais de x que anulam y, quando existirem.
Exemplo:
Vamos calcular os zeros da fun•‹o quadr‡tica cuja lei Ž dada por y 5 x2 2 9x 1 20.
Fazemos y 5 0, ou seja, x2 2 9x 1 20 5 0 e determinamos os valores reais de x 
que satisfazem a equa•‹o do 2o grau obtida.
D 5 b2 2 4ac 5 (29)2 2 4 ? 1 ? 20 5 81 2 80 5 1
x 5 
5
( 9) 1
2 1
9 1
2 4
± ±
x
x
9 5
2 2
?
5
0 5
Observa•›es:
1a) O nœmero D 5 b2 2 4ac Ž o discriminante da equa•‹o y 5 ax2 1 bx 1 c.
2a) A quantidade de zeros de uma fun•‹o quadr‡tica pode ser encontrada pelo estudo 
do sinal do discriminante da equa•‹o do 2o grau associada.
¥ Quando D . 0, a fun•‹o y 5 ax
2 1 bx 1 c tem dois zeros diferentes;
¥ Quando D 5 0, a fun•‹o y 5 ax
2 1 bx 1 c tem um œnico zero (ou um zero duplo);
¥ Quando D , 0, a fun•‹o y 5 ax
2 1 bx 1 c n‹o tem zeros.
Logo, 
os zeros da funç‹o quadr‡tica 
y 5 x2 2 9x 1 20 
s‹o 5 e 4.
Função e Geometria46
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 46 1/20/16 11:40 AM
Exerc’cios 
 56. Na fun•‹o quadr‡tica definida pela lei y 5 3x2 2 4x 1 1, determine:
 a ) os coeficientes a, b e c; 
 b ) y para x 5 0, x 5 1, x 5 21 e x 5 1
3
; 
 c ) x para y 5 0, se existir; 
 d ) x para y 5 1, se existir. 
 57. Considere a fun•‹o definida pela lei y 5 x2 2 6x 1 9, sendo x e y reais.
 a ) Essa fun•‹o Ž quadr‡tica? 
Sim.
 b ) Determine os coeficientes a, b e c para essa fun•‹o. 
 c ) Determine o valor de y para x 5 0 e x 5 20,5. 
 d ) Encontre os valores correspondentes de x para y 5 0, se existirem. 
 58. Determine os zeros de cada uma das fun•›es quadr‡ticas definidas por:
 a ) y 5 x2 2 6x 1 8 
 b ) y 5 x2 2 5
6
1
6
x 1 
 c ) y 5 2x2 1 6x 2 9 
 d ) y 5 3x2 1 2x 1 1 
 Para construir:
 Exerc’cios 56 a 58 (abaixo)
a 5 3, b 5 24 e c 5 1
y 5 1 para x 5 0; y 5 0 para x 5 1; 
y 5 8 para x 5 21; y 5 0 para x 5 1
3
.
x 5 1 ou x 5 1
3
x 5 0 ou x 5 4
3
a 5 1, b 5 26 e c 5 9
y 5 9 para x 5 0 e y 5 12,25 para x 5 20,5
Existe apenas um valor para x, ou seja, para y 5 0, temos x 5 3.
2 e 4
6 8 0
36 32 4
6 2
2
4 e 2
2x x
x x x
±
⇒
2 1 5
D 5 2 5
5 9 5 0 5
Os zeros da fun•‹o s‹o 2 e 4.
1
2
 e 
1
3
x x x x
x x
⇒ ⇒
⇒
5
6
1
6
0 6 5 1 0
1
2
e 1
3
2 22 1 5 2 1 5
9 5 0 5
Os zeros da fun•‹o s‹o 
1
2
e 1
3
.
3
x x x x
x x
⇒ ⇒
⇒ ⇒
6 9 0 6 9 0
( 3) 0 3
2 2
2
2 1 2 5 2 1 5
2 5 5
O œnico zero da fun•‹o Ž o 3.
N‹o h‡ zeros.
x x3 2 1 0
4 12 8 0
2 1 1 5
D 5 2 5 2 ,
N‹o h‡ zeros nesta fun•‹o.
Função e Geometria 47
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E
M
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IC
A
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Gráfico de uma 
função quadrática
Vamos esboçar o gráfico da função quadrática definida por y 5 x2 2 2x 2 3 com x 
real. Atribuímos alguns valores reais para x e calculamos os respectivos valores reais 
para y.
Como os matemáticos já provaram que o gráfico de uma função quadrática é 
uma parábola, marcamos os pontos obtidos até que possamosesboçar o desenho 
de uma parábola passando por eles.
x 4 3 2 1 0 21 22
y 5 0 23 24 23 0 5
0
x
y
eixo de simetria
V(1, 24) vértice da parábola
2
2
5 5 5
2b
2a
2(22)
2 ? 1
1
Se você traçar vários gráficos de funções quadráticas, poderá observar as se-
guintes características:
1a) A parábola é uma figura que apresenta simetria.
2a) No gráfico da função quadrática, o eixo de simetria da parábola é sempre perpen-
dicular ao eixo x.
3a) O encontro da parábola com seu eixo de simetria é o vértice da parábola.
4a) Se (x
V 
, y
V
) é o vértice da parábola correspondente a y 5 ax2 1 bx 1 c, então 
x
V
 5
2
.b
a
2
Os matemáticos já provaram que o 
gráfico de uma função quadrática, ou seja, 
com y igual a um polinômio do 2o grau da 
forma ax2 1 bx 1 c, com a ? 0, x e y reais, 
é sempre uma curva chamada parábola.
K
e
n
n
y
 T
o
n
g
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Monumento em forma de par‡bola. Erguido 
em homenagem ˆ expans‹o para o Oeste, 
alcan•a 192 metros de altura. Um elevador 
em cada ÒpernaÓ leva o visitante ao topo. 
Gateway Arch, na cidade de Saint Louis, 
Estados Unidos. Foto de 2012.
Estimule os alunos a traçar vários gráficos de funções quadráticas em papel quadriculado e 
a observar essas caraterísticas – que também podem ser demonstradas por meio de 
softwares matemáticos, como o Geogebra.
Fun•‹o e Geometria48
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 48 1/20/16 11:40 AM
Outros exemplos de gráficos de função quadrática:
0
x
y
0
x
y
y 5 2x2
2
0
4
0b
a
2
5
2
5
y 5 2x2 1 4x
2
4
2
2b
a
2
5
2
2
5
x y
2 8
1 2
0 0
–1 2
–2 8
↓
x y
0 0
1 3
2 4
3 3
4 0
↓
Observe nesses gráficos as características citadas na página anterior.
 Voc• sabia?
ƒ da palavra par‡bola que vem
o nome antena parab—lica.
Essa curva aparece quando fazemos, 
de determinada maneira, a secção de 
um cone por um plano.
V
ic
h
v
ie
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Antena parab—lica.Cone sendo seccionado.
Exerc’cios 
 59. Construa no quadriculado os gráficos das funções quadráticas correspondentes às leis dadas. Em cada uma, descubra os pares 
necessários até identificar a parábola. (Dica: comece descobrindo o vértice (x
V
, y
V
), calculando x
V
 5
2
b
a
2 , e depois use para x dois 
valores maiores do que x
V
 e dois menores.)
 a ) y 5 22x2 2 4x 1 1 b ) y 5 2x2 1 1
2
0
4
02 5 5b
a
x y
2 9
1 3
0 1
21 3
22 9
 Para construir:
 Exercícios 59 a 61 (p. 49 a 51)
y
x
3
2
1
1
0
2 3
21
212223
22
23
24
25
2
4
4
12 5
2
52
b
a
x y
1 25
0 1
21 3
22 1
23 25
1
3
0
2122
9
2
x
y
Fun•‹o e Geometria 49
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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 c ) y 5 2x2 1 2x d ) y 5 2x2
 60. Considere a fun•‹o definida por y 5 3x2 2 2x 2 1 para x e y com valores reais. Responda:
 a ) Essa fun•‹o Ž afim ou quadr‡tica? 
Quadr‡tica.
 b ) Como Ž seu gr‡fico? 
Uma par‡bola.
 c ) Ele corta o eixo x? Em que pontos? 
Sim, em (1, 0) e 1
3
, 02( ).
3x2 2 2x 2 1 5 0 ⇒ x9 5 1 e x0 5 
1
3
2 Logo, o gr‡fico corta o eixo x nos pontos (1, 0) e 




1
3
, 0 .2
 d ) Ele corta o eixo y? Em que pontos? 
 e ) O ponto (21, 4) pertence ao gr‡fico? 
3 ? (21)2 2 2 ? (21) 2 1 5 3 1 2 2 1 5 4 Portanto, o ponto (21, 4) pertence ao gr‡fico.
 f ) Qual Ž o vŽrtice da par‡bola? 
Sim, no ponto (0, 21).
Sim.
2
2
2
1b
a
2
5
2
2
5
x y
3 23
2 0
1 1
0 0
21 23
y
x
1
1
0
2 3
21
23
2
0
2
0b
a
2
5
2
5
x y
2 24
1 21
0 0
21 21
22 24
y
x
10 2
24
21
2122
x
v
 5 
b
a2
2
6
1
3
2
5 5
y
v
 5 3 ? 



1
3
2
 2 2 ? 
1
3
 2 1 5 
1
3
 2 
2
3
 2 
3
3
 5 2
4
3
Função e Geometria50
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 50 1/20/16 11:40 AM
 61. Considere a fun•‹o dada pela f—rmula y 5 x2 2 6x 1 5, para x e y reais. Fa•a o que se pede.
 a ) Complete esta tabela.
 
y 5 x2 2 6x 1 5
x y
 21 12
0 5
1 0
2 23
3 24
4 23
5 0
6 5
7 12
 b ) Construa o gr‡fico dessa fun•‹o.
 c ) Qual Ž o eixo de simetria desse gr‡fico? 
Reta vertical paralela ao eixo y, passando por x 5 3.
 d ) Para qual valor de x o valor de y Ž m’nimo (o menor poss’vel)? 
 e ) Quais s‹o os zeros da fun•‹o y 5 x2 2 6x 1 5? 
0
y 5 x2 2 6x 1 5
5
23
21
21
24
12
2 5
x
y
6 73 41
22
x 5 3 (do par ordenado (3, 24))
1 e 5
Função e Geometria 51
M
A
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M
ç
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A
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Gráfico da função quadrática e os coeficientes a, b, c
Coeficiente a
É o responsável pela concavidade e abertura da parábola.
• Se a . 0, a concavidade é para cima: 
• Se a , 0, a concavidade é para baixo: 
Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da pará-
bola (parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade.
y
x
y 5 5x2
0
y 5 2x2
y 5 x2
y 5 x2
1
10
y 5 x2
1
2
a � 0 y
x
y 5 25x2
0
y 5 22x2
y 5 2x2
y 5 2 x2
1
10
y 5 2 x2
1
2
a � 0
Coeficiente b
Indica se a parábola cruza o eixo y no ramo crescente ou decrescente da parábola, 
no sentido da esquerda para a direita.
• Se b . 0, a parábola cruza o eixo y no ramo crescente.
x
y
 
x
y
• Se b , 0, a parábola cruza o eixo y no ramo decrescente.
x
y
 
x
y
• Se b 5 0, a parábola cruza o eixo y no vértice.
y
x
 
y
x
Coeficiente c
Indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y.
A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).
y
x
c
Função e Geometria52
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 52 1/20/16 11:40 AM
A par‡bola e suas intersec•›es com os eixos
Nos gráficos seguintes estão indicados os pontos de intersecção da parábola com 
os eixos. Veja como são determinados algebricamente esses pontos de intersecção a 
partir da lei da função quadrática.
Exemplos:
 c ) y 5 x2 1 2x 1 3
• Intersecção com o eixo y:
x 5 0 → y 5 02 1 2 ? 0 1 3 5 3
A parábola intersecta o eixo y em (0, 3).
• Intersecção com o eixo x:
y 5 0 → x2 1 2x 1 3 5 0
D 5 4 2 12 5 28 ou D , 0 (a equação não tem raízes reais)
A parábola não intersecta o eixo x.
A função y 5 x2 1 2x 1 3 não admite zeros.
x
y
(0, 3)
 a ) y 5 x2 2 2x 1 1
x
y
(0, 1)
(1, 0)
• Intersecção com o eixo y:
x 5 0 → y 5 02 2 2 ? 0 1 1 5 1
A parábola intersecta o eixo y em (0, 1).
• Intersecção com o eixo x:
y 5 0 → x2 2 2x 1 1 5 0
D 5 4 2 4 5 0 ⇒ D 5 0 (a equação admite uma 
raiz real dupla)
x 5
2 0
2
±
5 1
A parábola intersecta o eixo x em um só ponto: 
(1, 0). Isso significa que a função definida por
y 5 x2 2 2x 1 1 possui um zero duplo: 1.
 b ) y 5 24x2 1 1
x
y
(0, 1)
2
1
2
, 0( )
( )2
1 , 0
• Intersecção com o eixo y:
x 5 0 → y 5 24 ? 02 1 1 5 1
A parábola intersecta o eixo y em (0, 1).
• Intersecção com o eixo x:
y 5 0 → 24x2 1 1 5 0 ⇒ 24x2 5 21 ⇒ 4x2 5 1 ⇒
⇒ x2 5 1
4
⇒ x 5 ± 1
2
 (a equação admite duas 
raí zes reais distintas)
Observe que, neste caso, D 5 0 1 16 5 16, ou seja, 
D . 0.
A parábola intersecta o eixo x em dois pontos: 
1
2
, 0)( e 12 , 0 .)(2
Isso significa que os zeros da função
y 5 24x2 1 1 são 2 1
2
 e 1
2
.
Fun•‹o e Geometria 53
M
A
T
E
M
ç
T
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A
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 53 1/20/16 11:40 AM
Quadro -resumo
¥ A parábola da função quadrática y 5 ax
2 1 bx 1 c intersecta o eixo y sempre 
no ponto (0, c), pois para x 5 0 temos:
y 5 a ? 02 1 b ? 0 1 c 5 c
¥ Essa parábola pode intersectar o eixo x em um ou dois pontos ou pode não 
intersectar o eixo x, dependendo do valor de D 5 b2 2 4ac da equação 
correspondente. Veja:
y 5 0 → ax2 1 bx 1 c 5 0
D 5 0 → uma raiz real dupla (a parábola intersecta o eixo x em um s— ponto).
D . 0 → duas ra’zes reais distintas (a parábola intersecta o eixo x em dois pontos).
D , 0 → nenhuma raiz real (a parábola não intersecta o eixo x).
Graficamente, temos:
x
D , 0
D 5 0
D . 0
y a � 0
 
D , 0
D 5 0
D . 0
y
x
a � 0
Vértice da parábola, valor máximo ou valor mínimo 
da função quadrática
A determinação do vŽrtice da parábola ajudana construção do gráfico e dá o 
valor máximo ou valor mínimo de uma função quadrática.
O vértice de uma parábola dada por y 5 ax2 1 bx 1 c (a ? 0) Ž determinado por:
2
,
4 )(V
b
a a
2 2
D
Exemplos:
 a ) Vamos determinar o vŽrtice da parábola y 5 2x2 2 8x e o valor máximo ou valor 
m’nimo da função.
Como V
2
,
4
,)( ba a2 2
D vamos calcular o valor de D para essa função:
D 5 b2 2 4ac 5 (28)2 2 4 ? 2 ? 0 5 64
Então:
V 2
2
2
( 8)
4
, 64
8( ) ⇒ V(2, 28)
 A função quadrática y 5 2x2 2 8x assume valor m’nimo 28, quando x 5 2. Todos 
os outros valores de y nessa função são maiores do que 28.
10
26
28
2 3 4
x
y
(2, 28)
Função e Geometria54
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 54 1/20/16 11:40 AM
 b ) Vamos agora determinar o vértice da parábola y 5 24x2 1 4x 1 5 e o valor máximo 
ou valor mínimo da função.
D 5 b2 2 4ac 5 42 2 4 ? (24) ? 5 5 16 1 80 5 96
x
V
 5
2
4
8
1
2
b
a
2 5 2
2
5
y
v
 5
4
96
16a
2
D
5 2
2
5 6
Assim, temos V 1
2
, 6 .( )
A função y 5 24x2 1 4x 1 5 tem valor máximo 6 quando x 5 1
2
. 
Todos os outros valores de y nessa função são menores do que 6.
1021
23
6
5
2
x
y
1
2
1
2
, 6( )
Exerc’cios 
 62. Sem fazer o gráfico, registre se a parábola cruza o eixo x em um único ponto, em dois pontos ou se não cruza o eixo x.
 a ) y 5 22x2 1 8x 2 8
D 5 82 2 4 ? (22) ? (28) 5 0. A parábola cruza o eixo x em um único ponto.
 b ) y 5 2x2 2 1
D 5 02 2 4 ? 2 ? (21) 5 8 . 0. A parábola cruza o eixo x em dois pontos.
 c ) y 5 x2 1 1 
D 5 02 2 4 ? 1 ? 1 5 24 , 0. A parábola não cruza o eixo x.
 d ) y 5 23x2 1 5x 
D 5 52 2 4 ? (23) ? 0 5 25 . 0. A parábola cruza o eixo x em dois pontos.
¥ Agora verifique para cada função se ela tem valor máximo ou valor mínimo. O que você deve analisar para fazer essa verifica-
ção, sem construir o gráfico? 
Valor máximo: a, d; valor mínimo: b, c; deve-se analisar o coeficiente a (valor máximo para a , 0 e valor mínimo para a . 0).
 63. A área de uma região em forma de trapézio é dada por A 5
( )
2
B b h1
 em que B é a medida da base maior, b é a medida da base 
menor e h é a altura.
No trapézio abaixo, a área pode ser dada em função da base menor por uma lei do tipo A 5 ax2 1 bx 1 c, com a, b e c números 
reais e a ? 0. Determine a lei dessa função. 
x
x 1 2
6
A 5 1
2
x
2
1 4x 1 6
 Para construir:
 Exercícios 62 a 66 (p. 55 e 56)
A
x x x x
x x
( 6)( 2)
2
8 12
2
2
4 6
2
2
5
1 1
5
1 1
5
5 1 1
Lei da função: A 5 1
2
x2 1 4x 1 6
Fun•‹o e Geometria 55
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A
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 64. Determine o vŽrtice da par‡bola, bem como o valor m‡ximo ou valor m’nimo de cada fun•‹o dada abaixo.
 a ) y 5 x2 1 4x 2 2 
 b ) y 5 x2 2 6x 1 9
 c ) y 5 2x2 1 4x 2 4
 d ) y 5 2x2 2 6x 2 8
 65. Algumas vezes, a trajet—ria da bola em um chute pode descrever uma 
par‡bola. Supondo que a altura h (em metros) em que a bola se encontra, 
t segundos ap—s o chute, seja dada pela f—rmula h 5 2t2 1 6t, responda:
 a ) Como Ž o gr‡fico dessa fun•‹o? Desenhe -o no quadriculado. 
 b ) Qual Ž o eixo de simetria do gr‡fico? 
Reta vertical paralela ao eixo h, passando por t 5 3.
 c ) Em que instante a bola atinge a altura m‡xima? 
Aos 3 segundos.
 d ) Qual Ž a altura m‡xima atingida pela bola? 
9 metros.
 e ) Qual Ž o par ordenado que representa o ponto de altura m‡xima dessa trajet—ria? 
(3, 9).
 66. Sabendo que a ‡rea assume o valor m‡ximo no vŽrtice da par‡bola, retome e resolva a situa•‹o do in’cio da p‡gina 44.
VŽrtice: (22, 26);
Valor m’nimo: 26.
VŽrtice: (3, 0);
Valor m’nimo: 0.
VŽrtice: (2, 0);
Valor m‡ximo: 0.
VŽrtice: (23, 1);
Valor m‡ximo: 1.
1
0
5
9
8
h (m)
t (s)
2 3 4 5 6
Uma par‡bola.
Uma regi‹o quadrada cujo lado mede 50 metros.
M
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Fun•‹o e Geometria56
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Estudo do sinal da fun•‹o quadr‡tica
Estudar o sinal da fun•‹o quadrática f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, a ? 0, significa deter-
minar os valores reais de x para os quais f(x) se anula (f(x) 5 0), f(x) é positiva (f(x) . 0) 
e f(x) é negativa (f(x) , 0).
O estudo do sinal da fun•‹o quadrática vai depender do discriminante D 5 b2 2 4ac, 
da equa•‹o do 2o grau correspondente ax2 1 bx 1 c 5 0, do coeficiente a e dos zeros da 
fun•‹o (se existirem).
Dependendo do discriminante, podem ocorrer tr•s casos e, em cada caso, de 
acordo com o coeficiente a, podem ocorrer duas situa•›es:
1o caso: D . 0
Neste caso:
¥ a fun•‹o admite dois zeros reais diferentes, xÕ e xÓ;
¥ a parábola que representa a fun•‹o intersecta o eixo x em dois pontos.
a . 0
x
f(x) . 0
xÕxÕÕ
f(x) , 0
f(x) . 0
f(x) 5 0 para x 5 xÓ ou x 5 xÕ
f(x) . 0 para x , xÓ ou x . xÕ
f(x) , 0 para xÓ , x , xÕ
a , 0
x
f(x) , 0
xÕxÕÕ
f(x) . 0
f(x) , 0
f(x) 5 0 para x 5 xÓ ou x 5 xÕ
f(x) . 0 para xÓ , x , xÕ
f(x) , 0 para x , xÓ ou x . xÕ
Dispositivo prático:
D . 0 e a . 0
x
11
2 xÕxÕÕ
D . 0 e a , 0
x
22
1
xÕxÕÕ
Assim, quando D . 0, f(x) tem o sinal oposto ao de a quando x está entre as ra’zes 
da equa•‹o, e tem o mesmo sinal de a quando x está fora do intervalo das ra’zes.
2o caso: D 5 0
Neste caso:
¥ a fun•‹o admite um zero real duplo xÕ 5 xÓ;
¥ a parábola que representa a fun•‹o tangencia o eixo x.
a . 0
x
f(x) . 0
xÕÕ 5 xÕ
f(x) . 0
f(x) 5 0 para x 5 xÕ 5 xÓ
f(x) . 0 para x ? xÕ
a , 0
x
f(x) , 0
xÕÕ 5 xÕ
f(x) , 0
f(x) 5 0 para x 5 xÕ 5 xÓ
f(x) , 0 para x ? xÕ
Função e Geometria 57
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Dispositivo pr‡tico:
D 5 0 e a . 0 D 5 0 e a , 0
x
1
xÕ 5 xÕÕ
1
x
2
xÕ 5 xÕÕ
2
Assim, quando D 5 0, f(x) tem o sinal de a para x diferente da raiz da equa•‹o.
3o caso: D , 0
Neste caso:
¥ a fun•‹o n‹o admite zeros reais;
¥ a par‡bola que representa a fun•‹o n‹o intersecta o eixo x.
a . 0 a , 0
x
f(x) . 0
xf(x) , 0
f(x) . 0 para todo x real f(x) , 0 para todo x real
Dispositivo pr‡tico:
D , 0 e a . 0 D , 0 e a , 0
x
1 1 1 1 11 1 1 1
x2 2 2 2 22 2 2 2
Assim, quando D , 0, f(x) tem o sinal de a para qualquer valor real de x.
Quadro -resumo
No estudo do sinal da fun•‹o quadr‡tica f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a Þ 0, 
devemos:
¥ observar o sinal de a e calcular o valor de D;
¥ determinar os zeros da fun•‹o, se houver;
¥ indicar os valores de x para os quais f(x) 5 0, f(x) . 0 e f(x) , 0.
Fun•‹o e Geometria58
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Exemplos:
 a ) Vamos estudar o sinal da fun•‹o f(x) 5 x2 2 7x 1 6.
 a 5 1 . 0
 D 5 (27)2 2 4 ? 1 ? 6 5 25 . 0
 zeros da fun•‹o: xÕ 5 6 e xÓ 5 1
 Ent‹o:
 f(x) 5 0 para x 5 1 ou x 5 6
 f(x) . 0 para x , 1 ou x . 6
 f(x) , 0 para 1 , x , 6
 Portanto, f(x) Ž positiva para x fora do intervalo [1, 6], Ž nula para x 5 1 ou x 5 6 e 
negativa para x entre 1 e 6.
 b ) Vamos estudar o sinal da fun•‹o f(x) 5 9x2 1 6x 1 1.
 a 5 9 . 0
 D 5 62 2 4 ? 9 ? 1 5 0
 zero da fun•‹o: 1
3
x 5 2
 Logo,
 f(x) 5 0 para 1
3
x 5 2
 f(x) . 0 para todo 1
3
x ± 2
 Ou seja, f(x) Ž positiva para todo 1
3
x ± 2 e se anula em 1
3
.x 5 2
 c ) Vamos estudar o sinal da fun•‹o f(x) 5 22x2 1 3x 2 4.
 a 5 22 , 0
 D 5 32 2 4 ? (22) ? (24) 5 223 , 0
 A fun•‹o n‹o tem zeros reais.
x2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2
 Logo, f(x) , 0 para todo x real, ou seja, f(x) Ž sempre negativa.
x
11
2
61
x
11
1
3
2
Exercícios 
 67. Estude o sinal das seguintes fun•›es quadr‡ticas:
 a ) f(x) 5 x2 2 3x 2 4 b ) f(x) 5 23x2 1 2x 1 1
f(x) 5 0 para x 5 21 ou x 5 4; 
f(x) . 0 para x , 21 ou x . 4;
f(x) , 0 para 21 , x , 4.
f(x) 5 0 para 1
3
5 2x ou x 5 1;
f(x) . 0 para 1
3
2 , x , 1;
f(x) , 0 para 1
3
, 2x ou x . 1.
 Para construir:
 Exerc’cios 67 e 68 (p. 59 e 60)
Função e Geometria 59
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Inequações do 2o grau
Desigualdades como estas:
¥ x
2 2 5x 1 6 . 0
¥ 23x
2 1 2x 21 , 0
¥ 3x
2 , 0
¥ 3x
2 2 4 > x 1 3
¥ x
2 2 4 < 0
¥ 22x
2 1 5x > 0
¥ x
2 1 7x 1 10 . 0
¥ (x 2 3)(x 1 3) , 0
denominam-se inequações do 2o grau.
Vejamos como encontrar a solução de inequações do 2o grau usando o estudo 
do sinal da função quadrática.
Exemplos:
 a ) Vamos resolver a inequação x2 2 3x 1 2 , 0.
 Resolver essa inequação significa determinar os valores reais de x para os quais a 
função f(x) 5 x2 2 3x 1 2 assume valores negativos.
 a 5 1 . 0; a . 0
 D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? 2 5 9 2 8 5 1 . 0; D . 0
 As raízes da equação x2 2 3x 1 2 5 0 são x’ 5 1 e x” 5 2.
 Como devemos ter f(x) , 0, então S 5 { x [ R | 1 , x , 2} 
é a solução da inequação.
 b ) Vamos resolver a inequação 2x2 1 9 > 0 em R.
 a 5 21 , 0; a , 0
 D 5 02 2 4 ? (21) ? 9 5 36 . 0; D . 0
 As raízes da equação x2 2 9 5 0 são x’ 5 23 e x” 5 3.
 Como devemos ter f(x) > 0, então S 5 {x [ R | 23 < x < 3} 
é a solução da inequação.
 c ) Vamos resolver a inequação 2x2 2 2x 1 5 . 0 em R.
 a 5 2 . 0; a . 0
 D 5 (22)2 2 4 ? 2 ? 5 5 4 240 5 236 , 0; D , 0
 A equação 2x2 2 2x 1 5 5 0 não tem raízes reais.
 Como devemos ter f(x) . 0, então S 5 R.
68. Para quais valores reais de x a função f(x) 5 x2 1 7x 1 10 é positiva? x , 25 ou x . 22
 Para aprimorar:
 Conexões (p. 65 e 66)
 Para praticar:
 Tratamento da informação (p. 67 e 68)
 Outros contextos (p. 69 a 73)
 Praticando um pouco mais (p. 74 e 75)
 Revisão cumulativa (p. 76 e 77)
Dispositivo prático:
x
1 1 1 1 1 11 1
Dispositivo prático:
x
11
2 21
Dispositivo prático:
x
1
22
323
Função e Geometria60
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Exercícios 
 69. Resolva as seguintes inequações do 2o grau em R:
 a ) 3x2 2 10x 1 7 , 0
 b ) 22x2 2 x 1 1 < 0
 c ) x2 2 5x 1 10 , 0
 d ) 24x2 1 9 > 0
 Para construir:
 Exercícios 69 e 70 (p. 61 e 62)
S 5 {x [ R ∣ 1 , 73,x }
S x x xR{ }1 ou 125 < 2 >[
S 5 [
3
2
3
2
S x xR[5 2 < <{ }
Fun•‹o e Geometria 61
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 70. Resolva as seguintes inequa•›es do 2o grau em R:
 a ) 2x2 1 6x 2 9 . 0 b ) (x 2 1)2 > 3 2 xS 5 [ S 5 { x [ R | x < 21 ou x > 2}
A Ponte JK
Em 2002, foi inaugurada em Bras’lia (Distrito Federal) a ponte Juscelino Kubitschek, tambŽm conhecida como 
Ponte JK. Essa ponte lembra partes de tr•s par‡bolas.
Vista da ponte Juscelino Kubitschek, Bras’lia (DF), 2013.
Por dentro da ponte
Conhe•a as curiosidades da Ponte JK:
� A ponte tem 1 200 metros de comprimento e 24 metros de largura, com seis pistas.
� Toda a ponte Ž sustentada por doze pilares submersos.
� Tr•s arcos met‡licos est‹o apoiados em quatro pilares de concreto, com estacas de atŽ 50 metros sob a ‡gua.
� Os arcos sustentam um tabuleiro de 720 metros.
� O tabuleiro fica a 18 metros do n’vel da ‡gua, suspenso por cabos presos aos arcos.
� S‹o 48 cabos, 16 em cada arco.
� Cada arco forma um v‹o de 240 metros. O topo do arco fica a 44,7 metros de altura da pista e a 62,7 metros do 
espelho -dÕ‡gua.
� Ao longo da ponte est‹o distribu’dos 203 postes de ilumina•‹o.
� A Ponte JK consumiu duas vezes mais a•o que a Torre Eiffel, de Paris.
� Para montar cada arco de 800 toneladas, foi constru’da uma estrutura de 450 toneladas de a•o.
� A obra foi realizada em 910 dias e empregou 1 300 pessoas. AlŽm de profissionais brasileiros, participaram con-
sultores italianos, dinamarqueses e alem‹es.
� A obra custou R$ 160 milh›es, com custo de 2 035 euros/m2, abaixo da mŽdia mundial: 3 500 euros/m2.
� Cerca de 30 mil ve’culos transitam pela ponte diariamente.
� A velocidade mŽdia na ponte Ž de aproximadamente 70 km/h em dias sem tr‰nsito.
Leitura
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d
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 C
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b
a
 Para aprimorar:
 Leitura (abaixo)
Fun•‹o e Geometria62
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Responda:
 a ) O que corresponde ao vértice da parábola? 
 b ) Qual é a área total das seis pistas da ponte? 
 c ) Quantos ve’culos transitam pela ponte em um ano? 
 d ) E se a ponte tivesse de ser conclu’da em 2 anos (730 dias), quantas pessoas aproximadamente seriam necessárias trabalhando 
no mesmo ritmo? 
 e ) Quanto tempo um carro demora para atravessar a ponte em um dia sem tr‰nsito? 
 f ) Supondo que, na época da construção, o euro equivalia a R$ 3,30, quantos metros quadrados teve a obra? 
O topo do arco.
28 800 m2 (1 200 ? 24).
Aproximadamente 10 950 000 ve’culos (365 ? 30 000).
910 1 300
730 x
Grandezas inversamente proporcionais 
x
x⇒
730
910
1 300 1 6215 .
Aproximadamente 1 621 pessoas.
70 km 60 min
1,2 km x
Grandezas diretamente proporcionais
x
x⇒
70
1,2
60 15 .
Aproximadamente 1 minuto.
Aproximadamente 23 825 m2 (3,30 ? 2 035 5 6 715,50; 160 000 000 ; 6 715,50 . 23 825).
Gradua•‹o do term™metro
Entre as escalas usadas para a graduação de um term™metro, as mais utilizadas são: a escala 
Fahrenheit, adotada principalmente nos países de língua inglesa (Estados Unidos, Inglaterra etc.), e a 
escala Celsius, no restante do mundo.
Para graduar um term™metro na escala Celsius, escolhem-se duas temperaturas determinadas: 
a da fusão do gelo, ˆ qual se atribui o valor 0, e a da ebulição da água, ˆ qual se atribui o valor 100. 
Dividindo-se o intervalo entre os dois pontos fixos (0 e 100) em 100 partes iguais, obtém-se o ter-
m™metro graduado na escala Celsius, que é uma escala centesimal.
Na escala Fahrenheit, divide-se o intervalo entre os pontos fixos em 180 partes iguais. Atribui-se 0 
ao nível inferior o valor 32 e ao superior, o valor 212; então, o 0 dessa escala está 32 graus Fahrenheit 
abaixo da temperatura de fusão do gelo.
Observando a figura ao lado, pode-se estabelecer entre as duas escalas a seguinte relação:
⇒
100
32
180 5
32
9
5
2
5
2C F C F ⇒ 5F 2 160 5 9C ⇒ 5F 5 9C 1 160 ⇒ F 5 9
5
C 1 32
Observa-se então que a transformação entre as escalas Fahrenheit (F) e Celsius (C) é um im-
portante exemplo de função afim, em que F e C t•m como valores máximos e mínimos os nœmeros 
citados no texto.
F 5 9
5
C 1 32 ⇒ y 5 
9
5
x 1 32
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G
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O maior term™metro 
do mundo, em Baker, 
Estados Unidos. 
Foto de 2014.
32 
122 
212 
0
50
100
¼C
Celsius Fahrenheit
¼F
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Leitura
 Para aprimorar:
 Leitura (abaixo)
Fun•‹o e Geometria 63
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Exerc’cios 
 71. O preço do aluguel de um carro Ž dado pelo quadro abaixo mais uma taxa extra.
AtŽ 100 km taxa fixa de R$ 50,00
Entre 100 km e 300 km taxa fixa de R$ 63,00
De 300 km a 500 km taxa fixa de R$ 75,00
Mais de 500 km taxa fixa de R$ 80,00
A taxa extra em todos os casos Ž R$ 0,37 por quil™metro rodado. Escreva a lei da função para cada caso, chamando de x o 
nœmero de quil™metros rodados. 
 72. Projeto em equipe: fun•›es no cotidiano
¥ Procurem informaç›es sobre preços de alimentos e verifiquem, por meio de uma tabela, qual Ž a variação entre as grandezas 
quantidade consumida e preço a pagar. Procurem os casos em que h‡ função linear.
¥ Pesquisem o preço de uma corrida de t‡xi em seu munic’pio. Quanto se paga pela bandeirada e pelo quil™metro rodado? Em 
seguida, escrevam a lei dessa função e façam a tabela e o gr‡fico correspondentes.
¥ Tirem fotografias de situaç›es em que fica aparente a variação entre consumo e preço a pagar, como bomba de gasolina, ta-
x’metro etc.
Para x < 100, temos: y 5 50 1 0,37x; para 100 , x , 300, temos: y 5 63 1 0,37x;
para 300 < x < 500, temos: y 5 75 1 0,37x; para x . 500, temos: y 5 80 1 0,37x.
Racioc’nio l—gico
Os 12 palitos determinam uma região plana com ‡rea de 9 unidades. Mude a posição de 4 palitos de modo que a ‡rea da 
região determinada seja de 7 unidades.
H‡ outras respostas poss’veis.
Unidade 
de ‡rea
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 Para construir:
 Exerc’cios 71 e 72 (abaixo)
 Para aprimorar:Racioc’nio l—gico (abaixo)
Fun•‹o e Geometria64
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Conex›es
Educa•‹o Ž a chave para prevenir
a gravidez na adolesc•ncia
A menina de 14 anos com a criança no colo caminha pela casa na tentativa de 
fazer a bebê de 6 meses parar de chorar. A manha de recém-nascida só para com 
o leite quente na mamadeira. Depois da comida vem a 
hora de trocar a fralda, colocar roupas limpas e retomar 
o fôlego, afinal, o ciclo começará novamente em poucas 
horas. Essa não é a rotina de uma irmã mais velha que 
toma conta da mais nova. É a vida da adolescente [...] 
que aos 13 anos ganhou uma responsabilidade a mais: 
a de ser mãe [...].
[...] todos os dias 20 mil meninas com menos de 18 anos 
transformam-se em mães, segundo uma estimativa 
da ONU (Organização das Nações Unidas). Destas, 200 
morrem em decorrência de complicações da gravidez 
e do parto. [...]
MAGRI, Keli. Not’cias do dia. Dispon’vel em: <http://ndonline.com.br/florianopolis/
noticias/118053-de-repente-maes-ou-adolescencia-interrompida.html>.
Acesso em: 13 maio 2015.
M‹e adolescente segurando seu beb•.
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 I
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g
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 Ci•ncias Humanas e suas Tecnologias
 Ci•ncias da Natureza e suas Tecnologias
 Linguagens, C—digos e suas Tecnologias
 Matem‡tica e suas Tecnologias
 1. Em sua opini‹o, quais s‹o os problemas que uma gravidez indesejada na adolesc•ncia pode trazer?
Espera-se que os alunos percebam que uma gravidez precoce pode causar problemas de saœde, financeiros, psicol—gicos, alŽm de mudar a rotina de estudos,
pela necessidade de trabalhar ou por falta de tempo. A gravidez na adolesc•ncia Ž considerada de alto risco.
 2. Voc• conhece alguŽm que teve filhos na adolesc•ncia? Se sim, como isso interferiu na vida dessa pessoa?
Resposta pessoal.
 3. Quais atitudes s‹o importantes para evitar uma gravidez indesejada e precoce? 
Resposta pessoal.
ƒ importante alertar os alunos sobre mŽtodos contraceptivos, alŽm de estimular atitudes como passar mais tempo estudando, lendo, praticando
atividades f’sicas etc.
Fun•‹o e Geometria 65
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Resposta pessoal. Oriente a turma a pesquisar dados sobre a gravidez na adolescência. A pesquisa pode ser feita por regiões ou por determinados municípios 
próximos a sua região. Outra possibilidade é a comparação de um ano com outro. Realizada a coleta de dados, auxilie os alunos na produção de um gráfico. 
Você pode propor à turma que se divida em dois grupos: um deles faz um gráfico de barras e o outro faz um gráfico de setores.
Governo cria regras para que saúde privada reduza cesarianas
Operadoras terão 180 dias para se adaptarem ˆs novas resoluç›es.
Medidas serão publicadas no Di‡rio Oficial [...].
O MinistŽrio da Saœde e a Ag•ncia Nacional de Saœde Suplementar (ANS) anunciaram nesta ter•a-feira (6), em Bras’lia, uma nova re-
solu•‹o que ir‡ pressionar as operadoras a fiscalizarem mais hospitais e mŽdicos para diminuir a quantidade de partos ces‡reos feitos por 
planos de saœde no Brasil.
O governo busca estimular o parto normal e reduzir as cesarianas, quando poss’vel, pois o ’ndice de nascimentos por meio ci-
rœrgico chega a 84,6% do total realizado via planos de saœde. O ’ndice Ž extremamente alto se comparado ao recomendado pela Orga-
niza•‹o Mundial da Saœde (OMS): 15%.
Outra medida Ž que as operadoras orientem os mŽdicos a utilizarem partogramas, espŽcie de documento com registros do tra-
balho de parto, com dados estabelecidos pela OMS.
AMARAL, Luciana. G1. 6 jan. 2015. Disponível em: <http://g1.globo.com/bemestar/noticia/201501/governo-anuncia-regras-para-diminuir-o-numero-de-
cesareas-feitas-no-pais.html>. Acesso em: 13 maio 2015.
 6. O partograma é um gráfico que demonstra a evolução do parto (dilatação dada em 
centímetros e tempo em horas).
 Observe o gráfico e responda às questões.
 a ) Com o passar do tempo a dilatação aumentou ou diminuiu?
Aumentou.
 b ) Depois de 5 horas de trabalho de parto, qual era a dilatação verificada?
4 centímetros.
 c ) Considerando que o bebê nasceu quando a dilatação da mãe chegou a 10 cm, 
quanto tempo durou esse parto?
9 horas.
 7. Pesquise sobre métodos contraceptivos e problemas causados por uma gravidez 
precoce. Depois, com seus colegas, faça uma campanha de prevenção à gravidez na 
adolescência.
Solicite à turma que se divida em grupos e realize uma pesquisa sobre os métodos contraceptivos e 
consequências de uma gravidez indesejada. Essa atividade pode ser proposta com a disciplina de 
Ciências. Os alunos poderão produzir cartazes para afixar no mural da escola.
1
1
0
0
2
3
4
5
D
ila
ta
•
‹
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 c
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rv
ic
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6
7
8
9
10
2 3 4 5
Hora
6 7 8 9 10
AtŽ 4-5 cm 2 do tempo
2
3
AtŽ dilata•‹o
completa 2 
do tempo
1
3
Curva de evolu•‹o da cŽrvico-dilata•‹o
(Schwarez et al. 1996)
MINISTÉRIO DA SAÚDE. Parto, aborto e puerpério - 
Assistência Humanizada à Mulher. Disponível em: <http://
bvsms.saude.gov.br/bvs/publicacoes/cd04_13.pdf>. 
Acesso em: 13 maio 2015.
 4. Pesquise dados sobre o índice de gravidez de adolescentes no Brasil no último ano. Organize os dados em uma tabela e faça um 
gráfico que demonstre o resultado da sua pesquisa. 
 5. Pesquise os cuidados que se deve ter durante uma gestação e os tipos de parto.
Espera-se que os alunos citem o pré-natal (acompanhamento médico) e a importância de ter hábitos saudáveis durante a gestação. Oriente-os na
pesquisa. Você poderá solicitar que formem duplas e expliquem por escrito as diferenças entre parto normal e cesáreo.
 
