nbr 11153 nb 1188 - interpretacao estatistica de resultados de ensaio - estimacao da media - inte

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ABNT-Associaeo 
Brasileira de 
Normas Tbcnicas 
CDU: 621.3:519.248:519.233.2 1 DEZ./l988 1 NB-1 188 
Interpreta@o estatistica de resultados 
de ensaio - Estima@o da media - 
lntervalo de confianqa 
Registrada no INMETRO coma NBR 11153 
NBR 3 - Norma Brasileira Registrada 
Origem: Projeto 03:056.02-oOfYEi4 
CB-93 - Cwnit6 Brasilefro de Eletricidade 
CE-Cx3:056.02 Comistio de Estudo de Controk? e Certifica@o da Qualidade 
NB-1188 - Statistical interpretation of test results - Estimation of the mean - 
Confidence interval - Procedure 
Esta Norma foi baseada na IS0 2602/80 
Palavra-chave: Controle de qualidade 7 pAginas 
SUMhlO 
1 Objetivo 
2 Documentos complementares 
3 Defini@es 
4 Generalldades 
5 Estima$io da media 
6 lntetvalo da confiat?@ para a media 
7 Aptesant@o dos resultados 
ANMO A - lntervalo de confiarya para a media a partir da 
amplitude 
ANEXO B Tabela 
1 Objetivo 
1.1 Esta Norma fwa as condigdes exlgiveis para o trata- 
mento estatistico da resultados de ensaios. necessaries 
para calcular urn lntervalo de confianga para a media de 
uma popula@o. 
1.2 0 campo de aplica$Ho desta Norma limita-se a 
astirnaCHo da media de urna populaCao corn distribuiteo 
normal, baseando-se em urna serie de ensaios aplicados 
a urns amostra aleatrkia da individuos cotetados dessa 
popul@o, e trata somante do case onde a variancia da 
popula@o B desconhecida. 
1.3 OS resultados de ensaios SHO expresses por medi- 
@esdecaratercontinuo. EstaNonanHoabrangeensaios 
de carater qualitatiio (par exempl0, a presenpa ou ausan- 
cia de uma fxopriedade. nrimero de defeitos. etc.). A 
distrlbui@io da probabilidade tomada como modelo ma- 
temstko pare popula@o total 6 uma dlstribui@o normal 
para a qua1 seus par&metros, media m e desvio-padrfio o, 
s20 desconhecidos. 
1.4 A hip6tese de normalidade e freqijentemente aceita. 
uma vez que a distrfbuiqao dos resultados obtidos sob 
condi@es de ensaia a geralmente urns distribui$Bo nor- 
mal ou pr6xima da uma normal. Entretanto. pode ser 
convenienta verlflcar a validade da hlp6tese de nor- 
malidade, atraves dos metodos da NE-1 126. 
1.5 OS metodos de ensaio podem estar sujeitos a enos 
sistematicos cuja detenina$Ho n&o 6 considerada nesta 
Norma. Entretanto. a existencia de tais erros pode invali- 
dar os metodos previstos nesta Norma. Em particular. se 
houver urn erro sistematico. o aumento do tamanho da a- 
mostra n&o deve influenclar o desvfo produzido por este 
erro. OS metados da NB-1252 podem ser aplicados em 
certos cases para a identiffca@o de erros siatematicos. 
2 Documentos complementares 
Na aplica@o desks Norma B necessario consultar: 
NB-1126 - Interpreta$8oestatistica de dados -Testes 
de normalidade - Procedimento 
NB-1252 lnterpretaplo estatistica de dados 
Tecnicas de estima@o e testes relacicnados as 
m4dias s variancias _ Procedimanto 
TB-298 - Estatistica - Temtinologia 
2 
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NB-1188/1988 
3 Defini@es 
OS terrnos Mcnicos utilizados nesta Norma s80 detinidos 
“a TB-29.9. 
4 Generalidades 
4.1 OS m&ados de ensaio geralmente pev4em a reali- 
za@~ de uma s4rie repetitiva de medl@as que s80 efe- 
tuadas: 
a) sobre o mesmo item (quando o ensaio 4 Go-des- 
trutivo); 
b) sobre por@es distintas de urn material muito ho- 
mog6neo (urn IMquido. por exemplo); 
c) sobre itens dlsthtos. amostrados de urn agregado 
corn uma determinada variabilidade. 