Fun•‹o e Geometria66
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 66 1/20/16 11:40 AM
Tratamento da informação
Interpretação de gráficos relacionados a funções
 73. O conhecimento sobre gráficos é muito impor-
tante na área de negócios e administração de 
empresas. Informações apresentadas na for-
ma de gráficos são úteis por permitirem uma 
assimilação clara e rápida, possibilitando ter 
uma visão panorâmica de diferentes dados 
estatísticos, como os resultados de uma pes-
quisa de satisfação de clientes, das principais 
preferências de marca com relação a determi-
nado produto no mercado, do acompanhamen-
to da produção e do lucro de uma empresa, 
entre outros tópicos.
Vejamos a seguir um tipo de situação que envol-
ve administração de empresas e interpretação 
de gráficos, relacionada ao assunto estudado 
neste capítulo.
Uma empresa do setor educacional completou 
seis anos de funcionamento e registrou, nesse 
período, crescimento no quadro de funcionários, 
conforme mostra o gráfico:
1o
0
150
200
50
100
250
300
350
2o 3o 4o 5o 6o 7o
Anos de funcionamento
Nœmero de funcionários
Utilizando esses dados, faça o que se pede.
 a ) Em que ano de funcionamento é possível identificar exatamente o número de funcionários por meio desse gráfico?
No 4o ano de funcionamento (há uma intersecção entre as linhas e é possível verificar, pelo gráfico, que havia 250 funcionários nesse ano).
Crescimento do quadro de funcionários da empresa
D
m
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ri
y
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s
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v
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
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Detalhe de pessoas analisando gráficos.
67Números naturais e geometria
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 b ) Construa uma tabela que relacione o ano de funcionamento com o número de funcionários e registre os valores exatos ou 
aproximados encontrados nesse gráfico.
 c ) O dono da empresa observou que, nesse intervalo de 6 anos, poderia escrever uma relação entre o ano de funcionamento (A) 
e o número de funcionários dessa empresa (N), em que a expressão representaria uma função quadrática. Entre as funções 
abaixo, qual se relaciona a essa situação? Justifique sua resposta.
¥ N 5 2A
2 1 2A 1 200 ¥ N 5 3A
2 1 A 1 180 ¥ X N 5 3A
2 1 3A 1 190
 d ) Utilizando a função encontrada no item c e considerando que oprimeiro ano de funcionamento da empresa foi 2005, responda:
¥ Se o crescimento continuar nesse ritmo, quantos funcionários a empresa terá em 2019? 
¥ Em que ano o número de funcionários será igual a 736? 
Não se preocupe se o aluno só colocar valores aproximados, pois a ideia é que ele aprimore suas hipóteses 
no decorrer das resoluções dos próximos itens.
2019 será o 15o ano de funcionamento; portanto, basta achar o valor de N para A 5 15, usando a função anterior: N 5 3 ? 152 1 3 ? 15 1 190 5 910 funcionários.
Basta achar o valor de A para N 5 736 usando a função anterior, lembrando que A . 0; assim, temos: 
736 5 3 ? A2 1 3 ? A 1 190 ⇒ A9 5 13 e A0 5 214 (não serve); 2005 1 13 2 1 5 2017
Crescimento do quadro de funcion‡rios da empresa
Ano de funcionamento 1o 2o 3o 4o 5o 6o
Número de funcionários 198 205 225 250 275 302
Função e Geometria68
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 68 1/20/16 11:40 AM
Outros contextos
 74. Alugando vídeos
A locadora Boa Vista acaba de lançar uma promoção:
A locação normal de um DVD custa R$ 1,50. Faça os cálculos necessários e verifique se a compra da carteira de sócio é vantajosa. 
 75. Cortando o cabelo
Uma cabeleireira cobra R$ 45,00 pelo corte de cabelo para clientes com hora mar-
cada e R$ 40,00 para clientes sem hora marcada. Ela atende por dia um número 
fixo de 5 clientes com hora marcada e um número variável x de clientes sem hora 
marcada e, com isso, arrecada a quantia Q, em reais.
Faça o que se pede.
 a ) Que grandeza é dada em função de outra?
A quantia Q arrecadada por dia é dada em função do número x de clientes
sem hora marcada.
 b ) Escreva a lei da função que fornece a quantia Q arrecadada por dia em função 
do número x. 
Q 5 225 1 40x
 c ) Qual foi a quantia arrecadada em um dia em que foram atendidos 15 clientes? 
 d ) Qual foi o número de clientes atendidos em um dia em que foram arrecadados R$ 1 025,00? 
 e ) Qual é a fórmula que indica o número C de clientes atendidos por dia em função de x? 
Compre nossa carteira de sócio por R$ 15,00 e, durante um ano, pague apenas R$ 1,00 por DVD locado.
É vantajosa se, durante o ano, forem alugados mais de 30 DVDs.
x 5 15 2 5 5 10; Q 5 225 1 40 ? 10 5 225 1 400 5 625
225 1 40x 5 1 025 ⇒ x 5 20; 20 1 5 5 25
C 5 x 1 5
Cabeleireira cortando cabelo de cliente.
G
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Graficamente:
Pelo gráfico, pode -se observar que a opção 
com carteira é mais barata para N . 30.
10
DVDs locados (N)
20 30 40 50
20
10
30
Valor pago (C)
C 5 1,5N
C 5 N 1 15
40
50
Compara•‹o entre os custos de loca•‹o
Chamando de C o custo do cliente e de N o 
número de locações feitas durante um ano, o 
custo em cada uma das situações seria:
• Com a carteira: C 5 15 1 1N ou C 5 N 1 15
• Sem a carteira: C 5 1,5N
Temos, então, dois casos de função afim. Para 
comparar seus valores, podemos montar um 
gráfico ou usar inequação.
Algebricamente:
Para que a opção com carteira seja mais 
barata, devemos ter:
N 1 15 , 1,5N
Resolvendo, temos N . 30. 
Para N , 30 a opção sem carteira é mais 
barata.
Para N 5 30 as duas opções apresentam o 
mesmo custo (R$ 45,00)
Logo, a opção com carteira é mais barata 
para N . 30, ou seja, se forem alugados 
mais de 30 DVDs no ano.
69Função e Geometria
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 76. Operadora de telefonia celular
Uma operadora de telefonia celular oferece aos seus clientes v‡rias op•›es de planos p—s -pagos com tarifas reduzidas ou ele-
vadas de acordo com as condi•›es de seus clientes.
As op•›es de planos variam de acordo com o tempo a ser contratado, em 
minutos. Caso o cliente exceda o tempo contratado, as liga•›es excedentes 
s‹o cobradas adicionalmente, por minuto.
Veja a tabela abaixo com as descri•›es das tarifas:
Descrição das tarifas de acordo com o plano
* Valor estipulado para ligações locais, ou seja, realizadas dentro do 
município.
Planos
Valor mensal 
a ser pago
Valor das ligações 
excedentes por minuto*
45 minutos R$ 48,00 R$ 1,08
60 minutos R$ 63,00 R$ 0,94
100 minutos R$ 91,00 R$ 0,74
200 minutos R$ 142,00 R$ 0,63
Fa•a o que se pede.
 a ) Pedro possui o plano de 45 minutos e utilizou 52 minutos em um m•s. Qual foi o valor da conta de Pedro no final desse m•s? 
 b ) Escreva a lei da fun•‹o que estabelece o valor mensal (v) de uma pessoa que possui o plano de 100 minutos e utilizou x minutos em 
determinado m•s, considerando que 100 , x , 199 minutos. 
 c ) Qual plano Ž mais vantajoso para um consumidor que usa, em mŽdia, 92 minutos de liga•›es mensais: o plano de 60 minutos ou o 
de 100 minutos? 
 d ) A partir de quantos minutos de liga•›es o plano de 200 minutos passa a ser mais barato para o consumidor do que o plano de 
100 minutos? 
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s
Pessoa comprando aparelho de celular.
Para plano 200 , plano 100, temos:
142 , 91 1 (x 2 100) ? 0,74 ⇒ 0,74x . 125 ⇒ 74x . 12 500 ⇒ 
⇒ x . 12 500
74
 ⇒ x . 168, 918
A partir de 169 minutos de liga•›es o plano 200 passa a ser mais barato.
52 2 45 5 7
7 ? 1,08 5 7,56
48 1 7,56 5 55,56
91 1 0,74 ? (x 2 100) 5 91 1 0,74x 2 74 5 17 1 0,74x
Lei da fun•‹o: v 5 17 1 0,74x, para 100 , x , 199.
Para o plano de 60 minutos: 63 1 (92 2 60) ? 0,94 5 93,08
Para o plano de 100 minutos: R$ 91,00
91 , 93,08
Portanto, o plano de 100 minutos Ž mais vantajoso.
Função e Geometria70
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 77. Urbanismo
Um espaço retangular para piquenique será construído à beira de um lago. O terreno desse espaço tem área de 7 200 m2 e será 
cercado nos três lados que não dão para o lago, de acordo com a figura.
 a ) Qual é a fórmula que dá o comprimento C da cerca em função do comprimento x do lado que dá para o lago? 
 b ) Qual será o comprimento da cerca se a frente voltada para o lago tiver 40 m? Descubra por dois caminhos diferentes. 
 c ) Qual será o comprimento da frente que dá para o lago, no caso de a cerca ter comprimento de 246 m? 
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Se C é o comprimento da cerca, então podemos escrever: C 5 x 1 2y. No entanto, como o terreno tem área de 7 200 m2, temos que 
x ? y 5 7 200 ou que y 5 
x
7 200
. Substituindo esse valor de y na equação do comprimento da cerca, temos:
C 5 x 1 
x
x
x
2
7 200 14 400
5 1 ou C 5 
x
x
14 4002 1
1o caminho: x 5 40
40 14 400
40
1 600 14 400
40
16 000
40
400
2
C 5
1
5
1
5 5
2o caminho: x 5 40 e x ? y 5 7 200
y 5 
7 200
40
 5180
Para x 5 40 e y 5 180, temos:
C 5 x 1 2y 5 40 1 2 ? 180 5 40 1 360 5 400
Comprimento da cerca: 400 metros.
Para C 5 246, temos:
x
x
14 4002 1
 5 246 ⇒ x2 2 246x 1 14 400 5 0 ⇒ x9 5 150 e x0 5 96 ou 
x y
x y




2 246
7 200
1 5
? 5
 ⇒ x 5 150 e y 5 48 ou x 5 96 e y 5 75
Comprimento da frente que dá para o lago: 150 metros ou 96 metros.
Fun•‹o e Geometria 71
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 d ) Se o comprimento y for a metade de x, qual será o comprimento da cerca? 
 78. Curiosidade hist—rica: catapultas e a Matem‡tica
As catapultas eram equipamentos de guerra muito utilizados na Antiguidade e na Idade Média. Eram mecanismos, geralmente 
feitos de madeira, que utilizavam uma espécie de braço para lançar projéteis pesados como pedras ou dardos de grande tama-
nho contra tropas e fortificações inimigas. Durante séculos, as catapultas foram muito úteis para os exércitos, pois, como a tra-
jetória do projétil lançado podia descrever uma parábola, era possível transpor grandes alturas (como as muralhas de castelos 
e fortalezas) com bastante facilidade.
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s
Catapultas.
Suponha que uma catapulta lance uma pedra para cima com determinada força e velocidade inicial de 40 m/s. Devido à ace-
leração da gravidade (g) da Terra, aproximadamente10 m/s2, a pedra sobe, diminui a sua velocidade até 0 m/s (ou seja, ela 
para) e depois desce, aumentando a velocidade até atingir novamente a sua velocidade inicial.
Despreze a altura da catapulta e a resistência do ar. Sabe -se que a fórmula h 5 v
0
t 2 1
2
gt2 (em que v
0
 corresponde à velocida-
de inicial, ou seja, à velocidade com que a pedra é lançada) determina a altura (h) que a pedra atinge em relação ao tempo (t) que 
ela gasta para fazer o percurso de subida e descida.
 a ) Observe que, nessa situação, a velocidade inicial é v
0
 5 40 m/s e a aceleração da gravidade é g 5 10 m/s2. Substitua os 
valores de v
0
 e g na fórmula h 5 v
0
t 2 1
2
gt2 e simplifique a fórmula da altura (h), em metros, em função do tempo (t), em 
segundos. h 5 40t 2 5t2
Para y 5 
x
2
 e x ? y 5 7 200, temos:
x x
2
? 5 7 200 ⇒ x 5 120 ou x 5 2120 (não serve)
Para x 5 120, vem:
y 5 
x
2
 ⇒ y 5 
120
2
 5 60
Logo, para x 5 120 e y 5 60, temos:
C 5 x 1 2y 5 120 1 2 ? 60 5 120 1 120 5 240
Comprimento da cerca: 240 metros.
h t t h t t⇒40 1
2
10 40 52 25 2 ? 5 2
Fun•‹o e Geometria72
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 b ) Para calcular a altura (h) da pedra, complete a tabela abaixo de acordo com os valores já informados para o tempo (t).
t (s) h (m)
1 35
2 60
3 75
4 80
5 75
 c ) Suponha que a pedra foi lançada em direção ao muro de um castelo. Se a altura do muro desse castelo é 60 metros, 
podemos afirmar que a pedra atinge o topo do muro? Em quais instantes a pedra poderá atingir o topo do muro? Explique 
sua resposta. 
 d ) Qual é a altura máxima atingida pela pedra? 
 e ) Use o espaço quadriculado e construa o gráfico dessa função.
t 5 2 s (tempo na subida) e t 5 6 s (tempo na descida)
80 metros.
Para t 5 1 s, temos:
h 5 40 ? 1 2 5 ? 12 ⇒ h 5 40 2 5 ⇒ h 5 35; 35 m
Para t 5 2 s, temos:
h 5 40 ? 2 2 5 ? 22 ⇒ h 5 80 2 20 ⇒ h 5 60; 60 m
Para t 5 3 s, temos:
h 5 40 ? 3 2 5 ? 32 ⇒ h 5 120 2 45 ⇒ h 5 75; 75 m
Para t 5 4 s, temos:
h 5 40 ? 4 2 5 ? 42 ⇒ h 5 160 2 80 ⇒ h 5 80; 80 m
Para t 5 5 s, temos:
h 5 40 ? 5 2 5 ? 52 ⇒ h 5 200 2 125 ⇒ h 5 75; 75 m
0
80
4
t (s)
h (m)
Função e Geometria 73
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Praticando um pouco mais
 1. (Unisc-RS) Em Santa Cruz do Sul, os taxímetros marcam, na bandeirada 1, uma quantia inicial de R$ 3,90 e mais R$ 0,20 a cada 
100 m rodados. Ao final de cinco quilômetros percorridos, o valor a ser pago pela corrida será de:
 a ) R$ 5,90.
 b ) R$ 8,50.
 c ) R$ 13,90.
 d ) R$ 8,90.
 e ) R$ 23,50.
 2. (UEMG) “Em janeiro de 2008, o Brasil tinha 14 milhões de usuários residenciais na rede mundial de computadores. Em fevereiro 
de 2008, esses internautas somavam 22 milhões de pessoas – 8 milhões, ou 57%, a mais. Deste total de usuários, 42% ainda 
não usam banda larga (internet mais rápida e estável). Só são atendidos pela rede discada.” (Atualidade e Vestibular 2009, 1o 
semestre, Ed. Abril.)
Baseando-se nessa informação, observe o gráfico a seguir:
jan./08
14
fev./08
22
Mês
Milhões de
usuários
Se mantida, pelos próximos meses, a tendência de crescimento linear, mostrada no gráfico acima, o número de usuários resi-
denciais de computadores, em dezembro de 2009, será igual a:
 a ) 178 ? 106.
 b ) 174 ? 105.
 c ) 182 ? 107.
 d ) 198 ? 106.
 3. (UFRR) A trajetória de uma pedra, ao ser atirada no ar, é dada pela função f(x) 5 2x2 1 10x. A altura máxima atingida pela pedra, 
na unidade de medida de x, é:
 a ) 5.
 b ) 25.
 c ) 10.
 d ) 15.
 e ) 20.
X Se o taxímetro cobra R$ 0,20 a cada 100 m, então cobra R$ 2,00 por quilômetro. 
O preço P a ser pago por 5 km é: P 5 3,90 1 5 ? 2,00 ⇒ P 5 13,90.
X
X
(10 0)
4 ( 1)
25m‡x.
2
h yv5 5 2
2
? 2
5
74 Números naturais e geometria
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 4. (Enem) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo 
nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura abaixo. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da 
água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
y
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
Nœmero de bolas (x) N’vel da ‡gua (y)
5 6,35 cm
10 6,70 cm
15 7,05 cm
Disponível em: <www.penta.ufrgs.br>. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
Qual expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?
 a ) y 5 30x
 b ) y 5 25x 1 20,2
 c ) y 5 1,27x
 d ) y 5 0,7x
 e ) y 5 0,07x 1 6 
 5. (UFPE) O gráfico a seguir ilustra o peso p, em gramas, de uma carta, incluindo o peso do envelope, em termos do número x de 
folhas utilizadas. O gráfico é parte de uma reta e passa pelo ponto com abscissa 0 e ordenada 10,2 e pelo ponto com abscissa 4 
e ordenada 29,4.
1
0
5
10
15
20
25
30
2 3 4 x
p
Qual é o peso de uma folha?
 a ) 4,2 g.
 b ) 4,4 g.
 c ) 4,6 g.
 d ) 4,8 g.
 e ) 5,0 g.
C
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X
Essa situação pode ser associada a uma função do 1o grau do tipo y 5 ax 1 b; se x 5 10, então 10a 1 b 5 6,70; se x 5 5,
então 5a 1 b 5 6,35. Fazendo a primeira equação menos a segunda, temos 5a 5 0,35 e, portanto, a 5 0,07 e b 5 6 e,
finalmente, y 5 0,07x 1 6.
X
Fun•‹o e Geometria 75
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Revis‹o cumulativa
 1. Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 120,00 e vendeu -a por R$ 126,00. Seu lucro foi de:
 a ) 4%.
 b ) 5%.
 c ) 6%.
 d ) 8%.
 2. Considere todos os segmentos cujas extremidades são vértices de um hexágono convexo. Escolhendo -se um deles ao acaso, a 
probabilidade de ele ser uma diagonal é de:
 a ) 
1
2
.
 b ) 
5
6
.
 c ) 
3
5
.
 d ) 
2
3
.
 3. (FCC -RJ) Simplificando -se a expressão 9
2
2
9
,2 obtém -se:
 a ) 
3 2
2 3
.
2
2
 b ) 
77
18
.
 c ) 
7 2
3
.
 d ) 
7 2
6
.
 e ) 
2
18
.
 4. (Unisinos -RS) O consumo de combustível de um automóvel é medido pelo número de quilômetros que percorre, gastando 1 L 
de combustível. O consumo depende, entre outros fatores, da velocidade desenvolvida. O gráfico (da revista Quatro Rodas) a 
seguir indica o consumo na dependência da velocidade de certo automóvel.
A análise do gráfico mostra que:
 a ) o maior consumo se dá aos 60 km/h.
 b ) a partir de 40 km/h, quanto maior a velocidade, maior é o consumo.
 c ) o consumo é diretamente proporcional à velocidade.
 d ) o menor consumo se dá aos 60 km/h.
 e ) o consumo é inversamente proporcional à velocidade.
 5. Maurício gastou a quarta parte de seu salário com aluguel e a terça parte com alimentação, água e energia elétrica. Restaram, 
ainda, R$ 400,00. Qual é o salário de Maurício? 
X
126 2 120 5 6
6 em 120 5 
6
120
1
20
5 5 0,05 5 5%
Lados: 6
Diagonais: 
6 3
2
?
 5 9
6 1 9 5 15
9 em 15 → p(A) 5 
9
15
3
5
5
X
X
3
2
2
3
3 2
2
2
3
9 2
6
2 2
6
7 2
6
2 5 2 5
5 2 5
20
0
2
4
6
8
10
40 60 80 100
km/h
km/L
X
x x
4 3
1 1 400 5 x ⇒ x 5 960. Salário de Maurício: R$ 960,00.
76 Nœmeros naturais e geometria
SER_EF2_Matematica9_M2_C1_040_077.indd 76 1/20/16 11:40 AM
 6. Para encher um reservat—rio que estava vazio, foram usadas torneiras que despejam 20 L de ‡gua por minuto da seguinte forma: 
durante os quatro primeiros minutos, ficou aberta apenas uma torneira; nos tr•s minutos seguintes, tr•s torneiras ficaram abertas e, 
nos tr•s minutos finais, duas torneiras.
 Complete a tabela que relaciona o tempo (em minutos) com a quantidade de ‡gua no reservat—rio (em litros).
Rela•‹o entre o tempo e a quantidade de ‡gua
min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
L 0 20 40 60 80 140 200 260 300 340 380
Assinale o gr‡fico que melhor expressa essa situa•‹o.
 a ) 
min
L b )
min
L c )
min
 L
 7. Em um paralelogramo, o per’metro Ž de 23 cm, um dos lados mede 4 cm, e um dos ‰ngulos internos mede 72¼. Quais s‹o as 
medidas dos quatrolados e dos quatro ‰ngulos internos? 
 8. (Unimep -SP) Qual o maior inteiro que podemos somar ao dividendo da divis‹o de 487 por 23, sem alterar o quociente?
 a ) 21.
 b ) 19.
 c ) 20.
 d ) 18.
 e ) nda.
 9. O produto de 0,75 por 0,666... Ž igual a:
 a ) 0,5. 
 b ) 0,555...
 c ) 0,6.
 d ) 0,5666.
 10. A mŽdia aritmŽtica das duas provas de Matem‡tica feitas por Elis‰ngela foi 7. Na primeira prova, ela tirou x e, na segunda,
2 pontos a mais do que na primeira. Qual foi a nota da primeira prova? 
X
X
0,75 ? 0,666... 5 
3
4
2
3
1
2
0,5? 5 5X
( 2)
2
7 ou ( 2) 14 6
x x
x x x
1 1
5 1 1 5 5⇒
Lados: 4 1 4 5 8;
23 2 8 5 15;
15 ; 2 5 7,5
ångulos internos: 180 2 72 5 108
Lados: 4 cm, 4 cm, 7,5 cm e 7,5 cm; ‰ngulos internos: 72¼, 72¼, 108¼ e 108¼.
Fun•‹o e Geometria 77
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
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Proporcionalidade 
em Geometria2
 Capítulo
1 Introdu•‹o
A planta abaixo representa o cruzamento de algumas ruas em certa cidade. Sa-
bendo que as tr•s avenidas principais (das Aves, dos Besouros e dos Coelhos) s‹o 
paralelas e considerando as medidas, em metros, indicadas abaixo, como podemos 
determinar a medida x?
x
Planta de parte de certa cidade.
Durante o estudo deste cap’tulo, voc• vai encontrar a solu•‹o deste problema, a 
qual utiliza um importante teorema, conhecido como teorema de Tales.
AlŽm do teorema, vai estudar outros assuntos relacionados ˆ proporcionalidade 
em Geometria.
Esta situa•‹o ser‡ retomada na p‡gina 100, para o 
aluno resolv• -la com os conhecimentos adquiridos 
no cap’tulo.
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
78 Fun•‹o e Geometria
 Objetivos:
• Estudar as principais 
ideias relacionadas 
ˆ proporcionalidade. 
• Explorar situa•›es de 
proporcionalidade em 
assuntos de Geometria.
• Realizar um estudo 
detalhado do 
teorema de Tales.
SER_EF2_Matematica9_M2_C2_078_113.indd 78 1/20/16 11:43 AM
2 Retomando as ideias 
de razão e de proporção
As ideias de raz‹o e de propor•‹o s‹o fundamentais para o assunto deste cap’-
tulo, que Ž proporcionalidade. Por isso, vamos retom‡ -las.
Razão
Em uma classe, h‡ 15 meninos e 20 meninas em um total de 35 alunos.
A razão entre o nœmero de meninos e o nœmero total de alunos da classe Ž 
indicada por 15 ; 35 ou por 15
35
. Seu valor na forma de fra•‹o irredut’vel Ž 3
7
.
Veja:
15 em 35 ou 15
35
3
7
5 .
A raz‹o entre dois nœmeros, com o segundo diferente de zero, Ž o quociente do 
primeiro pelo segundo.
Outros exemplos:
 a ) A raz‹o entre 5 e 8 Ž 5
8
. c ) A raz‹o entre 6 e 2 Ž 6
2
 ou 3.
 b ) A raz‹o entre 10 e 15 Ž 10
15
 ou 2
3
. d ) A raz‹o entre 0 e 9 Ž 0
9
 ou 0.
Exercícios 
 1. Considerando a situa•‹o do exemplo acima, calcule:
 a ) a raz‹o entre o nœmero de meninas e o total de alunos da classe; 
 b ) a raz‹o entre o nœmero de meninos e o nœmero de meninas; 
 c ) a raz‹o entre o nœmero de meninas e o nœmero de meninos. 
 d ) As raz›es dos itens b e c s‹o raz›es inversas. Qual Ž o produto das duas? 
4
7
20 em 35 20
35
4
7
5→



3
4
15
20




4
3
20
15




1 3
4
4
3
12
12
13 5 5




Dizemos que, nessa 
classe, para cada 
7 alunos, 3 são meninos.
 Para construir:
 Exerc’cios 1 e 2 (p. 79 e 80)
Função e Geometria 79
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C2_078_113.indd 79 1/20/16 11:43 AM
 2. Indique e d• o valor na forma de fra•‹o irredut’vel da:
 a ) raz‹o entre 10 e 25; 
 b ) raz‹o entre 12 e 20; 
 c ) raz‹o entre 6 e 15. 
 d ) Destas tr•s raz›es 10
25
, 12
20
e 6
15( ), quais t•m o 
mesmo valor? 
10 ; 25 ou 10
25
; o valor Ž 2
5
.
12 ; 20 ou 12
20
; o valor Ž 3
5
.
6 ; 15 ou 
6
15
; o valor Ž 2
5
.
10
25
e 6
15
ambas valem 2
5




Proporção
No exerc’cio 2, voc• viu que a raz‹o entre 10 e 25 10
25( ) Ž igual ˆ raz‹o entre 
6 e 15 6
15
.( ) Ambas s‹o equivalentes a 25 .
Dizemos que as raz›es 10
25
 e 6
15
 formam uma proporção.
Duas raz›es de mesmo valor formam uma propor•‹o.
Indicamos a propor•‹o do exemplo acima assim: 10
25
6
15
5 .
10 e 15 s‹o os extremos dessa propor•‹o.
25 e 6 s‹o os meios dessa propor•‹o.
Observe que 10 ? 15 5 150 (produto dos extremos) e 25 ? 6 5 150 (produto dos 
meios). Esse fato se repete em todas as propor•›es e Ž conhecido como propriedade 
fundamental das proporções.
Em toda propor•‹o, o produto dos extremos Ž igual ao produto dos meios (pro-
priedade fundamental das propor•›es).
a
b
c
d
5 ⇒ a ? d 5 b ? c
No exemplo dado acima, 2
5
 Ž o coeficiente de proporcionalidade.
Acesse o portal e leia o texto 
“A geometria instintiva das 
abelhas”.
Função e Geometria80
SER_EF2_Matematica9_M2_C2_078_113.indd 80 1/20/16 11:43 AM
Exerc’cios 
 3. Você já estudou que, a partir de uma proporção, podemos obter outras fazendo alterações na posição de seus termos. Por 
exemplo:
4
10
6
15
5 é uma proporção, pois 4 ? 15 5 6 ? 10.
¥ Trocando seus meios, temos outra proporção: 
4
6
10
15
5 .
¥ Invertendo suas razões, temos mais uma proporção: 
10
4
15
6
5 .
 Considerando essas três proporções, formadas com os números 4, 10, 6 e 15, encontre todas as demais possíveis (são oito no 
total). Lembre -se de que a propriedade fundamental (4 ? 15 5 10 ? 6) deve valer em todas. 
 4. Sempre a partir da proporção 21
30
14
20
,5 obtenha outra proporção nos seguintes casos:
 a ) trocando os extremos; 
 b ) trocando a posição das razões; 
 c ) invertendo as razões; 
 d ) trocando os meios. 
 5. Outras propriedades das propor•›es
 Considere a proporção .a
b
c
d
5 A partir dela, podemos obter outras proporções como estas:
 a ) a b
a
c d
c
1
5
1
 b ) a b
b
c d
d
2
5
2
 c ) a c
b d
a
b
1
1
5
 d ) 
a c
b d
c
d
2
2
5
 e ) Comprove essas propriedades a partir da
proporção 6
4
15
10
5 .
Além das três já mostradas temos ainda:
10
15
4
6
; 6
15
4
10
;5 5
6
4
15
10
; 15
10
6
4
; 15
6
10
4
.5 5 5
20
30
14
21
5
14
20
21
30
5
30
21
20
14
5
21
14
30
20
5
⇒
6 4
6
15 10
15
10
6
25
15
1
5
1
5 (10 ? 15 5 6 ? 25)
⇒
6 4
4
15 10
10
2
4
5
10
2
5
2
5 (2 ? 10 5 4 ? 5)
⇒
6 15
4 10
6
4
21
14
6
4
1
1
5 5 (21 ? 4 5 6 ? 14)
⇒
6 15
4 10
15
10
9
6
15
10
2
2
5
2
2
5 ((29) ? 10 5 (26) ? 15)
 Para construir:
 Exercícios 3 a 5 (abaixo)
Fun•‹o e Geometria 81
M
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T
E
M
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A
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3 Razão entre segmentos de reta e 
segmentos de reta proporcionais
Observe os segmentos de reta e suas medidas:
4 cm
A
B
 
6 cm
C
D
A razão entre os segmentos de reta AB e CD é obtida calculando -se a razão en-
tre suas medidas de comprimento em uma mesma unidade.
Veja como indicamos:
Razão entre AB e : 4
6
2
3
CD
AB
CD
5 5
Imagine agora outros dois segmentos de reta: EF de 10 cm e GH de 15 cm. A razão 
entre eles é 10
15
,EF
GH
5 que também é igual a 2
3
.
Dizemos que , ,AB CD EF e ,GH nessa ordem, são segmentos de reta proporcio-
nais, pois ,AB
CD
EF
GH
5 e que 23
 é o coeficiente de proporcionalidade.
Estamos usando 
AB como medida 
do comprimento 
de AB.
Exerc’cios 
 6. Analise a medida dos lados dos dois triângulos dadas na mesma unidade.
Calcule a razão entre:
 a ) o lado maior do nABC e o lado maior do nEFG; 
 b ) o lado menor do nABC e o lado menor do nEFG; 
 c ) o 3o lado do nABC e o 3o lado do nEFG. 
G
6
4,5
E
3
F
A
B 4
32
C
4
6
2
3
5
2
3
3
4,5
2
3
5
As razões entre as medidas dos 
lados correspondentes são iguais:
5 5
4
6
2
3
3
4,5
4 ? 3 5 6 ? 2
 4 ? 4,5 5 6 ? 3
 2 ? 4,5 5 3 ? 3
Em casos como este, dizemos 
que os dois triângulos têm as 
dimensões proporcionais.
 Para construir:
 Exercícios 6 a 14 (p. 82 a 84)
Fun•‹o e Geometria82
SER_EF2_Matematica9_M2_C2_078_113.indd 82 1/20/16 11:43 AM
 7. Calcule a raz‹o entre os per’metros do nABC e do nEFG do exerc’cio anterior e responda: ela Ž igual ˆ raz‹o entre oslados 
correspondentes? 
 8. Considere a figura abaixo e indique o valor de cada raz‹o na forma de fra•‹o irredut’vel.
2 cm 4 cm 3 cm 3 cm 1 cm
UTSRQP
 a ) Raz‹o entre PQ e .ST 
 b ) Raz‹o entre QR e .RT 
 c ) RS
ST
 
 d ) UT
PR
 
 e ) SU
PQ
 
 f ) PR
QT
 
 9. Agora, considerando a figura do exerc’cio anterior, responda e justifique.
 a ) , ,RS ST QR e ,SU nessa ordem, s‹o proporcionais? 
 b ) , ,PQ RQ TU e ,ST nessa ordem, s‹o proporcionais? 
 c ) , ,QS RS UR e ,ST nessa ordem, s‹o proporcionais? 
 10. Qual Ž a raz‹o entre um segmento de reta de 14 cm e um segmento de reta de 0,3 m? 
 11. , ,AB CD CD e ,EF nessa ordem, s‹o segmentos de reta proporcionais. Calcule a medida de CD sabendo que AB 5 9 cm e 
EF 5 40 mm. 
nABC: 2 1 3 1 4 5 9
nEFG: 3 1 4,5 1 6 5 13,5
Raz‹o entre per’metros: 9
13,5
2
3
5
Essa raz‹o Ž igual ˆ raz‹o entre os lados correspondentes.
2
3
4
6
2
3
5
3
3
 5 1
1
6
4
2
 5 2
6
10
3
5
5
Sim 3
3
4
4
5




.
N‹o ± ±2
4
1
3
; 2 3 1 4 .? ?( )
Sim 7
3
7
3
5( ).
0,3 m 30 cm; 14
30
7
15
5 5
Em cm: 
x
x9
4
5 ⇒ x2 5 36 ⇒ x 5 ±6 (26 n‹o serve)
Em mm: 
x
x90
40
5 ⇒ x2 5 3 600 ⇒ x 5 60 ou x 5 260 (n‹o serve)
Logo, CD mede 6 cent’metros ou 60 mil’metros.
Fun•‹o e Geometria 83
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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 12. Examine estes quadriláteros dois a dois e responda às perguntas a seguir.
 a ) Quais deles têm lados com medidas proporcionais? 
 b ) Dos quadriláteros que têm os lados proporcionais, quais apresentam os ângulos correspondentes congruentes? 
A e C.
 13. Complete o quadro abaixo. A figura A9B9C9D9E9 é uma ampliação da figura ABCDE.
Figura ABCDE Figura A9B9C9D9E9
AE 5 1 A9E9 5 2
BC 5 2 B9C9 5 4
AB 5 3
A9B9 5 6
Responda:
 a ) As medidas dos lados da figura ampliada são diretamente proporcionais às medidas dos lados correspondentes da figura 
original? Explique.
 b ) Que relação existe entre os ângulos $AED e ?A E D9 9 9$ E entre os demais ângulos correspondentes? 
 14. Construa as seguintes regiões quadradas:
¥ A com lados de 2 cm; ¥ B com lados de 4 cm; ¥ C com lados de 6 cm.
Em seguida, calcule: 
 a ) a razão entre os lados, a razão entre os perímetros e a razão entre as áreas de A e B, nessa ordem; 
 b ) a razão entre os lados, a razão entre os perímetros e a razão entre as áreas de A e C, nessa ordem; 
 c ) a razão entre os lados, a razão entre os perímetros e a razão entre as áreas de B e C, nessa ordem.
 A e B 1
2
2
4
;5( ) A e C 13
2
6
5( ); B e C 23
4
6
5( ).
A B
C
D
E
A9 B9
C9
D9
E9
Sim, pois
1
2
2
4
3
6
.5 5
São congruentes; os ângulos correspondentes também são congruentes.
Lados: 2
4
1
2
5 ; perímetros: 
8
16
1
2
5 ; áreas: 4
16
1
4
5 .
Lados: 2
6
1
3
5 ; perímetros: 
8
24
1
3
5 ; áreas: 4
36
1
9
5 .
Comente com os alunos que a razão entre os lados e a razão entre os perímetros são sempre iguais para dois quadrados.
Comente também que a razão entre as áreas é a razão entre os lados elevada ao quadrado. 
1
4
1
2
; 1
9
1
3
; 4
9
2
3
2 2 2
5 5 5( ) ( )( )
Lados: 4
6
2
3
5 ; perímetros: 
16
24
2
3
5 ; áreas: 
16
36
4
9
5 .
1
2
A
2
4
B
3
6
C
4
1
D
Função e Geometria84
SER_EF2_Matematica9_M2_C2_078_113.indd 84 1/20/16 11:44 AM
Proporcionalidade na circunfer•ncia: 
o nœmero pi (p)
Considerando duas ou mais circunferências, a razão entre a medida do compri-
mento da circunferência e a medida do comprimento do diâmetro em quaisquer delas 
é sempre a mesma.
d
1
Comprimento: C₁
Diâmetro: d₁
d
2
Comprimento: C₂
Diâmetro: d₂
1
1
2
2
C
d
C
d
5 5 p
Esse fato você já estudou: o valor da razão é um número irracional conhecido por 
pi (p 5 3,141592...).
Observa•‹o: Nos cálculos em que aparece o número p, usamos sempre um valor 
racional aproximado para ele, por exemplo, p 5 3,1 ou p 5 3,14.
Chame a atenção dos alunos para o fato de 
que 1
1
C
d
, 2
2
C
d
 etc. nunca têm, ao mesmo 
tempo, numerador e denominador racionais, 
daí p ser irracional.
Exerc’cios 
 15. Uma pista circular tem 80 m de raio (figura ao lado).
Considere p 5 3,14, utilize uma calculadora e responda às questões a seguir.
 a ) Qual é a distância aproximada percorrida por um ciclista que dá 20 voltas nessa 
pista?
 b ) Qual é o tempo aproximado que ele vai gastar para dar 20 voltas, considerando sua velocidade média de 25 km/h? 
 Para construir:
 Exercícios 15 a 17 (p. 85 e 86)
Diâmetro da pista: 2 ? 80 5 160; 160 m
Pista: 160 ? 3,14 5 502,4; 502,4 m
20 voltas: 20 ? 502,4 5 10 048 
10 048 m → 10,048 km
 km min
 25 60
10,048 x
Logo:
60 10
25
24x 5 ? 5
Portanto, o ciclista vai gastar 24 minutos.
Fun•‹o e Geometria 85
M
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A divina proporção: o número de ouro
Você acredita que pode existir um número com propriedades mágicas, que re-
presente beleza, perfeição e harmonia? Que teria sido utilizado ao longo dos séculos 
por matemáticos, cientistas, artistas e, por incrível que pareça, estaria presente na 
natureza? Pois esse número existe e você já o conhece. Vamos retomá -lo.
Considere um segmento de reta AB cuja medida AB é de 1 unidade de com-
primento.
Nele, podemos localizar um ponto C, de tal modo que C divide AB na seguinte 
proporção: a razão entre o segmento todo e a parte maior é igual à razão entre a parte 
maior e a parte menor. Assim:
x
A C B
1 2 x
,AB
AC
AC
CB
5 ou seja: 1
1x
x
x
5
2
 ⇒ x2 5 1 2 x ⇒ x2 1 x 2 1 5 0
Resolvendo essa equação, o valor positivo de x é 
5 1
2
.
2
 Consideremos a 
razão 
( )
x
1 2
5 1
2 5 1
5 1
1 5
2
5
2
5
1
2
5
1
.
Este número irracional 
1 51 5
2
,
1 511 5
 cujo valor aproximado é 1,618034, é conhecido por 
número de ouro ou razão de ouro ou, ainda, razão áurea.
 16. Um reservatório tem a forma de um cilindro (figura ao lado). Leandro usou um 
barbante, contornou a base desse reservatório e verificou que a circunferência 
tem 15,5 metros. Calcule a medida aproximada do raio da base desse reserva-
tório. (Use p 5 3,1.) 
 17. Um gráfico de setores foi construído com 6 partes iguais, conforme a figura ao lado. Qual é o 
comprimento de cada um dos 6 arcos desse gráfico se o raio da circunferência é igual a 3 cm? 
Use p 5 3,14.
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15,5 5 d ? 3,1 ⇒ d
15,5
3,1
5 ⇒ d 5 5 metros (diâmetro)
Raio: 5
2
 m 5 2,5 metros
(2 ? p ? r) ; 6 5 (2 ? 3,14 ? 3) ; 6 5 3,14 centímetros
Função e Geometria86
SER_EF2_Matematica9_M2_C2_078_113.indd 86 1/20/16 11:44 AM
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g
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Estrela -do -mar. Miolo de um girassol. 
a: nœmero de espirais no sentido anti-hor‡rio 
(aproximadamente 34); 
b: nœmero de espirais no sentido hor‡rio 
(aproximadamente 21).
As imagens desta p‡gina 
n‹o est‹o representadas 
em propor•‹o.
Para os gregos, o nœmero de ouro representava harmo-
nia, equil’brio e beleza. Por esse motivo, muitas constru•›es 
gregas tinham como base esse nœmero. Mas foi no sŽculo 
XIII que o matem‡tico Leonardo de Pisa (c.1170-c.1240), cujo 
apelido era Fibonacci, constatou que o nœmero de ouro est‡ 
presente tambŽm na natureza. No Renascimento, a revalo-
riza•‹o dos conceitos estŽticos gregos levou grandes artis-
tas, como Leonardo da Vinci, a utilizarem o nœmero de ouro 
em suas obras.
Veja os exemplos ao lado. Em ambos h‡ a raz‹o a
b
 . 1,6.
Exerc’cios 
 18. Ret‰ngulo de ouro ou ret‰ngulo ‡ureo
Atividade em dupla
Examinem estes ret‰ngulos.
 a ) Qual Ž a raz‹o aproximada entre as medidas do comprimento e da largura de cada ret‰ngulo? (Considerem apenas uma casa 
decimal.) 
1,6 (5 ; 3; 8 ; 5; 13 ; 8).
 b ) Escrevam as dimens›es dos pr—ximos tr•s ret‰ngulos dessa sequ•ncia. 
21 por 13; 34 por 21 e 55 por 34.
 c ) Qual Ž a raz‹o aproximadaentre a medida do comprimento e a medida da largura de cada um dos tr•s novos ret‰ngulos? 
1,6.
 d ) Descubram a l—gica da sequ•ncia que vem a seguir e completem -na com mais tr•s nœmeros: 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 , 144 , 233 .
 e ) Essa sequ•ncia Ž conhecida como sequ•ncia de Fibonacci (leia mais a respeito disso no texto ÒA sequ•ncia de Fibonacci 
e a cria•‹o de coelhosÓ, da se•‹o Leitura, p‡gina 92). Comparem os nœmeros da sequ•ncia de Fibona cci a partir do quar-
to termo com as dimens›es dos seis ret‰ngulos anteriores. O que voc•s descobriram? 
Os nœmeros s‹o os mesmos.
 f ) Usem a calculadora e dividam cada termo da sequ•ncia de Fibonacci pelo seu precedente. Por exemplo, 233 ; 144; 144 ; 89; 
etc. O que voc•s descobriram? 
O resultado Ž sempre aproximadamente 1,6.
 Para construir:
 Exerc’cios 18 a 24 (p. 87 a 91)
A partir do terceiro nœmero, cada termo Ž a soma dos dois anteriores.
, 5 3
c 5 5
, 5 5
c 5 8
, 5 8
c 5 13
Usem calculadora 
e fa•am o que se pede.
Fun•‹o e Geometria 87
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Todo retângulo que tem a razão entre a medida de seu comprimento e a medida de sua largura igual ao número de ouro 
5 1
2
1
 . 1,6 é chamado de ret‰ngulo de ouro.
O número 1,6 é uma aproximação racional do número irracional 1,61803399…, valor de 
15 1
2
.
Por isso, consideramos retângulo de ouro todo retângulo no qual essa razão é aproximadamente 1,6.
c
ret‰ngulo
de ouro ,
l
c
 5 c ; , 5 
5 1
2
5 115 1
 . 1,6
Segundo os gregos, esse retângulo é o mais agradável aos olhos humanos, é o mais perfeito, o mais equilibrado, o mais harmonioso.
 19. Construção de um retângulo de ouro
A construção de um retângulo de ouro é bem simples. Veja como devemos proceder.
Iniciamos com um quadrado ABCD.
Determinamos os pontos médios M de DC e N de .AB
Com o compasso, traçamos dois arcos: um com centro em M e raio MB e outro com centro em N e raio 
NC . Prolongamos os lados AB e DC até intersectarem esses arcos em E e F. Traçamos o segmento .EF
A N B E
FCMD
 a ) Use uma régua e confira se a razão entre as medidas do comprimento e da largura é de aproximadamente 1,6. 
 b ) Você também pode construir um retângulo de ouro. Siga os passos acima e desenhe um retângulo de ouro com largura de 
2 centímetros. 
Pronto! 
Est‡ constru’do um 
ret‰ngulo ‡ureo 
AEFD.
Sim; 5,3 cm
3,3 cm
. 1,6.
Basta começar construindo um quadrado com 2 centímetros de lado.
Função e Geometria88
SER_EF2_Matematica9_M2_C2_078_113.indd 88 1/20/16 11:44 AM
 Você sabia?
ƒ poss’vel desenhar v‡rios ret‰ngulos de ouro um dentro do outro e, com eles, tra•ar uma espiral, modelo matem‡tico da concha do 
molusco n‡utilo.
13
8
Concha do molusco n‡utilo em corte. 
Esse molusco mede cerca de 20 cm.
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Representa•‹o art’stica da concha do molusco n‡utilo.
 20. Considere o valor aproximado 1,6 para o número de ouro e complete as afirmações.
 a ) Em um retângulo de ouro, se o comprimento mede 5,6 centímetros, a largura mede aproximadamente 3,5 centímetros . 
 b ) Se a largura de um retângulo de ouro é de 5,6 centímetros, a medida do comprimento é aproximadamente 8,96 centímetros .
 c ) Se o perímetro de um retângulo de ouro é de 104 centímetros, esse retângulo tem dimensões de aproximadamente 
32 centímetros por 20 centímetros .
x
x⇒5 5 5
5,6
1,6
5,6
1,6
3,5
Largura: 3,5 cm.
x
x⇒5 5 ? 5
5,6
1,6 5,6 1,6 8,96
Comprimento: 8,96 cm.
x
y
x y
x y
x y
x y