Nota: Noa dds prirneiros c-. 08 desviw entm w reMtedo(, 
obtldos dependem somnte de repetibiridede do m&do. 
No tarcalm ~890, eles dependem ternbern da vaiatMida& 
do ~r+.w-io matWal. 
4P 0 tratamento estatistico dos resultados permite 0 
cakulo de urn htervalo que ccot&n. corn uma determina- 
da probabilidade. a media da popula@o de resultados 
que seria obtida a partir de urn ntimero muito grande de 
determina@es. efetuadas sob as meSma.6 condl@3s. NO 
CBSO de itens corn vartabilidade, esta Norma assume que 
as hdivlduos nos quais as verlfka~des S&I efetuadas 
constituem-se em uma amostra aleat6ria da pop&@ 
original e podem ser considerados coma independentes. 
4.3 0 intezvalo cskulado desta forma 6 chamado de 
inten/alodecontian~adam6dia.Asscciadoaesteintervalo. 
hB urn nivel de confianqa (algumas vezes denominado 
coeficiente de confian$a). que 6 a probabilidade. 
usualmente expressa em porcentagam, deque o intervalo 
realments contenha a media da popula$~o. N&a Norma 
s80 fomecidas Tab&s apenas pars OS nlveis de 95% e 
99% (VW Anexo 6). 
4.4 OS c~kulos podem ser slmpliticsdos par uma mudan- 
$a da origem cu da unidade dos resultados de ensaio, mas 
n~oBrecomendbveloarredondamentodestesresultados. 
4.5 Nio 6 permltido o descarte de qualquer observaqgo 
ou 8 apllcap&~ de qualquer corre$Bo sem justificativas 
corn base experimental, Mcnica ou em outros motives 
evtdentes, que devem SW claramente registrados. 
5 Estimago da media 
6.1 Caeo de obrewac6es 8160 agrupadas sm claSSOs 
al., Ap& o descarte de quaisquer obsewa@es duvido- 
sas (VW 4.5). a s&k compreende n mediG& x, (onde i = 
1,2.3. , n), algumss das quais podem ter 0 mesmo valor. 
6.1.2 A media m da distribui@o normal 6 estimada pela 
media aritmbtica W das n obsewap6es. 
52 Case de observa@es agrupadas em clawss 
5.21Quandoonljmerodeobserva~6esforsuflcientemen- 
te grande (acims de 50 par exemplo), pcde ser vantajoso 
agrupblas em classes de mesmo intervalo. 
5.22 A freqO&cis da i-6sina classe. isto 6. o ntimero de 
observa@es da classe i, 6 indicada por ni. 
5.23 Sendo k o ntimero de classes, tern-se: 
n= 5”: 
5.24 0 pato m&dio da classe i 6 indicado por y.. A media, 
m d enGo estimada pela m6dia ponderada de todos as 
pontos m6dios das classes: 
6 lntervalo de confiaqa para a media 
0 intervalo de contian@? para a media da popula~Ho 6 
cakulado a partir das estimativas da media e do desvio- 
padrgo. 
Nota: 0 m&do dtemetlvo de calcular 0 intewalo de con(ian~a 
atraveS do “SO da amplitude 4 &do no Anexo A. 
6.1 EstimaCgo do desvio-pedr6o 
(1.1.1 csso de obseNeg6ea n60 agrupades 
A estimativa do desvio-pad& (r. cakulada a partir do 
somatdrio dos quadrados dos desvios da media arltm& 
lica, 6 dada pela f&mula: 
Onde: 
x, = valor da i-Bsima medida (I = 1. 2. 3. _.. n) 
n = ntimero total de observa~des 
X = media aritmbtica das n observa@es. cakulada 
como indicado em 5.1 
Nota: Para fadlidade de chlculo. B recomendado o us0 da se- 
guinte t6mwla : 
6.1.2 Case de observa@es sgr"padas 
No case de agrupamento em classes, a f6mwla para 
estimar o desvio-padrso 6: 
I k 
Nota: Para facilidade de c~culo. 6 recomendado o use ds se 
guinte f6ml”la: 
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NB-1198/1998 3 
Onde: 
y, = panto medic da i-6sima classe (i = 1. 2. 3. .__, k) 
k = “ljmero de classes 
n = ntimero total de observa~bes 
7 = media ponderada de todos cs pcntos m(tdios de 
classes calculadas ccmc em 5.2 
62 lntervslo de confianqa pare a m&k 
Para o nlvel de confianpa esoolhido (95% w 99%), de 
acordo corn c case especifico, dew sw determinado urn 
intenalo de ccnfian$a bilateral cu unilateral. 
6.21 Intwvalo de co”ft3n~ bllaleral 
0 intervalo de confian~a bilateral para a mtiia da pc- 
pula&z 6 definido pela seguinte desigualdade dupla: 
a) ao “lvel de co”fia”Ca de 95%: 
~-f00’5sCmcji+*s; 
&=I 
b) ao nlvel de confianta de 99%: 
6.22 Inten’alo do confianw unilateral 
0 intervalo de confian$a unilateral para a media da po- 
pula~io 6 definido pw uma das seguintes desigualdades: 
a) ao nlvel de confiaya de 95%: 
m<x+!ps w m>x-*s 
b) ao nivel de confianta de 99%: 
m < Ti + t-w 5 0” 
hi 
m > x _ 1488~ s 
Ai 
c) Para fEilidad@ de cslculo. (I dada tambern a TaMa 2 
do Amxo B que fomece 05 Wore9 das razbes: 
Exemplo: 
n=250 
t ,,m = 2,576 + 0.48 (2.617 - 2,576) 
= 2.596 
7 ApresentaHo dos resultados 
7.1 Fomecec a expessBc da m&dia de acordo corn 5.1 ou 
5.2. 
72 Expressar c intefvalo de confian$a na forma da de 
sigualdade dupla de 6.2.1 cu uma das desigualdades de 
6.2.2. declarando c nlvel de confianca (95% ou93%). 
lndicar c nimerc de obser~a@es desprezadas coma 
sendo duvidosas e as raz?~es para esta elimina@o. 
IANEXOB 
4 
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NE-1 1 WI 988 5 
ANEXO A - lntetvalo de conflan~ para a mbdla 8 partlr da amplitude 
Se as cbserva@x forem arranjadas em ordem crescen- 
te, 181 que x,5 .x$ 5 x,,, entic w = x, - x, 6 definido cc- 
mc amplitude da amostra. Ainda assumindo que a 
pcplla@o tenha “ma distribuic&o nomlal. c intervalo de 
confian$a para a media da popula~Bo pode sw determi- 
nado a partir da amplitude da amostra quando c ntimero 
de medi@es for pequenc. ccmc 12 cu mencs. A ccn- 
veniancia pratica d&e c&xM 6 de que 818 6 rdpido; a 
desvantagm 4 de que ele conduz a urn Interval0 de ccn- 
f!anCa geralmente mals amplo e de ser mais afetado pelo 
grau de ncrmalidade da distribui@o das obsewa@es. 
A-l lntervalo de confianp bilateral 
0 intervalo de confian$a bilateral para a media da popu- 
la~50 6 definido pela seguinte desigualdade dupla: 
a) ac nivel de confianca de 95%: 
ii-q,,,,w <m< ii+q,,,,,w: 
b) ao nivel de confian$a de 99%: 
ji-q o.9ggw <m < w + 4 D,!yJ~W. 
A-2 Intervalo de contiarqa unilateral 
0 intewalo de confiarya unilateral para a media da 
popula~~c~ddefinidoporumadasseguintesdesigualdades: 
a) ac nhwl de confianpa 95%: 
m < x + q,,,,w 
0” 
Ill > ji qo,p5w: 
b) ac nivel de confianta de 99%: 
m < x + qo,$+v 
0” 
Ill> ii - qa,@p. 
Nota: OS coeficientea qop,S, q,,%. qo,g5. q,,, ~40 da&s na Ta- 
b& 4 do Anexo B. 