⇒




⇒
⇒
5
1 5
5
1 5
5 5
1,6
2 2 104
1,6
52
32 e 20
Dimensões de 32 cm por 20 cm.
Fun•‹o e Geometria 89
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 21. Examine com aten•‹o cada um destes tr•s tri‰ngulos is—sceles.
A
B C
P
RQ
M
ON
Agora, fa•a o que se pede.
 a ) Qual deles lhe parece mais equilibrado, mais harmonioso, mais bonito? 
Resposta pessoal.
 b ) Use uma rŽgua e me•a os segmentos de reta AB e ;BC MN e ;NO PQ e .QR 
2,5 cm e 4,0 cm; 3,0 cm e 1,5 cm; 4,0 cm e 2,5 cm.
 c ) Com uma calculadora, determine o valor das raz›es ,AB
BC
MN
NO
 e .PQ
QR
 
 22. Tri‰ngulo de ouro ou tri‰ngulo sublime
Os gregos chamavam de triângulo de ouro ou triângulo sublime todo tri‰ngulo is—sceles, como o da figura 
ao lado, que tem a raz‹o x
a
com valor aproximado de 1,6 (aproxima•‹o de 1,618033989...). Segundo eles, 
esse tri‰ngulo era o mais belo, o mais equilibrado e o mais harmonioso aos nossos olhos.
Responda:
 a ) No exerc’cio anterior, qual dos tri‰ngulos Ž um tri‰ngulo de ouro? Justifique.
nPQR, pois
 PQ
QR
 5 1,6.
 b ) E voc•, escolheu este tri‰ngulo como o mais bonito? 
Resposta pessoal.
 23. Use 1,6 para o nœmero de ouro e construa um tri‰ngulo de ouro com base de 2 cent’metros.
0,625 (2,5 ; 4); 2 (3,0 ; 1,5); 1,6 (4 ; 2,5).
a
xx
2
1, 6 2 1, 6 3,25 5 ? 5x x( )⇒
 
2
3,2 3,2
 
Fun•‹o e Geometria90
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 24. Fa•a as medi•›es necess‡rias e verifique, no pent‡gono regular representado abaixo, o valor aproximado da raz‹o entre d 
(medida de uma diagonal) e , (medida de um lado). 
Temos aqui mais um caso 
interessante no qual aparece o nœmero de ouro: 
Ž poss’vel provar que, em todo pent‡gono regular, 
a raz‹o entre a medida de uma diagonal e 
a medida de um lado Ž igual a 
5
2
11
, 
o nœmero de ouro. 
 
d
,
5 1
2l
d
5
1
Use essa propriedade e calcule a medida exata da diagonal de um pent‡gono regular cujo per’metro Ž de 30 cent’metros.
<
2,9
1,8
d
. . 1,6 
 ;30 5 6 (lado);5 
6
5 1
2
3 5 35 1 5 1d d⇒ .
 Você sabia?
H‡ inœmeras aplica•›es do ret‰ngulo de 
ouro na arte, como na obra O nascimento 
de V•nus. Nela, o pintor italiano Sandro 
Botticelli (1445 -1510), um dos mais 
importantes artistas do Renascimento, 
procurou representar o corpo de V•nus, 
deusa romana da beleza. A raz‹o entre as 
dimens›es do quadro (172,5 cm 3 278,5 cm) 
Ž uma raz‹o ‡urea.
Verifique com uma calculadora. .278,5
172,5
1,6
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O nascimento de Vênus, 1485, t•mpera sobre a tela, 
172,5 cm 3 278,5 cm, obra de Sandro Botticelli.
Fun•‹o e Geometria 91
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Leitura
No sŽculo XIII, o matem‡tico Leonardo de Pisa visitou uma fazenda onde havia uma 
cria•‹o de coelhos e p™s -se a refletir sobre a reprodu•‹o r‡pida desses animais.
Supondo que cada casal gere um novo casal depois de dois meses e que, a partir da’, 
gere um casal todo m•s, fica formada uma sequ•ncia especial com nœmeros naturais. Su-
pondo que os coelhos tivessem vida eterna, a sequ•ncia seria infinita.
Esquematicamente, temos:
M•s Casais Nœmero de casais Casais que d‹o cria
1o A 1
2o A 1 A
3o A, B 2 A
4o A, B, C 3 A e B
5o A, B, C, D, E 5 A, B e C
6o A, B, C, D, E, F, G, H 8 A, B, C, D e E
7o A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M 13 A, B, C, D, E, F, G e H
A
Essa sequ•ncia, em que cada termo nos d‡ o nœmero de casais de coelhos, Ž a sequ•ncia 
de Fibonacci, que voc• viu na p‡gina 87.
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...)
Observe que obtemos um termo qualquer dessa sequ•ncia, a partir do 3o, somando os dois termos ime dia tamente 
anteriores a ele. Por exemplo: 3 5 2 1 1; 34 5 21 1 13; etc.
AlŽm disso, a partir do 5o termo, a raz‹o entre cada termo e seu precedente est‡ sempre pr—xima de 1,6 (valor aproxi-
mado do nœmero de ouro): 5
3
5 1,666...; 8
5
5 1,6; 13
8
5 1,625; e assim por diante.
Use uma calculadora e faça a verificação com mais alguns termos.
A sequ•ncia de Fibonacci e a cria•‹o de coelhos
Fibonacci (Leonardo de Pisa).
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sCasal de coelhos.
 Para aprimorar:
 Leitura (abaixo)
Proporcionalidade e escala
Nos mapas, nas maquetes e nas plantas de construç›es, as dimens›es no 
desenho e na realidade mant•m uma proporcionalidade que Ž definida por uma 
escala.
No mapa abaixo, a escala utilizada Ž de 1 ; 1 000 000. Voc• se lembra do 
que Ž escala? Veja a explicação dada por Alterson.SANTA
BÁRBARA
DO PARÁ
BENEVIDES
MARITUBA
ANANINDEUA
BELƒM
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‡
N
0 10 km
ESCALA
1¼ 30Õ S
48¼ 30Õ O
Capital de estado
Sede de município
Limite de município
Regi‹o metropolitana de BelŽm - PA
IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. 
Rio de Janeiro, 2012. (Adaptado.)
Escala eu já estudei. Significa que, neste exemplo, 
cada centímetro no mapa corresponde a 
1 000 000 de centímetros na realidade.
Como 1 000 000 cm 5 10 000 m 5 10 km, 
podemos dizer que, nessa escala, 1 cm no mapa 
corresponde a 10 km na realidade.
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Fun•‹o e Geometria92
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Exerc’cios 
 25. Com base na escala do mapa da p‡gina anterior (1 ; 1 000 000), calcule:
 a ) a dist‰ncia real de duas cidades que est‹o separadas 1,7 cent’metros no mapa; 
 b ) a dist‰ncia no mapa de duas cidades que est‹o afastadas 400 quil™metros uma da outra. 
 26. Na figura abaixo, est‹o representados dois c™modos da planta de uma casa. A sala Ž quadrada, com dimens‹o real do lado de 
6 metros.
3 cm sala
3 cm
2,5 cm
2 cmquarto
Determine:
 a ) a escala em que est‡ desenhada esta planta; 
 b ) as dimens›es reais do quarto da figura. 
 c ) Agora, fa•a o desenho, nessa escala, da cozinha dessa casa, que tem 4,8 metros por 3,6 metros, uma porta e uma janela. 
x
⇒5
1
1 000 000
1,7
 x 5 1 700 000
1 700 000 cm 5 17 km
400 km 5 40 000 000 cm
x
x⇒5 5
1
1 000 000 40 000 000
40 cm
3 cm para 6 m ou 3 cm para 600 cm
5
3
600
1
200
ou 1 200;
Comprimento: 
x
⇒5
1
200
2,5
 
⇒ x 5 500 cm 5 5 m
Largura: 
x
⇒5
1
200
2 x 5 400 cm 5 4 m
4,8 m 5 480 cm
x
⇒5
1
200 480
 x 5 2,4 cm
3,6 m 5 360 cm
x
⇒5
1
200 360
 x 5 1,8 cm
 Para construir:
 Exerc’cios 25 a 27 (p. 93 e 94)
Fun•‹o e Geometria 93
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 27. A maquete de um prŽdio Ž uma redução, em escala, em tr•s di-
mens›es. Na maquete, todas as medidas de comprimento são 
proporcionais ˆs medidas reais correspondentes.
Examine as fotografias ao lado.
O edif’cio da fotografia, de 492 metros de altura, est‡ represen-
tado na maquete com escala 1 ; 500.
 a ) Qual Ž a altura do edif’cio na maquete? 
 b ) Se a porta da frente do edif’cio tem, na maquete, 3,9 mil’metros 
de altura, qual Ž a altura real da porta? 
 c ) Se a largura real das portas Ž de 75 cent’metros, qual Ž a largura das portas na maquete? 
1
500 492
0,984 m 98,4 cmx x5 5⇒ →
1
500
3,9
1 950 mm 1,95 m
y
y5 5⇒ →
1
500 75
0,15 cm 1,5 mmz z5 5⇒ →
Proporcionalidade em tri‰ngulos 
ret‰ngulos com ‰ngulo de 30o
Realize as atividades a seguir para descobrir um novo caso de proporciona-
lidade em Geometria e aplic‡ -lo na resolução de problemas.
Exerc’cios 
 28. Com rŽgua e transferidor, construa os tr•s tri‰ngulos ret‰ngulos indicados abaixo.
30¡
3 cm
1,5 cm
hipotenusa
cateto
cateto
30¡
4 cm
2 cm
30°
6 cm
3 cm
Temos aqui mais um caso de proporcionalidade na Geometria.
Faça o que se pede.
 a ) Quais são as medidas dos tr•s ‰ngulos em cada tri‰ngulo? 
30¼, 60¼ e 90¼.
 b ) Meça o lado menor de cada tri‰ngulo.
1,5 cm; 2 cm; 3 cm.
 Para construir:
 Exerc’cios 28 a 31 (p. 94 e 95)
Centro Financeiro Mundial de 
Xangai, 4o edifício mais alto do 
mundo, em 2014.
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Maquete do edifício.
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Função e Geometria94
SER_EF2_Matematica9_M2_C2_078_113.indd 94 1/20/16 11:44 AM
 c ) Calcule em cada tri‰ngulo a raz‹o entre a medida do lado menor (opos-
to ao ‰ngulo de 30¼) e a medida do lado maior (oposto ao ‰ngulo de 90¼). 
 29. Qual Ž a altura do avi‹o em rela•‹o ao ch‹o na figura abaixo? 
 
 30. Na figura abaixo, as medidas de comprimento s‹o dadas em metros. Determine o perímetro e a ‡rea da regi‹o retangular ABCD. 
x 2 4
x 2 4
30¼
60¼
x
x � 2
A B
CD
 31. A 50 metros da base de uma encosta, encontra -se uma ‡rvore cuja base do tronco forma um ‰ngulo de eleva•‹o de 60¼ atŽ o 
topo da encosta. Que medida deve ter um cabo para ligar a base do tronco da ‡rvore ao topo da encosta? 
 Voc• sabia?
Em todos os tri‰ngulos ret‰ngulos que t•m 
um ‰ngulo de 308, a raz‹o 
medida do cateto oposto ao ângulo de 30
medida da hipotenusa
8
Ž igual a 
1
2
.
Essa raz‹o constante Ž denominada seno de 308.
1,5
3
1
2
; 2
4
1
2
; 3
6
1
2
5 5 5
A raz‹o Ž sempre igual a 1
2
.
2 500 m 
5 000
1
2
h
5




.
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180¼ 2 (90¼1 60¼) 5 30¼
x
x
2
1
5
4
2
1
2
 ⇒ 2(x 2 4) 5 1(x 1 2) ⇒ x 5 10
P 5 10 1 10 1 6 1 6 5 32 m
A 5 10 ? 6 5 60 m2
50 m
60¼
50 m
60¼
Modelo
matem‡tico
x
30¼
50 1
2
100 m.
x
x5 5⇒
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Fun•‹o e Geometria 95
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4 Feixe de retas paralelas 
e o teorema de Tales
Duas ou mais retas de um mesmo plano formam um 
feixe de retas paralelas quando, tomadas duas a duas, são 
sempre paralelas. Na figura ao lado, as retas r, s e t formam 
um feixe de retas paralelas (r // s, r // t e s // t). Indicamos 
assim: r // s // t.
Se uma reta corta uma das retas de um feixe de para-
lelas, então ela corta também as demais. Dizemos que 
essa reta é transversal ao feixe de paralelas. Na figura ao 
lado, as retas a, b, c e d formam um feixe de para-
lelas e a reta t é uma transversal a este feixe.
aA
B
C
D
1,4 cm
1,4 cm
1,4 cm
1,5 cm
1,5 cm
1,5 cm
E
F
G
H
b
c
d
ts
Em seguida, Ana mediu cuidadosamente o comprimento dos segmentos de reta 
EF , FG e GH e constatou que eles também tinham a mesma medida, que era de 1,5 cm. 
Assim, ela pôde escrever:
AB
BC
EF
FG
5 5 1, pois 1,4
1,4
1,5
1,5
5 5 1
r
s
t
a
b
c
d
t
Agora, veja o que Ana fez. 
Ela traçou uma reta s e, depois, marcou 
os pontos A, B, C e D distando igualmente 1,4 cm 
um do outro. Em seguida, traçou retas paralelas 
passando por esses pontos. Logo depois, traçou 
uma reta transversal t a esse feixe de retas 
paralelas, obtendo os pontos 
E, F, G e H.
Exercício 
 32. Trace uma reta r e marque nela quatro pontos, P, Q, R e S, distantes um do outro 2 cm. Trace retas paralelas entre si passando 
por esses pontos. Depois, trace uma reta transversal v ao feixe de paralelas formado, obtendo os pontos X, Y, Z e W. Meça cui-
dadosamente os comprimentos dos segmentos de reta , e .XY YZ ZW O que ocorreu?
Repita essa experiência algumas vezes com medidas diferentes e escreva uma conjectura, ou seja, uma hipótese, sobre os 
resultados obtidos.
Resposta pessoal. Espera -se que o aluno escreva que, nessas condições, se os segmentos de reta , ePQ QR RS são congruentes, então os segmentos de
 reta , eXY YZ ZW também são congruentes.
 
 Para construir:
 Exercício 32 (abaixo)
Na atividade acima, você fez uma constatação empírica, ou seja, concreta, de uma 
importante propriedade. Agora, vamos demonstrar essa propriedade, mostrando que 
ela vale sempre.
Função e Geometria96
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Propriedade de um feixe de paralelas
Vamos considerar um feixe de retas paralelas em que todas as retas s‹o equidis-
tantes entre si e uma reta t transversal que corta esse feixe de paralelas.
aA
B
C
D
b
c
d
t
h
h
h
Nesse caso, ,AB BC e CD s‹o congruentes, ou seja, AB 5 BC 5 CD (AB indica a 
medida de AB), uma vezque os tri‰ngulos destacados s‹o todos congruentes entre 
si (caso LAA
o
).
Logo, AB
BC
BC
CD
5 5 1 I
Agora, tra•amos outra reta transversal s ao mesmo feixe de paralelas. Vamos 
demonstrar que ,EF FG e GH s‹o tambŽm congruentes, ou seja, EF 5 FG 5 GH.
Para isso, devemos provar que EF 5 FG e FG 5 GH.
aA
B
C
D
E
I
J
F
G
H
b
c
d
st
Isso acarreta que AB 5 EI e BC 5 FJ. Como AB 5 BC, ent‹o, EI 5 FJ.
Observe que:
¥ EI 5 FJ (L);
¥ 
ö öIEF JFG5 (A) (‰ngulos correspondentes);
¥ 
ö öIFE JGF5 (A
o
) (‰ngulos correspondentes).
Assim, os tri‰ngulos EIF e FJG s‹o congruentes pelo caso LAA
o
. Portanto, EF e FG 
s‹o congruentes.
Usando o mesmo racioc’nio, podemos demonstrar que FG e GH s‹o congruentes.
Assim, ,EF FG e GH s‹o congruentes e podemos escrever:
EF
FG
FG
GH
5 5 1 II
Comparando I e II , conclu’mos que:
AB
BC
EF
FG
5
Dessa forma, fica demonstrada a propriedade:
Se um feixe de retas paralelas determina segmentos de reta congruentes sobre 
uma transversal, tambŽm determina segmentos de reta congruentes sobre qualquer 
outra reta transversal.
Inicialmente, vamos 
provar que EF 5 FG. Tra•amos os 
segmentos de reta EI e FJ, 
paralelos ˆ reta t. Com isso, ficam 
determinados os paralelogramos 
ABIE e BCJF.
Função e Geometria 97
M
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IC
A
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Teorema de Tales
Agora, vamos 
estudar o que acontece quando os 
segmentos de reta determinados por um feixe 
de paralelas sobre uma transversal não são 
congruentes entre si e têm como medidas 
números racionais.
Vimos o que 
ocorre quando um feixe de retas 
paralelas divide uma reta 
transversal em segmentos de 
reta congruentes entre si.
Considere um feixe de três retas paralelas r, s e v cortado por uma transversal t. 
Traçamos outra transversal qualquer u.
rA
B
C
E
F
yx
3x
G
s
v
ut
Nesse caso particular, AB 5 x cm, BC 5 3x cm e AB
BC
1
3
1
3
.x
x
5 5 I
Se você medir os segmentos de reta EF e ,FG poderá constatar (salvo pequenos 
erros de medição) que EF 5 y cm e FG 5 3y cm, ou seja, 
1
3
1
3
.EF
FG
y
y
5 5 II
De I e II , é possível concluir que ,AB
BC
EF
FG
5 ou seja, AB, BC, EF e FG formam 
uma proporção.
Exercício 
 33. Repita esse procedimento algumas vezes para constatar empiricamente que isso sempre ocorre.
 Para construir:
 Exercício 33 (abaixo)
Aplicando valores:
⇒
⇒
5 5
5 5
x x
x x
10
30 18
30 180
180
30
6
r
a b
x10
30 18
s
t
Fun•‹o e Geometria98
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Demonstra•‹o
Agora, vamos demonstrar, ou seja, deduzir essa propriedade, mostrando que 
ela vale sempre para qualquer feixe de retas paralelas cortado por duas retas trans-
versais quaisquer.
Consideremos as retas a // b // c, que determinam, sobre a transversal t, os seg-
mentos de reta AB e ,BC e, sobre a transversal s, os segmentos de reta A B9 9 e .B C9 9
aA
B
C
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
st
b
c
A9
B9
C9
Vamos mostrar que os segmentos de reta AB e ,BC que possuem medidas ra-
cionais, s‹o proporcionais aos segmentos de reta A B9 9 e ,B C9 9 ou seja:
AB
BC
A B
B C
5
9 9
9 9
Dividimos o segmento de reta AB em p partes e o segmento de reta BC em 
q partes, todas de medida x. No exemplo dado, p 5 3 e q 5 2.
Pelo que vimos na propriedade anterior, ao tra•armos as paralelas indicadas em 
vermelho, elas determinam, em s, segmentos de reta de mesma medida. Nesse caso, 
indicamos essa medida por y.
Assim, temos:
AB
BC
p x
q x
p
q
5
?
?
5 I A B
B C
p y
q y
p
q
9 9
9 9
5
?
?
5 II
Comparando as igualdades I e II , podemos escrever a propor•‹o:
AB
BC
A B
B C
5
9 9A B9 9A B
9 9B C9 9B C
Este Ž, portanto, o teorema de Tales:
Um feixe de retas paralelas determina, sobre duas transversais, segmentos de 
reta proporcionais.
Observações:
1a ) A demonstra•‹o pode ser estendida para feixes com mais de tr•s retas paralelas.
2a) Os matem‡ticos j‡ provaram que a propor•‹o AB
BC
A B
B C
5
9 9
9 9
 vale tambŽm para 
quando as medidas AB, BC, A9B9, B9C9 s‹o dadas por nœmeros irracionais.
Fun•‹o e Geometria 99
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Exerc’cios 
 34. Use o teorema de Tales e determine o valor de x em cada figura, considerando os valores de cada item dados na mesma unidade 
de medida.
 a ) a // b // c 
a
7
x
5
9
b
c
 b ) a // b // c e x 1 y 5 15 
a
x
y
6
4
b
c
 35. Observe a figura abaixo, que tem um feixe de retas paralelas cortado por duas transversais.
A
B
C P
S
R
Assinale somente as afirma•›es verdadeiras entre as que seguem abaixo.
 a ) X AB
BC
RS
SP
5
 b ) X BC
SP
AB
RS
5
 c ) X RP
RS
AC
AB
5
 d ) X AC
RP
BC
SP
5
 e ) AB
RS
SP
BC
5
 f ) X AC
BC
RP
SP
5
 g ) X BC AB
AB
SP RS
RS
2
5
2
 h ) AB
BC
SP
RS
5
 36. Retome e resolva a situa•‹o -problema da introdu•‹o do cap’tulo, na p‡gina 78. 
x
x
⇒5 5
7 5
9
ou 7
5 9
 5x 5 63 ⇒ x 5 12,6
x
x
⇒5 5
15 10
6
ou 15
10 6
10x 5 90 ⇒ x 5 9
x x
⇒5 5
90
50
150
ou
50
90
150
 150x 5 4 500 ⇒ x 5 30 m
 Para construir:
 Exerc’cios 34 a 38 (p. 100 e 101)
Fun•‹o e Geometria100
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 37. Avalia•‹o de resultados
Os alunos de uma classe calcularam o valor de x e de y na figura abaixo, em que a // b // c e x 1 y 5 14.
x
y 6
15
a
b
c
Ap—s a resolu•‹o eles fizeram algumas afirma•›es sobre os resultados obtidos.
Resolva voc• tambŽm e indique apenas as afirma•›es corretas.
 a ) X x Ž maior do que y
 b ) x Ž o dobro de y
 c ) x 5 
2
5
y
 d ) X y 5 
2
5
x
 e ) X x 2 y 5 6
 38. Um feixe de quatro retas paralelas determina, sobre uma transversal r, segmentos de reta de medidas 2 cm, 3 cm e 4 cm, e, 
sobre uma transversal s, determina segmentos de reta de medidas x, y e z, cuja soma Ž igual a 27 cm. Calcule a medida de cada 
um dos segmentos de reta x, y e z determinados sobre s.
2
3 y
4 z
x
r s
b
c
d
a
⇒
14
15 6
x 5 10 e y 5 4
x y
x y
1 5
5
2 1 3 1 4 5 9
x 1 y 1 z 5 27
x
5
2
27
9
 ⇒ x 5 6
y
5
3
27
9
 ⇒ y 5 9
z
5
4
27
9
 ⇒ z 5 12
x 5 6 cm; y 5 9 cm e z 5 12 cm
Aplica•›es do teorema de Tales
Divis‹o de um segmento de reta em partes iguais
Observe na constru•‹o abaixo como o segmento de reta AB foi dividido em tr•s 
partes iguais.
A R9 B
P
S
R
S9
Veja como podemos dividir 
um segmento de reta em 
partes iguais usando régua 
não graduada e 
compasso.
Fun•‹o e Geometria 101
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Então, como 
AR 5 RS 5 SP, temos 
AR9 5 R9S9 5 S9B.
Ou seja, o segmento 
de reta AB foi dividido em 
3 partes iguais.
Teorema da bissetriz de um ‰ngulo interno em um tri‰ngulo
Em todo tri‰ngulo, a bissetriz de qualquer ‰ngulo interno divide o lado oposto a ele 
em duas partes proporcionais aos lados que formam esse ‰ngulo.
Vamos demonstrar esse teorema considerando a bissetriz AD no nABC ao lado 
e mostrando que .BD
DC
AB
AC
5
Para isso, prolongamos BA e traçamos a semirreta de origem em C e paralela ˆ 
bissetriz ,AD obtendo o ponto E.
No nBEC, temos // ;AD EC logo, usando o teorema de Tales, temos: 
BD
DC
AB
AE
5 . I
Analisando a figura, vemos que:
¥ 3
ö > 4,ö pois AD Ž bissetriz do ;A
¥ 
ö
3 > 1,$ pois são correspondentes de paralelas cortadas por transversal;
¥ 
$4 > $2, pois são alternos internos de paralelas cortadas por transversal.
Então, $1 > $2. Da’, podemos afirmar que o nACE Ž is—sceles de base .EC Desse 
modo, temos que AE 5 AC . II
Comparando II e I , chegamos ˆ proporção que quer’amos mostrar: 
BD
DC
AB
AC
5 .
A
B D C
A
E
﬍1
﬍2
﬍3 ﬍4
B D C
 Para praticar:
 Tratamento da informação (p. 105)
 Outros contextos (p. 106 a 109)
 Praticando um pouco mais 
(p. 110 e 111)
 Revisão cumulativa (p. 112 e 113)
1o) Traçamos uma semirreta com origem em A e que forma um ‰ngulo agudo com .AB
2o) Com uma abertura qualquerdo compasso, obtemos os pontos R, S e P, de modo 
que AR 5 RS 5 SP.
3o) Ligamos P com B.
4o) Traçamos a reta que passa por S e Ž paralela a ,PB obtendo S9.
5o) Traçamos a reta que passa por R e Ž paralela a ,SS9 obtendo R9.
O teorema de Tales garante que ,AR R S9 9 9 e S B9 são congruentes, pois AB e AP 
são duas transversais de um feixe de paralelas.
Fun•‹o e Geometria102
SER_EF2_Matematica9_M2_C2_078_113.indd 102 1/20/16 11:44 AM
Exerc’cios 
 39. Usando régua não graduada e compasso:
 a ) trace um segmento de reta qualquer EF na posição vertical e divida -o em três partes iguais;
 b ) trace um segmento de reta qualquer AB e divida -o em 5 partes iguais.
 40. Em um nPQR, temos PQ 5 10 cm, QR 5 20 cm e RP 5 15 cm. O ponto X pertence a ,PQ o ponto Y pertence a ,PR e XY é para-
lelo a .QR Sabendo que PX 5 6 cm, calcule XQ, PY e YR.
 41. Calcule o valor de x em cada item abaixo.
 a ) 
12
15 2 x
6
E
G
R
x
F
 b) 
16
x
10
8
S
B
A
C
 c) 
65
M
N
P
A
x
x 1 1
60
 Para construir:
 Exercícios 39 a 41 (abaixo)
Chame a atenção para o fato de que, determinado o ponto U9, com a abertura 9BU do 
compasso, podemos determinar T9, S9 e R9 sem traçar as paralelas.
E
F
P
S
R
R9
S9
A R9
R
S
T
U
V
S9 T9 U9 B 
P
a 1 b 5 15
Q
X
10
20
6
15
Y
R
b
a
XQ: 10 2 6 5 4
PY: 
a
a⇒5 5
10
6
15 9
YR: b 5 15 2 9 5 6
Logo, XQ 5 4 cm; PY 5 9 cm; YR 5 6 cm.
ER é bissetriz do nFEG. 
FG mede 15.
15
6
12
5
x
x
x
2
5 5⇒
BS é bissetriz do nABC.
10
8 16
20
x
x5 5⇒
NA é bissetriz do nMNP.
1
60
65
12
x
x
x
1
5 5⇒
Fun•‹o e Geometria 103
M
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5 Outras situa•›es que envolvem 
proporcionalidade em Geometria
Agora, você vai aplicar o que estudou em mais algumas situações.
Exerc’cios 
 42. A maquete de um prédio foi feita na escala 1 ; 40. Nessa maquete a janela tem base de 4 centímetros e altura de 3 centímetros.
Quais são as medidas reais da janela? 
 43. Calcule o perímetro do triângulo ABC sabendo que ∕∕ .BC DE Admita todas as medidas em centímetros. 
4x C
B
D
2x
x E
x 1 5
x 2 2
A
 44. Se as retas a, b, c e d são paralelas, use o que você estudou sobre feixe de paralelas cortado por transversais para calcular x e y. 
10x
9
64
t u a
b
c
d
y
 45. Projeto em equipe: descobrindo a altura da escola
Você e seus colegas vão determinar a altura aproximada do prédio de sua escola. Para isso, 
vão precisar de uma fita métrica e escolher determinado horário em um belo dia de sol.
Etapas do trabalho:
1a) Escolham um dia de sol e vão todos para o pátio.
2a) Meçam o comprimento da sombra do prédio da escola.
3a) Meçam a altura de um aluno e sua respectiva sombra.
4a) Estabeleçam uma proporção adequada e calculem o valor procurado. 
 Para construir:
 Exercícios 42 a 45 (abaixo)
Base: 
x
⇒5
1
40
4 x 5 160 cm 5 1,60 m
Altura: 
y
⇒5
1
40
3 y 5 120 cm 5 1,20 m
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Se necessário, dê a dica: desloque a transversal t para a direita, 
mantendo sua inclinação em relação ao feixe de paralelas.x
y
⇒5 5
4
6
10
9
2
3
 2x 5 30 ⇒ x 5 15
3y 5 18 ⇒ y 5 6
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 Respostas pessoais. Uma proporção possível: 
altura da escola
sombra da escola
altura do aluno
sombra do aluno
.5 Para aprimorar:
 Raciocínio lógico (abaixo)
 Uma peça de tecido tinha 20 metros de comprimento. A cada dia, um vendedor corta um pedaço de 2 metros. Em que dia 
ele fará o último corte, se fez o primeiro no dia 1o? No dia 9.
Racioc’nio l—gico
x
x
x
x1
5
2
2
5 2
 ⇒ 2x2 2 4x 5 x2 1 5x ⇒ 
⇒ x2 2 9x 5 0 ⇒ x9 5 0 (não é considerado) 
ou x0 5 9
Perímetro: 27 1 21 1 36 5 84 cm
18
9
7
14
36
Função e Geometria104
SER_EF2_Matematica9_M2_C2_078_113.indd 104 1/20/16 11:44 AM
Tratamento da informação
Interpretação de tabelas e construção de gráficos
 46. Um pouco da hist—ria do automobilismo
O automobilismo foi criado poucos anos ap—s o engenheiro mec‰nico alem‹o Karl Benz (1844-1929) 
patentear o primeiro autom—vel movido a motor de combust‹o interna, em 1886.
A primeira corrida oficial de autom—veis ficou conhecida como Paris -Rouen e foi realizada em 22 de 
julho de 1894, na Fran•a. O percurso ia da capital Paris atŽ a cidade de Rouen, abrangendo 126 km. O 
primeiro a completar essa dist‰ncia foi o franc•s Jules Albert de Dion, que n‹o recebeu o pr•mio por 
terem considerado que seu carro n‹o atendia ˆs especifica•›es tŽcnicas do campeonato. O pr•mio 
oficial foi concedido, ent‹o, ao franc•s George Lema”tre.
Ao longo dos anos, o automobilismo foi evoluindo. Os carros foram se modernizando e apresen-
tando cada vez mais inova•›es tecnol—gicas.
Atualmente, o automobilismo Ž um dos esportes mais populares do mundo, englobando v‡rias 
modalidades, desde as corridas de kart, passando pelas corridas de Stock Car, F—rmula 3, F—r-
mula 3 000, atŽ a modalidade mais famosa, a F—rmula 1.
Nessa modalidade, por exemplo, destacaram -se v‡rios pilotos brasileiros, entre eles, Ayrton 
 Senna (1960 -1994), Nelson Piquet (1952 -), Emerson Fittipaldi (1946 -), Rubens Barrichello 
(1972 -) e Felipe Massa (1981 -).
Observe o quadro ao lado, que mostra os maiores vencedores da 
F—rmula 1, atŽ 2014.
 a ) H‡ quantos anos ocorreu a primeira corrida oficial de autom—veis? 
Resposta ir‡ depender do ano vigente.
 b ) Qual Ž a mŽdia aritmŽtica do nœmero de vit—rias dos quatro maio-
res vencedores da F—rmula 1? 
 c ) Qual Ž a moda do nœmero de vit—rias dos maiores vencedores da 
F—rmula 1? 
 d ) Construa um gr‡fico de colunas com os quatro maiores vencedores 
da F—rmula 1 e seus respectivos nœmeros de vit—rias.
5
1 1 1
5MA 91 51 41 39
4
55,5
Mo 5 25
51
41
39
91
Schumacher Prost Senna Vettel
Piloto
Nœmero de vit—rias
Nœmero de vit—rias dos quatro 
maiores vencedores da F—rmula 1
M
ik
e
 H
e
w
it
t/
G
e
tt
y
 I
m
a
g
e
s
Ayrton Senna ergue o trofŽu 
ap—s vencer o Grande Pr•mio 
da Europa de F—rmula 1, 
em 1993.
Os maiores vencedores da F—rmula 1
Ranking Nome do piloto
Pa’s de 
origem
Nœmero de 
vit—rias
1o
Michael 
Schumacher
Alemanha 91
2o Alain Prost Fran•a 51
3o Ayrton Senna Brasil 41
4o Sebastian Vettel Alemanha 39
5o Lewis Hamilton Inglaterra 33
6o Fernando Alonso Espanha 32
7o Nigel Mansell Inglaterra 31
8o Jackie Stewart Esc—cia 27
9o Niki Lauda çustria 25
9o Jim Clark Esc—cia 25
10o
Juan Manuel 
Fangio
Argentina 24
Fonte: Corrida F1. Dispon’vel em: <www.corridadeformula1.com> 
Acesso em: 14 maio 2015.
105Fun•‹o e Geometria
M
A
T
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M
Á
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A
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Outros contextos
 47. Área gráfica
Entre os padrões de tamanho de papel, o sistema internacional (A4 e derivados) é o mais adotado na maioria dos países. O formato 
base desse sistema é uma folha de papel com 1 m2 de área (tamanho A0). A grande vantagem desse sistema é a proporção entre 
os lados do papel, que é a mesma em todos os tamanhos do padrão. A razão entre os dois lados é sempre igual a 2 .
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A0
 48. Arquitetura e Engenharia civil
No projeto para a construção de uma casa, foi planejada a colocação de uma porta 
e de uma janela em uma parede com base de 8 m e altura de 4,8 m.
 a ) Calcule as medidas da porta e da janela considerando as seguintes informações: 
• a razão entre a medida da base da porta e a medida da base da parede é 1
4
; 
• a razão entre a medida da altura da porta e a medida da altura da parede é 23
; 
• a janela tem a forma quadrada e cada um de seus lados mede 4
5
 da medida da 
base da porta. 
Utilize os dados 
acima para calcular as 
dimens›es, em mil’metros, 
do tamanho A0. 
Use calculadora. 
Sejam x e y as dimensões do papel. Então, podemos escrever:
 I x ? y 5 1 II x
y
5 2
De I , podemos escrever y 5
x
1 . Ao substituirmos em II , temos:
x
x
x x⇒ ⇒5 5 5
1
2 2 22 . 1,189
Altura:1,189 m ou 1 189 mm.
y 5
x
1 . 1
1,189
 . 0,8410
Largura: 0,8410 m ou 841 mm.
Dimensões: 841 mm e 1 189 mm.
Base da parede: 8 m ou 800 cm
Altura da parede: 4,8 m ou 480 cm
Cálculo da base da porta: x 5
800
1
4
 ⇒ x 5 200; 200 cm
Cálculo da altura da porta: 
y
5
480
2
3
 ⇒ y 5 320; 320 cm
Lado da janela: 4
5
 de 200 5 160; 160 cm
106 Função e Geometria
SER_EF2_Matematica9_M2_C2_078_113.indd 106 1/20/16 11:45 AM
 b ) Faça um desenho da parede com a porta e a janela, na escala 1 ; 160. Você escolhe a posição da porta e da janela.
 49. Localização de cidades
Use o mapa abaixo e descubra qual é a distância real entre as cidades A e B. 
A
B
N
Tr—pico de Capric—rnio
0 400 km
ESCALA
45¼
Brasil Ð Minas Gerais e Paraná
IBGE. Atlas geogr‡fico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro, 2012. 
(Adaptado.)
 50. Produção industrial
Uma indústria de embalagens fabrica dois tipos de caixa para presentes: grande e pequena. A razão entre as dimensões corres-
pondentes da caixa pequena para a caixa grande é de 5 para 7.
 a ) Calcule as dimensões da caixa pequena. 
1,25 cm
2 cm
3 cm
1 cm
5 cm
Cálculo da base da parede: b51
160 800
 ⇒
⇒ b 5 5 cm
Cálculo da altura da parede: h51
160 480
 ⇒
⇒ h 5 3 cm
Cálculo da base da porta: 
p
5
1
160 200
 ⇒
⇒ p 5 1,25 cm
Cálculo da altura da porta: a51
160 320
 ⇒
⇒ a 5 2 cm
Lado da janela: 4
5
 de 1,25 5 1 cm
880 km (2,2 ? 400)
14 cm
21 cm
35 cm
?
?
?
15 cm
25 cm
10 cm
x
5
14
5
7
⇒ 7x 5 70 ⇒ x 5 10
y
5
21
5
7
⇒ 7y 5 105 ⇒ y 5 15
z
5
35
5
7
⇒ 7z 5 175 ⇒ z 5 25
Dimensões: 10 cm, 15 cm e 25 cm.
Função e Geometria 107
M
A
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ç
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 b ) Verifique em que caso se gasta mais material: na fabrica•‹o de 100 caixas grandes ou na fabrica•‹o de 180 caixas pequenas. 
 c ) Determine, por dois caminhos diferentes, a raz‹o entre as medidas do volume da caixa pequena e do volume da caixa grande, 
nessa ordem. 
 51. Espa•o empresarial
Em uma empresa de telemarketing, h‡ um sal‹o retangular de 10 m por 
11 m, no qual devem ser montadas tr•s salas para os operadores receberem 
e realizarem liga•›es.
As salas devem ter capacidade, respectivamente, para 15, 10 e 20 cabines, 
alŽm de um escrit—rio para a supervis‹o, com 20 m2.
 a ) Se a ‡rea de cada sala deve ser proporcional ˆ quantidade de cabines, 
qual deve ser a ‡rea de cada sala? 
 b ) Fa•a um desenho na escala de 1 cm para cada metro que satisfa•a as condi•›es do problema. 
1o caminho: 