IANEXO 6 
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NB-11880988 
n 
2 12.71 63.66 6,314 31.82 
3 4,363 9,925 2,920 6,965 
4 3,182 5.841 2,353 4,541 
5 2,776 4,664 2,132 3,747 
6 2,571 4.032 2,015 3,365 
7 2,447 3,707 1,943 3.143 
8 2,365 3,499 1,895 2,998 
9 2.306 3,355 1,660 2,896 
10 2,262 3,250 1.633 2.821 
11 2,228 3,169 1.812 2,764 
12 2,201 3,106 1,796 2.718 
13 2,179 3,055 1,782 2.681 
14 2,160 3,012 1,771 2.650 
15 2,146 2,977 1,761 2,624 
16 2,131 2,947 1,753 2,602 
17 2.120 2,921 1,746 2,563 
18 2.110 2,898 1,740 2.567 
19 2,101 2,878 1.734 2,552 
20 2,093 2.861 1.729 2,539 
21 2.066 2,845 1.725 2,528 
22 2.060 2.631 1.721 2,518 
23 2.074 2.819 1.717 2,508 
24 2.069 2,807 1.714 2,500 
25 2.064 2,797 1,711 2,492 
26 2,060 2,787 1,708 2,485 
27 2,056 2,779 1,706 2,479 
28 2.052 2,771 1,703 2,473 
29 2,048 2,763 1,701 2,467 
30 2,045 2,756 1,699 2,462 
40 2,024 2.707 1.682 2,430 
50 2.008 2.680 1.676 2.404 
60 2.000 2,664 1,673 2,393 
ANEXOB- Tab&s 
Tab& 1 - Valorar da distribui@o t 
Nivel de contlanqa 
95% 99% 
b.ws I 0.95 
T Nkel de contianqa unilateral 
95% 99% 
t 0.99 
” 
2 8,985 45,013 4,465 22,501 
3 2,484 5,730 1.686 4,021 
4 1,591 2,920 1,177 2,270 
5 1,242 2,059 0,953 1,676 
6 1,049 1.646 0.823 1,374 
7 0,925 1,401 0.734 1,188 
8 0.636 1.237 0.670 1,060 
9 0.769 1,118 0.620 0,966 
10 0.715 1.028 0.580 0.892 
11 0.672 0,956 0.546 0.833 
12 0,635 0.897 0.518 0,785 
13 0.604 0.647 0,494 0,744 
14 0,577 0,805 0,473 0,708 
15 0,554 0,769 0,455 0.668 
16 0,533 0,737 0.438 0,651 
17 0,514 0.706 0,423 0,627 
18 0,497 0,663 0,410 0,605 
19 0.482 0,660 0.398 0,586 
20 0.468 0,640 0.387 0.568 
21 0,455 0,621 0,376 0,552 
22 0,443 0,604 0,367 0,537 
23 0,432 0.588 0.358 0,523 
24 0,422 0.573 0.350 0.510 
25 0.413 0,559 0,342 0.498 
26 0.404 0.547 0,335 0.487 
27 0.396 0,535 0,328 0.477 
28 0.388 0.524 0,322 0,467 
29 0,380 0,513 0,316 0.658 
30 0,373 0,503 0,310 0,449 
40 0,320 0.428 0,266 0,384 
50 0.284 0,379 0,237 0,340 
60 0.258 0,344 0,216 0.309 
Tab& 2 - Valores de t Ifi 
Nivelde confiarp 
bilateral 
95% 99% 95% 99% 
Nivel de cmfianp 
NE-1188/1988 
C6pia impressa pelo Sistema CENWIN 
7 
unilateral 
to.89 
fi 
Tabela 3 - Valores para interpola@o Tabela 4 - Coeficientes 
2,664 1,673 
2,617 1.658 
2,576 1,645 
t 0.89 
2,393 
2,358 
2,326 
" 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
lntervalo de confianqa 
bilateral T Intewalodeccmfianqa unilateral 
95% 99% 
qo.85 
3,157 15,910 
0.885 2,111 
0,529 1,023 
0,386 0.685 
0,312 0,523 
0,263 0,429 
0,230 0,366 
0,205 0,322 
0,166 0.288 
0,170 0,262 
0.158 0.241 
	licenca: Cópia não autorizada