5 5
5
7
5
7
125
343
3
3
3
2o caminho: volume da caixa pequena 5 10 ? 15 ? 25 5 3 750 cm3
volume da caixa grande 5 35 ? 21 ? 14 5 10 290 cm3
raz‹o 5
;
;
5 5
3 750
10 290
375
1 029
125
343
3
3
J
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c
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s
o
n
 R
o
m
a
n
e
ll
i/
E
M
/D
.A
 P
r
e
s
s
çrea do sal‹o: 10 ? 11 5 110; 110 m2
çrea para as salas de cabines: 110 2 20 5 90; 90 m2
Chamando de x a ‡rea da sala de 15 cabines, de y a ‡rea da sala de 
10 cabines e de z a ‡rea da sala de 20 cabines, temos:
x y z x y z⇒5 5
1 1
1 1
5
15 10 20 15 10 20
90
45
 5 2
x
15
 5 2 ⇒ x 5 30
y
10
 5 2 ⇒ y 5 20
z
20
 5 2 ⇒ z 5 40
Portanto, a sala de 15 cabines deve ter 30 m2; a de 10 cabines, 20 m2; 
e a de 20 cabines, 40 m2.
Resposta pessoal.
No desenho as medidas devem ser em cent’metros.
3 m 3 m 4 m
5 m
Escrit—rio
20 m2
15 cabines
30 m2
20 cabines
40 m2
10 m
5 m
10 cabines
20 m2
4 m 3 m 4 m
Empresa de telemarketing.
Em uma caixa grande:
2(35 ? 21) 1 2(35 ? 14) 1 2(21 ? 14) 5 1 470 1 980 1 588 5 3 038; 3 038 cm2
Em uma caixa pequena:
2(10 ? 15) 1 2(10 ? 25) 1 2(15 ? 25) 5 300 1 500 1 750 5 1 550; 1 550 cm2
Em 100 caixas grandes: 
100 ? 3 038 5 303 800; 303 800 cm2 ou 30,38 m2
Em 180 caixas pequenas:
180 ? 1 550 5 279 000; 279 000 cm2 ou 27,9 m2
30,38 m2 . 27,9 m2
Se gasta mais material em 100 caixas grandes.
Fun•‹o e Geometria108
SER_EF2_Matematica9_M2_C2_078_113.indd 108 1/20/16 11:45 AM
 52. Miniaturas
Muitas pessoas t•m o h‡bito de colecionar miniaturas de autom—veis, uma paix‹o que atrai desde crian•as e jovens atŽ os mais 
velhos. Muitas empresas, inclusive, acabam se especializando nessa pr‡tica, reproduzindo miniaturas de veí culos reais e atŽ 
mesmo daqueles retirados de filmes e desenhos animados.
Acompanhe a situa•‹o a seguir.
Uma empresa fabricante de miniaturas de autom—veis deseja construir uma rŽplica de um modelo como o da fotografia abaixo.
Considere que as escalas de fabrica•‹o dessa empresa s‹o:
¥ 2 ; 25
¥ 1 ; 16
¥ 1 ; 18
¥ 1 ; 20
¥ 1 ; 24
 a ) Se a miniatura do veículo da fotografia est‡ na escala de 1 ; 18 e mede 25 centímetros de comprimento, qual Ž a medida do 
comprimento:
¥ do veículo original? 
¥ da miniatura na escala 1 ; 20? 
¥ da miniatura na escala 2 ; 25 ? 
 b ) Entre as escalas 1 ; 16 e 1 ; 20, qual resulta em uma miniatura de comprimento maior? Justifique sua resposta.
Miniatura.
In
s
a
d
c
o
 P
h
o
to
g
ra
p
h
y
/A
la
m
y
P
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a
lb
o
t/
A
la
m
y
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Veículo original.
1 ; 16 
1
16
1
20
.( ); como os numeradores s‹o iguais, quanto menor o denominador da fra•‹o, maior a fra•‹o e maior a miniatura.
Veículo original: 
x
x⇒5 5
1
18
25
450 ; 450 cm ou 4,50 m
Miniatura na escala 1 ; 20 → x ⇒51
20 450
 20x 5 450 ⇒ x 5 22,5 cm
Miniatura na escala 2 ; 25 → x ⇒52
25 450
 25x 5 900 ⇒ x 5 36 cm
As imagens desta p‡gina n‹o est‹o em 
propor•‹o.
Fun•‹o e Geometria 109
M
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Praticando um pouco mais
 1. (Cesgranrio -RJ) As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela transversal t. Se o ângulo $B é o triplo de µA, então quanto vale 
B 2 A? 
r
x
A
t
B
s
 2. (PUC -MG) Em um mapa, o parque turístico P e as cidades A, B, C e D estão dispostos conforme a figura abaixo, sendo AB pa-
ralelo a CD.
C
B
P
D
A
Sabendo -se que, na realidade, AB 5 40 km, AD 5 30 km e DC 5 25 km, a distância da cidade A até o parque P, em quilômetros, é:
 a ) 65.
 b ) 70. 
 c ) 75.
 d ) 80.
 3. (Vunesp – Adaptado) Considere três retas paralelas, r, s e t, cortadas por duas outras retas, conforme a figura. 
r
s
3
5
10
yx
4
t
As medidas dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente:
 a ) 3
20
e 3
40
.
 b ) 6 e 11.
 c ) 9 e 13.
 d ) 11 e 6.
 e ) 20
3
e 40
3
. 
x 5 3A; x 1 A 5 1808; 
3A 1 A 5 1808 ⇒ 4A 5 1808 ⇒ A 5 458; 
B 5 1808 2 45 5 1358; 1358 2 458 5 908
30 25
40
x
A
D
C
P
B
PA
PD
x
x
x
⇒ ⇒
⇒
5
1
5
5
40
25
(30 ) 8
5
50
AP 5 AD 1 PD 5 30 1 50 5 80
X
X
5
4
3
20
3
;
4
10
3
40
3
x
x
y
y5 5 5 5⇒ ⇒
110 Função e Geometria
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 4. (Ufac) Na figura a seguir, ABC Ž um tri‰ngulo, e os segmentos de reta BC e MN s‹o paralelos. Dado que BC 5 10, MN 5 5 e 
MB 5 6, a medida do segmento AM Ž:
 a ) 9.
 b ) 6.
 c ) 5.
 d ) 7.
 e ) 10.
 5. (UFRRJ - Adaptado) Pedro est‡ construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y Ž 42 e 
que as retas r, s e t s‹o paralelas.
A diferen•a x 2 y Ž:
 a ) 2.
 b ) 4.
 c ) 6. 
 d ) 10.
 e ) 12.
 6. O circuito triangular PRT de uma corrida est‡ esquematizado na figura a seguir. As ruas TP e SQ s‹o paralelas. Partindo de S, 
cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Assinale a op•‹o 
que indica o per’metro do circuito.
 a ) 4,5 km.
 b ) 19,5 km.
 c ) 20,0 km.
 d ) 22,5 km.
 e ) 24,0 km.
A
B C
NM
6
x
5
10
(6 )
5
10
6
AM
AB
MN
BC
x
x
x5
1
5 5⇒ ⇒
X
r
s
t
x
y
8
6
8 8 6 8
42
14
24;
42 24 18; 24 18 6
x x y x
x
y x y
5
1
1
5 5
5 2 5 2 5 2 5
⇒ ⇒
X
⇒ ⇒
TR
SR
PR
QR
x
x
x
(3 ) 6
4
65
1
5 5
⇒ ⇒
TP
SQ
PR
QR
y
y
3
6
4
4,55 5 5
Per’metro: 6 1 4 1 2 1 4,5 1 3 5 19,5
R
Av. QR
QP
T
S
Rua TS
Rua TP
Rua PQ
Rua TS 5 3 km
Rua SQ 5 3 km
Rua PQ 5 2 km
Av. QR 5 4 km
Rua SQ
Av. SR
X
Função e Geometria 111
M
A
TE
M
Á
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IC
A
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Revisão cumulativa
 1. Calcule as medidas a e b dos segmentos de reta determinados pelas paralelas cortadas pelas transversais t e u, sabendo que a 
diferen•a dessas medidas Ž 1,5 cm. 
4
6
b
a
tu
 2. Em volta de uma pista circular com 60 m de raio, ser‹o plantadas 25 ‡rvores mantendo sempre a mesma dist‰ncia entre duas 
‡rvores vizinhas. Qual deve ser a dist‰ncia aproximada entre duas ‡rvores vizinhas? 
 3. Com os algarismos 1 , 5 , 6 e 9 :
 a ) quantos nœmeros naturais de dois algarismos distintos podemos formar? 
12 nœmeros (4 ? 3 5 12; 15, 16, 19, 51, 56, 59, ... , 96).
 b ) quantos nœmeros naturais de quatro algarismos distintos podemos formar? 
24 nœmeros (4 ? 3 ? 2 ? 1; 1 569, 1 596, 1 659, ... , 9 651).
 c ) quantos nœmeros ’mpares de tr•s algarismos distintos podemos formar? 
18 nœmeros (3 ? 4 1 6 ou 3 ? 6; 159, 165, 169, 195, ... , 965).
a
b
b a
4
6
e 1,55 2 5




⇒
a b
b a
6 4 0
1,5
2 5
2 5
a 5 3 e b 5 4,5
Aproximadamente 15 m 
2 ? 3,14 ? 60 5 376,8; 376,8 ; 25 5 15,072
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
112 Fun•‹o e Geometria
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 4. As retas r, s e t formam um feixe de paralelas. Determine o valor de x e confira a proporcionalidade dos quatro segmentos de 
reta assinalados. 
15 4x
r
s
t
x 1 3x 1 1
 5. Um poste tem 18 m de altura e fica ao lado de um prŽdio. Em determinado momento de um dia de sol, a sombra do poste mede 
8 m a menos do que a altura do poste e tem 15 m a menos do que a sombra do prŽdio. Qual Ž a altura do prŽdio? 
 6. A raz‹o entre as medidas da largura e do comprimento de um ret‰ngulo Ž 2
3
, e o per’metro deste ret‰ngulo Ž de 30 cm. Qual Ž 
a ‡rea da regi‹o determinada por ele? 
? a
b
 7. O que significa dizer: Òa planta de uma cidade foi desenhada na escala 1 por 10 000Ó? 
Para cada unidade na planta (1 cm, por exemplo), correspondem 10 000 unidades na realidade (no caso desse exemplo: 10 000 cm ou 100 m).
 8. Resolva estes sistemas de 2o grau.
 a ) 3x y 7
x 2y 62
2 5
2 5



 b ) 
xy 1
x 2y 1
5
2 5



 
 9. (Fuvest -SP) A fun•‹o que representa o valor a ser pago ap—s um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria Ž:
 a ) f(x) 5 x 23.
 b ) f(x) 5 0,97x.
 c ) f(x) 5 1,3x.
 d ) f(x) 5 23x.
 e ) f(x) 5 1,03x.
x
x
x
15
4
1
3
5
1
1
 ⇒ 4x(x 1 1) 5 15(x 1 3) ⇒
⇒ 4x2 2 11x 2 45 5 0 ⇒ x9 5 5 e x0 5 18
8
2 (n‹o serve)
Logo, 15
20
6
8
5 .
18 2 8 5 10
10 1 15 5 25
⇒x x
18
25
10
455 5
Altura: 45 m.





⇒




a
b
a b
a b
a b
2
3
15
3 2 0
15
5
1 5
2 5
1 5
 ⇒
⇒ a 5 6 e b 5 9
çrea: 9 ? 6 5 54 cm2.
x 5 4 e y 5 5 
ou x 5 2 e y 5 21 ou x 5 21 e y 5 21
x 5 2 e y 5 
1
2 
X 100% 2 3% 5 97% 5 0,97; 97% de x 5 0,97x
Fun•‹o e Geometria 113
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Semelhan•a3
 Capítulo
1 Introdu•‹o
No dia a dia dizemos que duas ÒcoisasÓ s‹o semelhantes quando s‹o ÒparecidasÓ, 
quando t•m algumas propriedades comuns. Assim, frequentemente dizemos que 
pessoas, animais, plantas, prŽdios, autom—veis e muitos outros objetos e figuras s‹o 
semelhantes.
Em Matem‡tica n‹o Ž a mesma coisa, j‡ que usamos o termo semelhante em um 
sentido mais espec’fico, mais restrito, pois estamos interessados nos objetos ou nas 
figuras que t•m a mesma forma, podendo ou n‹o ter o mesmo tamanho.
Essa ideia matem‡tica tem aplica•›es nas mais diversas ‡reas 
do conhecimento. Veja, por exemplo, a obra de arte ao lado. 
Nela, o artista holand•s Maurits Cornelis Escher (1898-
-1970) utilizou, com espetacular genialidade, figuras 
semelhantes para realizar essa composi•‹o ar-
t’stica. Para isso, ele aplicou conceitos como os 
de transla•‹o e homotetia, que s‹o dois 
exemplos de transforma•›es geomŽtricas.
Neste cap’tulo, vamos estudar se-
melhan•a entre figuras, abordando, entre 
outros assuntos, amplia•›es e redu•›es, 
semelhan•a de pol’gonos (mais especifi-
camente de tri‰ngulos) e as transforma-
•›es geomŽtricas.
figuras que t•m a mesma forma, podendo ou n‹o ter o mesmo tamanho.
Essa ideia matem‡tica tem aplica•›es nas mais diversas ‡reas 
do conhecimento. Veja, por exemplo, a obra de arte ao lado. 
Nela, o artista holand•s Maurits Cornelis Escher (1898-
-1970) utilizou, com espetacular genialidade, figuras 
semelhantes para realizar essa composi•‹o ar-
t’stica. Para isso, ele aplicou conceitos como os 
de 
•›es geomŽtricas.
C’rculo Limite III, de 
M. C. Escher, 1959.
M.C.Escher/C
ordon
 Art 
B.V.
, Ba
arn
, P
a’s
es
 B
aix
os
 Objetivos:
• Identificar figuras 
semelhantes. 
• Estudar formalmente a 
função afim.
• Estudar formalmente a 
função quadrática.
114 Função e Geometria
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 114 1/20/16 11:46 AM
2 Figuras semelhantes
Quando ampliamos, reduzimos ou reproduzimos uma fotografia, as medidas dos 
seus ângulos correspondentes não mudam, e as medidas dos seus lados mantêm 
proporcionalidade com as medidas dos lados correspondentes da fotografia ampliada, 
reduzida ou reproduzida.
Observe as fotografias abaixo, nas quais houve uma ampliação de A para B:
A
4 cm
3 cm
 B
6 cm
4,5 cm
¥ 5
4
6
3
4,5
, pois 4 ? 4,5 5 6 ? 3. Simplificando 4
6
, obtemos 2
3
.
¥ 
2
3 é a razão de proporcionalidade entre A e B.
Logicamente, a razão de proporcionalidade entre B e A é 32
.
Em casos como esse, de ampliação de fotografias, assim como de redução ou de 
reprodução, dizemos que a fotografia original e a fotografia obtida são figuras seme-
lhantes: nelas, os comprimentos correspondentes são proporcionais e os ângulos 
correspondentes são congruentes.
F
o
to
s
: 
IK
O
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Exerc’cios 
 1. Sem efetuar medições e considerando as fotografias anteriores, responda:
 a ) Como são os ângulos nos “cantos” da fotografia A? E da fotografia B? 
Retos (portanto, têm a mesma medida).
 b ) Se a altura da menina na fotografia A é de 1,8 cm, qual é essa medida na fotografia B? 
 c ) Se o ângulo formado pelos braços da menina mede 80º na fotografia A, quanto ele mede na fotografia B? 
80º.
 Para construir:
 Exercícios 1 e 2 (p. 115 e 116)
4
6
1,8
2,7⇒
x
x5 5
Fun•‹o e Geometria 115
M
A
T
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 2. Veja agora a redu•‹o da mesma fotografia A para uma fotografia C. Sem medir, calcule e responda:
 a ) Qual é o comprimento da fotografia C? 
 b ) Como s‹o as medidas de dois ‰ngulos correspondentes nas duas 
fotografias? 
Iguais.
 c ) Os dois ret‰ngulos dos contornos dessas fotografias s‹o figuras semelhantes? 
Sim.
A
4 cm
3 cm
C
?
1,5 cm
⇒
3
1,5
4 2 cm
x
x5 5
Amplia•‹o e redu•‹o de figuras
A amplia•‹o de fotografias, a figura ampliada ou reduzida em uma copiadora, 
as imagens na tela do cinema, a representa•‹o gráfica de continentes, países ou ci-
dades por meio de mapas, a representa•‹o gráfica de casas e prédios por meio de 
plantas, os aeromodelos, as maquetes de edifícios, as miniaturas etc. s‹o exemplos 
concretos de figuras semelhantes em nosso cotidiano.
L
e
n
s
 T
ra
v
e
l/
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
M
a
je
c
zk
a
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
O casal Arnolfini, de Jan van Eyck, 1434.
Mpanch/Shuttersto
ck/G
lo
w
 Im
a
g
e
s
J
a
n
 v
a
n
 E
y
ck
/G
a
le
ri
a
 N
a
c
io
n
a
l,
 L
o
n
d
re
s
, 
In
g
la
te
rr
a
Detalhe ampliado do 
espelho que aparece 
ao fundo, no quadro.
Miniatura 
da Torre 
Eiffel.
Torre Eiffel, Paris, França. Foto de 2014.
Função e Geometria116
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 116 1/20/16 11:46 AM
Ampliar ou reduzir uma figura significa conservar a sua forma e modificar propor-
cionalmente seu tamanho.
Nas figuras de cada item abaixo, dizemos que b e c são ampliações de a ou que a 
e b são reduçõesde c.
 I) a )
 
 b ) 
 
 c ) 
 
II) a )
 
 b )
 
 c )
 
Processos para ampliar e reduzir figuras
Examine estes exemplos:
 a ) 
 
 Figura original. Figura ampliada.
Neste cap’tulo, 
vamos mostrar algutns processos 
para ampliar ou reduzir figuras.
Um processo bem simples Ž o de 
quadricular a figura a ser 
ampliada ou reduzida.
Exerc’cio 
 3. Você já tentou ampliar ou reduzir figuras? Desenhe uma figura qualquer abaixo e procure ampliá-la ou reduzi-la.
 Para construir:
 Exercício 3 (abaixo)
Resposta pessoal. Deixe que os alunos descubram maneiras próprias de ampliar ou reduzir figuras.
Função e Geometria 117
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 117 1/20/16 11:46 AM
Exercícios 
 4. Descreva o processo que foi usado para ampliar e reduzir as figuras anteriores. 
Em a, foi usado um quadriculado maior. Em b, para cada tr•s unidades de comprimento, tomou-se uma unidade na figura reduzida.
 5. Copie as figuras abaixo no espa•o quadriculado. Reduza as medidas dos lados da primeira figura (a) pela metade. Amplie as 
medidas dos lados da segunda (b) em tr•s vezes.
 a ) b ) 
 6. Use sua criatividade e desenhe algumas figuras no espa•o quadriculado. Depois, fa•a amplia•›es ou redu•›es delas.
 Para construir:
 Exerc’cios 4 a 9 (p. 118 e 119)
Resposta
pessoal.
 b ) 
 
 Figura original. Figura reduzida.
Fun•ão e Geometria118
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 118 1/20/16 11:46 AM
 7. Considere uma figura qualquer. Fa•a uma c—pia dela.
 8. Veja as figuras na malha quadriculada ao lado:
 Observe que as regi›es planas I e II s‹o semelhantes. II Ž uma redu•‹o 
de I .
• Cada segmento de reta da figura II mede 
2
3
 de seu correspondente na figura 
I . Por exemplo: A9B9 5 2
3
 de AB; B9C9 5 2
3
 de BC.
• Cada ‰ngulo da figura II Ž congruente ao seu correspondente na figura I . 
Por exemplo: öA9 > ö ö,A B9 > ö.B
 Agora, em cada item a seguir, use o espa•o quadriculado, reproduza a figura dada e fa•a o que Ž solicitado. Depois, verifique se 
a figura original e a figura obtida s‹o semelhantes.
 a ) A partir da figura III , obtenha a figura IV , dobrando a medida de todos os segmentos de reta da III e mantendo as medidas 
dos ‰ngulos.
 b ) A partir da figura V , obtenha a figura VI , considerando sempre a ter•a parte das medidas de todos os segmentos de reta 
da V e as mesmas medidas dos ‰ngulos.
 9. Analise os tr•s ret‰ngulos em vermelho (ao lado) e verifique se, entre 
eles, h‡ dois que s‹o semelhantes. 
Resposta pessoal.
A B
CD
II
E
AÕ BÕ
CÕDÕ
EÕ
I
N‹o h‡ dois ret‰ngulos semelhantes entre estes tr•s.
A e B: 3
3
2
1
;± A e C: 3
2
2
1
;± B e C: 3
2
1
1
± .
A
 
B
 
C
III
IV
V
VI
Função e Geometria 119
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 119 1/20/16 11:46 AM
Figuras semelhantes 
e figuras congruentes
Quando reproduzimos, ampliamos ou reduzimos uma figura de acordo com 
os processos anteriores, dizemos que as figuras obtidas s‹o semelhantes ˆ figu-
ra original.
Voc• pode notar que as figuras b, c e d abaixo s‹o semelhantes ˆ figura a.
Redução de aReprodução de a
Ampliação de a
a) c)
b)
d)
ƒ claro que a reprodu•‹o, alŽm de ter a mesma forma que a figura original, tem 
tambŽm o mesmo tamanho. Por isso, original e c—pia recebem o nome de figuras 
congruentes. Assim, todas as figuras congruentes entre si, isto Ž, figuras que t•m a 
mesma forma e o mesmo tamanho, s‹o tambŽm semelhantes. A congru•ncia Ž, por-
tanto, um caso particular de semelhan•a.
Os diagramas abaixo ilustram essa situa•‹o:
Pares de figuras 
Pa
res
 de fi
guras semelhantes
Pares de 
figuras 
congruentesDuas figuras
Semelhantes
N‹o semelhantes
Congruentes
N‹o congruentes
Função e Geometria120
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 120 1/20/16 11:46 AM
Exercícios 
 10. Analise os três cilindros abaixo e identifique os dois que são figuras semelhantes.
CBA
 11. 
Examine as figuras abaixo. 
Forme pares de figuras semelhantes 
e indique aqueles que, além de as 
figuras serem semelhantes, são 
também congruentes.
 a ) f ) j ) 
 b ) g ) k ) 
 c ) h ) l ) 
 d ) i ) m ) 
 e ) 
A e C (a altura de A é o dobro da de C. A medida 
do raio das bases de A é o dobro da medida do 
raio das bases de C. O ângulo formado pelas 
linhas tracejadas em A é o mesmo que aquele 
formado pelas linhas tracejadas em C).
X X
Semelhantes: a e h, c e k, f e i, g e l; 
Semelhantes e congruentes: f e i.
 Para construir:
 Exercícios 10 e 11 (abaixo)
Fun•‹o e Geometria 121
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 121 1/20/16 11:46 AM
Semelhan•a de pol’gonos
No exerc’cio 9 da p‡gina 119, apesar de as figuras A, B e C serem ret‰ngulos, ne-
nhuma delas Ž reprodu•‹o, amplia•‹o ou redu•‹o de outra.
Vamos, ent‹o, tornar mais precisa essa ideia intuitiva de semelhan•a, explicando 
o que queremos dizer com ter a mesma forma.
Os ‰ngulos correspondentes t•m a mesma medida, e os segmentos de reta cor-
respondentes t•m medidas proporcionais. Podemos dizer, ent‹o, que o nABC e o 
nA9B9C9 s‹o semelhantes e indicamos assim: nABC , nA9B9C9.
ƒ isso que queríamos dizer 
com ter a mesma forma ou ser 
semelhante.
Generalizando, no caso de dois 
polígonos, basta verificar se têm ângulos 
correspondentes congruentes e se os lados 
correspondentes são proporcionais.
Lembre-se de que AB representa a medida de um segmento de reta AB , e m µ)(A 
representa a medida de um ‰ngulo .µA Analise as medidas nos tri‰ngulos ABC e A9B9C9 
na atividade acima e observe que:
m mµ µ) )( (A A5 9
m m$ $) )( (B B5 9
m mµ µ) )( (C C5 9
e tambŽm que:
2; C 2; 2A B
AB
B
BC
A C
AC
9 9
5
9 9
5
9 9
5 ou 2A B
AB
B C
BC
A C
AC
9 9
5
9 9
5
9 9
5
Este nœmero constante (2) é chamado 
de coeficiente (razão ou índice) de 
proporcionalidade ou de semelhan•a do 
2o para o 1o triângulo.
Exercício 
 12. O tri‰ngulo A9B9C9 abaixo Ž uma amplia•‹o do tri‰ngulo ABC.
A
B C
B’ C ’
A’
 a ) Analise as aberturas dos ‰ngulos µA e ,µA9 $B e ,$B9 µC e .µC9 O que voc• concluiu sobre elas em cada par de ‰ngulos? 
S‹o iguais.
 b ) Observe agora os lados A B9 9 e ,AB B C9 9 e BC , AC9 9 e AC . Que rela•‹o voc• encontrou entre as medidas, em cada par de lados?
A divis‹o das medidas dos lados do nA9B9C9 pelas medidas dos lados correspondentes do nABC tem como resultado sempre o mesmo
nœmero, 2, isto Ž, cada lado do nA9B9C9 tem como medida o dobro da medida do lado correspondente no nABC.
 Para construir:
 Exerc’cio 12 (abaixo)
Função e Geometria122
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 122 1/20/16 11:46 AM
Exercícios 
 13. Volte ˆ atividade 11 da p‡gina 121. Examine novamente as regi›es retangulares b, d e j e verifique se existe algum par entre elas 
que satisfa•a, ao mesmo tempo, as duas condi•›es vistas na p‡gina anterior. 
N‹o.
 14. Examine as duas figuras de cada item e verifique se elas s‹o semelhantes. Em caso afirmativo, determine o coeficiente de pro-
porcionalidade da segunda figura em rela•‹o ˆ primeira. Em caso negativo, explique o porqu•.
 e ) 
22
3
3
150¼
30¼
30¼
150¼
4,5
4,5
33
150º
30º
30º
150º
S‹o semelhantes; 
3
2 .
ångulos congruentes e lados proporcionais
4,5
3
3
2
5( ).
Portanto, as figuras s‹o semelhantes. Coeficiente de pro-
porcionalidade: 
3
2 .
 
 a ) 
1 1
2
2
22
4
4
N‹o s‹o semelhantes. Embora os lados 
sejam proporcionais 
2
1
4
2
5( ), os ‰ngulos 
n‹o s‹o congruentes.
Portanto, as figuras n‹o s‹o semelhantes.
 
 c ) 
2020
20
2525
25
S‹o semelhantes; 
5
4 . ångulos con-
gruentes (60¼), lados proporcionais.
Portanto, as figuras s‹o semelhantes.
Coeficiente de proporcionalidade: 
5
4 .
 
 b ) 
2
2
1
1
3
1
1
10,5
0,5
1,5
0,5
S‹o semelhantes; 
1
2 . ångulos congruentes (retos) e lados proporcio-
nais: 
0,5
1
1
2
1,5
3
5 5
. Portanto, as figuras s‹o semelhantes.
Coeficiente de proporcionalidade: 
1
2 .
 
 d ) 6
6
3
3
150¼
30¼
30¼
150¼
2
2
3
3
150º30º
30º
150º
N‹o s‹o semelhantes.
Os ‰ngulos s‹o congruentes, mas os lados n‹o s‹o proporcionais 






3
6
2
3
±
.
Portanto, as figuras n‹o s‹o semelhantes.
 
 Para construir:
 Exerc’cios 13 a 27 (p. 123 a 127)
Fun•‹o e Geometria 123
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 123 1/20/16 11:46 AM
 15. Verifique se os ret‰ngulos ABCD e MNOP s‹o semelhantes. Justifique sua resposta. 
5 cm
3 cm
A B
D C
 
6,5 cm
4,5 cm
M N
P O
N‹o h‡ semelhan•a, pois as medidas dos lados correspondentes n‹o s‹o proporcionais: 
3
4,5
5
6,5
±
.
 16. Verdadeira ou falsa?
 Verifique se cada uma das frases abaixo Ž verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
 a ) Todos os quadrados s‹o semelhantes. 
Verdadeira, pois as medidas dos lados ser‹o sempre proporcionais, e as medidas dos ‰ngulos ser‹o iguais a 90¼.
 b ) Todos os ret‰ngulos s‹o semelhantes. 
Falsa. Contraexemplo: 
1,5
3
1
4,5
 17. Dois ret‰ngulos s‹o semelhantes. Um deles tem dimens›es de 8 cm (largura) por 20 cm (comprimento), e o outro tem compri-
mento de 22,5 cm. Quanto mede a largura do segundo ret‰ngulo? 
 18. Um ret‰ngulo A tem dimens›es de 35 cm por 28 cm. Outro ret‰ngulo B tem dimens›es de 30 cm por 24 cm. Os ret‰ngulos A 
e B s‹o semelhantes? 
 19. Entre os pol’gonos abaixo, h‡ dois semelhantes. Quais s‹o eles? 
 a ) 6
6
3
3
150¼
30¼
30¼
150¼
 c ) 4,5
4,5
33
150¼
30¼
30¼
150¼
 b ) 
1,5 1,5
3
3
140¼
40¼
40¼
140¼
 d ) 
22
3
3
150¼
30¼
30¼
150¼
c e d ‰ngulos congruentes e lados proporcionais;
4,5
3
3
2( )5 .
Aproveite o momento e promova uma discuss‹o com a classe sobre o que Ž um contraexemplo. 
Basta um contraexemplo para rejeitar uma afirma•‹o.
20
22,5
8 9 cm⇒
x
x5 5
Sim. 28
24
35
30
7
6
; ‰ngulos todos retos⇒5
Fun•‹o e Geometria124
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 124 1/20/16 11:47 AM
 Ainda considerando os quatro pol’gonos representados anteriormente, responda:
• Quais t•m os lados proporcionais, mas n‹o t•m os ‰ngulos congruentes? 
a e b
 
6
3
3
1,5
; 30¼ 40¼ e 150¼ 140¼± ±5




.
• Quais t•m os ‰ngulos congruentes, mas n‹o t•m os lados proporcionais? 
a e c 3
3
6
4,5
±




; a e d 3
2
6
3
±




.
 20. Um hex‡gono regular foi ampliado na raz‹o 5
2
.
A D
CB ,
,
,,
,,
EF
x
CÕBÕ 20 cm
20 cm
20 cm20 cm
20 cm20 cm
EÕFÕ
yAÕ DÕ
 Calcule:
 a ) a medida x do ‰ngulo interno do hex‡gono regular ABCDEF; 
 b ) a medida y do ‰ngulo interno do hex‡gono regular A9B9C9D9E9F9; 
 c ) a medida , do lado do hex‡gono ABCDEF. 
(6 2)180¼ 4 180¼ 720¼; cada ‰ngulo interno: 720¼
6
120¼ 120¼
i
→S x5 2 5 ? 5 5 5
120¼ (x 5 y 5 120¼)
8 cm 5
2
20
5
,
( )
Fun•‹o e Geometria 125
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 125 1/20/16 11:47 AM
 21. Dois pent‡gonos regulares s‹o semelhantes (ABCDE e A9B9C9D9E9). A raz‹o de semelhan•a Ž dada por 3
5
,AB
A B9 9
5 e o per’me-
tro de ABCDE Ž de 30 u. Calcule m ,)(A B9 9 o per’metro de A9B9C9D9E9 e a raz‹o entre os per’metros. 
 22. Examine com aten•‹o as figuras abaixo. Responda: todos os tri‰ngulos ret‰ngulos e is—sceles s‹o semelhantes? Por qu•? 
Sim, pois os ‰ngulos correspondentes t•m sempre a mesma medida: 90¼, 45¼ e 45¼, e os lados correspondentes t•m sempre medidas proporcionais,
pois s‹o da forma a, a e 2 .a Exemplos: 3, 3 e 3 2 ; 6, 6 e 6 2 .
 23. Desenhe v‡rios pares de figuras semelhantes, variando a raz‹o de proporcionalidade.
 24. Responda:
 a ) Duas figuras congruentes s‹o sempre semelhantes? 
Sim; a raz‹o de proporcionalidade Ž 1.
 b ) Duas figuras semelhantes s‹o sempre congruentes? 
N‹o; por exemplo: um quadrado com lado de 6 cm e um quadrado com lado de 5 cm s‹o semelhantes e n‹o s‹o congruentes.
Chame a aten•‹o dos alunos para o fato de a raz‹o entre os per’metros
ser igual ˆ raz‹o entre os lados.
D
A B
E C
D’
E ’ C ’
A’ B’
30 ; 5 5 6
m AB( ) 5 6 u
6 3
5
10
x
x5 5⇒
m A B9 9( ) 5 10 u
Per’metro de A9B9C9D9E9: 5 ? 10 5 50 u
Raz‹o entre os per’metros: 30
50
3
5
5
Chame a aten•‹o dos alunos para os valores de a, a e 2a , 
que s‹o decorrentes da rela•‹o de Pit‡goras: a2 1 a2 5 ( 2 )2a .
Resposta pessoal.
Fun•‹o e Geometria126
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 126 1/20/16 11:47 AM
 25. As duas figuras do quadriculado abaixo s‹o semelhantes. De quanto por cento foi a redu•‹o da primeira para a segunda? 
Observe que, 
quando reduzimos uma figura, 
o coeficiente de proporcionalidade 
(relativamente ˆ figura original) Ž 
sempre menor do que 1. 
E quando ampliamos?
Ser‡ maior do que 1. Raz‹o de proporcionalidade 5 
1
2
; 1
2 5 0,5 5 0,50 5 
50
100
5 5
 5 50%.
 26. Examine cada par de figuras abaixo e responda ˆs quest›es. Justifique cada resposta.
 a ) Dois c’rculos s‹o sempre semelhantes? 
Sim; um sempre Ž uma c—pia, amplia•‹o ou redu•‹o do outro.
 b ) Dois tri‰ngulos s‹o sempre semelhantes? 
 
 27. Ampliando e reduzindo
 Construa abaixo duas figuras semelhantes a esta ao lado, uma ampliada e outra reduzida.
 
N‹o.
Estes dois tri‰ngulos s‹o semelhantes.Estes dois tri‰ngulos n‹o s‹o semelhantes.
Fun•‹o e Geometria 127
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 127 1/20/16 11:47 AM
Raz‹o entre per’metros de pol’gonos semelhantes
Analise as duas situa•›es seguintes envolvendo pol’gonos semelhantes.
1a) Observe os dois ret‰ngulos abaixo:
2
5
 
1
2,5
¥ Eles t•m os ‰ngulos congruentes (todos retos).
¥ Raz‹o entre os comprimentos: 
5
2,5
5 2
¥ Raz‹o entre as larguras: 2
1
5 2
Ent‹o, esses ret‰ngulos s‹o semelhantes.
Veja agora a raz‹o entre os per’metros: 1 1 1
1 1 1
5
5 5 2 2
2,5 2,5 1 1
14
7
5 2 (igual ˆ 
raz‹o entre os lados).
2a) Os tri‰ngulos abaixo foram constru’dos no papel quadriculado.
GF
E
6
4
3
5
8
10
CB
A
Observe que eles t•m os ‰ngulos correspondentes congruentes.
Veja a raz‹o entre os lados correspondentes:
5
10
1
2
5 4
8
1
2
5 53
6
1
2
Diante do que foi visto, os dois tri‰ngulos s‹o semelhantes (nABC , nEFG).
Vamos agora calcular a raz‹o entre os per’metros desses pol’gonos semelhantes:
3 4 5
6 8 10
12
24
1
2
1 1
1 1
5 5 (igual ˆ raz‹o entre os lados)
O que ocorreu nas duas situa•›es anteriores Ž uma propriedade dos pol’gonos 
semelhantes.
Se dois pol’gonos s‹o semelhantes, a raz‹o entre seus per’metros Ž igual ˆ raz‹o 
entre quaisquer dois lados correspondentes, assim como Ž igual ˆ raz‹o entre outros 
dois elementos lineares correspondentes, como diagonais.
Fun•‹o e Geometria128
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 128 1/20/16 11:47 AM
Exerc’cios 
 28. Observe as dimens›es das duas regi›es retangulares semelhantes e calcule a raz‹o entre os elementos do 1o pelo 2o, conforme 
indicado:
20
30
21
14
 a ) raz‹o entre os comprimentos; 30
21
10
7
5
 b ) raz‹o entre as larguras; 20
14
10
7
5
 c ) raz‹o entre os per’metros; 100
70
10
7
5
 d ) raz‹o entre as ‡reas. 600
294
100
49
5
 29. Sabendo que nABC , nA9B9C9, calcule as raz›es:
 a ) ,AB
A B
AC
A C9 9 9 9
 e BC
B C9 9
 
 b ) 
per’metro do
per’metro do
n
n
ABC
A B C9 9 9
 
 c ) ‡rea da regi‹o determinada pelo
‡rea da regi‹o determinada pelo
n
n
ABC
A B C9 9 9
 
çrea: 30 ? 20 5 600
çrea: 14 ? 21 5 294
15
20 25
A
B C 30
50
A9
B9 C9
40
20
40
1
2
; 25
50
1
2
; 15
30
1
2
AB
A B
AC
A C
BC
B C9 9
5 5
9 9
5 5
9 9
5 5
60
120
1
2
5 5
 
15 20
2
150;
30 40
2
600; 150
600
1
4
1
2
2
( )
?
5
?
5 5 5
1
4
5 5
 Para construir:
 Exerc’cios 28 e 29 (abaixo)
Fun•‹o e Geometria 129
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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Exerc’cios 
 30. Analise as dimens›es dos paralelep’pedos a seguir.
 Calcule e confira as conclus›es acima:
 a ) a raz‹o entre os comprimentos das arestas correspondentes; 
 b ) a raz‹o entre as ‡reas das faces correspondentes; 
 c ) a raz‹o entre os volumes. 
 Para construir:
 Exerc’cios 30 a 36 (p. 130 a 133)5
4
3
9
12
15
5
15
4
12
3
9
1
3
5 5 →
20
180
12
108
15
135
1
9
1
3
2
5 5 5 ( )→
5 4 3
15 12 9
60
1 620
1
27
1
3
3? ?
? ?
5 5 ( )⇒
Raz‹o entre ‡reas de regi›es 
poligonais semelhantes
No exerc’cio 28 da p‡gina anterior, a raz‹o entre as medidas dos lados correspon-
dentes Ž igual a 10
7
 e a raz‹o entre os per’metros Ž igual a 10
7
. J‡ a raz‹o entre as 
‡reas Ž 100
49
10
7
.
2
5 ( )
No exerc’cio 29, a raz‹o entre os elementos lineares correspondentes (lados e 
per’metros) Ž 1
2
. J‡ a raz‹o entre as ‡reas Ž 14
1
2
.
2
5 ( )
O que ocorreu nesses dois exerc’cios acontece com todos os pol’gonos e todas 
as regi›es poligonais semelhantes.
Se duas regi›es poligonais s‹o semelhantes, a raz‹o entre suas ‡reas Ž igual ao 
quadrado da raz‹o entre seus elementos correspondentes lineares (lados, per’metros, 
diagonais etc.).
Observa•‹o: No caso de dois s—lidos geomŽtricos que t•m os ‰ngulos das faces 
correspondentes congruentes e os elementos lineares correspondentes proporcio-
nais, a raz‹o entre os volumes Ž igual ao cubo da raz‹o entre os elementos lineares 
correspondentes.
Fun•‹o e Geometria130
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 130 1/20/16 11:47 AM
 31. Duas regiões poligonais são semelhantes. O lado menor de uma tem 8 cm, e o lado menor da outra tem 10 cm. Calcule a área da 
segunda região, sabendo que a área da primeira é de 80 cm2.
 32. Observe os dados e calcule:
¥ A , B
¥ O lado menor de A tem 8 cm.
¥ O lado menor de B tem 10 cm.
¥ O lado maior de A tem 20 cm.
¥ O perímetro de B é de 55 cm.
 a ) o perímetro de A; 
 b ) o lado desconhecido de A; 
 c ) os dois lados desconhecidos de B; 
 d ) a razão entre as áreas das regiões determinadas por A e B. 
Razão entre os lados: 8
10
4
5
5
Razão entre as áreas: 4
5
16
25
2
5( )
80 16
25x
5 ⇒ x 5 125
çrea da segunda região: 125 cm2
A e B s‹o dois tri‰ngulos 
com as caracter’sticas ao lado.
8
10 55
P
5 ⇒ 10P 5 440 ⇒ P 5 44
Perímetro de A: 44 cm.
44 2 (8 1 20) 5 16
Lado desconhecido de A: 16 cm.
44
55
20
x
5 ⇒ x 5 25
55 2 (10 1 25) 5 20
Lados desconhecidos de B: 25 cm e 20 cm.
8
10
64
100
16
25
2
5 5( )
Função e Geometria 131
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 131 1/20/16 11:47 AM
 33. Dois quadril‡teros são semelhantes. O per’metro do primeiro tem 26 cm a menos do que o per’metro do segundo, o lado 
menor do primeiro mede 8 cm, e o lado menor do segundo mede 12 cm. Determine os per’metros dos dois quadril‡te-
ros e a razão entre as ‡reas determinadas pelo primeiro e pelo segundo, nessa ordem. 
 34. Duas pir‰mides de base quadrada t•m arestas correspondentes proporcionais e ‰ngulos das faces correspondentes congruen-
tes. O lado da base em uma delas mede 6 cm e na outra mede 10 cm. Calcule a razão entre:
 a ) as medidas das arestas correspondentes dessas duas pir‰mides; 
 b ) os per’metros das bases; 
 c ) as ‡reas das bases; 
 d ) os volumes das pir‰mides. 
8
12
2
3
5
26 2
3
x
x
2
5 ⇒ x 5 78
78 2 26 5 52
2
3
4
9
1
2
2A
A
5 5( )
P
1
 5 52 cm; P
2
 5 78 cm; 4
9
1
2
A
A
5
3
5
6
10
3
5
2
2
;
;
5




3
5
( )( )925
3
5
2
( )( )27125
3
5
3
Fun•‹o e Geometria132
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 132 1/20/16 11:47 AM
 35. R
1
 é uma regi‹o retangular com per’metro de 20 cm e área de 24 cm2.
 R
2
 é uma regi‹o retangular com per’metro de 28 cm e área de 45 cm2.
 R
1
 e R
2
 s‹o ou n‹o semelhantes?
 36. O nABC determina uma regi‹o plana com área de 120 cm2. O nDEC determina uma regi‹o plana com área de 270 cm2. Calcule 
AB, CD e DE, sabendo que nABC , nDEC.
5 ;
20
28
5
7
±5( )57
25
49
24
45
2
N‹o.
3y 2 3
A
x
B
C
DE z
4y4x 2 1
z 1 11
x
 
120
270
4
9
2
3
2
5 5 ( )
3 3
4
11
4 1
2
3
x
z
y
y
z
x
5
2
5
1
2
5
3 3
4
2
3
9
y
y
y
2
5 5⇒
3 2
8 2 3 33
10 e 15
x z
x z
x z
5
2 5 1
5 5




⇒
AB 5 10 cm; CD 5 36 cm; DE 5 15 cm
Semelhança de tri‰ngulos
Vale também a rec’proca: as duas condi•›es estar‹o satisfeitas quando os tri‰n-
gulos forem semelhantes.
Observe, por exemplo, os tri‰ngulos ABC e A9B9C9, em que os vértices A, 
B e C do primeiro correspondem, respectivamente, aos vértices A9, B9 e C9 do 
segundo.
Triângulos são polígonos. 
Desse modo, o que estudamos para 
polígonos em geral vale também 
para os triângulos.
Dois triângulos são semelhantes quando satisfazem ao 
mesmo tempo às duas condições: 
os lados correspondentes têm medidas 
proporcionais e os ângulos correspondentes 
são congruentes.
Função e Geometria 133
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 133 1/20/16 11:47 AM
Exerc’cios 
 37. Examine os pares de triângulos abaixo e escreva quais deles são semelhantes. Justifique sua resposta.
 a ) 
A9
4
2
B9
C9
2 5
A 2
C
B
1
5
 c ) S
T
30º
90º
60º
U T9
S9
U9
29º
59º
92º
 b ) 
3 3,5
2 2
1,5
1
 d ) X
Y Z2 
2,72,7
 
2 Y9 Z9
X9
2,72,7
 38. Desenhe abaixo dois triângulos que sejam semelhantes e dois que não sejam.
 Para construir:
 Exercícios 37 a 39 (p. 134 e 135)
Resposta pessoal.
São semelhantes. Os ângulos são congruentes ; ; ,A A B B C C9 9 9> > >µ µ µ µ$ $( )
 e os lados são proporcionais: 
1
2
2
4
5
2 5
;5 5
 nABC , nA9B9C9.
Não são semelhantes porque os ângulos não são congruentes. 
 
Não são semelhantes. Basta verificar que os lados não são proporcionais
2
1
3
1,5
3,5
2
±5




.
São semelhantes, com razão de proporcionalidade 1 (logo, são também
congruentes).
Eles são semelhantes quando e somente quando tivermos:
m m , m m , m m) )ö ö) )( (ö ö( (m m( (m m) )( () )ö ö) )ö ö( (ö ö( () )) )ö ö) ) ) )ö ö) )m ,) )m ,( (ö ö( (m m( (m m) )( () )ö ö) )ö ö( (ö ö( () ) ( (ö ö( () )( () )ö ö) )ö ö( (ö ö( () )m mA Am m) )A A) )m m) )m mA A) )( (A A( (m m( (A Am mA A( () )( () )A A( (m m) )m m( () )A A) )m m( (( () ) B B) )B B) )m ,) )B Bm ,B B) )( (B B( () )( () )B B( (m ,) )( (m ,( () )B BB B) )m ,( () ) C Cm mC Cm m) )C C) )m m) )m mC C) )( (C C( (m m( (C Cm mC C( () )( () )C C( (m m) )m m( () )C C) )m m( (( () )( (9 5( () )( (9 59 5( (( (A A9 5( (9 5A Am m( (A AA A( (9 5m m9 5( (m mA A( () )( (A AA A( (9 59 5( () )A A( (m m) )m m( () )A A) )m m( (( () )9 5m m9 5) )( (( () )A AA A) )( (( () ) ( (9 5( () )( (9 59 5( (( (B B9 5( (9 5B B) )( (B BB B( (9 5) )9 5( () )B B( ( ( (9 5( () )( (9 59 5( (( (C C9 5( (9 5C Cm m( (C CC C( (9 5m m9 5( (m mC C( () )( (C CC C( (9 59 5( () )C C( (m m) )m m( () )C C) )m m( (( () )9 5m m9 5) )( (( () )C CC C) )( (( () )
 e
 A B
AB
B C
BC
A C
AC
9 9A B9 9A B
5
9 9B C9 9B C
5
9 9A C9 9A C
A
B
C
A9
B9
C9
Indicamos que o nABC é semelhante ao nA9B9C9 por nABC , nA9B9C9.
Explique aos alunos que a expressão “quando 
e somente quando” tem o mesmo significado 
de “é equivalente” ou de “se e somente se”.
Fun•‹o e Geometria134
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 134 1/20/16 11:47 AM
 39. Os tri‰ngulos ABE e DCE são semelhantes. 
Calcule ö ö ö öm , m , m , m)( ) ) )( ( (C D A B e öm .)(AEB 
A
B
E
D
C
10
10
4
4
50º
m Cµ( ) 5 65¼, m Dµ( ) 5 65¼, m Aµ( ) 5 65¼, m B$( ) 5 65¼, 
m AEB$( ) 5 50¼ (180 2 50 5 130; 130 ; 2 5 65)
Propriedade fundamental da semelhan•a de tri‰ngulos
H‡ uma propriedade muito importante no estudo da semelhança de tri‰ngulos:
Se traçarmos um segmento de reta paralelo a qualquer um dos lados de um tri‰n-
gulo e ficar determinado outro tri‰ngulo, este ser‡ semelhante ao primeiro.
Vamos demonstrar essa propriedade no nABC ao lado, que tem B C9 9// .BC
Devemos provar que nAB9C9 , nABC.
Considerando B C9 9// BC e as transversais AB e ,AC pelo teorema de Tales, pode-
mos escrever:
AB
AB
AC
AC
9
5
9
5 k I
Traçando a partir de B9 o segmento de reta B D9 9( ) paralelo ao lado ,AC conforme 
mostra a figura, podemos tambŽm aplicar o teorema de Tales considerando as trans-
versais AB e .BC
Nesse caso, temos: BB
AB
BD
BC
9
5 5 k9 II
Tomando a igualdade II e usando uma das propriedadesdas proporç›es, 
temos:
AB BB
AB
BC BD
BC
2 9
5
2
Feitos os c‡lculos, ficamos com:
AB
AB
DC
BC
9
5 III
Comparando I e III , temos:
AB
AB
AC
AC
DC
BC
9
5
9
5 IV
Observando a figura 2 acima, vemos que B9C9CD Ž um paralelogramo B C9 9( ) 
paralelo a e paralelo aBC B D C C9 9( ) e, portanto, DC 5 B9C9). Substituindo DC por 
B9C9 em IV , fica:
AB
AB
AC
AC
B C
BC
9
5
9
5
9 9
que satisfaz uma das condiç›es de semelhança de tri‰ngulos, ou seja, lados corres-
pondentes proporcionais.
B
A
B9 C9
C
Figura 1
B
A
B9 C9
CD
Figura 2
Recorde com os alunos essa propriedade das 
proporç›es.
Por exemplo: 1
3
2
6
3 1
3
6 2
6
5
2
5
2
⇒ ou 
2
3
4
6
.5
Fun•‹o e Geometria 135
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 135 1/20/16 11:47 AM
Fazendo a gente aprende
Verifique, usando esse mesmo procedimento, se os tri‰ngulos abaixo s‹o semelhantes 
( I com II e III com IV ).
Desenhe, recorte, sobreponha os tri‰ngulos e, em seguida, registre suas conclus›es.
Em vez de usar papel de seda, voc• pode usar cartolina para desenhar e recortar os tri‰ngulos. 
 Para aprimorar:
 Ofic’na de Matem‡tica (abaixo)
Depois de desenhar o tri‰ngulo, 
recorte-o com cuidado.
60¼ 40¼
50¼
60¼
70¼
50¼
I
40¼
60¼
80¼
II
100¼
50¼
50¼
30¼30¼
100¼
30¼
50¼III 100¼30¼
50¼
IV
Oficina de Matem‡tica
S‹o semelhantes.N‹o s‹o semelhantes.
A outra condi•‹o, congru•ncia dos ‰ngulos, Ž imediata, pois: Aµ>Aµ (comum).
1 2
3 4
>
>
$ $
$ $




 ‰ngulos correspondentes formados por duas paralelas e uma transversal
Desse modo, temos:
m A m A5µ µ( ) ( )
m 1 m 25$ $( ) ( ) e 
AB
AB
AC
AC
B C
BC
9
5
9
5
9 9
m 3 m 45$ $( ) ( )
Ent‹o, nAB9C9 , nABC e fica, portanto, demonstrada a propriedade fundamental 
da semelhan•a de tri‰ngulos.
Aplica•‹o da propriedade fundamental
Como podemos, experimentalmente, usar a propriedade fundamental para 
saber se dois tri‰ngulos s‹o semelhantes? Observe as figuras ao lado.
Vejamos uma situa•‹o em que podemos aplicar essa propriedade com nABC 
e nMNP.
Podemos proceder da seguinte maneira:
1a) Em uma folha de papel de seda, decalcamos um dos tri‰ngulos. Por exemplo, o 
tri‰ngulo MNP.
2a) Em seguida, movimentamos esse desenho sobre o tri‰ngulo ABC atŽ que um dos 
‰ngulos do tri‰ngulo MNP coincida com um dos ‰ngulos do tri‰ngulo ABC.
Se voc• escolher o ‰ngulo µN do nMNP, ele s— coincidir‡ com o ‰ngulo $B do nABC, 
e a figura, depois da superposi•‹o, ficar‡ como mostrado na figura 5.
Ent‹o, µN > $B congruente aµ $)(N B e ( )// paralelo a .MP AC MP AC .
Se isso ocorrer, usamos a propriedade fundamental e podemos afirmar que os 
tri‰ngulos ABC e MNP s‹o semelhantes.
B
A
B9 C9
C
2
1 3
4
Figura 3
S
Ž
rg
io
 D
o
tt
a
 J
r.
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
B
A
C N
M
P
Figura 4
Figura 5
B ; N
M
P
A
C
Fun•‹o e Geometria136
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 136 1/20/16 11:47 AM
Casos de semelhan•a de tri‰ngulos
Observe estes pares de pol’gonos:
 a ) 
1
2
 
0,5
3
Estes ret‰ngulos t•m ‰ngulos de medidas iguais, mas n‹o s‹o semelhantes, pois 
as medidas dos seus lados n‹o s‹o proporcionais: 2
3
1
0,5
.±
 b ) 
3
2
 
1,5
1
Esses quadril‡teros t•m as medidas dos lados proporcionais 2
1
3
1,5
,5( ) mas n‹o 
s‹o semelhantes, pois seus ‰ngulos n‹o s‹o congruentes.
O primeiro exemplo mostra que s— a congru•ncia dos ‰ngulos n‹o garante a 
semelhan•a dos pol’gonos. O segundo exemplo mostra que s— a proporcionalidade 
dos lados tambŽm nada garante.
Ou ser‡ como na 
congru•ncia de tri‰ngulos, 
que, com os casos de 
congru•ncia, basta verificar 
apenas alguns 
elementos?
E se os polígonos forem dois 
tri‰ngulos? Ser‡ que Ž preciso 
analisar todos os ‰ngulos e 
todos os lados?
A ideia Ž essa mesma: 
o que veremos agora são os casos 
de semelhança de tri‰ngulos, ou seja, 
as informaç›es que permitem 
garantir a semelhança de dois 
tri‰ngulos.
Caso AA: Se dois tri‰ngulos t•m dois ‰ngulos correspondentes respectivamente 
congruentes, eles s‹o semelhantes.
Vamos demonstrar o seguinte:
Se nABC e nNMP t•m µA > µN e $B > Mµ , ent‹o nABC , nNMP.
Demonstra•‹o:
Se AB > NM , pelo caso ALA de congru•ncia de 
tri‰ngulos, temos que nABC > nNMP e da’ que 
nABC , nNMP, pois dois tri‰ngulos congruentes s‹o 
semelhantes com raz‹o de semelhan•a 1. A B
C
N M
P
Fun•‹o e Geometria 137
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 137 1/20/16 11:47 AM
Se AB Þ NM, vamos analisar o caso de AB . NM.
¥ Marcamos o ponto E em AB, de modo que AE 5 NM, e tra•amos //EF BC .
¥ Podemos afirmar que AEF$ > ABC
$ (‰ngulos correspondentes de paralelas cortadas 
por transversal) e, como B$ > ,Mµ ent‹o, AEF$ > .Mµ
¥ De A
$ > ,Nµ AE > NM e AEF$ > ,Mµ pelo caso ALA, temos nAEF > nNMP. 
¥ Pela propriedade fundamental da semelhan•a de tri‰ngulos, temos nABC , nAEF. 
¥ De I e II , chegamos ao que quer’amos provar: nABC , nNMP.
Com os casos de semelhan•a 
de tri‰ngulos, economizamos tempo 
e trabalho.
Veja que, neste caso, podemos ainda garantir 
que $C > $P e que 5 5AB
NM
AC
NP
BC
MP
.
Acompanhe agora, por meio de exemplos (sem demonstra•‹o), mais dois casos 
de semelhan•a de tri‰ngulos.
Caso LAL: Se dois tri‰ngulos t•m dois lados correspondentes 
com medidas proporcionais, e o ‰ngulo por eles compreendido com 
a mesma medida, eles s‹o semelhantes.
10
5
8
4
2
m C m R 53¼
5 5
5 5
ö ö( ) ( )




 → nABC , nSPR
Da semelhan•a de nABC e nSPR, podemos afirmar que Aµ > Sµ , B$ > P$ e 
SP
AB
5 2.
Caso LLL: Se dois tri‰ngulos t•m os tr•s lados correspondentes 
com medidas proporcionais, eles s‹o semelhantes.
8
4
6,4
3,2
5
2,5
5 5 5 2 → nABC , nMNP → Aµ > Mµ , B$ > Nµ e Cµ > Pµ
Entendi! 
A proporcionalidade das 
medidas dos lados j‡ permite 
concluir a semelhan•a dos 
tri‰ngulos e a congru•ncia dos 
‰ngulos correspondentes.
BC
A
53¼
4 cm
5 cm
PR 8 cm
10 cm
S
53¼
B C4
3,22,5
A
N P8
6,45
M
I
A B
C
E
F
N M
P II
Acesse o portal e veja o 
conteœdo ÒJogo da 
associa•‹o geomŽtricaÓ.
Fun•‹o e Geometria138
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 138 1/20/16 11:47 AM
Exerc’cios 
 40. Calcule x e y na figura abaixo, sabendo que //AB FG . 
F
A B
y
25
G
8
20x
6
E
 41. Em um nABC, temos:
¥ R [ AB • S [ AC • //RS BC
 Se AB 5 25, AS 5 44, RS 5 36 e BC 5 45, calcule RB, SC e AC. 
 42. Na figura abaixo, nBMF e nRMS são semelhantes ou não? 
 43. Na figura abaixo, o homem tem 1,75 m de altura. AB 5 4,2 m e BC 5 8,4 m. Calcule a altura da torre. 
A B C
6
20
28
25x
x y1
5 5
↓
5
7
6
5
7
x
x 1
5 ⇒ x 5 15
25 5
7y
5 ⇒ y 5 35
Destaque para os alunos quais relações provêm do paralelismo com transversal e quais relações são exclusivas da semelhança.
25
44
44
36
45
4
5
x
y
5
1
5 5
25
4
5
x
5 ⇒ x 5 20
44
44
4
5y 1
5 ⇒ y 5 11
RB 5 25 2 20 5 5
SC 5 11
AC 5 44 1 11 5 55
R S y
44
36
45 C
x
A
B
RB 5 5; SC 5 11; AC 5 55.
228 FS
M
R
B
14
2518
10
Não.
25
35
22
30
14
18
5
7
11
15
7
9
↑ ↑ ↑
± ±
4,2 1 8,4 5 12,6
1,75 4,2
12,6x
5 ⇒ x 5 5,25; 5,25 m
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 Para construir:
 Exercícios 40 a 47 (p.139 a 141)
Fun•‹o e Geometria 139
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 139 1/20/16 11:47 AM
 44. Na figura abaixo, temos // .AR FH
R
15
35
21
x 12
y
P
H
F
A
 a ) Mostre que nARP , nFHP.
 b ) Calcule x e y. 
 45. Na figura, ABC Ž um tri‰ngulo ret‰ngulo cujos catetos medem 3 cm e 4 cm. MNPB Ž um quadrado cujo lado mede x. O per’metro 
do tri‰ngulo ret‰ngulo ABC Ž de 12 cm. Verifique se Ž verdade que o per’metro do quadrado MNPB Ž a metade do per’metro do 
tri‰ngulo ABC. 
 46. Na figura a seguir, AB // CD. Sabendo que o per’metro do tri‰ngulo ABE Ž 72 cm, determine as medidas x, y e m. 
Aµ > Fµ (‰ngulos alternos internos de paralelas cortadas por transversal)
APRµ > F PHµ (opostospelo vŽrtice)
Pelo caso AA de semelhan•a de tri‰ngulos, temos nARP , nFHP.
Como nAPR , nFHP, temos:
35
15
21
12x
y
5 5
21 35
15
7
3
9
x
x5 5 5⇒
12
35
15
7
3
28
y
y5 5 5⇒
M
x x
N
Px
x
B
A
C
4
3
Como o nAMN , nABC, temos:
4
3
3
12
7
x x x5
2
5⇒
4 12
7
48
7
? 5
48
7
12
2
±
Portanto, o per’metro do quadrado MNPB n‹o Ž a metade 
do per’metro do tri‰ngulo ABC.
8
9
12
x
x1
5 ⇒ x 5 24
y 1 m 5 72 2(8 1 24 1 12) 5 28
24
32
y
y m1
5 ⇒ y 5 21
y 1 m 5 28 ⇒ m 5 7
Logo, x 5 24 cm; y 5 21 cm; m 5 7 cm.
C
B
y
m8 cm
12 cm
9 cm
x
A
E
D
Fun•‹o e Geometria140
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 140 1/20/16 11:47 AM
(FEI-SP) Na figura ao lado, ABCD Ž um ret‰ngulo e M Ž o ponto mŽdio de AD. Conside-
rando-se x a medida da ‡rea do tri‰ngulo AEM e y a medida da ‡rea do tri‰ngulo AEB, Ž 
v‡lido afirmar-se que:
B C
A DM
E
z
x
y
Desafio
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
 a ) 2x 5 y
 b ) 3x 5 y
 c ) 4x 5 y
 d ) x 5 y
 e ) 3x 5 2y
X
Aplicações de semelhança de triângulos
Agora, realize os exerc’cios a seguir para aplicar o que voc• acabou de estudar 
sobre semelhan•a de tri‰ngulos.
Exerc’cios 
 48. Em que itens podemos afirmar que os dois tri‰ngulos s‹o semelhantes? Justifique sua resposta.
 a ) 
Os tri‰ngulos s‹o semelhantes, pois t•m dois ‰ngulos congruentes.
 b ) 
Podemos afirmar que os dois tri‰ngulos s‹o semelhantes, pois eles
t•m um ‰ngulo congruente formado por lados com medidas propor-
cionais.
 Para construir:
 Exerc’cios 48 a 59 (p. 141 a 145)
40º
45º
40¼
45¼
70 cm84 cm
30¼
60 cm
50 cm
30¼
60
84
50
70
5
2a
b y
z
x
MA
B C
D
b
E
 Vamos considerar z a ‡rea do nCEB:
nAEM , nCEB (caso AA)
A raz‹o de semelhan•a Ž 
2
1
2
a
a
= .
Ent‹o, temos:
1
2
1
4
, e da’ 4
2
x
z
z x5 5 5( )
Podemos escrever o sistema:
2
2
2
y z
ab
ab
x y
ab
1 5 5
1 5





 Desse sistema, tiramos:
2
2 2 4 2x y
y z
x y y x y x1 5
1
1 5 1 5⇒ ⇒
 47. Sem fazer medi•›es, identifique o par de tri‰ngulos semelhantes.
 a ) 
P
R
Q
48¼ 55¼
A
C
B
48¼55¼
 b ) 
O
M
N
F
D
E
65º
42º 42º
65º
X
Fun•‹o e Geometria 141
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 141 1/20/16 11:47 AM
 49. Na figura abaixo, temos BC // .DE
A
B
C
E
D
2x
3x 2 2 x 2 3
x 1 6
 a ) Calcule o valor de x. 
 b ) Calcule a raz‹o entre as ‡reas do nABC e do nADE, nessa ordem.
nABC , nADE, pois // .BC DE
3 2
4 5
6
2
x
x
x
x
2
2
5
1
⇒ 2x2 2 23x 1 30 5 0 ⇒ x9 5 10 e x0 5 1,5 (n‹o serve em x 2 3)
Logo, x 5 10.
BC: 10 1 6 5 16
ED: 2 ? 10 5 20
Raz‹o entre os lados correspondentes: 16
20
4
5
5
Raz‹o entre as ‡reas: 4
5
16
25
2
5( )
 c ) 
4
6
6
9
5
8
±5
Os dois tri‰ngulos n‹o s‹o semelhantes, pois seus lados correspon -
dentes n‹o t•m medidas proporcionais
 d ) 
N‹o podemos afirmar que os dois tri‰ngulos s‹o semelhantes, nem 
que n‹o s‹o semelhantes (h‡ necessidade de mais informa•›es).
 e ) 
Os tri‰ngulos s‹o semelhantes, pois ambos t•m ‰ngulos de 45¼,
80¼ e 55¼.
6 m
9 m
8 m
5 m4 m
6 m
50¼
50º
45¼ 55¼
80¼
45¼
Fun•‹o e Geometria142
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 142 1/20/16 11:47 AM
 50. Atividade em dupla
 Para cada um dos itens abaixo, escreva uma das seguintes afirmações: 
¥ Os triângulos são semelhantes.
¥ Os triângulos não são semelhantes.
¥ Os triângulos podem ser ou não semelhantes.
 a ) O nABC tem lados de 10 cm, 15 cm e 20 cm, e o nEFG tem lados de 12 cm, 16 cm e 8 cm. 
Os triângulos são semelhantes 
10
8
15
12
20
16
5 5( ).
 b ) O nPQR tem Pµ de 60º e Qµ de 30º, e o nXYZ tem Xµ de 60º e Y$ de 50º. 
Os triângulos não são semelhantes (60º, 30º, 90º e 60º, 50º, 70º).
 c ) O nMNO tem Mµ de 70º e Nµ de 30º, e o nRST tem Rµ de 70º e Sµ de 80º.
Os triângulos são semelhantes (70º, 30º, 80º e 70º, 80º, 30º).
 d ) O nDHL tem um lado de 3 cm e um lado de 4 cm, e o nIJD tem um lado de 6 cm e um lado de 8 cm. 
Os triângulos podem ser ou não semelhantes (as informações não permitem afirmar se são ou não semelhantes).
 e ) Dois triângulos equiláteros. 
Os triângulos são semelhantes.
 f ) Dois triângulos isósceles. 
Os triângulos podem ser ou não semelhantes.
 g ) Um triângulo retângulo e um triângulo acutângulo. 
Os triângulos não são semelhantes.
 h ) Dois triângulos retângulos com um ângulo agudo congruente. 
Os triângulos são semelhantes.
 Converse com um colega e justifiquem a afirmação feita em cada item.
 51. É possível afirmar que dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um deles medem 45º e 75º, enquanto dois 
ângulos do outro medem 45º e 60º? 
Sim. Os ângulos do primeiro triângulo medem: 45º, 75º e 60º, pois 45º 1 75º 1 60º 5 180º. Os ângulos do segundo triângulo medem: 45º, 60º e 75º. Pelo caso
AA, podemos afirmar que os triângulos são semelhantes.
 52. Os triângulos abaixo são semelhantes? Explique sua resposta. 
Não são semelhantes (ângulos do primeiro triângulo: 90º, 30º e 60º; ângulos do segundo triângulo: 90º, 
45º e 45º).
A
B C
30¼
 NP
M
45¼
Função e Geometria 143
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 143 1/20/16 11:48 AM
 53. Justifique a semelhança dos tri‰ngulos ABC e DEC. 
 nABC , nDEC, pois t•m dois ‰ngulos correspondentes congruentes: B$ > E$ (retos); 
1C
µ > 2Cµ (opv), caso AA.
 54. Dos tr•s tri‰ngulos da figura abaixo (nABC, nCDB e nADB), h‡ dois que são semelhantes. Quais são eles? 
nABC , nADB, pois 
6
4,5
8
6
4
3
5 5
 (caso LLL).
nABC e nCDB não são semelhantes: 
6
3,5
8
4
4
3
.± ±
nCDB e nADB não são semelhantes:
 6
4
4,5
3,5
3
3
.± ±
 55. Atividade em dupla
 Converse com um colega e, juntos, indiquem qual das afirmaç›es abaixo Ž verdadeira.
• Dois tri‰ngulos semelhantes são congruentes. • Dois tri‰ngulos congruentes são semelhantes.
 56. Dois tri‰ngulos são semelhantes. O per’metro de um dos tri‰ngulos Ž de 35 cm, e o do outro Ž de 105 cm. Qual Ž a razão de 
semelhança entre os tri‰ngulos? E a razão entre suas ‡reas? 
 57. Observe os tri‰ngulos da figura.
CE
D
12 cm
6 cm
B
110º 110º
A
 a ) Mostre que nABC , nADE.
 b ) Se EC 5 5 cm, calcule a medida de .AE 
C
1
C
2
A
B
C
E
D
6 m
3 m
4 m
4,5 m
A B
D
C
3,5 m
Estimule os alunos a verificar, antes da 
resolução, quais são os lados e os ‰ngulos 
correspondentes.
X
6
5
12
x
Aµ > Aµ (comum); E$ > Cµ (110¼); caso AA.
AE 5 5 cm ( 5 126 12 6 30 6 30 5x x x x x x1 5 5 1 5 5⇒ ⇒ ⇒ )
Razão de semelhança entre os tri‰ngulos:
35
105
1
3
ou 105
35
3
1
5 5
Razão entre as ‡reas: 
1
3
1
9
ou 3 9
2
2
5 5( )
Função e Geometria144
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 144 1/20/16 11:48 AM
 58. Na figura, // .BC DE
C E
A
D
x
8
3x
B
y
 Calcule: 
 a ) a razão de semelhança )( ;ABAD 
 b ) a razão entre os perímetros dos triângulos ABC e ADE; 
 c ) a medida de y. 
 59. Na figura abaixo, L é uma lâmpada, D é um disco cujo diâmetro mede 20 cm, P é uma parede e S é a sombra do disco proje-
tada na parede. Considere as medidas dadas na figura e calcule a área da sombra projetada.
1,6 m
2 m
P
D
S
D
S
D
L
nABC , nADE
4
3
4
3
x
x( )
4
3
4
3
8 6⇒
y
y5 5
Colocando as medidas em cm, temos: 
200
40
diâmetro da sombra
20
5
diâmetro da sombra 5 100 cm 5 1 m
área da sombra 5 pr2 5 p ? 12 5 p m2
 1. É possível dois triângulos serem semelhantes se um deles tem um ângulo de medida 50º e dois lados de comprimento 7 cm, 
enquanto o outro tem um ângulo que mede 70º e dois lados com comprimento de 9 cm cada um? 
Não é possível. Os ângulos do primeiro triângulo podem ser de 50º, 50º e 80º ou 65º, 65º e 50º. Os do segundo podem medir 70º, 70º e 40º ou 70º, 55º e 55º.
 2. Verifique se é possível serem semelhantes dois triângulos isósceles, sabendo que um dos ângulos do primeiro triângulo 
mede 30º e os lados congruentes medem 4 cm; e um dos ângulos do segundo triângulo tem 75º e os lados congruentes 
medem 7 cm. 
É possível quando os ângulos nos dois triângulos forem de 30º, 75º e 75º(ângulos do primeiro triângulo: 30º, 30º e 120º ou 30º, 75º e 75º; ângulos do
segundo triângulo: 75º, 52,5º e 52,5º ou 30º, 75º e 75º).
Desafios
 Para aprimorar:
 Desafios (abaixo)
Função e Geometria 145
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 145 1/20/16 11:48 AM
Uso da semelhan•a para medir dist‰ncias inacess’veis
Imagine que a prova de uma gincana feita pelo colégio fosse medir a altu-
ra de um prédio ou de um mastro de bandeira.
Como você faria isso? Usaria régua, fita métrica, trena? Não seria possível, 
não é mesmo?
O que você poderia utilizar no lugar desses instrumentos, aplicando o que 
já aprendeu?
Uma ideia seria medir essas alturas indiretamente usando semelhança de 
triângulos e proporção.
Examine este exemplo: medir a altura aproximada de uma cesta de basquete.
Para isso, usaremos a metade de uma folha de papel quadrada, obtida como 
mostram as figuras abaixo:
H
D
F
G D
F
G
DG 5 FG
Siga estes procedimentos considerando as medidas do exemplo abaixo:
E
C
F
D
G
A B
1o) Mire o topo da cesta, conservando a parte inferior da folha )(DG paralela ao chão. 
Talvez você precise afastar-se ou aproximar-se da cesta para que isso ocorra.
2o) Meça a distância entre você e a perpendicular ao chão que passa pela cesta:
(AB 5 140 cm). Observe que AB 5 DC (logo, DC 5 140 cm).
3o) Meça agora a distância do chão aos seus olhos (AD 5 160 cm). Veja que AD 5 BC 
(logo, BC 5 160 cm).
Como nDCE , nDGF (dois ângulos correspondentes congruentes), concluímos 
que:
5 5
DE
DF
DC
DG
EC
FG
Observando a última igualdade, 5 ,DC
DG
EC
FG
 e sabendo que DG 5 FG, concluímos 
que DC 5 EC.
Assim, a altura da cesta de basquete é dada por BC 1 CE ou AD 1 AB.
No exemplo acima: BC 1 CE 5 160 cm 1 140 cm 5 300 cm 5 3 m.
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Sérgio Dotta Jr./Arquivo da editora
Crianças observando um mastro de bandeira.
Função e Geometria146
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 146 1/20/16 11:48 AM
Exerc’cios 
 60. Use o mesmo processo do exemplo anterior e determine a altura do mastro da bandeira representado abaixo. 
180 cm
300 cm
 61. Atividade em dupla
Usem o método da folha de papel quadrada e determinem as medidas de algumas alturas (casa, edifício, poste, árvore, etc.). 
Em seguida, completem este quadro:
Objeto Distância até o objeto Distância do chão aos olhos Altura do objeto
 
 
 
 62. Arredondamentos, cálculo mental e resultados aproximados
Observe a figura abaixo:
O
C
A
D
B
59,8 m
30 m
99,5 m
A medida do comprimento do lago (AB) está mais próxima de 60,2 m; 50,1 m ou 45,9 m?
Calcule mentalmente e confira com os colegas.
480 cm (300 1 180) ou 4,80 m
Sugira aos alunos que nomeiem os vértices dos triângulos considerados.
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Resposta pessoal.
50,1 m 
60
30
2; 100
50
2( )5 5
 Para construir:
 Exercícios 60 a 63 (147 e 148)
Função e Geometria 147
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 147 1/20/16 11:48 AM
 63. Calculando a altura do Obelisco
Na cidade de S‹o Paulo, no Parque do Ibirapuera, encontra-se o Obelisco, monumento de m‡rmore projetado pelo escultor italiano 
Galileu Emendabile. Ele foi constru’do para homenagear os her—is que lutaram na Revolu•‹o Constitucionalista de 1932 e foi inau-
gurado oficialmente em 9 de julho de 1955.
Obelisco, Parque do Ibirapuera, São Paulo (SP). Foto de 2015.
Ant™nio viajou a S‹o Paulo e ficou impressionado com o Obelisco no Parque do Ibirapuera.
Ele logo pensou em perguntar a alguŽm a altura do monumento, mas, como ninguŽm por perto sabia informar, resolveu usar 
um pouco das ideias sobre semelhan•a para medir alturas inacess’veis, assunto que havia estudado na escola. Responda:
 a ) Como deveria estar o clima em S‹o Paulo para que Ant™nio pudesse calcular a medida da altura do Obelisco usando a 
sombra do Obelisco e a ideia de semelhan•a? 
Ensolarado.
 b ) Qual(is) o(s) instrumento(s) necess‡rio(s) para fazer a medi•‹o? 
Fita mŽtrica ou trena.
 c ) O que ele deveria medir? 
Resposta pessoal. Por exemplo: sua altura, sua sombra e a sombra do Obelisco.
 d ) Se Ant™nio tem 1,80 m e sua sombra em determinado instante do dia era 1,20 m, qual Ž a altura do Obelisco se, nesse mesmo 
instante, ele fazia uma sombra de 48 m? 
F
a
b
rí
c
io
 B
o
n
ja
rd
im
/B
ra
s
il
/ 
P
h
o
to
 P
re
s
s
/F
o
lh
a
p
re
s
s
72 m
Função e Geometria148
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_114_148.indd 148 1/20/16 11:48 AM
3 Transformações geométricas
É possível fazermos certos movimentos ou transformações com figuras do plano 
de modo que suas formas e, às vezes, seus tamanhos sejam conservados. A seguir 
veremos algumas delas.
Translação 
Podemos deslocar (ou transladar ou transportar) uma figura no plano, de modo 
que a figura obtida seja congruente à original, por meio de um movimento chamado 
translação.
Veja um exemplo.
O nABC do plano desta página foi transportado, por meio de uma translação, para 
uma posição ocupada pelo nA9B9C9.
O nA9B9C9 é congruente ao nABC inicial.
Acompanhe a seguir como devemos proceder para efetuar a translação de uma 
figura no plano.
Representação de uma translação
A translação que leva A até A9 é representada pelo segmento orientado (ou vetor) 
9,AA
u ruu
com origem em A e término em A9.
No diagrama abaixo, 9 5 9,AA BB
u ruu u ruu
pois a medida do segmento orientado 9AA
u ruu
é 
igual à medida do segmento orientado 9BB
u ruu
 e o sentido de A para A9 é o mesmo que o 
sentido de B para B9.
Comente com os alunos sobre o movimento de translação da Terra, 
em que ela se desloca na sua órbita em torno do Sol.
A
C
B
A’
C ’
B’
Figura 1
Chame a atenção dos alunos para o fato de que 
a notação utilizada para representar um 
segmento orientado (ou vetor) é a mesma 
utilizada para representar uma semirreta, mas 
os conceitos são diferentes.
A
B
A’
B’
Figura 2
A palavra vetor vem do latim vehere, 
que significa transportar.
Exercícios 
 64. Observe a figura 1 e indique três paralelogramos nela.
ABB9A9; ACC9A9 e BCC9B9.
 65. Examine a figura 2 e indique apenas as igualdades verdadeiras.
 a ) 5 9 9AB A B
u ruu u ruuu
 c ) 9 5 9A A B B
u ruu u ruu
 b ) 9 5 9AA B B
u ruu u ruu
 d ) 9 9 5A B BA
u ruuu u ruu
 66. Observe a figura azul ao lado, obtida da figura verde por uma translação.
Indique o segmento orientado correspondente a essa translação.
 Para construir:
 Exercícios 64 a 66 (abaixo)
X X
Dados o segmento 
orientado BB9
u ruu
 e um ponto A 
no plano, existe um único ponto A9 neste 
plano tal que AA BB .95 9
u ruu u ruu
 A9 é o quarto 
vértice do paralelogramo que tem BB9
u ruu
 
e BA como lados.
A
E
D C
B
A9
X
E9
D9 C9
B9
Acesse o portal e veja o 
conteúdo ÒTutorial do 
GeogebraÓ.
Fun•‹o e Geometria 149
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 149 1/20/16 11:49 AM
Figuras transladadas
A figura PQRS foi transladada dando origem à figura P9Q9R9S9. A figura P9Q9R9S9 é 
chamada imagem da figura PQRS. Cada ponto de PQRS está ligado a uma imagem por 
meio de um segmento orientado.
Examine mais este exemplo. Vamos transladar a figura ABCD no sentido do 
segmento orientado e a uma distância igual à medida do comprimento desse segmento 
orientado.
A9B9C9D9 é a imagem de ABCD 
pela translação dada.
 Para construir:
 Exercícios 67 a 69 (abaixo)
Figura 1
S
P
Q
R
S9
P9
Q9
R9
B
CD
A B
CD
A
B9
C9D9
A9
Figura 2
Exercícios 
 67. Escreva dois fatos a respeito dos segmentos orientados que aparecem na figura 1. 
São paralelos e são congruentes.
 68. Considerando ainda a figura 1, responda: qual é a figura geométrica formada por:
 a ) PQQ9P9? b ) PSS9P9? c ) QRR9Q9? d ) SRR9S9?
Todos são paralelogramos: quadriláteros com dois pares de lados paralelos.
 69. Usando o espaço quadriculado, translade cada figura no sentido apontado pelo segmento orientadoe a uma distância igual à 
medida do comprimento desse segmento orientado. 
 a ) 
B
C
A
 b ) C
D
A
B
 c ) A
B D E
C
E’
B
C
A
B’
C’
A’
B
A
D
C
B’
A’
D’
C’
A
B D E
C
A’
B’
D’
C’
Função e Geometria150
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 150 1/20/16 11:49 AM
Transla•›es sucessivas
Examine a figura abaixo. Foram feitas duas translações em sequência.
A primeira transla•‹o 
leva a figura amarela ˆ figura azul e 
Ž representada pelo segmento orientado azul. 
A segunda transla•‹o leva a figura azul ˆ figura 
verde e Ž representada pelo segmento 
orientado verde.
A
B
C
C9
B9
A9
E9 E0
D0
A0
B0
C0
D9
D
E
Exercício 
 70. Use o espaço quadriculado e translade cada figura no sentido apontado pelo segmento orientado azul e, em seguida, faça uma 
translação indicada pelo segmento orientado verde.
 a ) 
A
B
C
 b ) 
Am
AÓ
BÓ
CÓ
AÕ
BÕ
CÕ
B
C
Az
A
V Am
Az
V
 Para construir:
 Exercício 70 (abaixo)
A
B
C
D
E
A9
B9
C9
D9
E9
C�
B�
A�E�
D�
Outro exemplo:
Observe como fazer, em uma 
malha quadriculada, uma translação 
indicada pelo segmento orientado 
azul e, em seguida, uma translação 
indicada pelo segmento orientado 
verde. Com isso, levamos a figura 
ABCDE até A9B9C9D9E9 e esta até 
A0B0C0D0E0.
Fun•ão e Geometria 151
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 151 1/20/16 11:49 AM
Reflexão em relação a uma reta
Podemos refletir 
uma figura em relação 
a uma reta obtendo uma figura 
simétrica e congruente à original.
Este movimento é chamado 
de reflexão.
P
Q
R
S
S9
P9
Q9
R9
s
A figura PQRS foi levada à figura P9Q9R9S9 (sua imagem) por uma reflexão em 
relação à reta indicada por s (eixo de reflexão). Alguns pontos foram ligados às suas 
imagens por segmentos orientados laranjas. Observe que a reta s é a mediatriz dos 
segmentos orientados 9 9 9 9, , e .PP SS RR QQ
u ruu u ruu u ruu u ruuu
Observe também que o sentido do deslocamento P9 → Q9 → R9 → S9 é o oposto 
do sentido do deslocamento P → Q → R → S. 
PQ
SR 
P9S9
Q9R9
Exercício 
 71. Escreva dois fatos a respeito dos segmentos orientados laranjas e da reta s da figura acima. 
Os segmentos orientados laranjas são paralelos. A reta s é perpendicular aos segmentos orientados laranjas. A distância do ponto P à reta s é igual à
distância do ponto P9 à reta s (a reta s é mediatriz do segmento orientado PP9
u ruu
).
 Para construir:
 Exercício 71 (abaixo)
 Veja outro exemplo. Vamos desenhar uma figura e uma reta.
B
C
s
A
D
Em seguida, vamos construir a imagem da figura após a reflexão em relação à reta.
B
C
C9
B9
A9
D9
s
A
D
A reta s é a mediatriz dos segmentos orientados 9 9 9 9, , e .AA BB CC DD O sentido 
do deslocamento A9 → B9 → C9 → D9 é o oposto do sentido de A → B → C → D.
Fun•‹o e Geometria152
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 152 1/20/16 11:49 AM
Um caso particular de reflexão
O quadrado ABCD foi refletido dando origem ao quadrado A9B9C9D9 por uma re-
flexão em relação à reta s. 
Exercício 
 72. Desenhe as figuras e as retas no espaço quadriculado. Construa a imagem de cada figura após a reflexão em relação à reta.
 a ) 
A
B
C
D
s
 b ) 
s
A
B D
E
F
C
 c ) 
s
AB
C
D
E
C9
B9
D9
s
A
B
C
D
A9
F9
D9
C9
A9
s
B9
E9
F
E
D
B
A
C
s
A
A9
B9
C9D9
E9
B
C
D
E
A
D
A9B9
C9 D9
B
s
C
Parte do quadrado
ABCD está em um lado 
da reta s; e a outra parte 
está no outro lado.
 Para construir:
 Exercício 72 (abaixo)
Fun•‹o e Geometria 153
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 153 1/20/16 11:49 AM
Eixo de simetria
Observe as 
figuras ao 
lado.
 
s
Ao se refletir cada uma delas em relação ao eixo de reflexão s, a figura obtida 
corresponde à figura original. Quando isso ocorre, o eixo de reflex‹o é chamado de 
eixo de simetria da figura.
Exerc’cios 
 74. Trace o(s) eixo(s) de simetria de cada figura.
 a )
s
1
s
25 cm
7 cm
 b ) 
s
5 cm 5 cm
4 cm
 Para construir:
 Exercícios 74 a 77 (p.154 e 155)
Exerc’cio 
 73. Faça a reflexão de cada uma das figuras em relação à reta.
 a ) sB
C
B9
A
A9
C9
 b ) A
B
C
s
B9
C9
A9
 c ) 
B
A
C
D
E
F
G
s
B9
A9
C9
D9
E9
 Para construir:
 Exercício 73 (abaixo)
Função e Geometria154
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 154 1/20/16 11:49 AM
 75. Desenhe um quadrado cujo lado mede 6,5 cm, depois trace o(s) eixo(s) de simetria.
 76. O paralelogramo abaixo tem algum eixo de simetria? Se sim, desenhe-o. 
 77. 
Desenhe um 
hexágono regular. 
Quantos eixos de 
simetria ele tem?
s
1
s
2
s
3
s
4
6,5 cm
6,5 cm
6,5 cm6,5 cm
Não apresenta eixo de simetria.
7 cm
5 cm
60º
6 eixos de simetria.
Rotação
Podemos girar uma 
figura em torno de um ponto 
segundo determinado 
‰ngulo e obter outra figura 
congruente a ela. 
Este movimento Ž chamado 
de rotação.
 
B
C
B9
A ; A9
C9
α
α
O nABC sofreu uma rotação em torno do ponto A de um ângulo a no sentido 
horário (sentido dos ponteiros do relógio) e deu origem ao nA9B9C9.
O ponto A é chamado de centro da rotação e o ângulo a de ângulo de rotação. 
O nA9B9C9 é chamado de imagem do nABC pela rotação. O sentido do deslocamento 
A → B → C é o mesmo do deslocamento A9 → B9 → C9.
Função e Geometria 155
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
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Exercícios 
 78. Faça as rotações.
 Determine o ponto A9 e o segmento de reta R9S9 fazendo rotações de centro em P e ângulo de 90º no sentido horário.
 a ) 
A
P
A9
90°
 b ) 
S9R P
S
R9
90¡
90¡
 Para construir:
 Exercícios 78 e 79 (p. 156 e 157)
Constru•‹o de uma rota•‹o
Vejamos como construir uma rotação de uma figura em torno de um ponto dado, 
segundo determinado ângulo, em determinado sentido.
Vamos encontrar a imagem do nABC após uma rotação, em torno do ponto P, de 
90º no sentido horário. Desenhamos o nABC, marcamos um ponto P e ligamos o vér-
tice A ao ponto P.
Com a ajuda de um transferidor, traçamos uma reta que forma 90º com .AP Me-
dimos o ângulo no sentido horário.
Marcamos um ponto A9 sobre essa reta de tal modo que 9PA tenha a mesma 
medida que .PA Fazemos o mesmo com o ponto B e com o ponto C, marcando B9 e C9. 
Por fim, ligamos os pontos, obtendo o nA9B9C9.
Assim, 
o nA9B9C9 é o 
triângulo obtido após 
uma rotação de 90º do 
nABC em torno do 
ponto P, no sentido 
horário.
A
C
B
A9
B9
P
C9
90¼
90¼
90¼
Fun•‹o e Geometria156
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 156 1/20/16 11:49 AM
 79. Use o quadriculado para fazer as rotações. Desenhe a imagem de cada figura após uma rotação de 180º no sentido horário em 
torno do ponto P.
 a ) 
A
BC P
 
b ) 
P
A B
D C
 
 c ) A
C
P
BE
D
 d ) 
A B
D C
P
A
BPC
A
BPC
A9B9
D C
C9
A
P
D9
B
A
A9
B
B9
C
C9
P
D
D9
E
E9
P
Observa•‹o: Dizemos que translação, reflexão e rotação são movimentos ou transformações geométricas que preservam 
a congru•ncia. Nelas, a figura transformada é sempre congruente à figura original. Esses movimentos são fundamentais 
em Geometria. Por não deformar a figura original, esses três movimentos são chamados de movimentos r’gidos ou de 
isometrias (iso 5 mesma; metria 5 medida).
Função e Geometria 157
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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Outro tipo de transformação: 
a homotetia
Estudaremos agora uma transformação geométrica que, em geral, não preserva 
a congruência e está muito relacionada com o que fizemos ao longo deste capítulo. 
Veja dois exemplos:
 a ) Vamos considerar um ponto O, uma semirreta OP com o ponto P distinto de O, e 
uma constante, por exemplo, igual a 3 (razão):
PO P9
 A correspondência estabelecida entre o ponto P e o ponto P9, ambos sobre a 
semirreta OP, é tal que: OP9 5 3 ? OP ou 9OP
OP
5 3.
 b ) Se a razão fosse 1
2
, teríamos o ponto P9 colocado entre O e P, no ponto médio de .OP
PO P9
 Neste caso, OP95 1
2
 ? OP ou 
9
5
1
2
.OP
OP
Exerc’cio 
 80. Determine as imagens dos pontos Q, R e S pelas transformações de centro e razão dados abaixo.
Q
Q9
O
Centro: O
Razão: 2
O RR9
Centro: O
Raz‹o:
1
3
O
S S9
Centro: O
Razão: 1
 Crie outras transformações desse tipo e desenhe-as abaixo. Resposta pessoal.
 Para construir:
 Exercício 80 (abaixo)
Chamaremos de homotetia de centro O e razão k positiva toda transformação que 
leva o ponto P (distinto de O) a um único ponto P9 da semirreta OP, de modo que OP9 5 
5 k ? OP. Ao ponto P9 damos o nome de imagem (ou homotético) do ponto P segundo essa 
homotetia.
PO P9
Agora, estamos prontos para definir o que é homotetia:
Abreviaremos a expressão “homotetia com centro O e razão k” por H (O, k).
P
H (O, 2)
O
P9
 
P9O P
1
3
H O , 
Fun•‹o e Geometria158
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 158 1/20/16 11:49 AM
Em uma homotetia, um 
segmento de reta Ž levado a 
outro segmento de reta para-
lelo ao primeiro.
P9
O
P
R
R9
Q Q9
9 9 //P Q PQ
9 9 //Q R QR
Aqui estamos considerando 
segmentos colineares 
como caso particular de 
segmentos paralelos 
por exemplo, e .OP OP9( )
A imagem de um ‰ngulo por meio 
de uma homotetia Ž outro ‰ngulo con-
gruente ao original.
>
$ $Q P R QPR9 9 9
P9
P
R
R9
Q
Q9
O
Propriedades importantes de uma homotetia
Em uma homotetia com centro O e raz‹o k, a raz‹o entre a medida do 
homotŽtico de um segmento de reta e a medida do pr—prio segmento de reta Ž 
sempre igual a k, raz‹o da homotetia. 
A homotetia abaixo tem centro O e raz‹o k 5 3, pois OP9 5 3 ? OP, 
OR9 5 3 ? OR, e assim por diante.
P9
P
R
R9
Q
Q9
4,5 cm
1,5 cm
3 cm
1 cm
O
Veja agora as raz›es:
9 9
5
4,5
1,5
P Q
PQ
5 3 9 9 5 3
1
Q R
QR
5 3
Exerc’cio 
 81. Fixe pontos para representar os centros das homotetias abaixo. Em cada uma, marque um ponto P e localize seu corres-
pondente P9.
 a ) H (O, 3) b ) H , 1
4 )(O c ) H ,
5
2 )(O d ) H ,
3
4 )(O e ) H (O, 6) f ) H (O, 1)
PO P9
P9O P PO P9 P9O P
PO P9
O P
P9
 Para construir:
 Exerc’cio 81 (abaixo)
Função e Geometria 159
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 159 1/20/16 11:49 AM
Acompanhe as propriedades vistas da homotetia:
Em duas figuras homotŽticas, os ‰ngulos correspondentes s‹o congruentes, os 
segmentos de reta correspondentes s‹o paralelos, e a raz‹o entre suas medidas Ž 
sempre a mesma e igual ˆ raz‹o da homotetia.
Mas a rec’proca 
n‹o Ž verdadeira, isto Ž, figuras 
semelhantes nem sempre s‹o 
homotŽticas. Veja o exemplo 
a seguir.
As figuras que se 
correspondem por homotetia 
s‹o chamadas de 
figuras homotŽticas.
Elas s‹o sempre 
semelhantes.
Os tri‰ngulos abaixo s‹o semelhantes, mas n‹o existe nenhum ponto O do plano 
(do papel) e nenhuma raz‹o k de modo que uma homotetia leve o tri‰ngulo PQR ao 
tri‰ngulo P9Q9R9. Ou seja, eles n‹o s‹o homotŽticos.
Se duas figuras s‹o semelhantes, Ž sempre poss’vel que uma chegue ˆ outra fa-
zendo um ou mais movimentos r’gidos (rota•‹o, transla•‹o ou reflex‹o), seguidos de 
uma homotetia.
Veja o exemplo acima. Para chegar do nPQR ao nP9Q9R9 semelhante a ele, po-
demos fazer uma rota•‹o chegando ao nP99Q99R99 e depois uma homotetia.
P9
P
R
Q
Q9
R9
P9
P0
R0
Q0
O
Q9
R9
P9
P
P0
R ; R0
Q
Q0
Q9
R9
Fun•‹o e Geometria160
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 160 1/20/16 11:49 AM
Exerc’cios 
 82. Observe o polígono ABCDE reduzido ao polígono A9B9C9D9E9 por uma homotetia com centro O e razão k.
 Responda, considerando k positivo:
 a ) Qual é o valor de k nessa homotetia? 
k 5
1
2 .
 b ) Quais são os valores de k para que uma homotetia com centro O e razão k reduza uma figura? 
0 , k , 1.
 c ) Quais são os valores de k para que uma homotetia com centro O e razão k amplie uma figura?
k . 1.
 d ) Qual é o valor de k para que uma homotetia com centro O e razão k reproduza uma figura? 
k 5 1.
 83. Desenhe um retângulo com 5 cm de comprimento por 3 cm de largura. Em seguida, por uma homotetia de centro O, construa 
um retângulo semelhante ao primeiro, cuja razão de semelhança seja 1,5. Responda:
 a ) Trata-se de uma ampliação ou de uma redução? Por quê? 
Ampliação, porque 1,5 . 1.
 b ) Qual é o perímetro do retângulo homotético? 
2 ? 5 1 2 ? 3 5 16; 1,5 5 15
10 16
P
5 ⇒ P 5 24 cm
 
O
A9
A
E9
E
B9
B
C9
C
D9
D
 Para construir:
 Exercícios 82 e 83 (abaixo)
Função e Geometria 161
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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Transformações geométricas, 
correspondência biunívoca, 
congruência e semelhança
Neste capítulo, você estudou quatro transformações geométricas, movimentos 
que levam uma figura do plano a outra.
Veja um exemplo de cada uma delas, em que a figura verde é levada à figura 
laranja.
A D
B C
A9 D9
B9 C9
Translação produzida pelos segmentos orientados vermelhos.
A
D
E
B
s
C
A9
D9
E9
B9
C9
Reflexão em relação à reta s (eixo).
B
C
P
A B9
C9
A9
Rotação de centro P e ângulo de 90º no sentido horário.
CD
A
O
B A9 B9
C9D9
Homotetia de centro O e razão 3.
Observações:
1a) Em todas essas transformações, há uma correspondência biunívoca entre os 
pontos da figura inicial e os da figura obtida. Isso significa que cada ponto da figura 
inicial tem sempre um correspondente na figura obtida e vice-versa.
 Então, se P e Q são pontos distintos da 1a figura, seus correspondentes P9 e Q9 na 
2a figura também são pontos distintos.
2a) Translação, rotação e reflexão são chamadas de isometrias. A figura obtida com 
elas é congruente à figura inicial.
3a) Uma homotetia ou um movimento rígido seguido de uma homotetia leva uma 
figura a outra semelhante a ela.
 Para aprimorar:
 Jogo (p. 64 e 65)
 Para praticar:
 Tratamento da informação (p. 167)
 Outros contextos (p. 168 e 169)
 Praticando um pouco mais (p. 170 
e 171)
 Revisão cumulativa (p. 172 e 173)
Função e Geometria162
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 162 1/20/16 11:49 AM
Exercícios 
 84. Responda:
 a ) Em que caso duas figuras homotéticas são congruentes? 
Quando a razão da homotetia é 1.
 b ) Duas figuras homotéticas são sempre semelhantes? 
Sim.
 c ) Duas figuras semelhantes são sempre homotéticas? 
Não.
 85. Avaliação de resultados
 Veja o que três alunos afirmaram ao observar as figuras abaixo e indique apenas a afirmação correta.
 
• Carla → A e A9 não são semelhantes.
• Lucas → A e A9 são semelhantes, mas não são homotéticas.
• Raul → A e A9 são semelhantes e homotéticas.
XA A9
 86. Indique que movimentos devemos fazer para que da região quadrada A do exercício anterior possamos chegar à região quadrada A9.
• Uma translação e uma reflexão. • Uma reflexão e uma homotetia. • Uma rotação e uma homotetia.
 87. Que movimentos foram feitos para, da figura verde, se chegar à azul e da azul se chegar à amarela? 
Uma translação e uma reflexão.
 88. Desenhe abaixo um retângulo R1, levado a um retângulo R2 por uma homotetia de centro P e razão 1
2
. 
 89. Os triângulos ABC e A9B9C9 abaixo são semelhantes? Justifique sua resposta de duas maneiras diferentes. 
B9P
C9 A9
C A
B
 
Sim.
 nABC e nA9B9C9 têm um ângulo congruente (å e å9 são retos) formado por lados proporcionais 
3
1
6
2
5
.
É possível levar o nABC ao nA9B9C9 por uma reflexão seguida de uma homotetia de centro P e razão 3 que leva o nABC ao nA9B9C9.
 
X
P
R
2
R
1
 Para construir:
 Exercícios 84 a 89 (abaixo)
Resposta pessoal. Exemplo:
Função e Geometria 163
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 163 1/20/16 11:49 AM
1,3 2,6 130¼
1,5
1,5
1
1
130¼
50¼
50¼
130¼
4,5
4,5
3
3
130¼50¼
50¼
30º
2,1
110º
6,3 3,8
3,8
x
y
z
3
3,8
3,8
x9
y9
z9
3
1,21,2
1,2
1,2
1,2
a
a a
aa
1,21,2
1,2
1,2
1,2
a
a a
aa
70¼
5,2
2,8
70¼
2,6
1,4
65¼
75¼
4
40¼
65¼
2
3
33
9
99
2
1
3
2
60¼
20¼
Trilha da semelhan•a
Com este jogovocê aplicará alguns dos conhecimentos estudados até agora. 
Orienta•›es:
Nœmero de participantes: 2 
Material necess‡rio: 1 dado e 2 objetos diferentes para marcar o deslocamento (tampinhas, botões, bolinhas de papel, etc.)
Como jogar:
Os dois participantes lançam o dado para decidir quem começa. Cada jogador, na sua vez, lança o dado e “anda” a 
quantidade de casas correspondente aos pontos sorteados. As casas com os números destacados contêm uma jogada 
extra. Quando o participante parar em uma dessas casas, deve localizar o par de fi guras na relação abaixo e verifi car se elas 
são semelhantes. Caso sejam, deve calcular a razão de semelhança (1, 2 ou 3) entre elas e avançar a mesma quantidade de 
casas. Se as fi guras não forem semelhantes, o participante deve voltar 2 casas.
Volta 2 casas.
Avança 1 casa.
Volta 2 casas.
Avança 2 casas.
Volta 2 casas.
Avança 3 casas.
Avança 
1 casa.
Avança 2 casas.
Avança 
3 casas.
3 28
7 31
14 36
19 42
24 48
Avança 2 casas.
Jogo
Fun•‹o e Geometria164
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 164 1/20/16 11:49 AM
Pr
es
te
 a
te
n
çã
o 
às
 o
ri
en
ta
çõ
es
 
e 
bo
m
 jo
go
!
Giz de Cera/Arquivo da editora
165
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
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4 Outras situações que 
envolvem semelhança
Resolva mais estas situações em que você pode aplicar o que estudou sobre 
semelhança.
Exerc’cios 
 90. Dois terrenos retangulares são semelhantes, e a razão de semelhança entre eles é 3
5
. Se o terreno maior tem 60 m de largura 
e 150 m de comprimento, quais são as dimensões do terreno menor?
x
y
 91. R
1
 e R
2
 são dois retângulos semelhantes. R
1
 tem comprimento de 16 cm e largura de 6 cm. Se o comprimento de R
2
 mede 24 cm 
a mais do que o de R
1
, a largura de R
2
 mede mais ou menos do que a de R
1
? Quanto a mais ou quanto a menos?
 92. Desenhe um sistema de eixos cartesianos com vários triângulos retângulos isósceles conforme a figura. Depois, responda: 
os triângulos retângulos isósceles são sempre semelhantes? Por quê? 
Sim, porque os ângulos dos triângulos retângulos isósceles medem sempre 90º, 45º e 45º (caso AA).
 93. Projeto em equipe: ampliando e reduzindo figuras
 Escolham figuras em jornais ou revistas e façam quadriculados sobre elas, como no exemplo ao lado. 
Depois, estabeleçam razões de semelhança para obter ampliações e reduções das figuras.
 Para construir:
 Exercícios 90 a 93 (abaixo)
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
90 m de comprimento por 36 m de largura
60 150
3
5
x y
5 5 ⇒ x 5 36 m e y 5 90 m
16 1 24 5 40 (comprimento de R
2
)
16
40
6
x
5 ⇒ 16x 5 240 ⇒ x 5 15 (largura de R2)
15 2 6 5 9
Logo, a largura de R
2
 tem 9 cm a mais do que a de R
1
.
cateto
cateto
C
a
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Racioc’nio l—gico
 Felipe está no degrau do meio de uma escada. Se subir 5 degraus, descer 7, voltar a subir 4 e depois mais 9, chegará 
ao último degrau. Quantos degraus tem a escada? 
23 degraus (5 2 7 1 4 1 9 5 11; há 11 degraus acima do degrau em que ele está, 11 degraus abaixo e mais 1, que é o degrau em que ele está).
Faça um desenho representando a situação para facilitar a compreensão dos alunos.
 Para aprimorar:
 Raciocínio lógico (abaixo)
Função e Geometria166
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 166 1/20/16 11:50 AM
Tratamento da informaç‹o
Trabalhando com porcentagem
 94. O Suriname é um dos 13 países da América do Sul, mas geralmente poucos conhecem a respeito dessa nação.
 O Suriname foi dominado pelos espanhóis, ingleses e, predominantemente, a partir do 
século XVII, pelos holandeses, o que fez com que o idioma oficial do Suriname acabasse 
se tornando o holandês. A independência em relação à Holanda só foi alcançada na se-
gunda metade do século XX, em 1975.
 A capital do Suriname é Paramaribo. A área territorial do país é de 163 820 km2. A moeda 
corrente é o dólar do Suriname e, em 2012, o PIB surinamês totalizou 5,012 bilhões de 
dólares estadunidenses. Em 2013, apresentava um IDH de 0,705, ocupando o 100o lugar 
no ranking da ONU.
 Em 2014, o Suriname possuía 573 311 habitantes. A população do país apresentava uma taxa de crescimento anual de aproxi-
madamente 1,12%. 
 A composição étnica da população surinamesa é bastante diversificada, 
abrangendo diversos grupos. O gráfico ao lado mostra essa composição.
 Analise o gráfico e faça o que se pede.
 a ) Qual é o assunto tratado no gráfico? 
Composição étnica da população do Suriname.
 b ) Quais grupos étnicos têm maior e menor predominância na popula-
ção do Suriname? 
Maior: descendentes de indianos; menor: brancos.
 c ) Qual é a quantidade aproximada de habitantes do Suriname descen-
dentes de indígenas? Use calculadora. 
Aproximadamente 11 466 habitantes (2% de 573 311)
 d ) Determine a medida do ângulo central dos setores do gráfico correspondentes às populações de maroons e javaneses. 
Maroons: 36º; javaneses: 54º.
 e ) Considerando a taxa de crescimento da população do Suriname, qual era a população esperada para 2015? E para 2016? 
Use calculadora. 
Em 2015: 579 732; em 2016: 586 225 (2015: 573 311 1 1,12% de 573 311; 2016: 579 732 1 1,12% de 579 732).
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c
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IBGE. Atlas geogr‡fico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro, 2012. (Adaptado).
VENEZUELA
COLïMBIA
EQUADOR
PERU
B R A S I L
GUIANA
SURINAME
GUIANA FRANCESA (FRA)
EQUADOR
Paramaribo
N
S
LO
0 760 1 520 km
ESCALA
OCEANO
ATLåNTICO
70¼ O
Localização do Suriname
A
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Paramaribo, Suriname. Foto de 2013.
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Bandeira do Suriname.
Fonte: CIA – The World Factbook. 
Disponível em: <https://www.cia.gov/library/publications/
the-world-factbook/geos/ns.html>. Acesso em: 14 maio 2015.
Mestiços (“crioulos”, descendentes
de brancos e negros) 31%
Outros 2%
Brancos 1%
Descendentes de 
indianos 37%Javaneses 15%
Maroons (descendentes de
africanos escravizados) 10%
Indígenas 2%
Chineses 2%
Composição étnica da população do Suriname
167Função e Geometria
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Outros contextos
 95. Fazendo uma bandeira
 Para torcer no próximo jogo da seleção brasileira, Sérgio vai fazer uma bandeira estilizada, com as quatro 
cores da bandeira nacional, como mostra a figura ao lado.
 Nessa bandeira, a região retangular foi dividida por dois segmentos de reta: um deles é a diagonal do 
retângulo e o outro liga um vértice à metade do lado maior. Se é necessário meio metro quadrado de 
tecido para fazer a parte verde, quanto será preciso para fazer a parte amarela? 
 96. As viagens de Paulo
 Na figura ao lado, estão representadas cinco cidades (A, B, C, D e E), algumas rodovias ligando essas cidades e a extensão de 
alguns trechos. A rodovia que liga a cidade B à cidade C é paralela à rodovia que liga a cidade D à cidade E.
 Paulo é representante comercial, mora em A e viaja por essas cidades a trabalho. Em uma 
segunda-feira, ele foi de A para B, depois de B para C e, em seguida, de C para D. No retorno foi 
de D para E, de E para B e, finalmente, de B para A. Considere o consumo de 1 L de combustível 
para 14 km rodados e o preço de R$ 2,50 para cada litro de combustível. Além do deslocamen-
to nas estradas, considere ainda um deslocamento de 25 km dentro das cidades e calcule 
quanto Paulo gastou em combustível neste dia de trabalho. R$ 38,75
Os triângulos DGH e BAH são semelhantes, pois os três ângulos correspondentes são congruentes.
Como DG mede a metade de ,AB então a razão de semelhança entre os lados correspondentes de nDGH e nBAH é 1
2
. 
Logo, a razão entre suas áreas é 1
2
1
4
.
2
5( )
Como a área verde tem 0,5 m2, temos: 
0,5 1
4x
5 ⇒ x 5 2
Assim, para fazer a área amarela são necessários 2 m2 de tecido.
AB
D CG
H
A figura abaixo é um modelo matemático 
da si tua ção, com // .BC ED
E D
CB
35
30
12
56
yx
A
Neste caso, nABC e nAED são semelhantes 
e podemos escrever:
35
35 56
30
42
5
7x
y
1
5 5 →
De 35
35
5
7
,
x1
5 obtemos x 5 14; 
de 
56
5
7
,
y
5 obtemos y 5 40.
Percurso nas rodovias: AB 1 BC 1 CD 1 DE 1 EB 1 
1 BA 5 35 1 40 1 12 1 56 1 14 1 35 5 192 →
→ 192 km
Percurso total: 192 1 25 5 217 → 217 km
Consumo de combustível: 217 ; 14 5 15,5 → 15,5 L
Gasto com combustível: 15,5 ? R$ 2,50 5 R$ 38,75
 97. Ronaldo
No dia 14 de fevereiro de 2011, foi anunciada a aposentadoria de um dos melhores jogadores de futebol de todos os tempos [...], 
Ronaldo Naz‡rio de Lima, o Fen™meno. Eleito tr•s vezes o melhor jogador do mundo pela Fifa, marcou centenas de gols e atuou em
7 clubes, 2 do Brasil e 5 do exterior. Teve tambŽm uma brilhante passagem pela sele•‹o brasileira.
O gr‡fico abaixo mostra uma enquete a respeito da aposentadoria de Ronaldo.
F
e
rn
a
n
d
o
 V
e
rg
a
ra
/A
P
 P
h
o
to
A
35 km 30 km
12 km
56 km
CB
E D
Fonte: VEJA. São Paulo: Abril, 23 fev. 2011. p. 38.
Ronaldo est‡ certo
em parar agora?
Sim
84%
N‹o
16%
CRAQUE APOSENTADO
 Analise o gráfico e realize as atividades a seguir.
 a ) Determine, aproximadamente, a medida do ângulo central de cada setor do gráfico. 
 b ) Considerando que foram entrevistadas 5 800 pessoas, quantas responderam sim e 
quantas responderam não? 
Sim: 302,4º (84% de 360º); não: 57,6º (16% de 360º).
Sim: 4 872 pessoas (84% de 5 800); não: 928 pessoas (16% de 5 800).
168 Função e Geometria
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 168 1/20/16 11:50 AM
 c ) Suponha que a revista que realizou a enquete v‡ premiar ao acaso um dos participantes. Qual Ž a probabilidade de ser uma 
pessoa que respondeu sim? 
84%.
 d ) Qual Ž a raz‹o entre o nœmero de entrevistados que responderam sim e o nœmero de entrevistados que responderam n‹o? 
 98. Tecnologia em avi›es
 B-2 Spirit ou Stealth B-2 Ž um bombardeiro estadunidense projetado com base no conceito antigo sobre Òasas voadorasÓ
e uma inovadora tŽcnica de desenho por computador de Òasa unida em WÓ. ƒ quase invis’vel ao radar e, embora seja extrema-
mente fino, carrega toneladas de m’sseis e bombas.
 O avi‹o Ž œnica e exclusivamente feito para a For•a AŽrea dos Estados Unidos 
(USAF) e n‹o pode ser adquirido de maneira alguma por qualquer outro governo, 
mesmo que aliado.
 Informa•›es tŽcnicas:
 Tipo: bombardeiro estratŽgico
 Velocidade m‡xima: 764 km/h
 Dimens›es: envergadura → 52,40 m
 comprimento → 21 m
 altura → 5,20 m
 çrea (asas): 464,5 m2
 Peso: 45 360 kg (vazio)/181 437 kg (peso m‡ximo para decolagem)
 Armamento: 22 680 kg de bombas convencionais ou bombas termonucleares
 a ) A fotografia acima mostra o B-2 em um voo rasante e paralelo ao solo e sua sombra formada pelos raios solares projetada 
na pista do aeroporto. Podemos afirmar que a sombra e a superf’cie superior do avi‹o formam figuras semelhantes? 
Justifique sua resposta.
Sim. Se os raios que chegam ˆ Terra formam um feixe de retas paralelas e como o avi‹o voa paralelamente ao solo, ent‹o podemos afirmar que a sombra e a 
superf’cie do avi‹o s‹o semelhantes e congruentes.
 
 b ) Um governo n‹o aliado deseja fabricar um avi‹o semelhante ao B-2 Spirit, conservando as mesmas formas e com 
medidas maiores e proporcionais ao original. Observando abaixo o valor informado do comprimento do novo avi‹o, 
calcule as raz›es (irredut’veis) de semelhan•a e complete os valores tŽcnicos seguintes.
 Comprimento: Envergadura: Altura: çrea (asas): 
 c ) No item b, qual Ž o percentual de aumento nas medidas unidimensionais? E nas medidas bidimensionais?
5,25 4 872
928
609
116
5( ) .
Raz‹o de semelhan•a: 
5
6
Comprimento antigo: 21 m e comprimento novo: 25,2, assim:
21
25,2
210
252
5
6
5 5 raz‹o de semelhan•a unidimensional.
Envergadura: 
52,4 5
6x
5 ⇒ x 5 62,88 m 
Altura: 
5,2 5
6h
5 ⇒ h 5 6,24 m
çrea: 
464,5 5
6
2
A
5 ( ) ⇒ A 5 668,88 m2 
25,2 m 62,88 m 6,24 m 668,88 m2
Unidimensionais: 5
6
 ⇒ 20%
Bidimensionais: 5
6
2
( ) ⇒ 44%
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w
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Bombardeiro B-2 Spirit e sua sombra.
co
m
p
rim
e
n
to
envergadura
Esquema do B-2 Spirit.
Fun•‹o e Geometria 169
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Praticando um pouco mais
 1. (Vunesp Ð Adaptado) A figura representa um tri‰n gulo ret‰ngulo de vŽrtices A, B e C em que o segmento de reta DE Ž paralelo ao 
lado AB do tri‰n gulo. Se AB 5 15 cm, AC 5 20 cm e AD 5 8 cm, determine a medida DE.
C
D E
A 15
8
20
B
 a ) 12 cm.
 b ) 11 cm.
 c ) 10 cm.
 d ) 9 cm. 
 e ) 8 cm.
 2. (Enem) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a 
rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcan•ou uma altura de 0,8 metro. A dist‰ncia em metros que o paciente ainda deve 
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa Ž:
 a ) 1,16 metro.
 b ) 3,0 metros.
 c ) 5,4 metros.
 d ) 5,6 metros.
 e ) 7,04 metros.
 3. (Vunesp) A sombra de um prŽdio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, pr—-
ximo ao prŽdio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m.
15 3
5
prŽdio
poste
Sol
A altura do prŽdio, em metros, Ž:
 a ) 25.
 b ) 29.
 c ) 30.
 d ) 45.
 e ) 75.
15
12
20
9⇒ ⇒DE
AB
CD
CA
DE
DE5 5 5X
X
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A
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X : altura do prŽdio; 3
15
5 3 75 25⇒ ⇒h
h
h h5 5 5
170 Função e Geometria
SER_EF2_Matematica9_M2_C3_149_176.indd 170 1/20/16 11:50 AM
 4. (Ufop-MG) Uma pessoa, ap—s caminhar 10,5 metros sobre uma rampa plana com inclina•‹o de u radianos, em rela•‹o a um piso 
horizontal, e altura de h metros na sua parte mais alta, est‡ a 1,5 metro de altura em rela•‹o ao piso e a 17,5 metros do ponto mais 
alto da rampa.
1,5 m
10,5 m
17,5 m
h
u
Sendo assim, a altura h da rampa, em metros, Ž de:
 a ) 7,0.
 b ) 8,5.
 c ) 2,5.
 d ) 4,0.
 5. (UEL-PR) Para medir a altura de um edif’cio, um engenheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a sombra do prŽdio, obtendo 
10,0 metros. Em seguida, mediu sua pr—pria sombra, que resultou em 0,5 metro. Sabendo que sua altura Ž de 1,8 metro, ele p™de 
calcular a altura do prŽdio, obtendo:
 a ) 4,5 metros.
 b ) 10,0 metros.
 c ) 18,0 metros.
 d ) 36,0 metros.
 e ) 45,0 metros.
 6. (Integrado-RJ) Numa cidade do interior, ˆ noite, surgiu um objeto voador n‹o identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m 
do solo, aproximadamente. Um helic—ptero do exŽrcito, situado aproximadamente 30 metros acima do objeto, iluminou-o com um 
holofote, conforme mostra a figura abaixo.
30 m
50 m
16 m
Sombra
Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco voador mede, em metros, aproximadamente:
 a ) 3,0.
 b ) 3,5.
 c ) 4,0.
 d ) 4,5.
 e ) 5,0.
X
X
P
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u
lo
 M
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n
zi
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A
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 e
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Função e Geometria 171
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Revisão cumulativa
 1. Que transforma•›es devemos fazer em cada item para, de A, chegar a B, sabendo que A , B? 
 a ) 
A
B
 b ) 
A
B
 2. Se x Ž um nœmero real, tal que 2 < x , 7, ent‹o podemos afirmar que:
 a ) x < 2.
 b ) x , 6.
 c ) x . 1.
 d ) x > 3.
 3. A express‹o 
32 8
2
2
 equivale a:
 a ) 2 .
 b ) 6 .
 c ) 2.
 d ) 2 2 .
 4. A soma dos quadrados de dois nœmeros naturais Ž igual a 520. Dividindo o maior deles pelo menor, o quociente Ž 3 e o resto
Ž 4. O produto desses dois nœmeros naturais Ž igual a:
 a ) 122. 
 b ) 132.
 c ) 142.
 d ) 152.
 5. (FEI-SP) Na figura, x mede:
 a ) 3.
 b ) 2 10
15
.
 c ) faltam dados para calcular x.
 d ) 3 1 2 10
15
 e ) N. R. A.
Respostas pessoais.
Exemplo: uma reflex‹o seguida de uma homotetia. Exemplo: uma rota•‹o seguida de uma homotetia.
O
X
X
520
3 4
2 2x y
x y
1 5
5 1



⇒ x 5 22 e y 5 6
6 ? 22 5 132 
X
y2 1 82 5 172 ⇒ y 5 15
8
5
15
40
15
2 10
15
x x5 5 5⇒
x
17
5
8X
Função e Geometria172
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 6. (Fuvest-SP) A equação do 2o grau ax2 2 4x 2 16 5 0 tem uma raiz cujo valor é 4. A outra raiz é:
 a ) 1.
 b ) 2.
 c ) 3.
 d ) 21.
 e ) 22.
 7. Na figura ao lado, temos AB DE// .
O valor de x é:
 a ) 30. 
 b ) 12.
 c ) 15.
 d ) 18.
 8. Leia as informações abaixo e faça o que se pede.
• Em um nPQR, temos PQ 5 12 cm, PR 5 15 cm e Pµ de 40º.
• Em um nMNO, temos MN 5 35 cm, MO 5 28 cm e Mµ de 40º.
 a ) Mostre que nPQR , nMNO. 
 b ) Calcule QR no caso de NO 5 49 cm.
 9. Qual destas equações não tem raiz real?
 a ) 40x2 2 100x 1 20 5 0
 b ) 37x2 2 98x 2 68 5 0
 c ) 30x2 2 80x 1 90 5 0
 d ) 50x2 1 200x 1 200 5 0
 10. Dois quadriláteros são semelhantes. O lado maior do primeiro mede 12 cm, e o lado maior do segundo mede 8 cm. A área da 
região determinada pelo primeiro tem 60 cm2 a mais do que a área da região determinada pelo segundo. Determine essas 
duas áreas.
 11. (Unimontes-MG) O quadrado MNPQ está inscrito no triângulo ABC. A área do triângulo PBQ assinalado na figura abaixo é:
 a ) 16. 
 b ) 18.
 c ) 12.
 d ) 14.
X
C
B20
9
6
x
A
EDX
nPQR e nMNO são semelhantes, pois têm um ângulo 
congruente formado por dois lados proporcionais:
P$ > Mµ e →5
15
35
12
28
3
7
x
5
3
7 49
 ⇒ x 5 21; 21 cm
21 cm
X
12
8
3
2
5 (razão entre os lados)
Área do 1o quadrilátero: x 1 60 
Área do 2o quadrilátero: x
Então:
60 3
2
9
4
2
x
x
1
5 5( ) ⇒ 9x 5 4(x 1 60) ⇒ x 5 48
48 1 60 5 108
Área do 1o quadrilátero: 108 cm2; área do 2o quadrilátero: 48 cm2.
C
N P
M Q 8 cm2 cm BA
Seja x o lado do quadrado:
x
5
2
8
5
 ⇒ x 5 4
A 5
?
5
8 4
2
16 
X
Fun•‹o e Geometria 173
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 Ponto de chegada
A Matem‡tica nos textos
Tales e a altura de uma pirâmide
O grande fil—sofo, astr™nomo e matem‡tico grego Tales, que viveu por volta de 500 anos antes de Cristo, usou sua criatividade 
e seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para calcular a altura de uma pir‰mide. Ele utilizou um processo que voc• 
estudou ao longo deste m—dulo.
Veja o que Tales observou:
Como os raios de sol podem ser considerados paralelos, as medidas das sombras s‹o proporcionais ˆs medidas das alturas que 
as determinam. Nas figuras acima, por exemplo, temos: 3
1,5
2
1
.5
Para descobrir a altura da pir‰mide, Tales fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pir‰mide e da estaca em 
determinada hora do dia e estabeleceu uma propor•‹o:
Simples e preciso.
Hoje, com a ideia de proporcionalidade, resolvemos muitas situa•›es do dia a dia, como determinar a altura de postes, casas, 
prŽdios, ‡rvores, monumentos, etc.
Trabalhando com o texto
 1. Explique com suas palavras a ideia principal do texto. 
O texto explica brevemente como Tales utilizou a ideia de proporcionalidade para calcular a altura de uma pir‰mide.
 2. (Enem) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um 
poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminui 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:
 a ) 30 cm.
 b ) 45 cm.
 c ) 50 cm.
 d ) 80 cm.
 e ) 90 cm.
P
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altura da pir‰mide
sombra da pir‰mide
altura d
5
aa estaca
sombra da estaca
⇒
P
H
P
P
: altura do poste;
: comprimento da sombra da pessoa;
1,8
2,0
0,6
6 m;5 5
⇒ H 5 0,45 m → 45 cmH
1,5
1,8
6
5
X
174
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Suryara Bernardi/Arquivo da editora
Verifique o que estudou
Capítulo 1
 1. Observe o gráfico da fun•‹o.
ATENÇÃO!
Retome os assuntos que voc• estudou neste módulo. Verifique em quais teve dificuldade e converse 
com seu professor, buscando formas de refor•ar seu aprendizado.
 a ) Esse gráfico corresponde ao gráfico de uma fun•‹o afim? 
Sim.
 b ) O ponto (4, 1) pertence a esse gráfico? Justifique sua resposta. 
N‹o, pois o ponto (4, 1) n‹o pertence ˆ reta.
 c ) Quais s‹o as coordenadas dos pontos em que o gráfico corta os eixos x e y?
Eixo x: (3, 0); eixo y: (0, 26).
 d ) Qual é a lei dessa fun•‹o?
y 5 2x 2 6.
1
1
21
21
22
23
24
25
26
0
2
3
y
x
2 3 4 5 6 7
Capítulo 2
 2. As figuras 1 e 2 s‹o semelhantes? Se sim, qual é o coeficiente de proporcionalidade? 
A PD S
C RB Q
Figura 1 Figura 2
N‹o. PS
AD
QR
BC
2,5 5 porém, 
PQ
AB
 Þ 2 e RS
CD
 Þ 2.
Capítulo 3
 3. Dois retângulos, ABCD e MNPQ, s‹o semelhantes, e a raz‹o de semelhan•a do primeiro para o segundo é igual a 1
3
. 
 Se as dimens›es do retângulo ABCD s‹o 5 cm por 7 cm, determine:
 a ) a raz‹o de semelhan•a entre as áreas desses retângulos; 
 b ) o perímetro do retângulo MNPQ. 
1
9
 ? 51
3
1
3
1
9
x
2 ? (5 1 7) 5 24; 524 1
3
⇒ x 5 3 ? 24 5 72 cm
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Uma publicação
Dire•‹o de conteœdo e 
inova•‹o pedag—gica: Mário Ghio Júnior
Dire•‹o: Tania Fontolan
Dire•‹o editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Ger•ncia editorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves
Coordena•‹o editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edi•‹o: Ronaldo Rocha (coord.), Cibeli Chibante Bueno e 
André Luiz Ramos de Oliveira (estag.)
Colabora•‹o: Anderson Félix Nunes, Elizangela 
Marques, Mariana Almeida
Organiza•‹o did‡tica: Patrícia Montezano
Revis‹o: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle 
Modesto, Edilson Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, 
Marina Saraiva, Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Coordena•‹o de produ•‹o: Fabiana Manna da Silva (coord.), 
Adjane Oliveira, Dandara Bessa
Supervis‹o de arte e produ•‹o: Ricardo de Gan Braga
Edi•‹o de arte: Catherine Saori Ishihara
Diagrama•‹o: Karen Midori Fukunaga
Iconografia: Sílvio Kligin (superv.), Roberta Freire 
Lacerda (pesquisa), Cesar Wolf e Fernanda Crevin 
(tratamento de imagem)
Ilustra•›es: Casa de Tipos, Giz de Cera, Mauro Souza, 
Paulo Manzi e Suryara Bernardi
Licen•as e autoriza•›es: Patrícia Eiras
Cartografia: Eric Fuzii, Marcelo Seiji Hirata, Márcio 
Santos de Souza, Robson Rosendo da Rocha e Allmaps 
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Ilustra•‹o de capa: Roberto Weigand
Projeto gr‡fico de miolo: Andréa Dellamagna 
(coord. de criação)
Editora•‹o eletr™nica: Casa de Tipos, 
Dito e Feito Comunicação e JS Design Comunicação 
Visual (guia do professor)
 
Todos os direitos reservados por SOMOS Educação S.A.
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© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Cataloga•‹o na Publica•‹o (CIP)
(C‰mara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Fun•‹o e Geometria
Semelhan•aProporcionalidade em
Geometria
Raz‹o e
propor•‹o
Feixe de retas e
teorema de
Tales
Fun•‹o
Fun•‹o afim
Coordenadas
cartesianas
Quadro de ideias
Rota•‹o
Transla•‹o
Reta
Homotetia
Correspond•ncia
biun’voca,
congru•ncia e
semelhan•a
Transforma•›es 
geomŽtricas
Amplia•‹o e
redu•‹o de
figuras
Segmentos de
reta e
segmentos
proporcionais
Conjuntos,
dom’nio e
contradom’nio
Valor de uma
fun•‹o em um
ponto
Gr‡ficos de
fun•›es
Gr‡ficos de
fun•›es
Inequa•›es de
1o grau
Gr‡ficos de
fun•›es
Inequa•›es de
2o grau
Fun•‹o linear
Estudo de sinal
Zero da fun•‹o
Zero da fun•‹o
Nœmero pi (p)
Nœmero de ouro
Escalas
Tri‰ngulo
ret‰ngulo
Figuras
semelhantes e
congruentes
Figuras semelhantes
Semelhan•as de
pol’gonos
Estudo de sinal
Fun•‹o 
quadr‡tica
Dante, Luiz Roberto
 Sistema de ensino ser : ensino fundamental II,
9º ano : caderno 2 : matemática : professor /
Luiz Roberto Dante. -- 1. ed. -- São Paulo :
Ática, 2016.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
15-10539 CDD-372.7
êndice para cat‡logo sistem‡tico:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
2015
ISBN 978 85 08 17754-7 (AL)ISBN 978 85 08 17756-1 (PR)
1ª edição
1ª impressão
Impressão e acabamento
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Ensino Fundamental – 9º- ano
Função e Geometria Ð 40 aulas
MATEMÁTICA
GUIA DO PROFESSOR
Luiz Roberto Dante
Livre-docente em Educação Matemática pela Universidade 
Estadual Paulista (Unesp) de Rio Claro, SP. Doutor em 
Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela Pontif’cia 
Universidade Católica de São Paulo. Mestre em Matemática 
pela Universidade de São Paulo. Pesquisador em Ensino e 
Aprendizagem da Matemática pela Unesp de Rio Claro, SP. 
Ex-professor da rede estadual dos Ensinos Fundamental e 
Médio de São Paulo. Autor de vários livros, entre os quais: 
Formula•‹o e resolu•‹o de problemas de Matem‡tica: teoria 
e prática; Did‡tica da Matem‡tica na prŽ-escola; Projeto çpis: 
Natureza e Sociedade, Linguagem e Matemática (Educação 
Infantil Ð 3 volumes); Projeto çpis Matem‡tica (1º¼- ao 5º¼- ano); 
Projeto Voaz Matem‡tica (Ensino Médio Ð volume œnico); 
Projeto Mœltiplo Ð Matem‡tica (Ensino Médio Ð 3 volumes).
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Função e Geometria
 1 Explorando a ideia de função 
Aula 1 Páginas: 3 a 5
• TEMAS: “Ponto de partida” e “Introdução”. 
• CONTEòDO TRABALHADO: Funções em exemplos 
do cotidiano. 
Objetivo
• Desenvolver a ideia de função.
Estratégias
Inicie a aula com a seção Ponto de partida (página 3). Peça 
aos alunos que reflitam e respondam em grupo às questões. 
Em seguida, simule uma situação em que um dos alunos 
receberá quatro colegas de sala para fazer um trabalho esco-
lar em sua casa. Para tanto, ele pensou em ir ao supermerca-
do e comprar alguns aperitivos. Chegando ao supermercado, 
observou no caixa:
Produto Volume Valor (RS|| )
Suco de soja 300 mL 1 1,50
Suco de soja 300 mL 1 1,50
Suco de soja 300 mL 1 1,50
Suco de soja 300 mL 1 1,50
Suco de soja 300 mL 1 1,50
Salgadinho sabor queijo 1 4,10
Salgadinho sabor queijo 1 4,10
Salgadinho sabor queijo 1 4,10
Salgadinho sabor queijo 1 4,10
Salgadinho sabor queijo 1 4,10
TOTAL 28,00
Peça aos alunos que dividam a nota em duas tabelas, 
cada uma para um produto diferente, porém semelhante à 
nota fiscal, com colunas de produtos, volumes e valores. 
Questione-os sobre os valores de uma, duas, três, quatro e 
cinco unidades de suco. Inicie uma discussão com eles 
quanto à relação do número de unidades de suco com o va-
lor final. Formalize a discussão na forma de equação mate-
mática, conforme exemplo a seguir:
S 5 1 ? 1,50 5 1,50
S 5 2 ? 1,50 5 3,00
S 5 3 ? 1,50 5 4,50
S 5 4 ? 1,50 5 6,00
S 5 5 ? 1,50 5 7,50
S 5 n ? 1,50, em que n 5 número de unidades.
Por fim, conceitue a regra da função.
Para casa
Solicite aos alunos que façam as seguintes atividades:
 1. Monte a regra da função para o valor dos salgadinhos em 
relação ao número de unidades, conforme tabela monta-
da anteriormente.
S 5 1 ? 4,10 5 4,10
S 5 2 ? 4,10 5 8,20
S 5 3 ? 4,10 5 12,30
S 5 4 ? 4,10 5 16,40
S 5 5 ? 4,10 5 20,50
S 5 n ? 4,10
 2. Supondo que você vá ao mercado e compre seis sabone-
tes a RS|| 2,50 a unidade, monte uma tabela que relacione o 
número de unidades de sabonete com o respectivo valor. 
Em seguida, estabeleça a regra da função.
Sabonete
Unidade Valor
1 2,50
2 5,00
3 7,50
4 10,00
5 12,50
6 15,00
P 5 n ? 2,50
 Plano de aulas sugerido
• Carga semanal de aulas: 5
• Nœmero total de aulas do m—dulo: 40
2 Função e Geometria
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Aula 2 P‡ginas: 6 e 7
• TEMA: ÒCoordenadas cartesianasÓ.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Sistema cartesiano.
Objetivos
• Definir um sistema de eixos ortogonais.
• Definir quadrantes.
• Identificar pontos em determinados quadrantes no plano 
cartesiano por meio de pares ordenados.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa para casa. Em seguida, 
defina, na lousa, um sistema de eixos ortogonais e, em se-
guida, um sistema cartesiano.
Depois, defina o eixo das abscissas e das ordenadas. Nes-
se ponto, monte um plano cartesiano com unidades arbitr‡rias e 
defina pontos no sistema por meio de pares ordenados.
Solicite aos alunos que fa•am as atividades 1 a 4 da se-
•‹o Exerc’cios (p‡gina 7). Auxilie-os na resolu•‹o e esclare-
•a poss’veis dœvidas.
Para casa
Pe•a aos alunos que realizem a seguinte atividade:
Encontre os pontos: A (Ð2, 3), B (4, 3), C (4, Ð2) e 
D (Ð2, Ð2) no sistema cartesiano.
6
A B
D C
5
4
3
2
1
0
21
22
23
24
25
26
26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6
Aula 3 P‡ginas: 8 a 10
• TEMA: ÒExplorando intuitivamente a no•‹o de fun•‹oÓ.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Defini•‹o de leis de fun•›es.
Objetivos
• Observar exemplos cotidianos que envolvem fun•›es e 
suas regularidades.
• Reconhecer a aplicabilidade das fun•›es.
• Identificar regularidades.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa. Em seguida, re-
tome a ideia de fun•‹o, desenvolvida anteriormente. Trabalhe 
os quatro exemplos do material focando nas leis das fun•›es 
e introduzindo a ideia de vari‡vel independente e dependente.
Organize a turma em grupos com no m‡ximo quatro 
alunos cada um. Distribua uma caixa de f—sforos para cada 
grupo. Pe•a que montem um conjunto de um, dois, tr•s e 
quatro tri‰ngulos conforme indicado na Oficina de Matemá-
tica (p‡gina 10). Em seguida, questione quanto ˆ regularida-
de observada e por meio dela pe•a que proponham uma lei 
da fun•‹o que relacione o nœmero de tri‰ngulos formados 
com o nœmero de palitos utilizados. Discuta os resultados 
obtidos e resolva com os grupos o restante da atividade.
Para casa
Solicite aos alunos que fa•am a seguinte atividade:
Encontre os pontos: A (4, Ð4), B (4, 4), C (4, Ð4) e 
D (Ð4, Ð4) no sistema cartesiano e determine a ‡rea do po-
l’gono formado.
� 5 8 u.a.
A 5 � ? � 5 8 ? 8 5 64 u.a.2
6
C B
D A
5
4
3
2
1
0
21
22
23
24
25
26
26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6
Aula 4 P‡ginas: 11 a 15
• TEMA: ÒExplorando intuitivamente a no•‹o de fun•‹oÓ.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Lei de fun•›es.
3
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Função e Geometria
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Objetivo
• Aplicar a lei de funç›es. 
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa para casa. Em seguida, 
peça aos alunos que, em duplas construtivas, façam as ati-
vidades 5 a 7 da seção Exerc’cios (p‡ginas 11 e 12). Durante a 
resolução, caminhe pela sala observando e orientando-os. 
Faça a correção.
Depois, peça aos alunos que desenvolvam, individual-
mente, as atividades 8 a 11 da seção Exerc’cios (p‡ginas 12 
a 15). Procure volunt‡rios para resolverem essas ativida-
des na lousa e, caso haja dœvidas, medeie uma discussão. 
Se considerar oportuno, peça aos demais alunos que auxi-
liem o colega que est‡ resolvendo na lousa com propostas 
de soluç›es.
Para casa
Solicite aos alunos que realizem a seguinte atividade:
O preço a ser pago por uma corrida de t‡xi inclui uma 
parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que 
depende da dist‰ncia percorrida. Se a bandeirada custa 
RS|| 5,50 e cada quil™metro rodado custa RS|| 0,90, calcule:
 a ) O preço de uma corrida de 10 quil™metros.
P 5 0,90x 1 5,50
P 5 0,90 ? 10 1 5,50
P 5 9,00 1 5,50
P 5 14,50
 b ) A dist‰ncia percorrida por um passageiro que pagou 
RS|| 19,00 pela corrida.
P 5 19,00
19,00 5 0,90x 1 5,50
0,90x 5 13,50
x 5 15 km
Aula 5 Páginas: 15 a 19
• TEMA: ÒExplorando intuitivamente a noção de funçãoÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Função e conjuntos: dom’nio, 
contradom’nio e imagem.
Objetivo
• Compreender o conceito de função por meio de conjuntos.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas para casa. Em segui-
da, na lousa, monte conjuntos para apresentar a ideia de 
função por meio de conjuntos. Relacione os conjuntos nu-
méricos indicando em quais situaç›es possu’mos uma fun-
ção e quais não são funç›es.
Ainda utilizando conjuntos numéricos, exponha o con-
ceito de dom’nio, contradom’nio e imagem.Solicite aos alunos que façam as atividades 12 a 15 das 
seç›es Exerc’cios (p‡ginas 17 a 19). Oriente-os na resolução 
e faça uma correção coletiva.
Para casa
Peça aos alunos que realizem a seguinte atividade:
Dados os conjuntos A 5 {1, 4, 7} e B 5 {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12}:
 a ) Monte uma representação para esses conjuntos e de-
fina a função f: A → B definida por f(x) 5 x 1 5.
1
A B
4
7
1
4
8
7
6
9
12
 b ) Determine o dom’nio, o contradom’nio e a imagem.
D 5 {1,4,7}, CD 5 {1,4,6,7,8,9,12}, Im 5 {6,9,12}
Aula 6 Página: 19
• TEMA: ÒLeituraÓ.
• CONTEòDO TRABALHADO: Hist—ria das funç›es 
matem‡ticas.
Objetivo
• Explorar o desenvolvimento da ideia de função.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa. Em seguida, 
peça aos alunos que leiam e discutam o texto e a atividade 1 
da seção Leitura (p‡gina 19). Oriente-os a complementar as 
informaç›es dispon’veis. Peça que apresentem o que pes-
quisaram. Uma vez realizado o trabalho, medeie uma discus-
são com a turma sobre a hist—ria da função. O importante é 
os alunos serem os protagonistas na discussão. Por isso, 
questione-os sobre fatos importantes de maneira que refli-
tam sobre o trabalho realizado. 
4 Fun•‹o e Geometria
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Para casa
Solicite aos alunos que fa•am a atividade 2 da se•‹o 
Leitura (p‡gina 19). 
Aula 7 P‡ginas: 20 a 22
• TEMA: ÒExplorando intuitivamente a no•‹o de fun•‹oÓ.
• CONTEòDO TRABALHADO: Gr‡ficos de fun•›es.
Objetivo
¥ Construir gr‡ficos de fun•›es.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa para casa. Em segui-
da, apresente uma fun•‹o matem‡tica como, por exem-
plo, y 5 x 1 1. Monte uma tabela com valores de x e cor-
respondentes de y. Coloque os pares ordenados em um 
sistema cartesiano e una os pontos por meio de uma reta. 
Exponha a ideia de que cada tipo de fun•‹o apresenta um 
comportamento espec’fico com gr‡ficos espec’ficos. 
Elabore o gr‡fico de uma fun•‹o de segundo grau e dis-
cuta com a turma o comportamento de fun•›es de se-
gundo grau.
Por fim, pe•a aos alunos que fa•am as atividades 16 
a 18 das se•›es Exercícios (p‡ginas 20 e 22). Corrija-as 
em aula. 
Para casa
Solicite aos alunos que realizem a seguinte atividade:
Construa o gr‡fico das fun•›es a seguir.
 a ) f (x) 5 2x 1 3
21
22
21 1 2 3 4 5 6 7 x22
1
2
3
4
y
f (x) 5 2x 1 3
 b ) f x
x
( )
4
2
5
2 1
21
22
21 1 2 3 4 5 6 7 x22
1
2
3
4
y
5
2 1
( )
4
2
f x
x
Aula 8 P‡ginas: 23 a 27
• TEMA: ÒExplorando intuitivamente a no•‹o de fun•‹oÓ.
• CONTEòDO TRABALHADO: Gr‡ficos de fun•›es.
Objetivo
¥ Reconhecer gr‡ficos de fun•›es.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa para casa. Em seguida, 
retome os conceitos de fun•‹o e trabalhe a ideia, explorada 
anteriormente, de que uma fun•‹o n‹o apresenta um mes-
mo valor da vari‡vel independente para dois ou mais valores 
da vari‡vel dependente. Trabalhe essa ideia usando gr‡ficos 
e tra•ando retas paralelas ao eixo das ordenadas no sistema 
cartesiano. Com a turma, fa•a os itens a e b da atividade 19 
da se•‹o Exercícios (p‡gina 24) na lousa e, na sequ•ncia, 
solicite aos alunos que realizem o resto da atividade. Pe•a 
tambŽm que fa•am as atividades 20 a 25 das se•›es Exer-
cícios (p‡ginas 25 a 27). Corrija-as em aula, solucionando 
poss’veis dœvidas.
Para casa
Solicite aos alunos que realizem a seguinte atividade:
Um motorista de t‡xi cobra RS|| 3,50 de bandeirada (va-
lor fixo) mais RS|| 0,70 por quil™metro rodado (valor vari‡vel). 
Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um 
percurso de 18 quil™metros.
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Fun•‹o e Geometria
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Função do valor da corrida x quilômetros: f(x) 5 0,70x 1 3,50
Valor a ser pago por uma corrida de percurso igual a 18 
quilômetros:
f (x) 5 0,70x 1 3,50 
f (18) 5 0,70 ? 18 1 3,50 
f (18) 5 12,60 1 3,50 
f (18) 5 16,10 
O preço a ser pago por uma corrida com percurso igual a 
18 quilômetros corresponde a RS|| 16,10.
Aula 9 P‡ginas: 27 a 31
• TEMA: ÒFunção afimÓ.
• CONTEòDO TRABALHADO: Função afim e gráfico de uma 
função afim.
Objetivos
¥ Definir funç›es afins.
¥ Utilizar conceitos de funç›es afins.
¥ Construir um gráfico de uma função afim.
¥ Entender a função linear.
¥ Fazer o gráfico de uma função linear.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa. Em seguida, 
peça aos alunos que observem o exemplo da página 27, so-
bre o salário do vendedor. Uma vez definida a lei da função o 
salário, conceitue a função afim como aquela que possui a 
forma y 5 a ? x 1 b estabelecida no conjunto dos números 
reais. Mostre o que são os coeficientes linear e angular e 
como eles afetam o comportamento de uma função afim. 
Nesse ponto, é importante usar gráficos para expor os com-
portamentos enunciados.
Por fim, peça aos alunos que façam as atividades 26 a 
31 das seç›es Exerc’cios (páginas 28, 30 e 31). 
Para casa
Solicite aos alunos que realizem a seguinte atividade.
Uma empresa tem ™nibus com 50 assentos. Em uma 
excursão para Balneário Camboriú, essa empresa adota os 
seguintes critérios de pagamento: RS|| 25,00 por passageiro 
mais uma taxa fixa de RS|| 400,00. Sabendo disso, determine 
a lei da função do custo de um ™nibus, os coeficientes linear 
e angular e construa o gráfico da função.
C (x) 5 25x 1 400 
a 5 25, b 5 400
Aula 10 P‡ginas: 31 a 35
• TEMA: ÒFunção afimÓ.
• CONTEòDO TRABALHADO: Função linear e função 
identidade.
Objetivos
¥ Reconhecer e interpretar funç›es lineares e identidades.
¥ Construir gráficos de funç›es lineares e identidades.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa para casa. Em seguida, 
exponha a f—rmula geral de uma função afim y 5 ax 1 b. 
Posteriormente, apresente funç›es lineares (a Þ 0 e b 5 0) 
e seus comportamentos em gráficos. 
Solicite aos alunos que façam as atividades 32 e 33 da 
seção Exerc’cios (página 32).
Depois, defina e exponha a função identidade como 
uma bissetriz dos quadrantes ímpares do sistema cartesia-
no. Peça aos alunos que realizem as atividades 34 a 41 da 
seção Exerc’cios (páginas 34 e 35). Se considerar oportuno, 
forme duplas construtivas e acompanhe de perto os ques-
tionamentos dos alunos. Corrija coletivamente. 
Para casa
Solicite aos alunos que façam a seguinte atividade:
Construa em um mesmo sistema cartesiano os gráfi-
cos das funç›es y 5 x, y 5 22x e y 5 3x.
21
21 1 x
0
0
2
1
3
y
y 5 3x
y 5 22x
6 Fun•‹o e Geometria
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212223 0
0
1 2 3 x
21
22
23
1
2
3
y
y 5 x
Aula 11 Páginas: 36 a 43
• TEMA: “Função afim”.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Função linear e 
proporcionalidade, estudo de sinal e zero da função afim, 
análise de gráficos e inequações do 1º- grau. 
Objetivos
¥ Reconhecer e estabelecer relações de proporcionalidade 
de funções lineares.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa para casa. Em seguida, peça 
aos alunos que observem o exemplo da página 36, sobre a cor-
respondência entre tempo e distância dada por uma função. 
Defina o que são grandezas diretamente proporcio-
nais. Desenvolva com a turma a atividade 42 da seção Exer-
cícios (página 36). Na realização da atividade, retome a ideia 
de proporcionalidade em funções lineares.
Peça aos alunos que façam as atividades 43 a 47 da 
seção Exercícios (páginas 37 a 39). Corrija-as e esclareça 
possíveis dúvidas.
Em seguida, utilize o conteúdo da página 39 para expli-
car sobre o estudo de sinal e o zero da função afim. Explique 
também, com base no conteúdo da página 43, a resolução 
de inequações do 1º- grau.
Por fim, solicite aos alunos que realizem as atividades 
48 a 53 das seções Exercícios (páginas 42 e 43).
Para casa
Peça aos alunos que façam a atividade seguinte:
Esboce o gráfico das equações a seguir. 
 a ) S 5 4 2 3t
1 2
1
21
3
4
2
y
x
 b ) y 5 2
21 1 222
1
3
2
 c ) p 5 2t 1 2
211 222
1
3
2
21
22
7
M
A
T
E
M
ç
T
IC
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Funç‹o e Geometria
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Aula 12 Páginas: 44 a 47
• TEMA: “Função quadrática”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Função quadrática e zeros 
de uma função quadrática.
Objetivos
¥ Definir funções de 2º- grau no conjunto dos números reais.
¥ Identificar os zeros de uma função quadrática.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa. Em seguida, 
peça aos alunos que observem o exemplo da página 44, 
sobre a quadra de basquete. Determine a lei da função des-
se problema e defina funções quadráticas dentro do con-
junto dos números reais. Nesse ponto, apresente uma fun-
ção de 2º- grau genérica de fórmula geral y 5 ax2 1 bx 1 c e 
ensine-os a identificar os coeficientes da equação. 
Solicite aos alunos que façam as atividades 54 e 55 da 
seção Exercícios (páginas 44 e 45).
Retome o conceito da fórmula de Bháskara para a re-
solução de equações de 2º- grau e explique, com base no 
conteúdo da página 46, os zeros de uma função quadrática. 
Por fim, peça aos alunos que façam as atividades 56 a 
58 da seção Exercícios (página 47). 
Para casa
Solicite aos alunos que façam as atividades seguintes.
 1. Identifique os coeficientes das equações a seguir.
 a ) 5x2 2 3x 2 2 5 0
a 5 5, b 5 23, c 5 22
 b ) 2x2 2 5 5 0
a 5 2, b 5 0, c 5 25
 c ) 7x2 1 2x 5 0
a 5 7, b 5 2, c 5 0
 d ) x2 5 
1
4
a 5 1, b 5 0, c 5 2
1
4
 2. Ache as raízes das seguintes equações.
 a ) x2 2 x 2 20 5 0 x, 5 5 e x,, 5 24
 b ) x2 2 3x 2 4 5 0 x, 5 4 e x,, 5 21
 c ) x2 2 8x 1 7 5 0 x, 5 7 e x,, 5 1
Aula 13 Páginas: 48 a 56
• TEMA: “Função quadrática”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Gráfico de uma função 
quadrática, coeficientes a, b e c, parábolas e seus vértices.
Objetivos
¥ Construir e identificar comportamento de gráficos de fun-
ções quadráticas.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo as tarefas para casa. Em segui-
da, retome os conceitos trabalhados na aula anterior. Com 
base no exemplo do módulo (página 48), aponte pontos im-
portantes, como eixo de simetria e vértice da função. Co-
mece, então, a introduzir a ideia de concavidade da parábola. 
Discuta com os alunos como encontrar o vértice da função. 
Com a turma, desenvolva o item a da atividade 59 da seção 
Exercícios (página 49) e, depois, peça aos alunos que façam 
os demais itens individualmente. 
Discuta com a turma a influência dos coeficientes da equa-
ção de 2º- grau e como cada um deles influi no gráfico da função. 
Por fim, solicite aos alunos que realizem as atividades 
60 a 66 da seção Exercícios (páginas 50 e 51 e 55 e 56). Cor-
rija-as coletivamente.
Para casa
Peça aos alunos que façam a seguinte atividade:
Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de 
certo produto é dado pela expressão c 5 x2 2 80x 1 3 000. 
Calcule a quantidade de unidades produzidas para que o 
custo seja mínimo e qual é o valor desse custo mínimo.
X 
v
 5 
2
b
a
2
X 
v
 5 
280
2
5 40
C 5 402 2 (80 ? 40) 1 3 000
C 5 1 400
x
C (x)
40
1 400
8 Função e Geometria
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Aula 14 P‡ginas: 57 a 60
• TEMA: “Função quadrática”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Estudo do sinal da função 
quadrática.
Objetivo
• Verificar o comportamento da função para diferentes 
valores de ∆.
Estratégias
Realize o estudo dos sinais das funções exemplifican-
do por meio de funções que apresentem valores nulos, ne-
gativos e positivos de ∆. Faça isso utilizando gráficos e o 
conteúdo das páginas 57 a 59.
Solicite aos alunos que façam as atividades 67 e 68 da 
seção Exerc’cios (páginas 59 e 60).
Para casa
Peça aos alunos que realizem a atividade seguinte:
Dada a função x2 1 3x 1 2k, calcule k para que se tenha:
∆ 5 b2 2 4ac
∆ 5 9 2 8k
 a ) duas raízes reais iguais.
∆ 5 0
∆ 2 8k 5 0
k 5
9
8
 b ) duas raízes reais diferentes.
∆ , 0
k ,
9
8
 c ) não tenha raízes reais.
∆ . 0
k .
9
8
Aula 15 P‡ginas: 60 a 77
• TEMA: “Inequações de 2º- grau”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Inequações de 2º- grau.
Objetivos
• Identificar uma desigualdade.
• Resolver inequações de 2º- grau.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa. Em seguida, 
fale sobre desigualdades. Faça um estudo de caso para cada 
desigualdade de equações de segundo grau com o auxílio 
do dispositivo apontado na página 60 para determinar o 
conjunto solução de inequações de segundo grau no con-
junto dos números reais. 
Solicite aos alunos que façam as atividades 69 e 70 da 
seção Exerc’cios (páginas 61 e 62). 
Logo após, peça que leiam o texto “A ponte J.K.”, da se-
ção Leitura (página 62), e façam as atividades (página 63). 
Solicite que leiam também o texto “Graduação do termô-
metro”, da seção Leitura (página 63). 
Em seguida, peça que façam as atividades 71 e 72 da 
seção Exerc’cios (página 64). Em sala ou em casa, solicite 
que resolvam também a seção Racioc’nio l—gico (página 64).
Por fim, discuta e trabalhe em conjunto os textos e as 
atividades da seção Conex›es (páginas 65 e 66). 
Para casa
Peça aos alunos que façam as atividades das seções 
Tratamento da informa•‹o (páginas 67 e 68), Outros con-
textos (páginas 69 a 73), Praticando um pouco mais (pági-
nas 74 e 75) e Revis‹o cumulativa (páginas 76 e 77).
 2 Proporcionalidade em 
Geometria
Aula 16 P‡ginas: 78 a 81
• TEMAS: “Introdução” e “Retomando as ideias de razão e 
proporção”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Razões entre medidas e 
proporção entre duas ou mais razões. 
Objetivo
• Definir as principais ideias relacionadas à razão e proporção.
Estratégias
Inicie a aula perguntando aos alunos se eles sabem o 
que quer dizer a palavra raz‹o e como ela é utilizada em Ma-
temática. Defina-a como o quociente ou a divisão entre dois 
números. A partir disso, mostre como se chega às frações 
irredutíveis e o que são.
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Realize algumas tarefas práticas: Comparando a mesa 
dos alunos com a do professor, elas são proporcionais? O 
comprimento do seu pé é proporcional à sua altura? Essa 
atividade leva os alunos a trabalhar não apenas com as de-
finições de razão e proporção mas também a manusear ins-
trumentos de medidas, melhorando suas habilidades e o 
trabalho em grupo. 
Tomando como base os dados da página 79, resolva 
com a turma as atividades 1 e 2 da seção Exerc’cios (páginas 
79 e 80).
Logo após isso, com base no conteúdo da página 80, 
defina proporção como a comparação entre duas ou mais 
razões, mostre sua propriedade fundamental e o que é o 
coeficiente de proporcionalidade.
Por fim, solicite aos alunos que façam as atividades 3 a 
5 da seção Exerc’cios (página 81).
Para casa
Peça aos alunos que realizem a seguinte atividade:
O coeficiente de proporcionalidade entre o compri-
mento de uma barra de ferro (em centímetros) e seu peso 
(em gramas) é 3/50. 
 a ) Encontre o significado de 3/50 nessa situação.
Para cada 3 cent’metros de comprimento, temos 50 gramas 
de massa.
 b ) Calcule o peso de uma barra de 42 centímetros. 
5
3
50
42
x
50 ? 42 5 3x
x 5 700 gramas
 c ) Calcule o comprimento de uma barra que pesa 1 quilo-
grama.
3
50 1 000
x
5
3 ? 1 000 5 50x
x 5 60 cent’metros
Aula 17 Páginas: 82 a 84
• TEMA: “Razão entre segmentos de reta e segmentos de 
reta proporcionais”.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Segmentos e suas 
características e razões e comparações entre segmentos.
Objetivos
• Definir o que são segmentos.
• Comparar dois ou mais segmentos por meio de razões.
• Comparar duas ou mais figuras planas.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa. Em seguida, re-
tome a definição de razão entre duas medidas e proporção. 
Depois, lembre os alunos o que é um segmento AB, por 
exemplo, e o que é o comprimento desse segmento, defini-
do como AB. Feito isso, por meio de exemplos entre dois ou 
mais segmentos, expliqueo que significa dizer que os seg-
mentos são proporcionais. 
Peça aos alunos que desenhem no caderno dois triân-
gulos com régua e que façam comparações entre seus lados 
e decidam se são ou não proporcionais. Discuta as conclu-
sões a que chegaram. 
Por fim, solicite aos alunos que realizem as atividades 
6 a 14 da seção Exerc’cios (páginas 82 a 84).
Para casa
Peça aos alunos que façam a seguinte atividade:
Dados os segmentos AB 5 4 centímetros, CD 5 6 cen-
tímetros, TR 5 10 centímetros e SV 5 15 centímetros, veri-
fique quais são proporcionais e o porquê.
3
2
CD
AB
SV
TR
5 5
Os segmentos s‹o proporcionais, pois possuem o mesmo 
coeficiente de proporcionalidade.
Aula 18 Páginas: 85 e 86
• TEMA: “Razão entre segmentos de reta e segmentos de 
reta proporcionais”.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Comprimento da 
circunferência, comprimento do diâmetro, número π.
Objetivos
• Efetuar a razão que relacione o comprimento de uma cir-
cunferência com o comprimento de seu diâmetro.
• Mostrar que o número π, constante, pode ser encontrado 
por meio de qualquer circunferência.
• Manusear a calculadora para verificação dos valores da ra-
zão, constatando o número π.
• Construir figuras com o uso do compasso.
10 Função e Geometria
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Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa para casa. Em seguida, 
explique o que são segmentos proporcionais. Desenhe na 
lousa duas circunferências e peça aos alunos que também 
as reproduzam, utilizando o compasso. 
Leve um pedaço de barbante e mostre que compri-
mento da circunferência é o quanto de barbante é usado 
para desenhar a circunferência e lembre-os da fórmula do 
comprimento de toda circunferência (2πR). Peça-lhes que 
calculem o comprimento de cada circunferência desenhada, 
seu diâmetro e seu raio. Com o uso da calculadora, verifique 
que a razão entre os comprimentos da circunferência e seu 
diâmetro sempre tem como resultado uma constante, co-
nhecida como π. Se julgar necessário, faça uma breve revi-
são sobre números racionais e irracionais e defina o número 
π como irracional. 
Solicite aos alunos que façam as atividades 15 a 17 da 
seção Exercícios (páginas 85 e 86). 
Para casa
Peça aos alunos que realizem a seguinte atividade:
Uma roda-gigante tem 8 metros de diâmetro. Aproxi-
madamente, de quantos metros é o deslocamento de uma 
cadeirinha quando ela dá um giro completo?
Chamaremos o deslocamento de d.
d 5 8 ? π
d 5 8 ? 3,14
d 5 25,12 m
Aula 19 Páginas: 86 a 92
• TEMA: “Razão entre segmentos de reta e segmentos de 
reta proporcionais”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Razão áurea e aproximação 
de números.
Objetivos
• Definir e exemplificar a razão áurea.
• Efetuar cálculos de razões por meio da calculadora.
Estratégias 
Inicie a aula corrigindo a tarefa para casa. Em seguida, 
mostre imagens (impressas ou, se possível, no projetor) que 
possuam uma razão em comum como, por exemplo, no Par-
thenon, por Phidias, na qual há a primeira constatação dessa 
razão, na estrela-do-mar, no girassol, nas colmeias, nos os-
sos dos dedos, etc. 
Mostre que a razão discutida nas figuras é o número 
áureo utilizando um segmento de comprimento 1u, como in-
dicado na página 86. Ao mostrar o valor do número áureo, 
tome cuidado ao resolver a equação de 2º- grau envolvida e 
lembre os alunos o que é um número irracional. 
Solicite que façam as atividades 18 a 24 da seção Exer-
cícios (páginas 87 a 91). Em sala ou em casa, peça que leiam 
também o texto da seção Leitura (página 92).
Para casa
Solicite aos alunos que realizem a seguinte atividade:
O conceito de simetria surgiu na Grécia antiga como 
uma tentativa de explicar a beleza por bases racionais. Os 
gregos não eram dados a muita subjetividade – eles gos-
tavam de achar que havia lógica por trás de tudo. Por isso, 
conceberam a ideia de proporção áurea, uma relação ma-
temática segundo a qual a divisão da medida da maior par-
te pela menor parte de um segmento, dividido em duas 
partes, é igual à divisão do segmento inteiro pela parte 
maior. Eles procuravam essa proporção mágica em tudo, 
até mesmo em seres humanos. Considere um segmento 
de reta AB, dividido em duas partes, a e b, com b , a. De 
acordo com essa descrição, a proporção áurea se verifica-
ria para a igualdade:
 a ) 
b
a
a b
a b
5
1
2
 b ) 
b
a
a b
b
5
1
 c ) 
a
b
a b
a
5
2
 d ) 
a
b
a b
a
5
1
Resposta: alternativa d.
Aula 20 Páginas: 92 a 95
• TEMA: “Razão entre segmentos de reta e segmentos de 
reta proporcionais”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Proporções em escala.
Objetivos
• Exemplificar o uso de proporções.
• Entender escalas e seu significado.
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EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa. Leve para a sala 
mapas para que os alunos trabalhem, em duplas ou em trios, 
o manuseio deles. Proponha uma discussão sobre o signifi-
cado de escala e onde podemos encontrar seu uso. 
Retome o conceito de proporcionalidade e explique-o 
nos triângulos retângulos.
Peça aos alunos que façam as atividades 25 a 31 das 
seções Exerc’cios (páginas 93 a 95). 
Para casa
Solicite aos alunos que realizem a seguinte atividade:
A escala cartográfica representa a relação entre os 
territórios e suas representações gráficas. Dessa forma, é 
possível dizer que, quanto maior for a escala:
I. menor é a área representada;
II. menor é o detalhamento das informações;
III. menos evidente é a projeção cartográfica utilizada.
A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são):
 a ) I.
 b ) II.
 c ) III.
 d ) I e III.
 e ) II e III.
Resposta: alternativa a.
Aula 21 Páginas: 96 a 101
• TEMA: “Feixe de retas paralelas e o teorema de Tales”.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Retas paralelas, teorema de 
Tales, razão entre segmentos e transversal ao feixe de 
retas paralelas.
Objetivos
¥ Definir e aplicar o teorema de Tales.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa. Em seguida, cons-
trua na lousa três retas paralelas e peça aos alunos que repro-
duzam os desenhos. É importante que cada um construa seu 
feixe de paralelas para que a definição seja mais palpável e lúdica. 
Depois, construa duas transversais, pedindo aos alu-
nos que façam a mesma coisa. Defina o que são transver-
sais ao feixe de paralelas. Em seguida, peça aos alunos para 
medir a distância das retas até as transversais, conforme 
ilustrado na página 96. Cada aluno terá um valor de distân-
cia, já que cada um construiu suas retas, mas o importante 
será a constatação de que as distâncias são iguais. Feito 
isso, resolva com a turma a atividade 32 da seção Exerc’cio 
(página 96) e conclua que essas constatações empíricas 
valem para quaisquer feixes de paralelas e transversais. 
Após o exercício, faça o mesmo procedimento com re-
tas não equidistantes, como a da página 98, solicitando aos 
alunos que também as façam no caderno. Eles podem com-
provar as medições que fizerem com a régua, levando em 
conta que podem ocorrer pequenos erros nessa medição. 
Por fim, peça aos alunos que façam as atividades 33 a 
38 das seções Exerc’cios (páginas 98, 100 e 101).
Para casa
Solicite aos alunos que façam a seguinte atividade:
Determine os três lados do triângulo abaixo:
x
a
10
3 y
6 8
→ →
→ →
5 5
?
5
5 5
?
5
6
10
8
10 6
8
7,5
3
6 8
8 3
6
4
x
x x
y
y y
Lados do tri‰ngulo: (6 1 3 1 7,5) e (10 1 4 1 8)
Por Pit‡goras:
a2 1 16,52 5 222 → a2 5 484 2 272,25 → a2 5 211,76 → 
→ a 5 14,6
Aula 22 Páginas: 101 e 102
• TEMA: “Feixe de retas paralelas e o teorema de Tales”.
• CONTEòDO TRABALHADO: Aplicações do teorema de Tales. 
Objetivos
¥ Trabalhar a definição do teorema de Tales.
¥ Conhecer as aplicações do teorema de Tales.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa para casa. Em seguida, 
explique aos alunos, com base nos conteúdos das páginas 101 
e 102, duas aplicaçõesdo teorema de Tales: a divisão de um 
segmento de retas em partes iguais, congruentes; e a identi-
ficação da bissetriz de um ângulo interno em um triângulo. 
12 Fun•‹o e Geometria
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Para casa
Solicite aos alunos que façam a atividade seguinte:
Na figura a seguir temos que a // b // c // d. Aplicando 
o teorema de Tales, determine os valores de x, z e y. 
 
9 x
a
b
c
d
3
z 4 2
12 y 4
4
3
2
6
9 6
4
6
6
12
4
8
x
x
z
z
y
y
→
→
→
5 5
5 5
5 5
Aula 23 Página: 103
• TEMA: “Feixe de retas paralelas e o teorema de Tales”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Proporção entre razões, 
teorema de Tales e teorema da bissetriz interna.
Objetivos
¥ Exemplificar o teorema de Tales.
¥ Dividir segmentos em partes iguais utilizando o compas-
so, melhorando habilidades geométricas.
EstratŽgias
Retome com os alunos a possibilidade de divisão de um 
segmento em partes iguais sem medir esse segmento e suas 
partes com uma régua graduada, utilizando os conhecimentos 
anteriores. Lembre também o conceito de bissetriz interna. 
Por fim, peça aos alunos que façam as atividades 39 a 
41 da seção Exerc’cios (página 103).
Para casa
Solicite aos alunos que realizem a seguinte atividade:
Na figura a seguir, BD é bissetriz, AD 5 8 centímetros, 
CD 5 10 centímetros. Sendo AB 5 3x e BC 5 4x – 3, então 
o valor do perímetro desse triângulo é igual a: 
B
A CD
10
8
4 3
3
CD
AD
BC
AB
x
x
( )
→5 5
2
→ 10 ? 3x 5 8 ? (4x 2 3) → 
→ 30x 5 32x 2 24 → x 5 12 
Ent‹o, AD 5 8, CD 5 10, AB 5 36 e BC 5 45. 
Per’metro 5 99 cent’metros.
Aula 24 Página: 104 
• TEMA: “Outras situações que envolvem proporcionalidade 
em Geometria”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Razão entre medidas, 
teorema de Tales e transformações entre unidades 
de medida. 
Objetivos
¥ Aplicar proporcionalidade em problemas práticos.
¥ Desenvolver o raciocínio lógico.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa para casa. Em seguida, 
exponha situações-problema do dia a dia, como, por exem-
plo, mapas geográficos e plantas de prédios em construção. 
Discuta o motivo de usarmos escalas, que nada mais são 
que proporções.
É importante lembrar os alunos a diferença entre 
razão e proporção, em que a primeira é a comparação 
entre duas grandezas e a segunda, a igualdade de duas 
ou mais razões. 
Resolva com a turma a atividade 42 da seção Exerc’-
cios (página 104) e discuta por que utilizamos representa-
ções menores de objetos grandes em maquetes. 
Por fim, peça aos alunos que façam as atividades 43 a 
45 da seção Exerc’cios (página 104). Em sala ou em casa, 
solicite que resolvam também a seção Racioc’nio l—gico 
(página 104).
Para casa
Peça aos alunos que façam as atividades das seções 
Tratamento da informa•‹o (página 105), Outros contextos 
(páginas 106 a 109), Praticando um pouco mais (páginas 110 
e 111) e Revis‹o cumulativa (páginas 112 e 113). Se julgar ne-
cessário, acrescente a seguinte atividade:
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No mesmo instante em que um prédio de 4,5 metros 
de altura projeta uma sombra de 13,5 metros, qual a sombra 
projetada por uma torre de 130 metros de altura? 
4,5
13,5
130
4,5 130 13,5
1 755
4,5
390 metros
x
x
x
x
5
5 ?
5
5
 3 Semelhança
Aula 25 Páginas: 114 a 119
• TEMAS: “Introdução” e “Ampliação e redução de figuras”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Semelhança de figuras e 
ampliação e redução de imagens.
Objetivos
• Entender o conceito de razão de proporcionalidade.
• Compreender o procedimento em ampliação ou redução 
de figuras.
Estratégias
Leia com a turma o texto da página 114. Faça pausas 
para sanar eventuais dúvidas e enfatizar os principais ter-
mos apresentados no texto, tais como semelhança, transla-
ção e homotetia.
Utilizando o conteúdo da página 115, explique sucinta-
mente a razão de proporcionalidade das figuras A e B apre-
sentadas.
Resolva com a turma a atividade 1 da seção Exercícios 
(página 115). Em seguida, peça que faça a atividade 2 da 
mesma seção (página 116).
Logo após, explique os termos ampliações e reduções 
e proponha uma discussão sobre as figuras presentes na 
parte final da página 116. 
Peça aos alunos que façam a atividade 3 da seção 
Exercício (página 117) e que troquem, entre si, as respostas.
Após isso, exponha aos alunos os processos para am-
pliar ou reduzir figuras presente nas páginas 117 e 118. 
Por fim, solicite que realizem as atividades 4 a 9 da se-
ção Exercícios (páginas 118 e 119).
Para casa
Peça aos alunos que façam a seguinte atividade:
Dadas duas figuras semelhantes, A e B, tal que a razão 
de proporcionalidade entre A e B é
 
1
2
.
 a ) Um ângulo de 75º em A mede quanto em B? 
75¼; os ‰ngulos permanecem os mesmos.
 b ) Um objeto na figura A de tamanho 1,35 mede quanto 
em B? 
1
2
1,35
, então, 2,7.
x
x5 5
Aula 26 Páginas: 120 a 122
• TEMAS: “Ampliação e redução de figuras”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Semelhança e congruência 
de figuras, semelhança de triângulos.
Objetivos
• Diferenciar semelhança de congruência.
• Entender as relações entre dois triângulos semelhantes, 
isto é, o que acontece com seus ângulos e lados.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa para casa e sanando 
eventuais dúvidas. Em seguida, faça uma leitura comparti-
lhada do texto da página 120 com a turma. Enfatize a ima-
gem que apresenta formas ampliadas e reduzidas de outra 
figura. Além disso, destaque o termo congruentes, grafado 
logo abaixo da imagem.
Reproduza o diagrama presente no final da página na 
lousa e promova uma discussão a respeito dos termos e 
seus significados.
Em seguida, peça aos alunos que formem duplas e fa-
çam as atividades 10 e 11 da seção Exercícios (página 121). 
Após isso, aborde o tema “Semelhanças de polígonos” 
(página 122). Resolva na lousa, com o auxílio da turma, a ati-
vidade 12 da seção Exercícios (página 122).
Para casa
Peça aos alunos que realizem a seguinte atividade:
Numa projeção de filmes, o projetor foi colocado a 
12 metros de distância da tela. Isso fez com que aparecesse 
a imagem de um homem com 3 metros de altura. Numa sala 
menor, a projeção resultou na imagem de um homem com 
14 Função e Geometria
SER_EF2_Matematica9_M2_Guia_001_024.indd 14 2/5/16 10:04 AM
apenas 2 metros de altura. Nessa nova sala, a distância do 
projetor em relação à tela era de: 
 a ) 18 metros. 
 b ) 8 metros.
 c ) 36 metros.
 d ) 9 metros.
Resposta: alternativa b. 
Se x Ž a dist‰ncia procurada, ent‹o
 12
2
3
x
5 . Portanto, 
x 5 8 metros. 
Aula 27 P‡ginas: 123 a 125
• TEMA: “Figuras semelhantes”.
• CONTEòDO TRABALHADO: Exercícios sobre polígonos 
semelhantes.
Objetivo
¥ Resolver atividades relacionadas a polígonos semelhantes.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
eventuais dúvidas. Promova uma discussão com os alunos 
sobre a atividade 13 da seção Exerc’cios (página 123).
Em seguida, peça aos alunos que formem duplas 
para fazer a atividade 14 da mesma seção (página 123). 
Enquanto a turma faz as atividades, caminhe pela sala 
verificando se há dúvidas e observando como os alunos 
pensam no problema. Na hora da correção, peça a uma 
dupla que faça o item a e depois verifique se o resto da 
turma utilizou a mesma forma de resolução ou se fez 
modo diferente. Proceda de forma análoga nos demais 
itens da atividade.
Logo após, solicite aos alunos que realizem as ativida-
des 15 a 19 da seção Exerc’cios (páginas 124 e 125). 
Enquanto a turma faz as atividades, caminhe pela sala 
para observar a diferentes formas de resolução, dando su-
gestões e esclarecendo eventuais dúvidas, procurando sa-
ber qual das atividades causa mais dificuldade.
Para casa
Peça aos alunos que façam a seguinte atividade.
Em uma parede do estande de vendas havia um qua-
dro de 50 centímetros de comprimento por 45 centíme-
trosde largura, tendo ao redor uma moldura, como mostra 
a figura.
5 cm
5 cm
comprimento
largura
5 cm 5 cm
 a ) Justifique porque não são semelhantes os retângulos 
interior e exterior à moldura. 
Os ret‰ngulos n‹o s‹o semelhantes porque
 
50
60
5
6
5 Ž di-
ferente de
 
9
11
45
55
5 .
 b ) Existe algum número real positivo k que, substituído 
no lugar de 5 centímetros, faria com que os dois retân-
gulos do item a fossem semelhantes?
Sendo k . 0, vem 
50 2
50
45 2
45
k k( ) ( )1
5
1
. Ent‹o, k 5 0. 
Portanto, n‹o existe um nœmero real positivo k para o qual os 
ret‰ngulos sejam semelhantes. 
Aula 28 P‡ginas: 125 a 127
• TEMAS: “Figuras semelhantes”.
• CONTEòDO TRABALHADO: Exercícios sobre polígonos 
semelhantes.
Objetivo
¥ Resolver atividades relacionadas a polígonos semelhantes.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
dúvidas que restaram das atividades da aula anterior. 
Em seguida, peça aos alunos que se organizem em du-
plas e façam as atividades 20 a 27 da seção Exerc’cios (pá-
ginas 125 a 127). Enquanto a turma resolve as atividades, 
observe as diferentes formas de resolução e dê sugestões, 
sanando eventuais dúvidas.
R
ob
er
to
 W
ei
ga
nd
/A
rq
ui
vo
 d
a 
ed
it
or
a
15
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
Fun•‹o e Geometria
SER_EF2_Matematica9_M2_Guia_001_024.indd 15 2/5/16 10:04 AM
No momento da corre•‹o, escolha um volunt‡rio para 
explicar como fez para resolver a atividade 20 e, em segui-
da, pergunte para a turma se todos est‹o de acordo ou se 
alguŽm fez de outra forma. O mesmo procedimento de cor-
re•‹o pode ser feito para as demais quest›es.
Para casa
Solicite aos alunos que realizem a seguinte atividade:
A figura a seguir exibe um ret‰ngulo ABCD decompos-
to em quatro quadrados.
D
A
C
B
O valor da raz‹o 
 
AB
BC
 Ž igual a:
 a )
 
5
3
.
 b )
 
5
2
.
 c )
 
4
3
.
 d)
 
3
2
.
Resposta: alternativa a.
Há três tipos de quadrados, com a , b , c sendo os seus 
lados. É fácil ver que b 5 2a e c 5 a 1 b 5 3a. Portanto, 
temos AB
BC
b c
c
5
3
( )
5
1
5 .
Aula 29 P‡ginas: 128 a 133
• TEMAS: ÒFiguras semelhantesÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Raz‹o de semelhan•a entre 
perímetros e ‡reas de polígonos semelhantes.
Objetivo
• Entender o conceito de raz‹o entre perímetros de polígo-
nos semelhantes e entre ‡reas de polígonos semelhantes.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e verificando se 
ainda restam dœvidas da aula anterior.
Em seguida, promova uma discuss‹o com os alunos 
sobre o seguinte tema: O que acontece entre os períme-
tros de polígonos semelhantes? Ap—s, pe•a que leiam o 
conteœdo da p‡gina 128 e oriente-os a concluir que a raz‹o 
entre perímetros de polígonos semelhantes Ž igual ˆ raz‹o 
entre seus lados.
Depois, pe•a aos alunos que fa•am as atividades 28 e 
29 da se•‹o Exerc’cios (p‡gina 129), prestando aten•‹o nos 
itens que envolvem a raz‹o entre ‡reas de regi›es poligo-
nais semelhantes.
Corrija as atividades na lousa e promova uma dis-
cuss‹o a respeito da raz‹o entre ‡reas de regi›es poligo-
nais semelhantes.
Utilize o conteœdo da p‡gina 130 para aprofundar o 
tema da raz‹o entre ‡reas de polígonos semelhantes. 
Logo ap—s, organize a turma em duplas para que fa-
•am as atividades 30 a 36 da se•‹o Exerc’cios (p‡ginas 
130 a 133). Enquanto os alunos as resolvem, caminhe pela 
sala observando as diferentes formas de resolu•‹o e d• 
sugest›es, se necess‡rio. Depois, corrija os exercícios na 
lousa, pedindo sugest›es aos alunos de como resolveram 
os problemas.
Para casa
Solicite aos alunos que realizem a seguinte atividade:
Considere as ‡reas dos tri‰ngulos equil‡teros A e B, 
cujos perímetros s‹o 2 e 8, respectivamente. A raz‹o entre 
a ‡rea do tri‰ngulo A e a ‡rea do tri‰ngulo B Ž:
 a )
 
1
16
.
 b )
 
1
8
.
 c )
 
1
4
.
 d)
 
1
2
.
 e ) 1.
Resposta: alternativa a. 
A razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é o 
quadrado da razão de semelhança. Portanto, a razão pedida 
é: 
1
2
1
16
2
( ) 5 .
Aula 30 P‡ginas: 133 a 139
• TEMA: ÒFiguras semelhantesÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Semelhan•a de tri‰ngulos, 
rela•‹o entre lados e ‰ngulos em tri‰ngulos semelhantes e 
casos de semelhan•a.
16 Fun•‹o e Geometria
SER_EF2_Matematica9_M2_Guia_001_024.indd 16 2/5/16 10:04 AM
Objetivos
¥ Compreender as rela•›es existentes em tri‰ngulos 
semelhantes.
¥ Compreender a propriedade fundamental dos tri‰ngulos 
semelhantes.
¥ Compreender os casos de semelhan•a.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e garantindo 
que n‹o restem dœvidas da aula anterior.
O foco desta aula s‹o os tri‰ngulos semelhantes. Soli-
cite aos alunos que fa•am uma leitura compartilhada do tex-
to das p‡ginas 133 e 134. 
Em seguida, explique as equival•ncias entre as ex-
press›es Òquando, e somente quandoÓ e Òse, e somente 
seÓ, muito importantes na Matem‡tica.
Pe•a aos alunos que fa•am as atividades 37 a 39 da 
se•‹o Exercícios (p‡ginas 134 e 135). Enquanto a turma 
faz as atividades, caminhe pela sala observando as diver-
sas formas de resolu•‹o e d• sugest›es, se necess‡rio. 
No momento da corre•‹o, escolha um volunt‡rio para 
apresentar a forma de resolu•‹o e pergunte ˆ turma se 
alguŽm fez de forma diferente. Fa•a o mesmo para as de-
mais quest›es.
Leia com os alunos os textos das p‡ginas 135 a 138, 
enfatizando a propriedade fundamental da semelhan•a de 
tri‰ngulos e, depois, os casos de semelhan•a estudados 
(isto Ž, caso AA, caso LAL e caso LLL).
Por fim, solicite aos alunos que realizem as atividades 
40 a 42 da se•‹o Exercícios (p‡gina 139). Depois, corrija-as 
coletivamente. Em sala ou em casa, pe•a que fa•am tambŽm 
as atividades da se•‹o Oficina de matemática (p‡gina 136).
Para casa
Solicite aos alunos que realizem a seguinte atividade:
Considere a imagem abaixo, que representa o fundo de 
uma piscina em forma de tri‰ngulo com a parte mais profun-
da destacada.
12 m
x 8 m
2 m
u
u u
12 m
A
D E
B C
x 8 m
2 m
u
u u
O valor, em metros, da medida x Ž:
 a ) 2.
 b ) 2,5.
 c ) 3.
 d ) 4.
 e ) 6.
Resposta: alternativa c.
O tri‰ngulo ADE Ž is—sceles. Logo, AD 5 8 metros. O tri‰ngu-
lo ABC Ž semelhante ao tri‰ngulo ADE. Portanto,
 
x2
8 12
5 . 
Logo, x 5 3 metros.
Aula 31 P‡ginas: 139 a 141
• TEMA: ÒFiguras semelhantesÓ.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Semelhan•a de tri‰ngulos.
Objetivo
¥ Resolver atividades sobre semelhan•a de tri‰ngulos.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
eventuais dœvidas. Depois, organize a turma em duplas para 
fazerem os exerc’cios 43 a 47 da se•‹o Exercícios (p‡ginas 
139 a 141). Enquanto os alunos fazem os exerc’cios, caminhe 
pela sala observando como eles est‹o abordando o proble-
ma e d• sugest›es, se necess‡rio.
Corrija, na lousa, com a ajuda da turma, a atividade 43 e 
pe•a a alguma dupla que diga como a resolveu. Em seguida, 
pergunte ˆ turma se todos est‹o de acordo ou se alguŽm 
fez de forma diferente e gostaria de compartilhar a resolu-
•‹o. Um procedimento an‡logo pode ser feito na corre•‹o 
das demais quest›es.
Por fim, em sala ou em casa, solicite aos alunos que re-
alizem a atividade da se•‹o Desafio (p‡gina 141).
Para casa
Pe•a aos alunos que fa•am as seguintes atividades, 
com base no texto a seguir:
17
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Função e Geometria
SER_EF2_Matematica9_M2_Guia_001_024.indd 17 2/5/16 10:04 AM
Para se transpor um curso de água ou uma depressão 
de terreno pode-se construir uma ponte. A ponte estaiada, 
por exemplo, é um tipo de ponte suspensa por cabos (es-
tais) fixados em mastros.
O esquema abaixo apresenta parte da estrutura de 
uma ponte estaiada do tipo denominado harpa, pois os es-
tais são paralelos entre si. Cada cabo tem uma extremidade 
fixada no mastro e a outra extremidade no tabuleiro da pon-
te, onde estão as vias de circulação.
mastro
A
D
B E C
tabuleiro
(Figura construída fora de escala.)
estais
No esquema, considereque:
¥ as retas AB e BC são perpendiculares entre si;
¥ os segmentos AC e DE são paralelos entre si e represen-
tam estais subsequentes;
¥ AB 5 75 metros, BC 5 100 metros e AD 5 6 metros;
¥ no mastro dessa ponte, a partir do ponto A em sentido ao 
ponto B, as extremidades dos estais estão fixadas e dis-
tribuídas a iguais distâncias entre si. 
 1. De acordo com as informações do esquema, o número 
máximo de estais que estão fixados do ponto A ao 
ponto B e que têm a outra extremidade na semirreta 
BC é:
 a ) 7. 
 b ) 9. 
 c ) 11. 
 d ) 13. 
 e ) 15. 
Resposta: alternativa d.
75
6
12,55 . Portanto, o número de estais será dado por 
12 1 1 5 13, em que 1 indica o primeiro dos estais que parte 
do ponto A.
 2. A distância entre os pontos E e C é, em metros: 
 a ) 6. 
 b ) 8. 
 c ) 10. 
 d ) 12. 
 e ) 14. 
A
6
75
D
B E ? C
100
Resposta: alternativa b.
6
75
 
5
 
EC
100
. Então, EC 5 8 metros.
Aula 32 P‡ginas: 141 a 148
• TEMA: “Figuras semelhantes”.
• CONTEòDO TRABALHADO: Semelhança de triângulos 
e aplicações.
Objetivo
¥ Resolver questões envolvendo aplicações de semelhança 
de triângulos.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
possível dúvidas da aula anterior.
Peça aos alunos que façam, em grupo, as atividades 
48 a 59 da seção Exercícios (páginas 141 a 145). Em seguida, 
corrija as atividades coletivamente, observando sempre as 
várias maneiras de resolução e sugerindo novas ideias para 
solucionar os problemas.
Logo após, faça uma leitura compartilhada do texto da 
página 146 e resolva com a turma a atividade 60 da seção 
Exercícios (página 147). 
Organize a turma em duplas para que façam as ativi-
dades 61 a 63 da seção Exercícios (páginas 147 e 148). 
Em sala ou em casa, solicite que realizem também as 
atividades da seção Desafios (página 145).
Para casa
Peça aos alunos que façam as seguintes atividades:
 1. Para medir a largura x de um rio, sem necessidade de cru-
zá-lo, foram feitas várias medições, como mostra a figura 
a seguir. Calcule a largura x do rio. 
18 Fun•‹o e Geometria
SER_EF2_Matematica9_M2_Guia_001_024.indd 18 2/5/16 10:04 AM
C
A
x
24 m 2 m
B
D
E
2,5 m
Como CåB 5 BæD 5 90¼, Ž f‡cil ver que os tri‰ngulos ABC 
e EBD s‹o semelhantes por AA. Desse modo, temos 
5
AC
ED
AB
BE
. Ent‹o,
 
5
2
24
2,5
x
. Portanto, x 5 19,2 metros.
 2. Sejam D e E pontos mŽdios de AB e AC, respectivamente, 
mostre que BM 5 2 ? ME. (Sugest‹o: prove primeiro que 
os tri‰ngulos DEM e BCM s‹o semelhantes.)
 
A
D
B C
E
M
De fato, sabendo que D e E s‹o pontos mŽdios de AB e AC, 
respectivamente, tem-se que DE Ž base mŽdia do tri‰ngulo 
ABC e, portanto DE 5
2
BC
 e DE Ž paralelo a BC. Em conse-
qu•ncia, os tri‰ngulos DEM e BCM s‹o semelhantes por AA. 
Da’,
 
5
BM
ME
BC
DE
. Ent‹o, BM 5 2 ? ME. 
Aula 33 Páginas: 149 a 151
• TEMA: ÒTransforma•›es geomŽtricasÓ. 
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Vetores, transla•›es 
sucessivas e figuras transladadas.
Objetivos
¥ Entender o conceito de vetores (segmentos orientados).
¥ Compreender o significado de transla•›es.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
dœvidas que ainda restam da aula anterior.
Apresente para a turma o termo transla•‹o, pedindo 
aos alunos que leiam o texto da p‡gina 149 e observem a re-
presenta•‹o de uma transla•‹o.
Os novos termos apresentados Ð segmento orientado 
e vetor Ð devem ser enfatizados, deixando clara a nota•‹o 
semelhante entre semirretas.
Ap—s isso, fa•a com a turma a atividade 64 a 66 da se-
•‹o Exerc’cios (p‡gina 149).
Pe•a aos alunos que leiam os textos das p‡ginas 150 e 
151. Em seguida, solicite que realizem as atividades 67 a 70 da 
se•‹o Exerc’cios (p‡ginas 150 e 151) e corrija-as coletivamente.
Para casa
Pe•a aos alunos que fa•am a seguinte atividade:
Dados dois segmentos AAÕ e BBÕ, diz-se que ambos 
s‹o equipolentes se AAÕBBÕ forma um paralelogramo. Como 
exemplo, veja os segmentos AAÕ e BBÕ na segunda figura da 
p‡gina 151. Observando agora a primeira figura, vemos que 
os segmentos AAÕ, BBÕ e CCÕ s‹o todos equipolentes.
Fixando o primeiro segmento, isto Ž, AAÕ, diz-se que 
pertence ˆ classe de equipol•ncia AAÕ.
 a ) Desenhe um segmento orientado e, em seguida, tr•s 
outros que perten•am ˆ sua classe de equipol•ncia. 
Resposta pessoal.
 b ) Define-se, pois, um vetor por uma classe de equi-
pol•ncia de segmentos orientados. Em quais dos 
pol’gonos regulares listados abaixo, existem seg-
mentos equipolentes?
a) Tri‰ngulo.
b) Quadrado.
c) Pent‡gono.
d) Hex‡gono.
Resposta: b, c e d. Basta desenhar e observar os lados paralelos.
Aula 34 Páginas: 152 a 155
• TEMA: ÒTransforma•›es geomŽtricasÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Reflex‹o, caso particular da 
reflex‹o e eixo de simetria.
Objetivos
¥ Entender a defini•‹o de reflex‹o.
¥ Compreender a defini•‹o de eixo de simetria.
¥ Identificar eixos de simetria em pol’gonos regulares.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
as dœvidas restantes da aula anterior.
19
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
Fun•‹o e Geometria
SER_EF2_Matematica9_M2_Guia_001_024.indd 19 2/5/16 10:04 AM
Leia com os alunos o texto da página 152, enfatizando o 
termo reflex‹o. Organize a turma em grupos e peça que fa-
çam a atividade 71 da seção Exerc’cios (página 152). Cami-
nhe pela sala dando sugestões, caso sejam necessárias. 
Depois, corrija-a coletivamente. Peça a alguns alunos que 
exponham como a resolveu.
Comente com a turma sobre o caso particular da refle-
xão que se encontra na página 153 e peça que façam as ati-
vidades 72 e 73 da seção Exerc’cios (páginas 153 e 154). 
Uma sugestão é fazer o item a na lousa e deixar os demais 
para os alunos pensarem. Dê um tempo para fazerem as ati-
vidades e depois as corrija.
Em seguida, defina eixo de simetria, como se encontra 
na página 154, e organize a turma em duplas para realizarem 
as atividades 74 a 77 da seção Exerc’cios (páginas 154 e 
155). Enquanto fazem as atividades, caminhe pela sala ob-
servando como as resolvem e dê sugestões, caso necessá-
rio. Por fim, corrija-as com os alunos.
Para casa
Solicite aos alunos que façam a seguinte atividade:
Indique quantos eixos de simetria possuem cada um 
dos polígonos listados a seguir. 
 a ) Triângulo isósceles. 1
 b ) Triângulo equilátero. 3
 c ) Quadrado. 4
 d ) Retângulo. 2
 e ) Pentágono regular. 5
 f ) Hexágono regular. 6
 g ) Dodecágono regular (doze lados). 12
Aula 35 P‡ginas: 155 a 157
• TEMA: “Transformações geométricas”.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Rotação e construção 
de rotações.
Objetivo
¥ Aprender a identificar e a construir uma rotação.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
dúvidas recorrentes da aula passada.
Em seguida, peça aos alunos que leiam os textos das 
páginas 155 e 156, enfatizando os termos centro de rota•‹o 
e ângulo de rotação com seus significados. Uma sugestão é 
pedir para três ou quatro alunos se revezarem na leitura do 
texto, cada um lendo um parágrafo.
Faça com a turma a atividade 78 da seção Exerc’cios 
(página 156).
Solicite aos alunos que realizem a atividade 79 da se-
ção Exerc’cios (página 157).
Enfatize o quadro do final da página 157, que faz um 
breve comentário sobre reflexão, translação e rotação.
Para casa
Peça aos alunos que façam as seguintes atividades.
 1. Dê exemplos:
 a ) de uma reflexão.
 b ) de uma translação.
 c ) de uma rotação.
 2. Desenhe um quadrado e sua figura após rotações de 90º, 
180º e 360º. O que elas têm de semelhantes? 
S‹o as mesmas.
Aula 36 P‡ginas: 158 a 161 
• TEMA: “Transformações geométricas”.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Homotetia e propriedades 
importantes da homotetia.
Objetivos
¥ Entender o conceito de homotetia.
¥ Conhecer as principais propriedades da homotetia.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
dúvidas restantes da aula anterior. 
Apresente aos alunoso termo homotetia, por meio da 
leitura do texto da página 158 e do quadro explicativo no fim 
da página. Enfatize o fato dessa transformação geométrica 
não preservar a congruência.
Faça com a turma a atividade 80 da seção Exerc’cio 
(página 158). 
Em seguida, solicite aos alunos que realizem a ativida-
de 81 da seção Exerc’cio (página 159).
Leia com a turma o texto das páginas 159 e 160, enfati-
zando as frases destacadas em quadros.
Por fim, peça aos alunos que façam as atividades 82 e 
83 da seção Exerc’cios (página 161). Enquanto eles as reali-
20 Função e Geometria
SER_EF2_Matematica9_M2_Guia_001_024.indd 20 2/5/16 10:04 AM
zam, caminhe pela sala observando como abordam os pro-
blemas e dando sugest›es sempre que necess‡rio. Por fim, 
corrija os exerc’cios em conjunto.
Para casa
Solicite aos alunos que realizem a seguinte atividade:
Relacione os termos reflexão, rotação, translação e ho-
motetia com as frases.
 a ) Um segmento de reta Ž levado a outro segmento de 
reta paralelo ao primeiro. Homotetia.
 b ) Giro de uma figura em torno de um ponto segundo de-
terminado ‰ngulo. Rota•‹o.
 c ) Deslocamento de uma figura no plano de modo que a 
figura resultante seja congruente ˆ original. Transla•‹o.
 d ) Obten•‹o de uma figura a partir de outra dada por meio 
de uma reta. Reflex‹o.
Aula 37 P‡ginas: 162 e 163 
• TEMA: ÒTransforma•›es geomŽtricasÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Transforma•›es 
geomŽtricas, isometrias e correspond•ncia biun’voca. 
Objetivos
• Identificar as quatro transforma•›es geomŽtricas 
aprendidas.
• Entender a defini•‹o de correspond•ncia biun’voca.
• Compreender a defini•‹o de isometria.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
dœvidas recorrentes da aula passada.
Promova uma discuss‹o sobre as quatro transforma-
•›es geomŽtricas j‡ aprendidas, isto Ž, reflex‹o, transla•‹o, 
rota•‹o e homotetia. Esquematize na lousa os principais 
aspectos de cada uma das transforma•›es vistas.
Pe•a aos alunos que leiam o texto da p‡gina 162 e ob-
servem atentamente os exemplos das transforma•›es 
apresentadas. Encontre os aspectos listados sobre cada 
uma nos exemplos dados. 
Em seguida, leia com a turma as observa•›es listadas 
no fim da p‡gina. Enfatize o termo correspondência biunívo-
ca, caso os alunos j‡ tenham aprendido fun•›es bijetoras, e 
procure fazer uma associa•‹o com os termos. Saliente 
tambŽm a defini•‹o de isometria.
Organize a turma em duplas e pe•a que fa•am as ativi-
dades 85 a 89 da se•‹o Exercícios (p‡gina 163). Enquanto 
os alunos trabalham nos problemas, caminhe pela sala e ob-
serve como eles os abordam, dando sugest›es, caso seja 
necess‡rio. Em seguida, corrija os exerc’cios. Uma sugest‹o 
Ž escolher algumas duplas para dizerem como fizeram as 
atividades e promover uma breve discuss‹o com a turma 
sobre qual seria o melhor mŽtodo de solu•‹o, caso outra 
dupla tenha feito de forma distinta.
Para casa
Pe•a aos alunos que providenciem dados, pinos ou bo-
t›es para fazerem a se•‹o Jogo (p‡gina 164) na aula seguin-
te. Solicite tambŽm que realizem as seguintes atividades:
 1. Apresente um contraexemplo para o item c da quest‹o 84 
(p‡gina 163). Isto Ž, d• o exemplo de duas figuras seme-
lhantes, mas n‹o homotŽticas. 
 2. Desenhe um hex‡gono regular. Considere o ponto desse 
pol’gono e ÒligueÓ este aos vŽrtices do hex‡gono. Entre os 
6 tri‰ngulos formados, quais s‹o semelhantes? 
Todos, pois todos s‹o equil‡teros.
 3. Quais transforma•›es geomŽtricas s‹o chamadas iso-
metrias? 
Transla•‹o, reflex‹o e rota•‹o.
Aula 38 P‡ginas: 164 e 165
• TEMA: ÒJogoÓ.
• CONTEòDO TRABALHADO: Jogo ÒTrilha de semelhan•aÓ.
Objetivo
• Retomar os conceitos de semelhan•a por meio do jogo.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
dœvidas recorrentes da aula passada. 
Pe•a aos alunos que joguem a ÒTrilha de semelhan•aÓ 
(p‡ginas 164 e 165) em duplas. 
Para casa
Solicite aos alunos que fa•am a seguinte atividade:
Numa turma de x alunos,
 
2
3 
s‹o atletas e suas prefe-
r•ncias por modalidades esportivas est‹o expressas no 
gr‡fico a seguir.
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M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Fun•‹o e Geometria
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8
4
2
1
Esporte preferido
Na
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Fu
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Vô
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Ba
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Pe
te
ca
Ha
nd
eb
ol
Considerando que nenhum desses alunos pratica mais 
de um esporte, analise as afirmativas abaixo, classifican-
do-as em V (verdadeira) ou F (falsa).
1. ( ) Metade dos atletas gosta de vôlei ou de basquete.
2. ( ) 40% dos atletas preferem futebol.
3. ( ) O número de alunos desta turma é menor que 25.
Tem-se a sequência correta em:
 a ) F – F – F. 
 b ) V – V – V. 
 c ) F – V – F. 
 d ) V – F – V .
Resposta: alternativa c.
Com base nas informa•›es do enunciado Ž poss’vel calcular 
o nœmero de alunos da turma:
2
3
x 5 2 1 8 1 4 1 4 1 1 1 1 → 
2
3
x 5 20 → x 5 30 alunos.
Analisando as proposi•›es:
1. Falsa. De um total de 20 atletas, apenas 8 gostam de v™lei 
ou basquete (menos da metade). 
2. Verdadeira. De um total de 20 atletas, 8 gostam de futebol, 
o que representa 40% do total (8 4 20 5 0,4 → 40%).
3. Falsa. O nœmero de alunos da turma Ž igual a 30. 
Aula 39 P‡ginas: 166 a 173
• TEMA: “Outras situações que envolvem semelhança”.
• CONTEòDO TRABALHADO: Situações que envolvem 
semelhança.
Objetivo
¥ Aplicar as operações em outras situações que envolvem 
semelhança.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa. Organize a tur-
ma em duplas e peça que façam as atividades 90 a 93 da 
seção Exercícios (página 166). Enquanto os alunos abordam 
os problemas, caminhe pela sala observando os métodos 
que utilizam. Em seguida, corrija os exercícios com a turma.
Em sala ou em casa, solicite aos alunos que façam a 
seção Raciocínio lógico (página 166). 
Para casa
Peça aos alunos que realizem as atividades das seções 
Tratamento da informação (página 167), Outros contextos 
(páginas 168 e 169), Praticando um pouco mais (páginas 170 
e 171) e Revisão cumulativa (páginas 172 e 173). Se julgar ne-
cessário, acrescente a seguinte atividade:
A idade de dois irmãos hoje são números inteiros e 
consecutivos. Daqui a quatro anos, a diferença entre as ida-
des deles será
 
1
10 
da idade do mais velho. A soma das 
idades desses irmãos, hoje, é um número:
 a ) primo. 
 b ) que divide 100.
 c ) múltiplo de 3.
 d ) divisor de 5.
Resposta: alternativa a.
Se a idade de dois irm‹os s‹o nœmeros inteiros e consecuti-
vos, ent‹o a diferen•a de idade entre eles Ž constante e igual 
a um ano. Sendo x igual ˆ idade do mais velho daqui a quatro 
anos, pode-se escrever: 1 5
10
x
. Ent‹o, x 5 10. 
Se daqui a quatro anos o irm‹o mais velho ter‡ 10 anos, en-
t‹o hoje ele tem 6.
Considerando a diferen•a de um ano de idade entre eles, o 
irm‹o mais novo possui hoje, portanto, 5 anos. A soma da ida-
de desses irm‹os, ent‹o, Ž igual a 11, que Ž um nœmero primo. 
Aula 40 P‡ginas: 174 a 176
• TEMAS: “Ponto de chegada” e “Quadro de ideias”.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Retomada dos assuntos do 
módulo: função, proporcionalidade, semelhança. 
Objetivo
¥ Retomar os assuntos trabalhados no módulo.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecen-
do eventuais dúvidas da aula passada.
Peça aos alunos que leiam o texto da seção Ponto de 
chegada (página 174) e promova uma discussão sobre a im-
portância da semelhança de triângulos. 
22 Fun•‹o e Geometria
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Em seguida, solicite que fa•am as atividades das p‡gi-
nas 174 e 175. Enquanto a turma faz as atividades, caminhe 
pela sala e observe como cada um aborda as quest›es. Cor-
rija as atividades na lousa. 
Depois, pe•a aos alunos que observem o Quadro de 
ideias (p‡gina 176) e verifique se n‹o resta nenhuma dœvida 
de conceito nos conteœdos estudados.
Para casa
Soliciteaos alunos que realizem a seguinte atividade:
A ilustra•‹o a seguir representa uma mesa de sinuca 
retangular, de largura e comprimento iguais a 1,5 e 2 metros, 
respectivamente. Um jogador deve lan•ar a bola branca do 
ponto B e acertar a preta no ponto P, sem acertar em ne-
nhuma outra antes. Como a amarela est‡ no ponto A, esse 
jogador lan•ar‡ a bola branca atŽ o ponto L, de modo que ela 
possa rebater e colidir com a preta.
1,2 m
2,0 m
1,0 m
A
B
Q L
a a
P
Se o ‰ngulo da trajet—ria de incid•ncia da bola na late-
ral da mesa e o ‰ngulo de rebatimento s‹o iguais, como 
mostra a figura, ent‹o a dist‰ncia de P a Q em cent’metros 
Ž, aproximadamente:
 a ) 67 cent’metros. 
 b ) 70 cent’metros.
 c ) 74 cent’metros. 
 d ) 81 cent’metros. 
Resposta: alternativa a.
1,2 m
0,8 m
2,0 m
1,0 m
A
B
Q CL
a a
P
Como os tri‰ngulos PQL e BCL s‹o semelhantes,
 
5
1
0,8
1,2
PQ
. 
Ent‹o, PQ 5 0,66666..., ou seja, aproximadamente 
67 cent’metros. 
Referências bibliográficas
DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira; SMOLE, K‡tia Cristina Stocco. O 
conceito de ângulo e o ensino de geometria. S‹o Paulo: Instituto 
de Matem‡tica e Estat’stica da USP/Spec/PADCT/Capes, 2002.
LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. (Org.). Apren-
dendo e ensinando Geometria. S‹o Paulo: Atual, 1994.
LOPES, Maria Laura Mouzinho (Coord.). NASSER, Lilian (Org.). Geo-
metria na era da imagem e do movimento. Rio de Janeiro: UFRJ (Ins-
tituto de Matem‡tica), Projeto Fund‹o, Spec/ PADCT/Capes, 1996.
NASSER, Lilian; SANTÕANNA, Neide F. Parracho (Coord.). Geome-
tria segundo a teoria de Van Hiele. Rio de Janeiro: UFRJ (Instituto 
de Matem‡tica), Projeto Fund‹o, Spec/PADCT/Capes, 1997.
OCHI, Fusako Hori et al. O uso de quadriculados no ensino da Geo-
metria. 5. ed. S‹o Paulo: USP (Instituto de Matem‡tica e Estat’sti-
ca), CAEM/Spec/PADCT/Capes, 2006.
TINOCO, Lœcia A. A geometria euclidiana por meio da resolução de 
problemas. Rio de Janeiro: UFRJ (Instituto de Matem‡tica), Projeto 
Fund‹o, 1999.
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A
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M
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ANOTAÇÕES
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ANOTAÇÕES
 
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Ensino 
Fundamental
2
caderno
ano
9
MATEMÁTICA
PROFESSOR
O sistema de ensino SER está preocupado com a preservação das paisagens brasileiras e do 
patrimônio cultural nacional. Por isso, ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental, você 
conhecerá pontos importantes de todas as regiões brasileiras, retratados nas capas do material 
didático. Acompanhe-nos nessa viagem!
O Marco Zero, na praça Rio Branco, é um dos pontos mais importantes de Recife. É conhecido 
como o ponto inicial da capital pernambucana, fundada em 1537.
Do local, é possível observar diversos edifícios históricos, como o da Bolsa de Valores e o da 
Associação Comercial de Pernambuco.
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